Teoretická fyzika - Základy kvantové mechaniky Michal Lenc - jaro 2014 Obsah Teoretická fyzika - Základy kvantové mechaniky...........................................................1 1. Velmi stručný přehled............................................................................................3 1.1 Základní pojmy..........................................................................................................3 1.2 Maticový zápis...........................................................................................................5 1.3 Vlastní vektory a vlastní hodnoty..............................................................................6 1.4 Nepříjemnost s rovinnou vlnou a Diracovou delta funkcí.........................................8 1.5 Příklad - lineární harmonický oscilátor.....................................................................9 2. Princip superposice..............................................................................................12 2.1 Feynmanova formulace............................................................................................12 2.2 Formulace Landaua a Lifšice...................................................................................12 3. Matematický popis...............................................................................................13 3.1 Základní popis - Hilbertův prostor..........................................................................13 3.2 Axiomy....................................................................................................................13 3.3 Reprezentace, rozklad jednotky...............................................................................14 3.4 Vlnová funkce..........................................................................................................15 3.5 Maticová reprezentace.............................................................................................15 3.6 Zápis Schrôdingerovy rovnice v maticové reprezentaci..........................................16 3.7 Relace neurčitosti.....................................................................................................18 4. Základní operátory v souřadnicové representaci.................................................20 4.1 Hamiltonův operátor (hamiltonián).........................................................................20 4.2 Operátory hybnosti a momentu hybnosti.................................................................20 4.3 Rovnice kontinuity...................................................................................................22 4.4 Kvasiklasická aproximace................................. ......................................................23 4.5 Ehrenfestův teorém..................................................................................................24 5. Schrôdingerova rovnice pro stacionární stavy.....................................................25 5.1 Částice v potenciálovém poli - souřadnicová representace.....................................25 5.2 Jednorozměrné problémy.........................................................................................25 5.3 Harmonický oscilátor a koherentní stavy................................................................27 6. WKB aproximace.................................................................................................30 6.1 Odvození aproximace..............................................................................................30 6.2 Bohrovo - Sommerfeldovo kvantování....................................................................34 6.3 Elementární popis molekuly čpavku........................................................................35 6.4 Tunelový jev............................................................................................................40 6.4.1 Emise vyvolaná polem.........................................................................................41 6.4.2 a-rozpad.............................................................................................................42 7. Příklady exaktně řešitelných třírozměrných problémů........................................44 7.1 Vodíkový atom.........................................................................................................44 7.2 Elektron v homogenním magnetickém poli.............................................................48 8. Některé aproximace pro poruchy na čase nezávislé............................................50 8.1 Rayleighova - Schrôdingerova metoda...................................................................50 8.1.1 Nedegenerované hladiny......................................................................................50 8.1.2 Degenerované hladiny.........................................................................................51 8.1.3 Případ velmi blízkých hladin...............................................................................52 8.2 Potenciální energie jako porucha.............................................................................53 8.3 Variační princip.......................................................................................................56 8.4 Hartreeho - Fockova metoda selfkonzistentního pole.............................................56 8.5 Ritzova variační metoda..........................................................................................58 9. Bornova - Oppenhaimerova aproximace.............................................................60 9.1 Obecná teorie...........................................................................................................60 9.2 Molekula vodíku......................................................................................................62 9.2.1 Iont molekuly vodíku...........................................................................................62 9.2.2 Molekula vodíku..................................................................................................64 10. Poruchy na čase závislé.......................................................................................66 10.1 Interakční reprezentace....................................................................................66 10.2 Fermiho zlaté pravidlo.....................................................................................67 10.2.1 Harmonický průběh časové závislosti poruchy...............................................67 11. Vlastní hodnoty a vlastní funkce operátoru momentu hybnosti..........................69 12. Maticové elementy skaláru a vektoru, parita stavu..............................................72 13. Spin......................................................................................................................73 13.1 Rotace a komutační relace pro operátor momentu hybnosti............................73 13.2 Spin..................................................................................................................75 13.3 Spin a rotace.....................................................................................................76 14. Princip nerozlišitelnosti částic.............................................................................78 15. Cesta k Bellovým nerovnostem...........................................................................80 15.1 EPR paradox....................................................................................................80 15.2 Bohmova modifikace EPR pokusu..................................................................82 15.3 Bellovy nerovnosti...........................................................................................84 15.4 Experimenty s fotony.......................................................................................87 16. Jakou dráhu prošla částice?..................................................................................89 16.1 Elementární popis interference dvou svazků...................................................89 16.2 Which-path (Welcher-Weg)?...........................................................................90 16.3 Interference fullerenů.......................................................................................93 1. Velmi stručný přehled 1.1 Základní pojmy V kvantové mechanice počítáme s Hamiltonovým operátorem, kde v klasickém výrazu pro Hamiltonovu funkci jsou souřadnice x a s ní sdružená hybnost p - uvažujeme jednorozměrný problém - nahrazeny lineárními operátory x a p, které splňují komutační relace [x, p] = x p - p x = ihl , (1.1) h je Planckova konstanta a 1 jednotkový operátor. V souřadnicové representaci je Hilbertův prostor stavů soustavy (stavových vektorů) tvořen kvadraticky integrovatelnými komplexními funkcemi souřadnice na intervalu (-00,00) . Skalární součin je definován jako {V,X)* = (x,v) = (x\v) = JV(x)y(x)dx . (1.2) (braX|ket) Snadno se přesvědčíme, že operátory xi//{x) = xi//{x) , pi//[x) = -—(1.3) 1 q. x splňují komutační relace (1.1). Pro kvantovou mechaniku jsou důležité vlastnosti lineárních operátorů, zejména vlastnosti dvojice operátor - hermiteovsky sdružený operátor. Hermiteovsky sdružená matice je komplexně sdružená transponovaná matice. Pro operátory definujeme hermiteovské sdružení jako {x&v) = {vÔxj , (1-4) v Diracově značení pak (x\Ô+\¥) = (¥\Ô\x) . (1.5) Je-li operátor roven svému hermiteovsky sdruženému, mluvíme o hermiteovském operátoru, Je-li inversní operátor (definovaný tak, že po vynásobení inversního a původního operátoru dostáváme jednotkový operátor) roven svému hermiteovsky sdruženému, mluvíme o unitárním operátoru. S použitím souřadnicové representace ukážeme, že operátory souřadnice a k ní sdružené hybnosti jsou hermiteovské. Máme Í00 00 jV(x)x;r(x)dxl = jV(x)xy/(x)dx = (;ir|Č>|y/) (1.6) -00 J -00 a {x\o+\w) = {w\o\xí ¥ \x)~--dx i dx ^(x)"--—dx: i dx há_ i dx |V(x)/(x)] i dx ^df(x) , ,~, x (1.7) i dx Je vhodné si pamatovat, že při hermiteovském sdružení dojde k záměně c^c* , k)^(^| , (H^k) ' 0^0+ (1.8) a záměně pořadí všech prvků. Zatímco výraz (zk) znamená v Diracově notaci skalární součin vektorů a \%), výraz k)(;r| Je operátor, který převede libovolný vektor \(ft} na vektor , ale s velikostí a fází změněnou skalárním součinem {%\W)k>=k>(W#»=(^k>k> • Jako v každém vektorovém prostoru, tak i v našem Hilbertově prostoru můžeme zvolit bázi - soustavu lineárně nezávislých vektorů, kdy potom každý vektor prostoru lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze. Je výhodné zvolit ortonormální bázi. Dimenze Hilbertova prostoru tvořeného kvadraticky integrovatelnými komplexními funkcemi souřadnice na intervalu (-00,00) je spočetně nekonečná a nejznámější ortonormální bázi tvoří funkce 1 Ihn)-^n(x) ■Hn(x)exp x n = 0,l,2,. ^(2-nf kde Hn (x) jsou Hermiteovy polynomy. Platí -t co frh)s^i^iíHi(x)Hi(x)exp[-x2]dx=^ * -00 Libovolný stav | y/) můžeme pak zapsat pomocí báze jako 00 k) = ZCn|hn) » Cn=(hnk) n = 0 neboli (1.10) (1.11) (1.12) (1.13) kde Zn(x) Je dáno vztahem (1.10). Vektory báze zapsané jako funkce souřadnice x jsou v tomto případě reálné funkce, obecně to však být nemusí, proto raději v integrálu skalárního součinu pro výpočet cn píšeme znaménko komplexního sdružení. Jednotkový operátor vytvořený z vektorů báze má zápis i=2»(°l • Vidíme to snadno, zapíšeme-li jeho působení na libovolný vektor V) = Zln)HZci I1) = Zln)Zci (n|i) Zcn ln> = k) (1.14) (1.15) 1.2 Maticový zápis Zapišme působení operátoru na libovolný vektor |/?) zapsaný v nějaké bázi. Vznikne tak nový vektor | a) \cc) = 0\fj) k>=ZaJ|j> 01 (1.16) kde 0;j=(i|0|j) . (1.17) Pro názornou představu (vezměme jen konečnou dimenzi Hilbertova prostoru) si teď zapíšeme v nějaké bázi stavový vektor jako sloupcový vektor (matice nxl) a operátor jako matici nxn f a ^ o, o V an j o, o 12 22 0(n-l)l ^(n-l)2 onl on2 o, l(n-l) O 2(n-l) O 2n 0(n-l)(n-l) 0(n-l)n O n(n-l) (1.18) Hermiteovsky sdružené objekty budou pak o o O* o* O* O* ^l(n-l) W2(n-1) O* o* wln w2n O, (»-1)1 o o(n_1)2 on2 o* o* U(n-l)(n-l) Un(n-1) O* o* W(n-l)n Wnn y (1.19) Výraz (<^|/?) vytváří skalární součin (a\fi) = (^ a* ••• a;_! a^) a výraz |/?)