Cvičení 10 – příklady u tabule
Příklad 1. (viz př. 11.5.1. ze skript): Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti pedagogické hodnosti a pohlaví a vypočtěte
Cramérův koeficient, jsou-li k dispozici následující údaje:
pedagogická hodnostpohlaví
odb. asistent docent profesor
muž 32 15 8
žena 34 8 3
Řešení: Tabulku doplníme o marginální četnosti.
pedagogická hodnostpohlaví
odb. asistent docent profesor
nj.
muž 32 15 8 55
žena 34 8 3 45
n.k 66 23 11 n=100
Vypočteme teoretické četnosti:
,05,6
100
1155
n
nn
,65,12
360
2355
n
nn
,3,36
100
6655
n
nn 3..12..11..1
=
⋅
==
⋅
==
⋅
=
95,4
100
1145
n
nn
,35,10
100
2345
n
nn
,7,29
100
6645
n
nn 3..22..21..2
=
⋅
==
⋅
==
⋅
= .
Vypočteme testovou statistiku: ∑∑= =






−
=
r
1j
s
1k k..j
2
k..j
jk
n
nn
n
nn
n
K , r = 2, s = 3, tedy
( ) ( ) ( ) 5,3
95,4
95,43
65,12
65,1215
3,36
3,3632
K
222
=
−
++
−
+
−
= K , χ2
0,95(2) = 5,991. Protože K < 5,991, hypotézu o nezávislosti pohlaví a pedagogické
hodnosti nezamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Cramérův koeficient:
)1m(n
K
V
−
= , kde m = min{r,s}, tedy 187,0
1100
5,3
V =
⋅
= .
Příklad 2. (viz př. 11.5.5. ze skript): 400 náhodně vybraných pracovníků potravinářského podniku bylo dotázáno na příčiny nespokojenosti na
pracovišti.
kategorie hlavní příčina nespokojenosti
pracovníků pracovní prostředí špatné vztahy organizace práce výdělek jiné
dělníci 80 50 75 40 55
THP 10 10 25 30 25
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu, že hlavní příčina nespokojenosti nezávisí na kategorii, do níž je pracovník zařazen. Vypočtěte
Cramérův koeficient.
Řešení:
r = 2, s = 5, n = 400
Ověření podmínek dobré aproximace: teoretické četnosti jsou 67,5 45 75 52,5 60 22,5 15 25 17,5 20. Podmínky dobré aproximace jsou
tedy splněny. Vypočteme realizaci testového kritéria:
∑∑= =






−
=
r
1j
s
1k k..j
2
k..j
jk
n
nn
n
nn
n
K = 25,053, kritický obor W = ) )∞=∞χ ;4877,9),4(95,0
2
. Protože testové kritérium se realizuje v kritickém oboru,
hypotézu o nezávislosti zamítáme na asymptotické hladině významnosti 0,05.
Cramérův koeficient: 25,06262,0
400
053,25
)1m(n
K
V ===
−
=
Příklad 3.: 18 mužů onemocnělo určitou chorobou. Někteří z nich se léčili, jiní ne. Někteří se uzdravili, jiní zemřeli. Údaje jsou uvedeny ve
čtyřpolní kontingenční tabulce.
léčenípřežití
ano ne
ano 5 3
ne 6 4
Vypočtěte podíl šancí a sestrojte 95% asymptotický interval spolehlivosti pro teoretický podíl šancí. Pomocí tohoto intervalu spolehlivosti
testujte na asymptotické hladině významnosti 0,05 hypotézu, že přežití nezávisí na léčení.
Řešení: Podíl šancí 1,1
9
10
18
20
63
45
bd
ac
OR ===
⋅
⋅
== . Protože podíl šancí je větší než 1, je zřejmě výhodnější se nechat léčit.
Dolní a horní mez 100(1-α)% asymptotického intervalu spolehlivosti intervalu spolehlivosti pro oρ vypočteme podle vzorců








++++=







+++−= α−α− 2/12/1 u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlnexph,u
d
1
c
1
b
1
a
1
ORlnexpd
Výsledek: 0,1645 < oρ < 7,506 s pravděpodobností přibližně 0,95. Protože tento interval spolehlivosti obsahuje 1, nelze na asymptotické hladině
významnosti 0,05 zamítnout hypotézu, že přežití nezávisí na léčení.
Příklad 4.: V náhodném výběru 50 studentů gymnázia bylo zjišťováno, zda se účastní biologické olympiády a zda sledují novinky
v biologickém výzkumu. Veličina X – účast v olympiádě, veličina Y – sledování novinek ve výzkumu. Výsledky průzkumu jsou uvedeny
v kontingenční tabulce:
YX
ne ano
ne 19 7
ano 9 15
Na hladině významnosti 0,05 testujte hypotézu o nezávislosti náhodných veličin X a Y. Použijte zjednodušený vzorec pro výpočet testové
statistiky K. Vypočtěte Cramérův koeficient.
Řešení: Tabulku doplníme o marginální četnosti.
YX
ne ano
nj.
ne 19 7 26
ano 9 15 24
n.k 28 22 50
Vypočteme teoretické četnosti:
,44,11
50
2226
n
nn
,56,14
50
2826
n
nn 2..11..1
=
⋅
==
⋅
= 56,10
50
2224
n
nn
,44,13
50
2824
n
nn 2..21..2
=
⋅
==
⋅
= .
Podmínky dobré aproximace jsou splněny.
Testovou statistiku vypočteme podle vzorce
( )
( )( )( )( )
( ) 4108,6
22282426
97151950
dbcadcba
bcadn
K
22
=
⋅⋅⋅
⋅−⋅
=
++++
−
=
Stanovíme kritický obor ( ) ) ( ) ) )∞=∞χ=∞χ= α− ,841,3,1,1W 95,0
2
1
2
Testová statistika se realizuje v kritickém oboru, tedy hypotézu o nezávislosti veličin X a Y zamítáme na asymptotické hladině významnosti
0,05.
Cramérův koeficient: 3581,0
50
4108,6
)1m(n
K
V ==
−
=