Ideály okruhu (R, +, ·)
Definice. Nechť R je okruh. Podmnožina I ⊆ R se nazývá ideál
okruhu R, jestliže
I = ∅;
∀a, b ∈ I : a + b ∈ I;
∀a ∈ I ∀r ∈ R : a · r, r · a ∈ I.
Příklad. Pro libovolný okruh R tvoří {0} i R ideály okruhu R.
Evidentně jde o nejmenší a největší ideál okruhu R.
Příklad. Pro libovolný homomorfismus okruhů f : R → S je jádro
ker f = {a ∈ R; f (a) = 0} ideálem okruhu R (jak připomeneme
později, naopak také každý ideál je jádrem vhodného
homomorfismu okruhů).
Věta. Nechť R je netriviální komutativní okruh. Pak R je těleso,
právě když R a {0} jsou jediné ideály okruhu R.
Věta. Nechť R je těleso a T netriviální okruh. Pak každý
homomorfismus okruhů ϕ : R → T je injektivní.
Ideál generovaný množinou
Věta. Nechť S = ∅ je libovolná množina taková, že pro každé
s ∈ S je dán ideál Is okruhu R. Pak s∈S Is je ideál okruhu R.
Důsledek. Nechť R je okruh. Systém všech ideálů okruhu R
uspořádaný inkluzí je úplný svaz.
Definice. Nechť R je okruh. Předchozí věta nám umožňuje
definovat ideál okruhu R generovaný množinou M ⊆ R jako
průnik všech ideálů tuto množinu obsahujících.
Je to tedy nejmenší ideál okruhu R obsahující M, značíme jej (M).
Je-li M = {a1, . . . , an}, píšeme místo (M) také (a1, . . . , an).
Věta. Nechť R je komutativní okruh, a1, . . . , an ∈ R. Pak
(a1, . . . , an) = {r1a1 + · · · + rnan; r1, . . . , rn ∈ R}.
Definice. Nechť R je komutativní okruh, a ∈ R. Ideál
(a) = {ra; r ∈ R} nazýváme hlavní ideál okruhu R generovaný
prvkem a.
Faktorizace okruhů
Nechť (R, +, ·) je okruh, I jeho ideál. Pak I je (normální) podgrupa
komutativní grupy (R, +), máme tedy faktorgrupu (R/I, +),
přičemž R/I = {a + I; a ∈ R}, kde a + I = {a + h; h ∈ I}.
Platí ∀a, b ∈ R : (a + I = b + I ⇔ a ∈ b + I ⇔ a − b ∈ I).
Operace + na R/I je definována pomocí reprezentantů:
(a + I) + (b + I) = (a + b) + I pro každé a, b ∈ R.
Věta. Nechť I je ideál okruhu R. Na faktorgrupě (R/I, +) lze
definovat násobení pomocí reprezentantů, tedy
(a + I) · (b + I) = (a · b) + I pro každé a, b ∈ R.
Pak (R/I, +, ·) je okruh a projekce π : R → R/I je surjektivním
homomorfismem okruhů s jádrem ker π = I.
Definice. Okruh R/I z předchozí věty se nazývá faktorokruh
okruhu R podle ideálu I. Homomorfismu π říkáme projekce
okruhu R na faktorokruh R/I.
Důsledek. Ideály okruhu R jsou právě jádra homomorfismů R → K
okruhu R do vhodných okruhů K.
Hlavní věta o faktorokruzích
Věta (Hlavní věta o faktorokruzích). Nechť f : R → K je
homomorfismus okruhů, I ideál okruhu R splňující I ⊆ ker f . Nechť
π : R → R/I je projekce okruhu R na faktorokruh R/I.
Pak existuje, a to jediné, zobrazení f : R/I → K splňující
f ◦ π = f .
R
f //
π
K
R/I
f
==
Navíc platí:
f je homomorfismus okruhů,
f je injekce, právě když I = ker f ,
f je surjekce, právě když f je surjekce.
Důsledek. Je-li f : R → K surjektivní homomorfismus okruhů, pak
platí R/(ker f ) ∼= K.