(<^| operátor : (aľ + a* b2 + • • • + a;_! bn_! + a; bn ) (1.20) |/?>< or ai a2 "" an-l anj: b2 aj b2 a2 K-\ ai bn-i aj V bn aľ bn a2 bj an_j bj an b2 Cl b2 aI VlVl bn-ian bn Cl bn aI j (1.21) Vektory báze jsou m o o |2> i o |n-l) = o o (1.22) takže jednotkovému operátoru odpovídá jednotková matice íl o - o ol 0 1 o o o o o o 1 o 0 1 (1.23) j 1.3 Vlastní vektory a vlastní hodnoty Působení operátoru na některé vektory vede jen k vynásobení vektoru (komplexním) číslem Ä| a) = a | a) (1.24) Takovému vektoru \a) říkáme vlastní vektor operátoru Ä a číslu a vlastní hodnota příslušná vlastnímu vektoru \a} . Zvolme nějakou bázi prostoru, v níž je vektor \a) vyjádřen jako |«) = I>i|i) . (1.25) Zapišme vztah (1.24) násobený zleva vektorem | j^ jako soustavu rovnic pro koeficienty c; ZciOIÄli>=aZOJí> => Z(AJi-a^i)ci=° • (L26) Pro netriviální řešení musí být determinant soustavy roven nule a to dává rovnici pro vlastní hodnoty - přirozeně jen v principu, pokud je prostor nekonečně rozměrný. Většinou se postupuje tak, že základní rovnice (1.24) se napíše pro určitou konkrétní realizaci vektorů Hilbertova prostoru a vlastní hodnoty vyplynou z omezení na řešení této rovnice. Například pro vlnové funkce jedné proměnné představuje (1.24) obyčejnou diferenciální rovnici a vlastní hodnoty plynou z požadavku na to, aby řešením byla kvadraticky integrovatelná funkce (dostatečně rychlý pokles v nekonečnu, slabé singularity). Důležité je, že můžeme považovat za jednu z bází Hilbertova prostoru soustavu vlastních vektorů vhodného hermiteovského operátoru. Nástin důkazu je následující: Pro hermiteovský operátor ( A= A+) máme Á|ai) = ai|rri) => (a-1 Äjť^;) = a; (a-^ (cc} | P\cc^ = a* (cc} jor^ Takže zvolíme-li i = j , je (a- jar^^O a musí být a; =a*, tj. vlastní hodnoty hermiteovského operátoru jsou reálné. Zvolíme-li i^ j, je a; ^a- a musí být (a- \a^ = 0, tj. vlastní vektory příslušné různým vlastním hodnotám hermiteovského operátoru jsou ortogonální. Zvolíme-li tedy jako bázi soustavu normovaných vlastních vektorů hermiteovského operátoru A, můžeme psát jednotkový operátor podle (1.14) jako Í = 5>„)k| (1-28) n a samotný operátor jako Ä=5>»n| • (1.29) n Často lze definovat i funkci operátoru zobecněním předchozího vztahu f(Á) = Zk}f(an)W • (L3°) (3Li-a*i)(ai\a?) = 0 . (1.27) 1.4 Nepříjemnost s rovinnou vlnou a Diracovou delta funkcí Rovnice pro vlastní funkce a vlastní hodnoty operátoru hybnosti i dx pMx) (1.31) ma reseni w exp h px (1.32) Volbu konstanty zdůvodníme níže. Funkce (1.32) jistě není na intervalu (-00,00) kvadraticky integrovatelná. Vlastních hodnot p je nespočetně mnoho - operátor má spojité spektrum. Korektně vzato, funkce (1.32) do námi uvažovaného Hilbertova prostoru nepatří. Přesto běžně v kvantové mechanice s rovinnými vlnami počítáme. Normování rovinných vln jsme zvolili tak, že pro skalární součin platí (p1p)= JVp'(x)Mx)dx: 1 2nh exp J ■jí(p-p)* Místo indexování celými čísly indexujeme spojitou proměnnou, vlastní funkce operátoru jsou ortogonální v tom smyslu, že jejich skalární součin je roven Diracově delta funkci rozdílu indexů (místo Kroneckerových delta indexů). Rovnice pro vlastní funkce a vlastní hodnoty operátoru souřadnice x^(x) = ^(x) má řešení i//4(x) = S(x-é;) . Normování volíme obdobně jako u vlastních funkcí operátoru hybnosti, tj. 00 00 ( => \w)= j|p)(p|dpk)= jV(p)|p)dp (1.39) (1.40) Vztah (1.32) pak můžeme zapsat jako <*|p>= 1 {iTtfl) w exp (1.41) Znovu zdůrazňujeme, že ani rovinná vlna, ani Diracova delta funkce nepatří při korektním přístupu do uvažovaného Hilbertova prostoru. Také není možné, aby nekonečně rozměrný Hilbertův prostor měl zároveň spočetnou (v našem případě {|hn))i nespočetnou (v našem případě ||x)j nebo ||p)jbázi. Přesto však při řešení standardních problémů kvantové mechaniky nevede nekorektní postup k chybným výsledkům. Je to pravděpodobně dáno příznivými vlastnostmi vzájemného vztahu prostoru ket vektorů a prostoru bra funkcionálů -matematicky korektní formulace je vytvořena po zavedení tzv. Gelfandova tripletu (také nazývaného rigged Hilbert space). 1.5 Příklad - lineární harmonický oscilátor Hamiltonián lineárního harmonického oscilátoru je H 1 2 niŕy 2 p +-X 2m (1.42) Hamiltonovy rovnice jsou dx dli dt <3p m Zavedeme bezrozměrnou proměnnou dp dt dli dx m co x (1.43) 1 m co 1 v 2hj X + l 1 y/2 2mha> (1.44) Pro tuto proměnnou dostáváme snadno řešitelnou rovnici -^- + iť»a = 0 ^> a = aexpí-ičytl , dt L J (1.45) kde a je libovolná komplexní konstanta. Vyjádříme-li souřadnici a hybnost pomocí a a a , dostáváme * = í-»-jV.-) • p4^F)V*') ■ \2mcoJ v 7 i ^ 2 J v 7 Po dosazení do (1.42) dostáváme H =^(aa* + a*a}ha> . (1-47) Záměrně dbáme na pořadí součinitelů, protože tak můžeme hned napsat kvantově mechanický vztah - komplexně sdružená veličina odpovídá hermiteovsky sdruženému operátoru. Můžeme tedy vztahy (1.46) a (1.47) přepsat na ŕ V/2 / \l/2 (a + a + ) , p = - —— (a-a+) (1.48) 2m© J v ' \\ 2 ) Ú=^[ää+ + ä+ä)ha> . (1.49) Operátory ä a ä+jsou hermiteovsky sdružené, operátory fyzikálních veličin x, p a H jsou hermiteovské. Z komutační relace pro operátory x a p [x,p] = iM (1.50) dostaneme po dosazení z (1.48) komutační relaci pro operátory ä a á+ [á,á+] = i . (i.5i) Dosazením za áa+ ze (1.51) do (1.49) dostáváme pro Hamiltonův operátor lineárního harmonického oscilátoru výraz H^N+Iljftíy , Ň = á+á . (1.52) Operátor N má jako vlastní hodnoty nezáporná celá čísla. Důkaz není obtížný. Vezměme nějaký normovaný vlastní vektor |n^ s vlastní hodnotou n. Máme tedy H Ň|n) = n|n) S n = (n|Ň|n> = ((n|ä+)(ä|n» = |(ä|n))|2 > 0 . (1.53) Dále z komutačních relací N,ä Ň,ä ä + S Ň(ä+|n» = (n + l)(ä+|n)) , -ä : (1.54) > Ň(ä|n» = (n-l)(ä|n)) . Je tedy ä+|n) vlastním vektorem operátoru N s vlastní hodnotou n + 1 a ä|n^ vlastním vektorem operátoru N s vlastní hodnotou n-1, tedy ä+|n) =/ln|n + l) , ä | n) = //n | n -1) . (1.55) Konstanty An a //n získáme z I^J2 =|(ä+|n))|2 = ((n|ä)(ä+|n» = (n|ää+|n) = (n|Ň + Í|n) = n + l , ä (1-56) |//n| = (ä|n)) = ((n|ä+)(a|n)) = (n|ä+ ä |n) = (n|Ň|n) = n . Konstanty zvolíme jako reálná čísla a dostáváme tak konečné vyjádření působení kreačního ( ä +) a anihilačního (ä ) operátoru na vlastní vektory operátoru N ä+|n) = (n + l)1/2|n + l) , a|n) = n1/2|n-l) . Přirozeně Ň|n) = ä+ä|n) = ä+(ä|n)) = n1/2ä+|n-l) = n|n) . Pro Hamiltonův operátor lineárního harmonického oscilátoru máme pak (1.57) (1.58) Vektor popisující základní stav s n=0 splňuje ä|0) = 0 . Zapíšeme-li tento vztah s operátory v souřadnicové representaci, dostáváme rovnici dx h (1.59) (1.60) (1.61) jejiz normovane reseni je ho (x) í V/4 ' m co 1 v Ttfl j exp m co 2 ■x 2h (1.62) Funkce, odpovídající vyšším energiovým hladinám dostaneme podle (1.57) jako ti dlv,(xp 1 m co 1 V, (x) m co dx (1.63) 2. Princip superposice 2.1 Feynmanova formulace 1. Pravděpodobnost P, že v ideálním experimentu nastane nějaký jev, je dána druhou mocninou absolutní hodnoty komplexního čísla tj>, které nazýváme amplitudou pravdepodobnosti P =|4 . (2.1) 2. Může-li k nějakému jevu dojít několika možnými způsoby, a nerozlišujeme-li v experimentu jednotlivé způsoby, je celková amplituda pravděpodobnosti jevu dána součtem amplitud pravděpodobnosti jednotlivých způsobů ^ = 2>n , P =|4 . (2.2) n 3. Může-li k nějakému jevu dojít několika možnými způsoby, a rozlišujeme-li v experimentu jednotlivé způsoby, je celková pravděpodobnost jevu dána součtem pravděpodobností jednotlivých způsobů P„=Kľ , P=ZPn • (2-3) n 2.2 Formulace Landaua a Lifšice 1. Stav soustavy je popsán komplexní funkcí souřadnic konfiguračního prostoru *F(q), kvadrát modulu této funkce určuje hustotu pravděpodobnosti; |^(q)|2 dq je pravděpodobnost toho, že při experimentu nalezneme souřadnice v intervalu q,q+dq. Součet pravděpodobností všech možných hodnot souřadnic musí dát jednotku, je tedy pro vlnovou funkci j]Y(q)|2dq = l . (2.4) 2. Stav podsoustavy chrarakterizované souřadnicemi q, která je součástí soustavy popsané funkcí souřadnic konfiguračního prostoru Y(q,Q) je popsán maticí hustoty /?(q,q'^; /?(q,q)dq je pravděpodobnost toho, že při experimentu nalezneme souřadnice v intervalu q, q+dq a platí p(q,q') = jvP(q,Q)vP*(q',Q)dQ . (2.5) 3. Vede-li ve stavu s normovanou vlnovou funkcí ^n(q) nějaké měření fyzikální veličiny f k určitému výsledku fn, popisuje vlnová funkce Y(q) = 2>nYn(q) , 2>n|2=l (2.6) n n stav, ve kterém naměříme hodnotu fn s pravděpodobností an . 4. Nachází-li se soustava před měřením ve stavu s normovanou vlnovou funkcí x¥n (q), potom při měření fyzikální veličiny f nalezneme s určitostí hodnotu fn , ale po měření bude soustava ve stavu popsaném normovanou vlnovou funkcí On (q), a pravděpodobnost nalezení hodnoty fm v okamžitě následujícím měření bude bm , kde bm=jVm(q)On(q)dq , Z|bm|2=l • (2.7) m 3. Matematický popis 3.1 Základní popis - Hilbertův prostor 1. Stav soustavy je popsán paprskem v Hilbertově prostoru H c|^, kde |^)eH,ceC. 2. Dynamické proměnné jsou representovány hermiteovskými operátory v tomto prostoru. Poznámky: K prostoru ket vektorů c\y) zkonstruujeme duální prostor bra vektorů pomocí jednoznačného zobrazení \a)^{a\ , ca\a) + cfi\j3)<^ca(a\ + cfi(j3\ . (3.1) Skalární součin v Hilbertově prostoru H definuje vnitřní součin bra a ket vektorů (a\j3) = (\a},\j3)) . (3.2) Připomeňme známé vlastnosti skalárního součinu (|f),c|g))=c(|f>,|g» , (c|f),|g)) = c'(|f),|g» , ď>.lí»=(lg>.lí»" • Hermiteovsky sdružený operátor je definován pomocí vztahu (|f>.Ô|g»=(ô*|f>.|g» . (|f),Ô|g)) = (|g),ô1f))* . (3.4) 3.2 Axiomy 1. Výsledkem měření fyzikální veličiny může být pouze jedna z vlastních hodnot odpovídajícího operátoru. 2. Nachází-li se soustava ve stavu, který odpovídá vlastní hodnotě operátoru A rovné an je pravděpodobnost toho, že měření veličiny B dá hodnotu /?m rovna |(/?m|an)| 'kde k\an) = an\an) , B|/?m) = /?m|/?m) • (3-5) Obdobně pro spojité spektrum operátoru B je pravděpodobnost toho, že měření dá hodnotu z intervalu(0,0+áp) rovna |(/?|an)|2 d/?. 3. Operátory A a B odpovídající klasickým veličinám A a B splňují komutační relace A, B AB-BA=i/zC kde klasická veličina C je dána Poissonovou závorkou klasických veličin A a B C={A,B} = £ f d A dB d A dB^ (3.6) (3.7) <3q; d P; d P; <3q; 3.3 Reprezentace, rozklad jednotky Vlastní hodnoty hermiteovského operátoru jsou reálná čísla a vlastní vektory příslušné různým vlastním hodnotám jsou ortogonální. Důkaz není obtížný. Pro hermiteovský operátor platí a (3.8) Á|a) = a|a> , (a/|Á=(a/ Po vynásobení první rovnice bra vektorem druhé rovnice ket vektorem |a^ a odečtení dostáváme (a-a'*^(a' | a^ = 0, odkud plyne tvrzení. Při výpočtech je užitečné, jsou-li vlastní vektory normovány na jednotku, tj. (a|a^ = l. Obecný stavový vektor pak můžeme napsat jako lineární kombinaci vlastních vektorů nějakého hermiteovského operátoru (předpokládejme operátor s diskrétním spektrem) k)=ZCnk) » Cn=(ank) ■ (3-9) n Z normovači podmínky i//) = l dostaneme (H^) = ZZCnCl(am|an) Z Cn CI = 1 » n m n l = ZCnC;=Z => 0-10) n n V n y Výše uvedený zápis jednotkového operátoru budeme velmi často využívat. 