Okruhy Definice. Množina R spolu se dvěma operacemi + a • se nazýva okruh, jestliže platí: ► (/?,+) je komutativní grupa, ► (/?,•) je pologrupa s neutrálním prvkem, ► platí distributivní zákony, tj. pro libovolné prvky a, b, c g R je a ■ (b + c) = a ■ b + a • c, (b + c)-a = b- a + c- a (užíváme obvyklou konvenci o tom, že násobení má přednost před sčítáním). Příklady. (Z, +, •), (Q, +, •). +, •). (C> +. O Jsou okrunv-Pro libovolné m g N je (Zm, +, •) okruh. Množina všech čtvercových matic Mn^n(R), kde R značí Z, Q, M nebo C a n g N, tvoří okruh (Mn)„(/?), +, •). Množina všech polynomů R[x], kde /? značí Z, Q, M nebo C, tvoří okruh (R[x], +, •). Příklad. (N, +, •) okruhem není. Okruhy Definice. (R, +, •) je okruh, jestliže: ► (/?,+) je komutativní grupa, ► (/?,•) je pologrupa s neutrálním prvkem, ► platí distributivní zákony, tj. pro libovolné prvky a, b, c g R je a ■ (b + c) = a ■ b + a ■ c, (b + c) • a = b • a + c • a. Označení. Neutrální prvek grupy (/?, +) značíme 0 a nazýváme nula okruhu R, zatímco neutrální prvek pologrupy (/?, •) značíme 1 a nazýváme jednička okruhu R. Inverzní prvek k prvku a g R v grupě (/?, +) se nazývá opačný prvek, značíme —a. Symbolem a — b rozumíme a + (—b). Mocninu prvku a g R v grupě (R,+) nazýváme násobek prvku a značíme na pro libovolné n g Z. Součet ai + • • • + an prvků okruhu R lze stručně zapsat y11-i ai- Základní vlastnosti okruhu Definice. Okruh (/?,+,•) se nazýva triviálni, má-li R jediný prvek. Věta. Nechť R je okruh. Pak platí ► Va g /? : 3-0 = 0- 3 = 0, ► y a, b e R : {-a) • b = a- (-b) = -(a ■ b), ► \Ja, b, c g R : a • (b — c) = a ■ b — a ■ c, (b — c) ■ a = b ■ a — c ■ a, ► V/7, m g N Vsi,..., an, bi,..., bm g R : {aí + ... + an)-{bí + --- + bm) = Ejli a/ • bj, ► V/7, m g Z Va, í? g /? : (na) • (mfa) = (n • m)(a ■ b), [veta í.e, str. 58] Věra. Okruh R je triviální, právě když v nem piati 1 — 0. [veta u, str. 59] Definice. Okruh R se nazýva komutativní, je-li pologrupa (/?, •) komutativní. Definice. Prvky a, Ď okruhu R se nazývají dělitelé nuly, jestliže a Ý Q, b Ý 0, avšak a • b = 0. Obory integrity Definice. Netriviální komutativní okruh R se nazýva obor integrity, pokud nemá dělitele nuly. Označení. Množinu všech nenulových prvků okruhu R značíme R*. Netriviální komutativní okruh R je tedy obor integrity, právě když (/?*, •) je pologrupa. Věta. Netriviální komutativní okruh R je obor integrity, právě když v něm platízákon o krácení, tj. pro každé a, b, c g R platí a / 0, a ■ b = a ■ c =4> b = c. [veta 1.10, str. 59] Definice. Nechť /? je okruh. Invertibilní prvek pologrupy (/?,•) se nazývá jednotka okruhu R. Množinu všech jednotek okruhu R značíme Rx. Poznámka. Nezaměňujte pojmy jednička a jednotka okruhu. Okruh má jedinou jedničku, kdežto jednotek může mít více. Vždy je jednička jednotkou. Okruhy s jedinou jednotkou jsou výjimečné (například okruh Z2). Nezaměňujte R* a Rx. Uvědomte si, že nové označení je v souladu s užívaným Z*. Tělesa R* = R — {0} ... množina nenulových prvků okruhu R, Rx = {a g /?; 3b g R : a • b = b • a = 1} ... množina invertibilních prvků pologrupy (/?, •). Věta. Necht R je okruh. Pak (Rx, •) JG ££ľUf)3, [[Věta 4.7, str. 25] je užita pro pologrupu (R, ■).] Definice. Netriviální komutativní okruh R se nazýva těleso, pokud je každý jeho nenulový prvek jednotkou. Věta. Netriviální komutativní okruh R je těleso, právě když R* = Rx, tedy právě když (R*,-) je grupa, [vaa í.u. str eo] Důsledek. Každé těleso je oborem integrity, [veta 1.13, str eo] Příklad. Okruh celých čísel Zje oborem integrity, který není tělesem. Věta. Každý konečný obor integrity je tělesem, [veta 1.17, str ei] Věta. Okruh zbytkových tříd Zm je oborem integrity, právě když je tělesem, což nastane právě když m je prvočíslo, [veta 1.16, str 6i] Charakteristika okruhu Poznámka. Pripomeňme, že v okruhu R pro libovolné a g R, n 0, pak řád prvku a v grupě (R, +) je p. [Věta 2.6, str. 62] Důsledek. Je-li R obor integrity, pak všechny nenulové prvky grupy (R, +) mají stejný řád. Důsledek. Je-li R konečné těleso, p = char R, pak grupa (/?, +) je izomorfní s grupou (Zp, +) x • • • x (Zp, +), počet prvků konečného tělesa R je tedy mocninou jeho prvočíselné charakteristiky p. [Poznámka 2.8, str. 62] Homomorfismus okruhů Definice. Nechť (/?, +, •) a (S, +, •) jsou okruhy, f : R —> S zobrazení. Řekneme, že f je homomorfismus okruhu R do okruhu