Deváté cvičení – klasifikace shodností, rozklad na souměrnosti podle
nadroviny
Úloha 1. Klasifikujte následující shodnosti (včetně určujících prvků).
f :



x
y
z


 =



−1
3
2
3
−2
3
2
3
2
3
1
3
−2
3
1
3
2
3






x
y
z


 +



2
−1
1



g :



x
y
z


 =



√
3
2
√
5
5
√
5
10
−
√
5
5
2
√
3+1
5
√
3−2
5
−
√
5
10
√
3−2
5
√
3+8
10






x
y
z



h :



x
y
z


 =



−2
3
−1
3
2
3
−1
3
−2
3
−2
3
2
3
−2
3
1
3






x
y
z


 +



4
3
−4
3
−4
3



Úloha 2. Rozložte posunutí o vektor (2, 2, 2) na co nejmenší počet rovinových souměrností,
jestliže první 1
z uvažovaných rovin souměrnosti prochází počátkem souřadnicového
systému. Uveďte rovnice těchto souměrností.
Úloha 3. Rozložte souměrnost podle přímky p : X = [0, 0, −2]+t(−1, 1, −2) na co nejmenší
počet rovinových souměrností, jestliže první z uvažovaných rovin souměrnosti prochází počátkem
souřadnicového systému. Uveďte rovnice těchto souměrností.
Úloha 4. Klasifikujte shodnost f. Dále ji rozložte na co možná nejmenší počet rovinových
souměrností, jestliže první z uvažovaných rovin souměrnosti prochází počátkem souřadnicového
systému. Uveďte rovnice těchto souměrností.
f : x =
1
3
x +
2
3
y −
2
3
z − 6
y =
2
3
x +
1
3
y +
2
3
z + 6
z =
2
3
x −
2
3
y −
1
3
z + 2
1
Ve smyslu pořadí prováděných souměrností.
Řešení
1. f : Rovinová souměrnost podle roviny : 2x − y + z − 3 = 0.
g : Otočení kolem přímky p : X = [0, 0, 0] + t(0, 1, −2) o úhel ϕ = π
6
.
h : Souměrnost podle přímky p : X = [0, 0, −2] + t(−1, 1, −2).
2. Rovina symetrie procházející počátkem souřadnicového systému: 1 : x + y + z = 0
Druhá rovina symetrie: 2 : x + y + z − 3 = 0
σ = τ2 ◦ τ1
τ1 : x =
1
3
x −
2
3
y −
2
3
z
y = −
2
3
x +
1
3
y −
2
3
z
z = −
2
3
x −
2
3
y +
1
3
z
τ2 : x =
1
3
x −
2
3
y −
2
3
z + 2
y = −
2
3
x +
1
3
y −
2
3
z + 2
z = −
2
3
x −
2
3
y +
1
3
z + 2
3. Rovina symetrie procházející počátkem souřadnicového systému: 1 : x + y = 0
Druhá rovina symetrie: 2 : x − y − z − 2 = 0
σ = τ2 ◦ τ1
τ1 : x = −y
y = −x
z = z
τ2 : x =
1
3
x +
2
3
y +
2
3
z +
4
3
y =
2
3
x +
1
3
y −
2
3
z −
4
3
z =
2
3
x −
2
3
y +
1
3
z −
4
3
4. Otočení kolem přímky p : X = [−7, 0, −2] + s(1, 1, 0) o úhel ϕ
.
= 109◦
28 .
Rovina symetrie procházející počátkem souřadnicového systému: 1 : 2x−2y−7z = 0
Druhá rovina symetrie: 2 : 3x − 3y − z + 19 = 0
σ = τ2 ◦ τ1
τ1 : x =
49
57
x +
8
57
y +
28
57
z
y =
8
57
x +
49
57
y −
28
57
z
z =
28
57
x −
28
57
y −
41
57
z
τ2 : x =
1
19
x +
18
19
y +
6
19
z − 6
y =
18
19
x +
1
19
y −
6
19
z + 6
z =
6
19
x −
6
19
y +
17
19
z + 2