3.4 Vlnová funkce Velmi důležitým operátorem se spojitým spektrem je operátor souřadnice, který bude přirozeně mít jako vlastní hodnoty příslušné souřadnice Q|q) = q|q) • (3.11) Průmětem stavového vektoru do vlastního vektoru operátoru souřadnic je vlnová funkce ^(q)-(qk) , ^„(q)-(q|an> . (3.12) V souřadnicové reprezentaci tedy píšeme *(q) = 5>n*n(q) , cn=jV(q)Y;(q)dq (3.13) n a normovači podmínky máme vyjádřeny jako j>m(qK(q)dq = smn , Xcn< = jvi/(q)^(q)dq = i • (3.14) n Obdobně pro operátory se spojitým spektrem ¥(q) = Jcf¥f(q)df , cf =j¥(q)¥*f(q)dq (3.15) a jVf(q)rg(q)dq = j(f-g) , jcf c*f d f = jV(q)Y* (q)d q = 1 . (3.16) 3.5 Maticová reprezentace Napíšeme ještě jednou nej důležitější vztahy. Vlastní vektory hermiteovského operátoru tvoří ortonormální bázi (am|an> = ^mn > (a f | ag ) = S ( f " g ) , Ik)W=i . j|af)(af|df=i • (3'17) n Koeficienty rozkladu obecného stavového vektoru | v dané bázi získáme jako cn=(ank) > cf=(afk) • (3-18) V dané bázi lze vyjádřit působení operátoru na stavový vektor jako maticové násobení \l) = B\v) => (ank> = (an|BÍ^|am>(am|y> = 2:(an|B|am)(am|^> , (3.19) tedy 15 khZBnJO • (3.20) m Matice operátoru v bázi tvořené jeho vlastními vektory je diagonální A>m=(an|Ä|am) = amJnm . (3.21) Pro komutuj ící operátory A a B platí (at|B|aj)= (a; |B£|ak)(ak | Á|aj) , k k (3.22) ai(ai|B|aj) = aj ^ iB^j) => (a; |B|aj) = (a; |B|a;)ó{) . 3.6 Zápis Schrôdingerovy rovnice v maticové reprezentaci Pro jednoduchost uvažujme Hilbertův prostor konečné dimenze s ortonormální bází || n^j. Upravme Schrôdingerovu rovnici -||^(t)) = H|^(t)) (3.23) na i^(m|^(t)) = (m|H^|n)(n|^(t)) . (3.24) CIL n Rovnici (3.23) jsme zleva vynásobili vektorem báze(m| a na pravé straně jsme vložili mezi hamiltonián a stavový vektor jednotkový operátor. S označením Cn(t) = (n|^(t)) , Hmn=(m|H|n> (3.25) přepíšeme (3.24) na i^ = ZHmnCn(t) . (3.26) Platí přirozeně Hmn = H;m . (3.27) Pro koeficienty Cn (t) platí (opět trik s vložením jednotkového operátoru) n n Pro souřadnicovou reprezentaci jsou úvahy obdobné - jen dimenze je nekonečná a není spočetná. Maticové elementy hermitovského operátoru souřadnice v bázi jeho vlastních vektorů jsou diagonální 16 (x2|x|x,) = x2(x2|x1) = x1(x2|x1) => {x2\xí)~ ó(x2-xí) . (3.29) Normování vektorů báze a jednotkový operátor jsou (x|y) = J(x-y) , j]x)(x|dx = l . (3.30) Schrôdingerovu rovnici (3.23) napíšeme v souřadnicové bázi jako i^^^ = j(x|H|y)^(y)dy , (3.31) kde jsme označili y/(x) = (x\¥) . (3.32) Časovou derivaci nyní píšeme jako parciální, aby byla odlišena od derivací podle prostorových souřadnic - to u diskrétní báze nebylo třeba. Jak vypadají komutační relace? Pro souřadnici a sdruženou hybnost máme xp-px = iM . (3.33) Postupnými úpravami dostaneme j(^|x|y)(y|p|x2)dy-J(x1|p|y>(y|x|x2)dy = i/z(x1|x2) , j(^|y|y>(y|pK)dy-j(x1|p|y)(y|x2|x2)dy = i/z(x1|x2> , (3.34) JyJ(x1-y)(y|p|x2)dy-Jx2(x.|p|y>J(y-x2)dy = i/zJ(x.-x2) a tedy nakonec (x.-x2)(xl\p\x2) = ihó(x.-x2) => (x,iřK)=*±fca=iAM^) . <3-35> i dxj dx2 Jak je to s druhou mocninou? dJ(Xl-y) dó(y-x2) (xi|p2|x2> = j(xi|p| y>(y|p|x2>dy = -^ h 2 dx, dy dy: C j2 -2 (3.36) d2^"y^(y-x2)dy = ^d2^-^=-^d2^VX2) • dxjdy dxxdx1 dx1 Zjednodušení zápisu / i-i \ f/ i~i w i \ f dJ(x-y) . . hdi//(x) (x|p|y/) = J(x|p|y)(y|y/)dy = ih-y---^(y)dy = ---(3.37) j y ix nebo 17 (x| p2 \w) = j(x|p2| y)(yk)dy = -h2 rd2ó(x-y) . , ,d>(x) V(y)dy = -ft2 v2 ; • (3.38) dxz 3.7 Relace neurčitosti Mějme dva hermitovské operátory a a b. Jejich komutátor je antihermitovský operátor i C , kde C je hermitovský a, b iC (3.39) Zavedeme označení pro střední hodnotu operátoru ^Ó^ = (^/|Ó|^/), přičemž ^|^ = 1 a definujeme neurčitost jako AO: Zobecněnými relacemi neurčitosti nazýváme nerovnost 1 a aab> (^|[á,b]k> K důkazu tvrzení vytvoříme operátor ó = (á-(á)) + u(b-(b)) , kde A je reálný parametr. Pro operátor 0+ O platí (3.40) (3.41) (3.42) (¥\Ô+Ô\¥) = {(¥\Ô+){Ô\¥)) = (Ô|^>) >0 (3.43) Rozepsáno takže (H{(Ä-(Ä))-í^(b-(b))}{(Ä-(Ä))+í^(b-(b))}|^)>0 , (3.44) S použitím (3.39) tedy (aä)2 + /12(ab)2 + í/1(^|[Ä,b]|^)>0 . (aä)2 + ^2(ab)2-^(č)>o . (3.45) (3.46) Jako kvadratický polynom v Á nemůže mít reálné kořeny, nesmí tedy být diskriminant kladný, tj. musí platit 2 / „x2/ „X2 (č) -4(aÄ) (ab) <0 , (3.47) 18 Takže po odmocnění dostáváme skutečně hledanou nerovnost (3.41). Mezní rovnost nastane právě tehdy, když podle (3.43) Ô|y/0) = 0 (a+íAb)\vs0) = ((a) + ía(b))\vs0) . (3.48) Nejznámějším příkladem jsou Heisenbergovy relace neurčitosti pro operátory souřadnice q a k ní příslušné hybnosti p h AqAp >■ (3.49) V souřadnicové representaci A=p=-— , B=q=x , C=T i dx i A, B -hl (q) = xo > (p> = Po > ^: Rovnice pro stav s minimální neurčitostí je pak f y/(X): f \ i_P(L+ ^ v dx 2(Sx) Normovaným řešením této rovnice je Gaussovo klubko 1 y/(x) j ^(x)=(^Wexpip»x"^ Připomeňme si, že pro harmonický oscilátor jsme analogicky ke (3.48) měli |0) = 0 , í V/2 ' m co 1 v 2h j x + i 2mha> V souřadnicové representaci potom dostaneme rovnici d^0(x) + m^(x) = o dx h (3.50) (3.51) (3.52) (3.53) (3.54) s normovaným resenim ^o(x): í V/4 1 m co 1 exp m co 2 --x 2h (3.55) 19 4. Základní operátory v souřadnicové representaci 4.1 Hamiltonův operátor (hamiltonián) Vlnová funkce úplně určuje stav soustavy. Zadání vlnové funkce v určitém okamžiku musí tedy určovat její chovaní v budoucnosti, musí proto derivace ô^/ôt^ t lineárně záviset na ^(to). Obecná závislost je (Schrôdingerova rovnice) ih— = Ux¥ dt (4.1) kde H je nějaký lineární operátor, faktor \h je vyčleněn pro korespondenci při kvasiklasické aproximaci. Tam předpokládáme vlnovou funkci ve tvaru = Aexp{iS//ž|, kde A je pomalu se měnící amplituda a S/h rychle se měnící fáze vlny. S je klasický účinek (řešení Hamiltonovy - Jacobiho rovnice), /zje Planckova konstanta. Potom ih dS dt dt dS_ " dt f VP = H dS_ dv ,r ,t (4.2) kde H je Hamiltonova funkce. Této fyzikální veličině přiřadíme operátor H . Hamiltonův operátor H je hermiteovský, což vidíme z následujících úprav Aj|4,(q,t)fdq= Í^MT(q,t)dq+ U'(q,t)^Mdq = dtJI 1 dt I dt J J -i|[H*(q,t)Js'(q,t)dq+i|S',(q,t)H*(q,t)dq= (4.3) H -H Y(q,t)dq = 0 H = H 4.2 Operátory hybnosti a momentu hybnosti Uvažujme uzavřenou soustavu částic bez vnějšího pole. Hamiltonián soustavy se nezmění při paralelním přenosu soustavy o libovolnou vzdálenost, budeme však uvažovat jen infinitesimální posunutí, tj. transformaci —»rá +Sv . Při ní se vlnová funkce (souřadnicová reprezentace stavového vektoru) transformuje jako Y(fa+jf)=Y(fa)+jf-2:vaY(fa)=ôY(fa) , a o = i + jf.£va . (4.4) 20 Tvrzení, že nějaká transformace nemění hamiltonián, znamená toto: transformujeme-li funkci H , je výsledek stejný, jako když působíme H na transformovanou funkci 0*P . Je tedy O,H 0 . (4.5) V důsledku homogenity prostoru komutuje s hamiltoniánem operátor XVaH"HlVa=0 . (4.6) a a Vzhledem k tomu, že invarianci vůči posunutí odpovídá v klasické mechanice zákon zachování hybnosti, bude operátor hybnosti úměrný operátoru V. Operátor hybnosti jedné částice je tedy Í3 = -V (4.7) i a pro kvasiklasickou vlnovou funkci PY = (VS)Y . (4.8) Uvažujme opět uzavřenou soustavu částic bez vnějšího pole. Hamiltonián soustavy se nezmění při otočení soustavy o libovolný úhel kolem libovolné osy, budeme však uvažovat jen infinitesimální pootočení, tj. transformaci —+ J^xra. Při ní se vlnová funkce transformuje jako Y(fa + Jf) = Y(fa) + 2(^xfa).VaY(fa) = ÔY(fa) , a Ô = Í + ^-£faxVa . (4.9) V důsledku isotropic prostoru komutuje s hamiltoniánem operátor ^faxVa : a ZfaXVaH-H£řaxVa=0 . (4.10) a a Bezrozměrný operátor momentu hybnosti jedné částice 1 je í = -i(řxv) . (4.11) Operátor momentu hybnosti (rozměr Planckovy konstanty) je pak L = fxf = -fxV (4.12) i a pro kvasiklasickou aproximaci tedy 21 LY = (fxVS)vP . Připomeneme podmínku toho, aby operátor byl hermiteovský: ([Vy/*-Vy/+\J y/y/*]ňdS + jV* [-VU]y/dV = JV [-VU]^dV . Opět jsme využili skutečnosti, že integrand integrálu po povrchu v nekonečnu je roven nule. 1 Kromě známější Gaussovy věty Jdiv f dV = (j) f -ndS platí také Jgrad f dV = (j) f ndS 24 5. Schrôdingerova rovnice pro stacionární stavy 5.1 Částice v potenciálovém poli - souřadnicová representace Budeme se zabývat stacionárními stavy - proto musíme předpokládat, že hamiltonián dané úlohy nezávisí explicitně na čase. Hamiltonova funkce klasické úlohy bude tedy H(p,ř) = ^-+U(ř) . (5.1) V souřadnicové representaci tak obecná Schrôdingerova rovnice (4.1) získá separací časové proměnné Y(f,t) = ^(f)expí-^Etj (5.2) tvar h2 A^(ř)+U(ř)y/(ř) = Ey/(ř) . (5.3) 2m Klasicky se částice může nacházet pouze v oblasti prostoru, kde E >U (f). V kvantové mechanice je nenulová pravděpodobnost nalezení částice i v oblastech s E = 0 . (5.4, Budeme uvažovat obecný průběh potenciální energie s volbou nulové hladiny v kladném nekonečnu U(oo) = 0a s hodnotou U (-°°)=U0 >0. Funkce U(x) má alespoň jedno minimum, kde nabývá záporné hodnoty Umin <0. Pro hodnoty energie, které odpovídající pohybu na klasicky ohraničené úsečce, tj. pro UminU0 máme opět spojité spektrum s rovinnými vlnami jako asymptotickým řešením. Asymptotický tvar vlnové funkce je tedy ^/(x)äí A[ exp(ikj x) + Bj exp(-ikj x) , x^-oo , ^/(x)ä; exp(ik2 x) + B2 exp^ikj x) , x^-oo . Schrôdingerova rovnice je lineární, musí tedy řešení obsahovat jen dvě nezávislé konstanty, tedy A1=aAt + j3Bi . (5.7) Místo uvedení podobného vztahu pro B2 využijeme toho, že i komplexně sdružená funkce je řešením stacionární Schrôdingerovy rovnice, tj. y/*(x)äí Aj exp(-ikj x) + Bj* exp(ikj x) , x^-oo y/(x)äí Aj exp(-ik2 x) + B2 exp^k^ x) , x^-oo takže porovnáním vztahů (5.6) a (5.8) máme z (5.7) vztah B* =í*B*+ /?A(* , a tedy A2=^A1+^B1 , B2 =/?* A, + a* Bj . Pro proudovou hustotu platí rovnice kontinuity ^ h (5.8) (5.9) (5.10) div J = 0 2 mi yr Vy/- y/Vy/ a tedy k1(|A|2-|B1|2) = k2(|A2|2-|B2|2) , (5.11) (5.12) 4 v některých modelových úlohách je v potenciální energii člen úměrný Diracově delta funkci U=u^J(x-a). Potom je spojitá pouze vlnová funkce a derivace má v bodě x = a nespojitost y/' (a +0)-y/' (a-0) = 2m/u/li2 . 26 po dosazení z (5.10) pak H2-M2=r • (5-i3) ^2 Nyní máme pro amplitudy odrazu r,r; a průchodu t,ť pro vlnu přicházející z -oo (nečárkované veličiny) nebo z + oo (čárkované veličiny) J\ a A, a (514) A = ° : B2 «■ B2 a Je-li také potenciál U0 = 0, máme kj =1^ a pro komplexní amplitudy odrazu a průchodu platí z optiky známé Stokesovy vzorce |r | = |r71 , |t| = |ť| , |r|2+|t|2=l , rť+r;*ť=0 . (5.15) 5.3 Harmonický oscilátor a koherentní stavy Hamiltonián jednorozměrného harmonického oscilátoru (1.42) vede v souřadnicové representaci na Schrôdingerovu rovnici h2 dV(x) iruy2x2 , , , , -^T^ř*—^-^ ■ <5-16) Zavedeme bezrozměrné proměnné (mřyV/2 El S = {— J X • n = J7o~2 <5'17) a dostaneme rovnici y/" +(2n + l-^2)^/ = 0 , (5.18) kde čárkou značíme derivaci podle j NV2 f exp mco 2 x K2h j dx exp ^ mfö> 2^ x v 2h ^n-l(X) j (5.23) Už v roce 1926 si Schrôdinger povšiml, že vhodná kombinace stavů (5.21) vede ke stavu, kde hustota pravděpodobnosti výskytu je blízká klasickému rozdělení. Mějme tedy Y(x,t) = f>ny/n(x)exp[-i(n + l/2W (5.24) n = 0 a zvolme a (T n!) Po dosazení do (5.24) vP(x,t) = VTexP V 4y n = 0 V 2y í 2 Y n = 0 J V2y (5.25) mco exp or . ť»t n=0 [örexp(-infö>t)]n 2nn! H. mco exp m co 2 --x v 2h j (5.26) S využitím vztahu E. Schrödinger: Der stetige Übergang von der Mikro- zur Makromechanik, Die Naturwissenschaften 28 (1926), 664 - 666. Schrödingerova rovnice tehdy byla rovnicí komplexně sdruženou k současné. 28 S í t I Z-rexP "T Hn(t) = exP n~n! { 2j ŕ2A ■s2+2st-- 2 (5.27) vyjádříme (5.26) s označením a = -sjh/mcoa jako vP(x,t) = í A1/4 exp 1mco f a ^ <»t^ -asin<»t x—cos<»t H-- Ä ^2 J 2 exp m© (x-acosŕyt)2 (5.28) Počítejme teď střední hodnotu operátoru souřadnice a jeho druhé mocniny. Máme (x) = |vP*(x,t)xvP(x,t)dx: í y/2 r 1 mco 1 (x2)= ]vP*(x,t)x2vP(x,t)dx: ' mco 1 x exp mco , X2 --(x-acosŕytj dx = acosŕyt , (5.29) x exp m<», s.2 --(x-acosŕytj dx: (5.30) a2cos2ť»t + ■ 2mco Pro neurčitost tak dostáváme (Ai)1 =(*')-(i) Obdobný výpočet pro operátor hybnosti dává co (P/ = - ¥ (x,0--J-Lá h 2mco (5.31) dx x = -mcoa smcot (5.32) (p2^ = -h2 Y*(x,t)d y^,t^dx = (m^a)2sin2^t + */ -CO takže pro neurčitost máme hmco (AP)2=(P2)-

