Osmé cvičení – shodnosti
Úloha 1. Ukažte, že jsou afinní zobrazení f a g shodnostmi a určete, zda jde o přímou
nebo nepřímou shodnost.
f :



x
y
z


 =



1
3
−2
3
2
3
2
3
−1
3
−2
3
−2
3
−2
3
−1
3






x
y
z


 +



2
3
−2
3
2
3



g :



x
y
z


 =



√
3
2
−1
2
0
1
2
√
3
2
0
0 0 1






x
y
z


 +



0
0
1



Úloha 2. Ukažte, že pro pevné reálné nenulové parametry a, ϕ je zobrazení f shodné.
Rozhodněte, zda jde o přímou či nepřímou shodnost.
f : x = x cos ϕ + y sin ϕ
y = −x sin ϕ + y cos ϕ
z = z + aϕ
Úloha 3. Určete koeficienty a, b, c ∈ R tak, aby afinní zobrazení f : E2 → E3 bylo shodné:
f : x = x + by − 2
y = +
1
2
y + 1
z = ax + cy − 3
Úloha 4. Určete parametry p, q ∈ R tak, aby existovala shodnost v E2, která zobrazí body
A[3, 0], B[1, 2], C[−1, −1] na body A [1, 4], B [p, 2] a C [2, q].
Úloha 5. Napište rovnice alespoň tří shodností v E3, pro které je bod O[0, 3, 1] samodružný
a směry (1, −1, 0), (1, 1, 0) a (0, 0, 1) samodružné. Kolik je takových shodností celkem?
Úloha 6. Napište rovnice rovinové souměrnosti v E3 podle roviny : x + 2y − z + 4 = 0.
Úloha 7. Napište rovnice osové souměrnosti v E3 podle osy o : X = [2, 0, 1] + t(1, −2, 2).
Řešení
1. Shodnost f je nepřímá, shodnost g je přímá.
2. Shodnost f je přímá.
3. a = 0, b = 0, c = ±
√
3
2
.
4. p = −1, q = 0
5. •


x
y
z

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 1




x
y
z


•


x
y
z

 =


1 0 0
0 1 0
0 0 −1




x
y
z

 +


0
0
2


•


x
y
z

 =


0 −1 0
−1 0 0
0 0 1




x
y
z

 +


3
3
0


•


x
y
z

 =


0 1 0
1 0 0
0 0 1




x
y
z

 +


−3
3
0


•


x
y
z

 =


0 −1 0
−1 0 0
0 0 −1




x
y
z

 +


3
3
2


•


x
y
z

 =


0 1 0
1 0 0
0 0 −1




x
y
z

 +


−3
3
2


•


x
y
z

 =


−1 0 0
0 −1 0
0 0 1




x
y
z

 +


0
6
0


•


x
y
z

 =


−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1




x
y
z

 +


0
6
2


6.



x
y
z


 =



2
3
−2
3
1
3
−2
3
−1
3
2
3
1
3
2
3
2
3






x
y
z


 +



1
3
2
3
−1
3



7.



x
y
z


 =



−7
9
−4
9
4
9
−4
9
−1
9
−8
9
4
9
−8
9
−1
9






x
y
z


 +



28
9
16
9
2
9


