Teoretická fyzika - Základy kvantové mechaniky - Příklady
Michal Lenc - jaro 2014
1. Operátory, relace neurčitosti
Operátor O je hermiteovský, když pro skalární součin platí
(Vs\Ô\(p} = (((p\Ô\Vs))*   . (1) Střední hodnotu operátoru v normovaném stavu \y/j označíme ^Ô^ = (^/|Ô|^/). Neurčitost
definujeme jako AÔ = ^^Ô-^Ô^ ). Potom pro hermiteovské operátory A a B platí zobecněné relace neurčitosti
AAAB >
(^|[á,b]|^>
(2)
Příklad 1. Ukažte, že operátory radiální hybnosti a radiální souřadnice (souřadnicová representace se sférickými souřadnicemi)
d 1 — + -dv r
r = r
jsou hermiteovské (skalární součin je (f |g) = J" f * (r)g(r)r2dr ). Příklad 2. Ukažte, že pro základní stav vodíku
R.o(0:
,3/2
exp
f x\
V aBj
jsou pro operátory ŕ a pr splněny relace neurčitosti (2).
Příklad 3. Ukažte, že operátory kartézské souřadnice a sdružené složky hybnosti
x= x
,    h d
1 ox
jsou hermiteovské (skalární součin je ^f|g) = | f*(x)g(x)dx). Příklad 4. Ukažte, že pro základní stav lineárního harmonického oscilátoru
exp
ma> 2 x
v   2» J
jsou pro operátory x a px splněny relace neurčitosti (2).
1
2. Schrôdingerova rovnice
Příklad 5. Odvoďte ze Schrôdingerovy rovnice pro částici v potenciálovém poli
.hdv^t) = _|_A^(f ,t) +U (f y (f ,t) (3)
rovnici kontinuity a výraz pro tok j (r,t), který v ní vystupuje
g/7^,t^+divj(f,t) = 0   ,   /?(ř,t) = |y/(ř,t)|2 .
Příklad 6. Schrôdingerova rovnice pro volnou částici (pro jednoduchost jednorozměrný případ) je
iňdyjx,t)_   h2 aV(x,t) dt 2m dx2
Přejdeme Galileiho transformací do jiné inerciální soustavy
x' = x - vt   ,   ť = t .
Schrôdingerova rovnice v této soustavě musí mít stejný tvar
- ,-      =---- »
ať 2 m dx'1
přitom vlnové funkce se mohou lišit pouze fází, aby se měřitelná veličina - hustota pravděpodobnosti - nezměnila
y/(x,t) = exp i f (x1 ,ť)^i//(x1 ,ť} .
Najděte fázovou funkci f a dokažte tím, že nerelativistická Schrôdingerova je invariantní vzhledem ke Galileiho transformaci.
3. Různé úlohy
Příklad 7. Vazebná konstanta („tuhost pružiny") molekuly HC1 je K = 470Nm"1, moment setrvačnosti je I =2,3.10~47 kgm2. Uvažujeme teplotu 300 K.
a) Jaká je pravděpodobnost, že se molekula nachází v prvním excitovaném vibračním stavu?
b) Jaký je poměr molekul v prvním excitovaném a základním rotačním stavu pro určitý vibrační stav?
2
Příklad 8. Budeme-li předpokládat, že obvod stacionární kruhové trajektorie elektronu ve vodíkovém atomu je celistvým násobkem de Broglieho vlnové délky, dostaneme správné hodnoty energiových hladin. Dokažte.
Příklad 9. Stacionární Schrôdingerovu rovnici pro jednorozměrný případ přepíšeme pro bezrozměrné proměnné ^r=x/a,5 = E/£-
"> 2 í
d" (//   2m/'1_   ^TÍ ^     n      d \f/ '
dx2
-(E-V(x))^/ = 0
V(a<?)'
)// = 0   , f
h2
2ma2
(5)
Spočtěte vztah mezi charakteristickou energií s a délkou a pro harmonický oscilátor, „coulombovský" potenciál a homogenní pole, tedy
V(x)=^mřy2x2   , V(x):
Axs0 x
,  V(x) = -eFx
Příklad 10. Najděte stacionární řešení jednorozměrné úlohy se symetrickou dvojitou potenciálovou jámou, kde potenciální energie je
oo x<-b/2   , x>b/2
U(x) = Jo   -b/2<x<-a/2   ,   a/2<x<b/2 (6) U -a/2<x<a/2
Stačí hledat řešení pro zajímavější případ, kdy celková energie je E <U .
4. Josephsonův jev
Příklad 11. Supravodiče 1 a 2 jsou odděleny tenkou vrstvou isolátoru, kterou mohou supravodivé elektronové páry překonávat tunelováním. Pro jednoduchost předpokládejme u
obou supravodičů stejnou hustotu párů. Pro vlnové funkce máme
dt dt Budeme vlnové funkce psát ve tvaru
y/x = pf- exp(i6>)   ,   y/2 = pf exp(i<92) ,
(V)
(8)
přitom Ej ,E2 ,T jsou reálné konstanty a p1,p2,91,92 jsou reálné funkce času. Ukažte, že při přiloženém konstantním napětí V (platí pak E2-Ej=2eV) dochází k oscilacím proudu s Josephsonovou frekvencí.
5. Teorie poruch
Příklad 12. Při zanedbání spinově závislých interakcí je vodíkový stav s n = 2 čtyřikrát degenerovaný. Ukažte při výpočtu prvního řádu teorie poruch částečné sejmutí degenerace v homogenním elektrickém poli intenzity £ .
Příklad 13. Určete opravy prvního řádu ve vlastních hodnotách a nultého řádu ve vlastních funkcích pro dvojnásobně degenerovanou hladinu - hermiteovská matice poruchového potenciálu je
fy  v ^ v v
^ v21      v22 J
4