2 hmco (5.33) Střední hodnoty operátoru odpovídají klasickým kmitům s amplitudou a, přitom relace neurčitost dávají minimální možnou hodnotu Ax.Ap = — 2 (5.34) 29 Stav (5.28) má typické vlastnosti tzv. koherentních kvantově mechanických stavů - v určitém smyslu je blízký klasickému chování a realizuje minimální možnou hodnotu v relaci neurčitosti pro kanonicky sdružené operátory. 6. WKB aproximace 6.1 Odvození aproximace6 Tato aproximace má několik názvů, podle jmen (Wentzel, Kramers, Brillouin - někdy také WKBJ - Jeffreys) nebo oblastí užití - kvasiklasická, nebo také semiklasická aproximace. V jednorozměrném případě má jednoduchou formu. Do Schrodingerovy rovnice ^ + |?[E-V(x)>(xM (6.1, dosadíme a dostáváme -(s{) + hSÍ + h2S'2 + ..)\i(hS'ú+h2SÍ' + h3S"+...) + 2m(E-V) = 0 . (6.3) Čárkou značíme derivaci podle souřadnice x. Anulování koeficientů u jednotlivých mocnin h dává soustavu rovnic (Só)2 = 2m(E-V) , iSÓ/-2S„S1/=0 , iS"-(S{f -2S'0 S'2 = 0 , ... . (6.4) Většinou najdeme řešení prvních dvou rovnic a třetí použijeme k odhadu platnosti takové aproximace. Hned u první rovnice musíme odlišit, zda jde o klasicky dovolenou nebo zakázanou oblast, tj. zda2m(E-V) = /z2k2>0 nebo 2m(E-V)=-ťr2<0. Máme tak S0 = +h[k(š)dš , S0 = ±ihj\(š)dš ■ (6.5) Integrační konstanta je dána dolní mezí integrálu. Druhou rovnici a její řešení zapíšeme jako s;4f s^lK/ => e*p(iS0: c ^ . (6.6) C Třetí rovnice vede na 6 Možno vynechat a spolehnout se v dalším na tady popsané vztahy. 30 Řešením je (pro stručnost píšeme jen řešení v klasicky dovolené oblasti) S2(x): IjL 4dx f i "N vP(x)y +- f i Y d^ P(í). d^ (6.8) Pro zanedbání příspěvku S2 musí tedy být \hS2 «1 dA dx «1 (6.9) tedy vyžaduje se pozvolná změna redukované de Broglieho vlnové délky. Jinak zapsáno mh F «1 , F dV dx (6.10) Je vidět, že aproximace nebude platná v okolí bodů xp, kde přechází dovolená klasická oblast do zakázané. V těchto bodech p(xp) = ^ 2m E-V(xp) =0. Navázaní řešení se provádí tak, že v okolí bodů přechodu vezmeme první členy Taylorova rozvoje potenciální energie dV V(x)=V| + dx (x-xp) + ... = E-F(x-xp) , (6.11) kde F je záporné při přechodu z dovolené do zakázané oblasti a kladné při přechodu ze zakázané do dovolené oblasti. V malém okolí bodů přechodu pak hledáme řešení Schrôdingerovy rovnice dx2 ■ + F(x-xpy = 0 . (6.12) Řešením rovnice dx jsou Airyho funkce Ai(x) a Bi(x) , jejichž asymptotické chování je pro x<0 Ai(x) a pro x>0 (6.13) 1 . (2, ,3/2 n \ „./ \ -sin — x H— , Bi x « ,, wo, 4j K) 7txl2\x\lA 13 -, , ,,//! Sltl _ 7txl2\T \v 1 (l\ i3/2 cos| — |x| +— (6.14) 31 Ai(x)^^^exp["fx3/2] ' Bi(x)*^exp(fx3/2] • (6-15) Chování Airyho funkcí je dáno tím, že jsou nalezeny pomocí transformace (jak funkce, tak proměnné) rovnice (6.13) na rovnici pro Besselovy nebo modifikované Besselovy funkce řádu 1/3. V dostatečné vzdálenosti od bodů přechodu pak navazujeme řešení na řešení získané WKB aproximací. Uvádíme zde výsledek (Kramersova spojovací pravidla): Bod přechodu x= \, zakázaná oblast nalevo (tj. pro x< \) od dovolené x - a x = b Jiný způsob odvození spojovacích pravidel si ukážeme na příkladu, kdy x=a a x=b jsou body obratu, tedy U(x)>E xE x>b Kvasiklasická řešení v jednotlivých oblastech jsou 32 v/(x)=4?expfH|p|dxj ■ v/(x)=Äexpfe!pdTÄexpHipd: =f exp{iipdx}+ÄexpHipdx) • Kx)=^expHiipidx} (6.19) V okolí bodů obratu je E-U(x)«—(x-a) , E-U(x)«-^-(x-b) . (6.20) W 2m V ; W 2m V ; V tomto okolí (ale stále dostatečně daleko od bodů obratu) můžeme psát 2a ín ^3/2 2^«(a-x)V4 U~ " ^(x) = ti^7—vžTexpj—r(a"x)3/ř ' ^(x): ^(x-afeXPlT'(x-a) | + ^(x-af eXTT'(x-a) j v^M-¥' x-b = pexpji^} , a - x =/?exp|i(^-^)| , x-b =/?exp|i(^-2^-)| , a - x =/?exp|i(^-^)J (6.21) (6.22) Obchodem bodů obratu v horní (spodní) polorovině dostáváme podmínky spojitosti C2=|exp{i^} , D2=|exp{-i^} , C1=|exp{-i^} , D1=|exp{i^} a nakonec tedy pro a < x a(l-a) exp 1- J K(š)dš ( é a(1ra) ^ = exp -?-+ J K{£)dš j (6.37) 2exp[ | cos I(x)-^ ±exp -| cos I(x)+^ 2B f a(l+a) (6.38) cos J k(f)"f-í 36 pro a(l-a)/2mV0 ^(x)=^-JL\LTTjL-^2 > k(4 (6.41) h V a /z \ a" V klasicky dovolené oblasti musí být obě vyjádření vlnové funkce (6.38) shodné. Přepíšeme proto druhé vyjádření jako f a(l+a) ^ J k(ŕ)dŕ~ 2B cos 2B Wl(x)+^-0 , (6.42) kde a(l+a) 0= j k(^ . (6.43) V prvním členu prvního výrazu provedeme záměnu cos(l-^/4) = sin(l + #/4) a pak již můžeme provést porovnání obou výrazů Aexp^jsin^I (x)+^j±^exp^jcos^I (x)+^ 2Bsin0sin[^I (x)+^j + 2Bcos0cos[^I (x)+^j (6.44) Porovnání koeficientů u sinu a kosinu dává dvě homogenní rovnice pro A a B, které mají netriviální řešení při ±sin0 = 2exp(y)cos0 , exp^/2) (6.45) B= A- sin© Konstantu A pak dopočteme z normovači podmínky 37 j>s(x)|2dx= j>a(x)|2dx = l (6.46) Pro velké hodnoty tj> (bariéra mezi jámami je málo prostupná) budeme hledat přibližné řešení pro 0 jako 5 . (6.47) V dosavadních výpočtech jsme nepoužili konkrétní tvar potenciálu. Teď se vrátíme k modelovému potenciálu. Máme 0 í l2-fe#dx = ^a^2 \^dt = ?* h V a2 h V ha (6.48) Při poslední úpravě jsme po výpočtu integrálu (ít/2) nejprve dosadili a2 = E/VQ a nakonec V0 = m&>2a2/2 . Výpočet (f) je obdobného charakteru a(l-ce) h \ a2 J>/ dt (6.49) Integrál jde vyjádřit elementárně j-yjt2-a2 dt = - Jl-a + a ln-, i+Vi-«2 (6.50) My však vzhledem k E«cV0^>a«cl polžíme hodnotu integrálu rovnu jedné polovině a máme tak m co a /z Dostáváme tak výsledné energiové hladiny (pro základní stav s n=0) E-E-^ E-E+^ (6.51) (6.52) kde E0 je energie základního stavu harmonického oscilátoru a SE rozdíl mezi vyšší (odpovídá antisymetrickému stavu, vlnová funkce má jeden uzel v x=0) a nižší hladinou 38 (odpovídá symetrickému stavu, vlnová funkce nabývá nulové hodnoty jen v nekonečnu). V rámci našeho přiblížení ^ hco _^ hco ( mcoa En =- , óE =-exp-- 0 2 tu K n (6.53) V rámci téhož přiblížení máme pro amplitudy Aa B jak v symetrickém, tak antisymetrickém Stavy molekuly, kdy jsou vodíkové atomy (až na malou pravděpodobnost danou tunelovým jevem) zcela napravo nebo nalevo od dusíkového atomu, dostaneme jako lineární kombinace kR}=^(k)+k}) ' kL)=^(k)-k}) (6.54) Tyto stavy ovšem nejsou stacionární (jako stacionární jsme určili symetrický a antisymetrický stav). Periodická přeměna jednoho stavu do druhého je umožněna tunelováním potenciálovou bariérou. Je-li počátečním stavem například \i//R), jeho časový vývoj je ^l^=72 l^)exp["tEst)+l^a)exp["tEat) " (6.55) exp| -^Eót k)exp 2h -SEt ka)exp 2h -SEt Pravděpodobnost nalezení molekuly v (počátečním) stavu | y/^ je í \ \l I i i(^E ^ l + cos(tf/t) wR(t) = |(^Rk(t)>| =cos2^—tj =-^-L pravděpodobnost nalezení v převráceném stavu | i//h} je pak WL(t) = |(^Lk(t))|2=SÍn: ŕôE \ l-cos(a/t) K2h j Periodický děj - inverze konfigurace - s frekvencí si i ÔE . co ( m co a co = — = — exp--— h n v n je základním mechanismem maseru. (6.56) (6.57) (6.58) 7 Výpočet ukazuje významnou závislost na hmotnosti (velké odlišnosti u isotopů) - to je typická charakteristika tunelového jevu. 39 6.4 Tunelový jev Uvažujme o průběhu potenciální energie podle obrázku. Pro -oob máme prošlou vlnu (l+r)exp j"*r(fld£ v a y +i^exp a -J/r( = \K{š)dš . (6.63) Porovnáním výrazů (6.60) a (6.62), které musí být identické, dostáváme rovnice pro amplitudy odrazu a průchodu r + 2iexp(y)t = 1 , -r + ^-exp(-^)t = 1 . (6.64) Řešením je pak exp(^)-^exp(-^) . r=--\- , t =---- . (6.65) exp(y)+-exp(-^) exp(^) + -exp(-^) Všimněme si, že platí |r|2+|t|2 = l . (6.66) Pro nepříliš propustnou potenciálovou bariéru dostáváme přibližný popis tunelování pomocí čtverce amplitudy průchodu T = |t|2« ~ exp(- 2^) T = exp f 2b .- ^ j"^2m[v(x)-E]dx (6.67) 6.4.1 Emise vyvolaná polem Nejznámějším a nejstarším příkladem jsou vodivostní elektrony v kovu. Modelově jsou uzavřeny v potenciálové jámě konečné výšky V0. Přiložíme-li vhodně orientované elektrické pole intenzity S, vznikne pro elektron s energií E 0 a integrační interval v (6.67) je dán body a =0, b = L, kde E=V(L) ^> L = ^^ . (6.69) 41 j = 0 Dostáváme tak T(E) = exp h j^L-xd) exp 2>/2m(V0-E)yo-E h (6.70) Proud elektronů vyvolaný polem je úměrný součinu hustoty stavů pro danou energii, rozdělovači funkce (Fermiho - Diracovo rozdělení) pro danou teplotu a právě spočtené propustností. 6.4.2 a - rozpad Při a - rozpadu opouští mateřský nuklid s atomovým číslem Za- částice (jádro helia se dvěma protony a dvěma neutrony). Jadernou vazbu modeloval Gamow potenciálovou jámou výšky V0, coulombovská odpudivá interakce je popsána jako V(r) 2(Z-2). ji J2 (6.71) „Poloměr jádra" a výška bariéry jsou spojeny vztahem G. Gamow: Zeits. Phys. 51 (1928), 204. 42 . , 2(Z-2)e/2 V(R)=-i-—=V„ R (6.72) Vezmeme-li např. R~10 14m, dostáváme V0~4.10 12 jÄ;25MeV . Druhou integrační mez pro výpočet (6.67) dostaneme z V(rO = E Pro propustnost bariéry tak dostáváme 2(Z-2)e/2_V0R (6.73) T (E) = exp 2^/2mE h /7"ldr (6.74) j Integrál po substituci r=rjSÍn x snadno spočteme "ir/2 ľ" Jar n(R/r,) cos xdX = ľi 7t . |R R R —-arcsinj--J— .11-- = —r,-2JŘ7 2 1 v 1 (6.75) Protože r,»R, ponechali jsme ve výrazu pro integrál (6.75) jen první členy rozvoje. S označením f A= exp 4^2^% R , C (6.76) můžeme pak propustnost bariéry vyjádřit jako T(E) = Aexp C (6.77) Ve" J • Můžeme si představit, že v našem případě nedopadá na bariéru částice jen jednou, ale pokud neprojde bariérou, stále se volně vrací od r = R k počátku r=0 a zpět. Počet „nárazů za jednotku času" na bariéru násobený propustností dává rozpadovou konstantu -Ve exp V „ A r- f C ä = nľ=-T => ä(E) 2R V ; 2 m R (6.78) Závěrečná úvaha je jen kvalitativní, úplný kvantově mechanický výpočet tzv. kvasistacionárních stavů je komplikovanější, nicméně (6.78) velmi dobře vyjadřuje experimentálně zjištěné závislosti. 43 7. Příklady exaktně řešitelných třírozměrných problémů 7.1 Vodíkový atom Hamiltonián atomu vodíku je H ť A ť A ■A---A- 2 m lp 2m p 4^o k -rp (7.1) Zavedením nových souřadnic a nových označení pro redukovanou hmotnost a celkovou hmotnost r = r - r - mere +mprp R m, +mp m, +mp mH=me+mp (7.2) přejde (7.1) na H =■ ^ A ^ A ■A^--A- 4^-£-0 r (7.3) Irr^ R 2m Ve Schrodingerově rovnici napíšeme energii jako E + h2 K2/(2mH ) a separujeme pohyb hmotného středu od vzájemného pohybu elektronu a protonu, takže hmotný střed se pohybuje jako volná částice 2mH (7.4) a vzájemný pohyb je popsán rovnicí h2 2m Af(//(r) 4^-£'0r y/(r) = Ey/(r) . (7.5) Zapsáno ve sférických souřadnicích máme 10 ]_d_ r2 dr idiy\ 1 dr 1 a sin6> d0 dy/\ 1 <32^ siné*- 09 sin2 9 d(p2 + - 2m ,2 A E + - 4xsQr j \y=Q (7.6) 9 Přísně vzato, podle Einsteinova vztahu ekvivalence energie a hmotnosti je ÍT^ C2 vodíku v základním stavu o 13,6eV menší než (irip+m^C2. 10 Zavedením operátoru radiální složky hybnosti pr = —Íh{djdx + l/r) můžeme hamiltonián zapsat jako H 2m L kde L je operátor momentu hybnosti. 