Parametrické úlohy o jednom a dvou výběrech z alternativního rozložení
Osnova:
Případ jednoho náhodného výběru
- asymptotické rozložení statistiky odvozené z výběrového průměru alternativního rozložení
- vzorec pro meze intervalu spolehlivosti pro parametr alternativního rozložení
- testování hypotézy o parametru alternativního rozložení
Případ dvou nezávislých náhodných výběrů
- asymptotické rozložení statistiky odvozené z výběrových průměrů dvou nezávislých alternativních
rozložení
- vzorec pro meze intervalu spolehlivosti pro rozdíl parametrů dvou alternativních rouložení
- testování hypotézy o rozdílu parametrů dvou alternativních rozložení
Případ jednoho náhodného výběru: S náhodným výběrem rozsahu n z alternativního rozložení se setkáváme v situaci,
kdy provádíme n opakovaných nezávislých pokusů a v každém z těchto pokusů sledujeme nastoupení úspěchu.
Pravděpodobnost úspěchu je pro všechny pokusy stejná. Náhodná veličina Xi nabude hodnoty 1, pokud v i-tém pokusu
nastal úspěch a hodnoty 0, pokud v i-tém pokusu úspěch nenastal, i = 1, 2, …, n. Realizací náhodného výběru X1, …, Xn je
tedy posloupnost 0 a 1.
Opakování:
Alternativní rozložení: Náhodná veličina X udává počet úspěchů v jednom pokusu, přičemž pravděpodobnost úspěchu je
ϑ. Píšeme X ~ A(ϑ).
( )





=ϑ
=ϑ−
=π
jinak0
1xpro
0xpro1
x neboli ( )
( )


 =ϑ−ϑ
=π
−
jinak0
10,xpro1
x
x1x
Binomické rozložení: Náhodná veličina X udává počet úspěchů v posloupnosti n nezávislých opakovaných pokusů,
přičemž pravděpodobnost úspěchu je v každém pokusu ϑ . Píšeme X ~ Bi(n,ϑ).
π(x) = ( )





=ϑ−ϑ





=π
−
jinak0
n,0,xpro)1(
x
n
x
xnx
K
E(X) = nϑ , D(X) = nϑ (1-ϑ )
(Alternativní rozložení je speciálním případem binomického rozložení pro n = 1.
Jsou-li X1, ..., Xn stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ A(ϑ ), i = 1, ..., n, pak X = ∑
=
n
1i
iX ~ Bi(n, ϑ ).)
Centrální limitní věta:
Jsou-li náhodné veličiny X1, …, Xn stochasticky nezávislé a všechny mají stejné rozložení se střední hodnotou µ a rozptylem
σ2
, pak pro velká n (n ≥ 30) lze rozložení součtu ∑=
n
1i
iX aproximovat normálním rozložením N(nµ, nσ2
). Zkráceně píšeme
( )2
n
1i
i n,nNX σµ≈∑=
. Pokud součet ∑=
n
1i
iX standardizujeme, tj. vytvoříme náhodnou veličinu
n
nX
U
n
1i
i
n
σ
µ−
=
∑=
, pak rozložení této
náhodné veličiny lze aproximovat standardizovaným normálním rozložením. Zkráceně píšeme Un ≈ N(0,1)
Asymptotické rozložení statistiky odvozené z výběrového průměru.
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení A(ϑ) a nechť je splněna podmínka ( ) 91n >ϑ−ϑ . Pak statistika
( )
n
1
M
U
ϑ−ϑ
ϑ−
=
konverguje v distribuci k náhodné veličině se standardizovaným normálním rozložením. (Říkáme, že U má asymptoticky
rozložení N(0,1) a píšeme U ≈ N(0,1).)
Vysvětlení:
Protože X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení A(ϑ), bude mít statistika Yn = ∑
=
n
1i
iX (výběrový úhrn) rozložení Bi(n, ϑ ). Yn
má střední hodnotu E(Yn) = nϑ a rozptyl D(Yn) = ( )ϑ−ϑ 1n . Podle centrální limitní věty se standardizovaná statistika
( )ϑ−ϑ
ϑ−
=
1n
nY
U n
asymptoticky řídí standardizovaným normálním rozložením N(0,1). Pokud čitatele i jmenovatele podělíme n,
dostaneme vyjádření:
( ) ( ) ( )
( )1,0N
n
1
M
n
1
X
n
1
n
1n
n
Y
U
n
1i
i
2
n
≈
ϑ−ϑ
ϑ−
=
ϑ−ϑ
ϑ−
=
ϑ−ϑ
ϑ−
=
∑=
Vzorec pro meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro parametr ϑ .
Meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro parametr ϑ jsou:
2/12/1
u
n
)m1(m
mh,u
n
)m1(m
md α−α−
−
+=
−
−= .
Vysvětlení:
Pokud rozptyl ( ) ( )
n
1
MD
ϑ−ϑ
= nahradíme odhadem
( )
n
M1M −
, konvergence náhodné veličiny U k veličině s
rozložením N(0,1) se neporuší. Tedy





 −
+<ϑ<
−
−=
=












<
−
ϑ−
<−≤α−Ξ∈ϑ∀
α−α−
α−α−
2/12/1
2/12/1
u
n
)M1(M
Mu
n
)M1(M
MP
u
n
)M1(M
M
uP1:
Příklad:
Náhodně bylo vybráno 100 osob a zjištěno, že 34 z nich nakupuje v internetových obchodech. Najděte 95% asymptotický
interval spolehlivosti pro pravděpodobnost, že náhodně vybraná osoba nakupuje v internetových obchodech.
Řešení:
Zavedeme náhodné veličiny X1, ..., X100, přičemž Xi = 1, když i-tá osoba nakupuje v internetových obchodech a Xi = 0 jinak,
i = 1, ..., 100. Tyto náhodné veličiny tvoří náhodný výběr z rozložení A(ϑ ).
n = 100, m = 34/100, α = 0,05, u1-α/2 = u0,975 = 1,96.
Ověření podmínky nϑ (1- ϑ ) > 9: parametr ϑ neznáme, musíme ho nahradit výběrovým průměrem. Pak 100.0,34.0,66 =
22,44 > 9.
4328,096,1
100
)34,01(34,0
34,0h,2472,096,1
100
)34,01(34,0
34,0d =
−
+==
−
−= .
S pravděpodobností přibližně 0,95 tedy 0,2472 < ϑ < 0,4328. Znamená to, že s pravděpodobností přibližně 95% je
v uvažované populaci nejméně 24,7% a nejvíce 43,3% osob, které nakupují v internetových obchodech.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistiky – Analýza síly testu – Odhad intervalu – Jeden podíl, Z, Chí-kvadrát test – OK – Pozorovaný podíl
p: 0,34, Velikost vzorku: 100, Spolehlivost: 0,95 – Vypočítat.
Dostaneme tabulku:
Hodnota
Podíl vzorku p
Velikost vz. ve skup. (N)
Interval spolehlivosti
Meze spolehlivosti:
Pí (přesně):
Dolní mez
Horní mez
Pí (přibližně):
Dolní mez
Horní mez
Pí (původ.):
Dolní mez
Horní mez
0,3400
100,0000
0,9500
0,2482
0,4415
0,2501
0,4423
0,2472
0,4328
Zajímá nás výsledek uvedený v dolní části tabulky, tj. Pí (původ.). Zjišťujeme, že s pravděpodobností aspoň
0,95 se pravděpodobnost nákupu v internetových obchodech bude pohybovat v mezích 0,2472 až 0,4328.
Příklad: Kolik osob musíme vybrat, abychom podíl modrookých osob v populaci odhadli se spolehlivostí 90% a šířka intervalu
spolehlivosti byla nanejvýš a) 0,06, b) 0,01?
Řešení:
Šířka 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro parametr ϑ:
2/12/12/1
u
n
)m1(m
2u
n
)m1(m
mu
n
)m1(m
mdh α−α−α−
−
=




 −
−−
−
+=−
Požadujeme, aby h – d ≤ ∆, tedy ∆≤
−
α− 2/1
u
n
)m1(m
2 . Odtud vyjádříme
( )
2
2
2/1um1m4
n
∆
−
≥ α−
.
