Třetí cvičení – rovnice afinního zobrazení a transformační rovnice
Úloha 1. Jsou dána zobrazení f a afinní zobrazení g, h, i, j:
• f : A3 → A2
f([x, y, z]) = [4x + z + 3, −y + 3z − 1];
• g : A3 → A3
ϕg((1, 0, 0)) = (4, 2, −3)
ϕg((0, 1, 0)) = (−1, 2, 4)
ϕg((0, 0, 1)) = (1, 2, −3)
g([0, 0, 0]) = [3, −1, 2];
• h : A3 → A3
ϕh((1, 2, 1)) = (4, 2, −2)
ϕh((−2, 1, 2)) = (−2, −1, 1)
ϕh((−3, −3, −1)) = (−6, −3, 3)
h([3, 1, 2]) = [2, 1, −3];
• i : A3 → A3
i([1, 0, 0]) = [3, 9, 3]
i([0, −1, 0]) = [−6, −5, −4]
i([0, 1, −1]) = [2, 4, −6]
i([0, 0, 0]) = [1, 0, −1];
• j : A3 → A3
j([1, 2, 0]) = [2, 2, 5]
j([−1, 1, 1]) = [−1, 3, 3]
j([−1, 0, 1]) = [1, 0, 2]
j([−1, 0, 2]) = [4, −2, 3];
Ukažte, že je f afinní zobrazení. Určete všem zobrazením jejich rovnice (vůči standardním
repérům) a hodnost.
Úloha 2. Napište transformační rovnice přechodu od repéru R k repéru R v A3, je-li:
(a) R = [0, 0, 0]; (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1) ;
R = [3, 8, 1]; (13, −11, 23); (8, 13, −23); (41, −32, 0)
(b) R = [1, 2, 1]; (1, 0, 0); (0, 1, 0); (0, 0, 1) ;
R = [2, 1, −1]; (4, 2, 3); (1, 0, 0); (−3, −1, 3)
Úloha 3. Vyjádřete rovnice afinního zobrazení f : A3 → A3 vůči repéru R =
= [3, −2, 1]; (−1, 1, 1); (0, −1, 1); (1, 0, −1) . Zadané rovnice jsou vyjádřené vůči standardnímu
repéru.
f :


x
y
z


E
=


1 0 1
−2 1 −1
0 1 1




x
y
z


E
+


1
0
1


Řešení
1. • f :
x
y
=
4 0 1
0 −1 3


x
y
z

 +
3
−1
; h(f) = 2
• g :


x
y
z

 =


4 −1 1
2 2 2
−3 4 −3




x
y
z

 +


3
−1
2

 ; h(g) = 3
• h :


x
y
z

 =


−2 6 −6
−1 3 −3
1 −3 3




x
y
z

 +


14
7
−9

 ; h(h) = 1
• i :


x
y
z

 =


2 7 6
9 5 1
4 3 8




x
y
z

 +


1
0
−1

 ; h(i) = 3
• j :


x
y
z

 =


4 −2 3
−3 3 −2
1 1 1




x
y
z

 +


2
−1
2

 ; h(j) = 2
2. (a)


x
y
z


R
=


13 8 41
−11 13 −32
23 −23 0




x
y
z


R
+


3
8
1


(b)


x
y
z


R
=


4 1 −3
2 0 −1
3 0 3




x
y
z


R
+


1
−1
−2


3. f :


x
y
z


R
=


4 −1 −2
2 1 −1
4 0 −2




x
y
z


R
+


−6
1
−4