44 a můžeme přistoupit k řešení rovnice metodou separace proměnných. Vlnovou funkci hledáme ve tvaru y/(r,#^) = R(r)Xm(M , (7.7) kde Ylm (<9, dp ^ ' df Hledáme řešení (7.19) ve tvaru řady j = 0 (7.14) (7.15) (7.16) (7.17) (7.18) (7.19) (7.20) Dosazení do rovnice a porovnání koeficientů u stejných mocnin /?j dává rekurentní vztah pro koeficienty Aj [j+2(l + l)](j+l) AJ+1 -2[VJ(j+l+l)-ť Kdyby řada byla nekonečná, pro velké hodnoty j by bylo AJ=0 . (7.21) 46 v„2^ J^h^ ,.Aj(*[=tep{2íj (7.22) a funkce u(/?)by tak v nekonečnu divergovala. Musí tedy existovat nějaké jmax , kdy řada končí, tedy kdy A, +1=0 Jmax 1 1 4~s n= jmax+l + l (7.23) Funkce f (/?) je tedy polynom stupně Jmax=n-1-1 . A 2(j+l + l-n) (7.24) n[j+2(l + l)](j+l) Objevilo se nám tak další kvantové číslo (hlavní kvantové číslo) n. Ze vztahu (7.24) plyne omezení na vedlejší kvantové číslo 1. Pokud hlavní kvantové číslo pevně zvolíme, musí být l=0,l,...,n-l. Rovnice (7.19) v proměnné z = 2^ p má po dosazení *J~š = l/n tvar d2w dw z—^ + (21 + 2-z)— + (n-l-l)w = 0 dz2 V ;dz V ; a jejím řešením je konfluentní hypergeometrická funkce (7.25) W: F(-n+l + l,21 + 2,z) , F(a,y,z) = l + --+a(a + 1} — + . v ; K ' y\\ y(y+l) 2! (7.26) Až na normování jsou to zobecněné Laguerrovy polynomy K (z) = ("1)J nl^F (-n+ j , j +1, z) = ^ez£,(z- e"') (7.27) Pro atom vodíku jsou normované vlnové funkce t//alm s nejnižšími kvantovými čísly tedy 00 1/2 3/2 exp f ^ 210 A(2x) V2 q 5/2 r exp 1 200 2(2 x) 1/2 3/2 2a exp b j V j v 2ab; V: + 1 21+1 1/2 n 5/2 r exp ' r ^ V 2aBj COS<9 , sin<9exp(±i<^) (7.28) 47 Fázové faktory jsou věcí konvence, je důležité si všimnout, že pouze pro s - stavy (stavy s 1=0) je i//nQQ (0)|^0. Proto například (Lambův posuv) dochází k rozštěpení hladin 2s,y2 a 2 Pl/2 • Atom vodíku je jediným exaktně řešitelným případem - už pro helium si započtení interakce dvou elektronů vyžaduje zvláštní metody poruchového počtu. Nicméně zavedení kvantových čísel (čtvrté - spin - jsme zatím nepoužili) je nesmírně důležitým příspěvkem k popisu atomů obecně. 7.2 Elektron v homogenním magnetickém poli Hamiltonián elektronu v magnetickém poli, které popisujeme vektorovým potenciálem A a indukcí B = rot A je H=[|v-eÄ] //•B , (7.29) kde //je operátor magnetického momentu elektronu ~ eh s ju 2 m s (7.30) V této definici vystupuje operátor spinu. Protože se spinu budeme věnovat později, vezmeme jako skutečnost, že pro orientaci pole podél osy z bude možné napsat vlnovou funkci jako dvousložkovou veličinu - spinor (y/(ř,a=-l/2)y a působení hamiltoniánu na jednotlivé složky bude (7.31) 1 f 2m h_ô_ i <3x Y + eB y h2 d2 h2 d2 eBo- 2m dy 2mdz2 m ■y/(r,a) . (7.32) Ve vztahu (7.32) už jsme zvolili konkrétni tvar vektorového potenciálu Ä=-Byex. Zajímavé možnosti spojené s různou volbou tohoto potenciálu nebudeme ale rozebírat. Dosadíme do stacionárni Schrôdingerovy rovnice Hi// = Ei// vlnovou funkci ve tvaru, který bere v úvahu, že rovnice závisí pouze na souřadnici y y/ = exp 7(PxX+Pz z) h (7.33) 48 Pro funkci %{y) pak dostáváme obyčejnou diferenciální rovnici d7 + 2m dy2 tr E - acOg m 2m (7.34) kde e B m y0 eB (7.35) Rovnice (7.34) je rovnice harmonického oscilátoru, můžeme proto hned napsat vlastní hodnoty energie 1 k P 2 J B 2m (7.36) a také normované vlastní funkce 1 zn(y) aB2nn! rexp (y-y0)2 2a2, H h m co. (7.37) b vb/ Poměrně snadno se přesvědčíme, že kromě konstanty y0 můžeme vytvořit také veličinu Xq = py/(e B) + x, jejíž operátor komutuje s hamiltoniánem h ô ■ + x 0 ieB dy V klasickém popisu je bod (xg,y0) je středem kružnice poloměru pt/(eB), kde pt je velikost průmětu hybnosti p do roviny x-y. Ani pro velké hodnoty kvantového čísla nedostáváme \%n ( y)| jako rozložení hustoty pravděpodobnosti soustředěné kolem klasické trajektorie. Je třeba si uvědomit značnou (nekonečnou) degeneraci pro danou energii -z lineární kombinace stavů příslušných dané energii už něco podobného vytvořit jde. Jaká je vlastně násobnost degenerace pro určité číslo n? Uzavřeme-li elektron do krychle objemu V = Lx Ly Lz, je počet stavů s různými hodnotami (teď už diskrétními) pz v intervalu A pz roven Lz/(2^/z) Apz . Počet stavů pro px je obdobně Lx/(2^/z) Apx, ale interval Apx nesmí vést k tomu, aby bylo y0 > Ly, musí tedy být Apx = e B Ly. Celkem je tedy počet stavů s danou hodnotou energie (ještě dvojnásobná degenerace daná rovností energie pro n+ 1/2 a (n + l)-l/2) 49 eBApz {Intíf ■v 8. Některé aproximace pro poruchy na čase nezávislé 8.1 Rayleighova - Schrôdingerova metoda 8.1.1 Nedegenerované hladiny Předpokládáme, že hamiltonián je na čase explicitně nezávislý. Je složen ze dvou částí H=H0 + = E|vP) (8.1) hledáme pomocí rozkladu podle vlastních vektorů neporušeného hamiltoniánu, tj. vektorů pro které Hr YÍ0)) = E (o) i0)>: co .co W = S^Zcř)^°)) > E = 2>kE« . k=0 p k=0 Po dosazení (8.2) do (8.1) a skalárním součinu vzniklých vektorů s l^¥^ porovnáním členů u stejné mocniny a, anulování koeficientu u crk dává12 (8.2) dostaneme 1=0 c- - Ew cl m mm Tv c z—l mp P (k-1) v =Mvt(0)1í vmp \ m P / ' (8.3) 0 . Členy pro k = 0, 1,2 dávají (E(0)-E(0))c(0)=0 , í0)c(o)+/E(o)_E(o)\c(1)=yv (o) m \ m J m / j mp p ' (8.4) m m \ m / m / , mp p P 0) 12 od p Použili jsme přerovnání dvojné řady ^ ^ am n = ^ ^ aq m=0n=0 p = 0q = 0 50 Počítáme opravu ke stavu Y*0^ . Stavový vektor budeme při výpočtu normovat podmínkou (případné normování (^l^ť) = 1 můžeme provést až po ukončení poruchové řady)13 ,(o) c-' = ô m mn 0 . (8.5) Řešením soustavy rovnic pro m=n máme E(o) = E(o) E« = V„ cí0)=l , ,0) o , (8.6) ;(2) XipVpn :<2)=0 a řešením soustavy rovnic pro m^n pak ,(o) O) p 0 , c V V mp pn V. E(o)_E(o) n m V V mn nn (8.7) (E(o)_E(o)^(o)_E(o)| (E(o)_E(o)^ 8.1.2 Degenerované hladiny Patří-li stav ni s-krát degenerované energiové hladině (E*0^ = E^ = ... = E^), je třeba vhodně vybrat příslušné vlnové funkce, tj. zvolit namísto původních nové (o) (8.8) tak, aby byl operátor V pro nové vlnové funkce patřící degenerované hladině diagonální. Ve druhé z rovnic v (8.4) pro některý stav m=n; z degenerované hladiny položíme c^ =0 pro p ^ rij,..., ns. Koeficienty d; ■ získáme řešením soustavy rovnic V„„ -E(1) V„„ ••• V k=l V V -E n2 n2 (i) V V v V -E O) (8.9) Znamená to, že případné změny ve směru původního stavového vektoru neuvažujeme, počítáme jen se vznikem opravy v ortogonálním podprostoru k jednorozměrnému podprostoru nataženém na původní vektor 51 /(o) Pro nejnižší opravné členy dostáváme (indexy n; už patří novým funkcím předpokládáme, že degenerace už byla sejmuta, tj. V je v nových funkcích diagonální aV^ ^Vn n . Pokud by tomu tak nebylo, je třeba postup opakovat až do úplného sejmutí degenerace. 7(°) - Th(°) E« =V "i "i ;(2) _ ^ Xij p pl'-F P :10) = (n|+VmJin>(n|+VIim|n>(m| . Platí tedy (m| V21 m) = (n | V21 n) = (m| V21 n) = (n | V21 m) = 0 , V1|k^m,n) = 0 . Potom bude Hjk*m,n) = E<0)|k*m,n) , H1|m> = E«|m)+Vnm|m> , E« = EÍ°)+Vm Hl|n> = E«|n)+Vmn|n> , E« = E1°)+Vnn Rovnice pro vlastní hodnoty H1[a|m) + /?|n)] = ^[tf|m) + /?|n)] ÍE^-s V m nm V E{í)-s y Vmn 6 j a E{1)-s V m nm V E^-s mn n 0 vede k výslednému rozštěpení hladin E«+E« m n fE«_E«Y m n V„ 1/2 (8.11) (8.12) (8.13) (8.14) (8.15) 52 8.2 Potenciální energie jako porucha Jako neporušenou úlohu uvažujeme pohyb volné částice, popsaný Helmholtzovou rovnicí AY(0)(ř) + k2Y(0)(ř) = 0 , k = _P = (2mE)1/2 . (816) Pohyb v potenciálovém poli, které považujeme za poruchu je popsán Schrôdingerovou rovnicí Ax¥(r) + k2x¥(r) = — U(f)vP(f) . (8.17) Řešení této rovnice můžeme napsat ve tvaru Y(f) = ¥°)(f)-^JG(f-r;)U(r;)Y(r;)dsr; , (8.18) kde G je Greenova funkce Helmholtzovy rovnice AG(f-ŕ;) + k2G(f-ŕ;) = -j(s)(f-ŕ;) , . . 1 expíiklr-řl} G f-r;) = ---n. 1 " , s = 3 , An |r_r| G(r-^) = i-H«{k|r-r|} , s = 2 , G(ř-r;)=^-exp{ik|ř-ř|} , s = l . Schrôdingerovu rovnici pak řešíme iteracemi ¥n+1)(r) = ¥0)(r)-^fG(f-f;)U(fí)¥n)(fí)dsfí , n = 0,l,... . (8.20) Zůstaneme-li pouze u základní iterace (n = 0), nazývá se toto přibližné řešení pohybu v potenciálovém poli Bornova aproximace. Předpokládáme tedy (f) ve tvaru rovinné vlny a zajímáme se o vlnovou funkci daleko od oblasti působení potenciálu, tedy pro Greenovu funkci klademe (8.19) 53 . . expíikr] f ^ G(r,rj) = —f—^exp|-ikrrnf ] , s = 3 , G(r\r;): G(f,f;): (l+i)exp{ikr| iexpjikr} 2k expj-ikŕj-nf | , s = 2 exp|-ikŕj-nf | , s = l (8.21) V exponentu jsme aproximovali r -rj = r f r r2V/2 l-2nf--+\ v r r j r-nf-r; (8.22) přičemž jsme označili jako nf =f/r jednotkový vektor ve směru pozorování. Dopadající rovinná vlna je pak vP(0)(f) = exp{ik-f} = exp{ikrňi-nf} , (8.23) s označením jednotkového vektoru ve směru dopadu n; =k/k . Vlnová funkce je pak ^(f) = expjikr n; -nf j + 2tz \2nx j f (n;,ňf )exp{ikr} , (8.24) kde f (n; ,nf) je amplituda rozptylu f (ň;,hf): m 2nh2^\ 4 (s + l);r Jexp{-ikr;-ňf}u(ŕ;)vP(ŕ;)dsŕ; . (8.25) Amplituda rozptylu v Bornově aproximaci je fB(ni,nf) m -expí ^^Ijexpfikrj-^-ň^jU^^d5^ . (8.26) lictt [ 4 V trojrozměrném případě dostáváme pro amplitudu rozptylu dopředu (n; =nf) výraz m 2nn J (8.27) To je reálná veličina, což je v rozporu s optickým teorémem14 a omezuje to platnost jinak velmi užitečné aproximace na případ velmi slabého rozptylu. Podíl pravděpodobnosti toho, 14 Optický teorém je pozoruhodný vztah, který spojuje celkový účinný průřez a imaginární část amplitudy rozptylu ve směru dopadající vlny f (O) } = ——g. 54 že rozptýlená částice projde za jednotku času plošným elementem dS = r2 dQ a hustoty toku částic v dopadajícím svazku nazveme diferenciálním účinným průřezem der dť7 = |f (h;,hf )|2dQf . (8.28) Jako příklad uvedeme výpočet amplitudy rozptylu v Bornově aproximaci pro Yukavův potenciál ve třech rozměrech Aer TV 9 ■<}sn detektor U f aexp(— Av^ Z (8.26) máme ve sférických souřadnicích xp(-/lr) f (ň;,hf): 2nW -U exp ikr n;-nf cos$ shii9d<^di9r2 dr Z obrázku vidíme, že cosi9 = x máme n;-nf :2sin(é'/2). Integrál vzhledem k

-1) , JJ=0 . (8.31) Variace vzhledem k energii, která zde vystupuje jako Lagrangeův multiplikátor, dává normovači podmínku. Variace vzhledem k dává Schrôdingerovu rovnici ÓE SJ (^)-l = 0 , Ö ^=o (h-e)|^) = o . (8.32) Striktně vzato variace bra vektoru a jemu příslušného ket vektoru nejsou nezávislé, ale ve variačním počtu s nimi budeme formálně počítat jako s nezávislými veličinami, neboť platí (ó(V/\)\a) + {j3\(ó\V/}) = 0 |ar) = 0 , (/?| = 0 . (8.33) 8.4 Hartreeho - Fockova metoda selfkonzistentního pole Pro výpočet mnohaelektronových systémů je vhodná metoda selfkonzistentního pole. Předpokládáme, že spinově nezávislý Hamiltonův operátor soustavy s N elektrony je tvořen 56 částí vyjadřující interakci elektronu s vnějším polem a členem, popisujícím vzájemnou interakci elektronů soustavy H=H1 + H2 , H1=£H; i=l h2 H 1 N ~ 2 0 Z-i ik L i,fc=l (8.34) H 2m A;+eV(r:) , Vik 4^o K"fk Pro vlnovou funkci volíme pak (ľj, Sj, r2, s2,..., rN , sN Mfn'sn) ^n(4'sn) ^nN(f2,S2) ^nN(4'SN) (8.35) Jednočásticové vlnové funkce můžeme psát jako součiny souřadnicových a spinových funkcí. Budeme požadovat, aby jednočásticové funkce byly ortonormální. Variační funkcionál má v takovém případě tvar j = ž R 00 «i ^ (r7)d3r7 - £E; jV; (r7)^ (r7)d3r7 + 1 ^ Z JK 00 < 00^ (SK (4) d3r7ďfk 2 i,k=i (8.36) 1 ^ Z ^ ÍK 00 < fi)Mk ^ 0*K OQ d3r7ďfk . i,k=l Po variaci dostáváme soustavu rovnic "^Af +eV(f) + -^^ < (F')p^H^nk (f )ďf 2m 4xsnt~\- |r — r 1 k '0 k=l J k-i ,2 n 4^0 k=1 Z^k <(f')rr^^(f')d3f' r -r k-i (8.37) Mf)=EiMf) Pro celkovou energii (není prostým součtem energií Ei, neboť tak by byla coulombovská interakce započtena dvakrát) obdržíme výraz 57 k-i ^ (?) (8.38) ,2 n r -r ^ (?) Pro atom se Z protony v jádře a dvěma elektrony dostáváme /z2 -A. Ze2 1 e2 r 2m 1 Atts0 r 4;r£-0 1 <(f')rr^^2(f')d3f' r -r ^ (F) 4^n SlS2 <(f')rr^^(f')d3f r -r ^n2(ř) = El^n,(f) h2 k Ze2 1 e" ■A----+ ■ 2m r Axs0 r 4;r£-0 K(f')rr^^(f')d3f r -r ^n2 (?) 4^-£-n K(F')rr^^2(f')d3f' r -r ^(f) = E2^(F) • Při konkrétních výpočtech je výhodné použít rozkladu |ri r2| 1=0 Zi 1 r> m=-l 8.5 Ritzova variační metoda Je zřejmé, že pro nejmenší hodnotu energiového spektra platí nerovnost E0^ Důkaz je jednoduchý. Zapišme k) = Sln)(nk) ' H|n) = En|n) (8.39) (8.40) (8.41) (8.42) Potom Z|(nk>|En Z|(nk)|2(En-E0) n=0 3"M 3"MI + E0>E„ n=0 n=0 (8.43) 58 Budeme tedy minimalizovat hodnotu funkcionálu J na podprostoru zkušebních vektorů. Tento podprostor parametrizujeme M parametry am, takže redukujeme minimalizaci funkcionálu J na hledání minima funkce J^,.....