Československí ikmkmie vii VĚdecký redaktor Prof. Ing. Jilí Kracik, DrSí. Recenzent LngL Václav Krťjčí, CSc. ÚVOD DO FYZIKY PLAZMATU Francis F. Chen Üi--av. ir*. i- -----........ ACADEMIA / PRAHA 1984 Přeloženo z anglického originálu Introduction to Plasma Physics Francis F. Chen © 1974 Plenum Press, New York Translation © Karel Rohlena, 1984 Básníku a neúnavné studentce. M. Conrad Chenovi Evelyn C. Chenové i Předmluva Tato kniha vznikla z textu přednášek pro studenty v kursu fyziky plazmatu, který byl po řadu let vypisován na kalifornské universitě (University of California) v Los Angeles. Vzhledem k nynějšímu rostoucímu zájmu o řízené termojaderné reakce a vzhledem k tomu, že fyzika plazmatu nachází široké uplatnění ve výzkumu kosmického prostoru a v relativistické astrofyzice, ukazuje se rozumným, aby se studium plazmatu stalo součástí základního vzdělání studentů podobně jako termodynamika a kvantová mechanika. Jakkoliv bylo základním cílem této knihy vyhovět potřebě textu, jemuž by dobře rozuměli studenti posledních ročníků, věřím, že může rovněž sloužit vědcům jiných oborů — např. fyziky pevných látek nebo fyziky laserů — jako schůdná cesta k obeznámení se s fyzikou plazmatu. Držel jsem se dvou hlavních zásad: nepřenechávat čtenáři algebraické výpočty jako cvičení a nedovolit, aby algebra zatemnila fyziku. V jakém rozsahu se mohou tyto protichůdné úmysly usmířit, je do značné míry určeno přístupem k plazmatu jakožto ke dvěma navzájem se prostupujícím tekutinám. Dvoutekutinový model je pro pochopení snazší a zároveň přesnější než jednotekutinový, přinejmenším pro jevy v plazmatu s malou hustotou. Úvodní kapitoly předpokládají jenom malou přípravu ze strany studentovy, u dalších kapitol se očekává, že bude držet krok s narůstající složitostí. Prvých šest a půl kapitol je možno probrat za devíti až desíti-týdenní čtvrtletí. Studijní látka těchto kapitol byla pečlivě vybrána, aby obsahovala jenom podstatné. Zbývajících dvou a půl kapitol lze užít v semestrovém kursu nebo jako doplňkovou četbu. Značné úsilí jsem věnoval jasnému vysvětlení Landauova útlumu — včetně onoho výkladu, jenž není vázán na znalost integrálu komplexní proměnné. Tom O'Neil a George Schmidt mně pomohli zjednodušit fyzikální model původně vypracovaný Johnem Dawsonem; jsem jim za to zavázán. Někteří čtenáři nelibě ponesou, že se užívá cgs elektrostatických jednotek. Nemá samozřejmě smysl přít se o jednotkách; každý zkušený fyzik umí výmluvně a logicky bezvadně obhájit svůj oblíbený jednotkový systém. Systém užívaný zde je vysvětlen v dodatku I. Zvolil jsem ho proto, abych se vyhnul zbytečnému psaní c, e0 a fi0, a také proto, abych se shodoval s většinou vědeckých publikací v oboru fyziky plazmatu. Rád bych poděkoval slečně Lise Tatarové a paní Betty Rae Brownové za mistrné intuitivní rozluštění mého rukopisu, panu Tim Lambertovi za stejné porozumění při přípravě obrázků, nejvice pak Ande Chenové za to, že se smířila s tak četnými večery strávenými v osamocení. Los Angeles, 1974 Francis F. Chen Předmluva k českému vydání po české fyzikální literatury se dostáva kniha amerického fyzika Francise F. Chena (*1929), význačného odborníka ve fyzice plazmatu. Skutečnost, že autor je experimentálním fyzikem, se v knize zřetelně odráží a - jak věřím — znamená významné doplnění českých knih v tomto oboru již existujících. Základní tendencí knihy je vést čtenáře k názorné představě o plazmatu. Tomu odpovídá jak výběr a uspořádání látky, tak i její zpracování. Proto je věnováno tolik místa výkladům fyzikálního významu odvozených vzorců, proto tak velký počet obrázků (přes 200), většinou schémat podporujících názornost výkladu, to je i smysl úloh, jimiž je vybaveno prvých sedm kapitol. Autorovo úsilí po názornosti a přehlednosti výkladu staví překladatele před nesnadné rozhodnutí. Zachovat „symbolické termíny" (E pole, VB drift, E x B drift, min B stabilizace apod.), které jsou výrazné, fyzikálně názorné a stručné, lze je při čtení uchopit „jediným pohledem", ale v češtině zní cize, nebo je důsledně přepisovat do „češtější podoby", ver-balizovat je (elektrické pole, drift v gradientu magnetického pole či gradientovy drift, drift ve zkřížených polích atp.)? Volil jsem nejprve druhý způsob, ale po jisté době jsem nabyl přesvědčení, že by se tim smazávala přehlednost textu, která je charakteristickým rysem originálu knihy, a pokusil jsem se český překlad se symbolickými - více méně pracovními — termíny „usmířit". Mnohdy jsem musel užít české výrazy bez jakéhokoliv úmyslu zavádět je jako české termíny fyziky plazmatu. Je známo, že angličtina si počíná 10 při volbě nových termínů velmi nenucené, nezřídka je volí s jistou dávkou humoru podle zcela povrchní podobnosti. Jak do české fyziky — a to je paní s daleko vybranějším vyjadřováním — uvést třeba takovou sausage instability nebo beach effectl Doslovný překlad by byl sotva únosný. Česky psané původní práce, Kde by se takové termíny spontánně objevovaly, dnes už prakticky neexistují, souhrnné články s popularizující tendenci se až k těmto termínům nedostanou (to se ovšem týká i zcela „střízlivých" výrazů, jako např. cusp .Tiirror, bow shock, bounce frequency atd.). Snažil jsem se najít České výrazy, které by daný pojem názorně vystihovaly, v některých případech, kdy se s termínem dále nepracovalo, jsem jej opsal. Protože však kniha má čtenáře uvést do fyziky plazmatu, tzn. vedle věcného výkladu jej má seznámit s termíny, s nimiž se setká v původní literatuře, považoval jsem za užitečné ponechat v rejstříku vedle českého původní termín anglický. Tam, kde jsem věc řešil opisem, uvádím anglický výraz pod čarou, případně — u méně běžných slov cizího původu, která jsem převzal — uvádím původní význam slova, zpravidla odvozený z latiny nebo řečtiny. Nelze se nezmínit několika slovy o jednotkové soustavě. Z autorovy předmluvy je patrné, že použil elektrostatickou cgs soustavu, avšak nám brání zákon, abychom ho prostě následovali. Musel jsem přepočítat výrazy a rovnice do soustavy SI; věřím, že mi neuniklo žádné místo vyžadující tento přepočet a že čtenář nebude maten. Je pravda, že vzorce se tím zpravidla nijak nekomplikují. Závažnější je ta skutečnost, že v cizích časopisech se ve fyzice plazmatu soustava SI používá jen zřídka. Čtenář je proto v dodatku I, který jsem musel trochu přepracovat, a v dodatku II upozorněn na některé vztahy mezi těmito soustavami. Děkuji svým přátelům za přečtení překladu a za připomínky, které jsem rád respektoval. V Praze, v prosinci 1980 Překladatel Obsah Předmluva ............................. 7 Předmluva k řeskému vydání...................... 9 Kapitola prvá: CVOD........................ 17 1.1 Výskyt plazmatu v přírodě ■ • • ■................ 17 1.2 Definice plazmatu........................ 19 1.3 Pojem teploty....................■..... 20 Úlohy 1-1,1-2.......................... 23 1.4 Debyeovo stíněni........................ 23 1.5 Plazmatický parametr..............•....... 26 1.6 Kritéria pto plazma....................... 26 Úlohy 1-3 až 1-7......................... 27 1.7 Aplikace fyziky plazmatu..................... 27 1.7.1 Výboj v plynech (elektronika plynů).............. 28 1.7.2 Řízená termojaderná syntéza.................. 28 1.7.3 Fyzika kosmického prostoru................• 29 1.7.4 Moderní astrofyzika.................... 29 1.7.5 MHD generátor a iontový pohon.............- • 29 1.7.6 Plazma v pevných látkách.................. J0 1.7.7 Plynné lasery....................... 30 Kapitola druhá; POHYBY JEDNOTLIVÝCH ČÁSTIC......... 32 2.1 Úvod.....................- • •....... 32 2.2 Homogenní E a B pole...................... 32 2.2.1 E = 0.......................... 32 2.2.2 Konečné £ pole...................... 34 12 2.2.3 Gravitační pole...................... 36 Úlohy 2-1 až 2-4......................... 37 2.3 Nehomogenní B pole...................... 38 2.3.1 VB X B: grad-B drift.................... 38 2.3.2 Zakřivené silokřivky: drift zakřivení............. 40 2.3.3 VB | B: Magnetická zrcadla................. 41 Úlohy 2-5 až 2-7......................... 45 2.4 Nehomogénni E pole........................ 46 2.5 Časově proměnné E pole..................... 48 2.6 Časově proměnné B pole..................... 50 2.7 Přehled driftů gyračního středu .....<............. 52 2.8 Adiabattcké invarianty...................... 52 2.8.1 Prvý adiabatický invariant, n................ 52 2.8.2 Druhý adiabatický invariant, J................ 54 2.8.3 Třetí adiabatický invariant, ..............• • 57 Úlohy 2-8,2-9........................... 57 Kapitola třetí: PLAZMA JAKO SMÉS TEKUTIN . ......... 58 3.1 Úvod.............................. 58 3.2 Vztah fyziky plazmatu k obyčejné teorii elektromagnetismu...... 59 3.2.1 Maxwellovy rovnice.................... 59 3.2.2 Magnetické látky v klasickém pojetí............. 60 3.2.3 Dielektrika v klasickém pojetí................ 61 3.2.4 Dielektrická konstanta plazmatu............... 61 Úlohy 3-1,3-2........................... 62 3.3 Pohybová rovnice tekutiny.................... 62 3.3.1 Konvektivní derivace.................... 63 3.3.2 Tenzor napětí....................... 65 3.3.3 Srážky........................... 68 3.3.4 Srovnání s obyčejnou hydrodynamikou............ 68 3.35 Rovnice kontinuity..................... 69 3.3.6 Stavová rovnice...................... 70 3.3.7 Úplná soustava rovnic pro tekutinu............... 70 3.4 Driftové pohyby tekutiny ve směru kolmém na B........... 71 Úlohy 3-3 až 3-9 ........................ 75 3.5 Diftové pohyby tekutiny ve směru rovnoběžném s B.......... 75 3.6 Plazmatické přiblížení...................... 77 Kapitola čtvrtá: VLNY V PLAZMATU................ 78 4.1 Popis vln............................ 78 Úloha 4-1. . ......................... 79 4.2 Grupová rychlost....................• ■ • • 80 4.3 Plazmové oscilace....................... . 81 Úlohy4-2až4-4....................... 84 4.4 Elektronové plazmové vlny.................. 85 Úloha 4-5............................ 91 4.5 Zvukové vlny......................... 91 4.6 Iontové -v'--y........................... 92 4.7 Platnost plazmatického přiblížení................. 94 4.8 Srovnání iontových a elektronových vln ............... 95 4.9 Elektrostatické elektronové oscilace kolmé na B........... 98 Úlohy 4-6,4-7......................... . 102 13 4.10 Elektrostatické iontové vlny kolmé na B............... 104 4.11 Doiní hybridní frekvence..................... í°7 4.12 Elektromagnetické vmy s B0 = 0...................I"8 4.13 Experimentální použiti . ..............•...... 110 Úlohy 4-8 až 4-11.....................• • • 114 4.14 Elektromagnetické vtay kolmé na B0................ 115 4.14.1 Řádná vlna, E! IB0 . . ...............• • »5 4.14.2 Mimořádná vlna, Ex i. B0........ . . ........ 116 4.15 Mezní frekvence a rezonance.................... 1W 4.16 Elektromagnetické vlny rovnoběžné s B0..... ........ 121 4.17 Experimentální důsledky ..................... 123 4.17.1 Hvizdy..................... 123 4.17.2 Faradayova rotace . ........... . ........ 125 Úlohy 4-12 až 4-19........................ 126 4.18 Hydromagnetické vlny........... ...... • ■ • 127 4.19 Magnetozvukové vlny...................■ • • 132 * 4.20 Stručný přehled elementárních vln v plazmatu • • • •.......• 134 4.21 CMA diagram......................... 135 Úlohy 4-20 až 4-26...............•........ 137 Kapitolapátá: DIFÚZE A ODPOR............. HO 5.1 Difúze a pohyblivost ve slabě ionizovaných plynech.......... 140 5.1.1 Veličiny charakterizující srážku............... 141 5.1.2 Veličiny charakterizující difúzi................ 142 5.2 Rozpad plazmatu difúzi...................... 143 5.2.1 Ambipolárni difúze..................... 143 5.Z2 Difúze mezi rovnoběžnými stěnami.............. 145 5.13 Difúze ve" válci....................... 147 5.3 Stacionární stav...................•..... 148- 5.3.1 Konstantní ionizační funkce......... • •......149 5.3.2 Rovinný zdroj........ . . ............. 149 5.3.3 Zdroj vose ................... 150 5.4 Rekombinace.......................... 150 5.5 Difúze napříč magnetickým polem................. 152 5.5.1 Ambipolárni difúze napříč B ....... ......... 155 5.5.2 Experimentální ověření................... 156 Úlohy5-laž5-3......................... 158 5.6 Srážky v plně ionizovaném plazmatu . . . ............. 158 5.6.1 Odpor plazmatu . ........•...........• 160 5.6.2 Mechanismus coulombovských srážek............ 160 5.6.3 Fyzikální význam *i..............• •..... 162 5.6.4 Číselné hodnoty q.............■ • •...... 164 5.7 MHD rovnice v jednotekutinovém modelu.............. 165 5.8 Difúze v plně ionizovaném plazmatu................. 167 5.9 Řešeni difúzni rovnice...................... 168 5.9.1 Časová závislost...................... 169 5.9.2 Řešení nezávislá na čase................... 169 5.10 Bohmova a neoklasická difúze................... 170 Úlohy5-4až5-9..........• ■.............■ 174 14 15 Kapitola Šestá: ROVNOVÁHA A STABILITA............. 177 6.1 Úvod.............................. 177 6.2 Hydromagnetická rovnováha................... 179 6.3 .Parametri........................... 181 6.4 Difúze magnetického pole do plazmatu................ 182 Úlohy 6-1,6-2.......................... 184 6.5 Klasifikace nestabilit............. .......... 185 6.6 Dvousvazková nestabilita...................... 186 Úloha 6-3............................ 190 6.7 „Gravitační" nestabilita....................... 190 6.8 Rezistivní driftové vlny...................... 193 Kapitola sedmá: ÚVOD DO KINETICKÉ TEORIE........... 198 7.1 Fyzikální smysl f (v)....................... 198 7.2 Rovnice kinetické teorie...................... 204 7.3 Odvozeni rovnic pro tekutinu................... 209 7.4 Plazmové oscilace a Landauův útlum................ 211 7.5 Fyzikální význam Landauova útlumu................ 216 7.5.1 Kinetická energie elektronového svazku............ 219 7.5.2 Vliv počátečních podmínek................. 223 7.6 Fyzikální odvozeni Landauova útlumu............... 225 7.6.1 Rezonanční částice ..................... 228 7.6.2 Vyřešeni dvou paradoxů.............. 229 7.7 BGK a van Kampenovy mody ................... 230 7.8 Experimentálni ovéření . ..................... 230 7.9 Iontový Landauův útlum..................... 233 Úloha 7-1........................... . 234 KapfataooMi: NELINEÁRNI JEVY................. 235 8.1 Úvod. . . ........................... 235 8.2 Stěnové vrstvy.......................... 237 8.2.1 Nezbytnost existence stínové vrstvy.............. 237 8.2.2 Rovnice pro rovinnou stínovou vrstvu............ 239 8.2.3 Bohmovo kritérium stínové vrstvy...... ....... 240 8.2.4 Zákon Chiklův-Langmuirův................ 241 8.3 Iontoví akustické rázové vlny.................. . 242 8.3.1 Sagdčjevův potenciál................... . 243 8.3.2 Kritická Machova čísla . . ......... . . ....... 24« 8.3.3 Vzrůst strmosti vln..................... 247 8.3.4 Experimentální pozorováni................. 248 8.4 Ponderomotorická sila...................... 249 8.5 Parametrické nestability...................... 252 8.5.1 Vázané oscilátory.............. ....... 252 8.5.2 Frekvenční podmínka...................... 253 8.5.3 Práh nestability............ ........ 256 8.5.4 Fyzikální mechanismus................... 257 8.5.5 Oscilující dvousvazková nestabilita............. 258 8.5.6 Nestabilita parametrického rozpadu............. 261 8.6 Plazmováecha.................... 263 8.7 Nelineárni Landauův útlum.................... 267 Kapitola devátá: ÚVOD DO ŘÍZENÉ TERMONUKLEÁRNÍ REAKCE . . 270 9.1 Problém řízené termonukleární reakce............... 270 9.1.1 Reakce.......................... 270 9.1.2 Nezbytnost plazmatu.................... 271 9.1.3 Zápalná teplota...................... 272 9.1.4 Lawsonovo kritérium.................... 272 9.1.5 Hlavni problémy...................... 272 9.1.6 Hlavní přístupy...................... 273 9.2 Magnetické udrženi: torusy.................... 274 9.2.1 Rovnováha........................ 274 9.2.2 Typy toroidálních systémů...............• • • 275 9.2.3 Stabilita........................... 275 9.*.4 Steflarátory........................ 277 9.2.5 Tokamaky........................ 279 9.2.6 Multipóly......................... 283 9.2.7 Zařízení s relativistickým svazkem.............• 286 9.3 Zrcadla............................. 287 9.4 Pinče. . ............................. 293 9.5 Termojaderná reakce vyvolaná lasery............... . 297 9.6 Ohřev plazmatu......................... 300 9.7 Technické problémy termojaderné reakce.............. 302 9.8 Shrnutí. . ................ ........... 304 DODATEK............................. 306 L Jednotky.................•.......... 306 IL Užitečné konstanty a vzorce.................... 308 IIL Užitečné vektorové relace..................... 310 REJSTŘÍK............................. 312 Kapitola prvá ÚVOD VÝSKYT PLAZMATU V PRÍRODE Často se říká, že 99 % hmoty ve vesmíru je v plazmatickom stavu, to znamená v podobě elektricky vodivého plynu s atomy disociovanými na kladné ionty a záporné elektrony. Tento odhad asi není příliš přesný, ale je jistě přiměřený se zřetelem na skutečnost, že nitra i atmosféry hvězd, většina • mezihvězdného vodíku a plynné mlhoviny jsou plazma. V našem vlastním sousedství se setkáváme s plazmatem, jakmile opustíme zemskou atmosféru, a to ve Van Allenových radiačních pásech a ve slunečním větru. Na druhé straně v našem každodenním životě je setkání s plazmatem omezeno na několik málo případů: úder blesku, jemný svit polární záře, vodivý plyn v zářivkách či v neonových reklamách a nepatrné množství ionizovaného plynu proudícího z trysek raket. Zdá se, že žijeme v tom jednom procentu vesmíru, v němž se plazma nevyskytuje přirozeně. Proč tomu tak je, můžeme pochopit ze Sahovy rovnice, udávající stupeň ionizace, který můžeme očekávat v plynu v tepelné rovnováze n. T3'2 -^«2,4 x 1021— e-v>'KT. |M, Zde Hj a nn jsou hustoty (počet částic v m3) ionizovaných a neutrálních atomů, T je teplota plynu v K, K je Boltzmannova konstanta a Ui je ionizační energie plynu — tj. počet joulů potřebný na odtržení vnějšího elektronu od atomu. V celé této knize používáme jednotky SI*. Pro obyčejný -* V anglickém originálu knihy se používá jednotek cgs-elstat. Při překladu jsem musel respektovat čs. zákon 57/1975 Sb., který povoluje užívání pouze jednotek SI a se souhlasem Plenům Press - původního vydavatele — jsem přepočítal vzorce a vztahy do soustavy SI — pozn. překladatele. 18 Uvod vzduch při pokojové teplotě můžeme vzít nn « 3 x 1025 m"3 (viz úlohu 1-1), T « 300 K a t/j = 14,5 eV (pro dusík), kde leV = 1,6 x 10"19 J. Stupeň ionizace njfa + «;) « n,/nn předpovězený rovnicí [l-l] je pranepatrný ^*io-122. Zvyšujeme-li teplotu, stupeň ionizace zůstává nízký, dokud se Ui nestane pouze nevelkým násobkem KT. Potom n-JnB příkře stoupá a plyn je v plazmatickém stavu. Dalším vzrůstem teploty se na stává menším než říj a plazma se konečně stává plně ionizovaným. Proto plazma existuje v kosmických tělesech s teplotami miliónů stupňů, ale nikoliv na Zemi. Tam, kde je plazma — alespoň plazma takového typu, o němž hovoříme — nemohl by život snadno existovat. Přirozený výskyt plazmatu při vysokých teplotách je důvodem označení „čtvrté skupenství hmoty". I když nemáme v úmyslu zdůrazňovat Sahovu rovnici, měli bychom podrobněji ukázat její fyzikální význam. Tepelná energie plynu je nerovnoměrně rozdělena atomům; atom je ionizován, podstoupí-li náhodně srážku s energií dostačující k tomu, aby byl odtržen elektron. V chladném plynu k takovým srážkám dochází zřídka, poněvadž atom musí být v sérii „příznivých" srážek urychlen na daleko vyšší energii, než je střední energie. Exponenciální faktor v rov. [l-l] vyjadřuje skutečnost, že počet rychlých atomů exponenciálně ubývá s UtJKT. Je-li jednou atom ionizován, zůstává nabitým, dokud se nesetká s elektronem; pak s ním velmi pravděpodobně rekombinuje a stává se opět neutrálním. Rekombinačni rychlost zřejmě závisí na hustotě elektronů, kterou můžeme vzít jako rovnou nt. Rovno- OBR. 1-1 Ilustrace dálkového působení elektrostatické síly v plazmatu. Definice plazmatu vážná hustota iontů by tedy měla ubývat s n,; a to je důvod pro faktor n,"1 na pravé straně rov. [1-1]. Plazma v mezihvězdném prostředí vděčí za svou existenci nízké hodnotě n, (asi l/cm3), tedy nízké rekombinačni rychlosti. DEFINICE PLAZMATU Plazmatem ovšem nemůže být nazýván jakýkoliv ionizovaný plyn; každý plyn je vždycky v nějakém malém stupni ionizován.,Užitečná definice je takováto: Plazma je kvazineutrální plyn nabitých a neutrálních částic, který vykazuje kolektivní chování. Musíme nyní definovat pojmy „kvazineutrální" a „kolektivní chování". Co rozumíme kvazineutralitou, vyjasníme v odd. 1.4, „kolektivním chováním" je míněno toto: Uvažujme síly působící na molekulu např. obyčejného vzduchu. Poněvadž molekula je elektricky neutrální, nepůsobí na ni žádná elektromagnetická síla a gravitační síla je zanedbatelná. Taková molekula sé pohybuje nerušeně, dokud se nesrazí s jinou molekulou a tyto srážky rozhodují o pohybu částic. Vystavíme-li neutrální plyn působení makroskopické síly, jako jsou zvukové vlny z reproduktoru, je toto působení jednotlivým atomům zprostředkováno ve srážkách. V plazmatu, v němž jsou nabité částice, je situace zcela odlišná. Při svém pohybu mohou tyto nabité částice vytvářet lokální koncentrace pozitivního nebo negativního náboje, které vedou ke vzniku elektrických poH. Tato pole ovlivňují pohyb jiných nabitých částic na vzdáleném místě. Jaké je vzájemné působení dvou slabě nabitých oblastí plazmatu ve vzdálenosti r od sebe (obr. 1-1)? Coulombova síla mezi A a B se zmenšuje jako 1/r2. Pro daný prostorový úhel (to jest Ar/r = konstanta) však objem plazmatu v B, který může ovlivnit A, vzrůstá s r3. Elementy plazmatu tudíž na sebe navzájem působí silami i na velké vzdálenosti. Touto cou-lombovskou silou dalekého dosahu získává plazma bohatý repertoár možných pohybů a jí je obohacena oblast studia známá jako fyzika plazmatu. Nejzajímavější výsledky se vskutku týkají tak zvaného „bezsrážkového" plazmatu, v němž dálkově působící elektromagnetické síly jsou mnohem větší než síly zprostředkované obyčejnými lokálními srážkami, takže srážky mohou být úplně zanedbány. „Kolektivním chováním" rozumíme pohyby, které nezávisí pouze na lokálních podmínkách, ale rovněž na stavu plazmatu ve vzdálených oblastech. Označení „plazma" se zdá být nevhodné. Toto slovo pochází z řečtiny nÁOLafux, -aroc, to, což znamená něco uzpůsobeného, vymyšleného. Plazma právě pro své kolektivní chování nemá sklon přizpůsobovat se vnějším vlivům; spíše se častěji chová, jako kdyby mělo svou vlastní hlavu. 20 úmd 1.3 POJEM TEPLOTY Dříve než půjdeme dále, bude dobře přehlédnout a rozšířit naše fyzikální představy o „teplotě". V plynu v tepelné rovnováze se vyskytují částice všech rychlostí a nejpravděpodobnější rozdělení těchto rychlostí je známo jako Maxwellovo rozdělení. Pro jednoduchost uvažujme plyn, v němž se Částice mohou pohybovat jenom v jednom směru. (To není tak úplně pošetilé; například silné magnetické pole může přinutit elektrony, aby še pohybovaly pouze podél siločar.) Jednorozměrné Maxwellovo rozdělení je /(u) = Aexp(-fmM2/KT), IWI kde / je počet částic v m3 s rychlostí mezi iiau + du, £mu2 je kinetická energie a K je Boltzmannova konstanta 'K « 1,38 x 10-" J/K. Hustotu n, neboli počet částic v m3, dostaneme (viz obr. 1-2) n= ľ /(«)< v — co Mezí konstantou./! a hustotou n je vztah (viz úlohu 1-2) )áu. [1-31 A-n ( m V'2 \2nKTj ' IM1 Šířka rozdělení je charakterizována konstantou T, kterou nazýváme teplota. Abychom pochopili přesný význam T, vypočítáme střední kinetickou energii částic s rozdělením [1-2] í: {mu2 f (u) du J — 00 U-51 t) du OBR. 1-2 Maxwellovo rychlostní rozdělení Definujme vt = (2KT/m)"2 a y = u/„t, pak rov. [1-2] můžeme psát f(u) = A exp (-u2lv2) a rov. [1-5] zapíšeme Pojem teploty |1-6| 2mA E., = ",3 ľ bM-rj] J-CO y2dy Avt exp(-y2)dy Integrál v čitateli lze integrovat per partes j j^[exp (-y2)])y dy = j^-^xp (-y2)] yj _ j°° _lexp (-y^dy = iľ°exP(-y2)< J-00 Vykráčením integrálů dostáváme Av, )dy. » imv2 m {KT. |1-7| Střední kinetická energie je tedy \KT. Tento výsledek lze snadno rozšířit na třírozměrný pohyb. Maxwellovo rozdělení potom je kde f(u, v, w) = A3 exp [-|m(u2 + v2 + w2)/JCT], m V Á3 = n(^KŤ) 3/2 H-8Í (1-91 Střední kinetická energie je jjj ^3 ■ X«a + v2 + w2) exp [-{m(u2 + v2 + w2)JKT] du dv dw I A3 exP ["M"2 + "2 + w2)/KT] du dvdw Všimněme si, že tento výraz je syme/rický v u, v, a w, neboť Maxwellovo rozdělení je izotropní. Každý ze tří členů v čitateli je tudíž stejný jako ostatní Potřebujeme pouze vyčíslit první člen a budeme jej násobit třemi 3A3 j^mu2 exp (->u2/KT) du jjexp {-{niv2 + w2)/KT] dw dw ^3 jexp(-£mu2/Kr)du jjexp \_-{m(v2 + *v2)/KT] dtfdw 21 22 Uvod Užijeme-li předchozí výsledek, dostáváme £„ = §KT. ii-ioj Obecným výsledkem je, že Ea se rovná \KT na každý stupeň volnosti. Poněvadž je mezi T a £st tak úzký vztah, bývá ve fyzice plazmatu zvykem udávat teplotu v jednotkách energie. Abychom se vyhnuli nejistotě o počtu dimenzí, neužívá se k udání teploty Ea, nýbrž energie odpovídající KT. Pro KT = 1 eV = 1,6 x 10"19 J dostáváme r = 1,6 x 1Q-1,38 x 10- = 11600. Převodní faktor tedy je leV= 11600K. Ii-Hl Údajem 2-eV plazma rozumíme, že KT= 2eV, neboli v třírozměrném případě £„ = 3eV. « Je zajímavé, že plazma může mít několik teplot současně. Často se stává, že ionty a elektrony mají odlišná Maxwellova rozdělení s rozdílnými teplotami 7j a Te. K tomu může dojít proto, že frekvence srážek iontů mezi sebou a elektronů mezi sebou je větší než frekvence srážek mezi ionty a elektrony. Každý druh částic pak může být ve své vlastní tepelné rovnováze, ale plazma se nemusí udržet dostatečně dlouhou dobu nezbytnou k tomu, aby se obě teploty vyrovnaly. Je-li přítomno magnetické pole B*, může dokonce i jediný druh částic, řekněme iontů, mít dvě teploty, poněvadž síly působící na ion ve směru B jsou jiné než ty, které působí kolmo na B (vlivem Lorentzovy síly). Každá ze složek rychlosti, kolmo na B a rovnoběžně s B, může pak náležet různým Maxwellovým rozdělením s teplotami Tx a T|,. Dříve než opustíme náš přehled představ o teplotě, měli bychom uvést na správnou míru rozšířenou představu, že vysoká teplota nutně znamená spoustu tepla. Lidé obvykle žasnou, když se dovědí, že elektronová teplota uvnitř zářivkových trubic je okolo 20 000 K. „Páni, vždyť to není cítit, takové horko!" Ovšem že není, musíme vzít v úvahu také tepelnou kapacitu. Hustota elektronů uvnitř zářivek je daleko menší než hustota plynu při atmosférickém tlaku a úhrnné množství tepla, přeneseného na stěnu elektrony narážejícími na ni tepelnými rychlostmi, není tak velké. Každý má zkušenost s cigaretovým popelem, který se mu neškodně utrousil na ruku. V jednotkách cgs se rozměr (a ve vakuu i hodnota) intenzity magnetického pole H a magnetické indukce B shoduji, lze tedy snadno nahradit jedno druhým. V soustavě SI jsou H a B rozdílné veličiny lišící se rozmérem (viz dodatek I). V celé této knize (až na oddíly 3.2.1-3.2.3, pojednávající o Maxwellových rovnicích obecně) se vektor H nevyskytuje. Nezpůsobíme tedy zmatení pojmů, jestliže pro vektorové pole magnetické indukce B v textu použijeme ve shodě s originálem stručné označení: magnetické pole nebo prostě pole B či B pole. — pozn. překl. Debyeovo stínění 23 Ačkoliv je jeho teplota dost vysoká na to, aby způsobila popáleniny, nestačí na to celkové množství obsaženého tepla. Mnohé plazmatické laboratoře dosahují teplot řádově 1000 000 K (100 eV), ale při hustotách 1018-1019 na m3 není zahřívání stěn nikterak vážné. ) ideálního plynu za následujících ÚLOHY 133,322 Pa). Tato hodnota 1-1. Vypočítejte hustotu (v jednotkách m podmínek: (») Při 0°C a tlaku 760Torr (lTorr = lmmHg se nazývá Loschmidtovo číslo, (b) Ve vakuu 10_3Torr (=0,133 Pa) při pokojové teplotě 20 °C. Pro každého experimentálního pracovníka je užitečné znát toto číslo zpaměti. (10" 3 Torr = 1 micron*) 2. Odvoďte konstantu A pro normalizované jednorozměrné Maxwellovo rozdělení r tak, aby /(«) = ^exp(-m«2/2KT) f(u)du= 1. í: DEBYEOVO STÍNĚNÍ 1.4 Základním rysem chování plazmatu je jeho schopnost odstínit elektrické potenciály, které jsou do něho vloženy. Představme si, že bychom chtěli vložením dvou koulí spojených s baterií vytvořit v plazmatu elektrické pole (obr. 1-3). Koule by přitahovaly částice s opačným nábojem a takřka okamžitě by oblak iontů obklopil zápornou kouli a oblak elektronů kouli kladnou. Předpokládejme, že rekombinaci na povrchu by bránila vrstva dielektrika nebo že by baterie byla natolik silná, že by potenciál vzdor rekombinaci udržela. Kdyby plazma bylo studené bez tepelných pohybů, PLAZMA + + + ++ ++ + Debyeovo stměni. Toto označení není v české literatuře běžné; jedná se o hydrostatický tlak sloupce rtuti o výšce 1 u — pozn. překl. OBR. 1-3 24 Úvod Debyeovo stíněni. 25 bylo by v oblaku právě tolik nábojů jako na kouli; odstínění by bylo dokonalé a vně oblaků by v plazmatu elektrické pole nebylo. Je-li však teplota konečná, mají ty částice, jež jsou na okraji oblaku, kde je elektrické pole slabé, dostatek tepelné energie k tomu, aby unikly z elektrostatické potenciálové jámy. Jako ..okraj" oblaku se pak jeví poloměr, na němž se potenciální energie přibližně rovná tepelné energii KT částic, a stínění není úplné. Potenciály velikosti KT/e mohou pronikat do plazmatu a způsobují, že v něm existuje konečné elektrické pole. 0 x OBR. 1-4 Rozložení potenciálu v blízkosti mřížky v plazmatu Vypočítejme přibližnou tloušťku takového oblaku nábojů. Představme si, že potenciál 0 je v rovině x = 0 udržován na hodnotě 4>0 dokonale transparentní mřížkou (obr. 1-4). Chceme vypočítat <£(x). Pro jednoduchost předpokládejme, že poměr hmotností iontů a elektronů Mjm je nekonečný, takže ionty se nepohybují, ale vytvářejí homogenní pozadí kladného náboje. Abychom byli preciznější, můžeme říci, že M/m je tak velké, že setrvačnost nedovoluje iontům, aby se znatelně pohnuly v časovém rozpětí experimentu. Poissonova rovnice zapsaná v jedné dimenzi je VV» .*("'-"') (Z = l). |M2| Je-li hustota v dostatečné vzdálenosti n^, dostáváme V místě s potenciální energií q$ je elektronová rozdělovači funkce /(«) = A exp + í*)/KTj. Nestálo by za to dokazovat to na tomto místě. Z názoru je zřejmé, co tato rovnice říká: na miste s velkou potenciální energií je méně částic, neboť ne všechny částice mají dostatečnou energii, aby se tam dostaly. Integru-jeme-li f(u) přes všechna u, položíme-li q = — e a uvědomíme-li si, že ne (exp(^/KTe). Tato rovnice bude s lepším fyzikálním porozuměním odvozena v oddíle 3.5. Dosadíme-li za n, a nt do rov. [1-12], dostáváme V oblasti, kde \e\KT^ < 1, můžeme exponencielu rozvinout do Taylo-rovy řady d20 e f e 1/MV "1 Pro oblast v blízkosti mřížky, kde \elKTt\ může být velké, není žádné zjednodušení možné. Naštěstí tato oblast mnoho nepřispívá k tloušťce oblaku (nazývaného stěnová vrstva), protože zde potenciál velmi rychle padá. Ponecháme-li pouze lineární člen v rov. [1-13], dostáváme Definujme 11-14] (1-151 kde n stojí na místě «„, a řešení rov. [1-14] můžeme psát jako = exp (-|x|/A,j). 11-16] Veličina Aj,, nazývaná Debyeova délka, je mírou stínící vzdálenosti neboli tloušťky stěnové vrstvy. Povšimněme si, že vzrůstá-li hustota nabitých částic, Ap se zmenšuje, jak lze očekávat, neboť v každé vrstvičce plazmatu je více elektronů. Dále AD vzrůstá s rostoucím KTt. Bez tepelného neklidu by se nábojový oblak zhroutil v nekonečně tenkou vrstvičku. V definici 1^ vystupuje elektronová teplota, protože stínění obecně způsobují elektrony, pohyblivější než ionty, a to tak, že při svém pohybu vytvářejí v jednom případě nadbytek záporného elektrického náboje, v opačném případě jeho snížení. Jenom ve zvláštních situacích tato představa neplatí (viz úlohu 1-5). Užitečné tvary rov. [1-15] jsou AD = 69(7»1/2 m, T v K, XD = 7,4 x 103(KT/n)1/2 m, KT v eV. ' (1-17J Nyní před námi stojí úkol definovat „kvazineutralitu". Je-li rozměr systému L daleko větší než ÁD, pak ať kdykoliv vznikne lokální koncentrace náboje nebo je do systému zaveden vnější potenciál, jsou odstíněny ve v?dálenosti krátké ve srovnáním s L a ponechají převážnou část plazmatu 26 Úvod bez velkých elektrických potenciálů či polí. Na stěně nebo na nějaké překážce vně stínící vrstvy je V2 velmi malé, n.t se rovná ne, a to zpravidla s větší přesností než na 6 desetinných míst. Jenom malá nerovnováha náboje stačí ke vzniku potenciálů řádu KTJe. Plazma je „kvazineutrální"; to znamená, sdostatek neutrální, abychom mohli položit Wj ä ne as n, kde n je společná hustota nazývaná hustota plazmatu, ale nikoliv tak neutrální, aby se všechny zajímavé elektromagnetické síly ztratily. Ionizovaný plyn je tehdy plazmatem, jestliže hustota nábojů je natolik vysoká, že je mnohem menší než L. , Jev Debyeova stínění se rovněž objevuje — v pozměněné podobě — v systémech s jedním druhem částic, jako jsou elektronové svazky v klystro-nech a magnetronech nebo protonové toky v cyklotronech. V takových případech lokálním nahromaděním částic vznikne veliké neodstíněné elektrické pole, krom těch případů, kdy hustota je mimořádně malá (což je velmi časté). Z vnějšku vložený potenciál — například na drátěnou sondu-je odstíněn odpovídající změnou hustoty v blízkosti elektrody. Systémy s jedním druhem částic či plazma, jež není neutrální, nejsou přesně vzato plazmatem, ale matematický aparát fyziky plazmatu se při studiu takových systémů dá použít 1.5 PLAZMATICKÝ PARAMETR Shora uvedený mechanismus Debyeova stínění platí jenom tehdy, je-li v nábojovém oblaku dostatek částic. Jsou-li v oblasti vrstvy jedna nebo dvě částice, nemůže samozřejmě pojem Debyeova stínění být statisticky platný. Z rov. [1-17] můžeme vypočítat počet částic v „Debyeově sféře" JVD «= n. fitAg = 1,38 x 106 T 3/2/n»'2 (T v K). H-181 Kromě pc 1, má-li se plyn chovat spíše jako plazma než jako neutrální plyn. Tři podmínky, jež plazma musí splňovat, tedy jsou . I. L>< L, 2. ND p> 1, 3. coz > 1. Aplikace fyziky plazmatu , 27 1-3. Do log-log grafu vyneste na jednu osu nt (106 - 10" m'3) a na druhou KTt ÚLOHY (0.01 — 105 eV) a vyznačte čary konstantního AD a ND. Do tohoto grafu vyneste tyto body(n vm"3, KTveV): 1. Typický reaktor jaderné syntézy: n = 10", KT= 10000. 2. Typické experimenty jaderné syntézy: n = 1019, KT — 100 (torus); n — 10", KT — 1000 (pinč). 3. Typická ionosféra: n = 101 \ KT = 0,05. 4. Typický doutnavý výboj: n = 10", KT = 2. 5. Typický plamen: n = 101*, KT = 0,1. 6. Typické Cs plazma: n = 1017, KT = 0,2. 7. Meziplanetární prostor: n = 106, KT = 0,01. Přesvčdčte se, že se v těchto případech jedná o plazma. 1-4. Vypočítejte tlak v atmosférách* a v Pa**, kterým působí termonukleární plazma na nádobu. Předpokládejte KTC = K7j = 20keV, n = 10" m"3 a p = nKT, kde T=^ + Te. 1-5. V naprosto ustáleném případe budou ionty i elektrony rozloženy podle Boltz-mannova vztahu ni = "oexp(-9j0/Krj). Ukažte pro nekonečnou transparentní mřížku nabitou na potenciál = 0. Prostor mezi nimi je rovnoměrně vyplněn plynem s hustotou n částic o náboji q. (a) Pomoci Poissonovy rovnice ukažte, že rozložení potenciálu mezi deskami je "■a (b) Ukažte, že pro á > XD je energie potřebná pro přeneseni částicejz desky do středové roviny větší než střední kinetická energie částic. 1-7. Vypočítejte XD a ND pro následující případy: (a) Doutnavý výboj s n = 10l6m~3, KTt = 2eV. (b) Zemská ionosféra s n = 1012 m-3, kTt = 0,1 eV. (c) S-pinč s n = 10" nT3, Tt =? 800 eV. APLIKACE FYZIKY PLAZMATU 1.7 Plazma můžeme charakterizovat dvěma parametry. Ty se pro různé typy plazmatu mění v mimořádně širokém rozsahu: velikost n se mění přes 18 řádů od 106 do 1024 m-3 a KT se může měnit od 0,1 do 106 eV. O ně- kp/cm2 — pozn. překl. v orig. textu je tuna/stopa2 - pozn. překl. 28 úmd kterých případech promluvíme velmi krátce níže. Tento úžasný rozsah hustoty plně oceníme, uvědomíme-li si, že hustota vzduchu a vody se liší jenom o faktor 103, zatímco voda a hvězdy bílí trpaslíci jsou odděleny faktorem pouhých 105. Dokonce neutronové hvězdy jsou toliko 1015krát hustší než voda. Nicméně všechny případy plynného plazmatu v celém rozsahu hustot 1018 lze popsat touž soustavou rovnic, neboť se užívá pouze klasických (nikoliv kvantových) zákonů fyziky. 1.7.1 Výboj v plynech (elektronika plynů) První s plazmatem pracovali Langmuir, Tonks a jejich spolupracovníci ve dvacátých letech tohoto století. Tento výzkum byl podnícen potřebou vyvinout trubice, které by při nízkém tlaku mohly vést velké proudy, a musely by tedy být naplněny ionizovaným plynem. Zkoumali slabě ionizované doutnavé výboje a jejich kladné sloupce s typickými hodnotami KTC a 2 eV a 1014 < n < 1018 m-3. Zde byl objeven jev stínění; stěnová vrstva obklopující elektrodu je přímo vidět jako tmavá vrstvička. S výbojem v plynech se dnes setkáváme ve rtuťových usměrňovačích, vodíkových thyratronech, ignitronech*, jiskřištích, svařovacích obloucích, neonových trubicích a zářivkách-a u blesku. 1.7.2 Řízená termojaderná syntéza Počátky moderní fyziky plazmatu klademe do roku 1952, kdy se objevil návrh vytvořit reaktor, v němž by byla ovládnuta termojaderná reakce vodíkové bomby. Základní reakce, v nichž vystupuji deuteriové (D) a tri-tiovc (Ť) atomy, jsou tyto :D +ÍD - 3He + n + 3,2MeV, -D +m - T + p + 4,0MeV, íD +;T - 4He + n + 17,6 MeV. Účinné průřezy těchto reakcí syntézy jsou dostatečně velké teprve pro srážkové energie nad 10 ke V. Urychlený svazek deuteronů, ostřelující terčík, zůstane bež účinku, protože větš ina deuteronů ztratí svou energii v rozptylových srážkách dříve, než by mohly vyvolat reakci syntézy. Je nezbytné vytvořit plazma, v němž by tepelné energie byly v oblasti 10 keV. Problém ohřátí a udržení takového plazmatu vedl od roku 1952 k rychlému rozvoji této vědy, fyziky plazmatu. Tento problém zůstává stále nevyřešen a na něj je zaměřena větší část aktivního výzkumu ve fyzice plazmatu. jednofázový usměrňovač s řídící mřížkou - pozn. překl. Aplikace fyziky plazmatu 29 Fyzika kosmického prostoru 1.7.3 Jinou důležitou aplikací fyziky plazmatu je studium kosmického prostoru v okolí Země. Nepřetržitý proud nabitých částic, nazývaný sluneční vítr, naráží na magnetosféru Země, která nás před tímto zářením stíní a je jím zároveň deformována. Typické parametry slunečního větru jsou n = = 5 x 106 nT3, XTj = 10 eV, KTt = 50 eV, B = 5 x 10"9 T a rychlost proudění 300 km/s. Ionosféru, rozprostírající se bd výšky 50 km až do 10 zemských poloměrů, tvoří slabě ionizované plazma, jehož hustota se mění s výškou a dosahuje hodnoty n = 1012 m~3. Teplota je pouze 10"1 eV. Van Allenovy pásy jsou vytvářeny nabitými částicemi zachycenými zemským magnetickým polem Zde je n £ 109 nT3, KTC <, 1 keV, KT{ st 1 eV a ß~ 500 x 10"9 T. Krom toho je zde ještě horká složka s n = 103 m-3 a KTC = 40keV. Moderní astrofyzika 1.7.4 Nitra a atmosféry hvězd jsou tak horké, že jsou v plazmatickém stavu. Teplota ve středu Slunce se například odhaduje na 2keV; při této teplotě probíhají termojaderné reakce, jejichž důsledkem je sluneční záření. Sluneční korona je prořídlé plazma s teplotami do 200 eV. Mezihvězdné prostředí obsahuje ionizovaný vodík s na 106m-3. Urychlování kosmického záření se vysvětluje pomocí různých plazmatických teorií. Ačkoliv hvězdy v galaxii nejsou nabity, chovají se jako částice v plazmatu, a kinetické teorie plazmatu se užívá k předpovědím vývoje galaxií. Radioastronomie objevila četné zdroje záření, jež je s největší pravděpodobností vyzařováno plazmatem. Krabí mlhovina je bohatým zdrojem plazmatických jevů, neboť se o ní ví, že se v ní udržuje magnetické pole. To platí i o vizuálním pulsaru. Současná teorie pulsarů je popisuje jako rychle rotující neutronové hvězdy s plazmatem emitujícím z povrchu synchrotronní záření. MHD generátor a iontový pohon 1.7.5 Vrátíme-li se zpět na Zem, dostaneme se ke dvěma praktickým aplikacím fyziky plazmatu. Magnetohydrodynamický (MHD) generátor využívá hustého plazmatu tryskajícího napříč magnetickým polem k výrobě elektřiny (obr. 1-5). Lorentzova síla qv x B, kde v je rychlost proudění, způsobuje, že ionty jsou hnány vzhůru a elektrony dolů, a nabíjejí tak obě elektrody na různé potenciály. Z elektrod může pak být odebírán elektrický proud, přičemž jsme se vyhnuli tepelnému cyklu, který má malou účinnost. Týž princip v obráceném smyslu je užit při vývoji iontových motorů pro dlouhé meziplanetární lety. Na elektrody (obr. 1-6) je přivedeno napětí, jež vyvolá v plazmatu elektrický proud. Síla / x B vystřeluje plazma z ra- 30 Úvod kety a výsledná reakční síla raketu urychluje. Vypuzované plazma musí být stále neutrální, jinak by se kosmická loď nabíjela na vysoký potenciál. 0 B © 0 | + ev x B | - ev x B OBR. 1-5 Princip MHD generátoru. ® B OBR. 1-6 Princip iontového motoru pro pohon kosmických lodí. 1.7.6 Plazma v pevných látkách Volné elektrony a díry v polovodičích vytvářejí plazma vykazující týž druh oscilací a nestabilit jako plynné plazma. Pro studium těchto jevtk je obzvlášť užitečné plazma vstřiknuté do InSb. Krystalická mříž způsobuje, že efektivní srážková frekvence je daleko menší, než bychom očekávali v pevných látkáci- s n ä 1029m~3. A co více, díry v polovodičích mohou mít velmi malou efektivní hmotnost - až 0,0 lme - takže mají vysokou cyklotronovou frekvenci i při nevelkých magnetických polích. Kdybychom spočítali ND pro plazma v pevných látkách, bylo by v důsledku nízké teploty a velké hustoty menší než jedna. Kvantově mechanické efekty (princip neurčitosti) však dávají plazmatu dostatečně vysokou efektivní teplotu, takže JVD nabývá úctyhodně vysoké hodnoty. V nedávné době byly nalezeny některé tekutiny, jako je roztok sodíku ve čpavku, jež se rovněž chovají jako plazma. Aplikace fyziky plazmatu jiskrový výboj pro impulsní laser. He-Ne lasery se běžně užívají pro kalibraci a zeměměřičské účely. Výkonný C02 laser se objevuje jako obráběcí nástroj a rovněž se využívá ve vojenské technice. HCN laser umožňuje studium v doposud nepřístupné daleké infračervené oblasti. Činnost všech těchto laserů by nebyla možná bez existence plazmatu. 1.7.7 Plynné lasery K „čerpání" plynných laserů - to jest k dosažení inverze obsazení hladin, jež vede k zesílení světla - se nejběžněji užívá výboje v plynech. Může to být nízkotlaký doutnavý výboj pro kontinuální laser nebo vysokotlaký Homogenní E a B pole 33 Kapitola druhá POHYBY JEDNOTLIVÝCH ČÁSTIC 2.1 UVOD Analyzovat plazma je obzvláště obtížné proto, že jeho hustoty spadají do „střední" oblasti. Tekutiny, jako voda, jsou tak husté, že pohyby jednotlivých molekul nemusí být brány v úvahu. Převládají srážky a dostačují jednoduché rovnice obyčejné dynamiky tekutin. V opačném krajním případě, v přístrojích pracujících s velmi malou hustotou, jako je synchrotron, je potřeba počítat jenom s trajektoriemi jednotlivých částic; kolektivní efekty často nejsou důležité. Plazma se někdy chová jako tekutina a někdy jako soubor jednotlivých částic. Máme-li se naučit, jak s touto schizofrenní osobností zacházet, musíme nejprve porozumět tomu, jak se jednotlivé částice chovají v elektrickém a magnetickém poli. Tato kapitola se od následujících liší v tom, že E a. B pole považujeme za předepsaná a neovlivněná nabitými částicemi. 2.2 HOMOGENNÍ £ A B POLE 2.2.1 £ = 0 V tomto případě nabitá částice krouží; tento jednoduchý pohyb nazýváme cyklotronní rotace*. Pohybová rovnice je dv m — = qy x B. át |2-1| * Lze se rovněž setkat s termínem cyklotronní gyrace (původně z řeckého yugoc = kruh, zákrut, závit), Larmorova rotace nebo Larmorova gyrace — pozn. překl. Položíme-li z * do směru B (B = Bz), dostáváme mvx = qBvy, mvy = - qBvx, mv. = 0, To popisuje jednoduchý harmonický oscilátor s cyklotronní frekvencí**, kterou definujeme 4 B [2-31 Podle konvence, kterou jsme zvolili, je wc vždycky nezáporné. Řešení rov. [2-2] je potom vx,y = "l eXP (±'ťBct + > kde ± označuje znaménko q. Fázi ô můžeme zvolit tak, že px = o1eto», = x, I2"4"' kde vx je kladná konstanta znamenající rychlost v rovině kolmé na B. Potom o = — v = + — 15,= ±iv1ci^t = y. P-4b] > qB * ~ o>c Integrujeme-li ještě jednou, dostáváme x-x0= -i^eto"«, co. Definujeme Larmorův poloměr (úc \q\ B [2-5| [2-61 GYRAČNÍ STŘED ION ELEKTRON Larmorovy orbity v magnetickém poli. OBR. 2-1 * x, ý, í značí jednotkové vektory ve směru souřadnicových os - pozn. překl. ** též gyrofrekvence nebo Larmorova frekvence - pozn. překl. 34 Pohyby jednotlivých částic Vezměme reálnou část rov. [2-5] a dostáváme x - x0 - rLsincucf, y - y0 = ±rLcoscoQt. 12-71 To popisuje orbit* okolo gyračního středu** (x0, y0), který je pevný (obr. 2-1). Směr kroužení je vždycky takový, že magnetické pole vytvářené nabitou částicí má opačný směr než vnější vložené pole. Částice plazmatu mají tedy sklon ke zmenšování magnetického pole, plazma je diamagnetické. Vedle tohoto pohybu má částice ještě libovolnou rychlost t>, rovnoběžnou s B. Tato složka rychlosti není polem B ovlivňována. Trajektorií nabité Částice v prostoru je obvykle šroubovice. 2.2.2 Konečné £ pole Připustíme-li nyní přítomnost elektrického pole, bude výsledným pohybem součet dvou pohybů: obyčejná kruhová Larmorova rotace plus unášení (drift) gyračního středu. Osu x můžeme zvolit tak, aby ležela podél E, takže Ey = 0. Stejně jako předtím z-ová složka rychlosti nemá žádný vztah k příčným složkám a můžeme se jí zabývat odděleně. Pohybová rovnice je nyní dv ._ 12-8] m — ==«(£ + v x B), její z-ová složka je neboli dř m * 1EZ m [2-91 To je prosté zrychlování ve směru B. Příčné složky rov. [2-8] jsou —= = —E + co v . dt m dv. dt - 0 + takže rov. [2-11] je převedena na předchozí případ, nahradíme-li »„ výrazem v, + {EjB). Rov. [2-4] je tedy nahrazena výrazy vx = vLe [2-121 Larmorův pohyb zůstává týž jako před tím, ale přes něj se překládá drift* v gyračního středu ve směru -y (pro Ex > 0) (obr. 2-2). 0B .0 ELEKTRON Drift částic ve zkříženém elektrickém a magnetickém poli. OBR. 2-2 Abychom dostali obecný výraz pro v , budeme řešit rov. [2-8] ve vektorovém tvaru. Člen mdv/dt v rov. [2-8j můžeme vypustit, neboť dává pouze krouživý pohyb s frekvencí coe, který nám je již znám. Rov. [2-8] pak přechází v .E + vxB = 0. Vektorový součin s B dává ExB = Bx(vxB) = vB2 - B(v. B). Příčné složky této rovnice jsou vig8 = ExB/B2Sv£. IM31 [M41 P-151 • anglické slovo - to drift = být poháněn (větrem, vodou). Ve fyzice označuje proudění, které je výsledkem složitějšího, dokonce i chaotického pohybu. V češtině se lze někdy setkat s termínem unášení — pozn. překl. 36 Pohyby jednotlivých částic Homogenní E a B pole 37 To je definice v£, driftu gyračního středu vyvolaného elektrickým polem. Užitečný tvar rov. [2-15] je E (V/m) m ing E (V/cm) cm -= 108 [M6| E B (T) s B (Gauss) s Je důležité všimnout si, že vE nezávisí na q, m a vv Príčina je zrejmá z této fyzikální představy: V prvé polovině svého orbitu na obr. 2-2 získává ion v elektrickém poli energii, zvětšuje se v±, a tudíž i rL. V druhé půlce oběhu energii ztrácí a zmenšuje se rL. Různost rL na levé a pravé straně oběhu způsobuje drift vE. Záporný elektron krouží v opačném směru, ale energii získává rovněž v opačném směru; výsledkem je drift v témž směru jako drift iontů. Máme-li dvě částice s touž energií, ale rozdílnou hmotností, bude lehčí mít menší rL a driftový posun připadající na jeden oběh bude menší. Jeho cyklotronní frekvence bude však větší a tyto dva efekty se navzájem přesně zruší. Dvě částice s touž hmotností ale rozdílnými energiemi by měly totéž cv dt dv —= 0 + (o v . dt 12-101 kruhová dráha, původně dráha planet; [z latinského orbita = stopa (zanechaná jedoucím kolem)]. Tohoto výrazu se v češtině užívá při popisu elektronového obalu v atomu. My jím budeme označovat kruhovou (cyklotronně rotační) složku dráhy částice — pozn. překl. v naší terminologii by bylo důslednější anglické „guiding center" překládat „střed cyklo-tronni rotace", což je také termín v Češtině užívaný. Protože ale kniha tento pojem hojně používá, budeme pracovat s jednodušším označením „gyrační střed" [podobně jako J. Kleczek v knize „Plazma ve vesmíru a laboratoři" (Academia 1968)], i když jsem si vědom, že slovo gyrační v české terminologii upomíná spíše na jevy spojené s rotační setrvačností — pozn. překl. Homogenní E a B pole 35 Po derivování dostáváme (pro konstantní E) t>'„ = + <*>„, Vy + ~B IMU To můžeme napsat jako takže rov. [2-11] je převedena na předchozí připad, nahradíme-li vy výrazem v + (EjB). Rov. [2-4] je tedy nahrazena výrazy vr = v, e v=±iv1ek*'- B [2-121 Larmorův pohyb zůstává týž jako před tím, ale přes něj se překládá drift* v gyračního středu ve směru -y (pro Ex > 0) (obr. 2-2). y 4 ©B .0 ION ELEKTRON Drift íástic ve zkříženém elektrickém a magnetickém poli. OBR. 2-2 Abychom dostali obecný výraz pro vgs, budeme řešit rov. [2-8] ve vektorovém tvaru. Člen mdv/dt v rov. [2-8] můžeme vypustit, nebot dava pouze krouživý pohyb s frekvencí lKTe). (a) Vypočítejte maximum vc (b) Srovnejte tuto hodnotu s driftem tsg způsobeným gravitačním polem Země. (c) Na jakou hodnotu může být sníženo B, než Larmorův poloměr iontů draslíku (A = 39) nabude hodnoty a? 2.3 NEHOMOGENNÍ B POLE Nyní, když je zaveden pojem gyračního středu, můžeme probrat pohyb částic v nehomogenních £ a B polích, jež se mění v prostoru nebo čase. Při homogenních polích jsme byli s to odvodit přesné výrazy pro drift gyračního středu. Jakmile však zavedeme nehomogenitu, stává se problém pro přesné řešení příliš komplikovaný. Přibližná odpověď se obvykle získává tak, že výraz rozvineme pro malou hodnotu rjL, kde L je charakteristická délka nehomogenity. Tento typ teorie, nazývaný teorie orbitu, může být velice složitý. Budeme vyšetřovat jenom nejjednodušší případy, v nichž se vyskytuje vždy jenom jedna nehomogenita. 2.3.1 VB 1 B: grad-B drift V tomto případě jsou silokřivky přímé, ale jejich hustota vzrůstá, např. ve směru y (obr. 2-5). Za pomoci naší jednoduché fyzikální představy můžeme výsledek předvídat. Gradient |B| způsobuje, že Larmorův poloměr je větší v dolní části orbitu než v horní, a to by mělo vést k driftu pro ionty a elektrony v opačných směrech, kolmých jak na B, tak i na VB. Driftová rychlost by zřejmě měla být úměrná rjL a vx. Uvažujme Lorentzovu sílu F = qv x B, zprůměrovanou přes jeden Nehomogenní B pole 39 00000 B 0 0 0 0 V|B| B 0 0 0 0 O O 0 © UJUU ?pPPP.PQPQPPPPA Drift rotující částice v nehomogenním magnetickém poli. OBR. 2-5 oběh. Zřejmě platí, že Fx = 0, neboť částice stráví stejně dlouhou dobu při pohybu vzhůru jako při pohybu dolů. Chceme vypočítat přibližný tvar F ; užijeme neporušený orbit částice pro výpočet střední hodnoty. Neporušený orbit je dán rov. [2-4] a [2-7 j pro konstantní B pole. Vezmeme-li reálnou část rov. [2-4], dostáváme Fy= -qvx Bz(y) = - qvx(cos o»et) B0 ± rL(cos , aniž je tím proud I ovlivněn. Elektron získá od elektrického pole energii a začne driftovat. (a) Namalujte schéma orbitu elektronu a směry s ním souvisejících I, B, v£, vVB a vR. (b) Vypočítejte velikosti těchto dřínových rychlostí pro poloměr 1 cm, jestliže / = 500A, # = 460 V a poloměr drátu je 1 mm. Předpokládejť;, že potenciál