S, jestliže ► pro každé a, b e R platí f (a + b) = f (a) + f (b), ► pro každé a, b £ R platí ŕ(a • b) = f (a) • ^(Ď), - f{l) = l. Injektivní homomorfismus se nazýva vnoření, bijektivní izomorfismus. O okruzích R, S řekneme, že jsou izomorfní, píšeme R = S, existuje-li alespoň jeden izomorfismus R —> S. Príklad. Pro libovolné m g N je zobrazení tt : Z —> Zm, určené předpisem 7r(a) = [a]m pro libovolné a g Z, homomorfismus okruhu (Z, +, •) celých čísel do okruhu (Zm, +, •) zbytkových tříd modulo m. Věta. Jsou-li f : R —^ S a g : S —> T homomorfismy okruhů, pak také g o f : R —^ 7" je homomorfismem okruhů, [veta 4.4, str 73] Homomorfismus okruhů, jeho jádro Věta. Necht f : R —» S je izomorfismus okruhů. Pak i inverzní zobrazení f ~1 : S —> R je izomorfismus okruhů, [veta 4.5, str. 73] Důsledek. Pro libovolné okruhy R, S, T platí: R^ R; z R^ S plyne S = R; a konečně zR = SaS=T plyne R=T. Poznámka. Zapomeneme-li v okruhu R, jak se násobí, zůstane nám aditivní grupa (/?, +). Každý homomorfismus okruhů f : R —> S je také homomorfismem aditivních grup, je tedy f(0) = 0, pro každé a g R platí f (—a) = — f (a), a máme jeho jádro: Definice. Nechť f : R —> S je homomorfismus okruhů. Množina ker f = {a g R; f (a) = 0} se nazývá jádro homomorfismu f. Věta. Homomorfismus okruhů f : R —^ S je injektivní, právě když ker f = {0}. [Věta 4.9, str. 74] Příklad. Zobrazení f : C ->• M2,2(M), kde f(a + bi) = ( pro libovolné a,i£l, je vnoření tělesa C komplexních čísel do okruhu M2i2(K) matic typu 2x2. a Binomická věta Věta (binomická). Necht R je komutativní okruh, pak pro každé a, b g R a každé n g N platí (a+ = a"-''-Z)'', kde (") = („_",')!;! značí obvyklý binomický koeficient. Důkaz, indukcí vůči n: I. krok: případ n = 1 je zřejmý. II. krok: předpokládejme, že pro nějaké n g N už bylo dokázáno, dokážeme tvrzení pro n + 1. Víme tedy (a + b)n = a" + (1)a"-1-b+ (£)a""2 ■ b2 + ■ ■ ■ + {nn_^)a-b"-1 + bn. Vynásobením (užíváme komutativitu okruhu) {a + b)n-a = an+1 + (l)an-b+(^an-1-b2 + --- + (^)a-bn, {a + bf-b= (J)3".H(;)3"-1'ť + - + („"1)a-fa" + í)n+1. Sečtením a užitím (/"J + (") = dostaneme (a + Ď)n+1 = an+l + (n+l)a„ . fa + ("+l)an-l . f,2 + . . . + ("+l)a . fa" + b"+\ což se mělo dokázat. Umocnění na charakteristiku v oboru integrity Věta. Pro libovolné prvočíslo p a libovolné i g {1, 2,..., p — 1} platí p \ (1). Důkaz. Platí p | p! = (^) •/'! • (p —/')!. Současně p \ /'! • (p — /')!. Věta. Necht R je obor integrity charakteristiky char R = p > 0. Pak pro každé a, b g R platí (a + b)p = ap + ZA [Věta 2.9, str. 62] Důsledek. Necht R je obor integrity charakteristiky char R = p > 0. Pa/c zobrazení f : R ^ R, kde f (r) = rp, je injektivní homomorfismus okruhů. Podokruh okruhu Definice. Nechť (/?, +, •) je okruh, H podmnožina množiny R. Řekneme, že H je podokruh okruhu R, jestliže ► 0,lGH, ► pro každé a G H platí —a G H, ► pro každé a, b G H platí a + b, a ■ b G H. Poznámka. Největším podokruhem okruhu R (vzhledem k C) je celý okruh R, nejmenším podokruhem je {nl; n G Z}. Věta. Nechť H je podokruh okruhu (R, +, •). Pak + a ■ určují operace na množině H, přičemž H je okruh vzhledem k těmto operacem. Je-li okruh R komutativní, pak je i okruh H komutativní. Je-li R obor integrity, pak je i H obor integrity. [v«ta 3.2, str. Důsledek. Každý podokruh tělesa je oborem integrity. Příklad. Podokruh tělesa nemusí být těleso: vždyť Zje podokruhem Q. Věta. Jestliže H je podokruh okruhu R a K je podokruh okruhu H, pak je K také podokruh okruhu R. [Zřejmé, vždyt operace + a ■ se v okruhu H počítají jako v Podokruh okruhu generovaný podmnožinou okruhu Věta. Necht R je okruh, I neprázdná množina taková, že pro každé i g / je dán podokruh H; okruhu R. Pak průnik P|(g/ H-, všech těchto podokruhů je opět podokruhem okruhu R. Definice. Nechť M je podmnožina okruhu R. Symbolem (M) označíme průnik všech podokruhů okruhu R, jejichž podmnožinou je množina M. Podle předchozí věty je (M) podokruhem okruhu R obsahující množinu M; evidentně je nejmenší s touto vlastností. Podokruh (M) nazýváme podokruh generovaný množinou M, množinu M nazýváme množina generátorů podokruhů (M). Poznámka. Zřejmě (R) = /?, (0) = {ni; n g Z}. Označení. Je-li M = H u {a}, kde H je podokruh okruhu R a a g R, píšeme též H[á\ místo (M). Věta. Nechť H je podokruh komutativního okruhu R a a g R. Pak H[a] = {h0 + /iia + h2a2 + ■■■ + hnan; n