1   Galoisova teorie
Příklad 1.1. Buď F = Q(i). Ukažte, že pro libovolné prvočíslo p je polynom x3 — p ireduci-bilní nad F.
Řešení. Polynom x3 — p je ireducibilní nad F právě tehdy, když
[F(^):F] = [Q(^,i):Q(i)] = 3.
Polynom x2 + 1 je ireducibilní nad Q(<yp), vždyť Q(^/p) C R, tedy Z diagramu
již snadno odvodíme, že
Příklad 1.2. Buď F těleso charakteristiky char F^2. Nechť a, b jsou prvky tělesa F, přičemž b není druhou mocninou prvku z F. Dokažte, že a2 — b je druhou mocninou prvku z F právě tehdy, když v tělese F existují prvky m, n splňující
a + Vb = \[m + yjn. Řešení. „=>:" Předpokládejme, že existuje c e F takové, že
a — b = c .
Pak b = a2 - b2. Položme
a — c
m
n ■■
a + c
Vb.
Odtud dostáváme
(yfřň + \/n)2 = m + n + 2y/mn = a + 2 „<=:" Nyní předpokládejme, že existují m, n e F tak, že
a + Vfr = m + n + ly/mn.
Pak platí
2y/mn = a +      — m — n = a — m — n + Vb, 4mn = (a — m — n)2 + b + 2 (a — m — n)Vb. Protože b není čtverec, tak musí platit a — m — n = 0, tedy a = m + n. Pak 4mn = b a platí
a2 — b = (m + n)2 — 4mn = (m — n)2.
1
Nechť K/F je konečné rozšíření těles. Buď a E K libovolný prvek. Pak zobrazení $Q: K —» K dané předpisem
je lineární transformace vektorového prostoru, tj. pro všechna fa7 e K a každé a e F platí
*a(/3+7) = *a(/3) + *a(7),
tfQ(a/3)=a-tfQ(/3).
Zvolme bázi K nad F a uvažme matici AQ lineární transformace $Q v této bázi. Polynom
fa{x) = áet{x-E-Aa)
se nazývá charakteristický polynom ÝQ/ přičemž jeho definice nezávisí na volbě báze. Vskutku, je-li Ba matice ^a{x) v jiné bázi, pak
Ba = R ^AaR, kde R je vhodná regulární matice, a platí
det(x ■ E - Ba) = det(x ■ E - i?_1AQi?) = det(i?_1(a; ■ E - Aa)R) = áet{x ■ E - Aa).
Označme ma{x) minimlní polynom prvku a nad F. Následující tvrzení dává do vztahu polynom ma a polynom fa(x).
Tvrzení 1.3. Platí
Důkaz. Označme d = [F(a): F], pak bází F{a)/F je 1, a, a2,..., Qíd_1. Zvolme fa, fa, ■ ■ •, fa bázi rozšíření K/F{a), tj. r = [K: F (a)]. Víme, že
a1 fa       pro 0 < i < d, 1 < j <r
je báze K j F a platí
= ď+1fa.
Je-li i = d — 1, pak nemáme prvek báze. Minimální polynom ma prvku a nad F je tvaru
ma{x) = xd — c(i-ixd~1 — ... — c\x — cq pro vhodná q e F. Pak platí
ad = cd_iad_1 H-----h cia + cq,
a tedy
ía^"1^) = oř fa = Cd-xa^fa H----+ Clafa + c0fa.
Matice Aa má r bloků na diagonále (jinde 0) a tyto bloky jsou tvaru
/O    1    0    0   ■■■     0       0 \ 0    0    1    0   ■■■     0 0 0    0    0    1   ■■■     0 0
B
0   0   0   0   ■■■     1 o
o   o  o   o  ■■■    o 1
\c0   Cl   c2   c3   ■ ■ ■    cd_2 cd_i/ Pak /Q(x) = det(x ■ E — B)r. Stačí dokázat následující lemma:
2
Lemma 1.4. Platí
x	-1	0	0 ■■	0	0
0	x	-1	0 ■■	0	0
0	0	x	-1  ■ ■	0	0
0	0	0	0 ■■	-1	0
0	0	0	0 ■■	x	
-co	-ci	-C2	-c3   ■ ■	■     "Cd-2	x — c
-1
Důkaz. Lemma dokážeme indukcí vzhledem k d. (i) d = 1. Zřejmé.
a;d - Cd-l^"1
ClX — CQ
(ii) (i > 1, předpokládejme, že pro d — 1 tvrzení platí. Rozvoj podle prvního sloupce nám dá
(a
Cd-lX
C2X-Cl)+(-l)d+1 .(-co).(-l)
\d-l
□
□
indukční předpoklad
= xd — c^_ixd~1 — ■ ■ ■ — cix — cq.