+ mEÁy) qB — i m v\ = -fflX±«cy- 12-48] 12-49] 12-501 12-511 r Nehomogénni E pole Ej^y) je intenzita elektrického pole v místě částice. Abychom ji stanovili, potřebujeme znát orbit částice, který se vlastně snažíme vypočítat. Je-li elektrické pole slabé, můžeme pro výpočet Ex(y) přibližně užít neporušený orbit. Takový orbit bez působení pole E byl dán výrazem [2-7] y = y0± rLcoscoct. Z rov. [2-51] a [2-47] nyní dostáváme E Vy = - <°lVy ~ fflc -J C0S Í^O ± ^ C°S M • 12-52] 12-53] Očekáváme, že výsledné řešení, jež hledáme, bude součtem rotace s frekvencí coc a ustáleného driftu vE. Protože nás zajímá výraz pro vE, vyloučíme rotační pohyb středo váním přes jeden rotační cyklus. Rovnice [2-50] potom dává vx = 0. Oscilující člen vy v rov. [2-53] středováním zřejmě dává nulu vy = 0 = -<ů2Qvy - co2 cos%0 ± rL coscoct). 12-541 Rozkladem kosinu dostáváme cos k(y0 ± rL cos wct = cos (ky0) cos (krL cos wcí) + + sin (fcy0) sin (krL cos a)ct). 12-55| Bude dostačovat, rozebereme-li případ malého Larmorova poloměru krL <š 1. Taylorův rozvoj cos £ = 1 — ^£2 + ... sin e = s + ... 12-56] dovoluje nám psát cos k(y0 ± rL cos oj) x (cos ky0) (1 - f/c2r2 cos2 coct) + + (sin ky0) krL cos coct. Poslední člen vymizí při středování přes čas a rov. [2-54] dává vy = — §(cosfcy0)(l - {k2rl) = - ^(1 - ifc2r2). B [1-57] Obyčejný drift v polích £ x b (stručně: e x b drift) je tak nehomogenitou modifikován na tvar e x b . . , ,, v£ = -gT-(l-í*2rL). I2"58' Snadno nahlédneme fyzikální smysl. Ion, jehož gyrační střed se nachází v maximu £, ve skutečnosti značnou část času stráví v oblastech, kde je £ slabší. Jeho střední drift je tedy menší než hodnota E\B v místě gyračního středu. V lineárně proměnném poli £ by ion na jedné straně 47 48 Pohyby jednotlivých částic orbitu byl v silnějším poli a na druhé straně v poli o stejnou část slabším, takže opravný člen k vE se zruší. Z toho je zřejmé, že opravný člen závisí na druhé derivaci E. Pro sinusový průběh, který jsme předpokládali, je druhá derivace vzhledem k E vždycky záporná. Pro libovolně se měnící £ je pouze třeba ik nahradit V a rov. [2-58] zapsat £ x B |2-59| Druhý člen se nazývá efekt konečného Larmorova poloměru. Jaký je význam této opravy? Poněvadž rL je daleko větší pro ionty než pro elektrony, není už vE nezávislé na druhu částic. Objeví-li se v plazmatu nějaké zhuštění, může elektrické pole způsobit, že se elektrony a ionty oddělí a vytvoří tak další elektrické pole. Existuje-li mechanismus zpětné vazby, jimž sekundární elektrické pole zvyšuje pole primární, £ neomezeně poroste a plazma bude nestabilní. Takovou nestabilitou nazývanou driftová nestabilita se budeme zabývat v jedné z příštích kapitol. Grad-B drift je ovšem rovněž efektem konečného Larmorova poloměru a vede rovněž k separaci nábojů. Avšak podle rov. [2-24] je vVB úměrné krL, zatímco opravný člen v rov. [2-58] je úměrný k2r2. Efekt nehomogenního pole E je tedy významný při relativně velkém k neboli při malých rozměrech nehomogenity. Proto driftové nestability náležejí k obecnější třídě nestabilit nazývaných mikro-nestability. 2.5 ČASOVÉ PROMĚNNĚ £ POLE Nechť jsou nyní £ a B prostorově homogenní ale proměnná v čase. Uvažujme nejprve případ, kdy se sinusově mění s časem pouze E. Nechť má směr osy x £ = E0 ť°"x. Protože Éx = icoEx, můžeme rov. [2-50] psát ico £, Definujme ico £T K = ±--í. p co B 12-601 12-61| B [2-62| kde jsme připsali vlnovky pouze pro zdůraznění, že drift osciluje. Horní Časové proměnné E pole 49 (spodní) znaménko označuje jako obvykle kladné (záporné) q. Rov. [2-50] a [2-51] nyní přecházejí v vx= -«0cK-»p). vy=-co2c{vy-vE). 12-631 Podobně jako v rov. [2-12].chceme najít řešení, které bude součtem driftu a rotačního pohybu vx = vL ei<0c' + vp, vy - ±ivleimc* + vE. I2-64] Budeme-li nyní dvakrát derivovat podle času, dostaneme t>; = -a>lvy + (co2 -ío2)ve. To není týž výsledek jako rov. [2-63], pokud neplatí co2 < co2. Před-pokládáme-li, že E se mění pomalu, takže co2 4 co2, je rov. [2-64] přibližným řešením rov. [2-63]. Rovnice [2-64] nám říká, že pohyb gyračního středu má dvě složky, y-ová složka, kolmá na B a E, je obyčejný E x B drift s tím rozdilem, že vE nyní pomalu osciluje s frekvencí co. x-ová složka, nový drift ve směru E, se nazývá polarizační drift. Nahradíme-li ico derivací djdt, můžeme zobecnit rov. [2-62] a polarizační drift definovat jako 1 dE vo = ±--r- p co B dí [2-661 Protože vp má pro ionty a elektrony opačný směr, vzniká polarizační proud; pro Z = 1 je ne ,.. .dE q dE h = "e(vip-vJ = ~2(M + m)- = T2-, kde q je měrná hmotnost. |2-67| Polarizační drift. OBR. 2-12 Fyzikální smysl polarizačního driftu je prostý (obr. 2-12). Představme si nepohybující se ion v magnetickém poli. Je-li náhle zapnuto pole £, 50 Pohyby jednotlivých částic začne se ion nejprve pohybovat ve směru E. Teprve když nabere rychlost v, pocítí Lorentzovu sílu evxB a začne se podle obr. 2-12 pohybovat směrem dolů. Zůstává-li nyní E konstantní, žádný drift vp už nebude dál existovat, nýbrž jenom drift vE. Obrátí-li se však £, vznikne opět okamžitý drift, tentokrát doleva. vp je tedy driftem zapnutí, je způsoben setrvačností a objevuje se pouze v prvé polovině cyklu každého oběhu, během nějž se E mění. vp jde tudíž k nule s wjcoc. Jev polarizace v plazmatu se podobá polarizaci v pevném dielektriku, kde D = £0E + P. Dipóly jsou v plazmatu ionty a elektrony oddělené na vzdálenost rL. Protože se ale ionty a elektrony pohybují tak, aby zachovaly kvazineutralitu, nevede časově konstantní E pole ke vzniku polarizačního pole P. Osciluje-li však E, vede opožďování iontů v důsledku jejich setrvačnosti ke vzniku oscilujícího proudu / . 2.6 ČASOVÉ PROMĚNNÉ B POLE Dovolíme konečně magnetickému poli, aby se měnilo s časem. Protože Lorentzova síla je vždycky kolmá na v, nemůže magnetické pole samo od sebe předávat nabité částici energii. B však souvisí s elektrickým polem V x E = -B 12-68] a to už může částice urychlovat. Nemůžeme nadále předpokládat, že tato pole jsou naprosto homogenní. Nechť v± = d//dí je příčná rychlost, kde / je element dráhy podél trajektorie částice (při zanedbané vn). Skalární součin pohybové rovnice [2-8] s vx nám dává 12-691 Integrací přes jednu periodu dostaneme změnu připadající na jeden oběh '2íc/o>t qB.-dt. Mění-li se pole pomalu, můžeme integraci podle času nahradit křivkovým integrálem přes neporušený orbit 5£mv2±) = jiqE.dl = q j(V x E). dS = -q^B.dS. 12-70] Zde S je plocha ohraničená Larmorovým orbitem a má směr daný pravidlem pravé ruky, ukazují-li prsty ve směru v. Protože je plazma diamagne- Časové proměnné £ pole tické, platí B. dS < 0 pro ionty a > 0 pro elektrony. Rov. [2-70] dostává tak podobu ößmvl) = ±qBnrl = ±qnĚ — \mv\ 2nB ~B~'~1ů7' 12-711 0)c ±qB Výraz 2nBjcůc — B\fc je právě změna ÔB, připadající na jednu periodu rotace. Tedy ^Í2mvl) = UÔB. 12-72] Jelikož levá strana je ó\uB), dostáváme požadovaný výsledek ôu = 0. 12-73] V pomalu se měnících magnetických polích je magnetický moment invariantní. Když se intenzita magnetického pole mění, rozpínají se a stahují Larmorovy orbity a částice ztrácejí a získávají energii příčného pohybu. Tato výměna energie mezi částicemi a polem je velmi jednoduše popsána rovnicí [2-73]. Pomocí invariantnosti u můžeme snadno dokázat tento známý teorém Magnetický tok Larmorovým orbitem je konstantní. Tok

= Bn -±- = Bn = —r- 2—± <ů2 q2B2 q2 B a (j> je konstantní, jestliže je konstantní u. 2nm 12-741 51 □ □ Dvoustupňová adiabatická komprese plazmatu. OBR. 2-13 Této vlastnosti využívá jedna metoda ohřevu plazmatu, známá jako adiabatická komprese. Na obrázku 2-13 je schéma uspořádání. Plazma je vstřiknuto do prostoru mezi zrcadla A a B. Cívkami A a B je pak impulsně zvýšeno B a tudíž i v2. Ohřáté plazma pak může být převedeno do prostoru C-D dalším impulsem v cívce A, jímž se zvýší zrcadlový poměr. Impulsy v cívkách C a D potom plazma dále zkomprimují a zahřejí. Někdy se užívá i třetího stupně. Taková zařízení byla ve velkém měřítku instalována v kalifornském Livermoru v Lawrence Radiation Laboratory. 52 Pohyby jednotlivých částic 2.7 PŘEHLED DRIFTŮ GYRAČNÍHO STŘEDU 1 F x B Obecná síla F Elektrické pole Gravitační pole Nehomogenní E Nehomogenní B pole Grad-B drift Drift zakřiveni q B2 E x B w~ m g x B ~q~W Bx\B B2 mu2 Rk x B ~q~ R2B2 Zakřivené vakuové pole vR + vVB = — + fí) P2P2 4 Rk*> Polarizační drift v. = + ■ 1 dE m B dt |2-17| |2-15| |2-18| |2-59| |2-24| [2-26| 12-301 |2-66| 2.8 ADIABATICKÉ INVARIANTY Z klasické mechaniky je známo, že pro každý systém s periodickým pohybem je integrál akce přes jednu periodu jp dq konstantou tohoto pohybu. p a q jsou zde zobecněný impuls a zobecněná souřadnice, jež se při pohybu opakují. Jestliže v systému dochází k pomalé změně, takže pohyb není zcela periodický, konstanta pohybu se nemění a nazýváme ji adiabatický invariant. Slovem pomalý zde rozumíme pomalý ve srovnání s periodou pohybu, takže integrál jp dq je dobře definován, i když to už není přesně vzato integrál po uzavřené křivce. Adiabatické invarianty hrají ve fyzice plazmatu důležitou úlohu; v mnoha případech se složitými pohyby nám umožňují získat jednoduché odpovědi. Existují tři adiabatické invarianty, z nichž každý odpovídá jinému typu periodického pohybu. 2.8.1 Prvý adiabatický invariant, \i S veličinou H = mvlj2B jsme se už setkali a dokázali jsme, že je v prostorově a časově proměnných B polích invariantní. Příslušným periodickým pohybem je samozřejmě Adiabatické invarianty 53 cyklotronní rotace. Jestliže za p dosadíme moment impulsu mvLr a za dq souřadnici dS, je integrál impulsu p dq = <±>mvtrL dS = 2nrLmv1 = 2n nvl m — = 4nnn. 12-751 p. je tedy konstantou pohybu, pokud se nemění qjm. Dokázali jsme inva-riantnost p jenom s tou implicitní podmínkou, že co/coc 4, 1, kde co je frekvence charakterizující rychlost změny B, jak ji vidí částice. Existuje však důkaz, že p je invariantní i pro co < coc. Řečeno s teoretiky, fi je invariantní „pro všechny řády v rozvoji podle cújco". Prakticky to znamená, že během jedné periody rotace se \i mění mnohem méně než B. Je právě tak důležité vědět, že neexistuje adiabatický invariant, jako kdy existuje. Adiabatická invariantnost p. je porušena, jestliže co není ve srovnání s coc malé. Ukážeme tri případy, kdy k tomu dochází. (A) Magnetické čerpání. Jestliže se v zrcadlovém systému sinusově mění intenzita B, bude oscilovat vx částic; ale z hlediska delšího časového úseku částice nezískají žádnou energii. Dojde-li však ke srážce částic, poruší se invariantnost p. a plazma může být zahřáto. Zvláště částice srážející se během komprese může přeměnit část své rotační energie v energii spojenou s v^, a ta jí už není během expanzní fáze odňata. (B) Cyklotronní ohřev. Představme si nyní, že B pole osciluje s frekvencí coc. Indukované elektrické pole se pak bude otáčet ve fázi s některými z částic a bude spojitě zrychlovat jejich larmorovský pohyb. Podmínka co ^ coc je porušena, \i není zachováno a plazma může být zahřáto. (C) Vstřícná zrcadla. Jestliže v jedné z cívek jednoduchého systému zrcadel obrátíme proud, vznikne systém vstřícných zrcadel (obr. 2-14). Proti obyčejným zrcadlům má toto uspořádání navíc azimutální magnetické AZIMUTÁLNf ZRCADLO (OBRUČ) OBYČEJNÉ ZRCADLO OSA SYMETRIE Plazma držené ve vstřícných magnetických zrcadlech. OBR. 2-14 54 Pohyby jednotlivých částic zrcadlo ve tvaru obruče. Plazma uzavřené v takovém přístroji by mělo být stabilnější než v obyčejném zrcadle. Žel ztráty únikovým kuželem jsou daleko větší, částečně proto, že vznikla dodatečná úniková oblast a částečně proto, že pohyb není adiabatický. Jelikož ve středu symetrie B pole vymizí, a>c je tam nulové a fi se nezachovává. V blízkosti středu je lokální Larmorův poloměr větší než rozměry přístroje. Částice nacházející se v rychlostním prostoru mimo únikový kužel se může po projití neadia-batickou oblastí vynořit s vjv^ uvnitř únikového kuželu. Přesnou trajektorii lze nalézt jedině pomocí samočinného počítače. 2.8.2 Druhý adiabatický invariant, J Představme si částici uzavřenou mezi dvěma magnetickými zrcadly: odráží se od nich a vykonává tak periodický pohyb s určitou odrazovou frekvencí. Konstantou tohoto pohybu je jmv ds, kde ds je element dráhy (gyračního středu) podél siločáry. Protože však gyrační středy driftují napříč siločar, není tento pohyb přesně periodický a konstanta pohybu se stává adiaba-tickým invariantem. Nazývá se podélný invariant* J a je definován pro půlku cyklu od jednoho místa odrazu do druhého (obr. 2-15) 12-761 OBR. 2-15 Čistíce kmitající mezi body obrátky a a b v poli magnetických zrcadel. OBR. 2-16 Pohyb nabité částice v magnetickém poli Země. též longitudinální invariant — pozn. překl. Adiabatické invarianty 55 Dokážeme, že v časově konstantním nehomogenním B poli je J invariantem; výsledek platí i pro pole měnící se pomalu s časem. Dříve než se do tohoto poněkud zdlouhavého důkazu pustíme, probereme si jeden případ patřící k těm typům problémů, v nichž bude teorém o invariantnosti J užitečný. Jak jsme již viděli, magnetické pole Země zachycuje podobně jako zrcadla nabité částice, které se pomalu driftově pohybují podél rovnoběžek okolo Země (úloha 2-5; viz obr. 2-16). Kdyby magnetické pole bylo naprosto symetrické, částice by se případně dostaly driftem zpět k téže silokřivce. Skutečné pole je však pokřivené takovými jevy, jako je sluneční vítr. Dostane se za takové situace nějaká částice vůbec kdy zpět k téže siločáře? Protože se energie částice zachovává a v místě obrátky je \mv\, z invariantnosti /í plyne, že v místě obrátky je vždy stejné \B\. Při driftovém pohybu zpět by se na téže zeměpisné délce částice mohla nacházet na jiné siločáře, v jiné výšce. K tomu však nemůže dcjít, zachovává-li se J. J určuje délku siločáry mezi dvěma obrátkami a pro jednu zeměpisnou délku neexistují takové dvě siločáry, jejichž délka mezi dvěma body s týmž \B\ by byla stejná. Z toho plyne, že se i v slabě nesymetrickém poli částice vrátí k téže silokřivce. ôs' b Důkaz invariantnosti J. OBR. 2-17 Dokážeme invariantnost J. Nejprve ukážeme invariantnost výrazu vv ôs, kde ôs je úsek dráhy podél B (obr. 2-17). Následkem driftu gyračního středu bude částice nacházející se na s po jisté době At na jiné siločáře ôs'. Délka ôs' je určena rovinami kolmými na B, procházejícími koncovými body úseku ôs. Délka ôs je zřejmě úměrná poloměru zakřivení ôs ôs' K takže ôs' - ôs Rí M ôs At.Rk „Radiální" složka rychlosti vgs je tedy rk Rk — Rk ts'Rk Z rov. [2-24] a [2-26] dostáváme AtRk b x VB mv\ rk x b "VB + VR = ±XľL-+ B2 R2B2 [2-77| (2-781 [2-79| 56 Pohyby jednotlivých částic Poslední člen nemá složku ve směru Rk. Užijeme rov. [2-78] a [2-79] a rov. [2-77] přepíšeme do tvaru 1 d c Rk 1 m vl /» Rk ^ď75s = v-^ = 2«^BxV^r 12-801 To je rychlost změny ôs, jak se jeví částici. Nyní musíme vypočítat rychlost změny složky »||, jak ji pozoruje částice. Energie rovnoběžného a energie kolmého pohybu jsou definovány »11 tedy můžeme napsat "S = l(2lm)(W-vB)Y». V tomto výrazu jsou Wa/i konstantní a měni se pouze B. Tudíž 1' fiB 1 nB fiB 2 W- fiB 1 fiB 2W' mvr. |2-81| 12-82] [2-83| Protože jsme považovali B za časově konstantní, je B nenulové jenom v důsledku pohybu gyračního středu . dB dr . mv] r x b dr dt gs q K?B2 Tak dostáváme fi (rk x b). VB _ 1 m »J_ (b x VB).rk »„ ~ q R\B2 ~2~q~B Relativní změna ôs je tedy RlB2 1 »1, 5s dt ("li fa) = TI 1 d<5s 1 dv ■ + — ■ |2-84| 12-851 12-861 ôs dt ' dt Z rovnic [2-80] a [2-85] je vidět, že se tyto dva členy zruší, takže »H ôs = konstanta. [2-87] To však není, přesně vzato, totožné s tvrzením, že J je konstantní. Při integraci vn ôs od jednoho bodu obrátky k druhému se může stát, že body obrátky na ôs' nekoincidují s průsečíky s kolmými rovinami (obr. 2-17). Avšak každá chyba v J, která z takové nepřesnosti vznikne, je zanedbatelná, protože »je v blízkosti bodů obrátky skoro nulové. Dokázali jsme tudíž, že = ľ Ľll Ja ds = konstanta. 12-881 Příkladem porušení invariantnosti J je metoda ohřevu plazmatu nazvaná magnetické čerpání na průletové frekvenci. Představme si, že cívky Adiabatické invarianty 57 zrcadlového systému jsou napájeny střídavým proudem, takže zrcadla se přibližně s průletovou frekvencí částice k sobě přibližují a vzdalují. Takové částice, které budou mít správnou průletovou frekvenci, se setkají vždycky s přibližujícím se zrcadlem a jejich »n poroste. V tomto připadě se J nezachovává, protože změna B se už nejeví jako pomalá ve srovnání s dobou mezi dvěma odrazy od zrcadel. Třetí adiabatický invariant, 4> 2.8.3 Vraťme se k obr. 2-16. Pomalý drift gyračního středu kolem Země představuje třetí typ periodického pohybu. Ukazuje se, že adiabatickým invariantem s tímto pohybem spojeným je celkový magnetický tok (j> plochou obemknutou touto driftovou drahou. Je celkem zřejmé, že jak se b bude měnit, bude se částice držet při takovém povrchu, že celkový počet obemknutých siločar zůstane konstantní. Invariant

můžeme citovat jistou práci z nedávné doby, pojednávající o excitaci hydromagnetických vln v ionosféře. Tyto vlny mají dlouhou periodu ve srovnání s dobou driftu částice okolo Země. Částice tedy může potkávat takovou vlnu pokaždé v téže fázi. Při vhodné fázi se bude energie driftu částice přeměňovat v energii vln a vlna bude buzena. 2-8. Odvoďte výsledek úlohy 2-7(b) přímo užitím invariantnosti /. (a) Označte ji^ ds ~ u(|L a derivujte podle času. (b) Z toho vyjádřete T pomocí dL/dí. Odpověd obdržíte, položíte-li dL/dí = — 2vs. 2-9. Při ohřevu plazmatu adiabatickou kompresí invariantpost fi vyžaduje, aby se KTL zvětšovalo s růstem B. Magnetické pole však nemůže částice urychlovat, protože Lorentzova síla qv x B je vždycky kolmá na rychlost. Jak tedy částice energii získávají? ÚLOHY I Vztah fyziky plazmatu k teorii elektromagnetismu Kapitola třetí PLAZMA JAKO SMĚS TEKUTIN ÚVOD Situace v plazmatu je daleko komplikovanější, než jak jsme ji popsali v předchozí kapitole. £ a B pole nejsou předem dána, ale určují je rozmístění a pohyby samotných částic. Musíme řešit self-konzistentní* problém, tzn. musíme nalézt soubor trajektorií částic a konfigurací polí tak, aby tato pole byla vytvářena částicemi při jejich orbitálním pohybu a aby částice byly těmito poli nuceny pohybovat se právě v těchto orbitech. A to vše se mění s časem! Řekli jsme si, že typické hustoty plazmatu jsou asi 1018 iontově elektronových párů v m3. Kdyby se každá z těchto částic pohybovala po složité trajektorii a bylo by nezbytné vysledovat každou z nich, byla by předpověď chování plazmatu úlohou bez naděje na úspěch. Naštěstí to obvykle není nutné, protože překvapivou většinu — snad až 80 % — jevů pozorovaných v reálných experimentech můžeme vysvětlit dosti hrubým modelem. Je to model užívaný mechanikou tekutin; nehledí se v něm na identitu jednotlivé částice a sleduje se pouze pohyb elementů tekutiny. V případě plazmatu tato tekutina ovšem obsahuje elektrické náboje. V obyčejné tekutině se částice navzájem velmi rychle srážejí a udržují tak při pohybu objemový element tekutiny pohromadě. Je až překvapující, že tento model vyhovuje i pro plazma, v němž dochází ke srážkám obyčejně daleko méně často. Ale ukážeme si, že to má svou příčinu. Tato kniha se z větší části věnuje tomu, co vyplývá z teorie tekutin aplikované na plazma. Vytříbenější přístup — kinetická teorie plazmatu — self-consistent = (angl.) sám se sebou se shodující — pozn. prekl. se neobejde bez množství výpočtů a nehodí se proto pro úvodní kurs. Úvod do kinetické teorie je podán v kapitole 7. V některých případech není ani teorie tekutin, ani kinetická teorie schopná popsat chování plazmatu, a pak je nutno přistoupit k oné únavné práci sledovat trajektorie jednotlivých částic. S moderními samočinnými počítači je to možné, jejich paměť však stačí na uložení souřadnic polohy a rychlosti jenom pro přibližně 104 částic a až na výjimky lze řešit pouze jedno nebo dvourozměrné problémy. Nicméně simulační metody začaly v nedávné době hrát důležitou roli a vyplňují mezeru mezi teorií a experimentem v té oblasti, kde se ani kinetická teorie nemůže dostat blíže k vysvětlení pozorovaných jevů. VZTAH FYZIKY PLAZMATU 3.: K OBYČEJNÉ TEORII ELEKTROMAGNETISMU Maxwellovy rovnice 3.: Ve vakuu e0V. E = a, [3-U VxE=-B, 13-21 V.B = 0, 13-31 -VxB=j + £. 13-41 V hmotném prostředí V. D = o-, |3-5l V x E = -B, [3-6] V . B = 0 , 13-71 V x H =/ + Ď, 13-8) D = eE , 13-91 B = fíH. [3-101 a av rov. [3-5] a [3-8] znamenají hustotu „volného" náboje a proudu. „Vázaný" náboj a proud vznikající polarizací a magnetizací prostředí jsou zahrnuty v definici veličin D a H prostřednictvím s a /i. V plazmatu odpovídají těmto „vázaným" nábojům a proudům ionty a elektrony; protože se však tyto náboje pohybují komplikovaným způsobem, bylo by nepraktické snažit se zahrnout všechny tyto efekty do dvou konstant £ a fi. Ve fyzice plazmatu se proto obyčejně pracuje s rovnicemi pro vakuum [3-1] - [3-4], v nichž o- a j zahrnují všechny náboje a proudy, vnější i vnitřní. Povšimněme si, že jsme v rovnicích pro vakuum užili E a B a nikoliv D a H. To proto, že skutečně měřitelné veličiny, síly qE a / x B, závisí na E a B a nikoliv na D a H, a to i tam, kde e = e0 a y. = /x0. 60 Plazma jako směs tekutin Vztah fyziky plazmatu k teorii elektromagnetismu 61 3.2.2 Magnetické látky v klasickém pojetí Protože každá rotující částice má magnetický moment, mohlo by se zdát, že by bylo logické považovat plazma za magnetickou látk i s permeabi-litou |im. (Připsali jsme k permeabilitě písmenko m, abychom ji odlišili od adiabatického invariantu /*.) Abychom poznali, proč se takto nepostupuje, připomeňme si, jakým způsobem se magnetické látky obvykle popisují. Feromagnetické domény např. kousku železa mají magnetické momenty nt, jež vedou ke vzniku objemové magnetizace 13-11] v jednotce objemu. Její účinek je týž jako účinek vázaného proudu o hustotě jm = V x -VI. 13-12] V rovnici [3-4] pro vakuum musíme do j zahrnout jak tento proud, tak i „volný", neboli vtištěný proud /'v 1 /*<> v x b = /v+ L + «0£- 13-13] 13-14] 13-151 Rovnici [3-13] chceme zapsat v jednoduchém tvaru V x H = jv + 60É, kde by jm bylo zahrnuto v definici h. Toho docílíme položením 1 H = —B — M. Abychom dostali jednoduchý vztah mezi b a H, předpokládejme, že M je úměrné b, neboli h M = xmH. 13-16] Konstantu xm nazýváme magnetickou susceptibilitou. Tak dostáváme b = A co se £r blíží jedné, to proto, že polarizační drift vp mizí, tím mizí i odezva pohybu částic na příčné elektrické pole. Druhý člen v rov. [3-28] je v běžném laboratorním plazmatu velký ve srovnání s jednou. Je-li např. n = 10 m 3 a B = 0,1 T, dostáváme pro vodík (1016)(1,67 x 10"27) g nB2 = 189. (8,85 x HT12)(10-2) To znamená, že elektrické pole vzbuzené nabitými částicemi plazmatu podstatně mění pole přiložené z vnějšku. Plazma s velkým er odstíní střídavé pole, podobně jako plazma s malým AD odstíní stejnosměrné pole. ÚLOHY 1.3-1. Z Poissonovy rovnice [3-1], rovnice kontinuity [3-24] a z rovnice [2-67] odvoďte nízkofrekvenční dielektrickou konstantu (výraz [3-28]) pro homogenní plazma tím, že položíte. V. D = V(sE) = 0. 3-2. Iontovou cyklotronovou frekvenci označme Í2C a plazmovou frekvenci iontů definujme í2p = (ne2/MEo)"2, kde M je hmotnost iontu. Za jakých podmínek bude platit, že dielektrická konstanta £r se rovná přibližně fí^/í?*? 3.3 POHYBOVÁ ROVNICE TEKUTINY Maxwellovy rovnice nám dávají odpověd na otázku, jaká E a B pole vzniknou při daném stavu plazmatu. Abychom mohli řešit self-konzistentní problém, musíme mít ještě rovnici, která popíše odpověd plazmatu na Pohybová rovnice tekutiny daná E a B. V tekutinovém přiblížení vycházíme z představy, že se plazma skládá ze dvou nebo více vzájemně se prostupujících tekutin; každému druhu částic přísluší jedna tekutina. V nejjednodušším případě, kdy je v plazmatu jenom jeden druh iontů, budeme potřebovat pohybové rovnice pro dvě tekutiny, jednu pro tekutinu kladně nabitých iontů a jednu pro tekutinu záporně nabitých elektronů. V částečně ionizovaném plynu budeme potřebovat ještě rovnici pro tekutinu neutrálních atomů. K vzájemnému působení mezi tekutinou neutrálních částic na jedné straně a ionty a elektrony na straně druhé bude docházet jenom prostřednictvím srážek. Tekutiny iontů a elektronů budou na sebe působit i tehdy, kdy ke srážkám nedochází, prostřednictvím E a B polí, která samy vytvářejí. Pohybová rovnice pro jednu částici je dv m — = q(E + v x B). Předpokládejme nejprve, že nedochází ke srážkám a že neexistují tepelné pohyby. Pak se všechny částice v objemovém elementu tekutiny pohybují společně a střední rychlost u částic v elementu je táž, jako rychlost jednotlivé částice v. Rovnici pro tekutinu dostaneme jednoduše vynásobením rov. [3-29] hustotou n mn—= qn(E + u x B). 13-30] Tento tvar však není pro náš účel vhodný. V rovnici [3-29] se časová derivace vztahuje na souřadný systém pohybující se s částicí. My ale naopak potřebujeme rovnici pro elementy tekutiny, které jsou v prostoru pevné; jiný postup by byl nepraktický. Představme si, že elementem tekutiny je kapka smetany v šálku s kávou. Pří míchání se kapka pokřiví, protáhne do vláken a konečně se rozptýlí po celém šálku a ztratí svou identitu. Element tekutiny na pevném místě v šálku však svoji identitu zachovává, i když do něj částice spojitě vcházejí a zase vycházejí ven. Provedme transformaci do proměnných v pevném souřadném systému. Libovolnou vlastnost tekutiny v jednorozměrném prostoru se souřadnicí x označme G(x, t). Časová změna G v souřadném systému pohybujícím se s tekutinou se vyjádří dvěma členy dG(x, t) dř dG dG dx ~dt + dx dt dG ÔG dt dx 13-311 Prvý člen vpravo představuje změnu G v pevném bodě v prostoru, druhý vyjadřuje změnu G, jak by ji zaznamenal pozorovatel pohybující se s teku- 63 Konvektivní derivace 3.3.1 13-291 T? 64 Plazma jako směs tekutin tinou do oblasti, v níž má G odlišnou hodnotu. V trojrozměrném prostoru má rov. [3-31] obecnější tvar dG dG . . — = —+ (u.V G. dt dt v ' |3-.12| Tento výraz nazýváme konvektivní derivací a někdy ho zapisujeme DG/Df. Všimněme si, že (u. V) je skalární diferenciální operátor. Poněvadž znaménko tohoto členu je někdy zdrojem nedorozumění, ozřejmíme si je na dvou jednoduchých příkladech. TEPLÁ OBR. 3-1 Pohyb elementů tekutiny v ohřívači vody. MOŘE OBR. 3-2 Smír gradientu slanosti při ústí řeky. Na obrázku 3-1 je elektrický ohřívač vody, y němž horká voda stoupá vzhůru a chladná klesá ke dnu. Nechť G(x, í) je teplota T, VG pak míří vzhůru. Sledujme element tekutiny v blízkosti stěny nádoby. Je-li topné těleso zapnuto, je element tekutiny při pohybu zahříván a platí dTjdt > 0. Pohybová rovnice tekutiny Jestliže navíc vrtulka rozproudí tekutinu tak, jak je naznačeno na obrázku, sníží se teplota v pevném elementu tekutiny konvekcí chladné vody zespoda. V tom případě je dT\ôx > 0 a ux > 0, tzn. u. VT > 0. Změna teploty v pevném elementu BTjdt je výsledkem těchto dvou procesů působících proti sobě 8T dT _-_-„. VT. ,-33, Je zřejmé, že alespoň po nějakou krátkou dobu může být dT/Bt rovno nule. V druhém příkladu považujeme G za míru slanosti vody S v blízkosti ústí řeky (obr. 3-2). Je-li x směr proti proudu, je normální gradient S takový, že dS/dx < 0. Při přílivu se celé rozhraní mezi slanou a čerstvou vodou posune proti proudu, ux > 0. Potom ÔS ÔS 'dx > 0 |3-34| 65 a to znamená, že slanost vzrůstá v každém místě. Při dešti se ovšem slanost všude zmenšuje a ke střední části rov. [3-34] musíme přičíst záporný člen dS/dí. V případě plazmatu vezměme za G rychlost tekutiny u a zapišme rov. [3-30] takto ~ôu 1 mn — + (u . V) u = qn(E +uxBj, |3-35| kde dujdt je derivace podle času v pevném souřadném systému. Tenzor napětí 3.3.2 Vezmeme-li v úvahu i tepelný pohyb, musíme k pravé straně rov. [3-35] přidat tlakovou sílu. Tato síla vzniká chaotickým pohybem částic směrem do elementu tekutiny a ven z něj a v rovnici pro jednu částici nevystupuje. Nechť element tekutiny Ax Ay Az má střed v bodě (x0, ^Ay, \Az) (obr. 3-3). x0- Ax xo x0 + Ax Elementy tekutiny — k výkladu tenzoru napětí. OBR. 3-3 66 Plazma jako směs tekutin Pro jednoduchost budeme uvažovat jenom x-ovou složku pohybu ploškami A a B. Počet částic, jež za vteřinu projdou ploškou A rychlostí vx, je Anv vx Ay Az, kde A«„ je počet částic v jednotce objemu, jež mají rychlost vx An.. = Aľ )dvávz. Hybnost každé z částic je mvx. O hustotě n a teplotě KT v každém z elementů předpokládáme, že se vztahují ke středu elementů. Hybnost PA+ vcházející ploškou A do elerr ;ntu v místě x0 je tedy PA+ = mvl Ay Az = Ay Az[mt>2 . ±n]x |3-36| Sečtením přes všechna Anv dostaneme střední hodnotu v\ přes celé rychlostní rozdělení. Faktor ^ zde vystupuje proto, že jenom polovina částic v elementu v místě x0 — Ax směřuje směrem k plošce A. Podobně hybnost přenášená ploškou B je PB+ = AyAz[mvl.\n~]Xo. Čistý zisk x-ové složky hybí osti od částic pohybujících se doprava je PK+ - PB+ = AyAz>(KLo_Ä, - [nič]J = Ay Az. \m{ - Ax) — (rivj). |3-37| Tento výsledek se zdvojnásobí příspěvkem částic pohybujících se doleva, jež nesou sice zápornou x-ovou hybnost, ale také se pohybují opačným směrem vzhledem ke gradientu m?. Úplná změna hybnosti elementu tekutiny v místě x0 je tedy 3 č — (nmux) Ax Ay Az = — m — (mSJ) Ax Ay Az. |3-3X| Rozložme rychlost částice vx na dvě komponenty »x = "* + ^ • ux = v*> kde ux je rychlost tekutiny a je chaotická tepelná rychlost. Pro jednorozměrné Maxwellovo rozdělení máme podle rov. [1-7] 2mixx |.VW| a rovnice [3-38] dostává tvar g g _ _ _ 3 -{nmux) = -m — [n{iŕx + 2uv„ + v2J] = -m — KT Pohybová rovnice tekutiny 67 Po parciálním derivování dux ôn d(nux) dux mn —— + mur — = —mu, —--mnu —— St xdt dx x ôx ■ — (nKT) |.V4(»| a použijeme-li rovnici kontinuity 5" S . . Tt+c-x^ = Q' 13-411 zruší se členy nejblíže rovnítka na obou stranách rovnice [3-40]. Definu-jeme-li tlak dostáváme konečně p s nKT mn[-87 + u> Sú, dx ôx' |.V42| To je známá síla způsobená gradientem tlaku. Přičtením elektromagnetických sil a zobecněním na tři dimenze dostáváme rovnici pro pohyb tekutiny ~*» ■ -v 1 qn(E + u x B) - Vp. St + (u.V)u |3-44| To, co jsme odvodili, je pouze speciální případ: přenos x-ové složky hybnosti pohybem v x-ovém směru; přitom jsme tekutinu považovali za izotropní, takže týž výraz platí i pro y-ový a z-ový směr. Je však možné například i to, aby y-ová složka hybnosti byla přenášena pohybem v x-ovém směru. Předpokládejme, že uy je nulové v rovnoběžnostěnu x = x0 na obr. 3-3, ale je kladné po obou stranách. Když se potom částice ploškami A a B stěhují tím i oním směrem, přinášejí větší kladnou y-ovou složku, než odnášejí a element tekutiny tak získává hybnost v y-ovém směru. Toto střižné napětí nemůžeme vyjádřit jako skalár p, ale musíme je chápat jako tenzor P, tenzor napětí*, jehož složky Ptj = mn v^j udávají směr pohybu i složku hybnosti. V obecném případě se člen — Vp nahradí výrazem — V. P. Nebudeme zde uvádět tenzor napětí v obecném tvaru, zmíníme se jenom o dvou nejjednodušších případech. Je-li rozdělovači funkce izotropní maxwellovská, má P tvar 0 0\ |3-45| Termín napětí pochází z nauky o pružnosti, tj. byl zvolen pro popis pevných látek. Představa „napínání" není pro plyn — tedy ani pro plazma — právě nejvýstižnějši. Krom toho se tu pojem napětí střetává s elektrickým napětím. Přesto užíváme tyto termíny, protože je to v české literatuře běžné. Pozornější čtenář zmaten nebude už proto, že prvý termín se vyskytuje jenom ve spojeni tenzor napětí — pozn. překl. 68 Plazma jako směs tekutin a V.P je právě Vp. V oddíle 1.3 jsme hovořili o tom, že v přítomnosti magnetického pole může plazma mít dvě teploty ^ a Ijľ V takovém případě existují i dva tlaky px = nKTL a = nKT^. Tenzor napětí je potom /Pí o 0 p = l |3-46| ,0 P± o , \0 0 pj kde souřadnice třetího řádku či sloupce je ve směru B. Matice je stále diagonální a v rovině kolmé na B vykazuje izotropii. V obyčejné tekutině se mimodiagonální složky většinou týkají viskozity. Jestliže se částice srážejí, opouštějí element se střední rychlostí ve směru rychlosti tekutiny u v bodě, kde došlo k poslední srážce. Tato hybnost se v příští srážce přenese na jiný element' tekutiny. Tento proces směruje k vyrovnávání u v různých bodech a to, co intuitivně chápeme jako viskozitu, je výsledný odpor střižnému toku. Čím větší je střední volná dráha, tím dál se hybnost přenáší a tím větší je viskozita. V plazmatu existuje podobný jev, který se objevuje i tehdy, kdy ke srážkám nedochází. Lar-morovou rotací se částice (zejména ionty) dostávají do odlišných částí plazmatu a snaží se vyrovnat tam rychlosti tekutiny. Velikost této bez-srážkové viskozity je tedy určována Larmorovým poloměrem a nikoliv střední volnou dráhou. Tento efekt konečného Larmorova poloměru se přičítá ke srážkové viskozite a má úzký vztah k driftu v£ v nehomogenním £ poli (rov. [2-58]). 3.3.3 Srážky Je-li kromě nabité tekutiny přítomen i neutrální plyn, vyměňují si ve vzájemných srážkách hybnost. Úbytek hybnosti připadající na jednu srážku je úměrný relativní rychlosti u — o0, kde u0 je rychlost neutrální tekutiny. Jestliže t, průměrná doba mezi srážkami, je přibližně konstantní, můžeme výslednou sílu zhruba zapsat — mn(u — u0)/t. Pohybovou rovnici [3-44] zobecníme, aby obsahovala anizotropní tlak a neutrální srážky + (u.V)u] = qn(E + u x B) — V.P -»±^Ä. |M7| Srážky mezi nabitými částicemi zde nejsou vyjádřeny, o nich pojednáme v 5. kapitole. 3.3.4 Srovnání s obyčejnou hydrodynamikou Pro obyčejné tekutiny platí rovnice Navierova-Stokesova q |j£ + (u .V) uj = -Vp + qv V2u . 13-481 Pohybová rovnice tekutiny 69 Je to táž rovnice jako rovnice plazmatu [3-47] bez elektromagnetických sil a bez srážek mezi různými druhy částic (jde jenom o jeden druh). Viskózni člen é>vV2u, kde v je kinematický koeficient viskozity, je právě srážková část V. P — Vp v nepřítomnosti magnetických polí. Rovnice [3-48] popisuje tekutinu, v níž dochází k častým srážkám mezi částicemi. Rovnice [3-47] však byla odvozena bez jakéhokoliv explicitního výroku o srážkách. Jsou-li tedy tyto dvě rovnice identické až na členy s £ a B, může rovnice [3-47] opravdu plazma popsat? Odpovědí je opatrné ano a jeho zdůvodněním si ozřejmíme, čím je vymezována použitelnost teorie popisující plazma jako tekutinu. Při odvozování rov. [3-47] jsme ve skutečnosti implicitně předpokládali, že ke srážkám dochází, a sice v rov. [3-39], když jsme rozdělovači funkci považovali za maxwellovskou. Takové rozdělení se obyčejně ustaví jako výsledek častých srážek. Tento předpoklad jsme však užili jenom k vyjádření střední hodnoty u2,. Jakékoliv jiné rozdělení s touž střední hodnotou by nám dalo stejnou odpověď. Teorie tekutin není tedy příliš citlivá k odchylkám od maxwellovského rozdělení, i když existují případy, v nichž tyto odchylky důležité jsou. Pak se musí užít kinetická teorie. Empirické pozorování, které provedl Irving Langmuir, rovněž mluví ve prospěch tekutinové teorie. Při práci s elektrostatickou sondou, která je po něm pojmenována, Langmuir zjistil, že rozdělovači funkce elektronů se shoduje s Maxwellovým rozdělením daleko víc, než lze vysvětlit srážkami. Tento jev, nazývaný Langmuirův paradox, se někdy připisuje vysokofrekvenčním oscilacím. Uspokojivé řešení tohoto paradoxu neznáme, ale snad je to jeden z těch mála případů ve fyzice plazmatu, kdy příroda pracuje v náš prospěch. Jinou příčinou toho, že tekutinový model je vhodný pro plazma, je skutečnost, že magnetické pole, pokud je přítomno, hraje v jistém smyslu roli srážek. Kdyby částice byla urychlována např. polem E, zvyšovala by neustále svou rychlost, kdyby jí to bylo dovoleno, jako při volném pádu. Dochází-li však k častým srážkám, dosáhne částice limitní rychlosti úměrné £. Například elektrony v měděném drátu se společně pohybují driftovou rychlostí v = uE, kde u je pohyblivost. Magnetické pole rovněž omezuje zvyšování rychlosti tím, že nutí částice, aby kroužily v Larmorových orbi-tech. Elektrony v plazmatu se také společně pohybují rychlostí úměrnou £, a to driftovou rychlostí vE = E x B/B2. V tomto smyslu se plazma chová jako tekutina s četnými srážkami. Ve směru podél magnetických siločar pohyb částic ovšem nijak omezován není a představa tekutiny se pro něj nijak zvlášť nehodí. Teorie tekutin je dobrým přiblížením pro pohyby kolmé na B. Rovnice kontinuity 3.3.5 Ze zákona o zachování hmoty plyne, že celkový počet částic N v objemu V se může měnit jedině tehdy, jestliže je nenulový výsledný tok částic plo- 70 Plazma jako směs tekutin chou S ohraničující tento objem. Jelikož hustota toku částic je nu, dostáváme ze Stokesova teorému Bt jy 3t J nu. dS — — V.(nu)dV. 13-491 Protože tento vztah musí platit pro jakýkoliv objem V, musí si být rovny integrované výrazy Bn či + V. (nu) = 0. Takováto rovnice kontinuity existuje pro každý druh částic. Jakýkoliv vznik či zánik částic musíme přičíst k pravé straně rovnice. 3.3.6 Stavová rovnice Abychom systém rovnic uzavřeli, potřebujeme ještě jeden vztah. Pro ten účel můžeme užít termodynamickou stavovou rovnici, která vyjadřuje vztah mezi pan P = Qy» 13-511 kde C je konstanta a y je poměr specifických tepel CpjCv. Člen Vp lze tedy vyjádřit takto Vp Vři — = ľ —• 13-521 P n Pro izotermickou kompresi máme Vp = V(nKT) = KT Vn a z toho je zřejmé, že y = 1. Při adiabatické kompresi se bude měnit i KT a pro y dostaneme hodnotu větší než jedna. Jestliže N je počet stupňů volnosti, je y dáno výrazem ■y = (2 + N)JN. 13-531 Má-li platit stavová rovnice, musí být tepelný tok zanedbatelný, tzn. tepelná vodivost musí být malá. A to je opět daleko lépe splněno ve směrech kolmých na B, než ve směru s ním rovnoběžném. Naštěstí pro přiměřený popis většiny základních jevů vystačíme s hrubým vztahem [3-51]. 3.3.7 Úplná soustava rovnic pro tekutinu Nechť má plazma pro jednoduchost jenom dva druhy částic: ionty a elektrony; rozšíření na více druhů je zcela prosté. Hustota náboje a proudová hustota jsou potom dány výrazy x b E x B ~B2~ £ x b drift, diamagnetický drift. 13-631 13-641 P-65| 'tSÄ^í ----- S et,cjcy drift můžeme pomocí rovnice T3 S?l „ vuice zapsat takto "n = + yKT ixVrt eB 13-661 OBR. 3-4 Diamagnetickédr% v cylindrickém plazmatu. Driftové pohyby ve směru kolmém na B i je jednotkový vektor ve směru osy z. V případě izotermního plazmatu s geometrií naznačenou na obr. 3-4, při níž Vn = n'r, dostáváme následující výrazy, dobře známé všem experimentátorům, kteří se zabývali Q-systémem* _ KT, n' Di - ~7T ~ 9 ' eB n _ _ KTt rí eB n Velikost vD snadno vypočteme podle vzorce KT (eV) 1 m=108KT(eV) cm |.V67| |3-68| B (T) Á (m) s B (G) A (cm) s ' kde A je charakteristická délka pro změnu hustoty n\ri vyjádřená v m (nebo cm). ©b © •7n V Q-systému vzniká klidné (quiescentní - odtud označení - pozn. pfekl.) plazma tím způsobem, že atomy Cs nebo K jsou tepelně ionizovány při dopadu na horké wolframové desky. Diamagnetický drift byl poprvé změřen v Q-systémech. 73 Vznik diamagnetického driftu. OBR. 3-5 Fyzikální smysl diamagnetického driftu je zřejmý z obr. 3-5. Zde jsme namalovali orbity iontů rotujících v magnetickém poli; gradient hustoty směřuje doleva, což je naznačeno hustotou orbitu. Každým objemovým elementem se pohybuje více iontů dolů než nahoru, protože ionty pohybující se dolů přicházejí z oblasti s vyšší hustotou. Výsledkem je tedy drift tekutiny kolmý na Vn a na b, i když se gyrační středy nepohybují. Diamagnetický drift mění znaménko s q, protože se mění smysl rotace. Velikost vD nezávisí na hmotnosti, protože závislost rychlosti daná faktorem m""2 se zkrátí se závislostí Larmorova poloměru m~1'2 — při menším Lar-morově poloměru je v jeho dosahu menší změna hustoty. i 74 Plazma jako směs tekutin Poněvadž drift iontů a elektronů má obrácený směr, vzniká diamag-netický proud. Pro y — Z — 1 je dán výrazem B x \n |.V69| Podle časticového modelu bychom neočekávali, že naměříme proud, ne-pohybují-li se driftově gyrační středy, v modelu tekutinovém vzniká proud všude tam, kde je gradient tlaku. Tato dvě hlediska usmíříme, uvědomíme-li si, že všechny experimenty musí být prováděny v plazmatu omezených rozměrů. Předpokládejme, že by plazma bylo v pevné nádobě (obr. 3-6). OBR. 3-6 Drifty častíc v ohraničeném plazmatu a jejich vztah k driftovým pohybům tekutiny. Kdybychom měli vypočítat proud z jednočásticového modelu, museli bychom vzít v úvahu částice na okrajích, které se pohybují po cykloidální dráze. Poněvadž nalevo je více částic než vpravo, výsledný proud míří dolů, což souhlasí s tekutinovým modelem. Z tohoto příkladu vidíme, že práce s jednočásticovým modelem může být dosti záludná, kdežto tekutinový model obvykle dává správné výsledky při prostém správném použití, i když obsahuje „fiktivní" driftové pohyby, jako je diamagnetický drift. Jak to nyní bude s grad-B driftem a s driftem zakřivení, které se objevily v jednočásticovém modelu? V tekutinovém modelu se nevyskytují z následujícího důvodu. Na základě termodynamiky lze ukázat, že magnetické pole neovlivňuje Maxwellovo rozdělení, a to proto, že Lorentzova síla je kolmá na v a nemůže změnit energii částice. Rozdělení f (v), které je nej-pravděpodobnější bez B pole, je rovněž nejpravděpodobnější při nenulovém B poli. Jestliže v nehomogenním B poli je nulový gradient hustoty a / (v) je maxwellovské, pak výsledná hybnost předávaná určitému elementu tekutiny je nulová. Tekutina nevykazuje driftový pohyb, i když jednotlivé gyrační středy se driftově pohybují; driftové pohyby částic se v každém pevně zvoleném elementu tekutiny zruší. Pro nehomogenní E pole by tento Driftové pohyby ve směru rovnoběžném s B 75 závěr neplatil. Efekt konečného Larmorova poloměru, o němž jsme hovořili v oddíle 2.4, by pak způsobil jak drift gyračních středů, tak drift tekutiny, ale ty by nebyly stejné; mají dokonce opačná znaménka! Drift částice jsme počítali ve 2. kapitole a drift tekutiny lze spočítat z nediagonálních komponent P. Bereme-li v úvahu efekty konečného Larmorova poloměru, je nesmírně obtížné smířit tekutinový model s časticovým. Prostý příklad jako na obr. 3-6 nám nepomůže, protože bychom museli rozlišovat tak jemné rozdíly, jako například skutečnost, že při nenulovém gradientu hustoty není hustota gyračních středů táž jako hustota částic! 3-3. Cylindricky symetrický sloupec plaznatu v homogenním B poli má n(r) = = "oexP(-''2/'-o) a"i = n, = n0exp(et příslušející ose. Tento graf je typický V pro experimenty s plazmatem o nízké hustotě a později se na něj odvoláme. (J 3-7. Ukažte, že rov. [3-55] a [3-57] jsou v soustavě Maxwellových rovnic nadbytečné. 3-8. Ukažte, že výraz pro v rov. [3-69] má rozměr hustoty proudu. 3-9. Ukažte, že jestliže proud vypočítaný z časticového modelu (obr. 3-6) souhlasí pro jednu šířku nádoby s proudem vypočítaným z diamagnetického driftu, potom bude souhlasit pro všechny šířky. DRIFTOVÉ POHYBY TEKUTINY 3.5 VE SMĚRU ROVNOBĚŽNÉM S B z-ová složka pohybové rovnice pro tekutinu je 'dv. [i,., . p 8p 13-701 76 Plazma jako směs tekutin Plazmatické přiblížení 77 Konvektivní člen bývá často zanedbán, protože je mnohem menší než člen dvjdt. Vyhneme se zde složitému rozboru a jednoduše se budeme zabývat případem, kdy vz je prostorově homogenní. Užijeme rov. [3-52] a dostáváme dvz q ^ yKT dn dt m 2 mn dz 13-711 To nám říká, že tekutina je podél B urychlována kombinovanými silami, elektrostatickou a gradientem tlaku. Zvlášť důležitý výsledek dostaneme, použijeme-li pro elektrony s nulovou hmotností rov. [3-71]. Vezměme limitu m->0a specifikujme a

