M6120 Lineární statistické modely ii Jaro 2017
Cvičení 3
6. březen 2017
Cvičení 1. Ze stránky http: //www. statsci. org/data/general/f ullmoon.txt získejte data f ulmoon, zopakujte si, co znamenají jednotlivé proměnné a jaké jsou mezi nimi vztahy. Nafi-tujte v R model model.0 ze cvičení z minulého týdne (model Th0 z přednášky), t.j.
Yi=fj, + ei,   i = l,...,n (1)
kde £j *~ N(0,cr2), a model model. 1 ze cvičení z minulého týdne (model Fh1 z přednášky), t.j.
Y ji = fi + a j +£ji,   j = 1,.. •, J; i = 1,... ,rij, (2)
kde Eij ~ N(0,o-2).
Cvičení 2. Zopakujte si následující definice a vztahy z podzimního semestru:
: ||Y-y-i||2 : ||Ý-y-i||2
:   IIY-ÝII2       = llell2
TSS	= Eľ=i(^-ň2
ESS	= Eľ=i(*í-í*)2
RS S	= Eľ=i(*-*)2
TSS	=  ESS + RSS
R2	_    i RSS — TSS , RSS/(n-p) ~    1 TSS/in-1)
Vzorce jsou zavedeny a odvozeny v přednášce z týdne 5 z podzimního semestru.
p    _    (He3||2-||eb||2)/r p
Značení je zavedeno a vzorec je odvozen v přednášce z týdne 9 z podzimního semestru. Cvičení 3. Uvažujte model Th0 z přednášky, t.j. model (1).
(a) Odvoďte vzorec pro J3 (t.j. pro fi) v modelu J-hq-
(b) Odvoďte vzorec pro ESS a RSS v modelu J-hq-
(c) Odvoďte vzorec pro R? a i?2dj v modelu J-h0-
(d) Dejte odvozená fakta do souvislosti se výstupem summary (model. 0). Cvičení 4. Uvažujte model Jth1 z přednášky, t.j. model (2).
(a) Odvoďte vzorec pro J3 (t.j. pro (/i, &i,..., aj)T za podmínky, že Ylj=i nj aj = 0) modelu J~h1-
Můžeme si pomoct znalostmi z přednášky z týdne liz podzimního semestru.
(b) Odvoďte vzorec pro ESS a RSS v modelu J~h1-
(c) Odvoďte vzorec pro F statistiku na testování modelu Th0 proti modelu Th1 ■
1
M6120
Lineární statistické modely ii
Jaro 2017
Cvičení 5. Spočtěte kvantity ze Cvičení 3 a 4 pro data fullmoon a najděte spočtené hodnoty ve výstupech z funkcí
(a) summary(model.0);
(b) summary(model.1);
(c) anova(model.1);
(d) anova(model.0, model.1);
(e) aov;
(f) oneway.test.
Domácí úloha {12 bodů) Uvažujte model Jth1 Pro data fullmoon. Následující tabulka udává odhad koeficientu, příslušnou směrodatnou odchylku, pozorovanou hodnotu t statistiky pro test hypotézy o nulovosti koeficientu proti oboustranné alternativě a příslušnou p-hodnotu
pro /iRefore) "During — "Before a "After _ "Before-
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept)    10.9167         1.2138     8.994 2.15e-10 *** MoonDuring       2.5000 1.7165     1.456 0.155
MoonAfter 0.5417 1.7165     0.316 0.754
Spočtěte stejnou tabulku pro f^Beíorei A'During a A'After- Přidejte také sloupce s p-hodnotami pro testy hypotéz o nulovosti koeficientu proti jednostranným alternativám (t.j. testujte Hq : f3 = 0 proti Hi : /3 > 0 a H0 : /3 = 0 proti Hi : /3 < 0). Přiložte zdrojový kód v R.
2