Předpokládejme, že nemáme žádné předběžné informace o podílu modrookých osob v populaci. Musíme tedy zvolit takové
m, aby šířka intervalu spolehlivosti byla maximální. Maximalizujeme výraz ( ) 2
mmm1m −=− . Derivujeme podle m a
položíme rovno 0:
2
1
m0m21 =⇒=− .V tomto případě volíme relativní četnost m = 0,5.
ad a)
( )
67,751
06,0
645,15,05,04
06,0
u5,05,04um1m4
n 2
2
2
2
95,0
2
2
2/1
=
⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅
=
∆
−
≥ α−
Uvedenou podmínku tedy splníme, když vybereme aspoň 752 osob.
ad b)
( )
25,27060
01,0
645,15,05,04
01,0
u5,05,04um1m4
n 2
2
2
2
95,0
2
2
2/1
=
⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅
=
∆
−
≥ α−
Chceme-li dosáhnout podstatně užšího intervalu spolehlivosti, musíme vybrat aspoň 27 061 osob.
Modifikace:
Předpokládejme, že v populaci je nanejvýš 30% modrookých osob. Pak relativní četnost m = 0,3.
ad a)
( )
41,631
06,0
645,17,03,04
06,0
u7,03,04um1m4
n 2
2
2
2
95,0
2
2
2/1
=
⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅
=
∆
−
≥ α−
V tomto případě stačí vybrat 632 osob.
Ve srovnání s předešlým případem vidíme, že rozsah výběru skutečně klesl.
ad b)
( )
61,22730
01,0
645,17,03,04
01,0
u7,03,04um1m4
n 2
2
2
2
95,0
2
2
2/1
=
⋅⋅⋅
=
⋅⋅⋅
=
∆
−
≥ α−
V tomto případě musíme vybrat aspoň 22 731 osob.
Testování hypotézy o parametru ϑ
Nechť X1, ..., Xn je náhodný výběr z rozložení A(ϑ) a nechť je splněna podmínka ( ) 91n >ϑ−ϑ .
Na asymptotické hladině významnosti α testujeme hypotézu
H0: ϑ = c proti alternativě H1: ϑ ≠ c (resp. H1: ϑ < c resp. H1: ϑ > c).
Testovým kritériem je statistika
n
)c1(c
cM
T0
−
−
= , která v případě platnosti nulové hypotézy má
asymptoticky rozložení N(0,1). Kritický obor má tvar ( )∞∪−∞−= α−α−
,uu,W 2/12/1
(resp.
( α−−∞−= 1u,W resp. )∞= α−
,uW 1
).
(Testování hypotézy o parametru ϑ lze samozřejmě provést i pomocí 100(1-α)% asymptotického intervalu
spolehlivosti nebo pomocí p-hodnoty.)
Příklad: Podíl zmetků při výrobě určité součástky činí ϑ = 0,01. Bylo náhodně vybráno 1000 výrobků a zjistilo se, že mezi nimi je 16 zmetků.
Na asymptotické hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu H0: ϑ = 0,01 proti oboustranné alternativě H1: ϑ ≠ 0,01.
Řešení:
Zavedeme náhodné veličiny X1, ..., X1000, přičemž Xi = 1, když i-tý výrobek byl zmetek a Xi = 0 jinak, i = 1, ..., 1000. Tyto náhodné veličiny
tvoří náhodný výběr z rozložení A(ϑ).
Testujeme hypotézu H0: ϑ = 0,01 proti alternativě H1: ϑ ≠ 0,01.
Známe: n = 1000, 016,0
1000
16
m == , c = 0,01, α = 0,05, u1-α/2 = u0,975 = 1,96
Ověření podmínky ( ) 91n >ϑ−ϑ : 1000.0,01.0,99 = 9,9 > 9.
a) Testování pomocí kritického oboru:
Realizace testového kritéria:
( )
907,1
1000
99,001,0
01,0016,0
n
c1c
cm
t0 =
⋅
−
=
−⋅
−
= .