\ h-5| kde £ je reálný konstantní vektor. Bývá zvykem zahrnout informaci o fázovém posuvu do £ tím, že dovolíme, aby I bylo komplexní. Můžeme psát E = £ e" em~a,) s £ke,'<*1_°"), kde ^ je komplexní amplituda. Fázový posuv ô můžeme z Ěk znovu vypočítat, neboť Re (£k) = Ě cos ô a Im (Ěk) = £ sin S, takže Im(Ěk) tg ô |4-6| Re(Ěk)' V dalším textu budeme všechny amplitudy považovat za kormlexní a vypustíme index k. Jakoukoliv oscilující veličinu gt zapíšeme «i = gi exp [i(k. r - wt)] , |4-7| takže gl může představovat bud komplexni amplitudu ne^o celý výraz [4-7]. Zmatek tím vzniknout nemůže, protože v lineární teorii vln se na obou stranách každé rovnice objeví týž exponenciální faktor a můžeme jej vykrátit. 4-1. Mezi oscilující hustotou n1 a potenciálem (j>l v „driftové vlnč" platí vztah n, e(pl co* + ia n0 ~ KTC (ů + ia ' kde všechny ostatní symboly (s výjimkou ij představují kladné hodnoty. 79 ÚLOHA 80 Vlny v plazmatu Plazmové oscilace 81 (a) Nalezněte výraz pro fázový posuv ô veličiny tbl vzhledem k n,. (Pro jednoduchost považujte n, za reálné.) (b) Jestliže je co < co*, předchází dt 5vo = 5Eo = 0 dt čt Rovnice [4-12] nyní dostává tvar [dv " "1 14-161 |4-17| Člen (ví. V) vl je kvadratický v amplitudě a jeho škrtnutím rovnici zli-nearizujeme. Lineární teorie platí potud, pokud jfx| je natolik malé, že kvadratické členy jsou opravdu zanedbatelné. Podobně rov. [4-13] dává 1 + V.(n0v1 + nfv,) = 0, dt dn f° -Ji+^V.Vi +»1.¥fco = 0. ct 14-181 U Poissonovy rovnice [4-14] si uvědomme, že v rovnovážném stavu je "■o = "eo a že ionty jsou nepohyblivé (nn - 0), tak dostáváme V.Ej = -enje0. O oscilujících veličinách předpokládáme, že se mění sinusově v, = v, emx-M)x, |4-19| "i — n fJV') nl = nL e E = Ej é |4-2»| Plazmové oscilace Časovou derivaci 8/dt můžeme tedy nahradit faktorem -ica a gradient V faktorem ikx. Rovnice [4-17] —[4-19] nyní přecházejí v — imťtWj = — eEj, — iconl = — n0ikvl, ikEl = —enlle0. Vyloučíme ní a Ej a z rov. [4-21] dostáváme ■imcův, = —e- ie0k — e —n0ikvl n0e2 ■lOJ Bn(Ú Není-li Paulové, musí platit |4-21| |4-22| |4-23| 14-241 £nm Plazmová frekvence tedy je 2\ 1/2 |4-25| Při numerickém výpočtu můžeme užít přibližný vzorec <»p/2k =/P~97n (m"3'2) s"1 |4-26| Tato frekvence, závisející pouze na hustotě, je jedním ze základních parametrů plazmatu. V důsledku toho, že m je malé, je plazmová frekvence obvykle velice vysoká. Napřiklad v plazmatu o hustotě n = 1018 m~3 je /„ » 10(lOl8)l/2 = 1010 s"1 = 10 GHz. Záření na frekvenci /p bývá v oblasti mikrovln. Tuto veličinu můžeme srovnat s jinou elektronovou frekvencí: cgc, pro niž použijeme numerický vzorec /ce — 2,8 x 1010B (T) s"1=28B(T) GHz = 2.8B (kG) GHz. |4-27| Je-li tedy B » 0,35T a n « 1018 m"3, je cyklotronová frekvence přibližně rovna plazmové frekvenci elektronů. Rovnice [4-25] nám říká, že objeví-li se někde plazmové oscilace, musí mít frekvenci závislou pouze na n. Zdůrazněme, že co nezávisí na k, takže grupová rychlost dw/dfe je nula, rozruch se nešíří. Na mechanické analogii (obr. 4-3) si vysvětlíme, jak je to možné. Představme si řadu těžkých kuliček zavěšených na pružinách rozmístěných pravidelně v jednom směru. Jsou-li všechny pružiny stejné, budou všechny kuličky vertikálně kmitat s touž frekvencí. Rozkmitáme-li kuličky s vhodným fázovým posunutím vůči ostatním, mohou vytvářet vlnu postupující v tom či onom směru. Frekvence je pevně dána pružinami, ale vlnová délka může být 84 Vlny v plazmatu OBR. 4-3 Vlna složená ze souboru nezávislých oscilátorů. OBR. 4-4 Plazmové oscilace se v ohraničeném prostředí šíři prostřednictvím elektrického pole na okrajích. zvolena libovolně. Obě nerozkmitané kuličky na koncích tím nebudou ovlivněny, původní rozruch se nebude šířit. Můžeme vytvořit postupnou nebo stojící vlnu jako na napnutém provazu. Vlny na provaze se však musí šířit, protože každý jeho úsek je spojen se sousedními úseky. Tato analogie rení zcela přesná, protože při plazmových oscilacích dochází k pohybům ve směru k a nikoliv kolmo na k. Pokud se však elektrony nesrazí s ionty nebo spolu navzájem, můžeme si je stále ještě představovat jako nezávislé oscilátory pohybující se horizontálně (na obr. 4-3). Ale co bude dělat elektrické pole? Nebude přesahovat oblast původní poruchy a rozkmitá vat sousední vrstvy plazmatu? V našem jednoduchém případě nikoliv, protože elektrické poleje v důsledku stejného počtu kladných a záporných nekonečných rovinných vrstev náboje nulové. V kterémkoliv konečném systému se plazmové oscilace budou šířit. Na obr. 4-4 jsou kladné a záporné čárkované oblasti rovinných plazmových oscilací uzavřeny v cylindrické trubici. Okrajovým elektrickým polem je porucha svázána se sousedními vrstvami a oscilace nezůstanou lokalizovány. ÚLOHY\J 4-2. Vypočtěte plazmovou frekvenci se započtením pohybu iontů, a tak se přesvědčte o správnosti našeho předpokladu, že ionty jsou pevné (návod: započtěte člen níi do Poissonovy rovnice a užijte pohybovou rovnici a rovnici kontinuity pro ionty). 4-3. Vypočítejte fázový posuv S (zkráceně budeme o fázovém posuvu hovořit prostě jako o „fázi") pro v El a t>, v jednoduchých plazmových oscilacích s nepohyblivými ionty a prostoro-časovým faktorem exp[i(fcx- coí)]; fáze nl je nulová. Ilustrujte Elektronově plazmové vlny relativní fáze tak, že nakreslíte sinusové vlny představující nv v £, a vl: (a) jako funkce x, (b) jako funkce t pro mjk> 0 a (c) jako funkce r pro w\k < 0. Povšimněte si, že časový graf lze získat posunováním x-ového grafu správným směrem, jako když vlna míjí pevného pozorovatele. 4-4. Linearizovanou Poissonovu rovnici, kterou jsme užili při odvození jednoduchých plazmových oscilací, napište ve tvaru V.(e£) = 0 a odvodte výraz pro dielektrickou konstantu e použitelnou pro vysokofrekvenční podélné pohyby. ELEKTRONOVÉ PLAZMOVÉ VLNY Existuje ještě jiný efekt, který může způsobit, že se plazmové oscilace šíří, a to tepelný pohyb. Elektrony proudící do přilehlých vrstev plazmatu svými tepelnými rychlostmi přinášejí informaci o tom, co se děje v oblasti oscilací. Plazmové oscilace bychom pak měli správně nazvat plazmové vlny. Tento efekt můžeme snadno započíst přidáním členu -\pc k pohybové rovnici [4-12]. V jednorozměrném případě bude podle rov. [3-53] y rovno třem. Tedy \pc = 3XTeVne = 3KTcV(n0 + „,) = 3KTc-^x a linearizovaná pohybová rovnice je mn0 —= -en0El 14-281 Všimněte si, že jsme při linearizaci zanedbali členy ní ôvljôt a nlEl, jakož i člen (u, . V) Uj. Z rovnic [4-20], [4-28] dostáváme — imam0vi = —en0El — 3KTcikňl. Pro £,an, stále platí rovnice [4-23] a [4-22], máme tedy |4-29| ima>nnv, = en. n0e-enm iks, + 3KTik ia> + 3J^k> ,2 = ,f p H-30| kde v2 = 2KTjm. Frekvence nyní závisí na k a grupová rychlost je konečná Ixo dco = f v2 . 2k dk, dco _ 3 k ,2 _ 3 Vi ~ďk~2wVt ~2 7' 9 I4-.111 86 Vlny v plazmatu Elektronové plazmové vlny 87 Že je vt vždycky menší než c, lehce poznáme z grafu rov. [4-30]. Obrázek 4-5 je grafickým znázorněním disperzního vztahu (o(k), jak je dán rovnicí [4-30], V každém bodě P na této křivce udává sklon přímky vedené počátkem fázovou rychlost o),k. Sklon samotné křivky v bodě P udává grupovou rychlost. Ta je ovšem vždycky menší než (j)1'2která je — v naší nerelativistické teorii — mnohem menší než c. Všimněte si, že při velkých k (malých X) informace postupuje v podstatě tepelnou rychlostí. Pii malých k (velkých X) postupuje informace pomaleji než vv i když v^ je vltší než o,. To je proto, že při velkých A je malý gradient hustoty a tepelný pohyb přenáší velmi malou část hybnosti do sousedních vrstev. O existenci plazmových oscilací se ví od dvacátých let tohoto století, od doby Langmuirovy. Teprve podrobná teorie vypracovaná 1949 Bohmem a Grossem ukázala, jak by se takové vlny šířily a jak by mohly být vybuzeny. (ú A' - OBR. 4-5 Disperzní křivka elektronových plazmových vln (vlny Bohmovy-Grossovy). - 200 V OBR. 4-6 Schéma Looneyova-Brownova experimentu s plazmovými oscilacemi. Jednoduchý způsob, jak vybudit plazmové vlny, by byl přivést oscilující potenciál na mřížku nebo na sérii mřížek v plazmatu, ale oscilátory pracující v GHz oblasti nebyly v té době obecně dostupné. Bylo místo toho nutno užít pro excitaci plazmových vln elektronový svazek. Kdyby byly elektrony ve svazku shlukovány tak, že by nějaký pevný bod míjely s frekvencí / generovaly by touto frekvencí elektrické pole a excitovaly plazmové oscilace. Není nutné tyto elektronové shluky vytvářet předem; jakmile se jednou plazmové oscilace objeví, způsobí shlukování elektronů a oscilace porostou vlivem pozitivního zpětnovazebného mechanismu. První experiment, který tuto teorii testoval, provedli v roce 1954 Looney a Brown. Celé jejich zařízení bylo ve skleněné baňce o průměru asi 10 cm obr. (4-6). Elektrický výboj mezi katodou K a prstencovou anodou A ve rtuťových párách o nízkém tlaku (3 x 10"3 Torr 0,4 Pa) vytvářel plazma zaplňující baňku. Elektronový svazek vznikal v boční trubici, v níž bylo vlákno se záporným předpětím. Emitované elektrony byly urychleny na 200 V a vstřeleny do plazmatu malým otvorem. K zachycení oscilací sloužila pohyblivá sonda z tenkého drátu spojená s přijímačem rádiových vln. Na obr. 4-7, uvádějícím jejich experimentální výsledky, je vyneseno f1 v závislosti na výbojovém proudu, který je obecně úměrný hustotě. Body vykazují lineární VÝBOJOVÝ PROUD (mA) 100 200 300 ~1-1-1- 14x 1015 Druhá mocnina pozorované frekvence v závislosti na hustotě plazmatu, OBR. 4-7 která je v podstatě úměrná výbojovému proudu. Vložený obrázek znázorňuje prostorové rozložení intenzity oscilací, svědčící o rozdílném uspořádám stojatých vln v každé skupině experimentálních bodů. [Převzato z D. H. Looney a S. C. Brown, Phys. Rev. 93, 965 (1954).] 88 Vlny v plazmatu budicí sonda ss[ij] přerušovač £Jss přerušovač signálni' generátor 10-1200 MHz modulátor 500 kHz OBR. 4-8 Schéma experimentálního zařízení pro měření plazmových vln. [Převzato z P. J. Barrett, H. G. Jones a R. N. Franklin, Plasma Physics 10, 911 (1968).) závislost, což je zhruba v souhlase s rov. [4-26]. Odchylky od přímky bychom mohli přisoudit členu k2v2 v rov. [4-30]. Avšak ne všechny frekvence byly pozorovány; k muselo být takové, aby se na délku sloupce plazmatu vešel celý počet půlvln. Na levé straně obrázku 4-7 je znázorněno rozložení stojatých vln. Předpověděné pohybující se plazmové vlny nemohly být v tomto experimentu pozorovány, pravděpodobně proto, že svazek byl tak tenký, že tepelné pohyby vynášely elektrony ven ze svazku a oscilační energie se tak rozplynula. K shlukování elektronů nedocházelo v plazmatu, ale v oscilující stěnové vrstvě na koncích plazmatického sloupce. Tento raný experiment přinesl poučení, že k realizaci podmínek předpokládaných teorií homogenního plazmatu je třeba značné zručnosti. V nedávné době řada experimentů přesně prověřovala Bohmův-Grossův disperzní vztah (rov. [4-30]). Jako příklad moderní experimentální techniky ukážeme výsledky Barrettovy, Jonesovy a Franklinovy. Na obr. 4-8 je schéma jejich aparatury. Cylindrický sloupec klidného plazmatu vzniká v Q-systému tepelnou ionizací Cs atomů na wolframových deskách (nejsou zakresleny). Silné magnetické pole vymezuje pohyb elektronů do směru podél osy sloupce. Vlny jsou vybuzeny oscilátorem, jehož napětí se přivádí Elektronové plazmové vlny 89 na sondu, a na druhé, pohyblivé sondě jsou detegovány. Aby druhá sonda nezachycovala signál, který se z první sondy šíří jako obyčejné mikrovlny (elektromagnetické vlny), je okolo plazmatu kovové stínění, které vytváří vlnovod s mezní frekvencí vyšší, než je užitá frekvence. Postupující vlny jsou sledovány interferometricky: přiváděný a zachycený signál jsou detegovány krystalem, který na výstupu dává velké stejnosměrné napětí, jsou-li signály ve fázi; jsou-li signály fázově posunuty o 90°, je na výstupu nulové napětí. Na obr. 4-9 je výsledný signál jako funkce polohy podél sloupce. Hladina šumu je potlačena užitím synchronní detekce. Excitační, signál je přerušován s frekvencí 500 kHz a zachycený signál by měl mít modulaci rovněž 500 kHz. Detegujeme-li pouze 500kHz-ovou složku zachyceného signálu, odstraníme šum na jiných frekvencích. Ze záznamů výstupního signálu na obr. 4-9 můžeme změřit k. Měníme-li frekvenci oscilátoru co, získáme disperzní křivku, tj. závislost (o)/cop)2 na ka, kde a je poloměr sloupce (obr. 4-10). Jednotlivé křivky jsou označeny hodnotami výrazu u>pajvt. Křivka pro vx = 0 je označena oo a odpovídá disperznímu vztahu co = cop. Pro konečné vt odpovídají křivky závislosti uvedené na obr. 4-5. Mezi experimentálními body a teoretickými křivkami je dobrý n0 = 2x1016 m"3 / = 950 MHz A = 3.5 cm nQ = 4 x 1014 m3 / = 170 MHz Ä = 1.3 cm n0= 1 x 1013 m-3 f = 20 MHz ^ = 5.1 cm Prostorová změna poruchy hustoty v plazmové vlně, indikovaná interferometrem, který násobí okamžité údaje hustot ze dvou sond a zobrazuje jejich časový průměr. Interferometr je naladěn na frekvenci vlny, která se mění s hustotou. Výrazný útlum při nízkých hustotách je způsoben šumem v plazmatu. [Převzato z Barrett, Jones a Franklin, citovaná práce.] OBR. 4-9 90 Vlny v plazmatu Zvukové vlny 1.4 - I U A 1.2 - V „// A / 1.0 / T 8 L w 3 .6 .4 .2 0 i i 10 12 14 16 (ta OBR. 4-10 Porovnání změřených a vypočtených disperzních křivek pro elektronové plazmové vlny ve válci o poloměru a. [Převzato z Barrett, Jones a Franklin, citovaná práce.] OBR. 4-11 Vlnoplochy postupující pod nenulovým úhlem vzhledem k magnetickému poli jsou ve směru pole od sebe vzdáleny vice než o L souhlas. Zmenšení co při malých hodnotách ka je způsobeno konečnou geometrií plazmatu, jak je znázorněno na obr. 4-4, v tomto experimentu však můžeme tento efekt vysvětlit jiným způsobem. Elektrické pole musí na vodivém stínění splňovat okrajovou podmínku £ = 0. Proto musí plazmové v'ny postupovat pod jistým úhlem vzhledem k magnetickému poli. V plazmatu dochází k interferenci mezi vlnou s radiální složkou k namíře- nou ven a vlnou s radiální složkou k namířenou dovnitř, a tím je okrajová podmínka splněna. Ve vlnách postupujících pod jistým úhlem k B jsou však vrchy a důly ve větší vzdálenosti, než A/2 (obr. 4-11). Protože se elektrony mohou pohybovat jenom podél B (když je B veliké), jsou méně urychlovány a frekvence se tak sníží pod cop. iS&-5. (a) Započtěte tlumicí vliv srážek na šíření Langmuirových vln (elektronových ÚLOHA plazmových vln), a to tak, že k pohybo é rovnici elektronů přidáte člen — mrtvy a znovu odvodite disperzní vztah pro Tt = 0. J (b) Napište explicitní výraz pro Im(cj) a u' - y.^ Vn . |+J7| Zde jsme předpokládali £ = -V<£ a použili jsme stavovou rovnici. Předpokládejme, že jde o rovinné vlny, a linearizováním dostaneme -icoMn0vn = -enjktpi - yiKTiiknl. OBR. 4-12 Disperzní křivka iontové akustických vln v limitním případě malé Debyeovy délky. Pro elektrony můžeme položit m = 0 a použít úvahy oddílu 3.5, v němž jsme se zabývali pohyby podél B, pro současný případ B = 0. Pro zachování rovnováhy sil působících na elektrony je nutné, aby n — n0 exp KT 1 + Porucha hustoty elektronů, a tudíž i iontů, je potom n. = n. 1 KT |4-39| Iontové vlny 93 Zde nQ z Boltzmannova vztahu má rovněž význam hustoty v rovnovážném stavu plazmatu, v němž jsme zvolili c40 = 0, protože jsme předpokládali E0 = 0. Při linearizování rov. [4-39] jsme zanedbali členy vyšších řádů v Taylorově rozvoji exponenciely. Jediná další rovnice, kterou potřebujeme, je linearizovaná rovnice kontinuity pro ionty. Z rov. [4-22] dostáváme iconl = n0ikvn . |4-40| V rov. [4-38] vyjádříme cpl a nL pomocí vn z rovnic [4-39] a [4-40] a obdržíme / KT \nJkv-,. icoMn0vn = en0ik —+ yfiTfi 0 ,l ico |4-H| To je disperzní vztah pro iontově akustické vlny; vz je rychlost zvuku v plazmatu. Protože podle našeho předpokladu jsou v rovinné vlně ionty stlačovány v jednom směru, můžeme položit y-t = 3. Elektrony se vzhledem k těmto vlnám pohybují tak rychle, že v každém místě stačí vyrovnat svou teplotu, jejich pohyb je tedy izotermní a ye = 1. Jinak by se před KTC v rov. [4-41] objevil faktor yc. Disperzní křivka pro iontové vlny (obr. 4-12) se svým charakterem podstatně liší od disperzní křivky elektronových vln (obr. 4-5). Plazmové oscilace jsou v podstatě vlny s konstantní frekvencí s odchylkami v důsledku tepelných pohybů, kdežto iontové vlny jsou v podstatě vlny s konstantní rychlosti a mohou se vyskytovat pouze tehdy, existuje-li tepelný pohyb. Grupová rychlost iontových vln se rovná fázové rychlosti. Příčiny této rozlišnosti snadno nahlédneme, připomeneme-li si fyzikální mechanismy obou jevů. Při elektronových plazmových oscilacích zůstávají ostatní částice (totiž ionty) v podstatě pevně na místě, při iontově akustických vlnách ostatní částice (tj. elektrony) zdaleka na místě nezůstávají, naopak jsou přetahovány spolu s ionty a snaží se odstínit elektrické pole vznikající nahromaděním iontů. Toto stínění není však dokonalé, protože, jak jsme viděli v oddíle 1.4, v důsledku tepelného pohybu elektronů mohou pronikat ven potenciály řádu KTje. Tak dochází k tomu, že ionty vytvářejí oblasti zhuštění a zředění, stejně jako v obyčejné zvukové vlně. Stlačené oblasti se rozpínají do míst zředění, a to ze dvou příčin. Předně ionty rozptyluje jejich tepelný pohyb; to vyjadřuje druhý člen pod odmocninou v rov. [4-41]. Za druhé shluky iontů jsou kladně nabity a výsledné elektrické pole se snaží je rozptýlit. Toto pole je převážně odstíněno elektrony a jenom malá část, Vlny v plazmatu Srovnáni iontových a elektronových vln 95 úměrná KTc, může na shluky iontů působit. To vyjadřuje první člen pod odmocninou v rov. [4-41]. V důsledku své setrvačnosti ionty přeběhnou, zhuštění a zředění vznikají znovu a vytvářejí vlnu. Druhý proces, o němž jsme hovořili, vede k pozoruhodnému jevu. Iontové vlny budou existovat, i když se KT{ blíží k nule. To se v neutrálním plynu nemůže stát (rov. [4-36]). Akustická rychlost potom je 14-42 S tím se často setkáváme v laboratorním plazmatu, v němž je běžným jevem 7J > Tc. Zvuková rychlost vz je dána elektronovou teplotou (protože elektrické pole je jí úměrné) a hmotností iontů (protože je jí úměrná setrvačnost tekutiny). PLATNOST PLAZMATICKÉHO PŘIBLÍŽENÍ Při odvozování rychlosti iontových vln jsme užili podmínku neutrality n, = ne, zatímco jsme připustili, aby £ bylo konečné. Abychom viděli, jakou chybu jsme do našeho výpočtu zanesli, připustíme nyní, aby se nt lišilo od nc, a užijeme linearizovanou Poissonovu rovnici V. £t = fc20, = e(nn - «cl)/e0 . |4-4.1| Elektronová hustota je dána linearizovaným Boltzmannovým zákonem [4-39] e0i ""=Křn°- 14-441 Dosazením do rov. [4-43] dostáváme PYl 4,^X1 +1) = -L X2D. |4-45| Iontová hustota je dána linearizovanou rovnicí kontinuity pro ionty [4-40] "■i =-wo"ii-w |4-46| Dosazením výrazů [4-45] a [4-46] do iontové pohybové rovnice [4-38] nacházíme eXl 1 \k icoMn0vn = ( en0ik— j—pf} + yiKT>ikJ w"0"'1' 2 fV24 10 = M\ e0 1 + k2X2 V M 1 + k2Xl M ) ' 14-471 14-481 Až na faktor 1 + k2X^ je to týž výraz jako ten, který jsme obdrželi předtím ([4-41]). Náš předpoklad nt = ne vedl k chybě řádu k2Xl = (2nXDjX)2. Protože ve většině experimentů je XD velice malé, platí plazmatické přiblížení s výjimkou velmi krátkých vlnových délek. SROVNANÍ IONTOVÝCH A ELEKTRONOVÝCH VLN 4.8 Máme-li na mysli vlny s krátkými vlnovými délkami, položíme k2X% > 1 a z rov. [4-47] dostáváme nne2 nne2 m * B0Mk2 £0M p 14-491 ELEKTRON ION VL- k k Srovnání disperzních křivek elektronových plazmových vln a iontoví akustických vln. OBR. 4-13 VAKUOVÁ KOMORA SELENOIDOVY HORKÁ WOLFRAMOVÁ DESKA-- LANGMUIROVA 'SONDA MAGNET GENERÁTOR PRERUŠOVANÉ SINUSOVKY X > SS PŘEDPÉTl mm/mm K OSCILOSKOPU - SNÍMACÍ MŘÍŽKA BUDICÍ MŘÍŽKA PÍCKA ZDROJ NEUTRÁLNÍCH ČÁSTIC Schéma měřicí aparatury na detekci iontových vln v Q-systému. [Převzato z A. Y. Wong, OBR. 4-14 R. W. Motley a N. D'Angelo, Phys. Rev. 133, A936 (1964).] 96 Vlny v plazmatu Pro jednoduchost jsme vzali rovněž limitu 7] -> 0. fip je plazmová frekvence iontů. Pro vysoké frekvence (krátké vlnové délky) se iontově akustická vlna změní ve vlnu s konstantní frekvencí. Chování elektronových plazmových vln a iontově akustických vln má tedy komplementární charakter: základní vlastnost prvých je konstantní frekvence, ale při velkých k se stávají vlnami s konstantní rychlostí; základní vlastnost druhých je konstantní rychlost, ale při velkých k se stávají vlnami s konstantní frekvencí. Toto srovnání je znázorněno na obrázku 4-13. d = 3 cm / i V r- Ať t X BUDICÍ SIGNÁL SEJMUTÝ SIGNÁL (x 50) d = 5.5 cm L. J* t A A BUDIČI SIGNÁL SEJMUTÝ SIGNÁL (x 50) 40 80 120 ŕ (u s) 160 200 OBR. 4-15 Oscilogramy signálů z budiči a přijímači mřížky, jež jsou od sebe ve vzdálenosti d. Podle zpoždění je zřejmé, že se jedná o postupující vlnu. [Převzato z Wong, Motley a D'Angelo, citovaná práce.] Existenci iontových vln poprvé experimentálně ověřili Wong, Motley a D'Angelo. Obrázek 4-14 ukazuje jejich aparaturu; opět se jedná o Q-systém. (Není náhodné, že se tak často zmiňujeme o Q-systémech; pečlivé experimentální ověřování teorie plazmatu bylo možné teprve poté, co byly objeveny způsoby, jak vytvářet klidné plazma.) Vlny byly vysílány a snímány mřížka -' umístěnými v plazmatu. Na obrázku 4-15 jsou osciloskopické záznamy přiváděného a zachyceného signálu. Ze změny fáze lze nalézt fázovou rychlost (která je v tomto případě táž jako grupová rychlost). Na obi. 4-16 jsou vyneseny fázové posuvy jako funkce vzdálenosti pro hustotu plazmatu 3 x 1017 m-3. Fázové rychlosti jsou dány sklony těchto Srovnáni iontových a elektronových vln 97 křivek a na obr. 4-17 jsou vyneseny pro dvě hmotnosti a různé hustoty plazmatu n0. Experimentálně je tím ukázáno, že vz nezávisí na co a n0, a záro\eň dva soubory bodů pro K a Cs ukazují závislost na M. 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 VZDÁLENOST SOND (cm) Zpoždění v závislosti na vzdálenosti sond při různých frekvencích budicího OBR. 4-16 generátoru. Sklon křivek dává fázovou rychlost. [Převzato z Wong, Motley a D'Angelo, citovaná práce.] 5 x 103 e 20 40 60 80 FREKVENCE (kHz) 100 Měřená fázová rychlost iontových vln v draslíkovém a cesiovém plazmatu jako OBR. 4-17 funkce frekvence. Jednotlivé soubory bodů odpovídají různým hustotám plazmatu. [Převzato z Wong, Motley a D'Angelo, citovaná práce.] 98 Vlny v plazmatu 4.9 ELEKTROSTATICKÉ ELEKTRONOVÉ OSCILACE KOLMÉ NA B Dosud jsme předpokládali, že B = 0. Je-li však v plazmatu nenulové magnetické pole, může vzniknout mnohem víc typů vln. Budeme vyšetřovat jenom nejjednodušší případy a začneme vysokofrekvenčními elektrostatickými oscilacemi elektronů šířícími se v pravých úhlech k magnetickému poli. Nejprve bychom měli definovat termíny kolmý (perpendikulární), rovnoběžný (paralelní), podélný (longitudinálni), příčný (transversální), elektrostatický a elektromagnetický. Rovnoběžný a kolmý budeme užívat pro označení směru k vzhledem k neporušenému magnetickému poli B0. Podélný a příčný se týká směru k vzhledem k oscilujícímu elektrickému poli EL. Je-li oscilující magnetické pole Bl nulové, jde o vlnu elektrostatickou, v opačném případě o elektromagnetickou. Vztah mezi posledními čtyřmi termíny je dán Maxwellovou rovnicí neboli V x El = -Bl k x Eí = a>Bl M-501 14-511 Je-li vlna podélná (longitudinálni), ItxE, je nulové a vlna je rovněž elektrostatická. Je-li vlna příčná (transversální), je Bl konečné a vlna je elektromagnetická. Mezi k a B0 nebo Et může ovšem být libovolný úhel, pak by se jednalo o kombinaci základních modů zde uvedených. Vraťme se zpět k elektronovým oscilacím kolmým na B0 a předpokládejme, že ionty jsou pro frekvence oscilací příliš těžké, takže se nepohybují a vytvářejí homogenní pozadí kladného náboje. Zanedbáme rovněž tepelné pohyby a položíme KTt = 0. Rovnovážné plazma má jako obvykle časově konstantní a prostorově homogenní n0 a B0 a nulové E0 a v0. Pohyb elektronů se pak řídí následujícími linearizovanými rovnicemi ôv = —e[El + vel x B0), 14-521 8n,i dt dt + «0V.vel =0, V.Et = -enje0. 14-5-M |4-54| Budeme se zabývat pouze podélnými vlnami k \\ Et. Bez újmy na obecnosti můžeme zvolit osu x tak, aby měla směr k a Ev a osu z tak, aby ležela ve směru B0 (obr. 4-18). Tak ky = kt = Ey = Ez = 0, k = kx a E = Ex. Vynecháme indexy 1 a e a rozepíšeme rov. [4.52] ve složkách — ia>mvx = — eE — evyB0 , — ia)mvy - + evxB0, — icomv, = 0. |4-55| |4-56| Elektrostatické elektronové oscilace kolmé na B Z rovnice [4-56] vyjádříme vy, dosadíme do rov. [4-55] a dostáváme 99 ieB mmvx = eE + eB0—°-vx, mců eEjimco 1 - >' I"*"57' Všimněme si, že vx sestává při cyklotronové rezonanci co = coc nekonečné. / VLNOPLOCHY k, Et Geometrické schéma podélné rovinné OBR. 4-18 vlny šířící se kolmo na B0. To lze očekávat, protože elektrické pole mění znaménko s vx a spojitě urychluje elektrony. Zanedbáme-li členy (v. V) v a Vp, jsou rovnice pro tekutinu a rovnice pro jednotlivou částici totožné, všechny částice se pohybují zároveň. Z linearizovaného tvaru rov. [4-53] dostáváme tu 14-581 Linearizováním rov. [4-54] a použitím posledních dvou výsledků dostáváme e" k eE f co2\-L ikE=- --„ £0 co imco\ ar J Disperzní vztah je tedy co2 = o>\ + co2 = co2h |4-59| |4-W1| Frekvence coh se nazývá horní hybridní frekvence. Tuto frekvenci mají elektrostatike elektronové vlny kolmé na B, kdežto vlny ve směru B jsou obyčejné plazmové oscilace s co = top. Grupová rychlost je opět nulová pokud zanedbáváme tepelné pohyby. ' ff 100 Vlny v plazmatu Fyzikální znázornění těchto oscilací je na obr. 4-19. Elektrony v rovinné vlně vytvářejí oblasti zhuštění a zředění jako při plazmových osci-1; cích. Nyní je však přítomno B pole kolmé na pohyb a Lorentzova síla přeměňuje trajektorie v elipsy. Na elektrony působí nyní dvě síly vracející je zpět do rovnovážné polohy, elektrostatické pole a Lorentzova síla, 0B OBR. 4-19 Pohyb elektronů při horní hybridní oscilaci. frekvence je proto větší než frekvence plazmových oscilací. S magnetickým polem jdoucím k nule půjde k nule i coc v rov. [4-60] a dostaneme opět plazmové oscilace. Jde-li k nule hustota plazmatu, půjde i cop k nule a dostaneme obyčejnou Larmorovu rotaci, protože elektrostatické síly vymizí spolu s hustotou. Existence horní hybridní frekvence byla experimentálně ověřována průchodem mikrovlnného signálu napříč magnetickým polem. Měníme-li hustotu plazmatu, pak při takové hodnotě, pro niž se coh rovná frekvenci signálu, sníží se propustnost plazmatu, protože jsou vybuzeny oscilace s horní hybridní frekvencí a energie mikrovln je absorbována. Podle rov. [4-60] je závislost co2Jco2 na hustotě lineární co2 co2 e0mco2 Na obr. 4-20, kde je vyneseno co2jco2 jako funkce výbojového proudu, jenž je úměrný n, je tato závislost experimentálně ověřena. Svírají-li k a B úhel 3, dostaneme dvě možné vlny. Jedna je stejná jako plazmové oscilace a druhá jako horní hybridní oscilace, ale obě jsou modifikovány úhlem šíření. Podrobnosti jsme ponechali pro cvičení (úloha 4-7). Na obrázku 4-21 je schematický graf w(kz) pro tyto dvě vlny při pevném kx, Elektrostatické elektronové oscilace kolmé na b 101 kde kjkz = tg 9. V důsledku symetričnosti rovnice [4-60] je případ coc > cop tentýž jako cop > coc, jenom indexy jsou zaměněny. Pro velká kz běží vlna rovnoběžně s B0. Jedna vlna jsou plazmové oscilace při co = cop; druhá vlna co = a)c je nefyzikální kořen při ^-»00. Případ malého kz, kdy k J.B0, jsme rozebírali v tomto oddíle. Spodní větev vymizí, zatímco horní větev se přibližuje frekvenci hybridních oscilací co - cob. Tyto křivky byly prvně vypočteny Trivelpiecem a Gouldem, kteří je také experimentálně ověřili (obr. 4-22). Trivelpieceův-Gouldův experiment byl uskutečněn ve i-1-1-i-1-r 0 20 40 60 80 100 120 140 VÝBOJOVÝ PROUD (mA) Výsledky experimentu dokazujícího existenci horní hybridní frekvence zmapo- OBR. 4-20 váním podmínek, při nichž dochází k maximální absorpci (minimální průchodnosti) mikrovlnné energie vyslané napřič magnetickým polem. Pole (vyjádřené prostřednictvím co2/a>2), při němž tento jev nastane, je vyneseno jako funkce výbojového proudu (úměrného hustotě plazmatu). [Převzato z R. S. Harp, Proceedings of the Seventh International Conference on Phenomena in Ionized Gases, Belgrade, 1965, II, 294 (1966).] 102 Vlny v plazmatu sloupci cylindrického plazmatu. Lze ukázat, že změna kz je v tomto případě ekvivalentní změně úhlu šíření rovinné vlny vzhledem k B0. ÚLOHY 4-6. Ukažte, že při horní hybridní oscilaci jsou eliptické orbity (obr. 4-19) prodlouženy vždycky ve směru k. (Návod: Z pohybové rovnice odvoďte výraz pro vjvy jako funkci co/coc.) 4-7. Nalezněte disperzní vztah pro elektrostatické elektronové vlny šířící se pod libovolným úhlem 9 vzhledem k B0. Návod: Zvolte osu x tak, aby k a E ležely v rovině x - r (obr. 4-23). Potom Ex = El sin 9, £. = £,cos9, Ey = 0 0 kz OBR. 4-21 Trivelpieceovy-Gouldovy disperzní křivky pro elektrostatické elektronové vlny ve vodivém válci naplněném homogenním plazmatem, jehož osa je souběžná s magnetickým polem. [Převzato z A. W. Trivelpiece a R. W. Gould, J. Appl. Phys. 30, 1784 (1959).] oj OJ- Elektrostatické elektronové oscilace kolmé na B -1-1- 103 T EXPEpiMENT 8 10 Experimentální ověření Trivelpieceových-Gouldových křivek, doka- OBR. 4-22 zující existenci zpětných vln, tj. vln, jejichž grupová rychlost, jak je vidět ze sklonu disperzní křivky, má opačný směr než rychlost fázová. [Převzato z Trivelpiece-Gould, citovaná práce.] OBR. 4-23 a podobně pro k. Řešte pohybovou rovnici obvyklým způsobem s homogenním n0 a y o = £o = °- (a) Ukažte, že odpověď je (ů2(co2 - co2) + oo2oo2 cos2 9 = 0. 104 Vlny v plazmatu (b) Napište obě řešení této rovnice kvadratické v co2 a ukažte, ?e v limitě 9 -»0 a 9 -»jt/2 dostanete výsledek, který již známe. Ukažte, že v těchto 'imitách je jeden z kořenů nefyzikální. (c) Doplněním na čtverec ukažte, že shora uvedená rovnice je rovnicí slipsy (v-1)2 ■= 1, kde x = cos 3, y = 2Jcoc = 1,2 a oo. (e) Ukažte, že pro coc > cop je spodní kořen pro co vždycky menší než cop pro kterékoliv 3-»0a horní kořen vždycky leží mezi o\ a coh; pro cop > coc leží spodní kořen pod wc, kdežto horní kořen je mezi cap a coh. 4.10 ELEKTROSTATICKÉ IONTOVÉ VLNY KOLMÉ NA B Nyní budeme zkoumat, co se stane s iontově akustickou vlnou, jestliže je k kolmé na B0. To svádí k tomu, abychom položili k. B0 přesně rovno nule. Dostali bychom tak výsledek (oddíl 4.11), který by sice byl matematicky správný, ale nepopisoval by to, co se obvykle v reálném plazmatu děje. Namísto toho ponecháme k téměř kolmé k B0; co se tím „téměř" myslí, objasníme později. Považujme jako obvykle plazma za nekonečné, mající v rovnovážném stavu časově konstantní a prostorově homogenní «0 a B0 a nechť je v0 = E0 = 0. Pro jednoduchost položme 7j = 0; tím se nepřipravíme o žádný důležitý jev, protože, jak už víme, akustické vlny existují i při 7] = 0. Budeme rovněž předpokládat, že jde o vlny elektrostatické s k x E = 0, takže E = - Vtp. Geometrie je znázorněna na obr. 4-24. Úhel {n - 9 považujeme za tak malý, že můžeme položit E = £,x a V = = ikx, pokud máme na mysli pohyb iontů. V případě elektronů je však velký rozdíl, je-li {n - S nula nebo malé, ale konečné. Larmorův poloměr pro VLNOPLOCHY OBR. 4-24 Geometrické schéma elektrostatické iontově cyklotronní vlny šířící se přibližně kolmo na B0. Elektrostatické iontové vlny kolmé na b 105 elektrony je tak malý, že se elektrony ve směru x nemohou pohybovat a neutralizovat tak prostorový náboj; celý účinek elektrického pole spočívá v tom, že nutí elektrony k driftovému pohybu sem a tam v y-ovém směru. Jestliže však 9 není přesně {n, mohou se elektrony pohybovat podél vy-čárkované přímky (ve směru B0) na obr. 4-24, přenášejí náboj ze záporných do kladných oblastí vlny a uskutečňují tak Debyeův mechanismus stínění. Ionty nemohou podobný pohyb efektivně vykonávat, protože jejich setrvačnost jim nedovolí, aby během periody uběhly tak velkou vzdálenost. Proto můžeme v jejich případě kz zanedbat. Mezni úhel x = 271 ~ ^ Je úměrný poměru iontové ku elektronové rychlosti ve směru B0: x — (mJM)112 (v radiánech). Pro větší úhly x platí postup, který teď ukážeme. Pro menší úhly x je nutno postupovat jako v odd. 4.11. Po tomto zdlouhavém úvodu přistoupíme k stručnému odvození výsledků. Pohybová rovnice iontů má tvar M-^i= -eVtp, + evn x B0. I4-6ij Předpokládáme rovinnou vlnu šířící se ve směru x. Rozepsáním poslední rovnice do složek dostáváme -iioMvix = -eiktpt + eviyB0 , — iíoMviy - ev.xB0. |4-62| 14-631 Postupujeme podobně jako předešle a nacházíme ek ( QlY1 kde Í2C = eB0jM je iontová cyklotronní frekvence. Rovnice kontinuity pro ionty dává jako obvykle 14-641 Předpokládáme, že se elektrony mohou pohybovat ve směru B0, protože úhel x není nulový, můžeme tedy pro ně užít Boltzmannův zákon. V li-nearizovaném tvaru zní ".1 ^ e(t>i nn KT' 14-651 Plazmatické přiblížení n{ = nt systém rovnic uzavírá Rovnici [4-63] můžeme pomocí rov. [4-64] a [4-65] zapsat ek KTe n0k Mco enn co co2 - Q2 = k: M 14-661 106 Vlny v plazmatu Dolní hybridní frekvence 107 OBR. 4-25 OBR. 4-26 Poněvadž jsme položili KT{ = 0, můžeme totéž zapsat takto ač = Q2 + k2v2 |4-67| To je disperzní vztah pro elektrostatické iontové cyklotronní vlny. Fyzikální vysvětlení těchto vln je velmi podobné tomu, které jsme podali na obr. 4-19 pro horní hybridní vlny. Ionty mají tendenci oscilovat jako ve vlně akustického typu, ale Lorentzova síla představuje novou sílu směřující k obnovení původního stavu a její vliv se v rov. [4-67] projeví členem Q\. Akustický disperzní vztah w2 = k2v\ platí tehdy, vytvářejí-li elektrony Debyeovo stínění. V tomto případě to činí prolétáváním dlouhé vzdálenosti ve směru B0. B Schéma experimentu s elektrostatickými iontově cyklotronními vlnami v Q-systé-mu. [Podle R. W. Motley a N. D'Angelo, Phys. Fluids 6, 296 (1963).] B(T) Naměřená frekvence elektrostatických iontově cyklotronních vln v závislosti na magnetickém poli. [Převzato z Motley a D'Angelo, citovaná práce.] Elektrostatické iontové cyklotronní vlny poprvé pozorovali Motley a D'Angelo, opět v Q-systému (obr. 4-25). Vlny se šířily radiálně směrem ven napříč magnetickým polem a byly buzeny elektrickým proudem tekoucím podél osy k malé pomocné elektrodě. Princip buzení je poměrně složitý a nebudeme se jím zabývat. Jejich výsledky jsou na obr. 4-26, kde je vynesena frekvence vln v závislosti na magnetickém poli. Člen k2v\ byl při tomto experimentu malý ve srovnání s členem Q2 a měřené frekvence byly jen o málo vyšší než Qc. DOLNÍ HYBRIDNÍ FREKVENCE 4.11 Budeme se teď zabývat tím, co se stane, jestliže 9 je přesně 7t/2 a elektrony nemohou svým pohybem podél siločar udržovat neutralitu plazmatu. Namísto Boltzmannovým zákonem budou se teď řídit úplnou pohybovou rovnicí [3-62]. Ponecháme-li elektronům konečnou hmotnost, bude tato rovnice netriviální dokonce i tehdy, předpokládáme-li Tc = 0 a vypustíme-li člen Vp, což pro jednoduchost učiníme. Pohybová rovnice iontů [4-63] zůstává nezměněna, takže Mco 1 V co2' 14-681 V rov. [4-68] zaměníme e za —e, M za m a Í3C za — coc a můžeme rovnou napsat výsledek řešení rovnice [3-62] pro elektrony při Tt = 0 ek Rovnice kontinuity dávají co n.. = nn — v. |4-69| |4-70| Má-li platit plazmatické přiblížení n{ = ne, musí být vn = vci. Položme rovnice [4-68] a [4-69] rovné sobě navzájem a dostaneme co2(M + m) = mač + MSI2 = e2B2 (- + — ), \m M J 2 e2*2 n (í2ccoc) 1/2 _ |4-7I| 108 Vlny v plazmatu To nazýváme dolní hybridní frekvencí. Je to frekvence, kterou by měly elektrostatické iontové oscilace, kdyby 3 bylo přesně ji/2. Protože je obtížné držet 9 s požadovanou přesností na této hodnotě, lze frekvenci co = cod zřídkakdy pozorovat. 4.12 ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY S B0 = 0 Podle složitosti přicházejí nyní na řadu vlny s Bl 4= 0. To jsou příčné elektromagnetické vlny — světelné vlny či rádiové vlny procházející plazmatem. Začneme stručným přehledem chování světelných vln ve vakuu. Příslušné Maxwellovy rovnice jsou VxE^-Bj, 1 — V x B, = EqEj , 14-721 |4-73| neboť ve vakuu je / = 0. Rovnici [4-73] dělíme e0 a aplikujeme na ni operátor rotace a dosadíme ji do časově zderivované rovnice [4-72]. Poněvadž l/(eou0) = c2, dostáváme c2V x (V x Bj) = V x Éj = -B,. |4-74| Opět předpokládáme rovinné vlny s vlnovým faktorem exp [i(kx - cot)] a dostáváme a2Bl = -c2k x (k x Bj) = -c2[k(k. Bj - fc2Bj . |4-75| Protože podle jiné z Maxwellových rovnic k. Bi = -/V. Bx = 0, je výsledek w2 = fc2c2 |4-76| a c je fázová rychlost co/fc světelných vln. V plazmatu s B0 = 0 zůstává rov. [4-72] nezměněna, ale k rovnici [4-73] musíme přičíst člen Jlt odpovidající poruchovým proudům v důsledku pohybů nabitých částic c2V x B, = í± + . eo Časová derivace této rovnice je 1 £„ dt 1 a rotace rov. [4-72] dává V x (V x E,) = V(V. EJ - V2E4 = -V x B1. |4-77| |4-78| |4-79| Elektromagnetické vlny s b0 = 0 109 Vyloučíme-li V x Bj a předpokládáme-Ii závislost exp [ŕ(k. r — cot)], dostáváme ia> ~k(k,El) + k2El=—ij1 + enc- Příčnými vlnami rozumíme k. E, = 0, z toho plyne ICO (ar-c1k2)El = --ll |4-8 Hz. A 3 x 10"4 Kritická hustota podle rov. [4-88] je nk = e0m(27t/)2/e2 = 10" m"3. KOSMICKÁ LOĎ PŘI NÁVRATU ^\r\\ IONOSFÉRA Přehnané znázorněni zemské ionosféry, ilustrující vliv plazmatu na rádiové spojení. OBR. 4-33 114 Vlny v plazmatu V důsledku dlouhé dráhy paprsků plazmatem je však defokusační efekt patrný dokonce při n = 1018 m-3, což je řádově rovno počáteční hustotě 102 se plazmatu. U C02 laserů, pracujících na 10,6 um, kde n, podobné potíže nevyskytují. Snad nejznámějším důsledkem efektu mezní frekvence v plazmatu je jeho vliv na krátkovlnné rádiové spojení. Dojde-li rádiová vlna až k ionosféře, kde je hustota plazmatu dostatečně vysoká, odrazí se (obr. 4-33); tak je možno vyslat signál kolem Země. Je-li maximální hustota 1012 m-3, je kritická frekvence řádově 10 MHz (srv. rov. [4-26]). Abychom mohli udržovat spojení s kosmickými loděmi a družicemi, musíme užít vyšších frekvencí, které ionosférou pronikají. Vstupuje-li však vracející se kosmická loď znovu do atmosféry, vzniká při intenzívním zahřátí plazma, které způsobí výpadek spojení (obr. 4-33). ÚLOHY 4-8. Hannes Alfvén, který jako prvý z oboru fyziky plazmatu obdržel Nobelovou cenu, vyslovil domněnku, že vesmír ve svém prapůvodním stavu se symetricky skládal z hmoty a antihmoty. Předpokládejte, že vesmír byl v jistém okamžiku homogenní směsí protonů, antiprotonů, elektronů a pozitronů, přičemž hustota každého druhu částic byla n0. s_(a) Najděte dispezní vztah pro vysokofrekvenční elektromagnetické vlny v takovém plazmatu. Můžete zanedbat srážky, anihilace a tepelné efekty. V(b) S použitím Poissonovy rovnice najděte disperzní vztah pro iontové vlny. Můžete zanedbat 7j (ale nikoliv Te) a předpokládejte, že všechny leptony* se řídí Boltzman-novým zákonem. J 4-9. Ukažte, že pro elektromagnetické vlny se index lomu rovná druhé odmocnině příslušné dielektrické konstanty plazmatu (srv. úlohu 4-4). ^4-10. V draslíkovém plazmatu g-systému můžeme část x elektronů nahradit zápornými Cl ionty. V 1 m3 plazmatu potom je n0 iontů K+, xn0 iontů Cl" a (1 - x)n0 elektronů. Pro x = 0,6 vypočtěte kritickou hodnotu n0, jestliže svazek mikrovln s vlnovou délkou 3 cm má právě mezní frekvenci. " 4-11. Pro vyšetřování nekonečné planparalelní vrstvy plazmatu tloušťky 8 cm je užit 8-milimetrový mikrovlnný interferometr (obr. 4-34). 8 mm—»| j-"— OBR. 4-34 8 cm tj. elektrony i pozitrony - pozn. překl. Elektromagnetické vlny kolmé na B o (a) Jaká je hustota plazmatu, jestliže plazma je homogenní a na výstupu byl odečten fázový posuv 1/10 vzdálenosti min-mir v, ozn.: vzdálenost min-min odpovídá fázovému posuvu o 360°.) (b) Dokažte, že pro malý fázový posuv je hustota úměrná velikosti tohoto posuvu. 115 ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY KOLMÉ NA B0 4.14 Nyní se budeme zabývat šířením elektromagnetických vln v přítomnosti magnetického pole. Probereme nejprve případ, kdy se vlna šíří kolmo na B0, klB0. Vezmeme-li příčné vlny, k±EL, máme ještě dvě možnosti: £t může být rovnoběžné s B0 nebo kolmé na B0 (obr. 4-35). EjB Geometrické schéma elektromagnetických vln siřících se kolmo na b0. OBR. 4-35 Řádná vlna, Ei || B0 4.14.1 Je-li Et rovnoběžné s B0, můžeme položit B0 = B^f, E4 = a k = kx. V reálném experimentu této konfiguraci přibližně odpovídá svazek mikrovln, dopadajících na sloupec plazmatu, kdy delší strana průřezu vlnovodu je rovnoběžná s B0 (obr. 4-36). Řádná vlna vyzařovaná z antény na konci vlnovodu do sloupce plazmatu s magnetickým polem. OBR. 4-36 116 Vlny v plazmatu Elektromagnetické vlny kolmé na B0 117 Vlnovou rovnicí pro tento případ je opět vztah [4-81] (co2 - c2k2) £j =--ií = —ecovel. |4-92| Protože El = £ji, je na pravé straně jenom složka vcz. Ta je dána pohybovou rovnicí môvjdt = —eEz. |4-93| Protože to je týž vztah jako v případě B0 = 0, je i konečný výsledek týž jako předcházející co1 = co2p + c2k2 |4-94| Tato vlna, v níž Et || B„, se nazývá rádnou vlnou. Termíny „řádný" a „mimořádný" jsou převzaty z krystalové optiky, byly však zaměněny. Ve fyzice plazmatu je rozumnější nazývat „řádnou" vlnou tu, která není ovlivněna magnetickým polem. Přísná analogie s krystalovou optikou by vyžadovala nazývat ji „mimořádnou" vlnou. 4.14.2 Mimořádná vlna, Et 1 B0 Je-li Et kolmé na B0, bude pohyb elektronů ovlivněn polem B0 a disperzní vztah se změní. Při rozboru tohoto případu jsme v pokušení položit Ej = £jý a k = fcí (obr. 4-35), ukazuje se ale, že vlny s Ej 1 B0 mají sklon být elipticky polarizované, namísto rovinně polarizované. To znamená, když taková vlna vstupuje do plazmatu, vzniká složka Ex ve směru k, a tak se vlna stává částečně podélnou a částečně příčnou. Abychom mohli OBR. 4-37 Vektor £ mimořádné vlny je elipticky polarizován. Složky Ex a Ey jsou při oscilaci fázově posunuty o 90°, takže koncový bod výsledného vektoru elektrického pole E, opíše elipsu během každé periody vlny. tento mod správně probrat, musíme připustit, že Et má jak x-ovou, tak y-ovou složku (obr. 4-37) E, = Exx + Eyf. h-951 Linearizovaná pohybová rovnice pro elektrony (pro KTt = 0) je nyní -imcovcl = -e(E + vel x B0). |4-9f,| Pouze složky x a y jsou netriviální — w "* =-(Ex + vyB0), mto ' mco " |4-97| Indexy 1 a e jsme vynechali. Obvyklým postupem nacházíme pro vx a u výrazy |4-98| e I co„ \ / co mco\ y co V V co2) Rov. [4-80] je vlnová rovnice, v níž nyní musíme zachovat podélný člen k.E^kEx (co2 - c^E, + c2kExk =--/, = in0 — vcl, |4-991 Rozepíšeme tuto rovnici do složek a s použitím rov. [4-98] dostáváme co2Ex = - icon0e — (iEx + ^ £ Vl - ^] \ -p— mco V co 7 V co2/ (co2 - c2k2)Ey = -iwn,e — (iEy - ^£ Vl - í -7-* mco\ y co 7 V < <- o Použijeme definici pro co a můžeme tuto soustavu zapsat |4-I(M)| co2(i-^J-co; ® £, + ,^£, = 0, co y ® co 14-1011 ® ■ © 118 Vlny v plazmatu To je soustava lineárních rovnic pro Ex a Ey, která bude mít nenulové řešení jenom tehdy, je-li nulový determinant z koeficientů = 0. 14-1021 Poněvadž koeficient A je co2 - co\, kde co^ je horní hybridní frekvence definovaná rovnicí [4-60], můžeme podmínku AD = BC zapsat (co2-co2) co' c2k2 co2-col- [(afo»2/K - co2)] co' co2 - co2 |4-103| To lze několika úpravami zjednodušit. Nejprve nahradíme col na pravé straně výrazem co2 + co2 a vynásobíme co2 - cojj; dostáváme c2k2 _ _ a>>2 - co2) + (a>XK) = co2 _1 (co2 - col)(co2 - w2h) ~2 "Č) + "pV = co2 co2(co_ = 1 " co2 (^-^(co2-^) _, co2 co2(w2 - col) - col(co2 - col) .co2 (co2-co2)(co2-co2) c2k2 -p2 co2 -co2 co2 co2 co2 -"l |4-I04| To je disperzní vztah pro mimořádnou vlnu. Je to elektromagnetická vlna, částečně příčná a částečně podélná, která se šíří kolmo na B0 s £( kolmým na B0. 