g n, hQ, hu ..., hn g H}. [Věta 3.12, str. 71] Součin okruhů Věta. Nechi (/?, +, •) a (S, +, •) jsou okruhy. Definujme na kartézském součinu R x S nové operace + a • po složkách, tj. (i, si) + (r2, s2) = (a + r2, Si + s2), (i, si) • (r2, s2) = (ri • r2, si • s2) pro libovolné r\, r2 G P a si, s2 G S. Pa/c (P x S, +, •) _/e okruh s nulou (0, 0) a jedničkou (1,1). A/awc platí {R x S)x = /?x x Sx [Ověření je zdlouhavé, ale snadné: všechny axiomy okruhu jsou v R X S splněny, protože se operace počítají po složkách a v obou složkách tyto axiomy platí, protože jsou R a S okruhy.] Definice. Výše popsaný okruh (/? x S, +, •) se nazývá součin okruhů (/?, +, •) a (S, +, •). Zobrazení p\ : R x S —^ /? a p2 : /? x S —^ S určená předpisy pi((r,s)) = r, p2((r, s)) = s pro libovolné (r, s) £ /? x S se nazývají projekce (ze součinu). Věra. Necht (R x S, +, •) _/e součin okruhů (R, +, •) a (S, +, •). Pa/c oM projekce p\ a p2 jsou surjektivní homomorfismy okruhů. [Zřejmé, protože se operace počítají po složkách.] ínská zbytková věta Věta (Čínská zbytková). Nechi m, n 6 n a zobrazení f : Zmn -íZmxZ„ je určeno předpisem f{[a]mn) = ([a]m, [a]n) pro libovolné a £ Z. Pak f je homomorfismus okruhů. Je-li navíc (m, n) = 1, je f izomorfismus, a tedy Zmn = Zm x Z„. Důkaz. Protože m | mn a n | mn, je f definováno korektně. Zřejmě zachovává operace +, • i 1. Je-li (m,n) = 1, pak je ker f = {[a]mn; a 6 Z, m | a, n | a} = {[0]mn}, a tedy f je injekce. Protože obě množiny mají mn prvků, je f i surjekce. Důsledek. Je-li (m, n) = 1, pak Z* „ =Z^,xZ„x, a tedy tp(m ■ n) = ip(m) ■ (p(n). Důsledek. Je-li (m, n) = 1, pak pro každé a, b £ Z existuje cěZ řa/c, že c = a (mod n), c = b (mod m). Konstrukce podílového tělesa q{r) oboru integrity r Motivace. Víme, že každý podokruh tělesa je oborem integrity. Ukažme, že i naopak každý obor integrity je podokruhem vhodného tělesa. Nechť dále R je libovolný, ale pevně zvolený obor integrity. Věta. A/a množině R x R* definujeme relaci = předpisem (a,b) = (c,d) <=)> a-d = b-c pro libovolné a, c G R, b, d G R*. Pak = je relace ekvivalence. [Lemma 4.13, str. 75] Označení. Označme Q(R) rozklad příslušný ekvivalenci =, tedy Q(R) = (R x R*)/ =. Pro libovolné (a, b) G R x R* označme f G Q (R) třídu obsahující (a, b), pro každé a, c G R, b, d G R* tedy platí f = § a-d = b-c. Věta. A/a (?(/?) lze definovat operace + a • takto: pro každé a, c G /?, £>, c/ G R* definujeme a_ \ c_ _ a-d+c-b a_ c_ _ a c b t d ~ bd ' b ' d ~ bd- Pak ((?(/?), +, •) je těleso a zobrazení k : R —> Q (R), určené předpisem k(a) = j, je vnoření (tj. injektivní homomorfismus okruhu). [Věta 4.15, str. 75], [Věta 4.17, str. 76] Konstrukce podílového tělesa q(r) oboru integrity r Máme vnoření k : R —> Q(R), k(a) = j pro každé a G R. Příklad. Q(Z) = . Věta. Nechi f : R —» T je vnoření oboru integrity R do tělesa T. Pak předpis f (|) = f(a) ■ f(b)^1 pro libovolné a, b G R, b ^ 0 dává homomorfismus f : Q(R) —> T takový, že f o k = f. R- T y -y f Q(R) Navíc platí, že f je jediný takový homomorfismus a že f je také vnoření, a tedy Q (R) je izomorfní se svým obrazem v homomorfismu f, tj. Q(R)^{f(a)-f{b)-1]a,be R, b^O}. [Věta 4.19, str. 77] Příklad. Z[/] = {x + / • y; x, y G Z} je obor integrity, inkluze dává jeho vnoření do C, tj. máme injektivní homomorfismus f : Z[i] ->• C, kde f (a) = a pro a G Z[/]. Proto C?(Z[/]) = {a • /T1; a, (3 G Z[!\, (3 ± 0} = {x + / • y; x,y G Q} = Q[/]. Příklad. Podobně Q{Z[^fp\) = Q[^/jô] pro libovolné prvočíslo p. Dělitelnost v komutativních okruzích Definice. Nechť R je komutativní okruh, a, b G R. Řekneme, že prvek b dělí prvek a, neboli že prvek a je dělitelný prvkem b, píšeme b | a, jestliže existuje prvek q G R takový, že a = q ■ b. V opačném případě říkáme, že prvek b nedělí prvek a, neboli že prvek a není dělitelný prvkem b, píšeme b \ a. Věta. Necht R je komutativní okruh, pak platí ► Va G R : 1 I a, a j a; ► Va, b,c G R : a \ b, b \ c =4> a \ c; ► Va, b,c a | b + c; ► Va G R : a G r?x a | 1; ► Va, Ď G R : ae Rx, b\a b G Rx; ► Va,Ď G R : a G r?x =>- a | fa. [Věta 2.11, str. 63] Důsledek. Necht R je komutativní okruh, ai,..., a„, b G R, ui,..., un G R libovolné. Jestliže b | af- pro každé i = 1,..., n, pak b I Eľ=i "/ • a/- Dělitelnost v komutativních okruzích Definice. Nechť R je komutativní okruh, a, b 6 R. Řekneme, že prvky a, b jsou asociované, píšeme a ~ b, jestliže