Nejmenší podokruh daného okruhu
Věta. Nechť R je okruh. Pak existuje jediný homomorfismus
okruhů f : Z → R; tento homomorfismus splňuje
f (n) = f (1 + · · · + 1
n
) = f (1) + · · · + f (1)
n
= 1R + · · · + 1R
n
,
pro každé přirozené číslo n, a tedy také f (−n) = −f (n). Jeho
jádro ker f je hlavní ideál okruhu Z generovaný charakteristikou
okruhu R, tj. ker f = (char R).
Důsledek. Každý okruh R charakteristiky nula obsahuje podokruh
izomorfní s okruhem celých čísel Z. Každý okruh R charakteristiky
n = 0 obsahuje podokruh izomorfní s okruhem Zn zbytkových tříd
modulo n.
Důkaz. Plyne z hlavní věty o faktorokruzích pro homomorfismus
okruhů f : Z → R a toho, že Z/(n) = Zn.
Maximální ideály a prvoideály
Definice. Nechť I je ideál okruhu R. Řekneme, že I je maximální
ideál okruhu R, jestliže R = I a současně neexistuje žádný ideál J
okruhu R splňující I J R.
Věta. Nechť I je ideál komutativního okruhu R. Pak faktorokruh
R/I je těleso, právě když I je maximální ideál okruhu R.
Definice. Nechť I je ideál okruhu R. Řekneme, že I je prvoideál
okruhu R, jestliže R = I a současně pro libovolné prvky a, b ∈ R
platí implikace a · b ∈ I =⇒ a ∈ I nebo b ∈ I.
Věta. Nechť I je ideál komutativního okruhu R. Pak faktorokruh
R/I je obor integrity, právě když I je prvoideál okruhu R.
Důsledek. Jestliže I je maximální ideál komutativního okruhu R,
pak I je prvoideál okruhu R.
Maximální ideály a prvoideály okruhu polynomů nad
tělesem
Věta. Nechť R je těleso. Pak každý ideál okruhu polynomů R[x] je
hlavní.
Věta. Nechť R je těleso a f ∈ R[x], f = 0, následující výroky jsou
ekvivalentní:
1. (f ) je maximální ideál okruhu R[x];
2. (f ) je prvoideál okruhu R[x];
3. f je ireducibilní polynom nad R.
Poznámka. Je-li R těleso, pak nulový ideál {0} je prvoideálem, ale
není maximálním ideálem okruhu polynomů R[x].
Podtělesa, rozšíření těles
Definice. Nechť T je těleso. Libovolný podokruh R tělesa T
takový, že pro každé a ∈ R, a = 0 platí a−1 ∈ R, nazýváme
podtěleso tělesa T. Říkáme též, že T je rozšíření tělesa R. Anebo
také, že R ⊆ T je rozšířením těles; v souladu s literaturou budeme
užívat zápis: T/R je rozšířením těles (pozor, nejde o faktorizaci).
Jinými slovy: podokruh R tělesa T je podtělesem, je-li R těleso.
Příklad. Rozšířeními těles jsou například R/Q, C/Q, C/R.
Rozšířeními těles nejsou Z ⊆ Q, R ⊆ R[x]. Víme, že každé těleso
charakteristiky p = 0 obsahuje podtěleso izomorfní s Zp.
Věta. Každé těleso charakteristiky nula obsahuje podtěleso
izomorfní s Q.
Důkaz. Nechť R je těleso, char R = 0. Víme, že R obsahuje
podokruh izomorfní se Z, po ztotožnění můžeme považovat Z za
podokruh. Protože je R těleso, s každými m, n ∈ Z, n = 0 musí
pak obsahovat i m · n−1. Lze tedy Q vnořit do R.
Těleso racionálních funkcí
Definice. Nechť R je libovolné těleso. Podílové těleso oboru
integrity R[x] nazýváme těleso racionálních funkcí nad tělesem
R, značíme jej R(x).
Poznámka. Libovolný prvek tělesa racionálních funkcí je tedy
zlomek, který má ve jmenovateli i čitateli polynomy s koeficienty
z tělesa R, tedy
R(x) =
f
g
; f , g ∈ R[x], g = 0 .
Operace sčítání a násobení jsou v R(x) definovány tak, jak jsme
zvyklí pracovat se zlomky. Přitom okruh polynomů R[x] je
podokruhem tělesa R(x), neboť libovolný polynom f je ztotožněn
se zlomkem f
1 .