4.15 MEZNÍ FREKVENCE A REZONANCE Disperzní vztah pro mimořádnou vlnu je podstatně složitější než kterýkoliv z těch, s nimiž jsme se doposud setkali. Než začneme analyzovat jeho význam, bude užitečné, zavedeme-li termíny mezní frekvence a rezonance. O mezní frekvenci v plazmatu hovoříme, když index lomu klesá k nule, tzn. když se vlnová délka stává nekonečnou, neboť ň = cfc/co. Rezonance označuje ten případ, kdy index lomu roste do nekonečna, tzn. kdy vlnová délka jde k nule. Šíří-li se vlna oblastí, v níž se mění cop a coc, může dojít k oběma jevům. Obecně lze říci, že při mezní frekvenci se vlna odráží, při rezonanci je absorbována. Mezní frekvence a rezonance 119 Rezonanci mimořádné vlny nalezneme tak, že v rov. [4-104] položíme k rovno nekonečnu. Je-li co konečné a k -» oo, plyne z toho co -» coh, takže k rezonanci dojde v takovém místě plazmatu, kdé co* = co; + co* CO . |4-I05| V tom snadno poznáváme disperzní vztah pro elektrostatickou vlnu šířící se napříč B0 (rov. [4-60]). Blíží-li se vlna s daným co k místu rezonance, blíží se fázová i grupová rychlost nule a energie vlny se přemění v energii oscilací s horní hybridní frekvencí. Mimořádná vlna je částečně elektromagnetická a částečně elektrostatická. Dá se snadno ukázat (úloha 4-12), že při rezonanci ztrácí tato vlna svůj elektromagnetický charakter a přechází v elektrostatické oscilace. Mezní frekvence mimořádné vlny nalezneme, položíme-li k v rov. [4-104] rovno nule. Po vydělení dvojčlenem co2 rovnici pro co napsat 1 co2 můžeme výslednou 2 co l-[co2/K-co2)]- 14-1061 Několika vhodnými algebraickými úpravami získáme jednoduchý výraz pro co 1 co: co. co2 2\2 2 ' co>2 2 co; co 1-^ co co2 + cococ — co2 = + = 0. co„ |4-107| Každé ze znamének nám dá jinou mezní frekvenci, nazveme je coR a coL. Kořeny těchto dvou kvadratických rovnic jsou co„ co. coL=ií-coc + (col + 4co2Y'2]. |4-I08| Před odmocninami jsme nechali znaménka plus, protože se držíme úmluvy, že co je vždycky kladné, vlny postupující ve směru - x budou mít záporné k. Z důvodů, které objasníme v následujícím oddíle, nazvame coR a coL pravotočivá a levotočivá mezní frekvence. Mezní a rezonanční frekvence rozdělují disperzní diagram na oblasti, v nichž se vlna buď může nebo nemůže šířit. Je názornější namísto obvyklého grafu co = co(k) vynést závislost fázové rychlosti na frekvenci, či přesněji 120 Vlny v plazmatu X VLNA OBR. 4-38 Disperze mimořádné vlny znázorněná jako změna fázové rychlosti v závislosti na frekvenci. Ve vyčarkovaných oblastech se vlna nešíří. O VLNA OBR. 4-39 Podobný disperzní diagram pro řádnou vlnu. řečeno, závislost co2jc2k2 = l/a2 na co (obr. 4-38). Při interpretaci této závislosti si představme, že coc je pevné a že do plazmatu je zvnějšku vyslána vlna s pevnou frekvencí co. Když vlna postupně prochází oblastmi s rostoucí hustotou, narůstají všechny frekvence coL, cop, coh a coR a posunují se na grafu doprava. To je totéž, jako kdyby se hustota plazmatu neměnila a frekvence co by se postupně snižovala. Použijeme druhou představu: při velkém co (čili malých hustotách) se fázová rychlost blíží rychlosti světla. Když vlna postupuje dále, vzrůstá v^, dokud není dosaženo pravotočivé mezní frekvence co = coR, kdy je v+ nekonečné. Mezi co = coR a co = coh je co2lk2 záporné, vlna se nemůže šířit. Při co = coh nastává rezonance, Vj, jde k nule. Šíření je opět možné v oblasti mezi co = coh a co = coL, kdy Elektromagnetické vlny rovnoběžné s b„ 121 vlna podle toho, zda je co menši nebo větší než cop, postupuje rychlostí větší nebo menší než c. Z rovnice [4-104] je zřejmé, že při co = cop postupuje vlna rychlostí c. Pak následuje další oblast co < coL, kdy se vlna nemůže šířit. Mimořádná vlna má tedy dvě oblasti šíření, oddělené zakázaným frekvenčním pásmem. Pro srovnání je na obr. 4-39 stejný druh závislosti pro řádnou vlnu. Tento disperzní vztah má jenom jednu mezní frekvenci a žádnou rezonanci. ELEKTROMAGNETICKÉ VLNY ROVNOBEŽNÉ S BG 4.16 Položíme nyní k ve směru osy z a pro El ponecháme obě příčné složky Er a E, k = kz, E, =£Ix + Eý. |4-l<»| Můžeme použít vlnovou rovnici [4-99] pro mimořádnou vlnu, změníme-li jednoduše k z kx na kz. Tak z rov. [4-100] dostaneme nyní složky (co2 -c2k2)Ex = ico. 1 — C02/ftT \ ~ CO 1 - cc£/cr \ co J Pro stručnost užijeme označení cor 1 - a>2/co2 a spřažené rovnice pro Ex a E můžeme přepsat co. 2k2 - ^\ co2 ( co\ 1±^) = r^2)(1±^ = ■KV)' i ± KM ' [i + K/co)] [i -(co»] í + KM' I4-1I2I 14-1131 |4-1I4| 14-115 Znaménko + ukazuje, že existují dvě možná řešení rovnice [4-112], odpovídající dvěma různým vlnám, jež se mohou šířit rovnoběžně s B0. 122 OBR. 440 Vlny v plazmatu Disperzní vztahy jsou c2k2 i co2Jco2 w2 1 - {cojco) 2 C2fc2 , n2 = ~ = 1 co coli«2 1 + (©» (R vlna) (L vlna) |4-II6| 14-1171 Ukazuje se, že R a L vlny jsou kruhově polarizovány a symboly R a L znamenají, že jde o pravotočivou kruhovou polarizaci* a levotočivou kruhovou polarizaci (úloha 4-14). Geometrické uspořádáni ukazuje obr. 4-40. ±k C9G ±k Geometrické schéma pravo a levotočivých kruhově polarizovaných vln, šířících se ve směru B0. V R vlně se při pohledu ve směru B0 vektor elektrického pole s časem otáčí ve směru hodinových ručiček a u L vlny je to naopak. Protože rov. [4-116] a [4-117] závisejí pouze na k2, je směr rotace vektoru Ej nezávislý na znaménku k, vlny šířící se v opačném směru jsou polarizovány týmž způsobem. Shrneme: Hlavní elektromagnetické vlny šířící se rovnoběžně s B0 jsou pravotočivé (R) a levotočivě (L) kruhově polarizovaná vlna; hlavní vlny šířící se napříč B0 jsou rovinně polarizovaná vlna (O vlna)** a elipticky polarizovaná vlna (X vlna)**. Nejprve se zabývejme mezními frekvencemi a rezonancemi vln R a L. U R vlny se při co = coc stává k nekonečným, dochází krezonanci s cyklo-tronním pohybem elektronů. Rovina polarizace se otáčí týmž směrem jako Pro pravotočivou vlnu jsme ponechali podle angličtiny označení R (namísto P), aby u označení frekvence nedocházelo k záměně s a>p, frekvencí plazmových oscilací -pozn. pfekl. O—X: zkratka pro Ordinarius (řádný) a extraordinarius (mimořádný) - pozn. překl. Experimentální důsledky rotující elektrony, vlna stále zrychluje jejich pohyb, ztrácí svou energii a nemůže se šířit. L vlna ovšem nemá rezonanci při cyklotronní frekvenci elektronů, protože se otáči v opačném smyslu. Jak snadno poznáme z rov. [4-117], pro kladné co nemá L vlna rezonanci. Kdybychom byli do našich výpočtů zahrnuli pohyb iontů, zjistili bychom, že L vlna má rezonanci při co — Í2C, neboť by se pak otáčela stejně jako rotující ionty. R VLNA 123 i \ i u£/c2 jako funkce co pro L a R vlny. Oblasti, kde se vlna nešíří (zakázaná pásma, OBR. 4-41 vjjc2 < 0) nejsou vy čárkovány, protože nejsou oběma vlnám společné. Mezní frekvence získáme, položíme-li v rov. [4-116] a [4-117] k = 0. Tím dostaneme tytéž rovnice, jako byla rovnice pro X vlnu (rov. [4-107]), tedy i mezní frekvence jsou tytéž. R vlna, s minus znaménkem v rov. [4-116] a [4-117], má vyšší mezní frekvenci tuR danou rovnicí [4-118], L vlna, s plus znaménkem, má nižší mezní frekvenci coL. Z toho důvodu jsme již dříve zvolili označení coR, coL. Disperzní diagram pro R a L vlny je na obr. 4-41. L vlna se chová jako O vlna, zakázané pásmo má při nízkých frekvencích, avšak mezní frekvencí je coL a nikoliv F(oo) (Ex - /i-,) = 0, ;0M (Ex + iEy) = 0, kde F(oo) = 0 pro R vlnu a G(co) = 0 pro L vlnu. , (b) Pro R vlnu je G(oo) + 0 a tudíž Ex = - iEy. Vraťte se k exponenciálni časové J závislosti £ a ukažte, že se e otáčí ve směru elektronové rotace. Přesvědčte se, že v L vlně se £ otáčí opačným směrem. (c) Nakreslete pro R vlnu šroubovici, která v daném okamžiku v prostoru spojuje ~ konce vektoru e pro (i) kz > 0 a (ii) k, < 0. Všimněte si, že stojíme-li na pevném místě a pozorujeme míjející závity šroubovice, otáčí se e v obou případech ve stejném směru. \J 4-15. Ukažte, že hvizdové vlny mají maximální fázovou rychlost při co = tac/2 a že toto maximum je menší než rychlost světla. 'V 4-16. Ukažte, že grupová rychlost hvizdů je úměrná co1'2, jestliže co <š coc. 4-17. Ukažte, že v pozitronovém plazmatu nedochází k Faradayově rotaci (stejný počet pozitronů a elektronů). 4-18. Je měřena Faradayova rotace mikrovlnného svazku s 8 mm vlnovou délkou v homogenním plazmatu v magnetickém poli 0,1 T. Po projití 1 m vzdálenosti se rovina polarizace otočila o 90°. Jaká je hustota? 4-19. Mikrovlnný interferometr pracující s řádnou vlnou nemůžeme užít při hustotě vyšší než n^, která odpovídá mezní frekvenci. K měření vyšších hustot lze použít mimořádnou vlnu. (a) Napište výraz pro hustotu níx odpovídající mezní frekvenci X vlny. (b) Na grafu t^/c2 = /(co) ukažte tu větev disperzní křivky X vlny, na niž by takový interferometr pracoval. HYDROMAGNETICKÉ VLNY 4.18 Poslední část našeho přehledu základních vln v plazmatu se bude týkat nízkofrekvenčních iontových oscilací v magnetickém poli. Z mnoha možných modů se budeme zabývat jenom dvěma: hydromagnetickou vlnou rovnoběžnou s B0, neboli Alfvénovou vlnou a magnetozvukovou vlnou. Alfvénova vlna má v rovinné geometrii k rovnoběžné s B0; Eí a jt kolmé na B0; B, a v, kolmé na B0 i na E, (obr. 4-47). Z Maxwellových rovnic dostáváme jako obvykle (rov. [4-80]) V x V x £, = -fcík.Ej + fc2E, = —E1 + —5/ 14-1181 k. B0 Geometrické schéma Alfvénovy vlny šířící se rovno- OBR. 4-47 běžně s B„. Vlny v plazmatu Poněvadž podle předpokladu k = fez a Et = E^, je pouze x-ová složka této rovnice netriviální. Protože se jedná o nízké frekvence, přispívají k proudu Ji i ionty i elektrony, x-ová složka rovnice [4-118] je ico (co2 - c2fc2)£l = - —in0e(vix - v J. |4-l 1M| Tepelné pohyby nejsou pro tuto vlnu důležité, můžeme tudíž užít řešení pohybové rovnice iontů s 7j = 0, jež jsme již odvodili v rov. [4-63]. Pro úplnost zde uvedeme složku vly, kterou jsme předtím explicitně nenapsali w Mco e co2 Eí' |4-12()| Odpovídající řešení pohybové rovnice elektronů nalezneme, zaměníme-li M-»m, e-* —e, Í3C -» -coc a vezmeme-li limitu pro o2 ^> co2 ».. = —-0, le co =--2£1 mco coi V°»~~ m co2 co2 Bn |4-12l| V této limitě je Larmorova rotace elektronů zanedbána, elektrony se prostě pohybují Exfi driftem ve směru y. Dosazením těchto řešení do rov. [4-119] dostáváme o>2-c2k2 £x= --n0e— 1--| El. |4-.22| e0 Mco\ co / y-ové složky vl potřebujeme pouze pro fyzikální model, který uvedeme později. Užijeme definici plazmové frekvence iontů Í2p (rov. [4-49]) a máme 12\-1 co2 - c2k' -«0-5)' 14-1231 Musíme nyní učinit dalši předpoklad co2 <š Í22; frekvence hydromagnetické vlny je mnohem nižší než cyklotronní rezonance iontů. V této limitě dostává rov. [4-123] tvar co" c2k2 co 2fí2._ _ 2n0e2 M2 ~W Q2 ~ ^ enM e2B2 e B2' fco°o k2 14-l24| kde q je měrná hmotnost n0M. Tato odpověď nepřekvapuje, neboť ve jmenovateli poznáváme poměrnou dielektrickou konstantu er = e/e0 pro níz- Hydromagnetické vlny kofrekvenční pohyby kolmé na B0 (rov. [3-28]). Rovnice [4-124] prostě uvádí fázovou rychlost elektromagnetické vlny v dielektrickém prostředí co ~k 1/2 C TV* pro /ir = 1. Jak jsme již viděli, je v laboratorním plazmatu et zpravidla mnohem větší nezjedná a rov. [4-124] můžeme přibližně zapsat co T cB, o _ (dl*o) 1/2 14-1251 Tyto hydrodynamické vlny postupují podél B0 s konstantní rychlostí vA, kterou nazýváme Alfvénova rychlost vA = cB(e0je) 1/2 14-1261 a v Gaussových jednotkách _ B (Gauss) cm 4ng (g.cm-3) s Je to charakteristická rychlost, jíž postupují poruchy siločar. Poměrnou dielektrickou konstantu v rov. [3-28] můžeme nyní zapsat Er=l+(c>2). |4-I27| Všimněte si, že v dobře rozvinutém plazmatu se značnou hustotou je vA malé, a tudíž et je velké. Abychom pochopili, co se v Alfvénově vlně fyzikálně děje, připomeňme si, že je to elektromagnetická vlna s vlnícím se magnetickým polem Bv daným rovnicí VxE, = -Bi; .Ex = (co\k)By. 14-1281 Přidáme-li k B0 malou složku By, dostaneme siločáry se sinusovým zvlněním, jež je přehnaně znázorněno na obr. 4-48. V zobrazeném bodě je By v kladném y-ovém směru, podle rov. [4-128] je tedy Ex v kladném x-ovém směru, je-li cojk ve směru z. Elektrické pole Ex způsobí Ej x B0 drift plazmatu v záporném y-ovém směru. Protože jsme použili limitu co2 <ž fí2, budou se podle rov. [4-120] a [4-121] ionty i elektrony pohybovat toutéž driftovou rychlostí vy. Tekutina se tedy pohybuje nahoru a dolů ve směru y, jak jsme už předem naznačili na obr. 4-47. Velikost této rychlosti je |£^/B0|. Protože zvlnění pole se pohybuje spolu s vlnou fázovou rychlostí cojk, v naznačeném bodě na obr. 4-48 se siločára rovněž pohybuje směrem dolů. Rychlost tohoto pohybu siločáry směrem doluje (cojk) \ByjB0\, což se podle rov. [4-128] rovná právě rychlosti tekutiny |£^/B0|- Tak tekutina i siločáry Vlny v plazmatu -1 ^\ v, = E, x B0/B| OBR. 4-48 Vztah mezi oscilujícími veličinami v Alfvénově vlně a (přehnaným) pokřivením siločar. oscilují společně, jako kdyby částice byly na siločáry navléknuty. Siločáry se chovají, jako kdyby to byly napjaté hmotné struny a na Alfvénovu vlnu se můžeme dívat jako na šířící se rozruch po brnknutí na strunu. Tato představa plazmatu jakoby přimrzlého k siločárám a pohybujícího se s nimi je užitečná pro porozumění mnoha nízkofrekvenčním jevům v plazmatu a dá se ukázat, že je přesná potud, pokud neexistuje elektrické pole ve směru B0. Zbývá nám ještě podívat se, jak vzniká elektrické pole Ex, jehož existenci od počátku předpokládáme. Při měnícím se Et zpožďují se ionty v důsledku své setrvačnosti za elektrony, vzniká polarizační drift s rychlostí vp ve směru Eľ Tato driftová rychlost vix je dána rovnicí [4-120] a způsobuje proud ;'t ve směru x. Výsledná síla j, x B0 působící na tekutinu má směr y a je proti rychlosti vt fázově posunuta o 90°. Tato síla stále udržuje oscilace podobně jako v kterémkoliv oscilátoru, kde je síla fázově posunutá proti OBR. 4-49 Geometrické schéma torzní (či střižné*) Alfvénovy vlny v cylindrickém sloupci. * označuje případ Bl i. B0, anglicky označovaná jako shear Alfvén wave - pozn. překl. Hydromagnetické vlny 131 rychlosti. Přeběhnutí iontů je ovšem způsobeno jejich setrvačností, která tak udržuje oscilace, jenomže v plazmatu se hybnost přenáší složitým způsobem prostřednictvím elektromagnetických sil. V experimentálně realističtější geometrii by Et bylo v radiálním a v1 v azimutálním směru (obr. 4-49). Plazma se pak pohybuje jako nestlačitelná tekutina, a to je důvod, proč mohl být v pohybové rovnici zanedbán člen Vp. Tento mod se nazývá torzní Alfvénova vlna. Poprvé ji vybudil v kapalné rtuti B. Lehnert. Alfvénovy vlny v plazmatu vyvolali a detegovali jako první Allen, Baker, Pyle a Wilcox v Berkeley v Kalifornii a Jephcott v Anglii v r. 1959. Tento experiment uskutečnili ve vodíkovém plazmatu vytvořeném v „po Schéma experimentálního zařízení pro detekci Alfvénových vln. [Převzato OBR. 4-50 z J. M. Wilcox, F. I. Boley a A. W. DeSilva, Phys. Fluids 3, 15 (1960).] 6x 105 3 - 2 - Změřená závislost fázové rychlosti Alfvénových vln na magnetickém poli. [Převzato OBR. 4-51 z Wilcox, Boley a DeSilva, citovaná práce.] 132 Vlny v plazmatu Magnetozvukové vlny 133 malém pinči", výboji mezi dvěma elektrodami ve směru magnetického pole (obr. 4-50). Plazma se vytvořilo vybitím soustavy pomalých kondenzátoru A, pak byl zapnut rychlý kondenzátor B, spojený s kovovou stěnou, tím vzniklo elektrické pole E4 kolmé na B0. Zákmity kondenzátoru vybudily vlnu, jejíž přibližné časové zpoždění bylo detegováno sondou S. Na obr. 4-51 je změřená fázová rychlost v závislosti na magnetickém poli. Závislost je lineární, jak předpovídá rov. [4-126]. Byl to obtížný experiment, protože k překonání útlumu bylo potřeba vytvořit silné magnetické pole 1T. Velkým B0 se stává nepohodlně velkou hodnota ťA a tudíž i vlnová délka, pokud není i hustota vysoká. Při experimentu Wilcoxově a jeho spolupracovníků byla vytvořena hustota 6 x 1021 m~3, aby se tak dosáhlo nízké Alfvénovy rychlosti 2,8 x 105 m/s. Všimněme ši, že není možné zvýšit q užitím těžších atomů. Frekvence w = kvA je úměrná M1/2, zatímco cyklotronní frekvence ioc je úměrná M~l, poměr cojQc je tedy úměrný M1'2. S těžšími atomy není možné vyhovět podmír-€ co2 <š ti1- 4.19 MAGNETOZVUKOVÉ VLNY Věnujme se konečně nízkofrekvenčním vlnám šířícím se kolmo na B0. Opět můžeme vzít 80 = B0ž a E4 = £jX, ale nyní položíme k — ký (obr. 4-52). OBR. 4-52 Geometrické schéma magnetozvukové vlny šířící se kolmo na B„. Rychlost Ei x B0 driftu bude mít směr vektoru k, takže plazma se bude při oscilacích stlačovat a rozpínat. Je tudíž nezbytné zachovat v pohybové rovnici člen \p. Pro ionty máme ôv Mn° ~dt= e"o(£l + Vil x Bo) ~liKTi v"1 • |4-12«>| Při naší volbě Ei a k je to le Rovnice kontinuity dává takže rov. [4-131] přechází v "o «> ie :vi*Bo + -2 k2 y.KT, |4-I30| 14-1311 |4-I32| 14-1331 Zápis zjednodušíme označením _fc2 y-m co2 M a dostáváme viy(l-A)=-Í^vix. Použijeme-li rov. [4-134], máme ie iíl. / iQ\. . . H l-Aj-Ňte*'- |4-134| 14-1351 To je jediná složka vn, kterou budeme potřebovat, neboť jediná netriviální složka vlnové rovnice [4-81] je ico (m2 - c2k2)Ex = ~ — n0e(vix - vj. |4-I36| Abychom získali vcx, potřebujeme pouze udělat vhodné záměny v rov. [4-135] a vzít limitu s ohledem na malou hmotnost elektronů, takže co2 <š co2 a co2 < k2v2t ie to2/ k2 ycKTc mw co2\ oj2 m ik2 ycKTc coBl e 14-1371 Ze tří posledních rovnic dostáváme (co2 - c2k2)Ex=--n0eEx(___^_^j + ik2M ycKTc coBl eM 14-1381 134 Vlny v plazmatu Stručný přehled elementárních vln 135 Opět budeme předpokládat co2 < Q2, takže 1 — A můžeme zanedbat vzhledem k Q2jco2. Užijeme definic pro Í2p a vA a máme k±B0: «»--cV[l+^JJ + s|,«r fc2c2 yeXTt Poněvadž {1+Mv2J + Q2c\ M J 14-1391 Í2p2/Í2c2 = c>2, dostává rov. [4-139] tvar i + kde t; je akustická rychlost. Konečně dostáváme co2 k2 — Cl 2 c2 + v\ |4-i42| To je disperzní vztah pro magnetozvukovou vlnu šířící se kolmo na B0. Je to akustická vlna, v níž stlačení a zředění nevzniká pohyby ve směru E, nýbrž ve směru £ x B, tj. driftovými pohyby kolmo na £. V limitě B0 -»0, t>A 0 přechází magnetozvuková vlna v obyčejnou iontově akustickou vlnu. V limitě KT -* 0, vz -* 0 vymizí síly gradientu tlaku a vlna se stává modifikovanou Alfvénovou vlnou. Fázová rychlost magnetozvukové vlny je skoro vždycky větší než vA, proto se často nazývá jednoduše „rychlá" hydromagnetická vlna. 4.20 STRUČNÝ PŘEHLED ELEMENTÁRNÍCH VLN V PLAZMATU Elektronové vlny (elektrostatické) B0 = 0 nebo k || B0: io2 = fol+ \k2v2 klB„ O)2 = co2 + co2 = co2 (Plazmové oscilace) |4-i43| (Horní hybridní oscilace) |4-i44| Iontové vlny (elektrostatické) B0 = 0 nebo k || B0: co2 = k\ = = k2 M (Akustické vlny) |4-I45| co2 = Q2 + k2v2 co nebo = co? = Qj Elektronové vlny (elektromagnetické) Bo = 0: 14-1401 C02=O,p2 + /c2c k -i-Bo, £t ii B0: c2Jt2 14-1411 CO2 ~ 1 p CO2 k J-Bo, Ei-LBo c2k2 1 __E 'w2~~ co2 k B„ c2fc2 co2 c2^2 CO2 1 - = 1 - co co — cor 1 - (co» 1 + (tt)» Iontové vlny (elektromagnetické) B0 = 0: žádné k II B„: k±Bn co2 = fc2t>2 fe2 C C2 + ľ* (Elektrostatické iontové cyklotronní vlny) |4"IJ<'1 (Dolní hybridní oscilace) |4-i47| (Světelné vlny) (O vlna) (X vlna) (R vlna) (hvizdy) (L vlna) 14-1481 14-1491 14-1501 (4-1511 14-1521 (Alfvénova vlna) |4-i53| (Magnetozvuková vlna) |4-I54| Tento soubor disperzních vztahů je velice zjednodušen a zahrnuje pouze hlavní směry šíření. Přesto prese všecko je velmi užitečné mít tento soubor rovnic v paměti jako základní pomůcku při rozboru složitějších vlnových pohybů. Často je možné vyložit složitý případ jako pozměněný typ některé z těchto základních oscilací nebo jako jejich superpozici. 4.21 CMA DIAGRAM Mění-li se úhel mezi směrem šíření a magnetickým polem, mění se i fázová rychlost. Některé z typů vln uvedených v předchozím odstavci pod k || B0 a klB0 přitom spojitě přecházejí jeden v druhý, jiné typy při určitém 136 Vlny v plazmatu CMA diagram 137 M/m tu -i O o. ■UJ O ■E z CD < O m tu z o>2 lul NEBOLI HUSTOTA OBR. 4-53 CMA (Clemmow-Mullaly-Allis) diagram pro klasifikaci vln ve studeném plazmatu. kritickém úhlu prostě zmizí. Toto složité spektrum změn dobře objasňuje CMA diagram, jejž takto podle jeho spolutvůrců (Clemmow-Mullaly-Allis) nazval T. H. Stix. Takový diagram je na obrázku 4-53. CMA diagram však platí pouze pro studené plazma Tj = Tc = 0. Rozšířením na nenulové teploty se stane tak složitým, že přestává být užitečný. Na obrázku 4-53 je na jedné ose cojco neboli magnetické pole a na druhé w2/co2 neboli hustota. Při dané frekvenci co se každý experimentální případ charakterizovaný veličinami cop a coc promítne do nějakého bodu v diagramu. Mezními frekvencemi a rezonancemi, s nimiž jsme se setkali, je celá plocha rozdělena na oblasti. Například mezní frekvence mimořádné vlny co2 = co2 + co2 je vyjádřena kvadratickým vztahem mezi cojco a co2/co2 a touto parabolou je na obrázku 4-53 křivka označená „horní hybridní rezonance". Tyto křivky mezních frekvencí a rezonancí pro různé vlny oddělují od sebe oblasti šíření a oblasti, v nichž se šířit nemohou. Jednotlivé oblasti se tedy od sebe liší souborem vln, které v nich mohou existovat. Malé grafy namalované v každé oblasti označují nejen vlny v té oblasti existující, ale i kvalitativní změnu fázové rychlosti podle úhlu šíření. V těchto grafech si musíme magnetické pole představovat vertikálně, potom je vzdálenost ze středu pod úhlem 9 do bodu na patřičné křivce (elipse či osmičce) úměrná fázové rychlosti při šíření pod tímto úhlem vzhledem k magnetickému poli. Například v trojúhelníkové oblasti označené na obr. 4-53 hvězdičkou * vidíme, že při změně 9 z nuly na 7t/2 se L vlna stává X vlnou, R vlna má menší rychlost než L vlna a při téže změně úhlu zmizí. Nezmění se v O vlnu, protože v této oblasti je co2 < co2 a O vlna zde neexistuje. V horní oblasti CMA diagramu je co -4 coc, zde nalezneme nízkofrekvenční iontové vlny. Protože jsme v tomto diagramu zanedbali tepelné rychlosti, nedostaneme elektrostatické iontové vlny, které se šíří jenom v teplém plazmatu. Na CMA diagram se můžeme dívat jako na „plazmatický rybníček": oblázek vhozený do jednotlivých oblastí vyvolá vlnky toho typu, který je v té oblasti naznačen. 4-20. Představte si, že jste v laboratoři vytvořili plazma sn=1015m 3 a B = 10 2 T; k sondě zasahující do plazmatu připojíte signální generátor pracující na frekvenci 160 MHz. (a) Nakreslete CMA diagram a ukažte oblast, do níž tento experiment patří. (b) Jaké elektromagnetické vlny mohou být v tomto plazmatu vybuzeny a šířit se v něm? 4-21. Představte si, že máte navrhnout experiment, v němž budou v cylindrickém sloupci plazmatu generovány stojaté torzní Alfvénovy vlny tak, aby stojatá vlna měla kmitnu ve středové rovině a uzly na koncích. Abyste vyhověli podmínce co « fic, nastavte co = 0,lfi„. (a) Kdybyste mohli vytvořit vodíkové plazma s n ■■ by musel být sloupec? 10" m-3 a B = 1 T, jak dlouhý ÚLOHY 138 Vlny v plazmatu Úlohy (b) Kdybyste se snažili dosáhnout toho v Q-systému s 0,31 T a jednou ionizovanými Cs atomovými ionty s atomovým číslem 133 při hustotě n = 1018 m-3, jak dlouhý by musel být sloupec plazmatu? Návod: Vypočítejte charakteristické délky a použijte výsledky z části (a). 4-22. Pulsar emituje široké spektrum elektromagnetického záření, které je detego-váno přijímačem naladěným přibližně na / = 80 MHz. Poněvadž v mezihvězdném plazmatu dochází k disperzi grupové rychlosti, posouvá se pozorovaná frekvence během každého impulsu rychlostí d//dt = - 5 MHz/s. (a) Jestliže je v mezihvězdném prostoru magnetické pole zanedbatelné a co2 > co2, ukažte, že _í C kde f je plazmová frekvence a x je vzdálenost pulsaru. (b) Je-li střední elektronová hustota v prostoru 2 x 10"7 m- 3, jak daleko je pulsar? (lparsec = 3 x 1016m.) 4-23. V třísložkovém plazmatu mají elektrony hustotu n0, ionty o hmotnosti M{ mají hustotu (1 — v)n0 a vn0 je hustota iontů o hmotnosti M2. Nechť Tn = Ti2 = 0, Te*0. (a) Odvoďte disperzní vztah pro elektrostatické iontové cyklotronní vlny. (b) Najděte jednoduchý výraz pro co2, jestliže v je malé. 4-24. Ukažte, že při Langmuirových plazmových oscilacích se časově průměrná kinetická energie elektronů v m3 rovná hustotě energie elektrického pole é0<£2>/2. 4-25. Ukažte, že pro Alfvénovu vlnu se časově průměrná kinetická energie iontů v m3 rovná energii magnetické vlny e0c2/2. 4-26. Na obr. 4-54 je nakreslen laser pracující v daleké infračervené oblasti A = = 337 um. Je-li B0 = 0, prochází toto záření snadno plazmatem, pokud cov< co neboli n < nk — 1022m~3. Protože však probíhané vzdálenosti jsou dlouhé, de-fokusační efekt plazmatu (srv. obr. 4-31) zhorší optické vlastnosti dutiny, takže hustota je omezena podmínkami co2 < vco2, kde v < 1. Chceme zvýšit mezní hustotu, a tedy i výstupní vý' u;. Že tomu tak je, můžeme vidět z rov. [5-7]. Poněvadž v je úměrné tepelné rychlosti, která je zase úměrná m~1'2, je p úměrné m"1/2. Rovnice [5-16] a [5-9] potom dávají D,«Di.+ - D =!>; + -: |5-i8i 2 Me T, Pro Te = T; dostáváme Da « 2£>j. |5-I9| Ambipolární elektrické pole zvyšuje difúzi iontů o faktor 2, avšak rychlost difúze obou těchto druhů částic dohromady je určována v prvé řadě částicemi pomalejšími. Rozpad plazmatu difúzí 145 Difúze mezi rovnoběžnými stěnami 5.2.2 Difúzni rovnici můžeme snadno řešit separací proměnných. Nechť n{r,t)=T(t)S(r), |5-20i potom z rov. [5-17] dostáváme S— = DT\2S, dt 1 dT D , 15-211 15-221 Poněvadž levá strana je funkcí pouze času a pravá strana funkcí pouze prostorových proměnných, musí se obě rovnat téže konstantě, kterou označíme - 1/t. Pro funkci T pak máme rovnici dT "ďT T t s řešením T0 e"'". Prostorová část S je dána rovnicí 15-231 |5-24| 15-251 l-<26| ■(Dt)1'2 • "•""(Dt)1'2- '"7| Chceme, aby u stěn byla hustota skoro nulová (obr. 5-3) a mezi nimi aby : měla jedno nebo více maxim. Nejjednodušším řešením bude jedno maximum. V důsledku symetrie můžeme škrtnout v rov. [5-27] lichou funkci sinus. Z okrajové podmínky S = 0 pro x = ±L pak plyne V2S =--S. Dt Pro rovinnou geometrii našeho příkladu to znamená d2S 1 dx2 s řešením A cos- Dx + B sin - n 12=2 neboli (Dt)' Z rovnic [5-20], [5-24], [5-27] a [5-28] dostáváme TtX n = nne •t/t cos- 2Ľ 15-281 15-291 146 Difúze a odpor To se nazývá nejnižší difúzni mod. Rozdělení hustoty je dáno kosinem a s časem ubývá hustota exponenciálně. Časová konstanta t narůstá s L a mění se s převrácenou hodnotou D, jak lze očekávat. _/_ 0 +L OBR. 5-3 Hustota plazmatu v různých časových okamžicích při rozpadu plazmatu ke stenám. OBR. 5-4 Rozpad nehomogenního plazmatu. Vyšší difúzni mody mizí rychleji. Existují ovšem vyšší difúzní mody s více než jedním maximem. Předpokládejme, že počáteční rozložení hustoty je zobrazeno nejhořejší křivkou na obr. 5-4. Takové libovolné rozložení můžeme rozvinout do Fourierovy řady n = n„ cos (/ + ■ 7CX 7tKX\ ~yn\ Rozpad plazmatu difúzi 147 Indexy jsme zvolili tak, aby okrajová podmínka pro x = ±L byla automaticky splněna. Při hledání časové závislosti zkusme řešení ve tvaru n = n0(laie-^' cosv 2; +Zbne »/t* . W17tx\ sin-1. L ) 15-311 Dosadíme-li do rovnice difúze [5-17], vidíme, že z každého kosinového členu dostáváme vztah 15-321 a podobně ze sinových členů. Časová konstanta pro zánik /-tého modu je tedy -T- |5-33| Jemná struktura hustotního profilu, odpovídající velkým hodnotám 1, zaniká rychleji, s menší časovou konstantou t,. Rozpad plazmatu bude pokračovat tak, jak ukazuje obr. 5-4. Nejprve se bude difúzí rozplývat jemná struktura, až se vytvoří nejnižši difúzni mod, prosté kosinové rozložení z obr. 5-3, jež se bude dále snižovat a profil hustoty plazmatu bude už zachovávat svůj charakter. Difúze ve válci 5.2.3 Prostorová část rovnice difúze [5-25] se v cylindrické geometrii změní takto dr2 r ár Dx Od rovnice [5-26] se liší přidaným prostředním členem, který je důsledkem změny souřadnicového systému. Potřeba zvláštního členu je jednoduše znázorněna na obr. 5-5. Jestliže se vrstva plazmatu v případě (A) pohybuje 15-341 A B Pohyb plazmatické vrstvy při rovinné a cylindrické konfiguraci. Obrázek slouží k ilu- OBR. 5-5 Straci rozdílu mezi kosinem a Besselovou funkci. f 148 Difúze a odpor směrem většího x, aniž by se směla rozpínat, zůstane hustota konstantní. Bude-li se však pohybovat obdobná vrstva v případě (B) k většímu r a tloušťka se nebude měnit, bude hustota klesat jako l/r. Můžeme tudíž očekávat, že řešení rov. [5-34] se bude podobat tlumenému kosinu (obr. 5-6). Tato funkce se nazývá Besselova funkce nultého řádu a rov. [5-34] se nazývá Besselova rovnice (nultého řádu). Místo symbolu cos* stojí symbol J0. Funkce /0(r/[Z>r]1/2) je řešením rov. [5-34] právě tak, jako cos [x/(Dt)1/2] je řešením rov. [5-26]. Obě funkce, cos kx i J0(kr) lze vyjádřit nekonečnými řadami a lze je nalézt v matematických tabulkách. OBR. 5-6 Besselova funkce nultého řádu. Abychom splnili okrajovou podmínku n = 0 pro r = a, musíme aj(Dt)il2 položit rovno prvému kořenu funkce J0, tj. 2,4. Tím dostaneme časovou konstantu zániku t. Hustota plazmatu opět ubývá exponenciálně, protože časová část rovnice difúze [5-23] zůstává nezměněna. Popsali jsme nejnižší difúzni mod ve válci. Vyšší difúzni mody s více než jedním maximem ve válci budou obsahovat Besselovy funkce vyššího řádu, v přesné analogii k případu rovinné geometrie. 5.3 STACIONÁRNÍ STAV Při mnoha experimentech plazma zůstává v ustáleném stavu, přičemž ztráty jsou nahrazovány stále probíhající ionizací nebo vstřikováním plazmatu. Pro výpočet profilu hustoty musíme v takovém případě do rovnice kontinuity přidat zdrojový člen |-DV2„ = e(r). 15-351 Znaménko určíme takto: kladné Q představuje zdroj částic, dnjdt je kladné. Pro ustálený (stacionární) stav položíme dnjôt = 0 a dostáváme rovnici Poissonova typu pro n(r). Stacionárni stav 149 Konstantní ionizační funkce 5.3.1 Ve slabě ionizovaných plynech ionizaci často obstarávají elektrony s vyššími energiemi, tj. z konce Maxwellova rozdělení. Zdrojový člen Q je pak úměrný elektronové hustotě n, Q = Zn, kde Z je „ionizační funkce". Tak dostáváme V2n = -(ZJD)n. 15-361 To je táž rovnice jako rov. [5-25] pro S. Profil hustoty je tedy kosinus nebo Besselova funkce, stejně jako v případě rozpadajícího se plazmatu, jenom se v tomto případě hustota nezmenšuje s časem. Difúzni ztráty jsou vyrovnávány nějakým tepelným zdrojem, který udržuje elektronovou teplotu na konstantní hodnotě, a zdrojem neutrálních atomů v náhradu za ty, jež byly ionizovány. Rovinný zdroj 5.3.2 Nejprve vyšetříme, jaký profil hustoty bychom dostali v rovinné geometru, kdyby zdroj částic byl lokalizován do roviny x = 0. Takovým zdrojem by mohl být například štěrbinami vymezený svazek ultrafialového záření -L 0 +L Při rovinném zdroji částic je výsled- OBR. 5-7 kem difúze trojúhelníkový profil hustoty. s energií dostačující na ionizaci neutrálního plynu. Rovnice difúze pro stacionární případ je potom ^=-2^(0). dx2 D 15-371 S výjimkou x = 0 musí hustota splňovat rovnici ô2njdx2 = 0. Je zřejmé, že řešením je (obr. 5-7) •oi1 Ll- 15-381 Profil hustoty plazmatu je lineární; nespojitost derivace v místě zdroje je charakteristická pro zdroje s <5-funkcí. . 150 Difúze a odpor 5.3.3 Zdroj v ose A konečně mějme v cylindrickém plazmatu zdroj lokalizovaný do osy. Takovým zdrojem může být třeba svazek elektronů s dostatečnou energií, který bude podél osy ionizovat. S výjimkou r = 0 musí hustota splňovat rOVnÍCÍ I3(dn\ Řešení, jež dává pro r — a nulovou hodnotu, je n = n0 ln (ajr). |5-4»| Hustota se pro r = 0 stává nekonečnou (obr. 5-8); v blízkosti osy není možno hustotu určit přesně, aniž bychom vzali v úvahu konečnou šířku zdroje. OBR. 5-8 a o a Je-li zdroj částic v ose válce, je výsledkem difúze logaritmický profil hustoty. 5.4 REKOMBINACE Srazí-li se ion s elektronem, mají zejména při nízké relativní rychlosti konečnou pravděpodobnost, že budou rekombinovat a vznikne neutrální atom. Aby byl splněn zákon zachování hybnosti, musí se na srážce podílet ještě třetí těleso. Je-li tímto třetím tělesem emitovaný foton, nazýváme tento proces radiativní rekombinace, je-li jím částice, mluvíme o třítělesgvé rekqm-binaci^ Ztráty plazmatu způsobené rekombinací můžeme v rovnici kontinuity započítat záporným zdrojovým členem. Tento člen bude úměrný n.n. = n2. Bez difúzního členu má rovnice kontinuity tvar dnjdt = -an2 15-411 Konstantu úměrnosti a nazýváme koeficient rekombinace a má rozměr m3/s. Rovnice [5-41] je nelineární v n, tzn. že jednoduchou metodou lineární Rekombinace 151 superpozice řešení se nám nepodaří vyhovět počátečním a okrajovým podmínkám. Rov. [5-41] je naštěstí tak jednoduchá kvadratická rovnice, že řešení můžeme přímo nahlédnout. Je to 1 1 n(r,t) «0(r) kde n0(r) je počáteční rozložení hustoty. Snadno si ověříme, že toto řešení splňuje rovnici [5-41]. Poté, co hustota klesne hluboko pod svou počáteční hodnotu, klesá nepřímo úměrně s časem 1/ař. 15-431 To je zásadně odlišná závislost než v případě difúze, kdy je časová změna exponenciální. Na obr. 5-9 jsou výsledky měření hustoty ve vyhasínajícím slabě ionizovaném vodíkovém plazmatu. Při velkých hustotách převládá rekembina-ce, která je úměrná n2, a hustota ubývá s 1/t. Když hustota klesne na nízkou hodnotu, převládne difúze a další snižování už je exponenciální. 1015 c 101* rar—i—i—i—i—i—i—r □ \ t—i—i—i—i—i—i—j—i—i—i—r \ ^ j_i_i_i_i_i_\_i 1-1-1—I—I-1-1_I_I_I_I_1_L 0 1 2 t(ms) 3 4 5 Klesající hustota slabě ionizovaného plazmatu zanikajícího difúzí a rekombinací. [Pře- OBR. 5-9 vzato z S. C. Brown, Basic Data of Plasma Physics, John Wiley and Sons, New York, 1959.] 152 Difúze a odpor Difúze napřič magnetickým polem 153 5.5 DIFÚZE NAPŘIČ MAGNETICKÝM POLEM Ztráty plazmatu difúzí můžeme snížit magnetickým polem; to je základní problém, s nímž se potýká výzkum udržení plazmatu při řízené termojaderné syntéze. Představme si slabě ionizované plazma v magnetickém poli (obr. 5-10). Ve směru rovnoběžném s B se budou nabité částice pohybovat difúzí a pohyblivostí podle rov. [5-10], neboť B nebude mít na jejich pohyb v tomto směru žádný vliv. Pro každý druh částic tedy máme dn |5-44| o o OBR. 5-10 Nabitá částice bude v magnetickém poli rotovat okolo jedné siločáry, dokud se nesrazí. OBR. 5-11 Drifty částic v cylindricky symetrickém sloupci plazmatu nevedou ke ztrátám. Kdyby nedocházelo ke srážkám, částice by v kolmém směru vůbec nedi-fundovaly - stále by kroužily kolem stejné siločáry. Vznikají ovšem drif-tové pohyby částic napříč B v důsledku přítomnosti elektrických polí nebo gradientů B, ale ty lze uspořádat tak, aby byly rovnoběžné se stěnami. Například v dokonale symetrickém válci (obr. 5-11) mají všechny gradienty radiální směr, takže drifty gyračních středů mají směr azimutální. Takto by byly drifty neškodné. Dochází-li ke srážkám, posunují se částice chaotickým pohybem ke stěnám ve směru gradientů, napříč B (obr. 5-12). Srazí-li se řekněme ion s neutrálním atomem, opouští místo srážky v jiném směru, než se k němu blížil. Opět bude stejným způsobem kroužit okolo magnetické siločáry, ale jeho fáze se nespojitě změnila. (Může se měnit také Larmorův poloměr, ale předpokládejme, že ion v průměru ani nezíská, ani neztratí energii.) Gyrační střed tedy mění při srážce svoji polohu, a tak vzniká jeho chaotický pohyb. Difúze rotujících částic při sráž- OBR. 5-12 kách s neutrálními atomy. Částice budou difundovat proti směru Vn. Délka kroku náhodného pohybu už není As, jako při difúzi bez magnetického pole, nýbrž má velikost Lar-morova poloměru rL. Difúze napříč B tedy může být zpomalena tím, že zmenšíme rL, tj. zvětšíme B. Abychom viděli, jak k tomu dochází, napíšeme kolmé složky pohybové rovnice pro tekutinu pro kterýkoliv z druhů částic dvx mn~^ = ±en(E + vL x B) - KTSn - mnw = 0. 15-451 Opět předpokládáme, že plazma je izotermní a že v je tak velké, že můžeme člen dvját zanedbat, x-ová a y-ová složka je mnvt; ôn x = ±enEx- KT—± envfí , ex ' ôn ~J- mnvvy = ±enEy - KT — f£)envxB. Užijeme definiční výrazy pro /iaZ)a dostáváme |5-46| ±HEX- D ôn co„ n ôx ±"r«V. D dn _ co, ±ltE ,--■=- + —vx. y n dx v 15-471 Dosadíme za vx a vyjádříme v , KT 1 dn Difúze a odpor Difúze napříč magnetickým polem kde t = v-1. Podobně vx je dáno výrazem vx(i + coy) = ±,ex - - - - coy + »y —-Ty. V posledních dvou členech těchto rovnic vystupují drifty e x b a dia-magnetický e. er ***** KT 1 dn KT 1 dn Prvé dva členy mohou být zjednodušeny, definujeme-li pohyblivost a koeficient difúze pro kolmý směr ^"l+coV' D 1 + c!x2t2 15-511 Pomocí rovnic [5-50] a [5-51] můžeme rovnice [5-48] a [5-49] přepsat Pj.= +/i1£-D1— + ■ 15-521 ti " 1 + (v2K2)' Ztohoto výrazu ie zřeimé. že kolmá rychlost toho či onoho druhu částic se skládá ze dvou části. Zajarvé jsou to obyčejné driftové rychlosti vE a vD kolmé na gradienty potenciálu a hustoty. Tvto drifty isou zpomaleny ^^gg^^šlířiitrálnirni rástirpmilľhrzdicí faktor 1 + (v2/co2) se v limitě v-»Q_rovná jedničce. Za druhé jsou to drifty způsobené pohyblivosti a di-llhírovnoběžné s gradienty potenciálu a hustoty. Tyto drifty jsou vyjádřeny stejným způsobem jako v případě B = 0, ale koeficienty fiaD jsou zmen-šeny faktorem 1+ co2t2. _ -SôTIcúTá^rJe důležitou veličinou pro magnetické udržení plazmatu. Je-li co2t2 « 1, má magnetické pole malý vliv na difúzi, je-li naopak cf2t2 !> 1, snižuje výrazně difúzni rychlost napříč B. Snadno si lze ověřit alternativní výraz pro coct «ct = coc/v = uB^As/rL. 15-531 V limitě w2t2 P 1 dostáváme KT 1 mv cü2t2 KTv „,.,2 ' |5-54| Při srovnání s rov. [5-8] pozorujeme, že role srážkové frekvence se obrátila. Při difúzi ve směru rovnoběžném s B je D úměrné v" \ protože srážky zpomalují pohyb. Při difúzi kolmo na B je DL úměrné v, protože srážky jsou nezbytné pro přecházení částic přes siločáry. Závislost na m se rovněž obrátila. Uvědomíme-li si, že v je úměrné m_1/2, pak je zřejmé, že D ~ m_1/2, zatímco Dx ~ m1/2. Při rovnoběžné difúzi se elektrony pohybují rychleji než ionty, protože jejich tepelná rychlost je větší; při difúzi v kolmém směru elektrony unikají pomaleji, protože mají menší Larmorův poloměr. Pomineme-li číselné faktory řádu jednotky, můžeme rov. [5-8] psát D = KTJmv ~ yt2t ~ Xjt. _ |5-55| Tento tvar, čtverec délky dělený časem, ukazuje, že základem difúze je chaotický pohyb s délkou kroku ks. Rovnici [5-54] lze napsat KTv ' L ' L „y--. t), T |5-56| To ukazuje, že difúze v kolmém směru spočívá v chaotickém pohybu s kro- kem rL a nikoliv As. 5.5.1 Ambipolární difúze napříč B Jelikož v magnetickém poli jsou pohyblivost i koeficient difúze anizo-tropní, není ambipolární difúze tak prostým problémem, jako v případě B = 0. Nechť toky částic jsou kolmé na B' (obr. 5-13). Protože ľcL je menší než ľiL, obyčejně vznikne napříč magnetickým polem pole elektrické, které bude podporovat difúzi elektronů a brzdit difúzi iontů. Toto elektrické pole však může být zkratováno nevyváženými toky podél B. To znamená, záporný náboj, vznikající v důsledku TeX < r;i, se může rozplynout únikem elektronů podél siločar. Ačkoliv úhrnná difúze musí být ambipolární, nemusí být ambipolární ta část difúzních ztrát, k nimž dochází v kolmém směru. Ionty difundují z plazmatu především radiálně, kdežto elektrony rovnoběžně s B. Zda to ve skutečnosti takto probíhá či nikoliv, záleží na tom kterém pokusu. V krátkém sloupci plazmatu, kde siločáry končí na vodivých deskách, lze očekávat, že ambipolární elektrické pole bude zkratováno. Každý druh částic pak radiálně difunduje nestejně rychle. V dlouhých a tenkých sloupcích'plazmatu, ukončených izolujícími deskami, bude radiální difúze ambipolární, protože únik podél B je obtížný. /// ell ex OBR. 5-13 Toky částic rovnoběžné s magnetickým polem a kolmé na něj. 156 Difúze a odpor Difúze napřič magnetickým polem 157 ANODA Při matematickém postupu je nutno řešit současně rovnici kontinuity [5-12] pro ionty a pro elektrony. Přitom podmínkou je rovnost nikoliv mezi toky f}, ale mezi jejich divergencemi ?./}. Separujeme kolmou a rovnoběžnou složku V. f, a dostáváme V. rs = M - DiL Vn) + dz v.rc = v±.(-/ i To je naše druhá rovnice, která se nazývá zobecněný Ohmův zákon a popisuje elektrické vlastnosti vodivé tekutiny. Člen jxBse nazývá Hallův proud. Často se stává, že tento a poslední člen jsou natolik malé, že mohou být zanedbány, Ohmův zákon pak prostě zní E + v x B = nj. 15-911 Rovnice kontinuity pro měrnou hmotnost g a pro hustotu náboje a získáme snadno sečtením a odečtením rovnic kontinuity pro ionty a pro elektrony. Difúze v plně ionizovaném plazmatu Soustava MHD rovnic je pak: e— = ; x B- Vp + eg, E + »xB = ijj, Ôg dt + V.(ev) = 0, da ~ďt + v.y = o. (5-851 15-911 15-921 15-9-11 Spolu s Maxwellovými rovnicemi se tato soustava často používá k popisu rovnovážného stavu plazmatu. Dá se užít i pro odvozeni plazmatických vln, ale takový postup je mnohem nepřesnější, než byl náš pomocí rovnic pro dvě tekutiny. Při řešení problémů spojených s odporem převáží jednoduchost MHD rovnic nad jejich nevýhodami. Hojně je užívají astrofyzikové u problémů kosmické elektrodynamiky, teoretici pracující se složitou geometrií magnetického pole při jaderné syntéze, nebo se užívají při výzkumu MHD generátorů. DIFÚZE V PLNĚ IONIZOVANÉM PLAZMATU Bez gravitace dostávají rov. [5-85] a [5-91] pro ustálený stav plazmatu tvar ; x B = Vp, |5-94| E + v x B = nj. 15-951 Druhá z těchto rovnic pro směr rovnoběžný s magnetickým polem zní prostě E|l = f n in» což je obyčejný Ohmův zákon. Ko'mou složku nalezneme, vynásobíme-li rovnici vektorově B E x B + (vj. x B) x B = r/±j x B = nx Vp, E x B - VjB2 = nx Vp, E x B tji ■ v, = |5-96| První člen je E x B drift společný oběma druhům částic. Druhý člen je difúzní rychlost ve směru -Vp. Napřiklad v osově symetrickém cylindrickém plazmatu, v němž E a Vp mají radiální směr, bychom měli 1l dP B ' V' B2 dr |5-97| 168 Difúze a odpor Řešeni difúzni rovnice 169 Tok způsobený difúzí je »5-981 Tato rovnice má tvar Fickova zákona (rov. [5-11]) s difúzním koeficientem |5-99| To je tzv. „klasický" difúzni koeficient pro plně ionizovaný plyn. Při vyhodnocování Dy musíme pamatovat na to, že B i K T musí být ve stejném systému jednotek. Všimněme si, že DL je úměrné l/B2 stejně jako ve slabě ionizovaných plynech. Tato závislost je charakteristická pro klasickou difúzi a pochází z modelu chaotického pohybu s délkou kroku rL. Rovnice [5-99] se však od rov. [5-54] pro částečně ionizovaný plyn liší ve třech podstatných bodech. Za prvé v plně ionizovaném plynu DL není konstanta, ale je úměrné n, a to proto, že hustota rozptylových center není pevně dána hustotou neutrálních atomů, aleje to sama hustota plazmatu. Za druhé, protože je r\ úměrné (KT)~312, DL v plně ionizovaném plynu s rostoucí teplotou klesá. V částečně ionizovaném plynu je tomu naopak. Příčinou této rozdílnosti je rychlostní závislost Coulombova účinného průřezu. Za třetí, v plně ionizovaném plynu je difúze automaticky ambipolární (pokud zanedbáváme srážky mezi stejnými částicemi). DL v rov. [5-99] je koeficient pro tekutinu jako celek; ambipolární elektrické pole nevzniká, protože oba druhy částic difundují stejnou rychlostí, což je důsledek zachování hybnosti ve srážkách mezi iontem a elektronem. Tento bod se poněkud ozřejmí, užijeme-li rovnice pro dvě tekutiny (viz úlohu 5-7). Chtěli bychom ještě zdůraznit, že v plně ionizovaném plynu neexistuje pohyblivost napříč magnetickým polem. Rovnice [5-96] pro vL neobsahuje složku ve směru E, která by závisela na E. Je-li na homogenní plazma vloženo příčné elektrické pole, pohybují se oba druhy částic společně rychlostí E x B driftu. Protože neexistuje mezi nimi relativní driftový pohyb, nesrá-žejí se a nevznikne drift ve směru E. Samozřejmě že ke srážkám dochází v důsledku tepelných pohybů, tento náš jednoduchý výsledek je tedy jenom přibližný. Dostali jsme jej za tu cenu, že jsme zanedbali (a) srážky mezi stejnými částicemi, (b) hmotnost elektronů a (c) poslední dva členy v Ohmově zákonu (rov. [5-90]). 5.9 ŘEŠENI DIFÚZNI ROVNICE Protože v plně ionizovaném plynu není DL konstantní, definujeme veličinu A, která je konstantní A = nKTJB2. 15-1001 Předpokládali jsme, že KT a B jsou homogenní a že můžeme zanedbat závislost t\ na n, zprostředkovanou faktorem In A. Pro případ 7j = Tt potom máme 15-1011 D± = 2nA. Rovnici kontinuity [5-92] můžeme nyni napsat Bnjôt = V. (Dí \n) = A V. (2n Vn), dnjdt = A W. 15-1021 To je nelineární rovnice pro n, pro niž existuje jen velmi málo jednoduchých řešení. Časová závislost 5.9.1 Separujeme-li proměnné pomocí substituce n=T(t)S(r), můžeme rov. [5-102] zapsat T2 dt ~ S 15-1031 kde — l/t je separační konstanta. Řešit prostorovou část této rovnice je obtížné, ale pro časovou část máme tutéž rovnici, s jakou jsme se setkali při rekombinaci (rov. [5-41]). Řešení je tedy 1 _ 1 t Ť~Yn + 7 f5-104| Pro velké t hustota klesá jako 1/í, stejně jako v případě rekombinace. Bude-li plně ionizované plazma klasicky difundovat, lze očekávat tento pokles hustoty nepřímo úměrný časij. Exponenciální ubývání hustoty slabě ionizovaného plynu je zřetelně odlišná závislost. Řešení nezávislá na čase 5.9.2 Existuje jeden případ, kdy lze tuto rovnici řešit jednoduše. Představte si dlouhý sloupec plazmatu (obr. 5-19), v jehož oseje zdroj, který vyrovnává ztráty plazmatu difúzi a rekombinaci a udržuje tak stacionární stav. Mimo oblast zdroje je profil hustoty výsledkem soupeření mezi difúzí a rekombinaci. Je-li difúze malá a rekombinační ztráty velké, hustota se výrazně sníží již v malé vzdálenosti od zdroje, v opačném případě klesá pomalu. Mimo oblast zdroje má rovnice kontinuity tvar -A\2n2 = -an2 . 