Kritický obor: ( )=∞∪−∞−= ,uu,W 975,0975,0 ( )∞∪−∞− ,96,196,1, . Protože 1,907 ∉ W, H0 nezamítáme na asymptotické hladině
významnosti 0,05.
b) Testování pomocí intervalu spolehlivosti
0082,096,1
1000
984,0016,0
016,0u
n
)m1(m
md 2/1 =
⋅
−=
−
−= −α
0238,096,1
1000
984,0016,0
016,0u
n
)m1(m
mh 2/1 =
⋅
+=
−
+= −α
Protože číslo c = 0,01 leží v intervalu 0,0082 až 0,0238, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
c) Testování pomocí p-hodnoty
Protože testujeme nulovou hypotézu proti oboustranné alternativě, vypočteme p-hodnotu podle vzorce:
p = 2 min{ Φ(1,907), 1–Φ(1,907) } = 2 min { 0,97104, 1 – 0,97104 } = 0,05792.
Protože vypočtená p-hodnota je větší než hladina významnosti 0,05, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA (pouze přibližný):
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme Rozdíl mezi dvěma poměry – do
políčka P 1 napíšeme 0,016, do políčka N1 napíšeme 1000, do políčka P 2 napíšeme 0,01, do políčka N2 napíšeme 32767
(větší hodnotu systém neumožní) - Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,0626, tedy nezamítáme nulovou hypotézu na hladině
významnosti 0,05.
Příklad: Nový léčebný postup považujeme za úspěšný, pokud po jeho ukončení bude dosaženo zlepšení
zdravotního stavu u alespoň 50% zúčastněných pacientů. Nová terapie byla vyzkoušena u 40 pacientů a ke
zlepšení došlo u 24 osob, tj. u 60%. Je možné na asymptotické hladině významnosti 0,05 zamítnout hypotézu,
že tato terapie nedosahuje úspěšnosti aspoň 50%?
Řešení:
Zavedeme náhodné veličiny X1, ..., X40, přičemž
Xi = 1, když terapie u i-tého pacienta byl úspěšná a
Xi = 0 jinak,
i = 1, ..., 40.
Tyto náhodné veličiny tvoří náhodný výběr z rozložení A(ϑ).
Testujeme hypotézu H0: ϑ ≤ 0,5 proti pravostranné alternativě H1: ϑ > 0,5.
Známe: n = 40, 6,0
40
24
m == , c = 0,5, α = 0,05, u1-α = u0,95 = 1,645
Ověření podmínky ( ) 91n >ϑ−ϑ : 40.0,6.0,4 = 9,6 > 9.
Realizace testového kritéria:
( )
2649,1
40
5,05,0
5,06,0
n
c1c
cm
t0 =
⋅
−
=
−⋅
−
= .
Kritický obor: ) ) )∞=∞=∞= α−
,645,1,u,uW 95,01
.
Protože 1,2649 ∉ W, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Vypočtená p-hodnota jednostranného testu je 0,1031, tedy větší než asymptotická hladina významnosti 0,05. H0 nezamítáme
na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Případ dvou nezávislých výběrů z alternativních rozložení: Provádíme opakovaně nezávisle n1-krát jeden náhodný pokus
a nezávisle na tom n2-krát druhý náhodný pokus. V první sérii pokusů sledujeme nějaký jev, který v každém pokusu může
nastat s pravděpodobností 1ϑ a ve druhé sérii pokusů sledujeme nějaký jiný jev, jehož pravděpodobnost nastoupení je 2ϑ .
Parametry 1ϑ , 2ϑ neznáme. Naším úkolem bude konstruovat interval spolehlivosti pro parametrickou funkci 21 ϑ−ϑ nebo
testovat hypotézu o této parametrické funkci, a to pomocí dvou nezávislých náhodných výběrů z alternativních rozložení
( )1A ϑ , ( )2A ϑ .
Asymptotické rozložení statistiky odvozené ze dvou výběrových průměrů alternativních rozložení
Nechť 1n111 X,,X K je náhodný výběr z alternativního rozložení A( 1ϑ ) a 2n221 X,,X K je na něm nezávislý náhodný výběr alternativního
rozložení A( 2ϑ ) a nechť jsou splněny podmínky n1 1ϑ (1- 1ϑ ) > 9 a n2 2ϑ (1- 2ϑ ) > 9. Označme M1, M2 výběrové
průměry.
Pak statistika
( )
( ) ( )
( )1,0N
n
1
n
1
MM
U
2
22
1
11
2121
≈
ϑ−ϑ
+
ϑ−ϑ
ϑ−ϑ−−
= .
