SYMETRICKÉ ČTYŘPÓLY JAKO FILTRY
V této úloze budou řešeny symetrické čtyřpóly jako frekvenční filtry. Bude představena
jejich funkce na praktickém příkladu reproduktorů.
Teoretický základ
Pod pojmem čtyřpól rozumíme prvek složený z obecných impedancí, který
do elektrického obvodu zapojujeme čtyřmi svorkami. Často je také nazýván dvojbranem
a to za podmínky, že oběma vstupními svorkami teče stejný proud I1 a zároveň oběma
výstupními svorkami teče také stejný proud I2 (viz obr. 1). Podle teorie střídavých sítí
pro symetrický čtyřpól platí:
𝑈1 = 𝐴 ∙ 𝑈2 + 𝐵 ∙ 𝐼2
𝐼1 = 𝐶 ∙ 𝑈2 + 𝐴 ∙ 𝐼2,
kde determinant soustavy je 𝛥 = 𝐴2
− 𝐵 ∙ 𝐶.
Obrázek 1: Čtyřpól neboli dvojbran. Symboly U1, I1 značí vstupní napětí a proud a U2, I2 značí výstupní napětí a proud.
Symetrické čtyřpóly se využívají jako filtry ve tvaru tzv. π-článků a T-článků
znázorněných na obr. 2.
Obrázek 2: Filtry jako π-články a T-články.
Pro π-článek potom dle výše uvedených rovnic platí:
𝐴 = 1 +
1
2
𝑍 ∙ 𝑌
𝐵 = 𝑍
1
2 4
3
I1 I2
U2U1
U1
Z
Y
1
2 Y
1
2
U2 U2U1
Z
1
2 Z
1
2
Y
𝐶 = 𝑌 (1 +
1
4
𝑍 ∙ 𝑌).
Pro T-článek platí obdobně:
𝐴 = 1 +
1
4
𝑍 ∙ 𝑌
𝐵 = 𝑍 (1 +
1
4
𝑍 ∙ 𝑌)
𝐶 = 𝑌.
Pokud zavedeme pojem tlumení jako 𝛽 = 20𝑙𝑜𝑔
𝑈1
𝑈2
a za předpokladu zanedbatelných
ohmických odporů v článku, lze z uvedeného usoudit, že filtry zapojené jako π-články
a T-články propouštějí pouze určitý rozsah frekvencí. Tento rozsah frekvencí odpovídá
intervalu hodnot koeficientu A náležící do intervalu 〈−1,1〉. Hodnotám koeficientu A=1
a A=-1 odpovídají mezní frekvence, mezi nimiž nedochází k tlumení.
Pro účely našeho měření budeme používat π-článek.
Dolnofrekvenční propust
Obrázek 3: Dolnofrekvenční propust.
Filtr a průběh jeho tlumení β je znázorněn na obr. 3. Pro tento π-článek platí:
𝑌 = 𝑗𝜔𝐶, 𝑍 = 𝑗𝜔𝐿, 𝐴 = 1 −
1
2
𝜔2
𝐿𝐶
Pro A=+1 dostaneme 𝜔1
2
= 0, 𝑓1 = 0𝐻𝑧
Pro A=-1 dostaneme 𝜔2
2
=
4
𝐿𝐶
, 𝑓2 =
1
𝜋√𝐿𝐶
𝐻𝑧
f1 f2
L
C
1
2 C
1
2
f(Hz)
β
Hornofrekvenční propust
Obrázek 4: Hornofrekvenční propust.
Filtr a průběh jeho tlumení β je znázorněn na obr. 4. Pro tento π-článek platí:
𝑍 = −
𝑗
𝜔𝐶
, 𝑌 =
1
𝑗𝜔𝐿
, 𝐴 = 1 −
1
2
1
𝜔2 𝐿𝐶
Pro A=+1 dostaneme 𝜔1
2
= ∞ , 𝑓1 = ∞
Pro A=-1 dostaneme 𝜔2
2
=
1
4𝐿𝐶
, 𝑓2 =
1
4𝜋√𝐿𝐶
𝐻𝑧
Pásmová propust
Obrázek 5: Pásmová propust.
Filtr a průběh jeho tlumení β je znázorněn na obr. 5. Pro tento π-článek platí:
𝑍 = 𝑗𝜔𝐿 −
𝑗
𝜔𝐾
, 𝑌 = 𝑗𝜔𝐶, 𝐴 = 1 +
𝑗
2
(𝜔𝐿 −
1
𝜔𝐾
) ∙ 𝑗𝜔𝐶 = 1 −
1
2
𝜔2
𝐿𝐶 +
1
2
∙ 𝐶𝐾
Pro A=+1 dostaneme 𝜔1
2
=
1
𝐿𝐾
, 𝑓1 =
1
2𝜋√𝐿𝐾
𝐻𝑧
f1= ∞f2
β C
2L 2L
f(Hz)
f1 f2
β
f(Hz)
L
C
1
2 C
1
2
K
Pro A=-1 dostaneme 𝜔2
2
=
1
𝐿𝐾
(1 +
4𝐾
𝐶
), 𝑓2 =
1
2𝜋√𝐿𝐾
√(1 +
4𝐾
𝐶
) 𝐻𝑧
Využití filtrů v praxi - reproduktorové soustavy
Základním požadavkem na kvalitní reproduktorovou soustavu je co nejvěrohodnější
přenesení zvuku, od nízkých tónů až po vysoké. Pro přenesení nízkých tónů jsou vhodné
reproduktory s velkým průměrem membrán umožňující velký rozkmit membrán, kdežto
pro vysoké tóny jsou vhodnější menší membrány s malým kmitacím rozsahem.