15-1051 170 Difúze a odpor Bohmova a neoklasická difúze 171 t ......... • • Obr. 5-19 Difúze plně ionizovaného cylindrického plazmatu napříč magnetickým polem. Tato rovnice je lineární v n2 a můžeme ji snadno řešit. V cylindrické geometrií je řešením Besselova funkce. V rovinné geometrii má rov. [5-105] tvar d2n2 a , dx2 15-1061 s resenim 15-1071 15-1(181 n2 = n2exp[-(ajA)ll2x]. Charakteristická vzdálenost je / = (X/a)1'2. A se mění s magnetickým polem, zatímco a zůstává konstantní; tím je dána závislost / na B umožňující experimentální ověření klasické difúze. Takový experiment byl skutečně proveden v Q-systému s plně ionizovaným plazmatem, bohužel výsledky nebyly přesvědčivé, neboť asymetrické E x B drifty vedly k jinému typu ztrát, ke ztrátám konvekcí. Ještě bychom se chtěli zmínit o pravidle podobnosti, které platí v plně ionizovaném stacionárním plazmatu v homogenním poli a udržovaném konstantním zdrojem Q. V takovém případě rovnice kontinuity je -A W = -nKTV2{n2lB2) = Q. 15-1091 Protože naß vystupují jenom v kombinaci njB, zůstane při změně B profil hustoty zachován a hustota poroste lineárně s B B. 15-1I0| Snad bychom očekávali, že rovnovážná hustota se bude měnit jako B2, protože DL ~ B~2, ale nesmime zapomenout, že samo Dx je úměrné n. 5.10 BOHMOVA A NEOKLASICKÁ DIFÚZE Ačkoliv byla teorie difúze spočívající na coulombovských srážkách už dlouho známa, až do nedávných let vzdorovalo ověření závislosti koeficientu difúze D± v plně ionizovaném plazmatu na l/B2 všem experimentům. Ve všech dřívějších experimentech jevilo DL závislost B~l a nikoliv B~2 a úbytek hustoty plazmatu byl exponenciální a nikoliv nepřímo úměrný času. Krom toho absolutní hodnota Dx byla mnohem větší, než jak ji udávala rov. [5-99]. Toto mimořádně slabé držení plazmatu magnetickým polem poprvé zaznamenali v roce 1946 Böhm, Burhop a Massey, když pracovali na vývoji oblouku v magnetickém poli, který měl sloužit k separaci izotopů uranu. Böhm stanovil poloempirický vzorec 1 KT* „ D, =--- = D 1 16 eB 1 15-mi Tato formule vyhovovala překvapivému množství různých experimentů. Difúze probíhající podle tohoto zákona se nazývá Bohmova difúze. Protože DB nezávisí na hustotě, klesá hustota s časem exponenciálně. Časová konstanta v cylindrickém sloupci o poloměru R a délce L může být odhadnuta takto: N nnR2L nR dNjdt rr. 2nRL 2ľr 100 F-'—'—l i 11111-1—i i i i l ti|-\—i—i i l 11 H : V PLAZMA V PARÁCH. ALKALICKÝCH KOVU DATA PŘEPOČTENA NA '_ 1.23 TA POLOMĚR 5 cm 10 2 lu ■n CĹ o Z) < CO O o 1.0 0.1 ^ ODPOROVÝ MIKROVLNNÝ ^ OHŘEV O >^ OHŘEV ELEKTRONOVOU 0 \? CYKLOTRONOVOU £W REZONANCÍ ZMA J<\ BOHMOVA DIFÚZE ^ t ~ B/kTe \ OHMICKÝ OHŘEV: VYHASÍNAJÍC! PLAZMA OHMICKÝ OHŘEV OHŘEV IONTOVOU CYKLOTRONOVOU REZONANCÍ _1_ I Míli J_I_I Mill 0.1 1.0 10 100 Souhrn naměřených dob udržení plazmatu, získaných v různých typech výboje ve Stel- OBR. 5-20 larátorech Model C. Obrázek ilustruje výstižnost Bohmovy difúzní formule. [Otištěno s laskavým svolením p. D. J. Grove, Princeton University Plasma Physics Laboratory. Financováno U. S. Atomic Energy Commission.] 172 Difúze a odpor Bohmova a neoklasická difúze 173 kde N je celkový počet iontově-eíektronových párů v plazmatu. Vyjádříme-li Tr Fickovým zákonem a použijeme-li Bohmovu formuli, dostáváme nR ^ nR _ ~ ~ ~ 2D„ ■15-1121 2DB dn\dr 2DBn\R Veličina tb se někdy nazývá Bohmova časová konstanta. V Princetonu byla na půltuctu experimentálních zařízení nazývaných stellarátor provedena snad nejrozsáhlejší měření ověřující Bohmovu formuli. Stelarátor je toroidální magnetická nádoba, v níž jsou silokřivky tak stočeny, aby se po vystředování zrušily účinky grad-B driftu a driftu zakřivení. O těchto driftových pohybech jsme hovořili v odd. 2.3. Na obr. 5-20 jsou sestavena data shromážděná za deset let z mnoha různých typů výbojů ve stellarátoru model C. Měřené hodnoty t leží blízko přímky představující Bohmovu časovou konstantu tB. Pro výzkum řízené termojaderné syntézy by ovšem taková všeobecná platnost Bohmovy formule měla vážné důsledky. Rovnice [5-111] říká, že DB s teplotou neklesá, nýbrž roste, a ačkoliv klesá s B, je to pokles mnohem pomalejší, než se očekávalo. Absolutní velikost DB je rovněž mnohem větší než Dx. Například pro 100 eV plazma v magnetickém poli 1T dostáváme 1 (KTX "16 B M9 1 100 Í6T = 6 nr s Je-li hustota plazmatu 10 m 3, vychází koeficient klasické difúze Di = ^ST^ = (2)(1019)(102)(1,6 x IQ"19)(3,3)(5,2 x KT7) = B2 = 5,5 x 10" m Rozdíl tedy činí čtyři řády. Pro Bohmovu difúzi bylo navrženo několik vysvětlení. Za prvé existuje možnost, že jsou nějaké závady v magnetickém poli. Při složitých geometriích, s nimiž se v tomto výzkumu pracuje, není vždycky zcela jisté, zda siločáry tvoří uzavřené křivky, či zda dokonce zůstávají všude uvnitř vakuové komory. Jelikož jsou střední volné dráhy velmi dlouhé, stačí jenom nepatrná nepravidelnost v konstrukci magnetické cívky k tomu, aby elektrony mohly bez jediné srážky uletět ke stěnám a takto vzniklé ambipolární elektrické pole potom vytáhne ionty. Za druhé může být nesymetrické elektrické pole. Takovou asymetrii mohou způsobit nějaké překážky umístěné do plazmatu, asymetrie vakuové komory nebo nějaká asymetrie při vytváření či ohřevu plazmatu. £ x B drifty pak nemusí být rovnoběžné se stěnami a ionty s elektrony mohou být touto konvekcí společně vyneseny ke stěnám. Při experimentu se skutečně takové driftové struktury, nazvané konvektivní cely, pozorovaly. Konečně existuje ještě ta možnost, že vznikají nestabilní plazmatické vlny, které způsobí oscilaci elektrického pole. Jsou-li tyto fluktuace pole chaotické, představují £ x B drifty bezsrážkový chaotický proces. Dokonce i tehdy, je-li oscilující pole čistou sinusovou vlnou, může to vést ke zvýšeným ztrátám, neboť fáze £ x B driftů může být taková, že driftová rychlost bude směřovat ven z plazmatu, pokud bude porucha hustoty kladná. V modelu si můžeme tuto situaci představit jako pohybující se konvektivní cely. Fluktuující elektrické pole se při anomální difúzi pozoruje často, ale v mnoha případech se dá ukázat, že nemůže způsobovat všechny ztráty. V experimentech s plně ionizovaným plazmatem mohou působit všechny tři mechanismy anomálních ztrát současně. Snadno lze ukázat, že závislost DB na KTe a B je zcela přirozená, jsou-li ztráty způsobeny £ x B drifty, ať už stacionárními či oscilujícími. Nechť je tok unikajících částic úměrný rychlosti E x B driftu ľ± = nv± ~ nEJB. 15-1131 V důsledku Debyeova stínění je maximální potenciál v plazmatu dán vztahem ^x**^. 15-1141- Je-li R charakteristický rozměr plazmatu řádově stejný jako jeho poloměr, vychází pro maximální elektrické pole 17 ~ ^max _ KTc £max ~ ^ ~ eR Odtud dostáváme výraz pro tok I\ 1 7R eB -y—-Vn = ' eB -DB\n, I5-M5I 15-1161 kde y je nějaký zlomek menší než jednotka. Skutečnost, že DB je úměrné KTjeB, není tedy překvapující. Pro hodnotu y = -fa nenajdeme žádné Banánový orbit částic držených zkrouceným magnetickým polem toroidál-niho systému. „Orbitem" se rozumí souhrn bodů, v nichž částice prochází rovinou nákresu. OBR. 5-21 174 Difúze a odpor Úlohy 175 teoretické vysvětlení, je to empirické číslo, které v rozmezí faktoru dvou až tří souhlasí s většinou experimentů. Při experimentech na toroidálních nádobách se nedávno dosáhlo toho, že doby udržení byly řádově 100tB. Docílilo se toho pečlivým odstraněním všech asymetrií a oscilací. V toroidálních nádobách však vznikají jiné efekty, jež zvyšují srážkový difúzni proces. Na obr. 5-21 je torus se šroubo-vicovými silokřivkami. Takovým zkroucením se odstraní účinky grad-B driftu a driftu zakřivení, které by měly stále stejný směr. Částice při svém pohybu postupují podél silokřivky; v blízkosti vnitřní stěny torusu se dostávají do oblasti většího \B\ a v blízkosti vnější stěny do oblasti menšího \B\. Některé částice se zachytí podobně jako v magnetickém zrcadle a neobíhají celým torusem kolem dokola. Gyrační středy těchto zachycených částic při svých opakovaných průchodech daným průřezem (obr. 5-21) vykreslují křivky tvaru banánu. Přitom v důsledku srážek se částice stává postupně zachycenou a nezachycenou a přechází z jednoho banánového „orbitu" do druhého. Délkou kroku tohoto chaotického pohybu už tudíž není rL, ale šířka banánového orbitu a koeficient „klasické" difúze tak vzroste. Tomu se říká neoklasická difúze. Na obr. 5-22 je závislost D± na v. BANÁNOVÁ DIFÚZE KONSTANTNÍ OBLAST MODIFIKOVANÁ KLASICKÁ DIFÚZE OBR. 5-22 Koeficient neoklasické difúze v závislosti na srážkové frekvenci v. V oblasti malých v je „banánová difúze" větší než klasická. V oblasti velkých v převažuje klasická difúze, ale je modifikována proudy podél B. Teoretickou křivku pro neoklasickou difúzi experimentálně ověřoval Ohkawa v La Jolla v Kalifornii. ÚLOHY 5-4. Ukažte, že střední volná dráha pro srážky elektron-ion je úměrná Te2. 5-5. Tokamak je toroidální plazmatická nádoba, v níž elektrické pole stejného směru jako B vyvolává v plně ionizovaném plazmatu proud (obr. 5-23). Jak velká musí být intenzita pole (V/m), aby celkový proud byl 200 kA? Teplota plazmatu je KTC = 500eV a plocha průřezu je 75 cm2. OBR. 5-23 5-6. Předpokládejme, že plazma v reaktoru termojaderné syntézy má tvar válce o průměru 1,2 m a délce 100 m. Magnetické pole 5 T je homogenní až na krátké oblasti magnetických zrcadel na koncích, jež můžeme zanedbat. Ostatní parametry jsou: K7: = 20keV, KTe = lOkeV a n=1021nT3. Profil hustoty je stanoven experimentálně a má přibližně tvar jako na obr. 5-24. (a) Spočítejte DL pro r = 50 cm, je-li difúze klasická. (b) Vypočítejte diV/dí, celkový počet párů ion-elektron opouštějících v jedné vteřině v radiálním směru střední oblast. (c) Odhadněte t podle i « - Aľ/(d/V/dt). Pozn.: víc než hrubý odhad nelze u takovýchto problémů očekávat. Profil hustoty je zřejmě ovlivněn jinými procesy než klasickou difúzí. n i 50 50 O r (cm) 5-7. Mějme osově symetrické cylindrické plazma, E = £rř, B = Bž a Vp, = \pc = = řSp\dr. Zanedbáme-li člen (v.V)v, což odpovídá zanedbání odstředivé síly, můžeme rovnice pro dvě kapaliny v stacionárním stavu napsat ve tvaru en(E + v, x B) - VPi - eVí/fo - v.) = 0 -en(E + yc x B) - Vpe + eWmy, - ve) = 0 (a) Z azimutální složky těchto rovnic ukažte, že t>ir = ver. (b) Z radiální složky ukažte, že vjs = vE + vDJ (j = i, e). (c) Nalezněte výraz pro vir, a to tak, že ukážete, že nezávisí ňa Er. 5-8. Plazma v toroidálním stellarátoru je ohmický zahříváno proudem 105 A/m2, tekoucím ve směru B. Hustota plazmatu je homogenní n = 10" m"3 a nemění se. Jouleovo teplo je předáváno elektronům. Vypočítejte rychlost, jakou se zvyšuje KTC (eV/us) v okamžiku, kdy XTe = 10 eV. OBR. 5-24 176 Difúze a odpor 5-9. Vypočítejte odporový útlum Alfvénových vln tak, že odvodíte jejich disperzní vztah z jednotekutinových rovnic (rov. [5-85] a [5-91]) a z Maxwellových rovnic [4-72] a [4-77]. Linearizujte je, zanedbejte gravitaci, posuvný proud a Vp. (a) Ukažte, že , (Bl . \ (b) Najděte explicitní výraz pro Im (fc), když co je reálné a tj je malé. Kapitola šestá ROVNOVÁHA A STABILITA ÚVOD 6.1 Kdyby se jednalo jenom o pohyby jednotlivých částic, bylo by snadné určit magnetické pole, jež by bezsrážkové plazma udrželo. Potřebovali bychom pouze zajistit, aby se siločáry neprotínaly se stěnami vakuové komory, a zvolit takovou symetrii systému, aby všechny drifty částic, vE, vVB a další, byly rovnoběžné se stěnami. Není však vůbec snadné rozhodnout, zda magnetické pole určené pro udržení jednotlivých částic udrží plazma jakožto makroskopickou tekutinu. Ať jsou vnější pole jakkoliv uzpůsobena, plazma může vytvářet vnitřní pole, jež ovlivňuje jeho pohyb. Například shluky nábojů mohou vytvořit £ pole, jež způsobí E x B drift směrem ke stěnám. Proudy v plazmatu vyvolají B pole, jež může být příčinou grad-2? driftu směrem ven z plazmatu. Rozdělme si problém udržení plazmatu na dvě části: na problém rovnováhy a problém stability. Rozdíl mezi rovnováhou a stabilitou nejlépe vysvětlíme mechanickou analogií. Na obr. 6-1 je nakreslena kulička spočívající na různě tvarovaných pevných plochách. Rovnováha je takový stav, v němž jsou všechny síly navzájem vyváženy, takže existuje časově nezávislé řešení. Podle toho, zda se malá odchylka od tohoto stavu utlumí nebo zesílí, jedná se o rovnováhu stabilní nebo nestabilní. V případě (F) je kulička ve stabilní rovnováze, pokud není vychýlena příliš daleko. Jakmile se dostane za práh, je ve stavu nestabilním. Tomu se říká „explozivní nestabilita". V případě (G) je kulička v nestabilním stavu, ale nemůže se dostat příliš daleko. Taková nestabilita není příliš nebezpečná, je-li nelineární omezení amplitudy pohybu dosti nízké. Je snadnější vyšetřovat stabilitu systému než jeho rovnováhu. Pohybové rovnice lze linearizovat Rovnováha a stabilita pro malé odchylky od rovnovážneho stavu, čímž dostaneme lineárni rovnice stejně jako v prípade plazmatických vln. Otázka rovnováhy je však nelineárním problémem, podobně jako difúze. Výpočet rovnováhy je při složitém geometrickém uspořádání magnetického pole únavnou záležitostí. WM//Á B NEROVNOVÁŽNÝ STAV NEUTRÁLNĚ STABILNÍ (METASTABILNÍ) ROVNOVÁHA STABILNÍ ROVNOVÁHA NESTABILNÍ ROVNOVÁHA ROVNOVÁHA S LINEÁRNÍ STABILITOU A NELINEÁRNÍ NESTABILITOU ROVNOVÁHA S LINEÁRNÍ NESTABILITOU A NELINEÁRNÍ STABILITOU . 6-1 Mechanická analogie různých typů rovnováhy. Hydromagnetická rovnováha HYDROMAGNETICKÁ ROVNOVÁHA 6.2 Obecný problém rovnováhy je složitý; z MHD rovnic lze však snadno získat několik fyzikálních kritérií. V ustáleném stavu s Sjet = 0 a g = 0 musí plazma splňovat rovnice (srv. rov. [5-85]) Vp = j x B |6-i| a c1 V x B = }je0 . |6-2| Už z jednoduché rovnice [6-1] můžeme udělat několik závěrů. Síla j x B diamagnetického proudu v ustáleném stavu vyrovnává silu způsobenou gradientem tlaku. (A) Rovnice [6-1] říká, že síla způsobená gradientem tlaku a Lo-rentzova síla jsou vyvážené. Jak k tomu dojde? Představme si sloupec plazmatu, v němž Vp směřuje k ose (obr. 6-2). Abychom rozpínavou sílu, jež je tím dána, vyvážili, musí plazmatem protékat azimutální proud v naznačeném směru. Velikost tohoto proudu nalezneme, vynásobíme-li rovnici [6-1] vektorově B B x S p , ,BxVn B2 B2 16-31 To je však výraz pro diamagnetický proud, který jsme odvodili již v rov. [3-69]! Z hlediska pohybu jednotlivých částic diamagnetický proud vzniká Larmorovou rotací při nenulovém hustotním gradientu, neboť rychlost středovaná přes jeden oběh není nulová. Z hlediska magnetohydrodyna-mického je diamagnetický proud vytvářen silou Vp působící napříč B; výsledný proud právě stačí vyvážit síly působící na každý element tekutiny a zabránit pohybu. (B) Rovnice [6-1] nám zřetelně říká, že / i B jsou kolmé na Vp. To ovšem není žádný triviální výrok, vždyť geometrie může někdy být velmi složitá. Představte si toroidální plazma s hladkým radiálním gradientem OBR. 180 Rovnováha a stabilita hustoty, v němž plochy s konstantní hustotou (vlastně s konstantním p) vytvářejí soustavu do sebe zasunutých torusů (obr. 6-3). Protože / a B jsou kolmé na Vp, musí ležet na plochách konstantního p. Obecně mohou být silokřivky i proudové linie tak či onak pokřiveny, nesmí však protínat plochy konstantního p. p = KONST. OBR. 6-3 Vektory j i B leží na plochách konstantního tlaku. OBR. 6-4 Rozpínání plazmatu procházejícího zrcadlovým systémem. (C) Vezměme si složku rovnice [6-1] ve směru B. Ta říká, že dp/cs = 0, |(,-4i kde s je souřadnice podél silokřivky. Při konstantním XT to znamená, že v hydromagnetické rovnováze je hustota podél siločáry konstantní. Na první pohled se zdá, že tento závěr musí být chybný. Vezměme např. plazma vstříknuté do soustavy magnetických zrcadel (obr. 6-4). Plazma proudící systémem podél siločar se rozpíná a opět kontrahuje; hustota zcela zřejmě nezůstává podél siločar konstantní. Tato situace však nesplňuje podmínky statické rovnováhy. Člen (v. V) v, který jsme už předtím zanedbali, by zde hrál svoji úlohu. My musíme mít na mysli statické plazma s v = 0. Tomu odpovídá případ, kdy částice jsou zachyceny v systému Parametr /í 181 zrcadel, potom také v blízkosti středové roviny je zachyceno více částic než na koncích, protože zrcadlový poměr je tam větší. Ve středové rovině je ale větší i průřez. To se navzájem právě vykompenzuje a konečným výsledkem je konstantní hustota podél siločar. PARAMETR^ 6.3 neboli Dosadíme nyní rov. [6-2] do rov. [6-1] a obdržíme Sp = £0c2(V x B) x B = £0c2[(B. V) B - ^VB2] |(.-5| V(p + e0c2B2/2) = £0c2(B.V)B. K-*l V mnoha zajímavých případech, jako je např. přímý sloupec, je pravá strana nulová; B se nemění ve směru rovnoběžném s B. V mnoha jiných případech je pravá strana malá. Rovnice [6-6] pak říká, že p + s0c2B2/2 = konstanta. |6-7| £0c2B2/2 je tlak magnetického pole; součet tlaku částic a tlaku magnetického pole je konstanta. V plazmatu s gradientem hustoty (obr. 6-5) musí být slabé magnetické pole tam, kde je vysoká hustota částic, a naopak. Toto oslabení magnetického pole uvnitř plazmatu je ovšem způsobeno diamagnetickým proudem. Velikost tohoto diamagnetického efektu vyjadřuje poměr obou členů v rov. [6-7]; obvykle jej označujeme /?: rť^KT tlak částic_ £0c2B2/2 tlak magnetického pole 6-Xl V plazmatu s konečnou hodnotou /i diamagnetický proud výrazně zmenšuje magnetické pole a udržuje tak součet magnetického tlaku a tlaku částic konstantní. OBR. 6-5 182 Rovnováha a stabilita Ve všech případech, jimiž jsme se dosud zabývali, jsme mlčky předpokládali, že se jedná o plazma s malým /?, mezi 10"3 a 10 ~6. Diamagnetický efekt je tedy velmi slabý. Proto jsme také mohli při studiu plazmatických vln předpokládat homogenní pole B0. V plazmatu s velkým /? by rovnováha byla mnohem složitější. Plazma s velkým jS je běžné v kosmickém prostoru a v MHD generátorech. V reaktorech termojaderné syntézy bude muset být /? z ekonomických důvodů podstatně větší než 1 %, neboť uvolněná energie je úměrná n2, kdežto konstrukční výdaje na magnetickou nádobu narůstají se zvětšujícím se B. V principu je možno mít plazma s hodnotou j? = 1, v němž diamagnetický proud vytváří stejně velké a opačně orientované pole vzhledem k vnějšímu homogennímu poli. Potom existují dvě oblasti: oblast plazmatu bez pole a oblast pole bez plazmatu. Jsou-li silokřivky vnějšího pole přímé, bude taková rovnováha nejspíš nestabilní, neboť takový případ se bude podobat kouli kaše držené pohromadě napnutými gumovými pásy. Nedá se zatím říci, je-li vůbec možné vytvořit plazma tohoto typu s hodnotou p = 1. U některých konfigurací magnetického poleje původní (vakuové) pole uvnitř plazmatu nulové; lokální hodnota j8 by tam pak byla nekonečná. K tomu dochází např. tehdy, je-li magnetické pole vytvořeno jenom při povrchu velkého plazmatického objektu. Pak bývá zvykem definovat /? jako poměr maximálního tlaku částic k maximálnímu magnetickému tlaku; v tomto smyslu není možné, aby pro magneticky držené plazma platilo P > 1. 6.4 DIFÚZE MAGNETICKÉHO POLE DO PLAZMATU V astrofyzice se často objevuje problém difúze magnetického poie do plazmatu. Existuje-li rozhraní mezi oblastí s plazmatem bez pole a oblastí s polem bez plazmatu (obr. 6-6) a má-li plazma nulový odpor, zůstanou tyto oblasti odděleny, a to ze stejného důvodu, který brání magnetickému toku vniknout do supravodiče. Elektromotorická síla vyvolaná jakýmkoliv pohybem siločar by vytvořila nekonečně velký proud, a to není možné. POUZE B © © © 0 0 ° ° © °| 0 0© POUZE PLAZMA OBR. 6-6 Je-li plazma dokonale vodivé, může být oblast jím vyplněná oddělena ostrým rozhraním od prostoru s magnetickým polem. Proudy na povrchu vytlačuji pole z plazmatu. Difúze magnetického pole do plazmatu 183 Plazma tedy při svém pohybu tlačí na siločáry, může je ohýbat a kroutit. To může být příčinou vláknité struktury plynu v Krabí mlhovině. Je-li však vodivost plazmatu konečná, může plazma pronikat polem a naopak. Takové difúzni proniknutí trvá vždy jistou dobu a jsou-li tyto pohyby dostatečně pomalé, siločáry nemusí být pohybujícím se plynem deformovány. Difúzni dobu snadno vypočteme z rovnic (srv. rov. [5-91]) VxE=-B, 1^1 E + vxB = íjj. |6-n»| Pro jednoduchost předpokládejme, že plazma se nachází v klidu a siločáry se v něm pohybují. Pak v = 0 a dostáváme dB\dt = —V x nj. I<-'M Poněvadž j je dáno rovnicí [6-2], vychází ^ = —ne0c2 V x (V x B) = — ř/£0c2[V(V. B) — V2B] . |6-i2| ct Jelikož V. B = 0, dostáváme rovnici difúze stejného typu, s jakou jsme se setkali v kapitole 5. SB , , -2V2B. dt nE0c Lze ji jako obvykle řešit separací proměnných. Pro hrubý odhad vezměme L jako charakteristickou délku prostorové změny B. Potom dB _ rje0c2 ~dt~ B, 16-141 B = Bne± kde x = L2jne0c2. |6-I5 16-16) To je charakteristická doba pronikání magnetického pole do plazmatu. Veličinu t můžeme rovněž vyložit jako dobu, během níž dojde k ani-hilaci magnetického pole. Když se siločáry pohybují plazmatem, indukované proudy plazma ohmický zahřívají. Tato energie má svůj zdroj v energii magnetického pole. Za dobu r se v jednotkovém objemu ztratí t]j2x energie. Protože z Maxwellových rovnic se zanedbaným posuvným proudem je J = 6oc' V x B ä enc2BlL, dostáváme pro disipovanou energii výraz •2 i o 8nC2B . = £oc2B2 = 2(e0c2B2/2). |6-!7| |6-18| L J nz0c* F Je tedy t v podstatě doba, za kterou se energie pole rozplyne v Jouleovo teplo. 184 Rovnováha a stabilita Klasifikace nestabilit ÚLOHY 6-1. V homogenním poli B0 je nekonečný přímý sloupec plazmatu, jehož profil hustoty je dán skokovou funkcí (obr. 6-7). Ukažte, že pro ji = 1 na ose vymizí B. Postupujte takto: (a) Z MHD rovnic nalezněte j pro stacionární stav a pro KT = konstanta. (b) Užijte vztah c2 V x B = j/e0 ? Stokesův teorém, integrujte přes oblast naznačené smyčky, abyste obdrželi — Bn — ■ li*? • dn\dr dr, (c) Vypočítejte integrál; uvědomte si při tom, že Snjdr je 5-funkce, takže B(r) pro r = a je střední hodnota mezi B„, a B0. (a) Ukažte, že Vát = -JVA = -N Bd.dS, (b) Pro nalezení Bd(r) užijte stejný postup jako u předcházející úlohy, ale nyní předpokládejte n(r) = n0exP[ —(r/ro)2]- Abyste integrál vypočetli, předpokládejte 0 41, takže B můžete v integrálu aproximovat hodnotou B0. (c) Ukažte, že jKdí = ^Nnrl§B0, kde p je definováno jako v rov. [6-8]. KLASIFIKACE NESTABILIT 6-2. Diamagnetická smyčka je zařízení, jež se užívá k měřeni tlaku plazmatu prostřednictvím detekce diamagnetického efektu (obr. 6-8). Při vzniku plazmatu vzrůstá diamagnetický proud, B se uvnitř plazmatu zmenšuje, zmenšuje se tok

— kvQ\ E. |6-25| |6-26| |6-27| Poněvadž nestabilní vlny jsou vysokofrekvenční plazmové oscilace, nemůžeme užít plazmatické přiblížení, ale musíme použít Poissonovu rovnici 6.6 DVOUSVAZKOVÁ NESTABILITA Jako jednoduchý příklad svazkové nestability vezměme homogenní plazma, v němž ionty jsou stacionární a elektrony maji vzhledem k iontům rychlost v0. To jest, pozorovatel se nachází v soustavě pohybující se s „proudem" angl.: „loss cone instability" — pozn. překl. V-Ei=-("í,-««i) ikE = — (ienakE) 1 + 1 M co m(co — kvn Po dělení výrazem ikE nalézáme disperzní vztah 1 - o>l m M + 1 _ a>2 (co - kv0)2 16-281 16-29| 16-301 ■v 188 Rovnováha a stabilita Podívejme se, zda jsou oscilace s reálným k stabilní či nestabilní. Po vynásobení společným jmenovatelem bychom dostali rovnici 4. stupně pro co. Kdyby byly všechny kořeny co^ reálné, každý z nich by představoval možné oscilace Et = £e' Mkx-ajt) . Jsou-li některé z kořenů komplexní, budou vystupovat v komplexně sdružených párech. Tyto komplexní kořeny zapišme Cůj = Ctj + ifj, |f.-Ji| kde a je Re (co) a y je Im (co). Časová závislost je nyní £, = EeHkx-aJt)ey'1 x . |<>-32| Kladné Im (co) znamená vlnu exponenciálně rostoucí, záporné Im (co) vlnu tlumenou. Protože kořeny cůj vystupují ve sdružených párech, bude jeden z nich vždycky nestabilní, pokud nejsou všechny reálné. Kořeny patřící tlumené vlně nás nezajímají, neboť takové vlny nejsou samobuzené. Disperzní vztah [6-30] můžeme analyzovat, aniž bychom onu rovnici čtvrtého řádu řešili. Definujme x = co/cop, y s fcujco, Rovnice [6-30] nabývá tvar 1 1 m/M (x-yy = F(x,y). |6-33| 16-34| Pro kteroukoliv danou hodnotu y můžeme F(x, y) vynést jako funkci x. Tato funkce bude mít v bodech x = 0 a x = y (obr. 6-11) singularity, její průsečíky s přímkou F(x, y) = 1 udávají hodnoty x, jež vyhovují disperznímu vztahu. Na obr. 6-11 jsou čtyři průsečíky, takže v tomto případě existují čtyři reálné kořeny cOj. Zvolíme-li však menší hodnotu y, dostaneme takový graf, jako je na obr. 6-12. Zde jsou jenom dva průsečíky, a tedy jenom OBR. 6-11 Funkce F(x, y) pro dvousvazkovou nestabilitu v případě, kdy je plazma stabilní. Dvousvazková nestabilita 189 dva reálné kořeny. Ostatní dva musí být komplexní a jeden z nich musí odpovídat nestabilní vlně. Pro dostatečně malé kv0 je tedy plazma nestabilní. Při libovolném daném v0 je plazma vždycky nestabilní vzhledem k oscilacím s dlouhou vlnovou délkou. Podle rov. [6-30] maximální rychlost růstu (inkrement) bude 1/3 |6-35| Protože pro vznik nestability je nezbytné, aby kv0 bylo malé, mohlo by se také říci, že při daném k musí být v0 dostatečně malé, aby vznikla nestabilita. To však nemá valný fyzikální smysl, neboť v0 představuje zdroj Funkce F(x, y) pro dvousvazkovou nestabilitu v případě, kdy je plazma OBR. 6-12 nestabilní. energie způsobující nestabilitu. Tato potíž vzniká z toho, že jsme použili rovnice pro tekutinu. Každé reálné plazma má konečnou teplotu a tepelné efekty by měly být započteny prostřednictvím kinetické teorie. Pak by se pro vQ < vl objevil jev známý jako Landauův útlum (kapitola 7) a pro příliš malé hodnoty v0 by žádná nestabilita nevyšla. Fyzikálně můžeme tuto svazkovou nestabilitu vysvětlit takto. Oscilace elektronové tekutiny mají přirozenou frekvenci cop a oscilace iontové tekutiny mají přirozenou frekvenci Í2p = (m/M)1/2 cwp. Protože však oscilace v pohybující se elektronové tekutině mají cop posunuté Dopplerovým jevem, mohou se tyto dvě frekvence v laboratorní souřadné soustavě shodovat, má-li kv0 odpovídajíci hodnotu. Fluktuace hustoty iontů a elektronů pak mohou splňovat Poissonovu rovnici. Lze dokonce ukázat, že elektronové oscilace mají zápornou energii, tj. že celková kinetická energie elektronů je menší při oscilacích než bez oscilací. Kinetická energie v jednotkovém objemu v klidném, neporušeném svazku je %mn0v\, při oscilacích je jm{nQ + n()(t;0 + v,)2. Při prostorovém vystředování se ukáže, že je tato hodnota menší než 2mnovo následkem fázových vztahů mezi ní a vv jež musí splňovat rovnici kontinuity. Elektronové oscilace mají tedy zápornou 190 Rovnováha a stabilita „Gravitační" nestabilita 191 energii a iontové oscilace kladnou energii. Obojí vlny mohou narůstat zároveň a přitom udržovat úhrnnou energii systému konstantní. Nestability tohoto typu se užívá v klystronech ke generaci mikrovln. El moduluje rychlost elektronů, které tak vytvářejí shluky. Tyto shluky procházejí mikrovlnným rezonátorem a lze je uzpůsobit tak, že excitují jeho vlastní mody a produkují mikrovlnnou energii. ÚLOHA 6-3. Odvoďte disperzní vztah dvousvazkové nestability pro případ dvou chladných elektronových svazků se stejně velkým v0, ale opačného směru, proudících mezi pevnými ionty. Hustota každého svazku je ýn0. 6.7 „GRAVITAČNÍ" NESTABILITA Protože magnetické pole působí na plazma podobně jako lehká tekutina podpírající těžkou tekutinu, může se v plazmatu objevit Rayleighova-Tay-lorova nestabilita. V zakřiveném magnetickém poli vzniká při pohybu částice podél zakřivených siločar odstředivá síla, která působí na plazma stejným způsobem jako ekvivalentní „gravitační" síla. Proberme nejjedno-dušší případ; nechť rozhraní mezi plazmatem a vakuem leží v rovině y-z (obr. 6-13). PLAZMA ©B VAKUUM OBR. 6-13 Povrch plazmatu se sklonem ke gravitační nestabilitě. Gradient hustoty Vn0 nechť má směr — x a gravitační pole g směr x. Pro jednoduchost můžeme ponechat KT{ = KTt = 0 a probrat případ, kdy f} je malé a B0 homogenní. V rovnovážném stavu lze ionty popsat rovnicí Mn0{v0 . V) v0 = en0v0 x B0 + Mn0g. |6-36| Je-li g konstantní, bude i v0 konstantní a (v0 . V) v0 vymizí. Rovnici [6-36] vynásobíme vektorově B0 a dostaneme podobně jako v odd. 2.2 MfxB0_ g . ß. 16-371 ©B E1 x B0 Fyzikální mechanismus gravitační nestability. OBR. 6-14 Drift elektronů, mající obrácený směr, můžeme v limitě m/AÍ -> 0 zanedbat. Diamagnetický drift nevzniká, protože KT = 0, nevznikne ani £0 x B0 drift, neboť £0 = 0. Jestliže se v důsledku chaotických tepelných fluktuací zvlní styčná plocha, drift v0 způsobí, že toto zvlnění poroste (obr. 6-14). Driftem iontů se na bocích vlnek vytvoří náboj, vznikne elektrické pole, jež má na hřebenu vlny opačné znaménko než v důlu vlny. Jak je patrno z obrázku 6-14, drift Eí x B0 směřuje vzhůru v těch místech, kde se povrch prohnul nahoru, dolů směřuje tam, kde se povrch prohnul dolů. Růst zvlnění je výsledkem správného sfázování El x B0 driftů. Abychom nalezli inkrement, budeme obvyklým způsobem analyzovat linearizovanou vlnu šířící se ve směru y: k = ký. Pohybová rovnice pro iontovou poruchu je ~e -(v-o + vJ + K+vJ.VK + vJ M[n0 + nj = e(n0 + n,) [Et + (v0 + v,) x B0] + M(n0 + nl)g. |6Ó8| Nyní vynásobíme rovnici [6-36] výrazem 1 + (nlln0) a dostaneme M(»o + "i)K-vK = eino + "iK x Bo + M(no + l6"-wl Toto odečteme od rov. [6-38] a zanedbáme-li členy druhého řádu, máme ct + (v0.V)v, = e«0(E, + "i x Bo) • |6-401 Všimněme si, že g se vyrušilo, informace o něm se však stále zachovává ve v0. Pro poruchy ve tvaru exp [i(ky — cot)] dostáváme M(a> - kv0)vl = ie(E1 +vlx B0). |6-4i| To je týž vztah jako rovnice [4-96] až na to, že w je nahrazeno w — kc0 a elektronové veličiny jsou nahrazeny iontovými. Řešení je tedy dáno rovnicí [4-98] s patřičnými záměnami. Pro Ex = 0 a Q; >(a>- kv0)2 |6-42| 192 Rovnováha a stabilita „Gravitační" nestabilita 193 je resenim ,x Bn . co - kv0 E v. = — i--' . 16-431 Druhý výraz je polarizační drift v souřadnicové soustavě spojené s ionty. Odpovídající veličina pro elektrony vymizí v limitě m/M -* 0, máme tedy vcx = EJB0, v., = 0. 10-441 Rovnice kontinuity pro poruchu iontů je řn -i + V . (n0v0) + (v0 . V) říj + nt V . v0 + (v,. V) n0 + ct + n0 V. V! + V. («!«,) = 0. |6-45| Člen nultého řádu vymizí, protože v0 je kolmé na Vn0, a člen nl V. v0 vymizí, je-li v0 konstantní. Rovnice prvého řádu tedy je -iconl + ikv0nl + vixn'0 + ikn0viy = 0, |6-46| kde n'0 = dn0\dx. Pro elektrony platí jednodušší rovnice, neboť ve0 = 0 -icon, + vtxrí0 = 0. 16-471 a v = 0 Všimněme si, že jsme použili plazmatické přiblížení a předpokládali jsme "ii = "ei- Takto 126 postupovat, protože nestabilní vlny jsou nízkofrekvenční (oprávněnost může být dokázána dodatečně). Rovnice [6-43] a [6-46] dávají (co - íci/ok + '"rr"ó + i/c"o co - /a0 í, = 0_ J0 "c ^0 Rovnice [6-44] a [6-47] dávají Dosazením tohoto do rovnice [6-48] máme co — kv0\ conl _ E iconl <°ni + '-ŕ "o = 0.--- B0 «ó |6-4X| 16-491 (co - /cľ0) nl - ^n'0 + fen0 Í2„ 7 «r = 0, /cnn co - kv0\ a>-kv0-\l +~ n, °) tk vo |6-54| Z toho je patrno, že pro nestabilitu je nezbytné, aby g a n'0\n0 měly opačná znaménka. To je právě ono tvrzení, že lehká tekutina podpírá těžkou tekutinu; v opačném případě je co reálné a plazma je stabilní. Pro dostatečně malé k (dlouhé vlny), je inkrement nestability dán výrazem ľ = Im (co) «[-De. Ukážeme, že cojk se rovná přibližně vDl!. Poněvadž driftové vlny mají konečné kz, mohou se elektrony pohybovat ve směru B0 a udržovat tak mezi sebou termodynamickou rovnováhu (srv. diskusi v odd. 4.10). Budou se tedy řídit Boltzmannovým vztahem (oddíl 3.5) "i/"o = ejKTc. 16-581 V bodě A na obr. 6-17 je hustota větší než v rovnovážném stavu, nl je kladné, je tedy i l záporné. Rozdíl potenciálů znamená, že mezi body A a B je elektrické pole E,. Frávě tak jako při žlábkové nestabilitě E, vyvolává drift v4 = Et x BjB2, ve směru .x. Při pohybu vlny ve směru y se pozorovateli v bodě A jeví nl a 4>l jako oscilující v čase. Drift vx rovněž osciluje v čase; oscilaci hustoty vlastně způsobuje právě vr Protože v plazmatu existuje gradient V/i0 ve směru — x, bude drift vt k pevnému pozorovateli v bodě A přinášet plazma s rozdílnou hustotou. V driftové vlně se tedy pohybuje tekutina tam a zpět ve směru .x, ačkoliv vlna sama postupuje ve směru y. Buďme přesnější z kvantitativního hlediska. Velikost vlx je vlx = EylBo = -'Vi/V K-5<>| Budeme předpokládat, že vlx se nemění s x a že kz je mnohem menší než ky, tzn. že tekutina nestlačitelně osciluje ve směru x. Spočítejme nyní, kolik gyračních středů je v pevném bodě A přinášeno do objemové jednotky; to je zřejmě ônjct = —vlxdn0jdx. |6-6»| A to je rovnice kontinuity pro gyrační středy, jež se ovšem nepohybuji driftovým pohybem tekutiny vD. Člen n0 V. v1 vymizí v důsledku našeho předpokladu. Hustota gyračních středů se liší od hustoty částic nv což vede ke korekci rov. [6-60]. Takový korekční člen je však vyššího řádu a může zde být zanedbán. Užijme rovnice [6-59] a [6-58] a můžeme rov. [6-60] zapsat -imni = n0 = -ico—-n0. |6-6i| Rovnováha a stabilita Rezistivní äriftové vlny Tak máme co eB0 n0 D |6-ft2 Tyto vlny tedy postupují rychlostí diamagnetického driftu elektronů a nazývají se driftové vlny. Výraz [6-62] je rychlost ve směru y neboli ve směru azimutái.úm. Krom toho existuje složka k ve směr • 7 7 Hfivodů, které zde nejsou uvedeny, musí tato složka splňovat podmínky k, <š ky, vti <š cojk. <š vu. |(.-6?| Abychom pochopili, proč jsou driftové vlny nestabilní, musíme si uvědomit, že vlx pro ionty není přesně EjB0. Existují korekční členy vyjadřující vliv polarizačního driftu (rov. [2-66]) a driftu v nehomogenním £ poli (rov. [2-59]). Tyto drifty působí vždycky tak, že průběh potenciálu 1 lišily o 90°, jak ukazuje obr. 6-17, a driftová vlna by pouze oscilovala. A konečně, proč se nazývají tyto vlny rezistivní? Elektrické pole El nesmí být tokem elektronů podél B0 zcela zkratováno. Srážky elektron-ion a krom toho velká vzdálenost mezi hřebenem a důlem vlny vedou k tomu, že může vzniknout odporový spád potenciálu a konečná hodnota E [. Disperzní vztah pro rezistivní driftové vlny je přibližně co2 + ígAw - co*) = 0 kde oj* = kyvDe |(.-65| |(.-W>| Je-li o"|| velké ve srovnání s co, může být rov. [6-64] splněna jenom pro oj * co*. V tom případě můžeme v prvém členu oj nahradit co* a pro co pak dostáváme. co ä co* + \10J jolt Všimněme si, že rov. [6-52] pro žlábkovou nestabilitu a rov. [6-64] pro driftovou nestabilitu se liší svou strukturou. Prvá má reálné koeficienty a co je komplexní, je-li diskriminant kvadratické rovnice záporný; to je příznačné pro reaktivní nestabilitu. Koeficienty druhé rovnice jsou komplexní, takže oj je komplexní vždycky; to je příznačné pro disipativní nestabilitu. To ukazuje, že Im (co) je vždycky kladné a je úměrné měrnému odporu r\. Driftové vlny jsou tedy nestabilní a mohou se objevit v jakémkoli plazmatu s gradientem hustoty. Inkrement nestability je naštěstí dosti malý a existují způsoby, jak lze růst nestability zcela zastavit vytvořením nehomogenního pole B0. Kapitola sedmá úv ■ .mísí •as j iam S S i, M( 7.1 FYZIKÁLNI SMYSL /(v) Tekutinová teorie, kterou jsme tolik používali, je nejjednodušším popisem plazmatu; je skutečně štěstí, že toto přiblížení je dostatečně přesné pro popis většiny pozorovaných jevů. Existují však některé jevy, pro něž je takový přístup nedostačující. V takových případech je třeba brát v úvahu rychlostní rozdělení f(v) pro každý druh částic; tento přistup se nazývá kinetická teorie. V tekutinové teorii jsou závisle proměnné veličiny funkcí pouze čtyř nezávisle proměnných: x, y, z a í. To je možné jenom proto, že o rychlostním rozdělení každého druhu částic předpokládáme, že je v každém místě maxwellovské, a může tudíž být jednoznačně specifikováno jediným číslem, teplotou T. Protože ve vysokoteplotním plazmatu může ke srážkám docházet velmi zřídka, mohou se odchylky od tepelné rovno- . 7-1 Příklady nemaxwellovských rozdělovačích funkcí. Fyzikální smysl /(v) váhy udržovat po relativně dlouhou dobu. Jako příklad si představme dvě rychlostní rozdělení f^vj a f2(vx) v jednorozměrném systému (obr. 7-1). Tato dvě rozdělení se budou chovat zcela odlišně, avšak pokud plochy pod křivkami jsou stejné, tekutinová teorie je nerozliší. 7 Hustota je funkcí čtyř skalárních proměnných n = n(r, (). Při úvahách o rychlostním rozdělení budeme mít sedm nezávisle proměnných: / = f(r, v, t). Pod výrazem f(r, v, t) rozumíme, že počet částic v objemové jednotce v místě r a v čase í se složkami rychlosti mezi vx a vx + dvx, vy a vy + dvy a vz aí, + dvz je f(x, y, z, vx, vy, vz, t) dvx dvy dvz. Integrál tohoto výrazu se píše několika ekvivalentními způsoby *00 n(r,t) = áv y .___• - co • - 00 • 00 dvxf{r,v,t) = J(r,v,t)d3v 3„ = /(r,v,f)dv. 7-11 Všimněme si, že dv není vektor; představuje trojrozměrný objemový element v rychlostním prostoru. Je-li / normalizováno tak, že /(r,v,t)d»= 1, pak má význam pravděpodobnosti a označujeme je / Potom f(r,v, t) = n{r,t)f(r,v,t). |7-2| 17-31 Všimněme si, že / je stále funkcí sedmi proměnných, neboť tvar rozdělení stejně jako hustota se mohou měnit s prostorem i časem. Z rov. [7-2] je zřejmé, že rozměr / je (m/s)"3 a tudíž podle rov. [7-3] / má rozměr s3 m-6. Zvlášť důležitá je maxwellovská rozdělovači funkce kde /m = (m/2nKT)3-2exp(-l;>2), ,7-4| i; s (v2x + ij + v2z)í/2 a b, = (2KT/m)"2. |7-5| Užijeme-li určitý integrál CO exp (— x2) dx = y/n, |7-6| snadno ověříme, že integrál funkce fm přes dux dvy dvz je jednotka. Existuje několik „středních rychlostí" maxwellovského rozdělení, jež se obecně užívají. V odd. 1.3 jsme viděli, že strední kvadratická rychlost je dána výrazem _ (v2)112 = (3K7»"2. |7-7| 200 Úvod do kinetické teorie Střední velikost rychlosti |t| je prostě v a nalezneme ji takto: v = |7-8| Protože fm je izotropní, vyčíslíme integrál nejsnadněji ve sférických sou-řadicích ve v prostoru (obr. 7-2). Poněvadž objem každé sférické slupky je 4nv2 dv, dostáváme v = (mjlnKT)312 = K)-3/2.4to; u[exp (— i>2/t>,2)] . 4nv2 dv = [exp(-y2)]y3 dy. |7-<>| |7-l(l| OBR. 7-2 Trojrozměrný rychlostní prostor. Určitý integrál, integrovaný per partes, dává hodnotu j. Tedy v = 2n~l:\ = 2(2KT/7tm)1/2 . Složka rychlosti t> jednom směru, např. vx, má jinou střední vx je ovšem pro izotropní rozdělení nulové, nikoliv ale \vx\: 3/2 m 2nKT dv exp dvz exp 2vx exp |7-I1| hodnotu. |7-I2| |7-I3| Fyzikálni smysl f (v) 201 Každý z prvých dvou integrálů má podle [7-6] hodnotu n112 vľ Poslední integrál je jednoduchý a má hodnotu v2. Tak máme (2KTjnm)íl2 |7-14| Tok částic, vznikající jejich náhodným pohybem a procházející myšlenou rovinou z jedné strany na druhou, je dán výrazem ^náh |7-15| Zde jsme použili rovnici [7-11] a započítali jsme tu skutečnost, že jenom polovina částic prochází myšlenou rovinou v tom kterém směru. Shrňme: Pro maxwellovské rozdělení je = {3KTlm)1'2, = 2{2KTJnm)112, (2KTjnm) 0. 1/2 |7-7| |7-ll| 17-14) |7-I61 Pro izotropní rozdělení, jako je maxwellovské, můžeme definovat jinou funkci g{v), která je funkcí skalární proměnné — velikosti v, takže g(v) dv = J(v) d3 |7-17| 7-IXI Z rov. [7-9] je vidět, že pro maxwellovské rozdělení g(v) = Ann(m\2nKTY12 v2 exp (- v2 j v2). Obrázek 7-3 ukazuje rozdíl mezi g(v) a jednorozměrným maxwellovským rozdělením f(vx). f(vx) má v bodě vx — 0 maximum, ale g(v) je pro v = 0 rovno nule. To je důsledkem toho, že pro v = 0 je objem ve fázovém prostoru nulový (obr. 7-2). Někdy je g(v) nedbale označováno jako f (v) na *, 0 Jedno a trojrozměrné maxwellovské rozdělení. OBR. 7-3 202 Úvod do kinetické teorie OBR. 7-4 V prostoru se měnící jednorozměrné rozdělení j (x, v J. OBR. 7-5 Křivky konstantního / pro dvojrozměrné anizotropní rozdělení. Fyzikálni smysl f (v) MAXWELLOVSKÉ ROZDĚLENÍ S DRIFTEM 203 SVAZEK Křivky konstantního J pro driftující maxwellovské rozdělení a „svazek" v dvojroz- OBR. 7-6 měrném prostoru. Křivky konstantního J pro rozdělení s únikovým kuželem, a vL znamenají rovno- OBR. 7-7 běžnou a kolmou složku v vzhledem k magnetickému poli. rozdíl od f (v); ale g(v) je jinou funkcí svého argumentu než f (v). Z rov. [7-18] je zřejmé, že g(p) má rozměr s/m4. Funkci f(r, v) pro daný čas nelze nakreslit, pokud nesnížíme počet dimenzí. V jednorozměrném systému je možno f(x, vx) zobrazit jako zakřivenou plochu (obr. 7-4). Průsečíky této plochy s rovinami x = konstanta dávají rychlostní rozdělení f(vx). Průsečíky s rovinami vx = konstanta dávají hustotní profil částic s daným vx. Stane-li se, že všechny křivky f(vx) mají tvarově tentýž charakter, bude křivka proložená maximy představovat profil hustoty. Čárkované křivky na obr. 7-4 jsou průsečnice s rovinami / = konstanta; jsou to vrstevnice neboli křivky konstantní hodnoty / 204 Úvod do kinetické teorie Rovnice kinetické teorie 205 Promítnutím těchto křivek do roviny x — vx dostaneme topografickou mapu funkce / Takové mapy jsou velice užitečné pro získání předběžné představy o tom, jak se plazma chová; příklad uvedeme v následujícím oddílu. Jiný typ vrstevnicové mapy funkce / vytvoříme, vezmeme-li f (v) v daném bodě v prostoru. Je-li například pohyb dvojrozměrný, bude funkce f(vx, vy) zobrazena kruhy při izotropním f ve vx, vy. Anizotropní rozdělení by se zobrazilo jako elipsy (obr. 7-5). Maxwellovské rozdělení s driftovým pohybem by se zobrazilo kruhy, jejichž střed leží mimo počátek, a svazek částic postupující ve směru x by se zobrazil jako oddělená špička (obr. 7-6). Rozdělení s únikovým kuželem v plazmatu drženém v zrcadlovém systému lze znázornit vrstevnicemi/ v prostoru vL, ty. Obrázek 7-7 ukazuje, jak takové zobrazení vypadá. 1.7 ROVNICE KINETICKÉ TEORIE Základní rovnicí, kterou f(r, v, t) musí splňovat, je rovnice Boltzmannova fdf\ dt m cv ct |7-í"»| F je síla působící na částice a (df\dt\ je změna / za jednotku času v důsledku srážek. Symbol V představuje jako obvykle gradient v prostoru (x, y, z). Symbol djdv čili Vt. představuje gradient v rychlostním prostoru d_ OVx y VVz 17-21) I Význam Boltzmannovy rovnice se ozřejmí, připomeneme-li si, že / je funkcí sedmi nezávislých proměnných. Totální derivace / podle časuje tedy df dt dx dř ôy dt dz dt dvx dt dv dr cvz dt ' dfjdí vyjadřuje explicitní závislost na čase. Následující tři členy nejsou nic jiného než právě v. V/ Prostřednictvím Newtonova třetího zákona dv m—= F dř -221 poznáváme v posledních třech členech (Fjm). (dfjdv). Již dříve, v oddílu 3.3, jsme hovořili o tom, že totální derivaci d//dt lze rozumět jako rychlosti změny, jak je viděna v souřadnicovém systému pohybujícím se s částicemi. Rozdíl je v tom, že nyní musíme mít na mysli částice pohybující se v šesti-rozměrném prostoru (r,v); d//dt je konvektivní derivace ve fázovém prostoru. Boltzmannova rovnice [7-19] prostě říká, že dfjdt je nulová, dokud nedochází ke srážkám. Že by to tak mělo být, je vidět z jednorozměrného příkladu na obr. 7-8. \ infinitezimálním objemovém elementu dx dvx v bodě A je několik částic; všechny mají rychlost vx a polohu x. Hustota částic v tomto fázovém prostoru je právě f(x, vx). Po nějaké době se částice posunou k jinému x Skupina bodů ve fázovém prostoru, zobrazující souřadnice polohy a rychlosti skupiny částic, zachovává při svém pohybu ve fázovém prostoru hustotu. OBR. 7-8 v důsledku své rychlosti vx a zároveň změní svoji rychlost v důsledku sil na ně působících. Protože tyto síly závisejí jenom na x a vx, budou všechny částice v bodě A stejně zrychleny. Po určité době f dospějí všechny částice ve fázovém prostoru do bodu B. Protože se všechny částice pohybovaly společně, bude hustota v bodě B táž jako v A. Dochází-li však ke srážkám, mohou být částice rozptýleny; / se může měnit členem {df\ct\. V dostatečně horkém plazmatu lze srážky zanedbat. Je-li krom toho síla F výhradně elektromagnetická, dostává rov. [7-19] speciální tvar dt + v .\f + — (E + v x B) 'dv = 0 17-2.11 To je Vlasovova rovnice. Pro její poměrnou jednoduchost pracuje s ní kinetická teorie nejčastěji. Dochází-li ke srážkám s neutrálními atomy, může být srážkový člen v rov. [7-19] přibližně vyjádřen /„-/ -24| kde /n je rozdělovači funkce neutrálních atomů a z je časová konstanta srážek. Tento výraz nazýváme Krookův srážkový člen. Je to kinetické zobec- 206 Úvod do kinetické teorie Rovnice kinetické teorie 207 není srážkového členu v rov. [5-5]. Dochází-li ke coulombovským srážkám, může být rov. [7-19] vyjádřena přibližně 1 d2 V. át dv ■ (/ OBR. 7-13 Vrstevnice funkce J ve fázovém prostoru při dvousvazkové nestabilitě. Vystínovaná oblast, původně představující malé rychlosti v laboratorním systému, je bez elektronů. S vyvíjející se nestabilitou deformují se tyto prázdné oblasti ve fázovém prostoru po počátečním lineárním stadiu do tvarů připomínajících měch na vodu. [Převzato z H. L. Berk, C. E. Nielson a K. V. Roberts, Phys. Fluids 13, 986 (1970).] počítány na samočinných počítačích a výsledky jsou často předkládány ve tvaru podobném obrázku 7-12. Příklad numerického výsledku je na obr. 7-13. Zobrazuje dvousvazkovou nestabilitu, v níž vrstevnice funkce / spočátku ukazují v okolí vx = 0 prázdný příkop, který odděluje elektrony pohybující se v opačných směrech. Časový vývoj této částicemi nezaplněné mezery ilustrují vystínované plochy na obr. 7-13. Tento obrázek ukazuje, že nestabilita postupně deformuje f (v) způsobem, který by stěží bylo možno popsat analyticky. Odvozeni rovnic pro tekutinu ODVOZENÍ ROVNIC PRO TEKUTINU 7.3 209 Rovnice pro tekutinu, které jsme už užívali, jsou vlastně jenom „momenty" Boltzmannovy rovnice. Nejnižší moment získáme integrací rovnice [7-19], v níž F nahradíme výrazem pro Lorentzovu sílu -fdv + Bt První člen dává v. S f dv + ;E + vxB).|dv = ||)sdv. ,7-,, 5f , d _dv = — dt dt f a dn |7-27| Jelikož v je nezávisle proměnná, a tedy na ně nepůsobí operátor V, dává druhý člen v. S f dv = V. vf dv = V . (nv) = V . (nu) |7-2X| kde střední rychlost u je podle definice rychlost tekutiny. Člen s E vymizí z následujícího důvodu E.^dv dv -(/E)dv = fE . dS = 0. |7-29| Úplnou divergenci integrujeme, dostáváme tak hodnotu fE na ploše v=oo. Ta vymizí tehdy, jestliže / -> 0 rychleji než ľ"2 pro v -* oo, což musí být splněno pro každé rozdělení s konečnou energií. Člen v x B můžeme zapsat takto: x Sf [v x B .^-dv dv -.(>xB)dv f— .(v x B)dv = 0. dv |7-301 Prvý integrál opět můžeme převést na plošný integrál. V Maxwellovu rozdělení klesá / pro v -* co rychleji než kterákoliv mocnina v, integrál tedy vymizí. Druhý integrál vymizí proto, že v x B je kolmé na djdv. Konečně vymizí i čtvrtý člen v rov. [7-26], protože srážkami se nemění celkový počet částic (rekombinaci zde neuvažujeme). Z rovnic [7-27] - [7-30] vychází rovnice kontinuity cn , , — + V . (nu) = 0 . ct |7-3I| Další moment Boltzmannovy rovnice dostaneme, vynásobíme-li rov. [7-19] mv a integrujeme přes dv. Dostáváme v-~dv + m dt v(v .V)fdv + q v(E + v x B). — dv cv mv I — dv . |7-32| 210 Úvod do kinetické teorie Plazmové oscilace a Landauův útlum 211 Pravá strana vyjadřuje změnu hybnosti vlivem srážek a výsledkem je člen Pxj v rov. [5-58]. Prvý člen v rov. [7-32] dává df e v — dv = m — dt dt vf dv = m — (nu). |7-33| Třetí integrál v rov. [7-32] můžeme zapsat |v(E + v x B). — dv = — .|>(E + v x BÍldv -J Sv J cv * d C d fv — .(E + v x B)dv - f (E + v x B).—vdv. |7-34| dv J cv Prvé dva integrály na pravé straně vymizí ze stejných důvodů jako již dříve, ôvjdv je jen jednotkový tenzor I. Máme tudíž q v(E + v x B). ^dv = -q (E + v x B) / dv = -qn(E + u x B). J V J 17-351 Abychom konečně vyjádřili druhý integrál v rov. [7-32], využijeme především tu skutečnost, že v je nezávisle proměnná bez vztahu k operátoru V, a přepíšeme v(v. V) / dv = V. (fvv) dv = V. fvv dv. |7-36| Protože střední hodnota veličiny je středovací integrál přes v krát 1/n, máme fvv dv = V . nvv . |7-37| Nyní můžeme rozdělit v na střední (tekutinovou) rychlost u a tepelnou rychlost w v = u + w. |7-3X| Protože u již je střední veličina, dostáváme V . (nvv) = V . (nuu) + V . (nww) + 2V . (nuw). |7-39| Je zřejmé, že střední hodnota w je nula. Veličina mnww je přesně to, co označujeme jako tenzor napětí P P s mnww. |7-40| Zbývající člen v rov. [7-39] můžeme zapsat V . (nuu) = u V . (nu) + n(u . V) u . |7-4! | Shrneme-li všechny výsledky z rovnic [7-33], [7-35], [7-40] a [7-41], můžeme rov. [7-32] napsat ô m — (nu) + mu V .