Tím je důkaz tvrzení hotov. Je-li a    0, pak AQ je regulární, protože pro libovolné a e K platí
0 = det(AQ) = /Q(0)     mQ(0) ^ a = 0.
Příklad 1.5. Pro každé z čísel y/2 a 1 + v^2 + y/Ä nalezněte kubický polynom, jehož je toto číslo kořenem.
Řešení. Uvažme těleso Q(v^2) a zafixujme bázi 1, y/2, y/Ä. Násobení číslem y/2 má v bázi 1, y/2, y/Ä matici
'0   1 0^ 0  0 1 ,2  0 0,
Charakteristický polynom pak je
x6 - 2.
Násobení číslem l + ^2+^4máv bázi 1, -^2, -^4 matici
'1   1 1N 2   1 1 ,2  2 1,
X	-1	0
0	a;	-1
-2	0	X
Charakteristický polynom pak je
x — 1	-1	-1		a; — 1	-1	-1
-2	a; — 1	-1	=	-2	x — 1	-1
-2	-2	x — 1		0	—a; — 1 = a;3-	a; 3a;2
(a; - 1) ■ (x2 - 2x - 1) + 2 ■ (-2a; - 1)
3
2   Rozkladová tělesa
Definice 2.1. Rozšíření K tělesa F se nazývá rozkladové těleso polynomu / E F[x], jestliže se polynom / rozkládá na lineární činitele nad K, ale už se nerozkládá nad M, kde M C K je libovolné podtěleso.
Příklad 2.2. Určete rozkladové těleso a jeho stupeň nad Q pro polynom x4 — 2. Řešení. Rozkladové těleso polynomu x4 — 2 nad Q je K = Q(\K2, i)- Z diagramu
4/2,i)
pak snadno odvodíme, že [Q(v2, i): Q] = 8.
Příklad 2.3. Určete rozkladové těleso a jeho stupeň nad Q pro polynom x4 + 2.
Řešení. Rozkladové těleso polynomu x4 + 2 nad Q je L = Q(a, i), kde a = \/2 Snadno se vidí, že      + i^) leží v K, a proto L C K. Dále platí
tedy
^2:
(l-i)£
a proto K = L.
Příklad 2.4. Určete rozkladové těleso a jeho stupeň nad Q pro polynom x4 + x2 + 1.
Řešení. Polynom
„4  i JI
1 se nad Q rozkládá na součin
x4 + x2 + 1 = (x2 - x + l)(x2 +X + 1).
Oba polynomy maj diskriminant D = — 3, tedy rozkladovým tělesem polynomu . je těleso Q (i VŠ).
Příklad 2.5. Určete rozkladové těleso a jeho stupeň nad Q pro polynom x6 — 4.
■x2 + 1
Řešení. Polynom x6 — 4 se nad Q rozkládá na součin
x
6
4= 0e3-2)(:e3 + 2).
Pro libovolné aeR platí
a3 = 2^ (-a)3 = -2.
Stačí tedy uvažovat rozkladové těleso polynomu x3 — 2 a tím je těleso QijVŠ, y/2). o
Definice 2.6. Buď K těleso. Nechť f{x) = anxn + an-\xn~x + ■ ■ ■ + a\x + ao S K[x] je libovolný nekonstantní polynom. Označme ai, a2,..., ara kořeny polynomu f v K. Výraz
!?(/) = ^-2J](ai-a.)2
se nazývá diskriminant polynomu f.
Poznámka 2.1. Pro kubický polynom /(x) = ax3 + bx2 + cx + d je diskriminant tvaru
D(f) = b2c2 - 4ac3 - Ab3d - 27a2d2 + 18abcd.
Věta 2.7. Nechť f{x) G Q[x] ;e libovolný kubický polynom. Dále nechť a G Q/e /e/zo kořen. Pak rozkladovým tělesem polynomu f je těleso
kde D je diskriminant polynomu f.
piačme K rozkladové těleso polynomu /. Zřejmě Q(a, VD) C if. Označme /3,7
Dwfcflz
zbylé dva kořeny polynomu /. Budeme hotovi, pokud ukážeme, že (3 a 7 leží v Q(a, VD). Protože a leží v Q(a, \/D), má polynom (x — /3)(x — 7) koeficienty z Q(a, \/D), tedy 7 + /3 a 7/3 leží v Q(a, \/D). Označíme-li a vedoucí koeficient polynomu /, pak platí
Q(a, VĎ~)3VĎ~ = a2(a-P)(P- j)(a - 7) = a2 (a2 + (/3 + 7)« + /37) (/3 - 7),
N-v-'
a tedy /3 — 7 G Q(a, \ÍD). Tím je důkaz hotov. □ Příklad 2.8. Rozhodněte, zda se jedná o normální rozšíření:
1. Q(qí)/Q, kde a je kořen polynomu x3 — 3x + 1.
2. Q(l + ^2-
5