^)^^-"--'"^!^--"-^ . (8.44) {y{a,,...,aM)\y/{ax,...,aM)) Zvláštní pozornosti si zaslouží případ, kdy parametry am jsou koeficienty lineární kombinace vektorů báze M-rozměrného podprostoru příslušného Hilbertova prostoru m \y/(ax,...,aM)) = Yja)\^) ■ (8-45) V tomto případě dostáváme m Z ^k(^|H|4) J te,...,*M)=^-s- (8.46) j Z podmínky ô J í a, ,..., Vektory báze mohou být parametrizovány s parametry /?s a vůči těmto parametrům lze pak minimalizovat příslušný funkcionál. Významnou aplikací je metoda LCAO pro výpočet elektronových stavů v molekulách. Molekulární vlnová funkce elektronu se konstruuje jako lineární kombinace vlnových funkcí elektronu jednotlivých atomů. Pro molekulu s M atomy hledáme tedy jednoelektronové vlnové funkce ve tvaru a těchto vlnových funkcí užijeme při vytváření mnohaelektronové vlnové funkce. 9. Bornova - Oppenhaimerova aproximace15 9.1 Obecná teorie Pro výpočet stacionárních stavů molekul je vhodná Bornova-Oppenhaimerova aproximace. Předpokládáme, že spinově nezávislý Hamiltonův operátor soustavy s N elektrony a M jádry je tvořen částí vyjadřující kinetickou energii jader, dále pak elektronovou částí obsahující kinetickou energii a vzájemnou interakci elektronů, a nakonec interakční částí, popisující interakci elektronů s jádry a vzájemnou interakci jader m (8.52) (9.1) Vlnovou funkci hledáme ve tvaru (9.2) 15 Tuto kapitolu možno vynechat. 60 kde funkce x[{f }'{^)) Je řešením rovnice " e2 * 1 e2 ^ Zr Zs 2mi=1 8Ä-ffoi>k=1|f[-^| 8^£-0 r>r=1 ta-P^ ^2 n m e ýy Zt 4^^0Äéí|ŕ:-Ŕr| ^({f}'{Ř})=u({Ř})^((f}'{R}) > J" ^ ({f}, {Ŕ}) ^ ({f}, {Ŕ}) d{f} = 1 . (9.3) Variační úloha pro funkci X^jŘj j má pak v tomto případě tvar =0 , X m 1 X ({R})d{R} (9.4) 7ť12MI 1 Z uvedeného funkcionálu můžeme pak odvodit pro pohyb jader "Schrodingerovu rovnici" ■^I^a.+u^D-e X({Ř}) = 0 . (9.5) Pro dvouatomovou molekulu (předpokládáme, že těžiště je v klidu) označíme relativní souřadnici a redukovanou hmotnost jako M, M„ R — Rj - Rj , ju a rovnice (9.5) se zjednoduší na lju A+U(R)-E Mj+M2 X(Ř) = 0 . (9.6) (9.7) Standardní substituce x(r)=MSykm(0,o) vede k rovnici 2//dR2 + Ueff(R,K)-E SK(R) = 0 (9.8) (9.9) kde Ueff(R,K)=U(R) + /z2K(K + l) 2//R2 (9.10) 61 Blízko rovnovážného stavu pak ponecháme jen nejnižší členy rozvoje efektivního potenciálu Ueff(R,K)=UlS(R0,K) + ^(R-R0)2 , = I*" «(*°>K) . (9.n) Z JU QK Dosazením (9.11) do (9.9) dostáváme rovnici harmonického oscilátoru. Struktura energiových hladin dvouatomové molekuly je tak tvořena třemi členy - elektronovým, rotačním a vibračním E = E(el) + E(r) + E(v) 1 E(el)=U(R0) , E(r)=BK(K + l) , Ew=/zQ v+| (9.12) Ve vztahu (9.12) jsme zavedli konstantu B = /z2/'(2//R(2), která určuje škálu rotačních hladin energie. Typické hodnoty pro základní molekuly jsou uvedeny v Tabulce 1. Tabulka 1 ^"---^^ molekula eV^^\^^ H2 N2 o2 -U(Ro) 4,7 7,5 5,2 0,54 0,29 0,20 103B 7,6 0,25 0,18 9.2 Molekula vodíku 9.2.1 Iont molekuly vodíku Nejprve budeme studovat jednodušší případ, a to iont molekuly vodíku. V tomto případě má hamiltonián v Bornově - Oppenhaimerově aproximaci tvar fc2 ji „2 „2 y y a e e H =-A----+ 2m 4xs0r1 4xs0r2 4^^0R (9.13) ľ| = r — R| , r2 = r — R^ , R = Rj — R^ 62 Při malé vzdálenosti protonů by se měla vlnová funkce chovat podobně jako vlnová funkce elektronů v heliovém atomu, při velké vzdálenosti protonů by měla vlnová funkce jen s malou pravděpodobností obsahovat stav, kdy oba elektrony jsou lokalizovány kolem jednoho protonu. Vlnové funkce budeme tedy hledat ve tvaru y/{?) = ay/M) + , j|^a(íí)|2d3f = j]y/b(ř2)|2ďř = 1 , \af +|/?|2 +ajf$(Ŕ) + a /?S*(Ř) = 1 , (9.14) S (R): ^a|r~ŔV;ír+ÍR|ďr Hledáme teď parametry aafl, které splňují normovači podmínku a realizují minimum funkce J = H2 Haa + |/?|2 Hbb + a Jí Hba + arVHab , Haa=j^(r;)H^a(r;)ďf , Hbb = jVb* (f2)H Wh (f2)ďf , (9.15) Hba=J^(ř2)H^afi)d3r , Hab = j>a* (i-) H Wh (f2)ďf . Situaci podstatně zjednodušíme, hledáme-li vlnovou funkci základního stavu. Za vlnové funkce vezmeme #(r) = í f V/2 v^aBy (9.16) exprd Mf): a vzhledem k symetrii budeme uvažovat jen symetrické a antisymetrické kombinace ( 1 V/2 v2(1±S), Pro maticové elementy hamiltoniánu dostáváme |>(ii)±#(r2)] , S=^(ri)^(r2)d3f (9.17) H H /z2 bb 2 1 -^r + r(r-i) + ^-yc ~r2s + r(r-2)E + ^- H ba H ab 2 (9.18) Zde jsme označili p = /R/aB a zavedli integrály překryvový S (/?), CoulombůvC (/?) a výměnný E(/?) 63 S(p) = ^(r1)^(r2)d3f = íl + p + V]exp{-p} r , y , Minimalizujeme tedy výrazy h2 ^OO^OO d3f = l(l-(l + p)exp{-2p}) d3f = (l + yo)exp{-yC>} . (9.19) i_ 2 | y , r(r-i)-rC(/7)+/(r-2)e(/?)" 2r p 1 + S(p) i 2 | r | r(r-i)-rC(p)-r(r-2)EM' 2r p l-S(p) (9.20) Pro J_ nenajdeme minimum, pro J+ máme jedno minimum. V okolí významných bodů lze psát 2 R^O /*<{l.2380-0.2026(R-2.0033) R^R^ , 1 R -> x 1/R R^O ■J+ ^-0.5865+0.0468(R-2.0033)2 R^R^ . -1/2 R ^oo h2 (9.21) 9.2.2 Molekula vodíku Opět v Bornově - Oppenhaimerově aproximaci vezmeme za elektronový hamiltonián výraz H h2 2m A n i A 71sn 2m An, \7tsn (9.22) 4^^0|r;-f2| 4Ä-ff0Ra-R0 a vlnovou funkci budeme hledat ve tvaru 64 [2(l + S2) 1/2 1/2 [2(l-S2)" ^a(r) = ^(|r*-Ŕa|) , ^b(f) = (í(|f-Ŕb|) . Připomeňme, že spinová část vlnové funkce má tvar ^s(Sl.S2) = -^ , mm X\ \ Sl ' S2 ) ' v0y2 ^ ( Sl ' S2 ) ' v0y2 + v0y2 ^(^^2) ^ Podobně jako u iontu, dostáváme pro energiový funkcionál molekuly vyjádření _ (ab|H|ab)±(ba|H|ab) j= t±š2 ' (ab|H |ab> = (ba|H |ba) = {jVb*(ř2)y/ (i,) H y/& (rj)y/b (f2)d3ř;d3f2 , (b a IH I a b) = (a b | H | b a) = jj y/\( f2) y/h( ŕ;) H y/a (řj) y/h (f2) d3 řj d3 f2 . Ke třem integrálům známým z řešení pro iont přibydou dva další (tj> je reálná funkce!) ^^(|r>Řa|)^(|rVP^|)^(|f2-P^|)^(|f2-P^|)ďr;d3f2 . r E2(P) = - r J ri"r2| Minimalizujeme pak výraz h2 m a, ar(/?) = 2[l+C(p)] + 4S(p)E(p)-C2(p)-E2(p) 1 1 + S2(p) p l-S2(p) + 2S(p)E(p) 1 + S2(p) 65 lO.Poruchy na čase závislé 10.1 Interakční reprezentace Budeme počítat v interakční reprezentaci. Předpokládáme, že hamiltonián je složen ze dvou částí H =H0 +V : H0 je na čase nezávislá základní část (neporušený hamiltonián), V je interakční část, která může explicitně záviset na čase (porucha). Platí Hmt=exp^H0tJVexp^-ÍH0tJ , | Yint) = exp^H0tJ| Y> Odtud dále o (10.1) K(0) = s>,o)|Yint(o)) , iÄ^S(t,0) = HiM(t)Š(t,0) , Š (0,0) = 1 (10.2) t S(t,0) = Í--JHint(t1)dt1-- Hmt(t1){Hmt(t2)dt2dt1+....... Jako bázi zvolíme vlastní vektory hamiltoniánu H0 H0|On) = En|On) , I^M^JXWIfcn) • (10.3) n Vlnovou funkci ve Schrodingerově representaci zapíšeme dvěma způsoby I = exp^-i H01 j I Yint (t)) = ^ cn (t) exp^-i En t j | On > , | = exp^-i H01 j Š (t, 0) I Yint (0)) = (10.4) 2^cm(0)exp^Entj|On>(On|Š(t,0)|Om> a promítnutím do |Ok) dostáváme pro ck (t) (vektor ^^(t)^ není normován na jednotku!) ck(t) = Scn(°)K|S(t,0)|On> . (10.5) n S označením Vkn (t) = (Ok |v(t)|On) máme pak 66 Ck(t) = IX(0) Vkm(t1)eXp|l(Ek-Em)t1|J Vmn(t2)exp|^(Em-En)t2jdt2 dtl+. h Vkn(t1)exp|l(Ek-En)t1|dt1-l2 í i (10.6) Přímým dosazením za | Yint (t)^ z (10.3) do (10.1) apromítnutím do |On) dostáváme Zi^^(0l^) = Zcm(t)Hint(t)|Om> , m m iÄ^c. (t) = 2X (t)exp|i(En -Em)t|cm (t) . (10.7) 10.2 Fermiho zlaté pravidlo Předpokládejme, že v čase t=0 je soustava v určitém stavu (počátečním) | O;^, takže pro koeficienty cik (0) = Sik. Počítejme pravděpodobnost přechodu do (konečného) stavu Of^ různého od |Oj^, tedy koeficient cfj.j(t). Přidaný index i zvýrazňuje, že počítáme přechod z tohoto počátečního stavu. S označením hcofi=Ef-E; pak máme v prvním přiblížení . t cf[i] (0 = "T jVfi M^pfi^n ti}dti • 10.2.1 Harmonický průběh časové závislosti poruchy. Pro harmonickou poruchu V (t) = F exp{-i cot) + F + expji cot) dostáváme (10.8) Cf[i] (0 = — jVfi (tl)exp{i ®fi ti}dti u l exp{i(ŕyfi-<»)tj -1 i exp{i(ŕy-ŕyif )tj - 1 — Ff.---E (10.9) h cofi-co h lf co-coif Zvláštní pozornost zasluhuje případ, kdy co^cofi nebo co^coif. Počítejme pravděpodobnost přechodu za jednotku času, definovanou vztahem 67 wfr:1 = lim n. (O t->0> l (10.10) Ze (10.9) dostáváme m (0 sin2(ryfi-co) t J2 2 sin2(ryfi +co)t ji {a>{í -(o/2) [Ffi Fif exp{-iť»t} + F*; F;*f expjiřyt}] S využitím vztahu ((cofi+co)/2)2 sin2ŕyfi t /2-sin2ť»t/2 (can/2)2-(ca/2)2 (10.11) ó(x) = lim sin2(xt) t^00 f x t (10.12) dostáváme ôfi - co)j'l) + |Fif |2 fi +®)/2) + [FfiFif +Ff-iFi-f]i?(fl>fi/2) . (10.13) To znamená wf[il 2n ~h Eť\ ô(Eí-Ei-hco) , wf[i]=^Fif|Zj(E;-Ef- hco) (10.14) h pro absorpci (Ef = E; + h co a exp{-i ryt]) nebo emisi (Ef = E;-hcu a exp{i ryt]) fotonu a 271 w f i h Ffi+F;;| ô(eí-E.) (10.15) pro stacionární poruchu (co = 0). Při přechodech do finálního stavu, který leží ve spojitém spektru s hustotou stavů dvf nebo i pro diskrétní spektrum s velmi blízkými energiemi počítáme Wf[i]= Z Wn[i] = jdWf[i] ' (10-16) {n|En»Ef} kde hustota pravděpodobnosti přechodu za jednotku časuje dwfi dwf dwf 2tz Ffi| ô{E{-E;-hco)dvf =~~ Ffi| <^(Ef-E;-hco)p(Ef )dEf _2n Princip detailní rovnováhy říká, že vzhledem k Fif| ó(Ef-E; +hco)dvf =~~~~ F;f | ^(Ef-E; + hco)p(Ef )dEf . (10.17) 68 Ff i Ff i = (ff* )* Ff i = (F; f )* F; f - i f (10.18) platí wf[i] _ wi[f] p(Ef) P(E;) (10.19) 11. Vlastní hodnoty a vlastní funkce operátoru momentu hybnosti V předchozích částech jsme se s operátorem momentu hybnosti letmo setkali a také jsme v některých případech brali v úvahu spin elektronů. Teď úvahy poněkud zpřesníme. Jednotkový axiální tenzor sikl nabývá hodnotu 1 pro indexy {ikl}, které vznikly sudým počtem transpozicí z {123}, hodnotu -1 pro indexy {ikl}, které vznikly lichým počtem transpozicí z {123} a hodnotu 0 v ostatních případech. Platí (X. (i (i. ^ikl ^rst ^kr 4s 4t 3r SH 3t ^ikl^rkl = 23r ^ikl ^rsl 4 4r ^ks (11.1) %1 %1 = 6 Poznámka: používáme zde Einsteinovu sumační symboliku, tj. sečítáme přes indexy, které se v daném členu vyskytují opakovaně. Pomocí tenzoru sikl zapíšeme operátor momentu hybnosti a jeho komutační relace jako Ä1i = Ski 4k Pi » [\A Snadno také ukážeme, že :i%iqi !i'Pk Pi (11.2) h u, ^ki ii i ŕ - ^jki qk ŕ ii = ^jki qk ii ŕ + í ^jki ^ikm qm ŕ -^jkiqk Pii =iffjki«iim4k Pm +i^jki%mqmŔ =i(qj Ŕ -4 p^i^^jkik Definujeme Pro tyto operátory platí komutační relace -f . Operátor čtverce momentu hybnosti můžeme psát jako (11.3) = 0 , ~}J~_ (11.4) (11.5) 69 I2 = 21, 1 + 12 -1 =21 1, + 12 +1 (11.6) V souřadnicové reprezentaci (ve sférických souřadnicích) je f+=72exp^ f d d dg> 1 d + icot$- Kd3 dg> j f d . n d ^ — + icot$— dx9 dg) (11.7) j f úxv3 d& ■ a d 33 _1__d^_ sin2i9 dg)2 Vlastní hodnoty a vlastní funkce operátoru z-ové složky momentu hybnosti lz najdeme snadno využitím metody separace proměnných du/(r,3,g>) , x , x , x , x -; v ,w} =\\i/{t,3, 1 lz =m=0,±l,±2,... , Om(^) = -=exp{im#>} . 