(nu) + mn(u . V) u + V . P - qn(E + u x B) = P;. |7-42| Sloučíme prvé dva členy pomocí rov. [7-31] a získáme konečně pohybovou rovnici pro tekutinu mn + (u . V)u = qn(E + u x B) — V. P + Pjj.. |7-43| Tato rovnice popisuje tok hybnosti. Pro popis toku energie můžeme vzít následující moment Boltzmannovy rovnice, tj. vynásobíme ji \mvv a zintegrujeme. Tak bychom získali rovnici pro tok tepla, v níž koeficient tepelné vodivosti x vystoupí týmž způsobem, jako tomu bylo u tenzoru napětí P. Stavová rovnice p ~ py představuje jednoduchý tvar rovnice pro tok tepla při x = 0. PLAZMOVÉ OSCILACE A LANDAUŮV ÚTLUM 7.4 Jako jednoduchý příklad použití Vlasovovy rovnice odvodíme disperzní vztah pro elektronové plazmové oscilace, které jsme z hlediska tekutinové teorie probírali v oddíle 4.3. Toto odvození bude vyžadovat znalost integrálu komplexní proměnné. Ti, kdo tuto teorii neovládají, mohou přeskočit na odd. 7.5. Jednodušší, ale delší odvození, které neužívá teorii komplexní proměnné, je v odd. 7.6. V přiblížení nultého řádu bereme plazma jako homogenní s rozdělením /0(v) a položíme B0 = E0 = 0. V přiblížení prvého řádu poruchu funkce f(r, v, t) označíme /,(r, v, í) /(r,v,ř) = /0(v)+/1(r,v,í). |7-44| Protože v je nezávisle proměnná a nelinearizuje se, zní Vlasovova rovnice prvého řádu pro elektrony takto: dt 1 m cv |7-45 Stejně jako již dříve považujeme ionty za těžké a nepohyblivé a vlny bereme jako rovinné šířící se ve směru x Potom rov. [7-45] dostává tvar . , ., , e c dfo -icoj, + ikvf. = —, * 1 m !Sv„ ieEx dfojcx m co — ku. Poissonova rovnice má tvar V.E1 = en, e /id3f. |7-46| |7-47| 17-4« 1 |7-49| 2 L2 Úvod do kinetické teorie Plazmové oscilace a Landauův útlum 213 Dosadíme za fv dělíme výrazem ikEx a dostáváme 1 = s0km SfolSvx co — kvr d3v. 17-501 Faktor n0 můžeme vytknout, nahradíme-li f0 normalizovanou funkcí /„ dv, co — kvr dvr. 17-511 Je-li f0 maxwellovská nebo nějaká jiná rozdělovači funkce vytvořená ze součinitelů, integrace přes v a vz se provede snadno a zbývá jednorozměrná rozdělovači funkce f0(vx). Například jednorozměrné Maxwellovo rozdělení J fm(vx) = (ml2KKTyi*exp(-mvll2KT). |7-52| Disperzní vztah tedy je 1 = —E k2 Sfo(vx)ldvx ávr. 17-531 Protože máme co činit s jednorozměrným problémem, můžeme vypustit index x, ale musíme stále pamatovat na to, že nesmíme zaměnit v (což je ve skutečnosti vx) za celkovou rychlost v, kterou jsme užívali výše dfojdv k2 ■>-(«>/*) dv. 17-541 Symbolu f0 je zde nutno rozumět jako jednorozměrné rozdělovači funkci již zintegrované přes proměnné v a vz. Rovnice [7-54] platí pro kterékoliv rovnovážné rozdělení f0(v); v případě maxwellovského rozdělení se za /„ užije výraz [7-52]. Výpočet integrálu v rov. [7-54] není jednoduchý, a to kvůli singularitě v bodě v = cojk. Někdo by si mohl myslet, že tato singularita nebude tak lm(y) (a) (b) OBR. 7-14 Integrační dráha Landauova problému pro (a) Im (co) > 0 a (b) Im (co) < 0. závažná, protože ve skutečnosti co není skoro nikdy reálné; vlny jsou obyčejně slabě tlumeny srážkami nebo zesíleny mechanismem nějaké nestability. Poněvadž rychlost uje reálnou veličinou, jmenovatel v rov. [7-54] se nikdy nevynuluje. Landau byl první, kdo zacházel s touto rovnicí správným způsobem a objevil, že i když singularita leží mimo integrační cestu, její přítomnost vnáší do disperzního vztahu plazmové vlny důležitou změnu — jev, který tekutinová teorie nepředpověděla. Vezměme sinusovou poruchu jako počáteční podmínku, k je tedy reálné. Bude-li porucha narůstat nebo se zmenšovat, je co komplexní. S integrálem v rov. [7-54] musíme zacházet jako s integrálem v rovině komplexního v. Křivky na obr. 7-14 jsou integrační dráhy (a) pro nestabilní vlnu s Im (co) > 0 a (b) pro tlumenou vlnu s Im (co) < 0. Normálně bychom počítali tento křivkový integrál podél osy reálného v reziduovou větou Gdv + Gdv = 2ni R(co/fc), Jci Jej |7-5 kde G je integrand, Ct je integrační cesta podél reálné osy, C2 je polo-kružnice v nekonečnu a R(a)/fc) je reziduum v bodě cojk. Takto lze postupovat, je-li integrál přes C2 nulový. Žel, není tomu tak v případě maxwellovského rozdělení, které obsahuje faktor exp(-t>2/t>2), ten je pro v-* ±ioo velký a příspěvek z křivky C2 nemůžeme zanedbat. Landau ukázal, že řeší-li se tento problém důsledně jako problém s počáteční podmínkou, správná integrační cesta, která se musí užít, je křivka Cj procházející pod singularitou. Tento integrál se obecně musí počítat numericky a Fried a Conte ho tabelovali pro případ maxwellovského /„. Im(v) co/k Re(v) Integrační dráha v rovině komplexního v pro případ, kdy lm (co) je malé. OBR. 7-15 Přesná analýza tohoto problému je složitá, můžeme však získat přibližný disperzní vztah pro případ, kdy fázová rychlost je velká a útlum malý. Potom co/k leží blízko osy reálného v (obr. 7-15) a integrační cesta předepsaná Landauern je pak přímka podél osy Re (v) s malou polokružnicí 214 Úvod do kinetické teorie Plazmové oscilace a Landauův útlum 215 okolo pólu. Při obcházení okolo pólu dostaneme 2ni krát polovina rezidua v tomto bodě. Potom rov. [7-54] dostává tvar - (wjk) dv v — (i)jk- |7-56| kde P představuje Cauchyho hlavní hodnotu. Při výpočtu integrujeme podél osy reálného v, ale zastavíme se těsně před pólem. Je-li fázová rychlost v. — cojk dostatečně velká, jak předpokládáme, příspěvek ze zanedbané OBR. 7-16 Normalizované Maxwellovo rozděleni pro případ > vt. části integrační cesty není velký, neboť /„ v rov. [7-56] i dfjdv jsou tam velmi malé (obr. 7-16). Integrál v rov. [7-56] můžeme vypočítat integrací per partes a/0 d. dv V — V fo -/pdf foáv |7-57| Protože toto je právě střední hodnota výrazu (v — v J 2 integrovaného přes celé rozdělení, můžeme reálnou část disperzního vztahu zapsat „2_ 17-581 Předpokládali jsme, že f> v, můžeme tedy (v - v J 2 rozvinout v řadu "2 / 2v 3v2 4v3 (v - v, 4,1 = v:2\i + — + _ + — + .. v* l\ vi Při středování liché členy vypadnou a dostaneme 3^ v:2[i + |7-59| |7-60| Vezměme nyní maxwellovské /„ a vypočtěme v2. Připomeňme si, že v je zkrácené označení pro i^, platí tedy V2 = iKTe, |7-6I| nebol* jde jen o jeden stupeň volnosti. Disperzní vztah tak dostává tvar -2 k2 s k2 kt: |7-62| co„ .. , 1=t^ — U + 3-j co \ ar 2 , co2 3KTe,, co2 = w2 +-1-°k2. v co* m |7-63| Je-li druhý člen (topelná korekce) malý, můžeme v něm za co2 psát co\ a dostáváme „2 CO 2 ÍK1e , 2 w2 +-~k2, 17-6-41 což je týž vztah jako rov. [4-30], kterou jsme získali z rovnic pro tekutinu při hodnotě y = 3. Vrátíme se nyní k imaginárnímu členu rovnice [7-56]. Při výpočtu tohoto malého členu vystačíme s takovou přesností, kdy zanedbáme tepelnou korekci reálné části co a položíme co2 x co2 Z rovnic [7-57] a [7-60] vidíme, že hlavní hodnota integrálu v rov. [7-56] je přibližně rovna k2jco2. Rovnice [7-56] nyní dostává tvar "2 < df0 ■ + in-f k2 dv co2 1 - in- 3 v |7-65| 17-661 Imaginární člen můžeme považovat za malý, převedeme jej na pravou stranu, položíme co2 x co2 a odmocníme pomocí Taylorova rozvoje. Potom obdržíme u co„ cv Je-li f0 jednorozměrné maxwellovské rozdělení, potom ) vzniká v důsledku pólu v bodě v = v^. Je tedy tento efekt spojen s těmi částicemi rozdělení, jejichž rychlost se přibližně rovná fázové rychlosti — s tzv. „rezonančními částicemi". Tyto částice postupují společně s vlne u a nepozorují rychlé změny elektrického pole, mohou si proto s vlnou účinně vyměňovat energii. Nejsnadněji porozumíme této výměně energie na příkladu surfingu, jezdce na mořských vlnách, který se snaží zachytit mořskou vlnu (obr. 7-17). (Výhrada: Tento obrázek nevysvětluje správně rovnici [7-70], má pouze vést naše myšlení správným směrem.) Jestliže se jeho plavidlo po hladině nepohybuje, pohupuje se ENERGII ENERGII ZÍSKÁVÁ ČÁSTICE ZÍSKÁVÁ VLNA OBR. 7-17 Obvyklé fyzikální znázorněni Landauova útlumu. pouze na míjejících vlnách nahoru a dolů a v průměru nezíská žádnou energii. Podobiě člun hnaný mnohem rychleji než vlna nemůže vyměnit s vlnou mnoho energie. Má-li však surfboard přibližně stejnou rychlost jako víra, může být vlnou zachycen a strkán dopředu; to je vlastně také hlavn! smysl tohoto sportu. V tom případě plavidlo získá energii, vlna musí proto energii ztrácet a je tlumená. Kdyby se naopak surfboard pohyboval o trochu rychleji než vlna, při svém pohybu vzhůru by vlnu urychloval, 0 % v Deformace maxwellovského rozdělení v oblasti ľ ~ vt OBR. 7-18 způsobená Landauovým útlumem. 0 % v Rozdělení se dvěma vrcholy a oblast, kde se vyvine ne- OBR. 7-19 stabilita. vlna by pak mohla energii získat. V plazmatu jsou jak rychlejší, tak i pomalejší elektrony než vlna. V maxwellovském rozdělení je však víc pomalých elektronů než rychlých (obr. 7-18), proto více částic přijímá energii od vlny než naopak, a vlna je tlumená. Poněvadž částice sc* jsou ve vlně zachyceny, f (v) st v blízkosti fázové rychlosti zplošťuje a touto deformací je funkce /,(u), kterou jsme počítali. Na obrázku 7-18 vidíme, že porušená rozdělovači funkce obsahuje týž počet částic jako neporušená, ale celkově získala energii na účet vlny. Z toho, co bylo řečeno, lze vytušit, že kdyby f0(v) obsahovala víc rychlých částic než pomalých, mohla by být vybuzena vlna. Z rov. [7-67] je vskutku zřejmé, že Im {co) je kladné, je-li kladné cfjcv pro v = vr 218 Úvod do kinetické teorie Fyzikální význam Landauova útlumu 219 Takové rozdělení je na obr. 7-19. Vlny, jejichž leží v oblasti kladného sklonu rozdělovači funkce, budou nestabilní, jejich energie se bude zvyšovat na účet částic. To je přesná analogie dvousvazkové nestability s konečnou teplotou. Máme-li dva studené (KT = 0) proudící elektronové svazky, skládá se f0(v) ze dvou 5-funkcí. Ta je bezesporu nestabilní, protože df0\dv je konečné; z tekutinové teorie jsme vskutku nalezli nestabilitu. Mají-li svazky konečnou teplotu, pak podle kinetické teorie musí být relativní hustoty a teploty obou svazků takové, aby mezi nimi vznikla oblast s kladným df0jdv; přesněji řečeno, pro vznik nestability je nezbytné, aby celková rozdělovači funkce měla minimum. Analogie jezdce na mořských vlnách je velmi přitažlivá, není ale pro správné porozumění Landauovu útlumu dost přesná. Existují totiž dva druhy Landauova útlumu: lineární Landauův útlum a nelineární Landauův útlum, žádný z nich nesouvisí s disipativními srážkovými procesy. Uvázne-li částice v potenciálovém důlu vlny, nazýváme tento jev „zachycením". Podobně jako jezdec na vlnách může částice při zachycení skutečně získat nebo ztratit energii. Zachycení však překračuje meze lineární teorie, což ! - ' poznat z pohybové rovnice m d2x/df2 = q E(x) |7-71| Dosadíme-li do E(x) přesnou hodnotu x, bude tato rovnice nelineární, neboť funkce E(x) má průběh asi jako sin kx. V lineární teorii se za x dosazuje neporušený orbit, tj. x = x0 + ty, potom je rov. [7-71] lineární. Tato aproximace však přestává platit, je-li částice zachycena. Jestliže je potenciální val vlny, na nějž částice narazí, tak vysoký, že se od něj odrazí, jsou její rychlost i poloha silně ovlivněny vlnou a výrazně se liší od hodnot neporušeného orbitu. V tekutinové teorii má pohybová rovnice tvar dv - + (v.V)v = qE{x) |7-72| kde E(x) se rozumí v souřadné soustavě spojené s laboratorním systémem; s tím nebudou žádné potíže, ale vynahradí nám je člen (v. V) v. Zanedbat v lineární teorii (v:. V) v, znamená totéž jako užít neporušené dráhy částic. V kinetické teorii v rov. [7-45] je zanedbaným nelineárním členem m dv |7-73| Je-li částice zachycena, obrátí vzhledem k vlně směr svého pohybu, takže rozdělovači funkce f (v) je v blízkosti v = toik silně porušená. To znamená, že dfjdv je srovnatelné s ô/Jôv a člen [7-73] nelze zanedbat. Zachycení nelze popsat lineární teorií. Vyroste-li vlna do velkých amplitud, dojde k bezsrážkovému útlumu se zachycováním. Pak zjistíme, že vlna se nezmenšuje monotónně, ale její amplituda v průběhu klesání fluktuuje, jak zachycené částice v potenciálo- vých důlech narážejí dozadu a dopředu. To je nelineární Landauův útlum. Protože výsledek vyjádřený rovnicí [7-67] byl odvozen z lineárni teorie, musí vyrůstat z jiného fyzikálního procesu. Otázka zní: Mohou si nezachycené elektrony pohybující se rychlostí blízkou fázové rychlosti vlny vyměňovat s vlnou energii? Dříve než odpovíme, všimněme si blíže energie takových elektronů. 7.5.1 Kinetická energie elektronového svazku Rozdělovači funkci elektronů %(v) můžeme „rozkrájet" na velký počet monoenergetických svazků (obr. 7-20). Vezměme jeden z nich: jeho neporušená rychlost a hustota jsou u a nu. Rychlost u nechť je blízká v#, Rozdělení f0(v) „rozřezané" na velký počet monoenergetických svaz- OBR. 7-20 ků s rychlostí u a hustotou nu. takže svazek sestává z rezonančních elektronů. Zapněme nyní plazmové oscilace £(x, f) a sledujme kinetickou energii svazku při jeho pohybu přes hřebeny a důly vlny. Vlna je způsobena self-konzistentním pohybem všech svazků dohromady. Je-li nu dostatečně malé (počet svazků dostatečně velký), má vyšetřovaný svazek zanedbatelný vliv na vlnu a můžeme se na něj dívat jako na svazek pohybující se v daném poli E(x, t). Nechť £ = £0(sin kx — cot) = — d = (E0jk) cos (kx — cot). Podle tekutinové teorie máme pro svazek linearizovanou rovnici di\ m | + u —11 = - e£0 sin (kx ct cx ' cot) |7-74| P-751 |7-76| 220 Úvod do kinetické teorie Možným řešením je eE0 cos (kx — cot) m co — ku |7-77| To je modulace rychlosti způsobená vlnou při pohybu svazku podél ní. Aby byl zachován tok částic, osciluje i hustota odpovídajícím způsobem, jak vyžaduje linearizovaná rovnice kontinuity ôn. dn. dv. ot ex dx 17-781 kx - oj t In OBR. 7-21 Fázové vztahy mezi rychlostí a hustotou pro elektrony pohybující se v elektrostatické vlně. Fyzikální význam Landauova útlumu 221 Poněvadž vl je úměrné cos (kx — cot), můžeme zkusit položit «t = ní cos(fcx — cot); po dosazení do rov. [7-78] dostaneme eE0k cos (kx — cot) |7-79| 1 " m (oj-ku)2 ' Obrázek 7-21 ukazuje výsledky podle rovnic [7-77] a [7-79]. Prvé dvě křivky představují pole E a potenciál —e\ rozmezí jedné vlnové délky, jak se jeví elektronům svazku. Rov. [7-77] pro co — ku < 0 čili u > v^ je znázorněna třetí křivkou. Snadno jí porozumíme: Vyšplhal-li elektron a na potenciálový vrch, je jeho rychlost malá, po sestoupení je naopak velká. Čtvrtá křivka je pro případ u < v^; je vidět, že znaménko se změnilo, a to proto, že elektron b, pohybující se v souřadnicovém systému spojeném s vlnou doleva, je při výstupu na vrchol potenciálového valu zpomalován, ale protože se ve skutečnosti pohybuje v obráceném směru, jeho rychlost v kladném x směruje tam maximální. Pohybující se potenciálový val urychluje elektron b směrem doprava, takže v okamžiku, kdy dosáhne vrcholu, má maximální ut. Poslední křivka na obr. 7-21 ukazuje hustotu Hj, jak je dána rovnicí [7-79]. Hustota nemění znaménko s u — v^, protože v souřadnicovém systému spojeném s vlnou jsou elektrony a i b nejpomalejší na vrcholu potenciálového valu a hustota je tam proto nej-větší. Podstatné je, že se znaménkem u — v^ se mění znaménko relativní fáze mezi nl a v{. Nyní můžeme vypočítat kinetickou energii Wk svazku Wk = jm(nu + nl)(u + vl)2 = = 2m("u"2 + nuvl + 2«n,Dj + rijU2 + 2nuuvl + n^]) |7-80| Poslední tři členy obsahují liché mocniny oscilujících veličin, takže při středování přes celou vlnovou délku vymizí. Jak se změní Wk působením vlny, vypočítáme, odečteme-li první člen, tj. původní energii. Střední změna energie pak je (AH^) = \m(nuv\ + 2««^,) . |7-8I| Z rovnice [7-77] dostáváme e2£2 ■(oj — ku) Faktor \ představuje = |mn, e2El 4 » ™2, m2(co — ku)2 1 + 2ku (oj — ku) nu ezE\ co + ku 4 m (co — ku)3 17-8-11 r 222 Úvod do kinetické teorie Tento výsledek říká, že závisí na souřadnicové soustavě pozorovatele a dlouhodobě (sekulárně) se s časem nemění. Představme si, že nějaká hladká kostka klouže bez tření po povrchu zvlněného plechu (obr. 7-22). V souřadnicové soustavě spojené s touto plochou je AWk úměrné -(ku)2, jak lze vidět z rov. [7-84] při položení to = 0. Intuitivně oj OBR. 7-22 Mechanická analogie pohybu elektronu v pohybujícím se potenciálu. ~ OBR. 7-23 Kvadratický vztah mezi kinetickou energií a rychlostí způsobuje, že symetrická porucha rychlosti vede ke zvýšení střední energie. je nám jasné, že (1) (AW^) je záporné, protože kostka je delší dobu na vrcholech než v důlech a (2) jakmile již jsou oscilace spuštěny, kostka neztratí ani nezíská v průměru žádnou energii. Přejdeme-li nyní do souřadnicové soustavy, v níž se vlnitý plech pohybuje konstantní rychlostí co/k (to je rychlost neovlivněná pohybem kostky, neboť jsme předpokládali, že nu je zanedbatelně malé ve srovnání s celkovou hustotou plazmatu), zůstává v platnosti, že jakmile jsou již oscilace spuštěny, kostka nezíská ani neztratí v průměru žádnou energii. Ale rov. [7-84] nám říká, že (AWt) závisí na rychlosti tojk a tudíž na souřadnicové soustavě pozorovatele. Čtěme pozorněji: Říká nám, že svazek má v přítomnosti vlny menší energii než v její nepřítomnosti, je-li co — ku < 0 čili u > a že má větší energii, je-li co — ku > 0 čili u < v^. Příčinu tohoto výsledku můžeme vystopovat až k fázovým posuvům mezi n, a vv Obr. 7-23 ukazuje, že Wk je parabolickou funkcí v. v osciluje mezi hodnotami u - |ux| a u + j, přitom Wk dosáhne průměrné hodnoty větší, než je rovnovážná hodnota WM, ovšem Fyzikálni význam Landauova útlumu 223 za předpokladu, že částice se zdržuje stejně dlouhou dobu v každé půlvlně. To je význam prvého členu v rov. [7-81], který je pozitivně definitní. Druhý člen v této rovnici je korekce vystihující tu skutečnost, že částice nerozloži svoji dráhu v čase rovnoměrně. Na obr. 7-21 je vidět, že elektrony a i b stráví delší dobu na vrcholu potenciálového valu než na dně, avšak elektron a dosáhne tohoto bodu po časovém úseku, v němž byl zpomalován, takže ťj je tam záporné, zatímco b dosáhne tohoto bodu po časovém úseku, v němž byl urychlován (doprava), takže vl je tam kladné. Tento jev způsobuje, že (AWk) mění při u = znaménko. Vliv počátečních podmínek 7.5.2 Výsledek, který jsme právě odvodili, však stále ještě nemá nic společného s lineárním Landauovým útlumem. O útlumu lze hovořit, jestliže spojitě narůstá Wk na účet energie vlny, my jsme však zjistili, že pro nezachycené částice je časově konstantní. Jestliže lineární Landauův útlum nezpůsobují ani nezachycené částice ani zachycené částice, co jej tedy způsobuje? Odpověď lze sestavit z těchto úvah: Je-li (AH^) např. kladné, musel tu být nějaký časový interval, kdy tato hodnota narůstala. Vskutku, v původním rychlostním rozdělení existují částice, jež maji rychlosti tak blízké vt, že během času t se vzhledem k vlně dosud neposunuly o polovinu vlnové délky. Pro tyto částice nelze vzít střední veličinu (AW^). Tyto částice mohou absorbovat energii vlny a zcela výstižně se nazývají „rezonanční". S postupem času počet rezonančních elektronů ubývá, neboť stále víc jich bude posunuto o více než jA ze své počáteční polohy. Rychlost útlumu však může zůstat konstantní, neboť amplituda je nyní menší a na zachování konstantní rychlosti útlumu stačí méně elektronů. Význam počátečních podmínek je nejlépe vidět na zobrazeni fázového prostoru (obr. 7-24). Nakreslili jsme zde trajektorie elektronů ve fázovém prostoru a elektrostatický potenciál — ec/>,, v němž se elektrony pohybují. Předpokládali jsme, že tato elektrostatická vlna existuje v čase t = 0 a že rozdělovači funkce /0(ľ), nakreslená v rovině kolmé k ploše stránky, je v prostoru homogenní a pro daný čas klesá monotónně s \v\. Kvůli zřetel-nosti je velikost vlny silně nadsazena. Existence vlny ovšem implikuje existenci f^v) pro í = 0; útlum, jejž způsobuje, je však efektem vyššího řádu, který lineární teorie zanedbává. Přejděme nyní k souřadnicové soustavě spojené s vlnou, takže struktura vyznačená na obr. 7-24 se nepohybuje, a všimněme si pohybu elektronů. Elektrony nacházející se zpočátku v místě A se vydávají na cestu z vrcholu potenciálového valu a pohybují se doprava, protože jejich v > v^. Elektrony nacházející se zpočátku v B se pohybují doleva, protože jejich v < v^. Elektrony v místě C a D vycházejí z potenciálové jámy a jedny se pohybují doprava, druhé doleva. Elektrony vydávající se na cestu po uzavřených křivkách E nemají dostatek energie k překonání potenciálového valu a jsou zachyceny. Limitním přechodem 224 Úvod do kinetické teorie k malým vlnovým amplitudám můžeme dosáhnout toho, že počet zachycených elektronů je libovolně malý. Po jisté době t, která je tak krátká, že žádný z elektronů A, B, C, D neprošel vzdálenost větší než polovina vlnové délky, se budou elektrony nacházet v místech označených prázdnými kroužky. Vidíme, že elektrony A a D získaly energii, zatímco B a C ji ztratily. Nyní si uvědomme: Bylo-li zpočátku f0(v) prostorově homogenní, bylo původně v místě A více elektronů než v C a více elektronů bylo v D než v B. Výsledkem je tedy čistý zisk energie na straně elektronů, tudíž ztráta energie vlny. To je lineární Landauův útlum a je zcela závislý na předpokládaných počátečních podmínkách. Po delší době budou elektrony fázově tak „rozmazané", že původní rychlostní rozdělení bude zapomenuto a elektrony už nebudou v průměru získávat žádnou energii, jak jsme zjistili v předcházejícím oddíle. V tomto modelu po vystředování přes vlnovou délku zjistíme, že jak elektrony s v > t^, tak i ty, jež mají v < i^, získaly energii na účet vlny. Tato zřejmá nesrovnalost s tím, k čemu jsme došli při úvahách o unášení na mořských vlnách, bude záhy vysvětlena. X OBR. 7-24 Fázové trajektorie (nahoře) elektronů pohybujících se v potenciálu vlny (dole). Celá struktura se pohybuje doprava. Šipky naznačují směr pohybu elektronů vůči vlně. Rovnovážné rozdělení f0(v) je naznačeno v rovině kolmé k ploše obrázku. 4 r Fyzikálni odvozeni Landauova útlumu 225 I FYZIKÁLNÍ ODVOZENÍ LANDAUOVA ÚTLUMU 7.6 i Nyní jsme s to odvodit velikost Landauova útlumu, aniž bychom použili integrál komplexní proměnné. Stejně jako dříve rozdělíme plazma na svazky o rychlosti u a hustotě nu a vyšetříme jejich pohyb ve vlně £ = El sin (kx - cot). |7-X5| Podle rov. [7-77] je rychlost každého ze svazků e£j cos(foc — cot) Toto řešení splňuje pohybovou rovnici [7-76], ale nevyhovuje počáteční podmínce vi = 0 pro t = 0. Je zřejmé, že tato počáteční podmínka musí být zajištěna, jinak by vy v těsné blízkosti u — co\k bylo veliké a plazma by bylo zpočátku ve stavu předem upraveném nějakým zvláštním způsobem. K rov. [7-86] můžeme přičíst libovolnou funkci argumentu (kx - kuť), a tím ji upravit tak, aby splňovala počáteční podmínky. Toto složené řešení bude přitom stále splňovat rovnici [7-76], protože operátor na levé straně rov. [7-76] aplikovaný na f(kx-kut) dává nulu. Abychom dostali vt = 0 pro t = 0, musíme zřejmě za funkci f(kx — kut) zvolit — cos (kx — kut). Tak místo rov. [7-86] máme - — eEl cos (fcx - cot) — cos(fcc — kut) V. =----. |7-87| m ty — ku Nyní musíme rovnici kontinuity [7-78] řešit pro n,, na něž se rovněž vztahuje počáteční podmínka ní = 0 pro í = 0. Protože jsme už o mnoho chytřejší než předtím, zkusíme zvolit řešení ve tvaru nl = ň7[cos(foc - cot) — cos(kx — kut)] . |7-s«| Dosadíme-li tento výraz do rovnice [7-78] a pro ví užijeme rov. [7-87], dostáváme — . ,, . eE.k s'm(kx - cot) - sin(kx - kut) nl sin (kx - cot) = - nu —---—'——5->-. |7.S9| m (co - ku)2 Zřejmě jsme ještě nebyli dost chytří, protože faktor sin (kx - cot) se nezkrátí. Abychom dostali člen ve tvaru sir (kx — kut), jenž vychází z přidaného členu ve yp můžeme k «t přičíst člen tvaru At sin (kx - kut), ten zřejmě pro t = 0 vymizí a operátor na levé straně rov. [7-78] aplikovaný na součinitel t dá sin (kx - kut) a aplikovaný na součinitel sin (kx - kut) dá nulu. Koeficient A musí být úměrný (co - ku)~', protože musí odpovídat témuž faktoru v dvljcx. Máme tedy . eE.k 1 "i = -«u—- 7-T~íl x m (co — ku) x [cos (kx - cot) - cos (kx - kut) - (co - ku) t sin (kx - kut)] . |7-w| 226 Úvod do kinetické teorie Je zřejmé, že tento výraz vymizí pro t = 0 a snadno se můžeme přesvědčit, že splňuje rov. [7-78]. Práce vykonaná na každém svazku je síla krát dráha. Síla působící na jednotkový objem každého ze svazků je Fu = -eE(nu + nj. |7-9i| Prvý člen vymizí po prostorovém vystředování. Máme tedy e2E2k sin (kx — cot) m (co — kuf x [cos (kx - on) - cos (kx - kut) - (co - ku) t sin (kx - kut)] . |7-92| Tento výraz nyní vystředujeme přes vlnovou délku. Prvý člen »; použijeme toho, abychom mohli porovnat výsledek s tím, k čemu jsme dospěli již dříve. Disperzní vztah nalezneme z Poissonovy rovnice kE1 cos (kx - cot) =--£"i. Pro ní užijeme výraz [7-79] a dostáváme 1 _ f V _ e\ p /o(")< £0m u (co - ku)2 e0m (co - k du kuf Porovnáním s rovnicí [7-101] vychází Tedy 4 m e 4 ^v = £o£2/2. 17-1021 |7-l(tf| 17-IIMI 17-1051 Rychlost změny této veličiny je dána záporně vzatou rovnicí [7-98] d WC Integrace per partes dává dWy uUu) du sin (co - ku) t co — ku du. |7-I06| «/o(") sin (co — ku) t co — ku d . sin (co - ku) t ) Zintegrovaná část pro rozumné funkce /0(u) vymizí a máme sin (co — ku) t dWy co , /o(") co — ku du, 17-1071 228 Úvod do kinetické teorie kde u jsme nahradili výrazem co/fc (konstanta), protože jenom rychlosti velmi blízké této hodnotě budou k integrálu přispívat. Vskutku pro dostatečně velká t může být hranatá závorka nahrazena delta funkcí sin (oj — ku) t ô[ u — -7-) = — lim — ku Tedy dW„ .na>.f(x>\ „, co„-/co ^=w^kAv=w^f°[-k 17-10X1 |7-I(W| Protože Im(co) je rychlost růstu Eí a Ww je úměrné E\, musí být dWjdt = 2[Im (co)] Wy. |7-i Tudíž Im(co) = -o)-^|-|, 17-iiH což je v souladu s předchozím výsledkem [7-67] pro co = cop. 7.6.1 Rezonanční částice Nyní musíme přesněji určit, které rezonanční částice přispívají k lineárnímu Landauovu útlumu. Na obr. 7-25 je nakreslen faktor, jímž je funkce /ó(u) v intergrandu výrazu [7-107] vynásobena. Vidíme, že nejvíc přispívají částice s \co - ku\ < njt, čili \v - yj t < njk = A/2, tzn. ty částice původního rozdělení, které vzhledem k vlně ještě neproběhly vzdálenost poloviční vlnové sin (oj - ku)t (co - ku) ■ ku OBR. 7-25 Funkce, která udává relativní příspěvek různých rychlostí k Landauovu útlumu. Fyzikální odvozeni Landauovu útlumu 229 délky. Šířka prostředního maxima se s časem zužuje, jak lze očekávat. Vedlejší maxima v této „difrakční struktuře" na obr. 7-25 pocházejí od částic, které už proběhly do sousedních půlvln vlnového potenciálu. Tyto částice se velmi rychle fázově rozptýlí, takže v průměru přispívají velice málo; počáteční rozdělení je zapomenuto. Všimněme si, že šířka prostředního maxima je nezávislá na počáteční amplitudě vlny; mezi rezonanční částice mohou tedy patřit jak zachycené, tak i nezachycené částice. Tento jev nemá žádný vztah k zachycování částic. Vyřešení dvou paradoxů 7.6.2 Na obr. 7-25 je vidět, že integrand v rovnici [7-107] je sudou funkcí co — ku, takže částice pohybující se rychleji než vlna i částice pohybující se pomaleji než vlna přispívají k Landauovu útlumu. To odpovídá fyzikální představě, kterou jsme odvodili z obrázku 7-24. Na druhé straně sklon křivky na obr. 7-25, který vystupuje v integrandu rovnice [7-106], je lichou funkcí co — ku a z toho bychom usuzovali, že částice pohybující se rychleji než vlna jí předávají energii, zatímco částice pomalejší než vlna si energii od ní berou. Tyto dva popisy se liší integrací per partes; oba jsou správné a který z nich vybereme, závisí na tom, zda chceme v integrandu mít funkci f0(u) nebo Druhý paradox se týká galileovské invariantnosti. Řekneme-li, že útlum vyžaduje, aby bylo částic rychlejších než vlna méně než těch, které jsou pomalejší, nevzniká žádná potíž, pokud jsme v souřadnicové soustavě, v níž plazma zůstává v klidu. Přejdeme-li však k jiné soustavě pohybující se rychlostí V (obr. 7-26), ukáže se, že částic rychlejších než vlna je víc než pomalejších a očekávali bychom, že vlna poroste, namísto aby se zmenšovala. Tento paradox odstraníme znovuzavedením druhého členu v rov. [7-100], který jsme zanedbali. Jak jsme ukázali v odd. 7.5.1, tento -V ' V pohybující se souřadné soustavě se na maxwellovském rozdělení objeví oblast s nestabilním sklonem. OBR. 7-26 230 Úvod do kinetické teorie Experimentální ověření 231 člen může způsobit, 5;e je záporné. V souřadnicové soustavě na obr. 7-26 druhý člen v rov. [7-100] není zanedbatelný, je vskutku záporné a vlna se jeví, jako kdyby měla zápornou energii (tj. v driftujícím maxwellovském rozdělení je více energie, zůstává-li bez oscilací, než s oscilacemi). Vlna „roste", ale přidá-li se energie vlně se zápornou energií, její amplituda se zmenší. 7.7 BGK A VAN KAMPENOVY MODY Viděli jsme, že Landq,uův útlum je přímo vázán na požadavek, aby /0(ť) bylo zpočátku v prostoru homogenní. Na druhé straně je možno generovat netlumené elektronové vlny, jestliže f (v, t = 0) je zpočátku vytvořena tak, že je konstantní podél trajektorií částic.'Z obr. 7-24 je zřejmé, že částice ani nezískají, ani neztratí energii, je-li na počátku hustota plazmatu podél každé trajektorie konstantní. Taková vlna se nazývá BGK mod, neboť I. B. Bernstein, J. M. Greene a M. D. Kruskal první ukázali, že jsou možné netlumené vlny s libovolnými co, k, amplitudou a tvarem vln. Rozhodujícím parametrem, jenž musí být správně nastaven při „tvarování" f (o, t = 0), aby vznikl BGK mod, je poměr zachycených a nezachycených elektronů. Vezmeme-li BGK mpd v limitním případě malých amplitud, dostaneme tak zvaný Van Kampenův mod. V této limitě jsou zachyceny jenom částice s v = Počet zachycených částic můžeme změnit, přidáme-li k f (v, t — 0) člen úměrný ó(v — vj. Rozbor obrázku 7-24 ukáže, že přidání částic podél linie v = u0 nezpůsobí útlum; pro t > 0 existuje právě tolik částic, jež energii získávají, jako těch, jež energii ztrácejí. Zvolíme-li tedy rozdělovači funkce s <5-funkcemi na jiných hodnotách n0, můžeme generovat netlumené Van Kampenovy mody s libovolným v^. Takové singulární počáteční podmínky jsou však nefyzikální. Abychom dostali hladkou křivku f (v, r = 0), musíme sečíst Van Kampenovy mody s daným rozdělením fázové rychlosti ty I když je každý z modů netlumený, celková porucha bude vykazovat Landauův útlum, protože jednotlivé mody nezůstanou navzájem ve fázi. 7.8 EXPERIMENTÁLNÍ OVĚŘENÍ Jakkoliv Landauovo odvození bezsrážkového útlumu bylo stručné a jasné, nebylo zřejmé, že se týká fyzikálně pozorovatelného jevu, dokud J. M. Daw-son nepodal delší intuitivní odvození, jehož jsme se volně přidrželi v odd. 7.6. Dokonce i potom existovaly pochybnosti, že by mohly být v laboratoři vytvořeny vhodné podmínky pro tento jev. Tyto pochyby byly v roce 1965 odstraněny experimentem Malmberga a Whartona. Na detekci a excitaci plazmových vln užili sond rozmístěných podél sloupce bezsrážkového plazmatu. Fázi a amplitudu vln jako funkci vzdálenosti měřili interferometricky. 20 30 VZDÁLENOST SOND Záznam interferometru ukazuje poruchu hustoty v tlumené plazmové vlně. [Převzato z J. H. Malmberg a C. B. Wharton, Phys. Rev. Letters 17, 175 (1966).] OBR. 7-27 lm(fc) ReU) .005 20 0 5 10 15 Ověření Landauova útlumu v experimentu Malmbergově a Whar tónově (uvedená citace). 25 OBR. 7-28 Obr. 7-27 ukazuje prostorovou změnu tlumené vlny. Protože při experimentu bylo co reálné, ale k komplexní, nemohou být tato data porovnána s výsledkem, který jsme získali v rov. [7-70]. Místo toho se musí pro T 232 Úvod do kinetické teorie reálné co vypočítat Im (fc)/Re (k). V tomto poměru je rovněž obsažen faktor exp( — v^jv2), který je úměrný počtu rezonančních elektronů v maxwel-lovském rozdělení. Logaritmus Im(/c)/Re(fc) by měl tudíž být úměrný (vjvt)2. Obr. 7-28 ukazuje, že měření je v souhlase s teoretickou křivkou. Podobný experiment v rovinné geometrii provedli Derfler a Simonen, takže výsledné Re(cy) může být porovnáno s výrazem [7-64]. Obrázek 200 2.4 OBR. 7-29 Experimentální měření disperzního vztahu pro plazmové vlny v rovinné geometrii. [Převzato z H. Derfler a T. Simonen, J. Appl. Phys. 38, 5018 (1967).] Iontový Landauův útlum 233 7-29 ukazuje výsledky jejich měření Re (k) a Im (k) při různých frekvencích. Čerchovaná křivka jsou hodnoty výrazu [7-64]; je to táž závislost jako na obr. 4-5. Experimentální body se odchylují od čerchované křivky v důsledku členů vyššího řádu v rozvoji v rov. [7-59]. Teoretická křivka počítaná podle rov. [7-54] však s těmito výsledky dobře souhlasí. IONTOVÝ LANDAUŮV UTLUM 7.9 Elektrony nejsou jediné možné rezonanční částice. Má-li vlna natolik malou fázovou rychlost, že odpovídá tepelné rychlosti iontů, může se objevit iontový Landauův útlum. Například na iontově akustickou vlnu působí Landauův útlum velmi silně. Připomeňme si z rov. [4-41], že disperzní vztah pro iontové vlny je co í KT. + y.KTjV'2 M 17-11 Je-li Te < 7j, leží fázová rychlost v oblasti, kde sklon křivky /oi(f) je záporný, jak ukazuje obr. 7-30 (A). Iontové vlny jsou tudíž pro Tc < Tj silně tlumeny mechanismem Landauova útlumu. Iontové vlny lze pozorovat pouze pro Te > T; [obr. 7-30 (B)], takže fázová rychlost leží daleko na chvostu rychlostního rozdělení iontů. Vtipně a kontrolovatelným způsobem zavedli r (B) Te » T, Vysvětlení Landauova útlumu iontově akustických vln. Pro Tc s; Tx zasahuje fázová rychlost do iontového rozdělení; při Te > Tí je jen velmi málo iontů, jež mají rychlost blízkou v . Přidáním lehkých iontů (čárkovaná křivka) Landauův útlum vzroste. OBR 7-30 Landauův útlum do iontových vln Alexefľ, Jones a Montgomery. V plazmatu těžkých iontů (jako jsou xenónové) sľtl> 7j vytvořili slabě tlumenou vlnu, pak přidali malé množstvi lehkých atomů (helium). Protože helium mělo přibližně stejnou teplotu jako xenon, ale mnohem menší hmotnost, jeho rozdělovači funkce byla mnohem širší, jak ukazuje čárkovaná křivka na obr. 7-30 (B). Rezonanční heliové ionty pak způsobily, že vlna byla tlumená. 234 Úvod do kinetické teorie ÚLOHA 7-1. Nekonečné homogenní plazma s pevnými ionty má rozdělovači funkci elektronů složenou (1) z maxwellovského rozdělení „plazmových" elektronů s hustotou n a teplotou T (toto rozdělení je vůči laboratornímu souřadnicovému systému v klidu) a (2) z maxwellovského rozdělení elektronů „svazku" s hustotou ns a teplotou Ts (střed tohoto rozdělení je v bodě v = Vx) (obr. 7.31). Je-li «s infinitezimálně malé, jsou plazmové oscilace postupující ve směru x tlumeny Landauovým útlumem. OBR. 7-t ' Neporušené rozdělovači funkce plazmatu fp(vx) a elektronového svazku fs(vx) při interakci svazku s plazmatem. Bude-li ns velké, vznikne dvousvazková nestabilita. Kritickou hodnotu n5, při níž se nestabilita začne projevovat, můžete nalézt tak, že položíte sklon celkové rozdělovači funkce roven nule. Aby výpočet zůstal jednoduchý, můžete přibližnou odpověď hledat takto: (a) Napište výraz pro Jp(v) a /,(r) s užitím těchto označeni: v = ty a2 = IKTjm, b2 - 2KTjm. (b) Předpokládejte, že fázová rychlost r# je hodnota i\ při níž fa(v) má největší kladný sklon. Najděte a Jí(oJ- (c) Nalezněte fjvj a položte f'(v J + j;(vj = 0. (d) Pro V > b ukažte, že kritická hustota svazku je dána přibližně výrazem ^ = (2ť)'2-exp(-(/>>). "p Tp 0 Kapitola osmá NELINEÁRNÍ JEVY ÚVOD 8.1 Až do této chvíle jsme svoji pozornost omezili téměř výlučně na lineární jevy, tj. na jevy popsatelné rovnicemi, v nichž závisle proměnná se neobjevuje ve vyšší než prvé mocnině. Například celý náš postup v kapitole 4., kdy jsme se zabývali vlnami, se zakládal na linearizaci, při níž byly členy vyššího řádu považovány za malé a byly zanedbány. Tento postup nám umožňoval zabývat se vždycky jenom jednou Fourierovou komponentou, s oním uklidňujícím vědomím, že s každou nesinusovou vlnou lze zacházet jako se součtem vhodného spektra Fourierových komponent. Tento postup je v pořádku, pokud je amplituda vlny natolik malá, že platí lineární rovnice. Žel v mnoha experimentech nejsou vlny v okamžiku, kdy je pozorujeme, už popsatelné lineární teorií. Vezměme například driftové vlny. Protože jsou nestabilní, jejich amplituda by podle lineární teorie exponenciálně narůstala. Toto narůstár.í většinou nepozorujeme — protože obyčejně nevíme, kdy se máme začít dívat — ale pozorujeme vlny, které už narostly a mají velkou a stále stejnou amplitudu. Skutečnost, že vlny už nenarůstají, znamená, že lineární teorie už neplatí a že amplitudu omezuje nějaký nelineární efekt. Ukázalo se, že teoretické vysvětlení tohoto jednoduchého pozorování je překvapivě obtížným problémem, protože amplituda „nasycených" vln je poměrně malá. Při narůstání amplitudy může vlna projít řadou změn. Může změnit svůj tvar — např. ze sinusové vlny se změní v podobu trojúhelníku skloněného na jednu stranu. To je totéž, jako když řekneme, že vznikly Fou-rierovy komponenty o jiných frekvencích (nebo vlnočtech). V krajním případě se vlna může i „rozpadnout", podobně jako mořské vlny na pláži, 236 Nelineární jevy Stěnové vrstvy 237 a přeměnit energii vlny v tepelnou energii částic. Velká vlna může ve svých potenciálních důlech zachytiti částice a změnit tak vlastnosti prostředí, jímž se šíří. S tímto efektem jsme se už setkali, když jsme hovořili o nelineárním Landauově útlumu. Je-li plazma tak silně rozrušeno, že je v něm spojité spektrum frekvencí, je ve stavu turbulence. Tento stav se musí popisovat statisticky podobně jako v hydrodynamice tekutin. Důležitým důsledkem turbulence plazmatu je anomálni odpor, kdy pohyb elektronů je zpomalován srážkami s náhodnými fluktuacemi elektrického pole namísto s ionty. Tohoto jevu se užívá při ohmickém ohřevu plazmatu (odd. 5.6.3) na vysoké teploty, kdy normální odpor nedostačuje. Nelineární jevy můžeme rozdělit do tří základních kategorií: 1. Principiálně nelinearizovatelné problémy. Například difúze v úplně ionizovaném plynu je ze své podstaty nelineárním problémem (oddíl 5.8), protože difúzni koeficient se mění s hustotou. V oddílu 6.1 jsme viděli, že problémy hydromagnetické rovnováhy jsou nelineární. V oddílu 8.2 uvedeme jako příklad další důležitý jev — plazmové stěnové vrstvy. f.M v OBR. 8-1 Nestabilní rychlostní rozdělení elektronů se dvěma vrcholy. 2. Interakce vlna-částice. Příkladem takové interakce je zachycení částice (oddíl 7.5); může vést k nelineárnímu útlumu. Klasickým příkladem je kvazilineární efekt, při němž vlny mění rovnovážné rychlostní rozdělení plazmatu. Vezměme plazma s elektronovým svazkem (obr. 8-1). Poněvadž na rozdělovači funkci existuje oblast, kde dfjáv je kladné, má systém inverzní Landauův útlum a plazmové oscilace s fázovou rychlostí v oblasti kladné derivace jsou nestabilní (rov. L7"o7J)- Nejprve jsou interakcemi vlna-částice postiženy rezonanční elektrony a jejich rozdělovači funkce se bude měnit působením elektrického pole vlny. Vlny se budou stabilizovat, když fc(v) bude vlnami zploštěna, jak to ukazuje čárkovaný úsek na obr. 8-1, takže nové rovnovážné rozdělení už nebude mít kladnou derivaci. To je typický kvazilineární efekt. Jiný příklad interakcí vlna--částice, plazmatická echa, uvedeme v oddílu 8.6. 3. Interakce vlna-vlna: Vlny mohou spolu navzájem interagovat dokonce i podle tekutinového popisu, v němž se jevy spojené s jednotlivými částicemi zanedbávají. Samotná vlna může slábnout předně tím, že generuje vyšší harmonické frekvence ke své základní frekvenci. Tyto harmonické vlny mohou pak interagovat mezi sebou a s původní vlnou a vytvářet další vlny na záznějových frekvencích. Tyto záznějové vlny mohou pak zase tak dalece narůst, že mohou interagovat a vytvářet další záznějové frekvence, dokud nebude spektrum spojité. Je zajímavé promyslet si, jakým směrem proudí energie v turbulentním spektru. V mechanice dynamiky tekutin se dlouhovlnné mody rozpadají na krátkovlnné mody, neboť ve velkých vírech je více energie a může se zmenšit jenom rozštěpením na malé víry, z nichž každý má méně energie. Nejmenší víry pak přeměňují svůj kinetický pohyb viskózním útlumem v teplo. V plazmatu se zpravidla setkáváme s opakem. Krátkovlnné mody mají tendenci splynout v dlouhovlnné mody, jež mají méně energie; energie elektrického pole a0£2/2 je řádově rovna £0/e22/2, takže při pevném e5 je záporný. Tento potenciál se nemůže rozšířit přes celé plazma, protože Debyeovo stínění 238 Nelineární jevy (oddíl 1.4) omezí změny potenciálu na tenkou vrstvu o tloušťce řádově několika Debyeových délek. Této vrstvičce, která musí existovat na všech chladných stěnách, jichž se plazma dotýká, říkáme stěnová vrstva. Úlohou stěnové vrstvy je vytvářet potenciálovou bariéru, takže pohyblivější částice, (p = 0 OBR. 8-2 Potenciál plazmatu

0 STĚNA OBR. 8-3 Potenciál v rovinné stěnové vrstvě. Předpokládáme, že chladné ionty vstupují do vrstvy s jednotnou rychlostí u0. Stěnové vrstvy 239 Rovnice pro rovinnou stěnovou vrstvu 8.2.2 V oddíle 1.4 jsme při odvozování Debyeovy délky linearizovali Poissonovu rovnici. Máme-li však přesně vyšetřit průběh 2-Vynásobením y a integrací od = £z do £, = dostáváme &2-y'2) =V2M(ť/2-zľ2). |X-I21 18-131 kde šz znamená místo, kde jsme začali zanedbávat nc. Můžeme znovu stanovit nulu proměnné y tak, že yI = 0 v bodě c; = čz. Můžeme rovněž zanedbat y'z, protože lze očekávat, že průběh potenciálu bude mít mnohem 242 Nelineární jevy strmější sklon v oblasti ne = 0 než v oblasti s konečným nc. Z rov. [8-13] PakVyCháZÍ x'2 = 23W2, i = 23/4/M1/Y/4 18-141 neboli dz/z"4 = 23/4/Vl1,2d£. |8-i5| Integrací od č; = ^ do c = č;z + ^d ~ ústěna dostáváme neboli 4v3/4 3AS M = 23/4^1/2^ ,3/2 ^d |8-16| |8-17| Přejdeme opět k proměnným u0 a a za^d dosadíme d/lD, pak pro iontový proud ke stěně J = en0u0 nacházíme výraz _ 4/2e 1/2 :ol {^KTje na požadovanou rychlost u0. Podle toho kterého experimentu se za „před-vrstvu" může brát celé plazma, střední volná dráha nebo střední ionizační dráha. Průběh potenciálu je samozřejmě hladký, na tři oblasti jsme jej rozdělili jen kvůli snadnému pochopení a museli jsme k tomu použít nestejná délková měřítka. V počátcích zkoumání výbojů v plynech byly stěnové vrstvy pozorovány jako temná místa, v nichž nejsou přítomny elektrony, nedochází k excitaci atomů a k emisi. Později byly změny potenciálu měřeny elektrostatickým ohybem tenkého elektronového svazku namířeného rovnoběžně se stěnou. 8.3 IONTOVĚ AKUSTICKÉ RÁZOVÉ VLNY Letí-li tryskové letadlo rychleji než zvuk, vytváří rázovou vlnu. Je to principiálně nelineární jev, neboť neexistuje stadium, kdy by tato vlna byla malá a narůstala. Tryskové letadlo je rychlejší než vlny ve vzduchu, takže neporušené prostředí nemůže být předbíhajícími signály „varováno" dříve, než na něj narazí velká rázová vlna. U hydrodynamických vln hrají hlavní Iontově akustické rázové vlny 243 roli srážky. Rázové vlny existují také v plazmatu, i když v něm ke srážkám nedochází. Magnetickou rázovou vlnu — „příďovou vlnu"* — vytváří Země, brázdící meziplanetární plazma a vlekoucí za sebou dipólové magnetické pole. Budeme hovořit o jednodušším příkladu: o bezsrážkové jednorozměrné rázové vlně, která se vyvine z iontové vlny s velkou amplitudou. Sagdějevův potenciál 8.3.1 Obrázek 8-5 ukazuje idealizovaný průběh potenciálu v iontově akustické rázové vlně. Nyní tento tvar vysvětlíme. Vlna postupuje doleva rychlostí u0. Přejdeme-li k souřadnému systému, který se pohybuje s vlnou, bude funkce cí>(x) v čase konstantní a my budeme vidět proud plazmatu narážející na vlnu zleva rychlostí u0. Pro jednoduchost nechť T. = 0, takže všechny ionty dopadají touž rychlostí u0, a nechť elektrony mají maxwellovské rozdělení. Typické rozložení potenciálu v iontově akustické rázové vlně. Vlna se OBR. 8-5 pohybuje doleva, takže v souřadné soustavě spojené s vlnou proudí ionty rychlostí u0 zleva do vlny. Poněvadž se rázová vlna pohybuje daleko pomaleji než elektrony při svém tepelném pohybu, můžeme posunutí středu v maxwellovském rozdělení zanedbat. Pro rychlost iontů vychází ze zákona zachování energie / 2 lecbV'2 18-19J Je-li n0 hustota neporušeného plazmatu, je hustota iontů v rázové vlně nnun [. 2ecb^'il2 Mul 18-21) | takto jsme přeložili termín „bow shock" (výslovnost: [bau šok]) - pozn. překl. I 244 Nelineární jevy Elektronová hustota je dána Boltzmannovým vztahem. Poissonova rovnice pak dává d24> ďx1 exp e

\-il2' To je ovšem táž rovnice (rov. [8-6]), jako jsme měli pro stěnovou vrstvu. Rázová vlna není nic víc než stěnová vrstva pohybující se plazmatem. Zavedeme nyní bezrozměrné proměnné X = + ecj) KT' |K-22| (KTjM)112' Všimněme si, že jsme změnili znaménko v definici x, abychom stejně jako u vrstvy měli i v tomto případě x kladné. Veličina řA se nazývá Machovo číslo rázové vlny. Rovnici [8-21] můžeme nyní napsat 1/2 _ dV(X) de e { m2 dx IX-2.11 která se od rovnice pro stěnovou vrstvu [8-8] liší jenom v důsledku změněného znaménka x- Vlastnosti řešení rov. [8-23] objasnil R. Z. Sagdějev, který užil analogie s oscilátorem v potenciálové jámě. Výchylka x oscilátoru vystaveného síle — mdV(x)\dx je dána rovnicí d2x/dr2 = -dK/dx. |x-24| Jestliže pravou stranu rov. [8-23] definujeme jako —dV\dx, je tato rovnice totožná s rovnicí oscilátoru, kde potenciál x má roli x a d/dc nahrazuje d/dí. Kvazipotenciál V\y) se někdy nazývá Sagdějevův potenciál. Funkci OBR. 8-6 Sagdějevův potenciál V(x). Horní šipka je trajektorie kvazičástice, která popisuje soliton: vpravo se odráží a vrací se. Spodní šipky naznačují pohyb kvazičástice, která ztratila energii a je zachycena v potenciálové jámě. Odrazy tam a zpět popisují oscilace za čelem rázové vlny. Iontově akustické rázové vlny 245 V(x) můžeme nalézt integrací rov. [8-23] s okrajovými podmínkami V(X) = 0 pro x = 0 V(x) = 1 - e* + M' IX-: Pro M v určitém rozsahu hodnot má tato funkce tvar jako na obr. 8-6. Kdyby to opravdu byla potenciálová jáma, částice vstupující zleva by přecházela na pravou stranu jámy (x > 0), odrazila by se a vrátila do místa (x = 0), přičemž by jednou proběhla tam a zpět. Podobně kvazičástice v naší analogii se jednou vychýlí ve směru kladného x a vrátí se zpět k x = 0» jak ukazuje obr. 8-7. Jeden takový impuls se nazývá soliton.