Vysvětlení: Analogicky jako v případě jednoho náhodného výběru z alternativního rozložení.
Vzorec pro meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro parametrickou
funkci 21 ϑ−ϑ .
Meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro 21
ϑ−ϑ jsou:
2/1
2
22
1
11
21 u
n
)m1(m
n
)m1(m
mmd α−
−
+
−
−−= , 2/1
2
22
1
11
21 u
n
)m1(m
n
)m1(m
mmh α−
−
+
−
+−=
Vysvětlení: Pokud rozptyl ( ) ( )
i
ii
i
n
1
MD
ϑ−ϑ
= nahradíme odhadem
( )
i
ii
n
M1M −
, i = 1, 2, konvergence
náhodné veličiny U k veličině s rozložením N(0,1) se neporuší. Tedy
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
)u
n
M1M
n
M1M
MMu
n
M1M
n
M1M
MM(P
u
n
M1M
n
M1M
MM
uP1:
2/1
2
22
1
11
21212/1
2
22
1
11
21
2/1
2
22
1
11
2121
2/121
α−α−
α−α−
−
+
−
+−<ϑ−ϑ<
−
+
−
−−
=












<
−
+
−
ϑ−ϑ−−
<−≤α−Ξ∈ϑ−ϑ∀
Příklad: Management supermarketu vyhlásil týden slev a sledoval, zda toto vyhlášení má vliv na podíl větších nákupů (nad
500 Kč). Na základě náhodného výběru 200 zákazníků v týdnu bez slev bylo zjištěno 97 velkých nákupů, zatímco v týdnu se
slevou z 300 náhodně vybraných zákazníků učinilo velký nákup 162 zákazníků. Sestrojte 95% asymptotický interval
spolehlivosti pro rozdíl pravděpodobností uskutečnění většího nákupu v týdnu bez slevy a v týdnu se slevou.
Řešení:
Zavedeme náhodnou veličinu X1i, která bude nabývat hodnoty 1, když v týdnu bez slevy i-tý náhodně vybraný zákazník
uskuteční větší nákup a hodnoty 0 jinak, i = 1, …, 200. Náhodné veličiny X1,1, …, X1,200 tvoří náhodný výběr z rozložení
( )1A ϑ . Dále zavedeme náhodnou veličinu X2i, která bude nabývat hodnoty 1, když v týdnu se slevou i-tý náhodně vybraný
zákazník uskuteční větší nákup a hodnoty 0 jinak, i = 1, …, 300. Náhodné veličiny X2,1, …, X2,300 tvoří náhodný výběr
z rozložení ( )2A ϑ .
n1 = 200, n2 = 300, m1 = 97/200 = 0,485, m2 = 162/300 = 0,54.
Ověření podmínek n1 1ϑ (1- 1ϑ ) > 9 a n2 2ϑ (1- 2ϑ ) > 9: Parametry 1ϑ a 2ϑ neznáme, nahradíme je odhady m1 a m2, tedy
97.(1-97/200) = 49,955 > 9, 162.(1-162/300) = 74,52 > 9.
Meze 100(1-α)% asymptotického empirického intervalu spolehlivosti pro parametrickou funkci 21 ϑ−ϑ jsou:
0343,096,1
300
)1(
200
)1(
300
162
200
97
u
n
)m1(m
n
)m1(m
mmh
1443,096,1
300
)1(
200
)1(
300
162
200
97
u
n
)m1(m
n
)m1(m
mmd
300
162
300
162
200
97
200
97
2/1
2
22
1
11
21
300
162
300
162
200
97
200
97
2/1
2
22
1
11
21
=
−
+
−
+−=
−
+
−
+−=
−=
−
+
−
−−=
−
+
−
−−=
α−
α−
Zjistili jsme tedy, že s pravděpodobností přibližně 0,95: –0,1443 < 21 ϑ−ϑ < 0,0343.
