Věta (druhá Sylowova). Nechi G je konečná grupa, p prvočíslo a k G N takové, že \G\ = pk-m ap \ m. Označme r početp-Sylowských podgrup grupy G (tedy podgrup grupy G řádu pk'). Pak platí
• r = 1 (mod p),   r \ m;
• libovolná podgrupa grupy G, jejíž řád je mocnina p, je podgrupou některé p-Sylowské podgrupy grupy G;
• jestliže H, K jsou p-Sylowské podgrupy grupy G, pak existuje g E G tak, že předpis /i H> g - h ■ g~ľ určuje izomorfismus H —>• K.
Důkaz. Pro libovolnou podgrupu H < G a libovolné g E G budeme užívat označení g ■ H ■ g~ľ = {g ■ h ■ g~ľ; h G H}.
Z první Sylowovy věty víme, že alespoň jedna p-Sylowská podgrupa grupy G existuje, jednu pevně zvolme a označme ji P. Je tedy P < G, \P\ = pk. Označme
X = {g-P-g'1; g E G}, s = \X\.
Definujme zobrazení ip : G —> S(X) předpisem: pro každé a G G a každé P' e X klademe
<p(a)(P') = a-P' -a'1. Protože P' = g ■ P ■ g~ľ pro nějaké g G G, je
a ■ P' ■ cT1 = a ■ g ■ P ■ g~ľ ■ cT1 = [a ■ g) ■ P ■ {a ■ g)^1 G X.
Je tedy </?(a) : X —> X zobrazení. Protože pro libovolná a, b G G máme
ip(a) (np(b)(P')) = ip(a)(b ■ P' ■ r1) = a-b-P' -b'1-a'1 = = (a-b) ■ P' ■ (a- b)'1 = (p(a ■ b)(P'),
platí íp(a) o tp{b) = <p(a ■ b). Proto
^(gT1) o ip(a) = ^{aT1 • a) = ip{\) = idx, ip(a) o ^(gT1) = ip(a ■ gT1) =        = idx,
a tedy je </?(a) bijekce, tudíž </?(a) G S(X). Navíc jsme už ukázali, že je ip homomorfismus. Je tedy ip akce grupy G na množině X. Označme Sp stabilizátor prvku P v akci 99, tedy
SP = {geG;g-P-g-1 = P}.
Z definice je vidět, že množina X je orbitou prvku P. Protože počet prvků orbity je index stabilizátoru, platí
s = \X\ = \G/SP\ = j^j,
tedy s- \SP\ = \G\, tj. s I
1
Přerušme důkaz věty, abychom dokázali
Lemma. Nechť Q je libovolná podgrupa grupy G taková, že \Q\ | pk, tj. řád Q je mocnina p. Pak platí Q H S p = Q H P. (Ekvivalentně lze lemma formulovat takto: platí P C S p a pro každý prvek x E S p takový, že řád x je mocninou p, platí x E P.)
Důkaz lemmatu. Zřejmě pro každé g E P platí g ■ P ■ g~ľ C P. Protože předpis x H> g-x-g^1 zadává bijekci na G (vždyť jde o vnitřní automorfismus), je \g ■ P ■ g~ľ\ = \P\, a tedy g ■ P ■ g~ľ = P. Dostali jsme, že P C Sp, odkud plyne Q n P C Q n SP.
Označme H = Q H S p. Pro důkaz opačné inkluze (a tedy dokončení důkazu lemmatu) stačí ukázat, že platí H C P. Označme K = (H U P). Protože HUP je neprázdná podmnožina G obsahující s každým svým prvkem i prvek k němu inverzní, platí
K = {ai ■ a2 ■ ■ ■ an; n G N, Vi G {1,..., n}: a{ G H U P}.
Pro libovolné b E H z definice plyne b G Sp, a tedy b ■ P ■ b~ľ = P, a proto pro každé a E P existuje ä E P splňující a = b ■ a ■ b~ľ, tj. ä ■ b = b ■ a. Proto
K = {a ■ b; a E P, b E H}.
Ukážeme nyní, že platí \P/(H H P)\ = \K/H\, a to tak, že sestrojíme bijekci /: P'/{H H P) —> K/H. Pro libovolné a E P položíme
f{a-(HC\P)) = a-H.