. Přesně to je znázorněno na obr. 8-5. Ve skutečnosti pro tento jev není disipace potřeba, odraz iontů od čela rázové vlny má týž účinek. Abychom to pochopili, představme si, že energie iontů je trochu „rozmazána" tepelným pohybem a že výška e čela rázové vlny je právě tak veliká, že některé ionty odrazí zpět doleva, zatímco zbytek přejde přes potenciálový val doprava. Odražené ionty způsobí zvětšení iontové hustoty v oblasti nalevo od čela vlny (obr. 8-5). To znamená, že veličina 1 "o Jo IX-Jfcl se zmenši. Poněvadž x je analogií dxját u oscilátoru, ztratil náš myšlený oscilátor rychlost a je zachycen v potenciálové jámě z obr. 8-6. 246 Nelineární jevy Iontové akustické rázové vlny 247 8.3.2 Kritická Machova čisla Řešení, ať už v podobě solitonu nebo v podobě sledu vln, existuje jenom pro jistý rozsah hodnot M. Dolní mez pro M je dána podmínkou, že V(x) je potenciálová jáma a nikoliv val. Rozložením rovnice [8-25] v řadu pro X <Š 1 vychází i*2 (X2/2M2)>0, M2>\ |8-27| To je fyzikálně i matematicky přesně totéž, jako Bohmovo kritérium pro existenci vrstvy (rov. [8-11]). Horní mez pro M je dána podmínkou, že funkce V(x) z obr. 8-6 musí pro x > 0 přetnout osu x, jinak se virtuální částice neodrazí a potenciál bude stoupat do nekonečna. Podle rov. [8-25] požadujeme, aby pro nějaké X > 0 platilo Jí 2/Y/2~ e*-l 1), je levá strana, představující integrál elektronové hustoty od nuly do zpočátku větší než pravá strana, představující integrál iontové hustoty. Když se x zvětšuje, může pravá strana dohonit levou stranu, není-li M1 příliš veliké. Nejvyšší hodnota, kterou x kvůli odmocnině může mít, je však A12/2. Fyzikálně to znamená, že e nemůže být větší než f Mu2,, jinak by se ionty nedostaly do té oblasti plazmatu, která leží dále ve směru proudu. Dosazením nejvyšší hodnoty x do rov. [8-28] dostáváme exp(M2/2) - 1 < M2 neboli M < 1,6. |8-29| To je horní kritické Machovo číslo. Rázové vlny v plazmatu s chladnými ionty tedy existují jenom pro 1 < M < 1,6. In n 0 x = ecp/KTe 0R2/2 OBR. 8-8 Změna hustoty iontů a elektronů (v logaritmickém měřítku) v solitonu v závislosti na normalizovaném potenciálu x- Hustota iontů je nakreslena pro dva případy: Machovo ěíslo je větší nebo menši než 1,6. Jako u stěnové vrstvy nejlépe vysvětlíme fyzikální situaci závislostí «; a ne na x (obr. 8-8). Tento graf se od obrázku 8-4 liší v důsledku změny znaménka tf. Protože jsou nyní ionty zpomalovány, nikoliv urychlovány, říj poroste do nekonečna pro x = M2/2. Dolní kritické Machovo číslo zajišťuje, že pro malá x křivka n.^ leží pod křivkou ne, takže potenciál (x) má zpočátku správné znaménko křivosti. Když křivka protíná křivku ne, má soliton (x) (obr. 8-7) inflexní bod. A konečně když x je tak velké, že plochy pod křivkami n; a ne jsou si rovné, dosahuje soliton vrcholu a křivky na ant jsou probírány pozpátku s x jdoucím zpět k nule. Rovnost ploch zajišťuje, že výsledný náboj v solitonu je nulový; vně solitonu tedy není elektrické pole. Je-li M větší než 1,6 (křivka ni2), je plocha pod křivkou iontové hustoty menší i tehdy, kdy x dosahuje svoji maximální hodnotu M2/2. Vzrůst strmosti vln 8.3.3 Šíří-li se iontová vlna v plazmatu s chladnými ionty, bude mít fázovou rychlost podle rov. [4-42], odpovídající hodnotě M = 1. Jak lze potom vytvořit rázovou vlnu s M > 1? Musíme si připomenout, že rov. [4-42] byla řešením lineárního problému, platným pouze pro malé amplitudy. n nebo

, dostáváme konečně pro pondero- motorickou sílu výraz co2ve0<£2) |8-40| Jedná-li se o vlnu elektromagnetickou, převažuje v rov. [8-38] druhý člen a fyzikální mechanismus síly FNL je následující: elektrony oscilují -ve směru E, ale magnetické pole vlny stáčí jejich orbity. Lorentzova síla — ev x B tlačí elektrony ve směru k (v má stejný směr jako E a součin E x B leží ve směru k). Fáze vektorů v a B jsou takové, že výsledkem stře-dování přes jednu oscilační periodu není nula, nýbrž — měřeno delším časovým úsekem — vzniká drift ve směru k. Má-li vlna konstantní amplitudu, není pro udržení tohoto driftu už třeba žádné další síly; jestliže se ale amplituda vlny mění, nahromadí se elektrony v oblastech s malou amplitudou a na překonání prostorového náboje je potřeba síla. Proto je efektivní síla FNL úměrná gradientu <£2>. Poněvadž driftový pohyb je pro všechny elektrony tentýž, je FNL úměrné hustotě — odtud faktor (o2jco2 v rov. [8-40]. Jedná-li se o vlnu elektrostatickou, převažuje v rov. [8-38] prvý cion a fyzikální mechanismus síly FNL je prostě takový, že elektron oscilující ve směru k || E doběhne dále během půl cyklu, kdy se pohybuje z oblasti silného pole do oblasti slabého pole, než při obráceném pohybu, takže výsledným pohybem je drift. I když FNL působí především na elektrony, je tato sila posléze přenášena na ionty, poněvadž se jedná o efekt, který má nízkofrekvenční nebo stejnosměrný charakter. Vytvoří-li se působením FNL shluk elektronů, vznikne touto separací nábojů pole Esn. Celková síla, jíž je elektron vystaven, je 18-41 Protože ponderomotorická síla působící na ionty je menší o faktor ňp/a>2 = mJM, je síla působící na iontovou tekutinu přibližně F. = eE.. |8-42| Sečteme obě poslední rovnice a zjišťujeme, že síla působící na plazma je FNL. Přímým důsledkem síly FNL je samofokusace laserového paprsku v plazmatu. Z obr. 8-12 je patrno, že svazek laserových paprsků o konečném průměru vyvolá v plazmatu ponderomotorickou sílu v radiálním směru. Tato 7 <£2> PLAZMA Samofokusace laserového svazku je způsobena ponderomotorickou silou. OBR. 8-12 252 Nelineární jevy Parametrické nestability 253 síla vytlačuje plazma ven ze svazku, takže uvnitř svazkuje cop menší a dielektrická konstanta větší než vně svazku. Plazma má tak stejný účinek jako konvexní čočka, fokusující svazek do malého průřezu. 8.5 PARAMETRICKÉ NESTABILITY Z nelineárních interakcí „vlna-vlna" jsou nejdůkladněji studovány „parametrické nestability", jež jsou tak nazývány pro svou analogii s parametrickým zesilovačem, přístrojem používaným v slaboproudé elektrotechnice. Studium těchto jevů a" jejich pochopení již poměrně pokročilo, protože jejich teorie je v podstatě lineární, ovšem lineární vzhledem k oscilujícímu rovnovážnému stavu. 8.5.1 Vázané oscilátory Na obr. 8-13 je nakreslen mechanický model: dva oscilátory Mt a M2 jsou spojeny tyčí spočívající na podpěrce. Podpěra P podkluzuje tam a zpět s frekvencí 2t cos ío0t = j-cosj^Wj + co0)t] + |cos[(w2 - co0)f] . Rovná-li se col buď co2 + co0 nebo co2 — co0, bude pohyb M l rozkmitáván jako při rezonanci a poroste do velkých amplitud. Začne-li jednou Mj oscilovat, bude získávat energii i M2, protože jedna ze záznějových frekvencí vznikajících z col a a>0 je právě co2. A tak jakmile jeden z oscilátorů začne oscilovat, bude jeden rozkmitáván druhým, tzn. systém je nestabilní. Energii ovšem dodává „pumpa" P, která se setkává s odporem, jakmile je tyč skloněná. Je-li pumpa dostatečně silná, amplituda jejích oscilací není ovlivňována oscilátory Mx a M2; takovou nestabilitu lze zvládnout lineární teorií. V plazmatu mohou roli oscilátorů P, Ml a M2 hrát různé typy vln. Frekvenční podmínka 8.5.2 Pohybová rovnice jednoduchého harmonického oscilátoru xl je d2Xí |8-44| kde aij je jeho rezonancia frekvence. Je-li poháněn časově závislou silou, jež je úměrná součinu amplitudy £0 pohonu neboli pumpy a amplitudy x2 druhého oscilátoru, má pohybová rovnice tvar d2Xl + to\Xl = CjX2£0, 18-451 kde c, je konstanta vyjadřující velikost vazby. Podobná rovnice platí pro x2 d2x, dt j2- + co\x2 = c2x,£0 . |8-46| Nechť Xj = Xj cos cot, x2 = x2 cos w't a £0 = £0 cos cogt. Rovnice [8-46] pak zní (co2 — co'2) x2 cos co't = c2EqXí cos co0t cos cot = = c2E0xl. !{cos [(co0 + co) t] 4- cos [(co0 — co) f]} . |8-47| Členy na pravé straně mohou rozkmitávat oscilátory x2 s frekvencemi co' = CO0 ± CO . |X~|X| Bez nelineárních interakcí může mít x2 jenom frekvenci co2, pak musí být co' = co2. Člen na pravé straně může však způsobit posunutí frekvence, takže co' je jenom přibližně rovno co2. Mimo to co' může být komplexní, poněvadž existuje útlum (pro jednoduchost dosud zanedbávaný), nebo může docházet k růstu oscilací (jde-li o nestabilitu). V každém případě je x2 oscilátor s konečným Q a může reagovat na jistý rozsah frekvencí okolo co2. Je-li co malé, mohou podle rov. [8-48] obě možné hodnoty co' ležet uvnitř šířky pásma oscilátoru x2; musíme pak připustit existenci dvou oscilátorů: x2(a>0 + co) a x2(co0 — co). 254 Nelineárni jevy Parametrické nestability 255 Nechť nyní x, = x, cos co"t a x2 = x2 cos [(co0 ± co) t]; dosaďme do rovnice [8-45] (co] — co") x, cos co"t = = Ci£0x2 .fícos {[co0 + (co0 ± co)] t} + cos {[co0 - (co0 ± co)] t}) = = clE0x2 . f {COS [(2CD0 ± Co)t] + COS COt} . [8-49| Členy na pravé straně mohou excitovat nejenom původní oscilaci x,(co), ale i nové frekvence co" = 2co0 ± co. Budeme uvažovat případ |co0| f> [co^|, takže 2co0 ± co leží dost daleko od pásma frekvencí, na něž x, může reagovat, a x1(2ct)0 + co) je možno zanedbat. Máme tedy tři oscilátory, Xj(co), x2(co0 — co) a x2(co0 + co), které jsou vázány rovnicemi [8-45] a [8-46] (co] - co2)x,(co) - c,£0(co0) [x2(co0 - co) + x2(co0 + co)] = 0, [co2 - (co0 - co)2] x2(co0 - co) - c2£0(co0)x,(co) = 0, [co\ - (co0 + co)2] x2(co0 + co) - c2£0(co0) x,(co) = 0. |8-50| Disperzním vztahem je podmínka, že determinant koeficientů se rovná nule co2 — co2 c2£0 c2£0 K ci£o 0 0 (co0 + co)2 — co 0. Řešení s Im (co) > 0 by znamenalo nestabilitu. Pro malé posuvy frekvencí a pomalý útlum nebo růst můžeme položit co a co' přibližně rovné neporušeným frekvencím co, a co2. Z rovnice [8-48] pak máme frekvenční podmínku co2 + co,. |8-52| Jsou-li takovými oscilátory vlny v plazmatu, musíme cof nahradit výrazem cof — k. r. Pak ovšem existuje také podmínka pro vlnové vektory K ±fc, 18-531 popisující prostorové zázněje, tj. periodicitu bodů s konstruktivní a destruktivní interferencí v prostoru. Těmto dvěma podmínkám [8-52] a [8-53] lze snadno porozumět podle analogie s kvantovou mechanikou. Vynáso-bíme-li prvou z nich Planckovou konstantou h, máme fico0 = Jico2 + fico,. |8-54| £0 a x2 mohou být například elektromagnetické vlny, takže hco0 a hco2 jsou energie fotonů. Oscilátor x, může být Langmuirova vlna neboli plaz-mon s energií hcoy. Rovnice [8-54] prostě znamená zachování energie. Podobně rov. [8-53] znamená zachování hybnosti hk. (A) (B) (C) * Rovnoběžníková konstrukce, ilustrující frekvenční podmínku a podmínku pro vlnové vektory, pro tři parametrické nestability: (A) nestabilita rozpadu elektronové vlny, (B) nestabilita parametrického rozpadu a (C) nestabilita stimulovaného Bríllouinova zpětného rozptylu; co0 je dopadající vlna, co, a co2 výsledné vlny. Přímky jsou disperzní křivky iontových vln, úzké paraboly patří světelným vlnám a široké paraboly elektronovým vlnám. V případě jednorozměrných plazmových vln je současné splnění rovnic [8-52] a [8-53] možné jenom pro určité kombinace vln. Požadavky kladené na jejich vzájemné vztahy jsou nejlépe vidět na diagramu co — k (obr. 8-14). Obrázek 8-14(A) ukazuje disperzní křivky elektronové plazmové vlny (Bohmova-Grossova vlna) a iontové akustické vlny (srv. obr. 4-13). Elektronová vlna (co0, k0) o velké amplitudě se může rozpadnout v elektronovou vlnu (co2, fc2) pohybující se opačným směrem a v iontovou vlnu (co,,k,). Rovnoběžníková konstrukce zajišťuje, že jsou splněny podmínky co0 = co, + co2 a k0 = k, + k2. Poloha bodů (co0, k0) a (co2, k2) na elektronové křivce musí být nastavena tak, aby vektor jejich rozdílu ležel na iontové křivce. Všimněme si, že elektronová vlna se nemůže rozpadnout ve dvě jiné elektronové vlny, protože neexistuje způsob, jak dostat vektor rozdílu na elektronovou křivku. Obrázek 8-14{B) ukazuje rovnoběžníkovou konstrukci pro nestabilitu „parametrického rozpadu". Zde (co0, k0) je dopadající elektromagnetická OBR. 8-14 256 Nelineární jevy Parametrické nestability 257 vlna o velké fázové rychlosti (co0/fc0 » c). Ta excituje elektronovou a iontovou vlnu, jež se pohybují v opačných směrech. Poněvadž \k0\ je malé, dostáváme pro tuto nestabilitu |kj| « — |k2| a co0 = cOj + a>2. Obrázek 8-14(C) ukazuje diagram a>-k pro nestabilitu „parametrického zpětného rozptylu", při němž světelná vlna excituje iontovou vlnu a jinou světelnou vlnu šířící se opačným směrem. Tentýž případ může nastat, je-li iontová vlna nahrazena plazmovou vlnou. Podle analogie s podobnými jevy ve fyzice pevných látek se tyto procesy nazývají „stimulovaný Bril-louinův* rozptyl" a „stimulovaný Ramanův rozptyl". 8.5.3 Práh nestability Ňedochází-li k útlumu, mohou se parametrické nestability objevit při jakýchkoliv amplitudách, ale ve skutečnosti již i malý ať už srážkový nebo Landauův útlum nestabilitám zabrání, pokud čerpající** vlna není dost silná. Abychom vypočítali práh nestability, musíme zavést útlumové rychlosti Tj a r2 oscilátorů xt a x2. Rovnice [8-44] pak zní -^ + -ico pro xi a x2, pokud zůstává £0 reálné a nechť je xx a x2 komplexní. Z rovnic [8-45] a [8-46] dostáváme (co, — co — 2iI\co) xjfcu) = CjX2£0 , [co2, -{co- co0)2 - 2il2(co - co0)] x2(co - co0) = c2x,£0. (X-56| Dále se ještě omezíme na jednoduchý případ dvou vln — tj. co ä co, a co0 — co » co2, avšak co0 4- co je dostatečně vzdáleno od co2, takže nemůže rezonovat — kdy se třetí řádek i sloupec rov. [8-51] nemusí brát v úvahu. Rovnice [8-51] pak dostává tvar (co2 — col + 2' [{co — co0)2 — co\ + 2il2(co — coj] = CjC2£q . |x-57| Pro prahové co můžeme položit podmínku Im (co) = 0. Nejnižší prahová hodnota £0 se objeví při přesném splnění frekvenční podmínky, tj. co = co,, co0 — co = co2. Tak rov. [8-57] dává ClC2(£o)prah = 4ť»1CJ2/;r2. Prahová hodnota klesá k nule s útlumem kterékoliv z vln. vyslov: brijuen - pozn. překl. správný český termín místo „pumpující" pozn. překl. Fyzikální mechanismus 8.5.4 Parametrické excitaci vln můžeme velmi snadno porozumět prostřednictvím ponderomotorické síly (oddíl 8.4). Jako ilustrativní případ uvažujme elektromagnetickou vlnu (co0, k0) excitující elektronovou plazmovou vlnu (co2, k2) a nízkofrekvenční iontovou vlnu (covkL) [obr. 8-14(B)]. Poněvadž co{ je malé, musí co0 být blízko cop. Výsledek se však bude výrazně lišit podle toho, zda co0 < cop nebo co0 > cop. V prvém případě vzniká „oscilující dvou-svazková" nestabilita* (kterou probereme podrobně), v druhém nestabilita „parametrického rozpadu". Předpokládejme, že v plazmatu je porucha hustoty tvaru nl cos klx; tato porucha může vzniknout spontánně jako jeden z projevů tepelného šumu. Nechť má čerpající vlna elektrické pole £0 cos co0t ve směru x, jak ukazuje obr. 8-15. Není-li v plazmatu stejnosměrné pole B0, bude pro pumpující vlnu platit vztah col = co2 + c2^c» takže pro co0 ä cop je k0 « 0. Můžeme tedy £0 považovat za prostorově konstantní. Je-li co0 menší než cop, což je rezonanční frekvence chladné elektronové tekutiny, budou se elektrony pohybovat ve směru opačném k £0, zatímco ionty se v časovém -1X Fyzikální mechanismus oscilující dvousvazkové nestability. OBR. 8-15 * původní termín: oscillating two-stream instability — pozn. překl. 258 Nelineární jevy měřítku co0 pohybovat nebudou. Zvlnění hustoty způsobí pak separaci náboje, jak ukazuje obr. 8-15. Elektrostatické náboje vytvoří pole £,, které osciluje s frekvencí co0. Ponderomotorická síla způsobená celkovým polem je podle rov. [8-40] ^-7%<(£q + £i)2> —-. |8-58| co: o Poněvadž £0 je homogenní a mnohem větši než Ev je významný jenom prostřední člen kvadrátu co2 ô £0<2£0£,> 18-591 Tato síla se středováním nevynuluje, protože Eí mění znaménko s £0. Jak je vidět na obr. 8-15, FNL je nulové na vrcholech a v důlech hustoty nv ale je velké tam, kde je velké Wi,. Toto prostorové rozložení způsobuje, že FNL tlačí elektrony z oblastí malých hustot do oblastí velkých hustot. Výsledné stejnosměrné elektrické pole vleče sebou také ionty a hustotní porucha narůstá. Prahová hodnota FNL je taková hodnota, která právě dostačuje k překonání tlaku Vn^K^ + KTe), který se snaží vyhladit průběh hustoty. Hustotní zvlnění se prostředím nešíří, takže Re (coj = 0. Tento jev se nazývá oscilující dvousvazková nestabilita, protože elektrony stále přetahované ze strany na stranu mají časově vystředovanou rozdělovači funkci se dvěma vrcholy podobně jako ve dvousvazkové nestabilitě (odd. 6.6). Je-li co2. Největší efekt se objeví pro co2, « co2; faktor (co2/cOg) pak můžeme zanedbat. Rovnici [8-62] můžeme potom psát d2nn _ e2k2 F2n 2Mm co2 — co2. 18-741 -p -"o Protože pro tuto nestabilitu platí Re (co) = 0, můžeme položit nn = = ň- , exp yr, kde y je rychlost růstu (inkrement) nestability. Tedy „2aí!^_ěL_. |s75i ' 2Mm co2 - co2, y je reálné, jestliže co2, < co2. Skutečná hodnota y bude záviset na tom, jak lze zmenšit jmenovatel v rov. [8-72], aniž by se užilo aproximace co2 = cog. Při konečném útlumu bude mít co2 — co2 imaginární složku úměrnou výrazu 2/2cop, kde l\ je rychlost útlumu (dekrement) elektronových oscilací. Pak máme y-EJr1*. is-701 Dostatečně daleko nad prahovou hodnotou bude imaginární složka co určována inkrementem y a nikoliv 2. Pak je y1 - —, y (ěoY- 18-771 Parametrické nestability 261 Tato závislost y na E0 je charakteristická pro všechny parametrické nestability. Přesný výpočet y a prahové hodnoty E0 vyžaduje pečlivější zacházení s frekvenční diferencí cop — co0, než zde můžeme ukázat. Má-li se tento problém řešit přesně, vypočítá se z rov. [8-71] nn a dosadí se do rov. [8-74] d2n. et2 ike 18-781 Rovnice [8-70] a [8-78] pak vytvářejí dvojici rovnic podobně jako rov. [8-45] a [8-46] a jako řešení lze užít rovnici [8-51]. Frekvence co, v tomto případě vymizí, protože pro limitní případ nulové teploty má iontová vlna co, = 0. Nestabilita parametrického rozpadu 8.5.6 Kdybychom chtěli odvodit analogické výrazy pro případ co0 > cop, sledovali bychom tutéž myšlenkovou linii jako shora a došli bychom k excitaci plazmové vlny a iontové vlny. Vynecháme výpočty, jež jsou o něco rozvláčnější než pro oscilující dvousvazkovou nestabilitu, a místo toho popí- ŽHAVENÁ VLÁKNA (KATODA) KOVOVÁ KOMORA (ANODA) SIGNÁLNÍ GENERÁTOR 350 MHz VF VÝKONOVÝ ZESILOVAČ P<20W ODDĚLOVACÍ KONDENZÁTOR SONDY Schéma experimentu, jímž byla ověřena nestabilita parametrického rozpadu. [Převzato z A. Y. Wong a ost., Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research. 1971, I, 335 (International Atomic Energy Agency, Vienna, 1971).] OBR. 8-16 262 Nelineárni jevy Parametrické nestability 263 IONTOVÁ VLNA ■a ■u 2 Z z < o S E S s B ■ ■ m H !■ m r PLAZMOVÁ VLNA PRIMÁRNÍ VLNA I I I 100 I I 200 300 f (kHz) NÍZKOFREKVENČNÍ SPEKTRUM I 400 500 POD PRAHOVOU HODNOTOU NAD PRAHOVOU HODNOTOU I I 400 + .2 f (MHz) VYSOKOFREKVENČNÍ SPEKTRUM I + .4 OBR. 8-17 Oscilogramy frekvenčního spektra oscilací měřených na aparatuře z obr. 8-16. Je-li výkon budicího signálu právě ještě pod prahovou hodnotou, pozorujeme v nízkofrekvenčním spektru jenom šum a ve vysokofrekvenčním spektru jenom budicí signál. Nepatrným zvýšením výkonu se dostane systém nad prahovou hodnotu a objeví se současně frekvence plazmové vlny a iontové vlny. [S laskavým svolením R. Stenzela, University of Cali-fornia.j šeme některé experimenty. Nestabilita parametrického rozpadu je experimentálně dobře doložená, neboť byla pozorována v ionosféře i v laboratoři. S oscilující dvousvazkovou nestabilitou se nesetkáme tak často, jednak kvůli podmínce Re (co) = 0 a jednak proto, že podmínka co0 < cop znamená, že dopadající vlna je tlumená. Obrázek 8-16 ukazuje aparaturu, kterou sestrojili Stenzel a Wong, sestávající ze zdroje plazmatu podobného jako na obr. 8-10, dvojice mřížek, mezi nimiž je oscilátorem generované pole E0, a sondy spojené se dvěma analyzátory frekvenčního spektra. Obrázek 8-17 ukazuje spektra signálů detegovaných v plazmatu. Pod prahovou hodnotou je ve vysokofrekvenčním spektru jenom čerpající vlna na 400 MHz, zatímco nízkofrekvenční spektrum vykazuje jenom malý šum. Zvětší-li se poněkud amplituda čerpající vlny, v nízkofrekvenčním spektru se na 300 kHz objeví iontová vlna a současně se ve vysokofrekvenčním spektru objeví postranní pásmo na 399,7 MHz. To je elektronová plazmová vlna na rozdílové frekvenci. Rovněž lze pozorovat, že iontová vlna vytváři zázněje s čerpající vlnou a vzniká signál na součtové frekvenci 400,3 MHz. Tato nestabilita byla pozorována rovněž při ionosférických experimentech. Na obr. 8-18 je geometrické schéma ionosférické verze experimentu, provedeného s velkým radioteleskopem v Platteville v Coloradu. Anténou je do ionosféry vysílán vysokofrekvenční svazek 7 MHz o výkonu 2 MW. V ionosférické vrstvě, v níž co0 > cop, vzniká elektronová a iontová vlna a ionosférické elektrony se zahřívají. V jiném experimentu s velkou parabolickou anténou v Arecibu v Portoriku měřili co a k elektronových vln tak, že pomocí svazku radarových vln s frekvencí 430 MHz pozorovali rozptyl na mřížkové struktuře, kterou vytvořila porušená elektronová hustota. Geometrické schéma ionosférické verze experimentu, při němž byly vysokofrekvenční OBR. 8-18 vlny absorbovány mechanismem parametrického rozpadu. [Převzato z W. F. Utlaut a R. Cohen, Science 174, 245 (1971).] PLAZMOVÁ ECHA 8.6 Poněvadž mechanismus Landauova útlumu není spojen se srážkami a s di-sipačními procesy, je vratným procesem. Že to tak skutečně je, dokazuje jasně pozoruhodný jev plazmového echa. Obrázek 8-19 ukazuje schéma 264 Nelineární jevy Plazmová echa 265 experimentálního uspořádání. Na prvé mřížce je generována plazmová vlna s frekvencí co, a vlnovou délkou ll šířící se doprava. Vlna se Lan-dauovým útlumem zmenší až pod práh měřitelnosti. Druhou mřížkou ve vzdálenosti / od prvé je generována druhá vlna s co2 a A2, která je rovněž utlumena. Pohybujeme-li v podélném směru třetí mřížkou spojenou s přijímačem naladěným na frekvenci co — a>2 — co,, nalezneme ve vzdálenosti /' = lco2\(co2 — co,) echo. Děje se totiž toto: rezonanční částice, jež jsou příčinou toho, že prvá vlna je zcela ztlumena, uchovávají informace o vlně ve své rozdělovači funkci. Jestliže druhá mřížka převrací změnu rozdělení rezonančních částic, může se vlna znovu objevit. K tomuto procesu může ovšem dojít jenom v téměř bezsrážkovém plazmatu. Amplituda echa ve skutečnosti sloužila k citlivému měření srážkové frekvence. Na obr. 8-20 je fyzikální model vzniku echa. Na témž principu spočívá pozorování echa u elektronových plazmových vln a cyklotronových vln. Obr. 8-20 představuje vlastně závislost vzdálenosti na čase, takže trajektorie částice s danou rychlostí je přímka. V místě x = 0 je mřížka, která periodicky dovoluje průchod shlukům částic s nestejnou rychlostí. Právě pro tuto nestejnost rychlosti se shluky mísí dohromady a v určité vzdálenosti / se hustota, znázorněná na pravé straně obrázku, stává v čase konstantní. Druhá mřížka v místě x = / s vyšší frekvenci částicím cestu střídavě uzavírá a uvolňuje. Tento výběr trajektorií částic v prostoru a čase pak vede k tomu, že se částice v místě x = /' znovu shlukují. Vztah mezi /' a / můžeme vypočítat z tohoto zjednodušeného modelu, který zanedbává vliv elektrického pole vlny na trajektorie částic. Je-li (v) rozdělovači funkce na první mřížce a její modulace je cos co,f, bude rozdělení pro x > 0 dáno výrazem f(x, v, t) = /,(!;) cos ^co,í — — x IX-791 x = 0 x=l x=ľ PLAZMA i <~)"1 ^ BUDICÍ ^ MŘÍŽKY Ý OBR. 8-19 Schéma měření plazmatického echa. [Převzato z A. Y. Wong a D. R. Baker, Phys. Rev. 188, 326 (1969).] x=ľ V) O Z LU _l < D N > Prostoro-časové trajektorie částic, periodicky zadržovaných a propouštěných. Dochází ke shlukování trajektorií, jež vede ke vzniku echa. Vpravo je časový průběh hustoty v různých vzdálenostech. [Převzato z D. R. Baker, N. R. Ahern a A. Y. Wong, Phys. Rev. Letters 20, 318 (1968).] OBR. 8-20 266 Nelineární jevy Nelineární Landauův útlum 267 Druhá mřížka v místě x = l bude dále toto rozdělení modulovat faktorem obsahujícím co2 a vzdálenost x — l f(x, v, t) = fl2(v) cos |w,í-^x cos o2t-^(x-l) =/l ia(») • 2 }cos + wi)ř ~ —-j-- + + cos (co2 - co,)ř |X-XO| l»-K 11 120 100 80 60 40 20 0 80 < 60 0. 2 > 40 3 20 ixl □ Q D a 1 COl co, a — = 40 kHz < -f = 95 kHz 2tr 2rr COl CJo • — = 95 kHz > — = 40 kHz 2tt 2jt £ = 2.0 cm -j—1—1_1 □ □ □ □ □ « = 5.5cm í = 9.0 cm 1 r^ito-ni a 0 40 20 0 20 0 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 VZDÁLENOST OD PRVNÍ MŘÍ2KY (cm) OBR. 8-21 Měření profilu amplitudy echa pro různé vzdálenosti / mezi budicími mřížkami. Plné kroužky odpovídají případu co2 < tu,, při němž by echo nemělo vzniknout. [Převzato z Baker, Ahern a Wong, citovaná práce.] Echo je způsobeno druhým členem, který osciluje s frekvencí co — w2 — wl a jeho argument je nezávislý na v, platí-li neboli 2(x - 1) : = co2lj(a = ľ 18-821 Druhý člen tudíž není v bodě x — ľ ovlivněn rozptylem rychlostí, směšování fází bylo sejmuto. Integrujeme-li přes rychlosti, dává tento člen fluktuaci hustoty s frekvencí co = co2 — co,. Prvý člen je nedetegovatelný, protože míšení fází vyhladilo hustotní poruchu. Je zřejmé, že /' je kladné jenom pro co2 > co,. Fyzikální příčina spočívá v tom, že druhá mřížka má k dispozici menší vzdálenost, na níž dešifruje poruchy způsobené prvou mřížkou, musí tedy pracovat s vyšší frekvencí. Echa iontové vlny měřili Baker, Ahern a Wong, výsledky ukazuje obr. 8-21. Vzdálenost /' se mění současně s / podle vztahu [8-82]. Plné body, odpovídající případu co2 < co,, ukazují, že echo nevzniká, jak také lze očekávat. Amplituda echa se zmenšuje se vzdáleností, protože srážky kazí koherenci rychlostní modulace. NELINEÁRNÍ LANDAUŮV ÚTLUM 8.7 Sledujeme-li v prostoru amplitudu elektronové nebo iontové vlny excitované např. mřížkou, často zjistíme, že se nezmenšuje exponenciálně, jak předpovídá lineární teorie, a to tehdy, je-li amplituda velká. Místo toho m ■o to VZDÁLENOST x OD MÍSTA BUZENI (cm) Měření profilu amplitudy nelineární elektronové vlny vykazující ne-monotonní pokles. [Převzato z R. N. Franklin, S. M. Hamberger, H. Ikezi, G. Lampis a G. J. Smith, Phys. Rev. Letters 28, 1114 (1972).] OBR. 8-22 268 Nelineárni jevy Nelineární Landauův útlum 269 zpravidla zjistíme, že se amplituda zmenšuje, opět roste a pak osciluje, dříve než se ustálí na nějaké hodnotě. Takové chování elektronové vlny s frekvencí 38 MHz ukazuje obr. 8-22. Přesně takové oscilace amplitudy lze očekávat od nelineárního jevu zachycení částic, o němž jsme hovořili v odd. 7.5, i když mohou spolupůsobit i jiné efekty. Že k zachycení částic dojde, lze očekávat tehdy, když je potenciál vlny tak velký jako kinetická energie částic pohybujících se fázovou rychlostí \q\ = \mv\ = \m(co\k)2 . |x-x.M Poněvadž \4>\ = \E\k\, znamená tato podmínka co « cok, co2 = \qkE\m\. |8-84| Veličina cuk je frekvence kmitů částice zachycené u dna sinusové potenciálové jámy (obr. 8-23). Potenciál je dán -výrazem = ^oí1 _ cos/cx) = (p0(jk2x2 + ...). |x-x5j Pohybová rovnice je m-—r ---- —mcox = qE = — q — = - qk není přibližně parabolické. Pak co má hodnotu a>k definovanou rovnicí [8-84], Jsou-li rezonanční částice potenciálem odraženy, vrátí kinetickou energii vlně a vlna vzroste. Odrazí-li se částice zase od druhé strany, pře- / J V 0 x OBR. 8-23 Zachycená částice odrážející se v potenciálové jámě vlny. chází energie zpět částicím a vlna je tlumena. v souřadné soustavě spojené s vlnou by tedy bylo možno očekávat amplitudové oscilace s frekvencí cok. v laboratorní soustavě by to byla frekvence co' í= cok + kv^; amplitudové oscilace by měly vlnočet k' = co'jv^, = fc[l 4- (a>k/cy)]. Podmínka cok > co se ukazuje jako mez platnosti lineární teorie, a to i tehdy, když spolupůsobí jiné procesy než zachycení částic. Jiný typ ne-ineárního Landauova útlumu souvisí se zázněji dvou vln. Představme si, že máme dvě vysokofrekvenční elektronové vlny (co^ Žij) a (co2, k2). Ty vytvoří zázněje a obalová křivka amplitud bude postupovat rychlostí (co2 — col)j(k2 — fc[) x dw/cľ. = ug. Tato rychlost může být natolik nízká, že může ležet v oblasti rozdělovači funkce iontů. Tak může docházet k výměně energie s rezonančními ionty. Potenciál, který na ionty působí, je efektivní potenciál způsobený ponderomotorickou silou (obr. 8-24); může se objevit Landaův útlum nebo zesílení. Utlum představuje efektivní způsob jak zahřívat ionty vysokofrekvenčními vlnami, které normálně s ionty neinteragují. Má-li rychlostní rozdělení iontů dva vrcholy, může excitovat elektronové vlny. Taková nestabilita se nazývá modulační nestabilita. OBR. 8-24 Ponderomotorická síla způsobená obálkou modulované vlny může zachytit částice a umožnit tak rezonanci vlna-částice při grupové rychlosti. Problém řízené termonukleární reakce 271 Kapitola devátá ÚVOD DO ŘÍZENÉ TERMONUKLEÁRNÍ REAKCE 9.1 PROBLÉM ŘÍZENÉ TERMONUKLEÁRNÍ REAKCE Je zcela v pořádku, že tato kniha končí úvodem, neboť studium elementární fyziky plazmatu směřuje k zvládnutí složitého problému, který zpočátku dodával podněty pro růst této nové vědy — k zvládnutí řízené termonukleární reakce. Protože jediným palivem, jež bude konečný reaktor vyžadovat, je těžký vodík obsažený v mořské vodě, dosažení tohoto cíle by znamenalo získání prakticky neomezeného zdroje energie (dostačujícího na stovky miliónů let) bez významnějších výdajů za palivo. To by představovalo tak obrovský impuls pro naši civilizaci, že je možno řízenou termonukleární reakci považovat za nejvýznamnější výzvu, před jakou kdy člověk a věda stáli. 9.1.1 Reakce Prvá generace termojaderných reaktorů bude využívat následující reakce D + T - 4He(3,5MeV) + n(14,lMeV), |9-i| n + 6Li -+ 4He(2,lMeV) + T(2,7MeV). |9-2| n je neutron, D a T jsou atomy deuteria (2H) a tritia (3H). Tato reakce, jak poznáme, má ze všech nejnižší zápalnou teplotu a nejmenší požadavky na udržení plazmatu. Větší část energie však odchází v podobě neutronů s energií 14 MeV a musí se od nich získávat v tepelném cyklu, jehož termodynamická účinnost je omezena asi na 40 %. Krom toho neutrony poškozují stěny reaktoru a vyvolávají jejich radioaktivitu. Druhou nevýhodou reakce [9-1] je, že tritium se v přírodě nevyskytuje a musí být produkováno reakcí [9-2] v lithiovém plášti obklopujícím plazma. Naštěstí 6Li je izotop nacházející se v hojné míře v přírodním lithiu (7,5 %), kterého jsou v zemské kůře vydatné zásoby. Zásoby deuteria jsou nevyčerpatelné, neboť 0,015 % vodíku v mořské vodě tvoří deuterium a lze ho snadno oddělit. V reaktoru spalujícím samotné deuterium by probíhaly tyto reakce, k nimž dochází se skoro stejnou pravděpodobností D + D - T(lMeV) + p(3 MeV), ľ«l D + D -* 3He(0,8MeV) + n(2,5 MeV). ľ>-4| Odpadá potřeba produkce tritia a jenom 34 % energie patří neutronům. Je však mnohem obtížnější vyhovět nárokům kladeným na plazma. Lákavou možnost představují v termojaderném reaktoru elektricky nabité produkty reakce, jichž by bylo možno užít přímo k výrobě elektrické energie; tím bychom se vyhnuli malé účinnosti tepelného cyklu a minimalizoval by se nepříznivý vliv na životní prostředí. Kdybychom dosáhli vysokých zápalných teplot, byly by z tohoto hlediska vhodné reakce, jejichž produktem jsou jenom nabité částice. D + 3He - 4He + p + 18,3 MeV, p + 6Li -> 4He + 3He + 4,0 MeV, p + "B -+ 34He + 8,7 MeV. 9.1.2 Nezbytnost plazmatu Protože jsou ionty kladně nabité, musí být dříve, než může dojít k reakcím uvedeným v oddíle 9.1.1, překonána Coulombova odpudivá síla. Pohyb atomových jader musí tudíž být zrychlen na tak vysoké energie, aby jádra pronikla Coulůmbovou bariérou. Například účinný průřez a pro reakci D-T se prudce zvětšuje, jakmile energie vzroste na 50keV. V blízkosti 100 keV dosahuje a maxima a při vyšších energiích pozvolna klesá. Svazek deuteronů z urychlovače nelze použít; dá se ukázat, že je-li svazek namířen například na terčík z pevného tritia nebo deuteria, většina energie se ztratí ionizací a ohřátím terčíku a elastickými srážkami. Srážející se svazky nelze vytvořit tak husté, aby získaná energie z termojaderné reakce byla větší než energie potřebná pro urychlení. Cíle lze dosáhnout vytvořením maxwel-lovského plazmatu, jehož rychlé částice z konce rychlostního rozdělení by vstupovaly do termojaderných reakcí. Je-li rozdělovači funkce maxwel-lovská, nemění se elastickými srážkami a energie, kterou bylo plazma zahřáto, se uchovává, dokud se částice neúčastní některé reakce nebo dokud neunikne z vymezeného prostoru. Proto mluvíme o termonukleární reakci. 272 Úvod do řízené termonukleární reakce Problém řízené termonukleární reakce 273 9.1.3 Zápalná teplota Výkon vzniklý v objemové jednotce reakcemi D-T je p, = «d"t<<™> w> I9"6! kde je vystředováno přes maxwellovské rozdělení a W je energie 17,6 MeV uvolňující se při každé reakci. Aby se teplota plazmatu zachovala, musí být tento výkon větší než výkon, který se ztrácí. I kdyby bylo plazma dokonale drženo, bude nevyhnutelně docházet ke ztrátám energie zářením elektronů. K emisi tohoto záření, nazývaného brzdné záření, dochází, když se elektrony elasticky sráží s ionty a září tudíž jako urychlované náboje. Výkon brzdného záření je dán výrazem Pb = 5 x 10-43 Z2n%K7^e2. |»-7| Pr i Pb se mění s n2, ale P, roste s KT daleko rychleji než Pb. Zápalnou teplotu můžeme stanovit tak, že položíme Pr a Pb sobě rovné a budeme předpokládat, že vzniklé ionty mají dostatek času, aby v coulombovských srážkách předaly svoji energii ostatním iontům a elektronům, takže všechny teploty jsou stejné. Zápalná teplota reakce D-T je asi 4 keV, reakce D-D asi 35keV. Pro reakce s velikým Z podle rov. [9-5] by byla potřebná dokonce ještě vyšší teplota. 9.1.4 Lawsonovo kritérium Podmínka, aby termojadernou reakcí vzniklo víc energie, než je jí zapotřebí k ohřevu plazmatu a náhradě ztrát zářením, znamená určité požadavky kladené na hustotu plazmatu n, na dobu udržení t a na teplotu. Předpokládá se, že jak energie termojaderné reakce, tak energie brzdného záření, tak kinetická energie unikajících částic (rychlost úniku se vyjadřuje pomocí t) jsou vráceny do tepelného cyklu s účinností nepřevyšující 33 %. Ukazuje se, že n a t se objevují jenom v součinu nx. Minimální hodnota nx potřebná pro reakce D-T je asi ÍO20 m"3 s, pro reakce D-D asi 1022 m-3 s. To se nazývá Lawsonovo kritérium. Principiálně je možné snížit tato čísla užitím složitějších modelů, jako kombinací svazku a plazmatu, nebo účinnější přeměnou energie, jako je přímá přeměna v elektřinu. 9.1.5 Hlavní problémy Problémy, jež jsou spojeny s vývojem termojaderného reaktoru, je možno rozdělit do tří hlavních skupin: 1. udržení plazmatu, 2. ohřev plazmatu, 3. technická stránka termojaderné reakce. Udržení se týká dosažení hodnoty nx podle Lawsonova kritéria. Existují dva odlišné přístupy: udržení magnetickým polem s charakteristickými hodnotami n«1021m-3 a t ss 0,1 s a inerciální (setrvačné) udržení s n « 1032 m-3 a t « 10~11 s. Magnetickému udržení se dostalo největší pozornosti a je ze všech tří jmenovaných problémů nejvíce prostudováno. Ohřev plazmatu samozřejmě souvisí s udržením; i pomalý ohřívací proces by dostačoval, kdyby byl čas udržení velmi dlouhý. Podrobný mechanismus ohřevu ještě není znám. Technické problémy se týkají projektu reaktoru samého bez ohledu na vlastní plazma. V této oblasti nás skutečné překážky teprve čekají. Navíc bychom ještě měli jmenovat dvě vedlejší oblasti, v nichž se dosáhlo výrazného pokroku: 1. diagnostika plazmatu, 2. čistota plazmatu. Byla vyvinuta celá škála různých diagnostických metod na měření parametrů plazmatu a procesů, které v něm probíhají. Tyto metody užívají elektromagnetické vlny, plazmové vlny, vnitřní elektrody-sondy, časticové svazky a vnější čidla. Čistota plazmatu je experimentálním problémem i mimořádné důležitosti, poněvadž atomy s velkým Z, které se uvolní ze stěn, způsobí svým zářením intenzívní ztrátu energie. Byla sestrojena zařízení nazývaná divertory (odchylovače), jejichž úkolem je účinně izolovat horké plazma od stěn. i' j Hlavní přístupy 9.1.6 Vyzkoušelo se již mnoho nápadů, jak dosáhnout podmínek pro termoja-■ děrnou reakci; i když se ještě zkouší několik málo nestandardních metod, hlavní experimentální úsilí se zúžilo na tyto čtyři přístupy: ! 1. uzavřené systémy: torusy, , 2. otevřené systémy: magnetická zrcadla, 3. theta pinč, 4. lasery. i V uzavřených systémech siločáry zůstávají uvnitř systému, i když se j třeba neuzavíraji samy do sebe. Otevřené magnetické systémy pracují na \ principu magnetických zrcadel, popsaném v oddíle 2.3.3. Pinčem se rozumí í plazma, jímž protéká tak silný proud, že vytváří vlastní magnetické pole l a zároveň zahřívá plazma. Uspořádání může být buď otevřené nebo uza- I vřené. Termojaderná reakce excitovaná laserem pracuje s inerciálním, ni- ■j koliv s magnetickým udržením a bude-li technicky proveditelná, vyhne se j potížím s magnetickými nestabilitami. í 274 Úvod do řízené termonukleární reakce Magnetické udrženi: torusy 275 9.2 MAGNETICKÉ UDRŽENÍ: TORUSY 9.2.1 Rovnováha V oddíle 2.3.2 jsme ukázali, že z jednoduchého torusu, v němž jsou siločáry kruhové a do sebe uzavřené, uniknou částice driftem. Je to důsledek Ampé-rova zákona H.ds = Hérá4> = l, |9-X| podle něhož se \B\ mění jako r-1; gyrující částice mají tudíž na protějších stranách svých orbitu nestejný Larmorův poloměr (obr. 9-1). Výsledkem je, že ionty driftují v torusu nahoru a elektrony dolů a vzniká vertikální elektrické pole. Toto pole £ pak způsobí, žejonty a elektrony spolu driftují ven z hlavní osy ve směru E x B. Aby se tomuto jevu předešlo, musí mít toroidální systém zkroucené siločáry, jak ukazuje obr. 9-2. Na pravé straně obrázku 9-2 má v rovině průřezu siločára v bodě A souřadnice (g, 9), na levou stranu dorazí do bodu A'. Úhel 9 se pootočil okolo menší osy o A#. Tento úhel pootočeni A9 po jednom proběhnutí siločáry torusem a návratu na pravou stranu se nazývá rotační transformace i (iota). Kdyby nedocházelo ke srážkám, každá konečná hodnota i by zabránila driftovým ztrátám a zajistila by plazmatu rovnováhu. Příznivý vliv šroubovicového stočení siloč?^ si můžeme objasnit dvěma způsoby. Sledujeme-li pohyb jednotlivé částice, pak se např. ion driftující v bodě A směrem vzhůru vzdaluje od středu plazmatu. Když dosáhne E x B OBR. 9-1 V jednoduchém torusu, v němž jsou siločáry uzavřené kružnice, se magnetické pole mění jako l/r. Výsledný VB drift způsobí separaci náboje ve vertikálním směru, která zase vyvolá drift plazmám směrem ven. bodu A', driftuje sice stále vzhůru, ale teď se přibližuje středu plazmatu. Budou-li tepelné pohyby mnohem rychlejší než E x B drift, bude se částice po vystředování přes mnoho oběhů okolo hlavní osy nacházet ve stejné vzdálenosti q od menší osy, jestliže i siločáry zachovávají tuto vzdálenost. HLAVNI OSA poloidální směr toroidAlnI směr V torusu s rotační transformací změní siločára A-A' při otočce okolo hlavni osy svůj azimutální úhel 9 vzhledem k vedlejší ose. obr. 9-2 Z hlediska tekutinového si všimněme, že šroubovicové siločáry spojují oblasti kladného náboje s oblastmi záporného náboje (obr, 9-1), a tak zkratují vertikální elektrické pole. Jestliže dochází ke srážkám, jt odpor konečný; pak musí být rotační transformace dostatečně veliká, aby se rovnováhy dosáhlo. Typy toroidálních systémů 9.2.2 Toroidální systémy se rozlišují podle způsobu, jakým se dosahuje zkroucení siločar. Existují čtyři základní typy: 1. vnější šroubovicové vodiče: stellarátory, 2. proud uvnitř plazmatu: tokamaky, 3. vnitřní vodiče: multipóly, 4. svazky částic uvnitř plazmatu: Astron. Stabilita 9.2.3 Magnetické pole musí mít takovou konfiguraci, aby nejen vytvořilo rovnovážný stav, ale i zajistilo jeho stabilitu. Vysokofrekvenční elektronové nestability nejsou v torusech celkem nebezpečné, protože ionty jsou vysoko- 276 Úvod do řízené termonukleární reakce Magnetické udrženi: torusy 277 frekvenčním polem postrkovány jenom v nepatrné míře. Nízkofrekvenční nestability schopné způsobit únik iontů je možno rozdělit do tří skupin: 1. nestability Rayleighova-Taylorova typu, 2. nestability způsobené proudem, 3. driftové nestability. Magnetické pole v torusech je nutně zakřiveno; odstředivá síla, působící na částice obíhající po křivce kolem dokola, se projevuje jako gravitační pole. To vede ke vzniku „gravitační" nestability, o níž jsme hovořili v oddíle 6.7. Protéká-li plazmatem elektrický proud, ať už proto, aby způsobil zkroucení magnetického pole, nebo aby plazma zahřál, jsou možné dva typy nestabilit — elektrostatické a elektromagnetické. Elektrostatickým typem je dvousvazková nestabilita (oddíl 6.6) způsobená posunutím středů rozdělovačích funkcí iontů a elektronů.-Elektromagnetický typ se nazývá „smyčková" nestabilita (kink instability), o níž jsme dosud nehovořili. Na obrázku 9-3 je znázorněn elektrický proud protékající sloupcem plazmatu ve směru primárního magnetického pole 80. Tento proud vytváří poloidální pole Bp. Vznikne-li smyčka, jak ukazuje obrázek, jsou na vnitřní straně smyčky siločáry pole Bp blíže u sebe než na vnější straně. Magnetický tlak £0c2Bp/2 působí tudíž tak, že zvětšuje velikost smyčky a tlačí tak plazma ke stěnám. O posledním typu, o driftových nestabilitách, jsme hovořili v odd. 6.8; jejich fyzikální mechanismus spočívá v rozdílnosti driftových pohybů iontů a elektronů napříč poli B, jak je patrno z rov. [2-59] a [2-66]. Rovněž musí existovat odchylka od Boltzmannova vztahu [3-73]; ta může být způsobena konečným odporem, podobně jako v oddíle 6.8, rezonančními částicemi nebo zachycováním částic v lokálních zrcadlech (obr. 5-21). Nestabilitám lze předcházet v zásadě třemi způsoby: 1. střižné magnetické pole, 2. magnetická jáma (minimum B), 3. dynamická stabilizace. MALÉ Bp OBR. 9-3 Fyzikální princip smyčkové nestability. Stellarátory a tokamaky užívají především střižné magne:ické pole, tzn. úhel sklonu šroubovicových siločar se mění s menším poloměrem g. Na obrázku 9-4 je krajní případ takového pole; v ose je pole čistě toroidální a na okrajích čistě poloidální (názorné vysvětlení těchto termínů je na obr. 9-2). Střižné pole je účinné proti nestabilitám, jimž vyhovuje malé kn, jako je gravitační, smyčková a driftová nestabilita. Ve střižných polích se porucha rostoucí z jednoho poloměru do druhého setkává s magnetickými siločarami majícími jiný sklon. I Střižné magnetické pole v torusu. OBR. 9-4 V systému s :ámou středního pole* neboli s minimem středního B (min B) jsou siločáry zakřivené víc směrem ke středu plazmatu než ven z plazmatu. Takové pole se snadněji vytváří proudy uvnitř plazmatu a více si o nich řekneme v oddíle o multipólech. Na stabilizační účinek pole s min B spoléhají především zařízení s vnitřním prstencem a s vnitřním svazkem. Dynamická stabilizace oscilujícím polem E nebo B může rovněž zabraňovat nestabilitám prostřednictvím časově proměnného střižného pole E nebo B. Účinnější metodou je stabilizace zpětnou vazbou, při níž se deteguje fáze nestabilní vlny a na plazma působí ve vhodné fázi síla (např. pomocí vnější cívky) potlačující nestabilitu. Stellarátory 9.2.4 Stellarátor je toroidální systém, v němž je rotační transformace a střižné pole vytvářeno jenom vnějším vinutím. Siločáry se neuzavírají, avšak zůstávají kolem celého torusu více či méně na stejném vedlejším poloměru. rozumí se magnetické pole vystfedované podél siločáry — pozn. překl. 278 Úvod do řízené termonukleární reakce Siločáry vytvářejí magnetické povrchy do sebe zasunuté podobně jako na obr. 6-3. Budeme-li dlouho sledovat některou siločáru, zjistíme, že pokrývá určitý magnetický povrch, který neopustí; částice postupující po siločáře bude tedy v plazmatu držená. Typický stellarátorový magnetický povrch má trojúhelníkový průřez jako na obr. 9-5. Teorie rovnovážného a stabilního stavu pro takové prostorové uspořádání je dosti složitá, ale výpočty lze hodně zjednodušit pomocí variačního principu energie. U této metody můžeme rozlišit stabilní a nestabilní poruchy podle toho, zda zvyšují nebo snižují energii systému plazma-magnetické pole. 1 1 x SPIRÁLOVÉ VINUTI MAGNETICKÝ POVRCH VINUTÍ TOROIDÁLNiHO POLE OBR. 9-5 Ve stellarátoru je střižné pole a rotační transformace vytvářena vodiči šroubovitě obtočenými kolem plazmatu. Toto je systém / = 3, v němž deformaci magnetických povrchů způsobují tři páry vodičů. Dokonce ani klasická difúze není v takové geometrii jednoduchá. K tomu, aby byly zkratovány separované náboje z obr. 9-1, je potřebný proud podél B, a tím vzniká dodatečné třeni s ionty. Výsledné zvýšení rychlosti klasické difúze se nazývá efekt PJirschův-Schlúterův. Dá se očekávat, že při vysokých teplotách dojde k zachycení částic v banánových orbitech (obr. 5-21) a začne platit neoklasický difúzni zákon (obr. 5-22). I když je možno v některých experimentech se s tímto efektem setkat, ve většině případů odpovídá pozorovaná difúze Bohmovu zákonu (obr. 5-20). Důvody, proč se nedaří udržet plazma ve stellarátorech tak, jak by se očekávalo, mohou být tyto: (1) Střižnost pole nedostačuje k tomu, aby zabránila všem nestabilitám; (2) protože systém není zcela symetrický vzhledem k hlavní ose, může vzniknout asymetrické elektrické pole, které způsobí konvekci plazmatu z jednoho magnetického povrchu na druhý; (3)malé závady magnetického pole mohou způsobit, že siločáry přecházejí z jednoho magnetického povrchu na druhý. Magnetické udrženi: torusy 279 Tokamaky 9.2.5 Z podnětu L. A. Arcimoviče byl v SSSR sestrojen tokamak*, zařízení se silným toroidálním magnetickým polem doplněným poloidální složkou, kterou vytváří silný proud v plazmatu samém. Tokamak je dokonale symetrický okolo hlavní osy; ve srovnání se stellarátorem se proto snadněji konstruuje a snadněji se analyzují výsledky. Protože je však plazma zahříváno disipací Jouleova tepla proudu samého a poněvadž proud je zároveň nezbytný pro vytváření rotační transformace zajišťující rovnováhu, ielze problémy udržení a ohřevu vyšetřovat odděleně. Poněvadž krom toho proud v plazmatu musí být indukován transformátorem, nemůže tokamak pracovat v ustáleném stavu jako stellarátor; plazma se vytváří a rozpadá při každém impulsu transformátoru. Navzdory těmto nedostatkům je tokamak nejúspěšnější z toroidálních zařízení. I V tokamaku je toroidní složka pole Bx vytvářena cívkami obyčejného typu, zatímco OBR. 9-6 poloidální složku Bp vytváří velký plazmatem protékající proud indukovaný transformátorem. Přídavné stabilizační síly zajišťuje slabé vertikální pole Bv spolu s vířivými proudy ve vysoce vodivém měděném plášti. Na obrázku 9-6 jsou hlavní složky tokamaku. Vedle obyčejného toroidálního pole bl a plazmatem vytvářeného poloidálního pole bp je nezbytné ještě třetí pole bv ve vertikálním směru, které působí proti přirozené rozpínavé tendenci proudového prstence. Poloidální magnetický tlak £0c2Bp/2 je na vnitřní straně větší a snaží se zvětšit hlavní poloměr z ruského: toroídalnaja kamera s magnilnymi katuškami - pozn. překl. 280 Úvod do řízené termonukleární reakce Magnetické udrženi: torusy 281 plazmatu. Pole By má takový směr, že síla j x Bv působí ve směru radiálním dovnitř. Toto pole mohou vytvářet vnější cívky nebo fiktivní proud ve vysoce vodivém měděném plášti. Aby rotační transformace i plnila svou funkci, nesmí být celočíselným násobkem 2n, jinak by se siločáry uzavíraly do sebe, nepokrývaly by celý magnetický povrch a neumožňovaly by elektronům dostat se do kteréhokoliv místa, kde je potřeba zrušit prostorový náboj. Kvůli stabilitě nemůže být i větší než 2n, ani když není jeho celočíselným násobkem. Proud tedy nemůže být zvyšován nekonečně ve snaze dosáhnout vysokých teplot. Porovnejme dva tokamaky s rozdílnými poměry R\a *, kde R a a je hlavní a vedlejší poloměr. Měřítkem toho, jak „rychle" se siločára v plazmatu ovíjí okolo hlavní osy, je poměr BtJR, pro vedlejší osu je to Bja (srv. obr. 9-2). Rotační transformace je tedy úměrná výrazu BpR/B,a. Činitel jakosti** * B, a 2n 9 BP Ä |9-9| udává, jak je tokamak vzdálen od limitní hodnoty pro stabilitu i = 2n, neboli q = 1; to je tzv. Kruskalova-Šafranovova limita. Kvůli ohřevu si OBR. 9-7 Tokamaky, jejichž průřez není kruhový (podobně jako tento), jsou teoreticky výhodnější než tokamaky s kruhovým průřezem. však přejeme zvýšit j, jež je úměrné Bja, takže žádoucí je nejnižší hodnota q vyhovující z hlediska stability. V praxi není snadné docílit stabilní činnost pro q < 2 nebo 3. Zůstávají-li ostatní parametry stejné, jsou krátké, tlusté tokamaky lepší než dlouhé, tenké; výhodnější jsou malé poměry Rja (aspekty). tzv. aspect — pozri, překl. obvykle se nazývá bezpečnostní faktor (safety factor) pozn. překl. Tokamak je možno zlepšit tím, že nebude mít kruhový průřez. V to-roidálních systémech pocházejí všechny potíže konec konců z rozdílné hodnoty B, na vnitřní a vnější straně prstence. Je možno udělat Ar malé a celkovou plochu průřezu, jíž protéká proud, zachovat stejně velkou zvětšením vertikálního rozměru přístroje (obr. 9-7). Pro zmenšování Ar ST Tokamak v Plasma Physics Laboratory v Princetonu ve státě New Jersey. [Financuje U. S. Atomic Energy Commission.] OBR. 9-8 existuje ovšem určitá mez, daná velkým zakřivením průřezu v horní a dolní části plazmatu. Dalším zlepšením, které obr. 9-7 také ukazuje, je trojúhelníkový průřez, takže u vnitřního poloměru je větší objem plazmatu než u vnějšího. U vnitřního poloměru je magnetické pole jednak silnější, jednak má správnou křivost vzhledem ke gravitačnímu modu nestabilit (srv. rov. [6-55]). Ve stellarátoru se může udržení plazmatu měřit tím způsobem, že se vypne ohřívací proud a pozoruje se klesání hustoty. S tokamakem, v němž je proud nezbytný pro formovaní magnetického pole, takto postupovat nelze. Poněvadž proud neustále znovu ionizuje ionty, které se dostaly na stěny, rekombinovaly a vrátily se do plazmatu, ztrácí klesání hustoty 282 Úvod do řízené termonukleární reakce Magnetické udržení: torusy 283 tento význam. Významná je však doba udržení energie plazmatu. Právě tak jako difúze částic i difúze energie by měla mít vlastnosti neoklasické difúze (obr. 5-22), jež jsou způsobeny toroidálními efekty. Ukazuje se, že ionty se vskutku řídí tímto zákonem daleko více než Bohmovým zákonem (rov. [5-111]), což naznačuje, že amplituda nestabilit není veliká. Dochází však k anomálnímu přenosu elektronové energie a čas pronikání proudu OBR. 9-9 Adiabatický toroidální kompresor (ATC) 1. Civky toroidálniho pole (24) 2. Vodicí lišty 3. Civky poloidálního pole 4. Vakuová komora z vlnitého nerezového plechu 5. Měřici okénko (jedno ze šesti) 6. Výstup k vakuovým vývěvám (6) 7. Původní ohmický ohřáté plazma 8. Komprimované plazma V princetonském ATC tokamaku je plazma adiabatický komprimováno (ve směru hlavního i vedlejšího poloměru), aby bylo dosaženo vyšší teploty, než lze docílit ohmickým ohřevem. [Princeton University Plasma Phv*'<*' Laboratory. financuje U. S. Atomic Energy Commission.] indukovaného v povrchové vrstvě ohřevovým transformátorem dovnitř plazmatu je anomálně krátký. Podařilo se dosáhnout teploty řádově 1 keV a hustoty okolo 5 x 1019 m~3, ale hodnota nx zůstává ještě přibližně dva řády pod Lawsonovým kritériem. Předpokládá se, že hodnotu x lze zvýšit prostým zvětšením velikosti tokamaku, ale zůstává jiný problém. Účinnost ohmického ohřevu se snižuje s rostoucím KTea. pro dosažení termonukleárních teplot musí být nalezena nějaká metoda pomocného ohřevu. Na obrázku 9-8 je fotografie typického tokamaku; je to tokamak v princetonské Plasma Physics Laboratory. Na obrázku 9-9 je kresba ATC tokamaku v Princetonu. Tohoto přístroje se užilo k vyzkoušení adiabatické komprese jako prostředku pomocného ohřevu. Multipóly 9.2.6 Na rozdíl od stellarátorů a tokamaku mají multipóly magnetické pole zcela nebo převážně ve směru poloidálním. Rovnováhy a stability se dosahuje tím, že dovnitř plazmatu se umístí vodiče, a to tak, aby proud jimi protékající vytvořil střední magnetickou jámu*. To je znázorněno na obr. 9-10, kde jsou nakresleny siločáry oktopólového zařízení instalovaného I V toroidálním oktopólu protéká čtyřmi vodivými prstenci proud v souhlasném směru OBR. 9-10 a vytváří poloidální magnetické pole naznačeného tvaru. Plazma, vyplňující oblast uprostřed, kde je pole téměř nulově, obtéká kolem prstenců. Na magnetických površích, jež jsou ještě dál od středu než povrchy znázorněné na obrázku, nemá už plazma stabilitu minima středního B a uniká gravitačními nestabilitami. přesný termín by byl: minimum (jáma) magnetického pole vystředovaného podél siločar — pozn. pfekl. r 284 Úvod do řízené termonukleárni reakce v General Atomic Corporation v La Jolla v Kalifornii. Měděnými prstenci protéká proud v souhlasném směru, takže vedlejší osa je místem s nulovým B. Magnetický tlak s0c2B2/2 roste z tohoto místa všemi směry. Na plazma, které se pohybuje podél vnějších siločar, působí odstředivá síla namířená střídavě dovnitř a ven. V oblasti minima středního* B nepříliš daleko od vodičů je příznivé střední* zakřivení siločar, tzn. vystředovaná odstředivá síla míří dovnitř, takže nevzniká gravitační nestabilita. Takováto stabilizační struktura je velmi účinná i pro ostatní nestability. Je-li B čistě poloidální a siločáry se uzavírají, nemohou elektrony zkratovat elektrický potenciál, který může vzniknout mezi přilehlými siločarami. Tomu lze předejít toroidálním magnetickým polem vytvářeným elektrickým proudem protékajícím podél hlavní osy. Potom i v oktopólech vznikne střižné pole. Na obrázku 9-11 je vnitřek velkého oktopólu v La Jolla. OBR. 9-11 Vnitřek velkého oktopólového zařízení v General Atomic v La Jolla v Kalifornii. Čtyři vodivé prstence jsou podpírány tenkými dráty procházejícími plazmatem. [S laskavým svolením T. Ohkawy, General Atomic Company.] rozuměj: vystředované - pozn. překl. Magnetické udržení: torusy 285 HVĚZDICOVÁ KONSTRUKCE PODPĚR CÍVKY TOROIDÁLNlHO POLE - Nákres princetonského FM-1 Spheratoru. Vertikální vodič uprostřed vytváří toroidální pole; shora dolů se proud vrací soustavou vodičů umístěných na vnějším okraji systému, připomínající ptačí klec. Poloidálni pole je vytvářeno proudem v supravodivém prstenci, který se bez podpěr vznáší v magnetickém poli cívky umístěné v dolní části. Stabilizační cívky ve spojení se stabilizačním zpětnovazebným systémem brání pohybům prstence. Uvnitř prstence je tekuté hélium, které jej udržuje na teplotě supravodivosti až po dobu dvou hodin, než se helium vypaří. Pomocné cívky, označené VP, tvarují magnetické pole tak, aby mělo minimum středního B. Plazma obklopuje prstenec a má tvar trubice ohnuté do kruhu. [Princeton University Plasma Physics Laboratory, financuje U. S. Atomic Energy Commission.] OBR. 9-12 286 Úvod do řízené termonukleární reakce Magnetické udržení: torusy 287 Téhož efektu minima B lze rovněž dosáhnout dvěma prstencovými vodiči (kvadrupól) nebo jediným prstencem (sferátor či mimocentrální levi-tron*). V druhém případě je nezbytné toroidální i vertikální pole. Hlavním problémem multipólů je ovšem držení těchto vnitřních prstenců a jejich proudové napájení. Podpěry musí procházet plazmatem a dochází na nich ke ztrátám. Jediný způsob, jak se těmto ztrátám vyhnout, jsou levitující prstence. Toho lze na přechodnou dobu docílit tím, že se v prstencích indukuje proud a vnější magnetické pole je zvedne silou x B. Když se proud vlivem odporu zmenší, prstence spadnou. Užijeme-li supravodivé prstence a zchladíme je na kryogenní teploty, můžeme proud udržet takřka neomezeně dlouho. Multipól pak může s levitujícími prstenci pracovat v stacionárním režimu. Na obr. 9-12 je nákres sferátoru FM-1 v Princetonu, kde byl pokus s levitujícími prstenci uskutečněn. Doba činnosti byla omezena asi na dvě hodiny, pak bylo třeba doplnit do prstence tekuté hélium, užívané k jeho ochlazení na teplotu 4 K. Přesto, že multipóly jsou příliš komplikované na to, aby se o nich dalo uvažovat jako o reaktoru, sehrály důležitou roli ve výzkumu toroidál-ních systémů. Byla na nich vyzkoušena užitečnost střižných polí a stabilizace minimem B. Po odstranění nestabilních oscilací ukázaly multipóly zhoubný účinek nepravidelností magnetického pole a asymetrií elektrického pole na udržení plazmatu. Studium multipólů vedlo k teoretickému objevu celé třídy nestabilit se zachycenými částicemi, které jsou vyvolány tím, že částice nemohou obíhat kolem dokola podél siločar, protože narážejí na lokální magnetická zrcadla. A konečně multipóly umožnily první experimentální ověření zákona neoklasické difúze. 