a | b a současně b | a. Věra. Necht R je komutativní okruh. Relace asociovanosti ~ je relací ekvivalence na množině R. [věta 2.13, str. 63] Věta. Nechť R je obor integrity, a, b 6 R. Pak platí a ~ b, právě když existuje jednotka c £ Rx tak, že a = c ■ b. [věta 2.15, str 64] Definice. Nechť /?je komutativní okruh, a, fa G R. Libovolný prvek cefi splňující c \ a, c \ b, se nazývá společný dělitel prvků a, b. Libovolný prvek d £ R se nazývá největší společný dělitel prvků a, fa, jestliže ► d \ a, d \ b, ► Vc 6 R : c \ a, c \ b c \ d. Tedy největší společný dělitel prvků a, b je takový jejich společný dělitel, který je dělitelný každým jejich společným dělitelem. Dělitelnost v komutativních okruzích Definice. Nechť /?je komutativní okruh, a, b g R. Libovolný prvek cg/? splňující a | c, b | c, se nazývá společný násobek prvků a, fa. Libovolný prvek d g /? se nazývá nejmenší společný násobek prvků a, fa, jestliže ► a | d, b | c/, ► Vc £ /? : a | c, fa | c =4> c/ | c. Tedy nejmenší společný násobek prvků a, b je takový jejich společný násobek, který dělí každý jejich společný násobek. Poznámka. Předchozí definice mírně pozměňují dříve definované pojmy „největší společný dělitel" a „nejmenší společný násobek" v Z. Definovali jsme je totiž pomocí uspořádání podle velikosti, které v obecném okruhu nemáme k dispozici. Dále budeme tyto pojmy používat podle nové definice, avšak zavedené označení (m,n) a [m, n] ponecháme. Tedy (m,n) značí nezáporný největší společný dělitel čísel m, n g Z. Podobně [m, n] značí jejich nezáporný nejmenší společný násobek. Dělitelnost v komutativních okruzích Věta. Necht R je komutativní okruh, a, b g R. Největší společný dělitel prvků a, b, pokud existuje, je určen jednoznačně až na asociovanost. Také nejmenší společný násobek prvků a, b, pokud existuje, je určen jednoznačně až na asociovanost. [veta 2.17, str 64] Definice. Nechť R je obor integrity, a g R. Řekneme, že a je ireducibilní prvek okruhu R, jestliže a 7^ 0, a ^ Rx a pro každé b, c g R takové, že a = b • c, platí b g Rx a c ~ a anebo c g Rx a b ~ a. Příklad. Ireducibilními prvky okruhu Z jsou právě prvočísla a čísla k nim opačná. Příklad. Je-li 7" těleso, pak v T neexistují žádné ireducibilní prvky. Věta. Necht R je obor integrity, a, b g R. Je-li a ireducibilní prvek okruhu R a b ~ a, pak je také b ireducibilní. Důkaz. Víme, že existuje jednotka e g Rx, že a = e • b. Zřejmě b 7^ 0, b £ Rx. Pro každé x, y g R, b = x • y, je a = (e • x) • y. Okruhy s jednoznačným rozkladem Definice. Řekneme, že R je okruh s jednoznačným rozkladem, jestliže ► R je obor integrity, ► každé a G R, a ^ 0, a ^ Rx, lze rozložit na součin několika ireducibilních prvků, přičemž tento součin je jednoznačný až na pořadí a asociovanost. Příklad. Víme, že Z je okruh s jednoznačným rozkladem (například rozklady 6 = 2- 3 = 3- 2 = (-2) • (-3) = (-3) • (-2) se liší jen pořadím a asociovaností). Příklad. Každé těleso je okruh s jednoznačným rozkladem, neboť neobsahuje žádný prvek, který by byl nenulový a nebyl jednotka. Příklad. V okruhu Z[/] je možné dokázat větu o dělení se zbytkem (aby se dalo říct, že zbytek je „menší" než číslo, kterým se dělilo, je třeba nějak měřit velikost zbytku; v tomto případě to lze udělat pomocí absolutní hodnoty), [veta 3.4, str. 67] Stejnou úvahou jako v Z, tedy pomocí Euklidova algoritmu a Bezoutovy rovnosti lze pak ukázat, že Zf/1 je okruh s jednoznačným rozkladem. Príklad Nechť R = Z[i VŠ] = {a + bi VŠ; a,b£ Z}. Pak R je obor integrity, protože je podokruhem C. Definujme zobrazení N : R —> Z takto: pro libovolné a = a + biVŠ klademe N (a) = H2 = a2 + 5b2. Jestliže /3 | a v /?, existuje 7 é R tak, že a = /3 • 7, a tedy A/(a) = |/3 • 7|2 = |/3|2 • |7|2 = A/(/3) • A/(7), tudíž A/(/3) | N {a) v Z. Je-li a = a + bi VŠ G /?x, pak a | 1 v /?, a proto N (a) \ N(l) = 1. Odtud a2 + 5b2 = 1, proto b = 0, a = ±1. Je tedy /?x = {1, -1}. Platí 6 = 2 • 3 = (1 + iVŠ)(l — iVŠ), pritom tito všichni čtyři činitelé jsou ireducibilními prvky okruhu R. Je totiž A/(2) = 4, N(3) = 9, N(l + iVŠ) = N(l - iVŠ) = 6. Kdyby například 1 + iVŠ = 7 • ô pro nějaké 7, ô G /? - /?x, platilo by A/(7) > 1, N(6) > 1, A/(7) • N(6) = 6. Proto A/(7) G {2, 3}, což je spor, protože rovnice x2 + 5y2 = 2 a x2 + 5y2 = 3 nemají řešení v Z. Jsou tedy 2 • 3 = (1 + iVŠ)(l - iVŠ) součiny ireducibilních prvků lišící se více než