Příklad. Pro libovolné těleso R je R(x)/R rozšířením těles.
Podtěleso generované množinou
Věta. Nechť I = ∅ je libovolná množina taková, že pro každé i ∈ I
je dáno podtěleso Ri tělesa T. Pak i∈I Ri je podtěleso tělesa T.
Důsledek. Nechť T je těleso. Systém všech podtěles tělesa T
uspořádaný inkluzí je úplný svaz.
Definice. Nechť T je těleso. Předchozí věta nám umožňuje
definovat podtěleso tělesa T generované množinou M ⊆ T jako
průnik všech podtěles tuto množinu obsahujících.
Je to tedy nejmenší podtěleso tělesa T obsahující M.
Je-li M = R ∪ {c1, . . . , cn}, kde R je podtěleso tělesa T a
c1, . . . , cn ∈ T, pak podtěleso generované množinou
R ∪ {c1, . . . , cn} značíme R(c1, . . . , cn). Takové rozšíření
R(c1, . . . , cn)/R nazýváme konečně generované.
Poznámka. Připomeňme, že je-li T okruh, R jeho podokruh a
c1, . . . , cn ∈ T, pak podokruh generovaný množinou
R ∪ {c1, . . . , cn} značíme R[c1, . . . , cn]. V situaci z definice mají
tedy smysl oba zápisy, zřejmě platí R[c1, . . . , cn] ⊆ R(c1, . . . , cn).
Stupeň rozšíření těles
Je-li R podtělesem tělesa T, pak můžeme aditivní grupu (T, +)
chápat jako vektorový prostor nad tělesem R: skalárním násobkem
vektoru t ∈ T skalárem r ∈ R je součin r · t počítaný v tělese T.
Axiomy vektorového prostoru jsou splněny:
pro každé skaláry r1, r2 ∈ R a každé vektory t1, t2 ∈ T platí
(r1 + r2) · t1 = r1 · t1 + r2 · t1,
r1 · (t1 + t2) = r1 · t1 + r1 · t2,
r1 · (r2 · t1) = (r1 · r2) · t1,
1 · t1 = t1,
(v T platí distributivní zákony, násobení je asociativní a 1 je
jednička). Máme tedy definovánu dimenzi dimR T ∈ N ∪ {∞},
zřejmě tato dimenze nemůže být nula.
Definice. Nechť T/R je rozšířením těles. Stupeň [T : R] tohoto
rozšíření definujeme jako dimenzi vektorového prostoru T nad
tělesem R, tj. [T : R] = dimR T.
Multiplikativnost stupně rozšíření
Věta. Nechť S/R, T/S jsou rozšíření těles. Pak platí
T
[T:S]
[T : R] = [T : S] · [S : R], S
[S:R]
R
[T:R]
kde užíváme konvenci n · ∞ = ∞ · n = ∞ pro každé n ∈ N ∪ {∞}.
Důkaz. Je-li [S : R] = ∞, pro každé n ∈ N v S existuje n lineárně
nezávislých prvků nad R, protože S ⊆ T, jsou tyto prvky v T a
platí [T : R] = ∞.
Je-li [T : S] = ∞, pro každé n ∈ N v T existuje n lineárně
nezávislých prvků nad S. Ty jsou lineárně nezávislé i nad R, a
proto [T : R] = ∞.
Nechť n = [T : S] ∈ N, m = [S : R] ∈ N. Nechť α1, . . . , αn je báze
T nad S, β1, . . . , βm báze S nad R. Ukážeme, že αi βj
(1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m) je bází T nad R. Nechť γ ∈ T je libovolný.
Pak existují δ1, . . . , δn ∈ S, že γ = n
i=1 δi αi . Existují tedy
εij ∈ R, že δi = m
j=1 εij βj pro každé i. Dosazením
γ =
n
i=1
m
j=1
εij βj αi =
n
i=1
m
j=1
εij (αi βj ).
Tedy αi βj (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m) je množina generátorů T nad R.