9.2.7 Zařízeni s relativistickým svazkem Potíže s levitací supravodivého prstence uvnitř plazmatu, vytvářejícího vhodně zformované poloidální pole, je možno obejít, užijeme-li namísto prstence svazek relativistických elektronů o vysokém proudu. Takový svazek by nezpůsoboval žádné ztráty plazmatu, naopak by složil k jeho ohřevu. Je možné si například představit, že by prstenec sferátoru (obr. 9-12) byl nahrazen svazkem relativistických elektronů z některého z generátorů, jež jsou dnes dostupné a jež jsou schopné vytvářet krátké impulsy 106 A a 1 MeV. Hlavním problémem je, jak tyto elektrony vstřiknout do magnetického pole a zachytit je v něm. Obrovský přístroj tohoto typu, nazývaný Astron, byl postaven v Law-renece Livermore Laboratory v Kalifornii. Na obr. 9-13 je jeho nákres. Elektrony s energií 4 MeV jsou z urychlovače vstřikovány do magnetického pole se zrcadly na koncích. Cyklotronně rotující elektrony vytvářejí pole opačného směru, než je pole držící plazma, a kdyby byl elektronový proud * z latinského levare = zdvihat - pozn. překl. dostatečně velký, některé ze siločar by vytvářely uvnitř plazmatu uzavřené křivky, takže výsledné pole by bylo poloidální, multipólového typu se střední magnetickou jámou. Přidáním proudu ve směru hlavní osy by vzniklo střižné pole topologicky identické s polem sferátoru. (Pro srovnání obrázku 9-13 s obrázkem 9-12 pootočte jeden nebo druhý o 90°.) Vzdor tomu, že do Astronu byly nakonec vstřiknuty elektrony s parametry 600 A a 6 MeV, nestačil proud na obrácení magnetického pole v ose a experimenty na tomto zařízení byly zastaveny. K) ISI V Astronu je pás relativistických elektronů (tečky), obklopujících hori- OBR. 9-13 zontálni osu symetrie, držen zrcadlovým polem. Proud elektronů zakři-vuje zrcadlové pole do naznačeného tvaru, který má oblast stabilního udržení s uzavřenými silokřivkami. Relativistické elektrony slouží rovněž k ohřevu plazmatu v této oblasti. Zařízení s relativistickým svazkem můžeme považovat za mezičlánek mezi tokamaky a multipóly. Ve všech těchto případech toroidální proud vytváří poloidální magnetické pole. V tokamacích je velikost proudu omezena smyčkovu nestabilitou. Pevné prstence v multipólech nemohou vytvářet smyčku, ale narušují plazma. Relativistické svazky nejsou tak stabilní jako pevné prstence, ale jsou přece o stupeň „pevnější" než elektrony plazmatu, protože jejich hmotnost se relativisticky zvětší. ZRCADLA 9.3 O principu udržení plazmatu magnetickými zrcadly jsme hovořili v oddíle 2.3.3. Jednoduché uspořádání zrcadel z obr. 2-8 je však nestabilní vůči gravitační žlábkové nestabilitě, poněvadž křivost je všude konvexní, takže odstředivá síla míří opačným směrem než gradient hustoty (srv. rov. [6-55]). 288 Úvod do řízené termonukleární reakce Zrcadla 289 pak zkrouceno do naznačeného tvaru a je stabilní vůči gravitačním nestabilitám. [Převzato ze Scientific American 215, 21 (1966).] Stability lze dosáhnout pomocným proudem protékajícím tzv. Ioffeho tyčemi. Obrázek 9-14 ukazuje, jak se plazma stočí do asymetrického tvaru, přidají-li se tato „vinutí". Plazma se pak nachází v absolutní magnetické jámě, tj. intenzita pole |ß| narůstá všemi směry, radiálně i axiálně. Taková konfigurace s minimem |ß| je stabilní vůči nízkofrekvenčním modům, které byly zdrojem potíží u torusů, ale jak uvidíme, má jiné nestability. To nej-lep ší, čeho lze v torusech dosáhnout, je mělká střední magnetická jáma, kde středování se rozumí podél siločáry. Nestability se mohou ještě objevovat lokálně v oblastech s nepříznivou křivostí. Dalším zlepšením konfigurace na obr. 9-14 je spojení Ioffeho tyčí a hlavních cívek do jediného vinutí. Výsledné vinuti se podobá švu na baseballovém nebo tenisovém míčku a nazývá se baseballová cívka (obr. 9-15). Na obrázku 9-16 je takováto supravodivá baseballová cívka spouštěna do vakuové komory v Lawrence Livermore Laboratory. Plazma vzniká lo-rentzovskou ionizací svazku neutrálních atomů vodíku s velkou energií vstřikovaného do magnetického pole. Na obr. 9-17 je nakreslen celý systém. Doposud nejlepších výsledků se dosáhlo rovněž v Livermoru s velkým zrcadlovým zařízením 2XII. Na obrázku 9-18 je jeho schéma. Plazma je vstřikováno, zahříváno adiabatickou kompresí a dále ohříváno vstřikováním svazku neutrálních atomů s vysokou energií, mezi nimiž a ionty dochází k výměně náboje. Tímto způsobem se dosáhlo — byť i nikoliv současně — iontových teplot okolo 8 keV, hustot řádově 6 x 1019 m"3 a doby udržení řádově J,5ms. Zrcadlové systémy jsou v principu zařízení pro práci ve stacionárním režimu, v němž rychlost vstřikování odpovidá rychlosti difúzních ztrát. K difúzi dochází především na koncích, neboť magnetická jáma brání nestabilitám, jež vedou k radiální Bohmově difúzi. Difúze na koncích však není obyčejná difúze, nýbrž difúze v rychlostním prostoru. Částice, jež jsou mimo únikový kužel (obr. 2-9), mohou difundovat do únikového kuželu při srážce, při níž se změní směr jejich rychlosti o malý úhel. Ke zvětšení difúze v rychlostním prostoru mohou vést nestability, ale jenom tehdy, je-li frekvence vyšší než Qc, takže se může změnit adiabatický invariant iontů (oddíl 2.8.1). Nestability rychlostního prostoru, způsobené odchylkami rychlostního rozdělení s únikovým kuželem (obr. 7-7) od maxwellovského rozdělení, jsou bohužel právě v tomto frekvenčním rozsahu. Tyto nestability „Baseballová cívka" je topologicky ekvivalentní jednoduchému zrcadlu s Ioffeho tyčemi. OBR. 9-15 [Převzato ze Scientific American, uvedená citace.] 290 Úvod do řízené termonukleární reakce vznikají s menší pravděpodobností, je-li přístroj krátký (jako u baseballové geometrie) a má-li rychlostní rozdělení vstřikovaných částic velkou šířku. Začíná se už objevovat teoretické vysvětlení pozorovaných difúzních rychlosti prostřednictvím nelineárního stadia nestabilních oscilací. OBR. 9-16 Supravodivá cívka Baseball II v Lawrence Livermore Laboratory v Kalifornii je ukládána do vakuové komory. [Financuje U. S. Atomic Energy Commission.] Zrcadla 291 jeho hustota natolik nízká a Debyeova délka natolik velká, že do něj může proniknout elektrické pole. Elektrony jsou odděleny od iontů ostrým ohybem magnetického pole, který ionty nemohou sledovat. Iontový svazek je pak zpomalován řadou elektrod s postupně se zvětšujícím kladným EXPERIMENT SE SUPRAVODIVÝM MAGNETEM A SE VSTŘIKEM NEUTRÁLŮ Plasma v Baseballu II se vytváří samoionizaci částic intenzivního svazku neutrálního OBR. 9-17 vodíku vstřikovaného napříč magnetickým polem. [Lawrence Livermore Laboratory, financuje U. S. Atomic Energy Commission.] Při obyčejné difúzi mohou opustit systém jenom ty částice, které jsou na okrajích a srazí se. Difúze v rychlostním prostoru je daleko nebezpečnější, protože k ní může dojít kdekoliv v celém objemu. Jakmile se částice po náhodné srážce jednou octne v únikovém kuželu, opustí systém při prvním doběhnutí do hrdla zrcadla. Z těchto důvodů jsou pro zrcadlová zařízení příznačné poměrně velké ztrátové rychlosti; aby se minimalizovaly, počítá se obyčejně u zrcadlových reaktorů s vyšší hodnotou KT a nižší hustotou než u toroidálních reaktorů. Ve spojení s přímou přeměnou energie vznikl vtipný projekt, jímž by se ztráty na koncích změnily ve výhodu. Plazma proudící ven na koncích systému se nejprve rozpíná a řídne v rozbíhavém magnetickém poli, až je potenciálem. Potenciál elektrod ve skutečnosti střídá znaménko, aby se tak dosáhlo silné fokusace a ionty nemohly opustit svazek, dokud neztratí téměř všechnu svoji kinetickou energii. Když je ion tak zpomalen, že již nereaguje na fokusující sílu, odchází radiálně skrz mřížku a pomáhá udržovat náboj na elektrodě, na níž se zachytí. Elektroda pak může být zapojena takovým způsobem, že se stává zdrojem stejnosměrného napětí. Na obr. 9-19 jsou vypočítané trajektorie částic v přímém měniči energie (konvertoru). Je-li možno docílit toho, aby přeměna energie nabitých částic přímo v elektrickou dosáhla účinnosti >90%, může být Lawsonovo kritérium pro zrcadlové reaktory významně zmírněno. 292 Úvod do řízené termonukleární reakce Pinče 2X VSTRIKOVAC PLAZMATU - TENKÝ VNITRNÍ PLÄŠŤ (LAJNER) STENA VYSOKOVAKUOVÉ KOMORY VSTUPNÍ MAGNET KOMPRESNÍ MAGNETY STEJNOSM MAGNETY — VSTUPNÍ MAGNET TENKÉ VNITRNÍ PLÁŠTĚ (LAJNERY) "CHLAZENÉ KAPALNÝM N2 OBR. 9-18 Zařízení 2X11 v Lawrence Livermore Laboratory jsou velká magnetická zrcadla, vytvářená cívkami „yin-yang", což je modifikace baseballové cívky. Plazma je vstřikováno plazmatickými děly, je adiabaticky stlačeno a dále ohříváno neutrálním svazkem prostřednictvím výměny náboje. [Lawrence Livermore Laboratory, financuje U. S. Atomic Energy Commission.] - zAporná elektroda - cívka odstraňující elektrony 1— 1— I— \Y~ 1— \y '-1-' W 'O —\— |_ |_ |_ /- 1— l/_ \— 1— 1— 1— ■ plazma unikající ze zrcadlového systému ■ kladně nabita mřížka rostoucí kladný potenciál OBR. 9-19 Vypočtené iontové trajektorie v navrhovaném elektrostatickém zpomalovací pro přímou přeměnu kinetické energie nabitých produktů termojaderné reakce v energii elektrickou. [S laskavým svolením R. F. Posta z Lawrence Livermore Laboratory, financuje U. S. Atomic Energy Commission.] PINČE Pinč* je svou podstatou nejjednodušší zařízení pro termojaderné reakce: Plazma, jímž prochází proud, je drženo magnetickým polem tohoto proudu. Existuje dvojí geometricky komplementární uspořádání, z-pinč a 9-pinč (obr. 9-20). Když se zvětšuje proud, narůstající magnetické pole stlačuje plazma a zahřívá ho; držení a ohřev plazmatu vystupují spolu. Protože je k tomu pocřeba velikých proudů, pracují pinče jenom v krátkých impulsech. S-pinč má obvykle konfiguraci magnetického zrcadla, aby se snížily ztráty na koncích systému. Jeden i druhý typ pinče může být ohnut do torusu. V případě z-pinče se proud potřebný pro udržení termonukleárního plf zmatu snadno vypočítá. Magnetický tlak e0c2B2/2 musí stačit na vyrovnání tlaku plazmatu nKT. Je-li / celkový proud sloupcem o poloměru r, pole na povrchu je B = /i0H — lj2nrs0c2. Nechť N = nr2n je počet iontů na metr délky. Bilance tlaků pak dává NKT neboli 2 v27cr£0c2y itr" I2 = 2 x 107JVKT. |9-I0| To je známo jako Bennettova podmínka pinče. Protékají-li plazmatem potřebné stovky tisíc ampérů, může snadno vzniknout smyčková (obr. 9-3) nebo některá příbuzná nestabilita, při níž dochází k lokálnímu zúžení průřezu**. Byla realizována řada návrhů na potlačení těchto nestabilit, ale žádný z nich není dokonalý. Na druhé straně 3-pinč vykazuje pozoruhodný stupeň stability. Na obrázku 9-21 je rozložení hustoty při pohledu ve směru osy, naměřené laserovým interferometrem. Kruhové interferenční proužky představují křivky konstantní hustoty plazmatu. Vidíme, že plazma se při svém rozpadu nestěhuje ke stěnám. V 3-pinčích se dosáhlo hustot až k 1023 m-3, teplot několika keV a časů udržení několika mikrosekund. Při těchto hustotách je srážková frekvence tak vysoká, že princip zrcadlového držení je neúčinný. Aby se zvětšil průletový čas iontů ke koncům systému, byly postaveny dlouhé lineární 3-pinče. Na obrázku 9-22 je fotografie dlouhého 9-pinče v Los Alamos Scientific Laboratory v Novém Mexiku. Baterie kondenzátoru, dodávajících energii cívkám pinče, zaplňují velikou budovu. V S-pinčích se pozorovala klasická difúze. Na obrázku 9-23 je změřený profil hustoty v 9-pinči dlouhém 8 m v Culham Laboratory v Anglii. Tento český přepis všeobecně zavedeného slova pinch = (angl.) stisknutí, sevření — pozn. pfekl. pro podobnost s obvyklým tvarem uzenin se v anglické literatuře označuje jako sausage instability. Česky bychom asi řekli nestabilita „zúženi"' nebo „přiškrcení" — pozn. překl. 294 Úvod do Hezné termonukleární reakce Pinče 295 V77k, B ,_^ a7 z - pinč Ď - pinč OBR. 9-20 Geometrické schéma z-piníe (vlevo) a 9-pinče (vpravo). kompresní cívka magnetické siločáry laserová diagnostika f = 2.4/ís 3.6 4.9 OBR. 9-21 Schéma lineárního 9-pinče. Pod ním laserové interferogramy ukazují, že hustota plazmatu s časem klesá, ale držení plazmatu je stabilní. [Los Alamos Scientific Laboratory, financuje U. S. Atomic Energy Commission.] profil se shoduje daleko lépe s profilem vypočítaným pro klasickou difúzi než s profilem podle Bohmovy formule. I když nebyla měřena hladina fluktuací (při tak vysokých hustotách plazmatu je obtížné používat sondy), je zřejmé, že nestability nehrají hlavní roli. Velký lineární d-pině v Los Alamos Scientific Laboratory v Novém Mexiku. Energie impulsně napájející cívku je uložena v impulsních kondenzátorech, zaplňujících budovu. Kondenzátory jsou připojeny kabely, jež fotografie ukazuje. [Los Alamos Scientific Laboratory, financuje U. S. Atomic Energy Commission.] OBR. 9-22 Aby se předešlo ztrátám na koncích systému, je možno ohnout 3-pinč do torusu. Na obrázku 9-24 je 120° sekce zařízení v Los Alamos, nazývaného Scyllac, které má vyzkoušet ideu toroidálního 9-pinče. Pro potlačení toroidálních nestabilit se užije zpětnovazebné stabilizace. Poněvadž 9-pinče mohou pracovat jenom při vysokých hodnotách /?, bude tím automaticky vyřešen problém ohřevu plazmatu. Teprve budoucnost ukáže, bude-li Scyllac trpět stejnými potížemi jako ostatní torusy. Rovnováha a stabilita 9-pinčů je teoreticky zpracována poměrně málo a naděje na úspěch tohoto 95 296 Úvod do řízené termonukleární reakce přístupu k problémům termojaderné reakce spočívá především v experimentálních výsledcích získaných na lineárních pinčích. 3-pinč je impulsní zařízení. Energie, které by se v reaktoru užilo na vytvoření a stlačení plazmatu při každém impulsu, by musela být účinně získána nazpět a v době mezi impulsy uchována. K tomu účelu by mohlo 0.1 2 POLOMĚR, cm OBR. 9-23 Měření profilu hustoty v 9-pinči dlouhém 8 metrů. Ukazuje se, že ztráty probíhají podle klasické srážkové difúze. Plná křivka je spočítána na základě Fokkerovy-Planckovy rovnice. Čárkovaná křivka je desetinásobek hodnoty, kterou bychom čekali v případě Bohmovy difúze. [H. A. B. Bodin a ostatní, Plasma Physics and Controlled Nucle; r Fusion Research II, 533 (1968) (International Atomic Energy Agency, Vienna, 1969).] sloužit induktivní uchování v supravodivých cívkách zchlazených na teplotu kapalného hélia. V těchto systémech by samovolně docházelo k přímé přeměně energie termojaderné reakce na energii elektrickou, poněvadž nabité produkty reakce by způsobily expanzi plazmatu s větší energií, než jí bylo třeba k jeho stlačení. Termojaderná reakce vyvolaná lasery 297 120° sektor toroidálního 8-pinče v Los Alamos, nazývaného Scyllac. [Los Alamos OBR. 9-24 Scientific Laboratory, financuje U. S. Atomic Energy Commission.] TERMOJADERNÁ REAKCE VYVOLANÁ LASERY 9.5 Impulsní infračervené lasery jsou s to vytvořit neuvěřitelné hustoty energie, a to přirozeně vede k pokusům užít jich k zapálení termojaderných reakcí. Stejně jako ve všech ostatních přístupech k tomuto problému nevede k nirváně cesta přímá. Nej výkonnější jsou tyto dva lasery: Laserové prostředí Vlnová délka, um Mezní hustota nk, m 3 Neodymové sklo 1,06 1027 co2 10,6 1025 Kritická hustota nk = ^0mco2/e2 je taková, při níž co - cop. Protože se záření laseru nemůže šířit plazmatem s hustotou větší, než je kritická, je 298 Úvod do řízené termonukleární reakce Termojaderná reakce vyvolaná lasery 299 zřejmé, že parametr nk hraje ústřední roli. Jako příklad současných dosažitelných výkonů uveďme, že laser s neodymovým sklem dodá 250 J v 0,1 ns. neboli 2,5 x 1012 W, což je hodnota rovnající se šestinásobku celého elektrického výkonu ve Spojených státech. K uskutečnění termojaderné reakce pomocí laserů byly navrženy dvě cesty. Prvá pracuje se systémem laser-plyn. Paprsek C02-laseru ionizuje a zahřívá dlouhý sloupec plynného deuteria a tritia o hustotě okolo 1023 m-3. Světlo laseru je absorbováno mechanismem inverzního brzdného záření, což je prostě odporový útlum světelných vln způsobený elektron--iontovými srážkami. Poněvadž se srážková frekvence mění jako K T ~3/2 (rovnice [5-69] a [5-70]), je tento proces při termonukleárních teplotách zcela neúčinný a pro n 4 nk by absorpční délka byla řádově kilometry. Lze však očekávat, že při velkých intenzitách se objeví nelineární parametrické procesy (oddíl 8.5), jež mohou zvýšit absorpci a zkrátit délku plazmatu na rozumné rozměry. Aby bylo splněno Lawsonovo kritérium při n = 1023 m-3, muselo by se užít magnetické drženi plazmatu. V systému laser-pevný terčík je laserové světlo fokusováno na malý terčík pevného DT, který má hustotu nQ okolo 5 x 1028nT3 a měrnou hmotnost q0 = n0M = 200 kg/m3. Poněvadž n0 je mnohem větší než \ dokonce i pro laser s Nd-sklem, záření se odráží, jakmile se na povrchu terčíku vytvoří plazma o hustotě 1027 m-3. Zda bude zbytek terčíku ionizován a zahřát na 10 ke V, závisí na anomální absorpci způsobené nestabilitami parametrického rozpadu (oddíl 8.5.6). Při hustotách řádově 1028 m-3 je nemožné vytvořit tak silné magnetické pole, aby vyrovnalo tlak plazmatu nKT. K reakci musí dojít v mikroexplozi trvající méně než 10"10 s. Rychlost, s níž plazma expanduje, je dána setrvačností iontů a potenciálem plazmatu (řádově KTj, jímž jsou ionty urychlovány. Rychlost expanze je tudíž souměřitelná s akustickou rychlostí vz = (KTjM)1'2 a doba udržení t je dána poměrem t ä Rjvz, kde R je poloměr terčíku. Užijeme-li tuto hodnotu spolu se střízlivým odhadem účinností zmíněných procesů, dostaneme Lawsonovo kritérium pro m při laserové termojaderné reakci. Toto kritérium se obvykle vyjadřuje jako qR > 1 g/cm2, qR > 10 kg/m2. | Princip zapálení termojaderné reakce laserovým ohřevem pevného terčíku DT spočívá OBR. 9-25 v symetrickém ohřevu plazmového oblaku sbíhajícím se ozářením z laserů (vnější šipky), expanzi ohřátého oblaku (dlouhé šipky) a kompresi nitra (šipky ve středu) způsobené zpětným rázem. Zůstává řada problémů, které je třeba vyřešit. Energie laseru musí být dodána v dostatečně krátkém čase. Dopadající záření musí být dostatečně izotropní, aby se předešlo Rayleighovým-Taylorovým nestabilitám. Časový průběh impulsu musí být takový, aby předehřál nitro na patřičnou teplotu dříve, než dojde k adiabatické kompresi. Je-li teplota příliš vysoká, bude hustota po stlačení příliš njzká; je-li teplota naopak příliš nízká, nedosáhne se zápalné teploty. Elektrony zahřáté parametrickou nestabilitou nesmí být tak rychlé, aby pronikly do nitra terčíku a předehřívaly ho. Nesmí dojít k tomu, aby se vlivem ostatních parametrických nestabilit, jako je zpětný rozptyl, světelné paprsky odrazily dříve, než dojdou do kritické vrstvy co = cop. Účinnost a opakovací frekvence laserů stejně jako jejich energie se musí podstatně zvýšit. Řešení těchto problémů by mohl usnadnit vývoj krátkovlnných laserů (např. Xe) s vyšší hodnotou nk. Jakkoliv tato metoda laser-terčík odstranila nesnadné problémy s magnetickým držením, jsou nové problémy samy o sobě dost děsivé. Úvod do řízené termonukleární reakce Ohřev plazmatu 301 OHŘEV PLAZMATU Teoretické pochopení procesů, v nichž je energie absorbována plazmatem a přeměněna v chaotický tepelný pohyb, je ještě v primitivním stavu, částečně pro nelineární povahu problému a částečně pro nesnadnost, s kterou se v experimentech rozlišují efekty ohřevu a efekty udržení. V následujícím jsou vyjmenovány některé z mnoha způsobů, jimiž lze plazma zahřívat. 1. Ohmický ohřev: To je prostě Jouleovo teplo I2R disipované při průchodu proudu plazmatem s konečným odporem. Ohmický ohřev je základní metoda užívaná ve stellarátorech a tokamacích. 2. Adiabatická komprese je základní metoda užívaná v některých zrcadlových zařízeních, 5-pinčích a v laserové metodě s terčíkem. V nedávné době byla rovněž použita v tokamacích (obr. 9-9). 3. Ohřev iontovou vlnou. Prvním typenrrkoušeného vf ohřevu byl ohřev cyklotronní iontovou rezonancí*. Vf cívkou obepínající plazma je excitována elektromagnetická iontově cyklotronová vlna v oblasti, kde platí co < Í3c. Vlna se šíří ve směru zmenšujícího se B**, až dosáhne rezonanční podmínky co = Qs a je absorbována ionty při cyklotronním urychlování. Může se také užít rychlá hydromagnetická vlna, příbuzná magnetozvuko-vému modu z oddílu 4.19. Slibných výsledků se rovněž dosáhlo s vlnami příbuznými s dolními hybridními oscilacemi z oddílu 4.11. 4. Ohřev elektronovou vlnou. Mikrovlnnými elektronkami s velkým výkonem je možno urychlovat elektrony na jejich cyklotronní frekvenci v oblasti GHz. To je tzv. ohřev cyklotronní elektronovou rezonancí***. Ačkoliv tímto způsobem lze dosáhnout velkých elektronových energií, obyčejně se tato energie netermalizuje, ale nese ji jenom malý počet únikových elektronů, unikajících kolmo na směr B („kolmý únik"). Zdroj s nižší frekvencí může ohřívat nerezonančně mechanismem disipačních odporových procesů. Nejlepší výsledky dávají kombinované rezonanční a nerezonanční vlny, snad v důsledku interakcí vlna-vlna. Stojí za povšimnutí, že ohřev elektronů nepřináší sám o sobě žádný užitek; pro účely termojaderné reakce musí být energie nakonec přenesena na ionty. 5. Vstřikování nabitých částic. Zrcadlové systémy a multipóly jsou často plněny plazmatem z tzv. plazmatických „děl", schopných vstřikovat ionty a elektrony urychlované silou j x B na energie řádově keV. Urychlovače mohou produkovat iontové svazky s energiemi 300 keV nebo elektronové svazky 6 MeV s hustotou dostačující pro ohřev plazmatu. Takové částice mají natolik velký Larmorův poloměr, že mohou projít napříč magnetickým polem. 6. Vstřikování neutrálního svazku. Neutralizací urychleného iontového svazku v plynové komůrce je možné vytvářet intenzívní svazky neutrálního * ICRH — ion cyclotron resonance heating — pozn. překl. ** tzv. magnetic beach = magnetická pláž — pozn. pfekl. *** ECRH - electron cyclotron resonance heating - pozn. pfekl. vodíku nebo deuteria s energiemi 10* eV nebo vyššími. Neutrální částice může vstoupit do magnetického pole a vyměnit si náboj s chladným iontem v plazmatu; vznikne tím rychlý ion a pomalý neutrální atom, který potom ze systému uniká. Této metody se užívá jak v zrcadlových systémech, tak i v torusech. Užije-li se v torusech již naplněných plazmatem, poskytuje další výhodu: ionty vzniklé výměnou náboje mají dostatek energie k tomu, Vstřikovací systém ORMAK: Schéma injektoru neutrálního svazku pro ohřev toka- OBR. 9-26 makového plazmatu výměnou náboje mezi vstřikovanými rychlými neutrálními atomy a relativně pomalými ionty chladného plazmatu. Když se pak rychlé ionty termalizují s hlavní částí rozdělovači funkce iontů, mohou při tom vstoupit do termojaderných reakcí. Tyto reakce jsou zde proti ostatním metodám ohřevu navíc a představují základní ideu tohoto „dvoukomponentního torusu". [S laskavým svolením Oak Ridge National Laboratory při Union Carbide Corporation ve smlouvě s U. S. Atomic Energy Commission.] aby mohly vstoupit do termojaderných reakcí, zatímco se zpomalují a zahřívají plazma. To vede k zmírnění Lawsonova kritéria. Pod pojmem „dvoukomponentní torus" se rozumí neutrální svazky tritia vstřikované do 2keV deuteriového plazmatu, nebo obráceně; tím se má dosáhnout bodu energetického zvratu, i když ohmický ohřáté plazma je pod zápalnou teplotou (obr. 9-26). 7. Magnetické čerpáni. Oscilace intenzity pole v určitém úseku torusu s lokálním zrcadlem mohou přenášet energii na ionty, je-li frekvence 302 Úvod do řízené termonukleární reakce těchto oscilací taková, že se nezachovává adiabatický invariant (srv. oddíl 2.8.1). 8. Interakce svazek-plazma. Vstřikování svazku rychlých elektronů nebo iontů do plazmatu může vyvolat dvousvazkovou nestabilitu (oddíl 6.6). Energie přímého pohybu svazku se přemění v energii vlny, která se pak musí Landauovým útlumem nebo parametrickými procesy přeměnit v energii částic. Nízkofrekvenční modulací nebo vstřikováním pod určitým úhlem k magnetickému poli lze dosáhnout toho, že elektronové svazky mají účinnější vazbu s ionty. Skutečnost, že jsou dosažitelné megaampérové relativistické elektronové svazky, zvýšila zájem o tuto metodu ohřevu. Vždycky však je problémem, jak vstřikovat elektrony do magnetického pole. 9. Turbulentní ohřev. Experimentálně se prokázalo, že při buzení prudce narůstajícího elektronového proudu v plazmatu se vytvoří turbulentní stav s širokým spektrem fluktuací elektrického pole. Elektrony jsou pak zpomalovány tímto chaotickým elektrickým polem a nikoliv srážkami s ionty. Dochází tak k ohmickému ohřevu s anomálním odporem, i když coulom-bovské srážky jsou zanedbatelné. Ačkoliv se v tomto ohledu většina experimentální práce uskutečnila na lineárních zrcadlových zařízeních, může být turbulentní ohřev důležitou metodou pro tokamaky. 10. Ohřev parametrickými vlnami. Intenzívní mikrovlnné nebo infračervené laserové svazky nemají přímou vazbu s rezonančními částicemi, protože fázová rychlost vlny a tepelná rychlost částic se příliš liší. Elektromagnetické vlny se však mohou parametricky rozpadat na iontové vlny a tato energie může být Landauovým útlumem převedena na částice. 11. Anihilace pole. Existuje-li v magnetickém poli nulový bod (B — 0) podobně jako v multipólu (obr. 9-10) nebo v magnetosférickém ohonu Země, může být magnetická energie přeměněna velkými indukovanými elektrickými poli v energii částic. Kdyby se tato metoda dala využít, byl by to zřejmě velmi ekonomický způsob ohřevu magneticky drženého plazmatu. 9.7 TECHNICKÉ PROBLÉMY TERMOJADERNÉ REAKCE Dokonce i tehdy, až budou problémy s udržením a ohřevem plazmatu vyřešeny a fyzikální proveditelnost řízené termojaderné reakce bude prokázána, bude nutno vyřešit ještě celou řadu technologických problémů, než budou moci být postaveny termojaderné reaktory. Některé z nich uvedeme. 1. Materiály stěn. Stěny vakuové komory vystavené působení plazmatu budou muset být zhotoveny z materiálu, který se dá snadno vyrobit, bude odolávat vysokým teplotám, nepoškodí ho velké toky 14 MeV neutronů, nebude se rozprašovat při dopadu nabitých částic a nebude se přeměňovat v radioaktivní produkty s dlouhou dobou života. Z dosud známých látek těmto požadavkům nejlépe vyhovuje niob, ale stává se silně radioaktivní, takže uskladnění materiálu z použitých stěn je velkým problémem. Technické problémy termojaderné reakce 303 2. Lithiový plášť. Tato vrstva slouží dvěma účelům: k produkci tritia podle reakce [9-2] a k zachycování tepelné energie neutronů vznikajících v termojaderných reakcích. Lithium má dobré chladicí vlastnosti, jsou však vážné problémy s korozí a s čerpáním tekutých kovů napříč magnetickým polem. -17 ,? ft tit* >6 -15 Toroidální termojaderný reaktor (1000 MW) 1. Potrubí pro přívod draslíku 11. 2. Potrubí s draslíkovými parami 12. 3. Ochranný plášť magnetu 13. 4. Sextant (šestina torusu) - 14. téměř sestavený 15. 5. Segmenty pláště 16. 6. Sběrné potrubí draslíkových par 17. 7. Potrubí pro rozvod draslíku 8. Jádro poloidálniho magnetu 18. 9. Vstřikovače neutrálních svazků 19. 10. Kompresní prstence 20. OBR. 9-27 Tepelná izolace na cívce magnetu Cívka magnetu Zpevňovací prstenec magnetu Segmenty pláště Podpěrná výztuha sextantu Sextant na počátku montáže Montážní pomocná konstrukce pro sestavení pláště Přívodní potrubí pro draslík Potrubí s draslíkovými parami Kanál k vysokovakuovým vývěvám Výtvarně zpracovaná studie 1000 MW tepelného tokamakového reaktoru chlazeného parami draslíku a užívajícího supravodivé magnety. Buňková struktura uvnitř je lithiový plášť. [A. P. Fraas, Oak Ridge National Laboratory při Union Carbide Nuclear Division, vypracováno pro U. S. Atomic Energy Commission.] 304 Úvod do řízené termonukleární reakce Shrnuti 305 3. Konstrukce magnetů. Stavba magnetického systému bude vyžadovat velké množství supravodivého materiálu a výkonný chladicí systém. Vinutí musí být podpěrami zajištěno proti ohromnému magnetickému namáhání. 4. Vstřikování a recirkulace paliva. Vstřikování deuteria a tritia do torusu není nikterak jednoduchým problémem. Poněvadž během času udržení zreaguje jenom malý zlomek tritia, musí být nespálený zbytek s velkou účinností navrácen zpět do vakuového systému. V reaktoru pracujícím ve stacionárním režimu vzniká problém odstraňování produktů reakcí, jako je He a H. 5. Ohrožení životního prostředí. Kromě radioaktivity materiálu způsobené neutrony je vážným problémem unikání tritia. I když bude všechno vyrobené tritium spotřebováno, na pozemku reaktoru bude značná zásoba tritia a jeho difúzni únik do vody nebo do atmosféry při eventuální havárii je vážným problémem. * 6. Hybridní reaktory na principu štěpení — syntéza. Lawsonovo kritérium je možno zmírnit kombinací štěpného reaktoru s reaktorem termojaderné syntézy a využít tak neutronů produkovaných při syntéze pro usnadnění procesu štěpení. To by velmi pravděpodobně mohlo být prvním praktickým užitím řízené termojaderné reakce. To jsou pouze malé příklady úkolů, jež před námi stojí. Představu o rozsáhlosti technických problémů termojaderných reakcí si můžeme udělat, uvědomíme-li si, že každé magnetické zařízení, které jsme popsali, každá metoda ohřevu a každá metoda přeměny energie bude muset projít roky technického vývoje, než se stane praktickou skutečností. S technickými projekty se začalo teprve nedávno. Na obrázku 9-27 je nákres tokama-kového reaktoru vypracovaný v Oak Ridge National Laboratory ve státě Tennessee. Čtenář si z něho může udělat představu o tom, jak takový termojaderný reaktor bude vypadat. 9.8 SHRNUTÍ Hledání stabilního magnetického zařízení na udržení plazmatu, jež v posledních více než dvou desetiletích fyziky zaměstnávalo, se zúžilo na tři hlavní typy: tokamak, magnetická zrcadla s minimem B a toroidální 3-pinč. Tokamak vyžaduje ještě studium uchování energie elektronů, pomocných metod ohřevu a zkoušku stability pro velké hodnoty /}. Magnetická zrcadla vyžadují výklad pozorovaných dob udržení, zkoušky pro velké hodnoty P a rozsáhlé zkoušky účinnosti metod přímé přeměny energie. 3-pinč se nachází před rozhodující zkouškou stability toroidální konfigurace. Dalším krokem směřujícím k prokázání uskutečnitelnosti řízené termonukleární reakce je vývoj nových metod ohřevu a teoretické vysvětlení procesů ohřevu. Řada velkých zařízení bude ověřovat zákony podobnosti založené na našem současném porozumění nestabilitám a udržení. Řešení technických problémů termojaderné reakce přijde na řadu až poté, co bude zvládnuto udržení plazmatu. Nelze se zabývat technickými otázkami reaktoru, dokud není přesně stanovena magnetická konfigurace. . Je pravděpodobné, že při konečné realizaci budou mnohé principy •udržení kombinovány. V torusech lze ke stabilizaci střižným polem přidat stabilizaci minimem B, možná pomocí relativistických elektronových svazků. V torusech by mohly být vytvořeny oblasti s lokálními zrcadly, aby se využil vstřik neutrálních svazků. Dokonce i v obyčejných torusech může být zachycení v lokálních zrcadlech důležitým jevem. A obráceně zrcadlová zařízení by mohla být spojena v kruh kvůli odstranění koncových ztrát. Torus kombinovaný s ohřevem rázovou vlnou se bude podobat S-pinči, který v konfiguraci, jakou má Scyllac, není nic jiného než torus s velkým /?. I když experimenty vykazují stálý pokrok směrem k Lawsonovu kritériu a k zápalným teplotám, můžeme říci, že skutečný pokrok spočívá v rozvoji důkladných základů fyziky plazmatu. Že jsme dobře porozuměli složitému chování plazmatu, se prokázalo například souhlasem mezi teorií a experimentem při stabilizaci minimem B a u neoklasické difúze. Matematické prostředky a fyzikální intuice umožňují nyní fyzikům poměrně | rychle analyzovat a vysvětlit nové výsledky experimentů. Základní lineární j teorie plazmatu se stala látkou pro učebnice, ale hledání termojaderné ! energie zůstává neuzavřenou kapitolou. I i L Jednotky DODATEK JEDNOTKY V této knize je použita racionalizovaná MKS soustava jednotek, označovaná též SI. Každý, kdo bude číst vědecké práce z oboru fyziky plazmatu, setká se se soustavou cgs, ať už elektrostatickou nebo Gaussovou. Je proto na místě uvést některé relace mezi těmito soustavami. Maxwellovy rovnice pro vakuum a Newtonův třetí zákon v SI soustavě znějí SI e("i - nc) -B V. D V x £ : VB V x H D dv m— : dř 0 1 + Ď £0E , B = u0H q(E + v x B) Pro vyhodnocování některých veličin je třeba si pamatovat, že e0 1 = = 36tc x 109 a c = (s0^or1/2 = 3 x 108 m/s. Rozměr e0 je m"3 kg""1 s4 A2. £ a / vycházejí v praktických jednotkách V/m a A/m2, rozměr B je weber/m2 neboli T (tesla). Ještě jednou explicitně uveďme, že poměr EjB má rozměr rychlosti; to nám velice usnadňuje hledání algebraických chyb kontrolou fyzikálního rozměru jednotlivých výrazů. Energie KT se obyčejně udává v elektronvoltech. Chceme-li takto udanou hodnotu vyjádřit v joulech, musíme KT (eV) vynásobit číslem 1,6 x 10~19. Tento faktor není nic jiného než velikost náboje elektronu v SI soustavě — tímto způsobem je vlastně definován elektronvolt. Naproti tomu Maxwellovy rovnice pro vakuum a třetí zákon Newtonův v soustavě cgs-elektrostatické a v soustavě cgs-Gaussově znějí cgs-elstat cgs-Gaussova V.£ = V x £ = VB = c2 V x B = £ = dv m— = dt 47te(ni — «e) -B 0 47ti + £ u=l q{E + v x B) V . £ = 47te(ni — nc) cV x £ = — B„ V.BG = 0 c V x BG = 4nj + £ 6 = /i = 1 B bez indexu znamená hodnotu v soustavě elektrostatické, je-li udáno v běžnějších jednotkách, v gaussech, je označeno BG. Z těchto rovnic je zřejmé, že tyto dva systémy jsou identické, dosadíme-li všude místo B výraz BG/c. Všechny ostatní veličiny zůstávají nezměněny, e a n jsou v obou soustavách bezrozměrné. Máme-li vyčíslit intenzitu elektrického pole £ nebo potenciál

2 B 1/2 E B nKT 4nne2\1'2 eBc mc 4nne2 mv.c eBG Br. 1/2 (4«e) cE B~a KT n' eB n nKT BJÍ^i 1/2 2KT M 1/2 /T\3/2 fe = 28ß GHz KT yiz /r\ 1/2 69 h) 2,2xl0'»AV. A V x (4>A) = S4> x A + c6V x A A x (V x B) = V(A.B)-(A.V)B-(B.V)A-B x (V x A) V . (A x B) = B. (V x A) - A. (V x B) V x (A x B) = A(V.B) - BV.A + (B.V)A - (A.V)B V x [(A.V)A] = (A.V) (V x A) + (V.A)(V x A) —[(V x A).V] A V x V x A = V(V.A) - (V.V)A V x Vtf> = 0 V . (V x A) = 0 Užitečné vektorové relace Cylindrické souřadnice (r, &, z) 2 1 S (..d^\ . 1 ^ ■ ^ r dr\ cr I r Ô92 ôz2 l d . , l ô d + dz ôr '1 S 1 d A 39 V2A = (V.V)A 1 3At + S2A.-^\Ar+2^ dA. VMa -2\A»~21Š 3 + V2iz (A.V)B = ř(^+,3l§+^_í,A V cr 'r 33 z dz r * * \ r cr *r Í9 cz r / ~í cB, 1 cB ' cr r 33 c 312 313 Rejstřík V rejstříku jsou uvedena jména (tištěna kurzívou) i fyzikální pojmy. Pokud je u hesla uvedeno více odkazů, je kurzívou tištěna stránka s podrobnějším výkladem tohoto pojmu; písmeno ú značí stránku, kde se pojem procvičuje v úloze. Uvedení anglického termínu bylo u některých hesel hlavním důvodem k zařazeni do rejstříku. B Baker 137, 248, 264 Barrett 88 Baseball II 290, 291 Baseball II baseballová cívka 288, 292 baseball coil Berk 208 Bernstein 230 beta (jj) 78/nn, 184Ú, 309 bezpečnostní faktor viz činitel jakosti safety factor bezsrážkový útlum viz Landauův collisionless damping útlum bílí trpaslíci 28 white dwarf stars blesk 17, 28, 124 lightning Bodin 296 Bohm 86, 171 Bohmova časová konstanta 172 Bohm time Boky 131 Boltzmannova konstanta 17, 20, 308 Boltzmann's constant Boltzmannův vztah 76 Boltzmann relation Brillouinův rozptyl viz nestability Brown 87,151 Burhop 171 absorpce anomální laserového záření mikrovlnné energie adiabatický invariant P- podélný, J adiabatický toroidální kompresor Ahern akustická rychlost akustické vlny Alexeff Alfién Alfvénův vesmír Allen Allis anihilace magnetického pole antihmota Arcimovič aspekt (R/a) Astron atmosféra hvězd 298 298 101 52, 60 54, 57ú 57 viz tokamak ATC 267 viz rychlost viz vlny 233 114 114 131, 157 137 183, 302 114 279 280 175, 286 17, 29, 37 absorption anomalous of laser light of microwave energy adiabatic invariant longitudinal adiabatic toroidal compresser acoustic speed acoustic waves Alfvén universe annihilation of the magnetic field antimatter aspect Astron stellar atmosphere Carpenter 124 Cauchyho hlavní hodnota 214 Cauchy principal value civky „yin-yang" 292 yin-yang coils Clemmow 137 Clemmow-Mullaly-Allis Í37ů CMA diagram diagram Cohen 263 Conte 213 coulombovský logaritmus ln A 162 Coulomb logarithm cyklotron 26 cyclotron cyklotronní gyrace viz cyklotron- cyclotron gyration ní rotace cyklotronní rotace 32nn, 36, 153 cyclotron gyration cylindrické souřadnice 311 cylindrical coordinates částečně ionizovaný plyn 141 partially ionized gas čerpání magnetické 53, 301 magnetic pumping na průletové frekvenci 56 transit-time m. p. činitel jakosti 280 quality factor číslo Loschmidtovo 23 Loschmidt number r 314 315 číslo Machovo čistota plazmatu čtvrté skupenství hmoty D D'Angelo Dawson Debyeova délka Debyeovo stínění defokusační efekt dekrement 244, 246 273 18 95n, 107 230 25, 27ú, 309 23nn, 27ú, 77 113,139Ú viz Landauův útlum Mach number plasma purity fourth state of matter Debye length Debye shielding defocusing effect klasická koeficient difúze ambipolární klasický magnetického pole mezi rovnoběžnými stěnami napříč magnetickým polem neoklasická ve válci v plně ionizovaném plazmatu v rychlostním prostoru difúzni mod (nejnižší) disperzní vztah divertor Dopplerův posuv doutnavý výboj /40nn, 158Ů, 175Ú, 293, 296 143, 158ú 144, 158Ú 168, 172 182nn, 145 /52nn,175Ú 174, 278, 282, 286 147 167nn 289 146 86 273 189, 258 27ú, 28 classical d. diffusion coefficient ambipolar diff. coeff. classical diff. coeff. d. of magnetic field d. in a slab d. across a magnetic field neoclassical d. d. in a cylinder d. in fully ionized plasmas d. in velocity space diffusion mode (lowest) dispersion relation divertor Doppler shift glow discharge drift diamagnetický E x B fiktivní d-ové pohyby grad-B obecná síla polarizační přehled v nehomogenním E poli zakřivení držení plazmatu 35nn, 71 72nn, 75ú, 179, 184Ú 35 74 38nn, 45ú, 74, 274 36 49,62 52 46 40,74 viz udržení drift diamagnetic d. fictitious drifts general force polarization d. in a nonuniform E field curvature d. Derjler 232 De Silva deuterium 28, 270nn, 298 deuterium E diamagnetická smyčka 184 diamagnetic loop diamagnetismus plazmatu 34,42, 50, diamagnetism of plasma efekt konečného 45,75 finite-Larmor-radius effect 182,184 Larmorova poloměru dielektrická konstanta 67,62ú, 85ú, dielectric constant Einsteinův vztah 143 Einstein relation 114Ú, 129, 306 elektronika plynů viz výboj gaseous electronics 307n v plynech difúze (v neutrálním plynu) 140nn diffusion elektronvolt, eV 22, 306 - 308 electron volt ambipolární 143an, 168 ambipolar d. energie ionizační 17 ionization energy napříč B /55nn, 168 amb. diff. across B kinetická 20, 138 ú kinetic e. anomálni 157 anomalous d. potenciální 24 potential e. banánová 174 banana d. střední 18, 27ú average e. Bohmova Í70nn, 278, Bohm d. tepelná, KT 20nn, 24 thermal e. 295 volná 185 free e. Faradayova rotace Fermi Fourierova analýza Fourierova rada Fraas Franklin frekvence cyklotronní dolní hybridní horní hybridní Larmorova mezní levotočivá pravotočivá i25nn, 127Ů 45 78, 235 146 303 88, 267 30, 33nn, 62, 75ú, 83, 309 ]07nn, 135, 300 99nn, 102Ú, 126ú, 134 viz cyklotronní f. 89, JíOnn, 114Ú, ÍÍSnn 119,123, 126ú 119, 123, 126Ú Faraday rotation Fourier analysis Fourier series cyclotron frequency lower hybrid f. upper hybrid f. Larmor f. cutoff left-hand-cutoff right-hand-cutoff I r 316 frekvence plazmová srážková Fried funkce Besselova ionizační rozdělovači 62ú, 75ú, Sinn, 84ú, 126Ú, 138Ú, 309 142,162, 309 213 ' 147, 148 149 ;98nn,217n, 234Ú, 236 plasma frequency collision f. Bessel function ionization f. distribution f. galaxie Gould Greene Gross Grove gyrace lni střed gyrofrekvence 29 101 230 86 171 viz cyklotronni rotace 34, 158 viz frekvence cyklotronni galaxy guiding center H Hamberger harmonický oscilátor Harp hlavní osa (torusu) hmotnost elektronu protonu Höh hustota kritická náboje plazmatu proudová hvězdné plazma hvizdy 267 253 101 275 308 308 156 110, 114Ú 70 26, 27ú, 28nn, 83, 110 70, 165, 307 viz atmosféra hvězd bílí trpaslíci neutronové hvězdy nitro hvězdy 123nn, 126Ú, 135, 139Ú harmonic oscillator major axis electron mass proton m. critical density charge d. plasma d. current d. whistler mode ignitron Ikezi 28 248 ignitron 317 index lomu inkrement interakce svazek-plazma vlna-částice vlna-vlna interferometr mikrovlnný invariantnost Ioffeho tyče ionosféra iontový pohon iota 111,114Ú, 120 viz nestability — rychlost růstu 302 236 237,252, 300 111, 114Ú 43,46ú, 51, 52nn, 57ú 288,289 27,29, 57, 114, 123, 141, 262 29 viz rotační transformace index of refraction beam-plasma interaction wave-particle i. wave-wave i. microwave interferometer Ioffe bars ionosphere ion propulsion iota jaderná syntéza jednotky (fyzikální) Jephcott jiskrový výboj jiskřiště Jones Jouleovo teplo viz termojaderná fusion reakce 17,306n 131 31 28 88, 233 300 Joule heat units spark discharge spark gap K Kadomcev 157 kinetická teorie 59,69, /98nn klystron 26,111,190 kolektivní chování 19 kolmý únik 300 komprese adiabatická 51, 57ú, 70, 283, 288, 299 izotermická 70 konstanta šíření 78 konstrukce magnetů 304 (reaktoru) konvektivní cely 172 konvektivní derivace 64, 76 korona 29 Krabí mlhoviny 29, 183 Kruskal 230 Kruskalova-Šafranovova 280 limita kvadrupól 286 kvazineutralita 19, 25, 77 kinetic theory klystron collective behavior perpendicular runaway adiabatic compression isothermal c. prapagation constant magnet design convective cells convective derivative solar corona Crab nebula Kruskal-Shafranov limit quadrupole quasineutrality 318 319 Lampis 267 Landau 213nn Landauův útlum 189, 21 Inn, Landau damping 234Ú, 302 galileovská invariantnost 229 Galilean invariance iontový 233 ion L. d. lineární 218, 219nn, linear L. d. 269 nelineární 219, 267nn nonlinear L. d. útlumová rychlost 256, 260 damping rate (dekrement) Langmuir 28, 69, 86 Langmuir's paradox Langmuirův paradox 69 Larmorova gyrace viz cyklotronm Larmor gyration rotace Larmorova rotace viz cyklotronní rotace L armorův poloměr 33nn, 309 Larmor radius laser 30, 113,138, laser 273, 297nn, 302 co2 113, 297 C02 laser kyanovodíkový, HCN 113, 138 HCN laser neodymový, Nd 297 Nd laser laserový interferometr 293 laser interferometer Lawsonovo kriterium 272, 298, Lawson criterion 304 Lehnert 131, 156 levitron mimocentrální 286 off-center levitron levitujíc! prstenec 286 levitated ring linearizace 82 linearization lineární teorie 82 linear theory lithiový plášť 271,303 blanket of lithium lithium 270, 299 lithium Looney 87 Lorentz ionization lorentzovská ionizace 288 M magnetická jáma absolutní 288 absolute magnetic well středního pole 277, 183n, 288 average m. w. magnetická pláž 300 magnetic beach magnetické držení viz udržení magnetický (dipólový) 42, 51,60 magnetic moment moment magnetizace 60 magnetization magnetizace objemová 60 bulk magnetization magnetohydrodynamika 165 magnetohydrodynamics magnetosféra 29, 124, 302 magnetosphere magnetron Malmberg Massey materiály stěn Maxwellovo rozdělení mezihvězdné prostředí měnič energie (= generátor) mikroexploze minimum S mod (vln) BGK (Bernstein-Greene-Kruskal) Van Kampenův modulace (vlny) momenty Boltzmannovy rovnice Montgomery Motley Mullaly multipóly 26 230 171 302 20,23ú, 797nn,214, 217, 229 29, 126, 138 29, 167, 182 298 viz magnetická jáma středního pole 230 230 80, 268 209 233 96, 107 137 275, 2S3nn, 300, 302 magnetron wall materials Maxwellian distribution interstellar medium energy convertor microexplosion BGK mode Van Kampen mode modulation moments of the Boltzmann equation multipoles N náboj elektronu Nedospusov nelineární jev neonová trubice nestability (přehled) disipativní driftová dvousvazková oscilující elektromagnetická elektrostatická explozivní gravitační Harrisova kinetická mikro-nestability modulační parametrické parametrický rozpad 308 157 235nn,300 17,28 185n 197 48, 194, 276n l£ónn, 190Ú, 206,218, 234Ú, 257, 276, 302 257, 258nn 276 276 177 37, 190nn, 276, 283, 287, 288 186 186 48 237, 269 252nn 255, 258, 261 nn electron charge nonlinear phenomenon neon light (tube) instabilities dissipative i. drift i. two-stream i. (beam-plasma i.) oscillating two-stream i. electromagnetic i. electrostatic explosive i. gravitational i. Harris i. kinetic i. microinstabilities modulational i. parametric i. parametric decay 320 nestability instabilities, parametrický zpétný 256 parametric back-scattering rozptyl práh nestability 256 instability threshold Rayleighova-Taylorova 185,190,276 Rayleigh-Taylor i. 299 reaktivní 197 reactive i. rychlost růstu (nestability) 260 growth rate rychlostního prostoru 289 velocity space i. se zachycenými částicemi 286 trapped particle i. smyčková 276, 287, kink i. 293 spirálová 157 helical i. stimulovaný 256 stimulated Brillouin Brillouinův rozptyl scatterir stimulovaný 256 stimulated Raman Ramanův rozptyl scatterir svazková 185n streaming i. univerzální 185 universal i. způsobená proudem 276 current-driven i. způsobená únikovým 186 loss cone i. kuželem zúžení (přiškrcení) 293 sausage i. žlábková 193, 287 flute i. neutron 270nn neutron neutronové hvězdy 28, 29 neutron stars Nielson 208 niob 302 niobium nitro hvězdy 17,29 stellar interior O oblast šíření odchylovač odpor anomální specifický Spitzerův specifický Olikawa ohřev (plazmatu) cyklotronní cyklotronní elektronovou rezonancí cyklotronní iontovou rezonancí elektronovou vlnou iontovou vlnou odporový mikrovlnný 119 viz divertor 160nn 236, 302 Í60nn,177Ú 164 174, 284 28, 272, 300 304 53, 300 171,300 171,300 300 300 171 region of propagation resistivity anomalous r. specific r. Spitzer r. heating cyclotron h. electron cyclotron resonance h. (ECRH) ion cyclotron resonance h. (ICRH) electron wave h. ion wave h. resistive microwave h. 321 ohřev ohmický parametrickými vlnami turbulentní oktopólové zařízení orbit banánový Bohrův orbit H atomu Larmorův neporušený teorie orbitu ORMAK-vstřikovací systém oscilace plazmové oscilátor otevřený systém 163, 171, 175Ú, 183, 236,282, 300 302 302 283 34,51, 173 /74, 278 158, 308 33 39,47 38 301 S/nn, 93, 99,211 viz harmonický 273 ohmic heating parametric wave h. turbulent h. octopole machine (circular) orbit banana o. Bohr orbit of the hydrogen atom Larmor o. undisturbed o. orbit theory injection system plasma oscilations open system Paulikas permeabilita Pfirschův-Schliiterův efekt pinč Bennettova podmínka theta pinč z-pinč plamen plazma (definice) bezsrážkové Cs diagnostika plazmatu dvojí plazma (systém) horké kritéria pro plazma kvazineutrální plně ionizované termonukleární v pevných látkách vyhasínající výskyt v plazmatu plazmatická čočka plazmatické dělo plazmatické přiblížení plazmatický parametr plazmatický stav plazmon "157 60 278 27, 132, 293nn 293 273, 29inn, 300,304 293 27 19 19, 205 27 273 248 205 26 19, 25, 77 18 27, 27/ 30 151, 171 17 113 292, 300 77, 94 26, 27ú, 30 17 254 permeability Pfirsch-Schliiter effect pinch Bennett pinch condition theta pinch z-pinch flame plasma collisionless p. plasma diagnostics double plasma hot p. criteria for plasmas quasineutral p. fully ionized p. termonuclear p. solid state p. afterglow occurence of p. plasma lens plasma gun plasma approximation plasma parameter plasma state plasmon plazmové echo plynová komůrka pohyblivost ve směru kolmém k B polarizace kruhová levotočivá pravotočivá rovinná polarizační náboj pole ambipolární elektrické magnetické p. Země poloidální magn. toroidální magn. střižné magnetické poruchová část (veličiny) Post prostor fázový rychlostní prostor meziplanetární proud diamagnetický Hallův polarizační vázaný přeměna (energie) přímá přeměna (energie) pulsar Pyle Q Q-systém R reakce syntézy reaktor jaderné syntézy hybridní (štěpení-syntéza) recirkulace paliva rekombinace 263nn plasma echo rekombinace, koeficient 150 recombination coefficient 300 gas cell 140, 143, mobility 168 154 perpendicular m. 50,61 polarization 122 circular p. 122a, 135, left-hand c. p. 139Ú 122, 135 right-hand c. p. 125 plane p. 61 polarization charge field 144 ambipolar electric f. 37,45, 54, Earth's magnetic f. 124 277n poloidal f. 277-279, toroidal f. 282, 285 176, 305 magnetic shear viz linearizace perturbation part 292 205nn, 224 phase-space 54,199, 200 velocity space 27, 243 interplanetary space 74, 179, 181, diamagnetic current 184ú 166 Hall c. 49,61 polarization 59 bound viz přímá 291,296 direct conversion 29, 138 pulsar 157 38, 73, 88, Q-machine 96, 107, 114, 138, 162, 170 radiativní 150 radiative r. rychlost 18 recombination rate třítělesová 150 three-body r. reziduová věta 213 residue theorem rezonance U8nn resonance rezonanční částice 216, 228,268 resonant particles Roberts 208 rotační transformace 274,278n rotational transform rovnice Besselova 147,148 Bessel equation Boltzmannova 204 Boltzmann e. difúze 143,168n, diffusion e. 183 Fokkerova-Planckova 206, 296 Fokker-Planck e. kontinuity 70,166, e. of continuity 209 Maxwellovy 40, 59nn, Maxwell's e-s 71,75ú, 176ú, 306 MHD /65nn, 184Ú MHDe-s pohybová 6inn, 67,211 e. of motion Poissonova 24, 27ú, 77, Poisson's e. 85ú. 94 Sahova 17 Sana e. stavová 70,211 .e. of state VJasovova 205,211 Vlasov e. rovnováha 177nn equilibrium hydr jmagnetická 179nn hydromagnetic e. termodynamická 185 thermodynamic e. rovnovážná část (veličiny) viz linearizace equilibrium part rozprašování (materiálu) 303 sputtering rozptyl 28 scattering rtuťový usměrňovač 28 mercury rectifier rychlost Alfvénova 129, 309 Alfven velocity fázová 79 phase v. grupová SO, 268 group v. střední 200,210 average v. střední kvadratická 199 root-mean-square v. světla 306, 308 v. of light tepelná 210, 309 thermal v. zvuku 92, 298, 309 v. of sound rychlostní rozdělení viz funkce velocity distribution řízená termojaderná reakce 28, 140, 152, controlled termonuclear 270nn 28, 270 27, 162, 175, 303 304 304 18, 23, /50nn, 158Ú fusion reaction fusion reactor hybrid r. (fission-fusion) fuel recovery recombination Sagdéjev Sagdějevův potenciál samofokusace Scyllac 244 243nn 259 295, 297, 305 Sagdeev potential self-focusing self-konzistentní problém 58,62,71 self-consistent problem supravodivý prstenec severní záře 17 Aurora Borealis , susceptibilita magnetická sferátor FM-1 286 FM-1 Spherator svařovací oblouk síla Coulombova 19,161, 271 Coulomb force j svazek relativistický Lorentzova 29, 32, 38 Lorentz f. vnitřní ponderomotorická 249nn, 257, 268 ponderomotive f. zařízení s relativistickým svazkem Simonen 232 1 Astron simulační metody 59, 208 computer simulation synchrotron skin-efekt (hloubka průniku) 110 skin effect ' syntéza slabě ionizovaný plyn 18 weakly ionized gas systém laser-plyn Slunce 29 sun systém laser-pevný terčík sluneční korona 29 solar corona kritická vrstva sluneční skvrna 37 sunspot povrchová slupka sluneční vítr 17, 29, solar wind 1 plazmatu 37,55 *- stlačené nitro (terčíku) Smith 267 soliton 245 soliton sonda 69 probe T souřadný systém 63 frame Spitzer srážky 162,164 26, 32, 63, 68, 158n,210 collisions Taylor tekutinové přiblížení tenzor napětí coulombovské 158nn, 160, 206 Coulomb c. tepelná kapacita srážkový člen collision term tepelná vodivost 204, 205 koeficient teplota termojaderná reakce, syntéza Krookův 205 Krook coll. term srážkový parametr stabilita 161 177nn, 275 impact parameter stability stabilizace dynamická 276 dynamic stabilization thyratron tlak tokamak zpětnou vazbou 277, 285 feedback s. stacionární stav 148 steady state stellarátor 172, 175, 275, 277, stellarator Stenzel stěnová vrstva 300 262 25, 238, 2S9 sheath adiabatický toroidální kompresor (ATC) reaktor ST Tonks Bohmovo kritérium 240, 246, Bohm sheath criterion Stix 137 stínící vzdálenost viz Debyeova shielding distance torus Stokesův teorém střed cyklotronní rotace střední magnetická jáma střední volná dráha střižné napětí stupeň ionizace supravodivá cívka délka 70, 184ú viz gyrační střed viz magnetická 68,142, 174Ú, 309 67 17 288, 289, 296, 303 Stokes' theorem guiding center average magnetic well mean free path shear stress amount of ionization superconducting coil dvoukomponentní hlavní osa (torusu) vedlejší osa transportní koeficienty tritium Trivelpiece tření turbulence 286 60 28 286, 305 275, 277 286, 305 286 32 viz řízená 298 298n 298 298 299 248 63nn, 209 65nn, 160, 211 23 70 211 20 27, 28, 270nn 28 67, 160 174, 275, 279nn, 300-304 283 304 281 28 27, 162, 174Ú, 273nn, 301,304 301 275 275 143 28, 270nn, 304 101 160 236 superconducting ring magnetic susceptibility welding arc relativistic beam internal beam relativistic beam device synchrotron laser-gas-fusion laser-pellet-fusion critical layer plasma shell compressed core fluid approximation stress tensor heat capacity thermal conductivity coefficient of t. c. temperature fusion reaction, thermonuclear fusion thyratron pressure tokamak ATC t. t. reactor STt. torus two-component torus (TCT) major axis minor axis transport coefficients tritium friction turbulence f 326 účinný průřez atomu H na2, udržení plazmatu (též držení) doba udržení magnetickým polem (magnetické) setrvačné (inerciální) uchováni energie unášení únik elektronů únikový kužel U tlam útlum bezsrážkový srážkový uzavřený systém 141. 161,271 308, viz též orbit Bohrův 28, 152, 272nn, 304 158Ú, 171, 175Ú, 272, 293 72, 273nn 273, 298 296 viz drift 163, 300 44, 46ú, 54 263 viz Landauův 91ú 273 cross section c. s. of H atom confinement, containing conf. time conf. by magnetic field (magnetic conf.) inertial conf. energy storage drift electron runaway loss cone collisionless damping collisional d. closed system Van Allenovy pásy 17, 29, 45 Van Allen belts variační princip (energie) 278 energy principle vázané oscilátory 252 coupled oscillators vázaný náboj 59, 61 bound charge viskozita 68, 71, 160 viscosity kinematický koeficient 69 kinematic v. coefficient vlny (přehled) 134 waves Alfénova vlna Í27nn. 135, Alfven wave 137Ú, 176Ú modifikovaná 134 modified A. w. torzní 131 torsional A. w Bohmova-G rossova 255 Bohm-Gross w. driftová 75ú, 79ú, Í93nn drift w. rezistivní 193nn rezistive drift w. elektromagnetické lOSnn, 114Ú, electromagnetic w-s 115, 135,251, 255, 257 elektronové electron w-s elektromagnetické 709nn, 114Ú, electromagnetic (light) (světelné) 135,255 mimořádné, X 116nn, 126Ú, extraordinary w-s 135 pravo a levotočivé 12 ln, 126Ú, right-, left-hand R, L 134, 137Ú (R-waves, L-waves) řádné, O 115a, 120, ordinary w-s 135, 137 327 vlny elektronové, horní hybridní oscilace plazmové (Langmuirovy) elektrostatické elektrostatické elektronové elektrostatické iontové iontové akustické dolní hybridní oscilace elektrostatické hydromagnetické magnetozvukové klasifikace vln magnetická rázová vlna polarizovaná elipticky rovinně příďová rádiové \ lny razová vlna rychlá hydromagnetická světelné vlny záznějová vlna (na rozdílové frekvenci) zvukové vlny vnitřní prstenec vodíková bomba vrstevnicová mapa f (v) vstřikování nabitých částic neutrálního svazku paliva výboj v plynech výměna náboje výpadek rádiového spojení 98nn, 102Ú S5nn, 9Íú, 95, 134, 206n, 257 263 98,104rm, 126Ú, 220 98nn, 102Ú, 251 J04nn, 134, 138ú 92nn, 95nn 107 104nn, 114Ú 57, /27nn, 136, 137Ú, 300 127, /32nn, 135, 300 98 243 116, 122, 125 116, 122 125 viz vlna magnetická rázová 108 242nn, 305 134 108 237, 263, 269 91 286 28 204 300 288, 301 304 28, 141 288, 301 114 electron waves, upper hybrid oscillation plasma (Langmuir) w-s electrostatic w-s electrostatic electron w-s electrostatic ion w-s ion w-s ion acoustic w-s lower hybrid oscillations ion electrostatic w-s hydromagnetic w-s magntosonic w-s magnetic shock polarized w. elliptically p. w. plane polarized w. bow shock radio waves shock wave fast hydromagnetic w. light waves beat wave sound waves internal ring hydrogen bomb contour map charged particle injection ' neutral beam i. fuel injection gas discharge charge exchange communications blackout W Wharton Wilcox Wong 230 131 95-97, 262, 264 - 266 328 z zachycení (částice) 41, 207, trapping 217n, 268 zakázané frekvenční pásmo 121, 123 stop band zákon Ampérův 274 Ampere's law Fickův 143,144, 167 Fick's law Childův-Langmuirův 241 Child-Langmuir law Ohrnuv 163 Ohm's law zobecněný 166 generalized 0.1. zápalná teplota 270 ignition temperature záření brzdné 272 bremsstrahlung inverzní brzdné 298 inverse bremsstrahlung kosmické 29,45ú cosmic rays zářivka 17, 28 fluorescent light (tube) zdrojový člen 148n source term zrcadla magnetická 4/nn,51,53, magnetic mirrors 54, 180,273 2S7nn, 300, 304 azimutální m. z-o 53 spindle-cusp mirror loVilni 276, 286, 305, local mirror viz též orbit banánový vstřícná 53 magnetic cusps zařízení 2XII 288, 292 mirror device 2XII zrcadlový poměr 44,51 mirror ratio životní prostředí (ohrožení) 304 environmental hazards