pořadím a asociovaností, proto R není okruh s jednoznačným rozkladem. Pokračování příkladu Označme a = (1 + iVŠ)2 = 2(-2 + iy/Š), /3 = 2(1 + iy/Š) a ukažme sporem, že a, (3 nemají největší společný dělitel v R. Předpokládejme tedy, že 7 = x + yiVŠ je největší společný dělitel čísel a, (3. Pak platí 7 | a, 7 | j3 v /?, a tedy A/(7) | A/(a) = 36, A/(7) | A/(/3) = 24 v Z, tedy A/(7) | 12. Na druhou stranu 2 a 1 + /'VŠ jsou společní dělitelé čísel a, (3, a tedy 2 | 7 a 1 + / VŠ | 7 v R, a tedy 4 = A/(2) | A/(7) a 6 = A/(l + iy/5) | A/(7) v Z, tedy 12 | A/(7). Dohromady 12 = A/(7) = x2 + 5y2. Taková x,y G Z však neexistují. Proto a, (3 nemají největší společný dělitel v R. Polynomy nad libovolným okruhem r Poznámka. Abychom nemuseli definovat, co je to výraz a kdy jsou si dva výrazy rovny, nezavedeme polynom jako výraz určitého tvaru, ale pomocí posloupnosti koeficientů. To lze udělat nad libovolným okruhem R. Definice. Nechť R je okruh. Polynomem nad okruhem R rozumíme nekonečnou posloupnost f = (fy, fy, fy,...), kde f, £ R pro každé / = 0,1, 2,... a platí, že množina {/' G N U {0}; f, ^ 0} je konečná. Prvky fy, fy, fy,... nazýváme koeficienty polynomu f. Množinu všech polynomů nad okruhem R označujeme symbolem R[x]. Dohoda. Koeficienty polynomu f budeme automaticky označovat symboly fy, fy, fy, ■ ■ ■ ■ Věta. Nechť R je okruh. Na množině R[x] definujeme operace +, • vztahy (f + g)i = fi + gi, (f ■ g)i = ELo fkSi-k pro každé f,g e R[x], i G Z, / > 0. Pak (R[x], +, •) je okruh. Je-li R komutativní, pak R[x] je také komutativní, [veta 5.2, str 78] Polynomy nad libovolným okruhem r Definice. Okruh R[x] se nazývá okruh polynomů nad okruhem R. Věta. Necht R je okruh. Zobrazení k : R —> R[x] určené předpisem k{a) = (a, 0, 0,...) je vnoření, [vaa 5.4, str. 79] Ztotožnění. Polynomy tvaru (a, 0, 0,...) se nazývají konstatntní. Předchozí věta nám umožňuje ztotožnit a G R s konstantním polynomem (a, 0, 0,...). Tím se okruh R stává podokruhem okruhu R[x\. Polynom 0 = (0, 0, 0,...) se nazývá nulový, ostatní polynomy se nazývají nenulové. Definice. Nechť f je nenulový polynom nad okruhem R. Největší n > 0 takové, že fn 7^ 0, se nazývá stupeň polynomu f, značíme st(f). (Takové n existuje, vždyť množina {/' G N U {0}; f, 7^ 0} je konečná.) Koeficient fn se pak nazývá vedoucí koeficient polynomu f. Stupeň nulového polynomu klademe roven —00, jeho vedoucí koeficient nedefinujeme. Příklad. Polynomy stupně 0 jsou právě nenulové konstantní polynomy. Polynomy nad libovolným okruhem r Definice. Polynomy stupně 1 se nazývají lineární, polynomy stupně 2 kvadratické, polynomy stupně 3 kubické. Lineární polynom (0,1, 0, 0,...) budeme označovat symbolem x. Příklad. Zřejmě x2 = (0, 0,1, 0, 0,...), x3 = (0, 0, 0,1, 0,...) atd. Věta. Necht R je okruh a ŕ G R[x] nenulový polynom stupně n. Pak platí f = fn • x" + • • • + f\ • x + kde koeficienty f, polynomu f chápeme jako konstantní polynomy a operace + a • jsou operace v okruhu R[x]. [Věta 5.8, str. 80] Poznámka. Přestože jsme polynomy nedefinovali jako výrazy, předchozí věta nám umožňuje s nimi tak pracovat. Dohoda. V následující větě budeme potřebovat tyto vztahy pro počítání s nekonečnem: —oo < n, (—00) + (—00) = (—00) + n = n + (—00) = —00 pro libovolné n G Z, n > 0. Polynomy nad libovolným okruhem r Věta. Nechť R je okruh a f,g G R[x]. Pak platí ► st{f + g) < max{st(f),st(g)}, ► st{f ■ g) < st(f) + st(g), ► jestliže f / 0, g / 0 a alespoň jeden z vedoucích koeficientů polynomů f a g není dělitel nuly pak st{f ■ g) = st(0 + st(g). [Věta 5.10, str. 81] Věta. Je-li R obor integrity pak také R[x] je obor integrity, [věta 5.12, str. si] Věta. Nechť R je obor integrity. Pak (R[x])x = Rx, tedy polynom f je jednotkou okruhu R[x], právě když je konstantní a současně je jednotkou okruhu R. [věta 5.13, str si] Důsledek. Pro žádný okruh R není R[x] těleso. Příklad. Jestliže R není obor integrity, mohou existovat i nekonstatní jednotky okruhu R[x], například v Zg[x] platí ([3]9-x + [l]9)-([6]9-x + [l]9) = [l]9. Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Necht R je okruh, f,g G R [x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g ^ 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q,r£ R[x] taková, že st(r) < st(g) a platí f = g ■ q + r. Důkaz existence q, r. Pro f = 0 zřejmé (q = r = 0), dále f ^ 0. Nechť g = anxn H-----h aix + a0, an G Rx, tj. st(g) = n, f = bmxm + • • • + bíx + bo, bm Ý 0, tj. st(f) = m. Postupujme indukcí vůči m. I. krok: Je-li m < n, pak označme q = 0, r = f. II. krok: Předpokládejme, že m > n a že pro polynomy stupně menšího než m již bylo dokázáno. Polynom g ■ a~1 • bm ■ xm~n má stejný stupeň i vedoucí koeficient jako f, proto pro polynom h = f — g ■ a^1 • bm ■ xm~n platí st(h) < m. Z indukčního předpokladu existují p, r G R[x] tak, že st(r) < st(g) a platí h = g • p + r. Pak dosazením a úpravou dostaneme f = g ■ a-1 • bm ■ xm-n + h = g- (a-1 • bm ■ xm-n + p) + r. Stačí označit q = a^1 • bm ■ xm~n + p. Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Necht R je okruh, f,g G R [x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g ^ 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q,r£ R[x] taková, že st(r) < st(g) a platí f = g ■ q + r. Důkaz jednoznačnosti q, r. Předpokládejme, že q, r, q, 7 G R[x], přičemž st(r) < st(g) a st(ř) < st(g), splňují f = g- q+ ř = g- q + r. Pak g ■ (q — q) = r — 7. Vedoucí koeficient polynomu g není dělitel nuly, tedy st(g) + st{q -q)= st{g ■ (q - q)) = st(r - ř) < st(g). Pak tedy st(q — q) < 0, tj. q = q, odkud 7 = r. Euklidův algoritmus v okruhu polynomů nad tělesem Poznámka. Je-li R je těleso, je v R[x] vedoucí koeficient každého nenulového polynomu jednotkou. Proto pro libovolné nenulové polynomy f,g£ R[x] lze postupovat podle Euklidova algoritmu f = g ■ qo + r0, g = r0 ■ gi + ri, ro = r-í ■ q2 + r2, ri = r2 ■ q3 + r3, rn-2 = rn-i ■ qn + rn, rn-i = rn ■ qn+í + 0. Přitom st(g) > st(ro) > st(ri) > st(r2) > ..., proto skutečně po několika děleních nastane rn+\ = 0. Největší společný dělitel v okruhu polynomů nad tělesem Věta. Necht R je těleso. Pak libovolné dva nenulové polynomy f,g G R[x] mají v R[x] největší společný dělitel d G R [x], který je možné spočítat pomocí Euklidova algoritmu (jako poslední nenulový zbytek v prováděných děleních) a vyjádřit jej Bezoutovou rovností, tj. existují a, b G R[x] tak, žed = a- f + b- g. [Věta 5.18, str. 83], [Věta 5.20, str. 84] Definice. Nenulový polynom se nazýva normovaný, je-li jeho vedoucí koeficient roven 1. Poznámka. Je-li R těleso, je R[x] obor integrity a platí (/?[x])x = Rx = R*. Je tedy každý nenulový polynom z R[x] asociovaný s právě jedním normovaným polynomem. Definice. Nechť R je těleso, f, g G R[x] nenulové polynomy. Označme (f, g) normovaný největší společný dělitel polynomů f a g. O polynomech f a g řekneme, že jsou nesoudělné, je-li (f,g) = 1. Věta. Necht R je těleso, f,g,h£ R[x] nenulové polynomy. Jestliže f | g • h a současně (f, g) = 1, pak f | h. [veta 5.23, str. 85] Ireducibilní polynomy Věta. Necht R je těleso, f G R[x]. Polynom f je ireducibilní prvek okruhu R[x], právě když f není konstantní a nelze jej rozložit na součin dvou nekonstantních polynomů z okruhu R[x]. [veta 5.24, str. 85] Definice. Nechť R je okruh, f G R[x] se nazývá ireducibilní polynom nad R, jestliže f není konstantní a nelze jej rozložit na součin dvou nekonstantních polynomů z okruhu R[x]. Varování. Pozor, rozlišujte pojmy „ireducibilní polynom nad okruhem R" a „ireducibilní prvek okruhu /?[x]." Příklad. Je-li R těleso, jsou ireducibilní polynomy nad R právě ireducibilními prvky okruhu R[x]. Příklad. Konstantní polynom 2 je ireducibilním prvkem okruhu Z[x], ale není ireducibilním polynomem nad Z. Polynom 2x je ireducibilní polynom nad Z, ale není ireducibilním prvkem okruhu Z[x]. Věta. Necht R je těleso, f,g,h£ R[x] polynomy, přičemž f je ireducibilní nad R. Jestliže f \ g • h, pak f \ g nebo f \ h. Okruh polynomů nad libovolným tělesem je okruhem s jednoznačným rozkladem Věta. Necht R je těleso, f G R[x] nenulový polynom. Pak existuje k G Z, k > 0, a G R* a normované ireducibilní polynomy pi,... ,pk G R[x] tak, že f = a- pi • ... • pk. Tento rozklad je navíc jednoznačný až na pořadí činitelů. [Věta 5.27, str. 86] Důsledek. Jestliže R je těleso, je R[x] okruh s jednoznačným rozkladem. Poznámka. Předchozí důsledek lze značně zesílit, platí totiž následující věta: Věta. Necht R je okruh. Pak okruh polynomů R[x] je okruhem s jednoznačným rozkladem, právě když okruh R je okruhem s jednoznačným rozkladem. [Větu uvádíme bez důkazu.] Důsledek. Okruh Z[x] je okruhem s jednoznačným rozkladem. Kořen polynomu Definice. Nechť P je okruh, f = anx" + • • • + a\x + a§ g R[x], cg/?. Pak prvek an • cn + • • • + a\ • c + a§ g R značíme f (c) a nazýváme hodnota polynomu f v prvku c. Věra. Necht R je komutativní okruh, f,g£ R[x], cg/?. Pa/c p/ar/ - (f + g)(c) = f(c) + g(c), *■ {f -g){c) = f{c) ■ g{c). [Věta 6.2, str. 87] Poznámka. Předpoklad o komutativitě byl podstatný pro násobení: jestliže pro a, c g P platí a-c/c-3, pak pro f = x, g = a je (ŕ • £)(c) = (x • a)(c) = (ax)(c) = a • c 7^ c • a = f(c) • g(c). Důsledek. Necht R je komutativní okruh, c g P. Pa/c zobrazení a : R[x] —>■ P určené předpisem a(f) = f(c) pro každé f g P[x] je homomorfismus okruhů. Definice. Nechť P je okruh, f g P [x], c g P. Řekneme, že c je kořenem polynomu f, jestliže f (c) = 0. Násobnost kořene polynomu Věta. Necht R je komutativní okruh, f g R[x], cg/?. Pak platí: c je kořenem polynomu f, právě když (x — c) | f v okruhu R[x]. [Věta 6.5, str. 87] Definice. Nechť R je komutativní okruh, f g R[x], f ^ 0, c g R, f (c) = 0. Přirozené číslo k se nazýva násobnost kořene c polynomu f, jestliže (x — c)k \ f a (x — c)k+1 \ f v okruhu R[x\. Kořeny násobnosti 1 se nazývají jednoduché. Poznámka. Podmínka (x — c)k \ f znamená, že existuje g g R[x] tak, že (x — c)k • g = f. Protože (x — c)k je normovaný polynom stupně k, platí k + st (g) = st(f). Přitom tedy st(g) > 0, odkud plyne k < st(f). Proto nenulový polynom nemůže být dělitelný každou mocninou polynomu x — c a předchozí definice jednoznačně určuje násobnost každého kořene libovolného nenulového polynomu nad komutativním okruhem. Příklad. Kvadratický polynom x2 — g Zs[x] má čtyři jednoduché kořeny [—l]s, [3]8, [—3]s- Počet kořenů polynomu nad oborem integrity Věta. Necht R je obor integrity, f G R[x], f ^ 0. Polynom f má nejvýše st(f) kořenů v R, počítáno i s násobností. Přesněji: součet násobností všech kořenů polynomu f v R je menší nebo roven st(f). Důkaz. Nechť ci,..., cs jsou různé kořeny polynomu f v R, nechť k; je násobnost kořene c\. Pak (x — c;)kl \ f v R[x\. Označme K podílové těleso oboru integrity R, tedy R je podokruhem tělesa K. Pak (x — Cj)ki | f v K[x]. Přitom x — c\, ..., x — cs jsou různé normované ireducibilní polynomy v K[x\. Rozložíme-li f na součin vedoucího koeficientu f a normovaných ireducibilních polynomů v K[x], z jednoznačnosti rozkladu plyne, že se mezi nimi polynom x — c; objeví alespoň Ay-krát pro každé / = 1,..., s. Proto Il/=i(x - c')k' I f- Protože K je těleso, platí £f=1 /c,- < st(f). Konečná podgrupa multiplikativní grupy tělesa Známe následující pojem a větu z teorie grup: Definice. Nechť G je konečná grupa. Nejmenší e G N takové, že pro každé a G G platí ae = 1, se nazývá exponent grupy G. Věta. Necht G je konečná komutativní grupa. Pak exponent grupy G je roven největšímu z řádů všech prvků grupy G. Věta. Necht K je těleso, G je konečná podgrupa multiplikativní grupy (K*,-). Pak G je cyklická grupa. Důkaz. Označme e exponent grupy G a n = \ G\ její řád. Podle připomenuté věty existuje g G G, jehož řád je e. Pak z Lagrangeovy věty e | n. Každý prvek grupy G je kořenem polynomu xe — 1, a tedy n < st(xe — 1) = e, proto n = e. Tedy (g) C G mají obě n prvků, tj. G = (g) je cyklická. Důsledek. Necht R je konečné těleso, pak je jeho multiplikativní grupa (R*,-) cyklická. Důsledek. Pro libovolné prvočíslo p je grupa (Z*, •) cyklická. Derivace polynomu Definice. Nechť R je okruh, f = anxn + • • • + a2x2 + a\x + a$ polynom z R[x\. Derivací polynomu f rozumíme polynom f = nanx"-1 H-----h 2a2x + a1. Poznámka. V tělese reálných čísel máme pojem limity, který v obecném okruhu není k dispozici. Proto jsme pojem derivace polynomu nemohli definovat limitou, ale jen uvedeným vzorcem, v němž například nan znamená n-násobek prvku an (tedy součet n kopií prvku an v grupě (/?, +)). Věta. Necht R je okruh, f,g£ R[x], c G R, n G N. Pak platí - {f+ g)' = f+ g', » {f-g)'= f-g + f-g', ► ((x — C)")' = n(x — c)"_1. [Věta 6.15, str. 89] Označení. Druhou derivaci polynomu f značíme f" = (f)', třetí f" = (f")' atd. Obecně pro k G N pak /c-tou derivaci polynomu f značíme fW = (ŕ^1))'. Je tedy fW = f, fW = f\ atd. Souvislost derivace polynomu s násobností kořenů Věta. Necht R je komutativní okruh, f G R[x], c G R, k G N. Jestliže c je k-násobným kořenem polynomu f, pak je c kořenem polynomů f, f", ŕ^-i) [veta e.ie, str. 90] Poznámka. Předchozí věta se používa při hledání vícenásobných kořenů daného polynomu f G R[x], kde R je těleso. Takový kořen je