Je-li n
i=1
m
j=1 εij (αi βj ) pro nějaké prvky εij ∈ R nulový vektor,
pak z lineární nezávislosti α1, . . . , αn nad S dostaneme, že
m
j=1 εij βj = 0 pro každé i = 1, . . . , n a z lineární nezávislosti
β1, . . . , βm nad R dostaneme, že εij = 0 pro každé i, j.
Tedy αi βj (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m) je báze T nad R.
Algebraické a transcendentní prvky
Mějme rozšíření těles T/R a polynom
f = anxn
+ · · · + a1x + a0 ∈ R[x].
Pak je také f ∈ T[x], a proto pro každé c ∈ T můžeme uvažovat
hodnotu f (c) = an · cn + · · · + a1 · c + a0 ∈ T. Připomeňme, že c
se nazývá kořenem polynomu f , je-li f (c) = 0.
Definice. Nechť T/R je rozšířením těles, c ∈ T. Řekneme, že
prvek c je algebraický nad tělesem R, jestliže existuje nenulový
polynom f ∈ R[x], jehož je c kořenem. V opačném případě říkáme,
že prvek c je transcendentní nad tělesem R.
Poznámka. O komplexním čísle c říkáme, že je algebraické (resp.
transcendentní), je-li c algebraické (resp. transcendentní) nad
tělesem racionálních čísel Q.
Minimální polynom algebraického prvku
Věta. Nechť T/R je rozšířením těles, c ∈ T algebraický prvek nad
R. Pak c je kořenem právě jednoho normovaného ireducibilního
polynomu f ∈ R[x]. Navíc platí
1. pro libovolný h ∈ R[x] je h(c) = 0, právě když f | h v R[x],
2. R(c) = R[c] v T,
3. 1, c, c2, . . . , cn−1, kde n = st f , je bází vektorového prostoru
R[c] nad R,
4. stupeň rozšíření [R(c) : R] = st f .
Definice. Polynom f ∈ R[x] z předchozí věty nazýváme minimální
polynom algebraického prvku c ∈ T nad R.
Věta. Nechť T/R je rozšířením těles, c ∈ T transcendentní prvek
nad R. Pak platí
1. R[c] R(c) v T,
2. R[c] ∼= R[x], R(c) ∼= R(x),
3. stupeň rozšíření [R(c) : R] = ∞.
Jednoduchá, konečná a algebraická rozšíření
Definice. Nechť T/R je rozšíření těles. Řekneme, že toto rozšíření
je
jednoduché, existuje-li prvek c ∈ T, který je algebraický nad
R, takový, že T = R(c);
konečné, je-li stupeň [T : R] < ∞;
algebraické, je-li každý prvek c ∈ T algebraický nad R.
Věta. Každé jednoduché rozšíření těles je konečné.
Důkaz. Je-li T = R(c) pro c ∈ T, který je algebraický nad R, pak
víme, že [T : R] = [R(c) : R] = st f , kde f ∈ R[x] je minimální
polynom prvku c nad R.
Poznámka. Pro tělesa charakteristiky nula platí i opačná implikace:
Každé konečné rozšíření těles charakteristiky nula je jednoduché.
Tuto větu však budeme dokazovat až později.
Konečná a algebraická rozšíření
Věta. Každé konečné rozšíření těles je algebraické.
Důkaz. Nechť T/R je konečné rozšíření těles, pak stupeň
[T : R] = m je přirozené číslo.
Pro libovolný prvek c ∈ T jsou prvky 1, c, c2, . . . , cm lineárně
závislé nad R, neboť je jich více než dimR T = m.
Existují tedy r0, r1, . . . , rm ∈ R, ne všechny nulové, tak, že
r0 · 1 + r1 · c + r2 · c2 + · · · + rm · cm = 0.
Proto je c kořenem nenulového polynomu
r = rmxm + · · · + r1x + r0 ∈ R[x], a tedy c je algebraický nad R.
Důsledek. Nechť T/R je rozšíření těles. Jestliže těleso T obsahuje
prvek transcendentní nad R, pak [T : R] = ∞.
Věta. Nechť T/R je rozšíření těles a nechť α, β ∈ T jsou
algebraické nad tělesem R. Pak α ± β, αβ, a také α−1, je-li α = 0,
jsou algebraické nad tělesem R.