Z uvedeného vyplývá, že pro sestavení kvalitní reproduktorové soustavy je nutno
zařadit několik reproduktorů, které kvalitně přenášejí určitý rozsah frekvencí,
tzv. pásmo (odtud dvoupásmová, třípásmová reproduktorová soustava). Pro rozdělení
signálů podle frekvencí přicházejících do reproduktoru se využívá elektrických výhybek.
Ty jsou tvořeny kondenzátory a cívkami tak, aby propouštěly pouze požadovaný rozsah
frekvencí. Výhybka tedy v reproduktorové soustavě funguje jako hornofrekvenční
a zároveň i dolnofrekvenční a pásmová propust, nebo také filtr. Nízké frekvence
v rozsahu 20 Hz až 4 kHz jsou přehrávány basovými reproduktory, střední tóny od 500
Hz do 4 kHz přehrají menší středotónové reproduktory a vysoké frekvence od 3 kHz
výše vysokotónové reproduktory. Rozsah basových a středotónových reproduktorů
se překrývá, protože v dvoupásmovém zapojení soustavy právě basový reproduktor
nahradí středotónový.
Obrázek 6: Zapojení třípásmové reproduktorové soustavy s výhybkami; A - basový, B - středotónový a C - vysokotónový
reproduktor. Frekvence fd a fh určují dolní a horní dělící kmitočet.
Program Zeitnitz
Software Zeitnitz se používá k zobrazení a analýze zvukových vln. Data mohou být
nahrávána buď přímo ze zvukové karty (s mikrofonovým vstupem) nebo ze zdroje jako
je CD či Mediaplayer. Software získává vstupní data ze zvukové karty prostřednictvím
fd fh
[dB]
3 dB
A B C
Windows rozhraní, tedy nekomunikuje přímo se zvukovou kartou. Proto pokud se objeví
problém se zvukovou kartou, je třeba ho řešit na úrovni operačního systému.
Uživatelské rozhraní je koncipováno podobně jako konvenční osciloskop s přídavnými
rozhraními: XY display, frekvenční analýza a generátor signálu.
Osciloskop
V okně osciloskopu je možné nastavit tři základní funkce: amplituda, čas, trigger (viz
obr. 7).
Obrázek 7: Program Zeitnitz.
Hodnoty amplitudy jsou uvedené v jednotkách na dílek. Nastavení času se vztahuje
k celé zobrazené škále, nejde tedy o hodnotu na jednotku dílku jako je to u konvenčního
osciloskopu. Trigger obsahuje základní funkce off, auto, normal a single.
XY graf
Signály ze dvou kanálů jsou zobrazeny proti sobě, čímž vzniknou tzv. Lissajousovy
obrazce.
Frekvenční analýza
Okno frekvenční analýzy zobrazuje výsledky Fourierovy analýzy vybraného kanálu.
Amplituda stejně jako frekvence může být zobrazena v logaritmické škále
či v jednotkách dB.
Generátor signálu
Dvoukanálový generátor signálu je integrován v programu. Generátor generuje signál
ve tvaru sinus, obdélník, trojúhelník a pila s nastavitelnou amplitudou a frekvencí.
Zadání
1. Změřte hodnoty jednotlivých součástí všech filtrů pomocí RLC měřiče.
2. Pomocí naměřených hodnot vypočítejte teoretické mezní hodnoty f1 a f2.
3. Změřte frekvenční charakteristiku všech samostatných filtrů v zapojení dle obr. 8.
Za filtr je zapojen zatěžovací odpor RZ, na kterém měříme výstupní napětí U2.
Vstupní napětí U1 udržujeme během měření konstantní.
Obrázek 8: Schématické uspořádání přístrojů pro měření.
Do grafu vyznačte závislost útlumu β na frekvenci. Do téhož grafu vyznačte
průběh koeficientu A, pro který zvolte vhodné měřítko grafu tak, aby vynikl obor
(-1, +1). Stupnici frekvence zobrazte v logaritmickém měřítku.
4. Změřte frekvenční charakteristiku samostatných filtrů a reproduktorové výhybky
pomocí programu Zeitnitz (viz zapojení na obr. 9). Výsledky porovnejte
s výsledky z úlohy č.3.
Obrázek 9: Schématické zapojení reproduktorové výhybky pro měření frekvenční charakteristiky.
Použitá literatura
- ONDRÁČEK, Zdeněk: Elektronika pro fyziky, Masarykova univerzita v Brně, Brno 1998, ISBN 80-210-1741-4
- SVOBODA, Ladislav; ŠTEFAN, Miloslav: Reproduktory a reproduktorové soustavy, SNTL - nakladatelství
technické literatury, Praha 1983, 04-534-83
- ŠAFER, Radim: Návrh reprosoustavy pro domácí poslech, Bakalářská práce, Vysoké učení technické v Brně,
Brno 2010
- ZEITNITZ, C.: Manual for the sound card oscilloscope V1.41, 2012. Dostupné online:
http://www.zeitnitz.eu/scope/manual_scope_v141.pdf
V RZ V
filtr
generátor
funkcí
výhybka
výkonový
zesilovač