2n Osa z není nijak preferována, takže průmět momentu hybnosti do libovolného směru může nabývat pouze celočíselných hodnot. Tento výsledek není rozporný, neboť vlastní funkce jsou pro různé směry různé. Označme teď jako 1 největší možnou hodnotu m pro danou vlastní hodnotu X operátoru 12. Buď \Amj vlastní vektor operátoru lz s vlastní hodnotou m a současně vlastní vektor 12 s vlastní hodnotou X. Potom ízí+|^m) = í+(íz + l)|^m) = (m + l)í+|^m) , i Í_\Am) = f+ (fz - l)|^m) = (m- l)f+ \Am) , |/lm+l) = C+f+|/lm> , |>*m-l) = C_f \Am) . Pro m = 1 musí tedy vzhledem k tomu, že 1 je nejvyšší možná hodnota m být f+|^l) = 0 , 2Í í+|^l) = (ľ2-íz2-lz)|^l) = 0 , \2\A\) = A\á\) , í2|^l) = l2|^l) , fz|>U) = l|>U) . Dostáváme tedy pro vlastní hodnoty operátoru l2 hodnoty X = 1(1+1), vlastní hodnoty l2 (11.9) (11.10) nezávisí na m. 70 Vlastní vektory operátoru 12 v souřadnicové reprezentaci dostaneme nejsnadněji přímým řešením rovnice (11.11) 1 dí,.fld®ImW sin ,9 d ,9 sini9- d,9 1(1+1)- m 2 "\ sin2 3 Řešením jsou přidružené Legandreovy polynomy Em (cos$). S uvážením normovací podmínky xm(^^)=(-irm|i m+|m| ,\ ,21+1 (l-lnfl! Em(cos,9)exp{imp} (11.12) Ax ^(l + |m|)! Jiný způsob dává maticová formulace. Souřadnicová reprezentace vznikla projekcí Xm(«9, + m2 - m , (lm-l|l_|lm) = (lm|l+|lm-l> ,(11.13) (1 m| f+11 m -1) = (1 m -11 f 11 m> = /(l + m)(l-m+l) Dále pak 1+|11> = 0 , "V ;-lcott9Q11(t9) = 0 , d ,9 ®iiW=(-í) (21+1)! sin1 s XV. (11.14) f |lm+l) = (lm|f |lm+l)|lm> , f-|ll> = JJÄm) 2im ^(l + m)!1 Všechny úvahy prováděné pro moment hybnosti jedné částice 1 platí samozřejmě i pro celkový moment soustavy L (11.15) 71 12. Maticové elementy skaláru a vektoru, parita stavu16 Uvažujme opět uzavřenou soustavu částic bez vnějšího pole nebo částici ve vnějším centrálním poli. Hamiltonián takové úlohy se nezmění při otočení souřadnicové soustavy o libovolný úhel kolem libovolné osy (procházející středem), a v důsledku této izotropie prostoru komutuje s hamiltoniánem H operátor momentu hybnosti L. Při otočení se však obecně nezmění skalární veličina f, a také její operátor f bude tedy komutovat s operátorem momentu hybnosti f ,L 0 . (12.1) Matice operátoru f je vzhledem k L a M diagonální a na M nezávislá. Diagonalita plyne z komutativnosti f a L. Nezávislost na M snadno ukážeme: označme N soubor zbývajících maticových indexů (kvantových čísel), charakterizujících stav soustavy. Z komutativnosti f a L+ a nezávislosti maticových elementů L+ na N dostáváme (n'lm+i| f Inlm+iVnlm+i|lJnlm) = \ ii /\ i +i / (122) (n'lm+i|l+|n'lm)(n'lm| f |nlm) , tedy maticové elementy operátoru f nezávisí na M. Pro hamiltonián to znamená 2L+1 násobnou degeneraci energiových hladin. Uvažujme teď o vektorové fyzikální veličině, které přísluší operátor V. Komutační relace s operátorem momentu hybnosti L budou stejné, jako komutační relace operátoru vektoru souřadnic, tedy >Vk] = isiklV . (12.3) Maticové elementy vektoru mohou být odlišné od nuly jen pro hodnoty L a M lišící se nejvýše o jednotku (výběrová pravidla). Máme například 16 Tuto kapitolu možno vynechat. 72 Lz,Vz] = 0 , [Lz,V+]=V+ , [LZ,V] = -V , (m21 Lz ^|m>(m |Vz | M,) = (m2 |Vz Lz |M,) m => m2(m2|vz|m1) = m1(m2|vz|m1) , (M2|Lk2|M>(M|V+|M1>= (m2|V+Lz|m1) + (m2|V+|m1> (12.4) m => m2(m2|V+|m1) = (m1+1)(m2|V+|m1> , (M2|Lk2|M>(M|V_|M1> = (m2|V Lz|m1)-(m2|V|m1> m => m2(m2|V |m1) = (m1-1)(m2|V im,) . Operátor parity definujeme jako (f|(p>)) = (-r>) . (12.5) Jeho vlastní hodnoty jsou P=l a P=-l,jak snadno vidíme z P2|^/) = |^/). Parita stavů částice charakterizovaných 1 a m je (-1)1, protože při prostorové inverzi se sférické souřadnice a vlastní funkceYlm (i9,<^) = (i9<^|lm) transformují takto: r—»-r , r^r , S^-tz-S , (p^-(p + 7i , P,m (cosl9)exp{im^| (12 6) -> P1m(cos(^-l9))exp{im(^ + ^-)} = (-l)1P1m(cosl9)exp{im^} . Z hlediska parity rozlišujeme skalární veličiny na pravé skaláry a pseudoskaláry a vektorové veličiny na polární vektory a axiální vektory podle toho, jestli s operátorem parity komutují nebo antikomutují. Stavy se sudou paritou označme |g^, stavy s lichou paritou |u^. Výběrová pravidla pro libovolný operátor O dostaneme ze vztahů (P2|P{|g)(g|+|UXU|}Ô|P1> = (P2|g)(g|Ô|P1>-(P2|u)(U|Ô|pi) , (P2|ÔP{|g>(g| + |U)(U|}|p1> = (p2|Ô|g>(g|p1)-(p2|Ô|u)(u|p1) a relací POg-OgP=0 , POu+OuP=0 . (12.8) 13. Spin 13.1 Rotace a komutační relace pro operátor momentu hybnosti Budeme si všímat pouze infinitezimálních rotací o úhel A^. Pro rotace kolem os kartézské soustavy souřadnic v trojrozměrném eukleidovském prostoru máme 73 f 1 o o i-ÍM 2 O A0 O -A0 2 2 ; o 2 O 1 -A A^ A^ O ! M 2 ; (13.1) ^(A^): 2 A^ -A O 2 O O 1 Tyto rotace můžeme zapsat pomocí operátoru momentu hybnosti jako Rí(A^) = l-iJiA^-lj7(A^)2 , kde (\ 0 0^ í° 0 0^ í0 0 0 í° -i i = 0 1 0 0 0 -i 0 0 0 > Jz = i 0 0 0 h v0 i Oj v"1 0 v0 0 o, (13.2) (13.3) (13.4) 74 Konečné rotace pak napíšeme jako R (é) = lim v ' n->oo 1 N exp (13.5) 13.2 Spin Komutační relace pro složky momentu hybnosti můžeme psát ve vektorové formě íxí =if . (13.6) Částice může mít kromě tohoto orbitálního momentu ještě vnitřní moment hybnosti. Pro jeho operátor platí s X S = 1 s s ,r 0 s ,p = 0 , s,l 0 (13.7) První vztah říká, že spin má charakter momentu impulsu, další vztahy vyjadřují to, že jde o vnitřní moment impulzu, který nijak nesouvisí se souřadnicí a impulzem částice. Definujeme dále operátor celkového momentu hybnosti J = f + š" , JxJ = iJ . (13.8) Obdobně jako pro orbitální moment dostaneme pro spin sz|ssz) = sz|ssz) , s2|ssz) = s(s + l)|ssz) , sz =-s,-s + l,...,s-l,s . Rozdíl je ovšem v tom, že projekce orbitálního momentu m musela nabývat celočíselných hodnot. U spinu toto neplatí. Protože však projekce spinu tvoří posloupnost čísel lišících se o jedničku, musí být rozdíl 2s mezi maximální a minimální hodnotou roven nule nebo celému kladnému číslu. Jsou tedy možné hodnoty spinu částic s = 0,1/2,1,... Například spin 1/2 mají leptony (elektron apositron, px leptony a neutrina) akvarky, spin 1 fotony, W a Zbosony a gluony. Operátor spinu může být reprezentován maticemi. Pro s = 0je možný pouze jediný spinový stav sz =0, reprezentace je triviální, tvoří ji nulový vektor § = [sx,Šy,Šz] = [0,0,0] . (13.10) Pros = l/2jsou možné pouze dva spinové stavy, sz=±l/2, a reprezentace je realizována Pauliho maticemi (o n i o, 1 ío i 0 , 1 s =— ~2 s. + s: + s; íl 0 0 0 0 0 0 1 íl O 0^ 0 1 o v0 0 lj (13.13) (13.14) Částice se spinem, tj. částice s vnitřním momentem hybnosti, má také vnitřní magnetický moment Ji. Jeho operátor p, je úměrný operátoru spinu s i ju-m = — s , s (13.15) kde n je pro částici charakteristická konstanta. Pro elektron je// = //B =e/z/(2m). Hamiltonián elektronu v elektromagnetickém poli (v souřadnicové representaci) tedy bude H = —!—(p-eÄ(f))2 - —§-B(f) + e^(ř) . (13.16) 2mv ' s 13.3 Spin a rotace Pro Pauliho matice platí [ť7i,ťtj] = 2i^ijkí7k , {^,^=2^ • (13.17) Dále pro matici <7 ■ a = .( n3 v0 1, cos—h 1 2 n, -in. Vni+ln2 x3 j sin— 2 (13.22) Tento výraz umožňuje vyjádřit transformaci spinoru při rotaci souřadné soustavy. Označíme-li (j> a 9 azimutální a polární úhly charakterizující jednotkový vektor, máme pro spinor s průmětem 1/2 do jednotkového vektoru f 6 cos—hi <+l-l-X-D • Transformace spinoru při rotaci kolem osy z o úhel tj> K 0) = expji sz (f) , |o-)R = Rz(^)|o-) = exp{išz^}|o-) , |+)R = exp{išz^}|+) = expji|||+) , |-)R = expjišz ^}|-> = expj-i^l|->. (13.25) Pro operátory spinu tak dostáváme 77 14. Princip nerozlišitelnosti částic Pro kvantovou teorii soustav tvořených více stejnými částicemi je základním tvrzením princip nerozlišitelnosti. Uvažujme soustavu tvořenou dvěma částicemi. Podle principu nerozlišitelnosti musí být stavy, které se liší pouze pořadím částic, identické. Jejich stavové vektory se tedy mohou lišit pouze fází exp{ia]. Pro vlnovou funkci dvoučásticové soustavy musí tedy platit |£,£j = exp{ia}|£,^ = exp{2iar}|£,£) => |£,£) = ±|£,£) . Částice s exp{ia] = l, popisované symetrickými vlnovými funkcemi nazýváme bosony, částice s exp{iaj = -l, popisované antisymetrickými vlnovými funkcemi nazýváme fermiony. V relativistické kvantové teorii lze ukázat, že částice s poločíselným spinem jsou fermiony, částice s celočíselným spinem bosony. Pro soustavu N bosonů máme |Pl,p2,...,pN) = /N1!N2!...NN!Wg i w i \ / i \ (14-2) Sumace se provádí přes permutace {\ ,i2 ,...,iN) množiny {1,2,...N} ,Nk je počet stejných stavů pk . Pro dvě částice máme (£ & | Pi. P2> = (£ | Pi>fc | P2>P2 + -^(tólP^fclP^ + felP^félP.))^-^.,) • (14'3) Pro soustavu N fermionů pak 78 ..,£NIP1,P2,...,PN) = (£|pi) fe|Pi> ••• fe|Pi> (£|p2) (£|p2) ••• fe|p2> (14.4) (14.5) (£|pn) (£|pn) ••• fe|pN> tzv. Slaterův determinant. Pro dvě částice te>£|Pi»P2) = "^(fé I Pi)fc I Pz> " I ?2)fe I Pi» Proměnné h) = ~^W* (^)^b (r2) + ^b fi)^a (f2)] násobíme antisymetrickou spinovou funkcí 7n ro^ ro^ m vly2 nebo antisymetrickou souřadnicovou funkci yW (ři»f2) = ^7= [Va (*i) ^b (r2) - ^b (ŕ;) ^a (f2)] násobíme některou ze tří možných symetrických spinových funkcí 2(S)(^^Z2): v0y2 >/2 + vly2 v0y2 W2 Funkce vzniklé násobením souřadnicové a spinové části jsou lineárními kombinacemi Slaterových determinantů. Tak například 79 ¥a)(ř;,f2)s«(szl,sz2) = -^ Mí) ^a(r2) í1^ lu 1 ^b(r2) í°l W2 2 f 1] Připomeneme si také, že operátor složky z spinu pro soustavu dvou částic je ifi 0U1 ol i 0 -1 A 0 1 n oi n oi ji 0 1 A 0 -1 (14.6) Ji Působením na jednotlivé spinové funkce zjišťujeme, že jsou to vlastní funkce tohoto operátoru a vlastními hodnotami 0 (pro E*a^) a 1, 0, -1 (pro tři různé ). 15. Cesta k Bellovým nerovnostem 15.1 EPR paradox 17 V roce 1935 uveřejnili Einstein, Podolsky a Rosen - odtud zkratka EPR - článek , který (spolu s následující Bohrovou odpovědí18) ovlivnil na více jak půl století úvahy o tom, jak úplný je kvantově mechanický popis fyzikální reality (tj. vývoje zkoumané soustavy). EPR navrhli myšlený experiment (skutečný experiment dovolil pokrok v experimentálních možnostech až v roce 1982), který se týkal měření na dvou identických volných částicích ve stavu, popsaném vlnovou funkcí Y^X^t): r -i 1/2 r m exp< i m , a n -( x, — x2 + Xq )-- 4/ztV 1 2 ^' 4 (15.1) Lepší představu dává rozklad této funkce do rovinných vln 2nh exp{i p(x1-x2 + x0)--1 m >dp (15.2) Je to klubko tvořené součinem dvou proti sobě jsoucích rovinných vln 1 exp^ pxj 2m 1 ^/2^eXP{/í P*2 2 m (15.3) Einstein, Podolsky a Rosen uvažují v článku o stavu v t = 0, kdy 17 A. Einstein, B. Podolsky and N. Rosen: Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, Physical Review 47 (1935), 777-780. 18 N. Bohr: Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?, Physical Review 48 (1935), 696-702. 80 Y(^,x2) 2nh expj ^ p(Xl -x2 + Xq) Idp = ó(x, -x2 + Xq) (15.4) Budeme měřit hybnost první částice. Měření samozřejmě povede ke změně vlnové funkce19. Všimněme si, že vlnovou funkci (15.4) můžeme chápat jako od J(x1-x2 + x0)= J^p(x.)^_p(x2-x0)dp , -od kde % Jsou vlastní funkce operátoru hybnosti (15.5) PZp(x)=Y^Zp(x)=pzp(x) , Zv(x)= ^_^i/2 exPlTPxí 1 {2nh)'L \h (15.6) Změříme-li tedy hybnost první částice a získáme hodnotu P, má s jistotou druhá částice hodnotu -P |Zp(^)ví/(xľx2)dxi 1 expj-^-Pxj U(x.-x2 + x0)dx1 1/2 h ^-L^expj-ipfc-,.)} . (15.7) Pro názornost rozepíšeme postup podrobněji. Vlnovou funkci zapisujeme v souřadnicové representaci, takže pro stavový vektor máme |¥) = {{|4)|£)Y(£,£)d£d£ . Naměřili jsme na první částici vlastní hodnotu operátoru hybnosti P , na druhé částici jsme neměřili. Projekční operátor popisující měření, kterým působíme na stavový vektor je tedy (|p)(p|),i2 ■ Nakonec vytvoříme v souřadnicové representaci vlnovou funkci z výsledného (tj. po měření) stavového vektoru promítnutím do vlastních vektorů operátorů souřadnic tedy po dosazení z (15.4) a (15.6) pro druhou částici skutečně výsledek (15.7). 19 Obecný předpis je následující: naměříme-li pro operátor O vlastní hodnotu CO, změní se původní stav („kolaps vlnové funkce") na (^ŕy|^)|ŕy^, kde |CO*} je příslušný vlastní vektor: O|CO} = Co\CO*} . Změnu stavu danou měřením tedy popisujeme nikoliv Schrodingerovou rovnicí, ale jako působení projekčního operátoru C0/\C0\ na stavový vektor lf/} . 81 Nyní změníme úmysl a budeme měřit polohu první částice. Postup počítání bude plně analogický tomu při měření hybnosti. Vlnovou funkci (15.4) můžeme také chápat jako co ó(xl-x2 + x0) = J^x(x1)^x(x2-x0)dx , (15.8) -CO kde funkce tf>x jsou vlastní funkce operátoru souřadnice Q^(x) = x^(x) = ^(x) , 0{(x) = S(x-š) . (15.9) Změříme-li tedy polohu první částice a získáme hodnotu X, nachází se s jistotou druhá částice v X + Xg CO CO jVxW^O5!.