Důkaz. Protože α je algebraický nad R, platí [R(α) : R] < ∞.
Protože β je algebraický nad R, je také algebraický nad R(α) a
platí [(R(α))(β) : R(α)] < ∞. Protože R(α, β) = (R(α))(β), je
[R(α, β) : R] = [(R(α))(β) : R(α)] · [R(α) : R] < ∞. Protože
každé konečné rozšíření těles je algebraické, je každý prvek tělesa
R(α, β) algebraický nad R.
Věta. Rozšíření těles T/R je konečné, právě když T = R(c1, . . . , cn)
pro konečně mnoho prvků c1, . . . , cn, které jsou všechny
algebraické nad tělesem R.
Důkaz. Užijeme rovnost R(c1, . . . , cn) = (R(c1))(c2, . . . , cn).
„⇒ Indukcí vůči stupni [T : R].
„⇐ Indukcí vůči n argumentací jako v predešlém důkaze.
Příklad nekonečného algebraického rozšíření
Důsledek. Nechť T/R je rozšíření těles. Označme A množinu všech
prvků t ∈ T, které jsou algebraické nad R. Pak A je podtěleso
tělesa T obsahující těleso R.
Příklad. Aplikujme předchozí důsledek na rozšíření C/Q. Pak A je
těleso všech algebraických čísel. Proto je A/Q algebraické rozšíření.
Ukážeme, že A/Q není konečné. Pro libovolné n ∈ N je polynom
xn − 2 je ireducibilní nad Q podle Eisensteinova kriteria, a tedy je
minimálním polynomem algebraického čísla n
√
2, odkud
[Q( n
√
2) : Q] = n. Proto vektorový prostor A nad Q obsahuje
n-rozměrný vektorový podprostor pro každé n ∈ N, nemůže být
tedy konečněrozměrný.
Konstrukce jednoduchého rozšíření
Věta. Nechť R je těleso, f ∈ R[x] normovaný ireducibilní polynom.
Pak R[x]/(f ) je těleso, které je jednoduché rozšíření tělesa R.
Přesněji: ztotožníme libovolný prvek r ∈ R s třídou r + (f )
obsahující konstantní polynom r a označíme c = x + (f ) třídu
obsahující polynom x, pak R[x]/(f ) = R(c) a f je minimální
polynom prvku c nad R.
Důkaz. Protože f je ireducibilní polynom nad tělesem R, hlavní
ideál (f ) ⊆ R[x] je maximálním ideálem okruhu polynomů R[x].
Protože R[x] je komutativní okruh, je faktorokruh T = R[x]/(f )
těleso. R 1  ⊆
//
π|R %%
R[x]
π

T = R[x]/(f )
Protože π|R : R → T je homomorfismus okruhů mezi tělesy, je
injektivní. Proto můžeme ztotožnit libovolný prvek r ∈ R s jeho
obrazem r + (f ) v T. Po tomto ztotožnění je R podtělesem tělesa
T, máme tedy rozšíření těles T/R.
Označme c = x + (f ) třídu obsahující lineární polynom x. Pak pro
libovolný polynom g = gmxm + · · · + g1x + g0 ∈ R[x] platí
g(c) = gmcm
+ · · · + g1c + g0 =
= (gm + (f ))(x + (f ))m
+ · · · + (g1 + (f ))(x + (f )) + (g0 + (f )) =
= (gmxm
+ · · · + g1x + g0) + (f ) = g + (f ).
Odtud T = R(c). Speciálně f (c) = f + (f ) = 0 + (f ) = 0, a tedy
c je kořenem polynomu f . Protože f je normovaný a ireducibilní
nad R, je f minimálním polynomem prvku c.
Poznámka. Je-li st f > 1, nemá polynom f v tělese R žádný kořen.
Konstrukcí z předchozí věty jsme těleso R rozšířili na těleso R(c),
přičemž minimální polynom prvku c je právě f .
Takové rozšíření R(c) (pro daný minimální polynom f prvku c) je
jediné až na izomorfismus, uvidíme, že je totiž vždy izomorfní
s faktorokruhem R[x]/(f ).