Pro libovolné a1,a2 E P platí aľ ■ (H H P) = a2 ■ (H H P), právě když a>2 1 • a>i E H H P, což nastane, právě když 1 • aľ E H, tj. právě když a\ ■ H = a2 ■ H. Je tedy zobrazení / nejen korektně definováno, ale také injektivní. Protože libovolné k E K je tvaru k = a ■ b pro vhodná a E P, b E H a protože platí k ■ H = (a • b) ■ H = a ■ H, je / také surjektivní. Dostali jsme, že
1^Lr = |p/(^nP)| = |/r/^| = f[,
a tedy
\K\ _ \H\-\P\
je mocnina p. Přitom P C K a P je p-Sylowská, a tedy její řád je největší mocnina p dělící \G\, z Lagrangeovy věty \K\ \ \G\, celkem tedy P = K. Odtud H C K = P a důkaz lematu je hotov.
2
Pokračování důkazu věty. Zúžením homomorfismu ip na libovolnou
podgrupu Q grupy G dostaneme homomorfismus <p\q\ Q —> S(X), což je akce podgrupy Q na X.
Nejprve tuto akci studujme pro podgrupu P. Orbita obsahující P v akci ip\p je rovna {g ■ P ■ g~ľ; g G P} = {P}- Pro libovolné P' £ I, P' / P, platí, že stabilizátor P' v akci ip\p obsahuje právě ty prvky y E P, které splní
y • P' • y1 = P'-
Přitom existuje g G G, že P' = g ■ P ■ g~ľ. Je tedy
y ■ P' ■ y1 = P' -<=>• y ■ g ■ P ■ g1 ■ y1 = g ■ P ■ g1
g'1 ■ y ■ g ■ P ■ g'1 ■ y'1 ■ g = P g'1 - y-g e SP ■t=^ y G g- SP- g'1.
Proto je stabilizátor P' v akci ip \ p roven {g ■ S p ■ g~ľ) H P. Přitom (uvědomte si, že předpis x \—y g~ľ ■ x ■ g zadává vnitřní automorfismus, a tedy bijekci na množině G)
\(g-Sp-g-1)nP\ = \SPn(g-1-P-g)\. Protože je g~ľ ■ P ■ g podgrupa G řádu pk, podle lemmatu
SPn(g-1-P-g) = Pn(g-1-P-g).
Proto stabilizátor prvku P' v akci >p> \ p
(g-Sp- g'1) n P = g ■ (SP n Qr1 ■ P ■ g)) ■ íT1 = = g.(Pn(g-1-P-g))-g-1 = = (g-P-g-1)nP =
= P' n P.
Protože počet prvků v orbitě je index stabilizátoru, má orbita obsahující P' právě \P/(P' H P)\ prvků. To je ovšem mocnina p větší než 1, neboť \P' H P\ < \P\, vždyť P a P' jsou různé množiny o stejném počtu prvků. Celá množina X se v akci <pp rozložila na několik orbit, z nichž jediná orbita {P} je jednoprvková a všechny ostatní mají počet prvků dělitelný p. Proto s = \X\ = 1 (mod p). Ze dříve zjištěného s | \G\ = pk ■ m pak plyne s | m.
Dokažme nyní sporem, že každá podgrupa grupy G, jejíž řád je mocnina p, je podgrupou některé z podgrup z množiny X. Předpokládejme tedy, že Q je podgrupa grupy G, že její řád je mocnina p a že Q není podgrupou žádné
3
z podgrup z množiny X. Máme akci </?|q podgrupy Q na X. Stejnou úvahou jako výše určíme, že pro libovolné g G G je stabilizátor prvku P' = g ■ P ■ g~ľ v akci       roven (g • Sp • g~ľ) H     Užitím lemmatu
\(g-SP- g'1) n Q| = |5p n (í?-1 • Q • 0)| = |P n QT1 • g • g)\ = = \(g-P-g-1)nQ\ = \P'nQ\<\Q\,
neboť Q $z P'. Proto v akci </?|q je počet prvků v každé orbitě mocnina p větší než 1, tedy dělitelná p. Proto i součet těchto počtů s = \X\ je dělitelný p, spor.
Speciálně tedy každá p-Sylowská podgrupa H grupy G je podgrupou některé z podgrup z množiny X, tedy podgrupou podgrupy g ■ P ■ g~ľ pro vhodné g E G. Protože \g ■ P ■ g~1\ = pk = \H\, platí H = g ■ P ■ g~ľ G X. Množina X proto obsahuje všechny p-Sylowské podgrupy grupy G a r = s.
Jsou-li H a, K libovolné p-Sylowské podgrupy grupy G, existují g±, g2 G G tak, že H = g± • P • g{1K = g2 ■ P ■ g^} ■ Položme g = g2 ■ g{1pak předpis x \—y g ■ x ■ g~ľ, zadávající vnitřní automorfismus grupy G, zadává též izomorfismus H —>• K.
Věta je dokázána.
4