Testování hypotézy o parametrické funkci 21 ϑ−ϑ
Nechť 1n111
X,,X K je náhodný výběr z alternativního rozložení A( 1ϑ ) a 2n221 X,,X K je na něm nezávislý náhodný
výběr alternativního rozložení A( 2ϑ ) a nechť jsou splněny podmínky n1 1ϑ (1- 1ϑ ) > 9 a
n2 2ϑ (1- 2ϑ ) > 9. Na asymptotické hladině významnosti α testujeme nulovou hypotézu H0: 21
ϑ−ϑ = c proti
alternativě H1: 21
ϑ−ϑ ≠ c (resp. H1: 21
ϑ−ϑ < c resp. H1: 21
ϑ−ϑ > c).
Testovým kritériem je statistika
( ) ( )
2
22
1
11
21
0
n
M1M
n
M1M
cMM
T
−
+
−
−−
= , která v případě platnosti H0 má asymptoticky rozložení N(0,1).
Kritický obor má tvar ( )∞∪−∞−= α−α− ,uu,W 2/12/1
(resp. ( α−
−∞−= 1
u,W resp. )∞= α−
,uW 1
).
(Testování hypotézy o parametrické funkci 21
ϑ−ϑ lze provést též pomocí 100(1-α)% asymptotického intervalu
spolehlivosti nebo pomocí p-hodnoty.)
Poznámka: Postup při testování hypotézy 021 =ϑ−ϑ
Je-li c = 0, pak označme
21
2211
*
nn
MnMn
M
+
+
= vážený průměr výběrových průměrů. Jako testová statistika
slouží
( ) 





+−
−
=
21
**
21
0
n
1
n
1
M1M
MM
T , která v případě platnosti nulové hypotézy má asymptoticky
rozložení N(0,1).
Kritický obor má tvar ( )∞∪−∞−= α−α−
,uu,W 2/12/1
(resp. ( α−
−∞−= 1
u,W resp.
)∞= α−
,uW 1
).
Testová statistika T0 vznikne standardizací statistiky M1 – M2, kde neznámé parametry 1ϑ , 2ϑ nahradíme
společným odhadem M*.
Příklad: Pro údaje z příkladu o slevách v supermarketu testujte na asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu, že týden
se slevami nezvýší pravděpodobnost uskutečnění většího nákupu.
Řešení:
Testujeme hypotézu H0: 21 ϑ−ϑ = 0 proti levostranné alternativě H1: 21 ϑ−ϑ < 0 na asymptotické hladině významnosti 0,05.
n1 = 200, n2 = 300, m1 = 97/200, m2 = 162/300, m* = (97 + 162)/500 = 0,518.
Podmínky dobré aproximace byly ověřeny v předešlém příkladu.
Testování pomocí intervalu spolehlivosti:
Pro levostrannou alternativu používáme pravostranný interval spolehlivosti:
02,0645,1
300
)1(
200
)1(
300
162
200
97
u
n
)m1(m
n
)m1(m
mmh 300
162
300
162
200
97
200
97
1
2
22
1
11
21 =
−
+
−
+−=
−
+
−
+−= α−
Protože číslo c = 0 je obsaženo v intervalu ( 02,0;∞− , H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Testování pomocí kritického oboru:
Realizace testového kritéria:
( )( ) ( )( )
2058,1
518,01518,0m1m
mm
t
300
1
200
1
300
162
200
97
n
1
n
1
**
21
0
21
−=
+−
−
=
+−
−
= .
Kritický obor je ( ( ( 645,1,u,u,W 95,01 −∞−=−∞−=−∞−= α− . Protože testové kritérium nepatří do kritického oboru, H0 nezamítáme
na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Testování pomocí p-hodnoty:
Pro levostrannou alternativu se p-hodnota počítá podle vzorce p = P(T0 ≤ t0):
( ) ( ) ( ) 1139,08861,012058,112058,12058,1TPp 0 =−=Φ−=−Φ=−≤=
Protože p-hodnota je větší než 0,05, H0 nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Výpočet pomocí systému STATISTICA:
Statistiky – Základní statistiky a tabulky – Testy rozdílů: r, %, průměry – OK – vybereme Rozdíl mezi dvěma poměry – do
políčka P 1 napíšeme 0,485, do políčka N1 napíšeme 200, do políčka P 2 napíšeme 0,54, do políčka N2 napíšeme 300 –
zaškrtneme Jednostr. - Výpočet. Dostaneme p-hodnotu 0,1142, tedy nezamítáme nulovou hypotézu na hladině významnosti
0,05.