Rozkladové těleso polynomu
Věta. Nechť R je těleso a f ∈ R[x] nekonstantní polynom. Pak
existuje rozšíření T tělesa R takové, že f se v T[x] rozkládá na
součin lineárních činitelů.
Důkaz. Větu dokážeme indukcí vzhledem ke st f .
Je-li st f = 1, stačí vzít T = R.
Nechť tedy st f > 1 a věta byla dokázána pro všechny nekonstantní
polynomy stupně menšího než st f nad libovolným tělesem (tj.
nejen nad naším R). Rozložme polynom f v R[x] na součin
ireducibilních činitelů (to lze, neboť R je těleso)
f = a · g1 · · · gk,
kde a je vedoucí koeficient polynomu f a g1, . . . , gk ∈ R[x] jsou
normované ireducibilní polynomy. Pak podle předchozí věty je
K = R[x]/(g1) rozšíření tělesa R, ve kterém má polynom g1 kořen
α = x + (g1). Existuje proto normovaný polynom q ∈ K[x] takový,
že g1 = (x − α) · q. Označme g = a · q · g2 · · · gk ∈ K[x], pak
f = (x − α) · g a st g = st f − 1.
Proto podle indukčního předpokladu existuje rozšíření T tělesa K
takové, že g se v T[x] rozkládá na součin lineárních činitelů. Pak
T je také rozšíření tělesa R takové, že f se v T[x] rozkládá na
součin lineárních činitelů.
Definice. Podle předchozí věty pro libovolný nekonstantní polynom
f ∈ R[x], kde R je těleso, existuje rozšíření T/R takové, že
f = a · (x − α1) · · · (x − αn),
kde a ∈ R, α1, . . . , αn ∈ T. Pak těleso R(α1, . . . , αn) nazýváme
rozkladové těleso polynomu f nad tělesem R.
Poznámka. Budeme chtít dokázat, že rozkladové těleso polynomu
f nad tělesem R je určeno jednoznačně až na izomorfismus
v následujícím smyslu: jsou-li K, L obě rozkladová tělesa polynomu
f nad tělesem R, pak existuje izomorfismus ϕ : K → L takový, že
ϕ(r) = r pro každé r ∈ R. Je to důsledek následující věty.
Věta o izomorfismu jednoduchých rozšíření
Věta. Nechť ψ : R → R je izomorfismus těles a p ∈ R[x]
ireducibilní polynom. Nechť Ψ : R[x] → R [x] je izomorfismus
indukovaný izomorfismem ψ na koeficientech, tedy
Ψ(rnxn
+ · · · + r1x + r0) = ψ(rn)xn
+ · · · + ψ(r1)x + ψ(r0)
pro každé r0, . . . , rn ∈ R; označme p = Ψ(p). Nechť α je kořen
polynomu p v nějakém rozšíření tělesa R a β je kořen polynomu p
v nějakém rozšíření tělesa R , máme tedy tělesa R(α) a R (β).
Pak existuje (a to jediný) izomorfismus σ : R(α) → R (β) splňující
σ(r) = ψ(r) pro každé r ∈ R a σ(α) = β.
Důkaz. Označme ϕα : R[x] → R(α) zobrazení, přiřazující každému
polynomu jeho hodnotu v α;
víme, že ϕα je surjektivní
homomorfismus okruhů,
jehož jádrem je hlavní ideál (p).
Máme tedy komutativní diagram,
kde π je projekce na faktorokruh.
R 1  ⊆
// •
⊆

R[x]
π

ϕα
yyyy
R(α) R[x]/(p)c •oooo
Analogický diagram máme i pro jednoduché rozšíření těles
R (β)/R , dohromady
R[x]
π

ϕα
$$ $$
@Ø
Ψ
)) ))
Rc •⊆
oo  •
⊆

1  ψ
// // R 1  ⊆
// •
⊆

R [x]
π

ϕβ
yyyy
R[x]/(p)1  // //
# w
55 55
R(α) R (β) R [x]/(p )c •oooo
kde je čárkovanou šipkou vyznačen izomorfismus faktorokruhů
R[x]/(p) → R [x]/(p ) daný tím, že Ψ(p) = p .
