Své postupy i svá rozhodnutí zdůvodňujte!
1. (10 bodů) Pro těleso K = Q(\/2, VŠ, VE, VŤ) popište Galoisovu grupu Gal(Ä"/Q). Kolik má těleso K kvadratických podtěles, tj. podtěles L s vlastností [L : Q] = 2?
Ä* (3 X 10 bodů) Jsou dány polynomy
(a) h = x3 + 2;
(b) f2 = x4 - 4x2 + 2;
(c) h=x&+ 3.
Pro každé i = 1,2,3 popište rozkladové těleso K{ polynomu f i, jeho Galoisovu grupu Gal(l£j/Q) a svaz všech podtěles tělesa K{.
3. (io bodů) Uvažme devadesáté první kruhové těleso K = Q(C)> kde £ = cos §f + i sin |f. Nechť a = C + (W + C74 a /3 = C + C9 + C81-
(a) Určete každý ze stupňů rozšíření [K : Q(a)], [K : Q(/3)], [Ä" : Q(a)nQ(/3)], :Q(a,/3)].
(b) Rozhodněte, zda je Galoisova grupa G&l(K/<Q)(a) D Q(/3)) komutativní.
(c) Rozhodněte, zda je Galoisova grupa G&l(K/<Q)(a) D Q(/3)) cyklická.
4. (io bodů) Nechť (G, •) je Hausdorffovská topologická grupa, H C G její podgrupa, přičemž     je komutativní.
(a) Dokažte, že uzávěr H podgrupy H je také komutativní.
(b) Rozhodněte, zda toto tvrzení platí i bez předpokladu, že G je Hausdorffovská.
5. (io bodů) Nechť K = ¥2 (x) je těleso racionálních funkcí nad dvojprv-kovým tělesem F2.
(a) Dokažte, že pro libovolnou matici A = ("^) £ GL2(F2) existuje automorfismus o a'- K —?► K splňující podmínku ga(x) = cx+d'
(b) Dokažte, že G = {<ta', A G GL2(F2)} tvoří vzhledem ke skládání grupu, která je izomorfní s GL2(F2).
(c) Popište podtěleso L C K takové, že Kj L je konečné normálni separabilní rozšíření s Galoisovou grupou G.
(d) Nalezněte vhodné /3 G K tak, aby L = F2(/3).
(e) Nakreslete svaz všech těles M, splňujících L C M C K, a vyznačte stupně rozšíření mezi každými zakreslenými tělesy, které jsou v inkluzi.
(Pro výpočet stupňů rozšíření můžete při řešení užít větu: Nechť F je těleso a t je transcendentní nad F. Nechť f(t), g(t) jsou nenulové nesoudělné polynomy z F[t], z nichž je alespoň jeden nekonstantní. Pak platí [F(t) : F(M)] = max{deg/(í), deg5(í)}.)