Zápočtová písemka z Geometrie 3
Varianta F
Datum: 20. 4. 2017
Jméno:
1 2 3 Σ
1) (3 × 1 b.) Zadejte rovnicemi libovolnou afinitu v A3, která (pokud takové afinní zobrazení
neexistuje, podejte stručné vysvětlení, proč):
(a) má vlastní čísla 3 a 1 + i;
(b) je základní afinitou;
(c) zobrazuje bod [0, 0, 0] na [0, 0, 0], [1, 1, 1] na [1, −1, 0] a [−1, −1, −1] na [0, 0, 1].
2) Afinní zobrazení f z A3 do A3 je zadáno rovnicemi:
f : x = −3x + 10y + 6z + 6
y = −3x + 8y + 3z + 1
z = 4x − 8y − z + 2
(a) (3 b.) Vypočtěte vlastní čísla a jim příslušné vlastní vektory zobrazení f.
(b) (1 b.) Vyšetřete samodružné body zobrazení f.
(c) (2 b.) Uveďte repér R, ve kterém mají matice zobrazení f co nejjednodušší možný tvar, a
rovnice f vůči tomuto repéru.
(d) (1 b.) Uveďte rovnice zobrazení f v repéru R = [2, 2, −3]; (1, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0) .
3) (3 b.) Určete rovnice, střed a koeficient stejnolehlosti, která zobrazuje bod [1, 2, −1] na [5, −2, 11]
a bod [3, 1, 0] na [−1, 1, 8].
Řešení F
1. (c) Neexistuje, protože zobrazuje tři kolineární body na tři nekolineární body.
2. (a) λ1 = 2, u1 = (2, 1, 0);
λ2 = 3, u2 = (1, 0, 1);
λ3 = −1, u3 = (−2, −1, 1);
(b) X = [2, 2, −3]
(c) Počátek je samodružný bod [2, 2, −3] a bázi tvoří vektory (2, 1, 0), (1, 0, 1) a (−2, −1, 1).
Odpovídající rovnice jsou ve tvaru:
f : x = 2x
y = 3y
z = −z
(d)
f : x = −3x + 6y + 10z
y = 4x − y − 8z
z = −3x + 3y + 8z
3.
f : x = −3x + 8
y = −3y + 4
z = −3z + 8
κ = −3, S[2, 1, 2].