také kořenem derivace f, a tedy i největšího společného dělitele (f,n Věta. Necht R je těleso, f G R[x], c G R, k G N. Předpokládejme, že char R = 0 nebo char R > k. Pak c je k-násobným kořenem polynomu f, právě když je c kořenem polynomů f, f, f", ..., ŕ^-1) a není kořenem polynomu f^k\ [veta 6.17, str. 90] Příklad. Předpoklad o charakteristice je nezbytný. Například pro R = Z2 polynom f = x2 G 2^[x] má kořen [0]2 násobnosti 2. Přitom f = 2[l]2x = 0, a tedy /r(/í)([0]2) = 0 pro každé k G N. Poznámka. Jev pozorovaný v předchozím příkladě platí obecněji: je-li char/? = p > 0, pak pro každé f G R[x] platí = 0. Polynomy nad C Věta (Základní věta algebry). Každý nekonstantní polynom f £ C[x] má v C kořen, [veta 7.2, str. 93] Definice. Těleso R se nazývá algebraicky uzavřené, jestliže každý nekonstantní polynom f G R[x] má v R kořen. Příklad. Tělesa M a Q nejsou algebraicky uzavřená, žádné konečné těleso není algebraicky uzavřené (je-li R = {ri,..., rn}, pak (x — ri) • ... • (x —/-„) + 1 nemá v R kořen). Poznámka. Základní větu algebry lze tedy formulovat takto: C je algebraicky uzavřené těleso. Důsledek. Pro libovolný polynom f £ C[x] platí: f je ireducibilní nad C, právě když je f lineární. Důsledek. Necht f G C [x] je normovaný polynom, st(f) = n > 1. Pak existují c\,..., cn G C tak, že f = (x - ci) • ... • (x - c„). Tento rozklad je navíc jednoznačný až na pořadí činitelů. Polynomy nad C - Viětovy vztahy Důsledek (Viěte). Nechť f = x" + an_ix"_1 + • • • + 3ix + 3o £ C[x] je normovaný polynom, n > 1, ci,..., cn G C jeho kořeny (každý uveden tolikrát, kolik je jeho násobnost). Pak platí — 3n-l = ci + • • • + c„, 3„_2 = c1c2 + c1c3 + • • • + CiC„ + c2c3 + • • • + Cn_iCn, ( —1) 3n—k = ^ ^ Q1Q2 " " " l Zp[x] určené předpisem a(anxn + an_ix"_1 H-----h a\x + a0) = = [3„]px" + [a^ijpx"-1 + • • • + [ai]px + [a0]p pro libovolné ao, ai,..., a„ G Z (tedy každý koeficient je nahrazen odpovídající zbytkovou třídou) je homomorfismus okruhů. Pak a(f) ý 0> a{§) ý 0> a{f) ' a{§) = a{f ' g) = 0. coz Je sPor s tím, že Zp je těleso, a tedy Zp[x] je obor integrity. Polynomy nad Z - ireducibilita Věta (Gauss). Libovolný polynom f G Z [x] je ireducibilní nad Z, právě když je ireducibilní nad q. Důkaz. Tvrzení je zřejmé pro konstantní polynom f, který není ireducibilní ani nad Z ani nad Q. Nechť je tedy f nekonstantní. Jestliže f není ireducibilní nad Z, je možné jej psát jako součin dvou nekonstantníchch polynomů v Z[x]. Tyto polynomy jsou i z Q[x], a tedy f není ireducibilní nad Q. Předpokládejme tedy naopak, že f není ireducibilní nad Q. Pak tedy f = g ■ h pro vhodné nekonstantní polynomy f, g G Q [x]. Existují nenulová racionální čísla b, c tak, že b ■ g a c • h jsou primitivní. Podle Gaussova lemmatu je i (b ■ g)(c ■ h) = (bc) ■ f primitivní. Existují nesoudělná u, v G N tak, že bc = Kdyby u / 1, bylo by u dělitelné nějakým prvočíslem p, které by pak dělilo všechny koeficienty polynomu uf a z p \ v bychom dostali, že (bc) ■ f není primitivní. Proto u = 1 a f = (±v • (b • g)) • (c • h) je rozklad f na součin dvou nekonstantních polynomů v Z[x], a tedy f není ireducibilní nad Z. Polynomy nad Z - ireducibilita Věta (Eisensteinovo kriterium). Nechi f = anx" + an_ix"_1 + • • • + aix + 3o G Z [x] _/e nekonstantní polynom stupně n. Jestliže existuje prvočíslo p takové, že *■ P | an-i, P I 3n-2, ■ ■ ■, p \ a1, p \ aQ, + P\an, ► P2\3Q, pak je f ireducibilní nad q. Poznámka. Pokud prvočíslo daných vlastností neexistuje, neříká Eisensteinovo kriterium o ireducibilitě f zhola nic. Polynomy nad Z - důkaz Eisensteinova kriteria Důkaz sporem. Předpokládejme, že naopak f není ireducibilní nad Q, podle Gaussovy věty není ireducibilní ani nad Z. Z předpokladů st(f) = n > 0 a f je nekonstantní. Existují tedy nekonstantní polynomy g, h G Z [x] tak, že f = g ■ h. Opět užijme homomorfismus okruhů a : Z[x] —> Zp[x] určený předpisem a(bnxn + hn-ix"-1 + ... + blX + b0) = = [bn]pxn + [Z^-ilpx"-1 + • • • + [b^px + [Ď0]p pro libovolné bo, b\,..., bn G Z. Pak z prvního předpokladu plyne, že a(g) ■ a(h) = a(g ■ h) = a(f) = [an]pxn je asociované s polynomem x", neboť p\ an. Přitom Zp[x] je okruh s jednoznačným rozkladem, proto a(g) i a(h) jsou asociované s mocninami polynomu x. A protože jsou nekonstantní, musí být absolutní členy obou polynomů g i h dělitelné p. Jejich součin ao je tedy dělitelný p2, což je spor.