^)*1*! = Jí5"(x1-X)ř5"(x1-x2 + x0)dx1 = -co -co (15.10) j(X-x2 + x0) . Vzdálenost částic v době měření může být taková, že druhá částice leží v prostorupodobné oblasti v soustavě první částice - lze tedy vyloučit jakýkoliv přenos informace o tom, kterou ze sdružených veličin (hybnost nebo souřadnici) budeme u první částice měřit. Přesto je potom pro druhou částici přesně dána hodnota její hybnosti nebo souřadnice. EPR docházejí k závěru, že proto nemůže být kvantově mechanický popis úplný - popis částice obsahuje nějaké skryté parametry (hidden variables), které v kvantovém popisu chybějí. 15.2 Bohmova modifikace EPR pokusu Připravit experimentálně stavy popsané vlnovou funkcí (1.1) není možné. Velmi důležitý krok učinil proto Bohm20, když navrhl modifikovanou, ale v principu identickou verzi pokusu. Předpokládejme, že máme molekulu se dvěma atomy, z nichž každý má spin h/2 , přitom celkový spin molekuly je nulový. Molekulu rozštěpíme způsobem, který nemění celkový moment hybnosti. Atomy se začnou vzdalovat a jejich vzájemná interakce se stává zanedbatelnou - celkový spin je však stále nulový. Až budou atomy vzdáleny prostorupodobným intervalem, provedeme na prvním z nich měření projekce spinu do osy z . Je-li zjištěná orientace kladná, víme s jistotou, že orientace spinu druhé částice je záporná. Můžeme se však také rozhodnout, že budeme měřit projekci spinu do osy x a opět, naměříme-li určitou orientaci, víme s jistotou, že druhá částice má orientaci zápornou. To ale podle EPR znamená, že částice nese skrytou informaci o spinu, kterou kvantová mechanika neobsahuje. David Bohm: Quantum Theory (první vydání Prentice-Hall 1951, novější vydání Dover Publications), §22.16. 82 Nejprve uvedeme několik připomenutí popisu spinu. Spinový stav částice se spinem h/2 můžeme popsat pomocí vlastních hodnot operátoru průmětu spinu do osy z h , , * ä, , hfl 0 YY h(l\ — a +z) = — +z) , — 2 1 ' 21 ' 2 v0 -1, — cr -z) =---z) , — 2 1 ' 21 ' 2 n OYO^I v0 -1, /z (15.11) Vlastní vektory průmětu spinu do libovolného směru dostaneme otočením vektoru průmětu spinu do osy z v rovině x-z o polární úhel 9 a pak otočením o azimutální úhel (p v rovině x-y — n-cr +n) = — +n) 2 1 1 21 7

= |-z)J-z>2,|l,0> = ^{| + z>J-z)2+|-z)J + z>J,|U> = | + z)1| + z>2 (15.15) a pro nás důležitý single to vý stav s s = 0, m=0 jako |0.0> = ^{| + z)1|-z>2-|-z)1| + z>2} . (15.16) Vzhledem k transformačním vztahům plynoucím z (15.12) a (15.13) 83 v \.(P~]\ 0\ - . 0\ -1 + z) = exp i— j cos—| + n^ - sin—|-nH (15.17) 2_|[ 21 7 2 můžeme singletový vztah zapsat také jako (15.18) 15.3 Bellovy nerovnosti 21 V roce 1964 se podařilo Bellovi ukázat, že pokud by existovaly skryté parametry, musely by výsledky vhodně zvolené kombinace měření splňovat jisté nerovnosti (nyní obecně nazývané Bellovy nerovnosti). Při měření orientace spinu je dokonce možné navrhnout takové měření, kde výpočet nerovností pro pravděpodobnosti naměření různých orientací je možné provádět na elementární úrovni. Potom lze opět jednoduše provést výpočty pravděpodobností podle kvantové mechaniky a ukáže se, že pro jisté situace kvantově mechanické pravděpodobnosti Bellovy nerovnosti narušují. Pokud by se experimentálně zjistilo, že jsou i v těchto případech Bellovy nerovnosti splněny, byl by to důkaz neúplnosti kvantově mechanického popisu. V opačném případě by ovšem výsledky vyloučily existenci skrytých parametrů. Moderní (módní?) popis vyžaduje místo měření na první a druhé částici mluvit o pozorovatelích Alici a Bobovi. Jejich jednotlivá měření jsou od sebe vzdálena prostorupodobným intervalem, aby se vyloučila jakákoliv možnost interakce měřených částic. Měření spinové orientace se provádí ve třech různých (ne nutně kolmých) směrech. J. S. Bell: On the Einstein Podolsky Rosen paradox, Physics 1 (1964), 195-200. 84 Počet Částice 1 (Alice) Částice 2 (Bob) N, í+ a,+b , + čj <=> í-a ,-b,-c) N2 ( + ä*,+b ,-čj <=> í-a,-b , + čj N3 í+a,-b,+c) <=> (— a ,+b ,-c) N4 ( + a ,-b ,-c) <=> í-a,+b, + čj N5 í-a ,+b , + c J <=> í + a,-b ,-c) N6 í — a,+b,-c1 <=> l+a,-b,+cI N7 (-a ,-b , + c J <=> l + a ,+b ,-c I N8 (-a ,-b ,-c J <=> 1+ a,+b , + c I Výsledek měření Boba závisí na tom, jaké měření zvolí Alice. Jak ale bylo řečeno, rozhodnutí provádí Alice až poté, co jsou částice odděleny prostorupodobným intervalem. Pokud si částice nese ve skrytých parametrech informaci o spinové orientaci, můžeme uvažovat o osmi skupinách částic uvedených v tabulce. Jednoduchým sečtením počtu částic v odpovídajících skupinách dojdeme k tomu, jaká je pravděpodobnost p(+á|+b) toho, že Alice naměří pro první částici orientaci +a a Bob naměří pro druhou částici orientaci +b . Vybereme tři vhodné kombinace P(+a|+b) = ^±Nl ^ p(+a| + e) = _ͱ__k , P(+c|+b) = ^1 . (15.19) Je zřejmé, že p(+a|+b)=-^{l+řt)1|-řt>2-l-^MJ • Podle vztahů (15.12) a (15.13) máme + a J_UxV[-i(pj2\ ' V2[exp[i^/2] _g\ =J_Í exp[-i%/2] ' V2I exp[i%/2] a/ yÍ2{ exp[i%/2] g\ 1 í-exP[-iffb/2] ' V2I exp[i%/2] Pro amplitudu pravděpodobnosti dostáváme A(+a|+b) = ^(+b;|(+aJ{| + a1)|-a2>-|-á1)| + a2>}: (+ I + ä-! > (+ b2 j - á2} - (+ ä; I - aj > (+ b21 + á2} 1 a dále A(+á|+b) = ^=(exp[i%/2] exp[-i^/2]) Nakonec p(+a|+b)= A(+a|+b) -exp[-i%/2] exp[i%/2] J V2"" 2 1,sin-^ 2 1 • 2%-% 1 • 2^ac+ffcb = —sin —2-- = — sin - 2 2 2 2 (15.21) Podobně postupujeme při výpočtu dalších dvou pravděpodobností (při výpočtu P (+c|+b j je přirozeně výhodné zvolit za n vektor c ). Máme tak P(+a|+b) = -sin--- , P(+a| + c) = isin2^ , P(+c|+b) = -sin2^ v 1 ' 2 2 1 1 ) 2 2 (15.22) -sin Zjevné narušení Bellovy nerovnosti (15.20) dostáváme například pro cos— < 2 2 (15.23) 86 15.4 Experimenty s fotony Je mnohem jednodušší připravit singletový stav dvou fotonů než například dvou protonů. Proto všechny přesné experimenty byly prováděny s fotony. V experimentech se ověřují složitější varianty Bellovy nerovnosti, které jsou například méně citlivé na nedokonalosti detektorů. Uvedeme důkaz22 jednoho z mnoha výsledků. S označením pravděpodobností koincidencí při detekci obou fotonů po průchodu polarizátory orientovanými ve směru a (Alice) a b (Bob) - oba P++ (a ,b j, žádný P (a ,b j, pouze Alice P+ (a,b) a pouze Bob P + (a,b) - vytvoříme veličinu E(á,b) = P++ (ä\b) + P (ä\b) - P+ (a ,b) - P + (a,b) Pro čtyři orientace se počítá S(a,a\b,b')= E(a,b)±E(á,b/) + E(á/,b) + E(á/,b/) . (15.24) Bellova nerovnost je v tomto případě s(á,á/,b,b/)<2 . (15.25) Uveďme předem, že kvantově mechanický výpočet dává =SQM (0°,45°,22,5°,67,5°) = 2>/2 (15.26) a je experimentálně potvrzen. Předpokládejme tedy existenci skrytého parametru X s rozložením pravděpodobnosti výskytu f (/l), |d/l f (/l) = l • Výraz pro E (ä*,b) můžeme přepsat na E(á,b)= d^f (^){P+(á,^)-P_(á,^)}{p+(b,^)-P_(b,^)j . ^ ' ^U) ' Veličiny P jako pravděpodobnosti nabývají hodnot mezi nulou a jedničkou, takže pro veličiny A a B platí nerovnosti |A(a,^)|l)|A(a,>l)| B (b ,A) ± B(b' ,a) Protože však | A(ä*, < 1, můžeme dále psát E(a,b) + E(a,b')|< J <=> Polarizace s = Sx £ = e„ l + x> ° *=-jr(e.+ey) exp exp i— 4 . 3 x y) y) <=> s V2 \Í2 Následující obrázek ukazuje, že experimenty dokazující narušení Bellových nerovností nejsou 23 omezeny na fyzikální laboratoře. V uvedeném případě se fotony vydaly po kabelech W. Tittel, J. Brendel, H. Zbinden, and N. Gisin: Violation of Bell Inequalities by Photons More Than 10 km Apart, Phys. Rev. Letters 81 (1998), 3563-3566. 88 Švýcarské pošty ze Ženevy do dvou blízkých vesnic, kde byly na poštovních úřadech umístěny interferometry s potřebnými detektory. dassicat channefs v> 16. Jakou dráhu prošla částice? 16.1 Elementární popis interference dvou svazků Uvažujme dva zcela koherentní zdroje kulových vln (pro jednoduchost budeme počítat jen v rovinném řezu, tj. v rovině z=0) v rovině y=0 vzdálené 2 d y/(x,y,t) —eikra + —eik% -i-1 2m kde V(x+d) 2 2 + y 2 2 + y Při přechodu k eliptickým souřadnicím ra+rb , 0l3)i>+k2>|3)2>] (16.7) É, --d/2 k=2n/x dvoj štěrbina stínítko Jednodušší postup při popisu experimentu je ten, že pro volnou částici zvolíme souřadnicovou representaci, takže máme (xlY>=^[(xk1>l®1) + |S2>] = ^[^W|S1> + ^(x)|S2>] . (16.8) Potom pro hustotu pravděpodobnosti nalezení částice v okolí bodu o souřadnici x (o stavy detektoru se nezajímáme) dostáváme p(x) = (x|Y)(Y|x) = |(x|Y)|2 = (x)ľ +h (x)f +2Re{(S1 |S2y2 (x)í^)} (16.9) S.M. Tan and D.F. Walls: Loss of coherence in interferometry, Physical Review A 47 (1993), 4663- 4676. 90 Jsou-li vektory stavu detektoru ortogonální (tj. pokud bychom stav detektoru zjišťovali, budeme s jistotou vědět, kterou ze štěrbin částice prošla) zmizí interference a dostáváme (2>i|2>2> = 0 => p(x) = |(|^(x)|2+|^2(x)|2) . (16.10) Jestliže detektor „vypneme", je detektor v základním stavu, tj. |2D1) = |2D2) = |D0) a dostaneme přirozeně interferenční obrazec s maximální viditelností (S1|S2) = 1 p(x) = |[|^(x)|2+|^2(x)|2 + 2Re{^2(x)í^)}] . (16.11) Viditelnost spočteme tak, že zapíšeme (£>! |3ľ>2) = |(®i |®2)|exP[~i^]» W\ (x) = |^i (x)|exP[i^i] a ^/2(x) = |^/2 (x)|exp[i(z)2], takže z (16.9) máme p(x)=^ľh (x)ľ+h (x)|2+2l(®i l®2>||(^i k2>|cos(^ -a-0 2 a odsud výraz pro viditelnost (16.12) gH=P-W-P^W = ^.».M . (16.13) Pma*(X)+Pmin(X) |^(x)| +|^2(x)| Obecnější přístup vyžaduje užití pojmu matice hustoty. Kvantově mechanickou soustavu můžeme popsat vlnovou funkcí pouze tehdy, je-li izolovaná - neinteraguje s okolím. V opačném případě je možné soustavu popsat pouze méně určitým způsobem, a tento popis je právě vyjádřen operátorem matice hustoty p . Bez dalšího rozboru a důkazů uvedeme jen dvě pro náš experiment podstatná tvrzení: Střední hodnota výsledku měření fyzikální veličiny s operátorem F je dán stopou ^F^ = Tr{pFJ (16.14) a v případě, že je soustava popsána stavovým vektorem | , je matice hustoty dána výrazem p = \0)(0\ . (16.15) To je právě náš případ. Bude nás tedy zajímat pravděpodobnost nalezení částice v bodě x a detektoru ve stavu |Da^, čemuž odpovídá operátor |x)|Da^Da |(x|. Za bázi Hilbertova 25 Stopa operátoru O je definována takto: Mějme v Hilbertově prostoru nějakou ortonormální bázi . Pomocí této báze vytvoříme maticové elementy ^a|Ô|b^ . Potom stejně jako v algebře stopa je součet diagonálních elementů Tr|Ô j = ^ (a |Ô | a^ , v bázi mohutnosti kontinua pak Tr|Ô j = J" dx(x|Ô | X^ . 91 prostoru bude výhodné zvolit {|^)|D^j, tedy bázi tvořenou vlastními vektory operátoru souřadnice částice a operátoru stavu detektoru. (Stavy |3ľ>j) a |2D2^ jsou superpozicí různých stavů | D„ ) .) Máme počítat p (a, x) = Tr{| Y) (Y 11 x) (x| | Da ) (Da |}, tedy p(^^)=^S/d^(D/?K^lk1>l^1)<^1|<^1|lx>lD/?>+ z p 7ZK(D/»|^lk2>|»2><»1|^1||x>(x||D0>(Dj|í>|D^) + z p ÍZK(D.|(^lk2>l®2)<®2|(^llx>(xllD«>(S2|Da> + ^(x)^2(x)(S1|Da>(D„|S2>_ Je hned vidět (v každém členu vzniká jednotkový operátory J Da)^Da | = I), že sečtením pravděpodobností (16.16) přes stavy detektoru dostaneme výraz (16.9) p(x) = ^p(«,x) = ^n^(x)|2+|^2(x)|2 + 2Re{(S1|S2)^2(x)^(x)} . (16.17) Naopak pravděpodobnost nalezení detektoru ve stavu |Da^ získáme integrací přes všechny možné polohy částice p {a) = |dxp(a,x) = 2 kde jsme položili ]r _ (16.18) \(Da\^)\ +|(D0|3)2)| +2Re{(^2|^)(D„|S1>(D„|S2>} , {v2\Vi) = jdx^2(x)^(x) , (V/1\V/1) = (V/2\V/2) = 1 . (16.19) 92 16.3 Interference fullerenů V roce 1999 uveřejnila skupina prof. Zeilingera z Vídeňské university článek26 o interferenci molekul C60. Na spodním obrázku je profil svazku dopadajícího na difrakční mřížku, horní obrázek ukazuje profil svazku po difrakci. Jak ale mohou molekuly interferovat, když vysílají fotony, které mohou být v principu použity pro detekci trajektorie? 1,200 - a o O co 150 - £ 100 - o O Vezměme ve vztazích předchozí části 01(f) = (f|D1> = C 02(f) = (f|D1) = C exp|i K|f-rj|| r -r„ exp{iK|f-f2|} (16.20) r -rT funkce odpovídají emitovanému fotonu. Potom je (Ľ\|D2}: (16.21) Zavedením eliptických souřadnic M. Arndt, O. Nairz, J. Vos-Andreae, C. Keller, G. Van der Zouw, and A. Zeilinger: Wave-particle duality of C60 molecules, Nature 401 (1999), 680-682. 93 dostáváme 1<^