Protože všechny trojúhelníky i čtyřúhelník nahoře komutují a
komutuje i vnější čtyřúhelník, musí komutovat i šestiúhelník
uprostřed. Hledaný izomorfismus σ : R(α) → R (β) získáme
složením tří izomorfismů v diagramu, zřejmě splňuje σ(r) = ψ(r)
pro každé r ∈ R a σ(α) = β. Protože každý prvek tělesa
R(α) = R[α] je tvaru h(α) pro vhodný polynom h ∈ R[x], je
těmito podmínkami izomorfismus σ určen jednoznačně.
Kompozitum podtěles v daném tělese
Definice. Nechť R1 a R2 jsou podtělesa tělesa T.
Kompozitum R1R2 těchto těles je definováno jako nejmenší
podtěleso tělesa T obsahující obě tělesa R1 i R2.
Poznámka. Kompozitum R1R2 je tedy supremem těles R1 a R2 ve
svazu všech podtěles tělesa T.
Příklad. Q(
√
2,
√
3) je kompozitem těles Q(
√
2) a Q(
√
3) v R.
Příklad. Nechť T/R je rozšíření těles, c1, . . . , cn, d1, . . . , dm ∈ T.
Pak kompozitem těles R(c1, . . . , cn) a R(d1, . . . , dm) v T je
R(c1, . . . , cn, d1, . . . , dm).
Příklad. Tělesa R1 = Q( 4
√
2) a R2 = Q(i 4
√
2) jsou izomorfní, neboť
čísla 4
√
2 a i 4
√
2 mají stejný minimální polynom x4 − 2 nad Q.
Přesto kompozita R1R1 = R1 a R1R2 nejsou izomorfní, neboť R1R2
obsahuje kořen i polynomu x2 + 1, kdežto R1 ⊆ R.
Kompozitem konečných rozšíření je konečné rozšíření
Věta. Nechť R1 a R2 jsou podtělesa tělesa T, přičemž R1 i R2 jsou
konečná rozšíření tělesa R. Pak i kompozitum R1R2 je konečným
rozšířením tělesa R a platí
[R1R2 : R] ≤ [R1 : R] · [R2 : R],
přičemž rovnost nastane, právě když je báze tělesa R1 lineárně
nezávislá nad tělesem R2. Přesněji, je-li α1, . . . , αn, resp.
β1, . . . , βm, báze R1, resp. R2, nad R, pak součiny αi βj pro
i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m generují kompozitum R1R2 jako
vektorový prostor nad R.
Důkaz. Množina M všech lineárních kombinací n
i=1
m
j=1 rij αi βj
s koeficienty z rij ∈ R tvoří podokruh tělesa T obsahující R1 ∪ R2,
který je současně vektorovým prostorem nad R dimenze nejvýše mn.
Pro každé γ ∈ M, γ = 0 je mn + 1 prvků 1, γ, . . . , γmn lineárně
závislých nad R, z lineární závislosti dostaneme úpravou γ−1 ∈ M,
a tedy M je podtělesem tělesa T.
Zřejmě každé těleso obsahující R1 ∪ R2 musí obsahovat i M.
(Ne)řešitelnost geometrických úloh pravítkem a kružítkem
Z antiky pocházejí tři problémy, jejichž řešení pravítkem a
kružítkem nebylo známo:
trisekce úhlu (rozdělit daný úhel na třetiny),
zdvojení krychle (k dané krychli sestrojit krychli
dvojnásobného objemu, tj. k úsečce dané délky najít úsečku
3
√
2-krát delší),
kvadratura kruhu (k danému kruhu sestrojit čtverec o stejném
obsahu).
Abychom mohli dokázat, že žádné řešení těchto úloh neexistuje,
musíme přesně specifikovat, co to znamená řešit úlohu pravítkem a
kružítkem.
Předpokládejme, že v rovině je zadáno konečně mnoho bodů
popisujících zadání úlohy. Těmto bodům budeme říkat význačné.
Smíme sestrojit libovolnou přímku procházející dvěma význačnými
body a libovolnou kružnici, jejímž středem je význačný bod a
poloměrem vzdálenost některých dvou význačných bodů.
Libovolný průsečík sestrojených kružnic či přímek můžeme přidat
k význačným bodům. Jde o to, jestli po konečně mnoha krocích lze
docílit toho, že mezi význačnými body je bod, který popisuje řešení
dané úlohy.
Zavedeme v této rovině soustavu souřadnic, rovinu tedy
ztotožňujeme s kartézským součinem R × R. Označme T0
podtěleso tělesa R generované x-ovými a y-ovými souřadnicemi
všech zadaných bodů. Pokud bylo přidáno celkem n význačných
bodů, definujeme tělesa T1, . . . , Tn takto: těleso Ti je generováno
tělesem Ti−1 a souřadnicemi i-tého význačného bodu.
Naším cílem je dokážat, že rozšíření těles T0 ⊆ Tn je konečné a
jeho stupeň [Tn : T0] | 2n.
Označme [xi , yi ] souřadnice i-tého význačného bodu. Tento bod byl
získán jako průsečík sestrojených přímek či kružnic, rovnice takové
přímky je tvaru ax + by = c, kde a, b, c ∈ Ti−1, rovnice takové
kružnice tvaru (x − m)2 + (y − n)2 = u, kde m, n, u ∈ Ti−1. Proto
[xi , yi ] je řešením soustavy dvou lineárních rovnic anebo soustavy
jedné lineární a jedné kvadratické rovnice s koeficienty v Ti−1
(případ dvou kružnic vede sice na soustavu dvou kvadratických
rovnic, jejich odečtením však dostaneme rovnici lineární).
Dosazením z lineární rovnice do druhé rovnice získáme rovnici
lineární nebo kvadratickou pro jednu ze souřadnic [xi , yi ]
s koeficienty v Ti−1. Minimální polynom získaného řešení nad
tělesem Ti−1 má stupeň 1 nebo 2, druhou ze souřadnic
dopočítáme z lineární rovnice. Proto [Ti : Ti−1] ∈ {1, 2}.
Z věty o násobení stupňů rozšíření dostáváme [Tn : T0] | 2n.
Neřešitelnost úlohy zdvojení krychle
Jsou dány dva body o souřadnicích [0, 0] a [0, 1], cílem je získat
bod [0, 3
√
2].
Je tedy T0 = Q.
Protože x3 − 2 je minimální polynom čísla 3
√
2 nad Q, platí
[Q( 3
√
2) : Q] = 3.
Jestliže tedy 3
√
2 ∈ Tn, pak 3 | [Tn : T0]. Tn
Q( 3
√
2)
T0 = Q
To spolu s odvozenou dělitelností [Tn : T0] | 2n dává spor 3 | 2n.
Neřešitelnost úlohy trisekce úhlu
Ukážeme, že nemůžeme sestrojit pravítkem a kružítkem úhel π
9 .
Vzhledem k tomu, že umíme sestrojit úhel π
3 jako vnitřní úhel
rovnostranného trojúhelníka, bude to znamenat, že existuje úhel,
které nelze rozdělit na třetiny.
Jsou dány dva body o souřadnicích [0, 0] a [0, 1], cílem je získat
bod [cos π
9 , sin π
9 ]. Opět máme T0 = Q.
K nalezení minimálního polynomu čísla 2 cos π
9 využijeme vzorec
cos 3α = cos3 α − 3 cos α sin2
α = 4 cos3 α − 3 cos α.
Pro α = π
9 dostáváme, že c = 2 cos π
9 je kořenem polynomu
x3 − 3x − 1. Tento kubický polynom nemá racionální kořen (±1
kořen není), a tedy je ireducibilní nad Q.
Odtud [Q(cos π
9 ) : Q] = 3 a stejně jako v předchozím případě
dostáváme spor.
Neřešitelnost úlohy kvadratury kruhu
V tomto případě využijeme toho, že π je transcendentní číslo
(tento fakt zde nebudeme dokazovat).
Jsou dány dva body o souřadnicích [0, 0] a [0, 1]. Kruh
jednotkového poloměru má obsah π. Cílem je získat bod [0,
√
π].
Opět máme T0 = Q.
Předpokládejme, že
√
π ∈ Tn, pak π ∈ Tn.
Protože π je transcendentní nad Q, plyne odtud [Tn : Q] = ∞, což
je spor s tím, že Q ⊆ Tn je konečné rozšíření.