Zadání příkladů — Statistická inference II — 2017
Příklad 1. Směs dvou normálních rozdělení Nechť náhodná veličina X pochází ze směsi dvou normálních rozdělení X ~ \pN(/j,\, a'f) + (1 — p)N(fi2, ^i)]- Potom marginální hustota náhodné veličina X má tvar
f(xi,o)= Yl f(xl,bl,e) = f(xl,i,e1) + f(Xl,o,e2),
b,e{o,i}
kde
f(xi, 1, 6»i) = exp
V^crx       V 2cri je sdružená hustota za podmínky, že data pochází z první skupiny a
/(Zi, 0, 02) =   r— exp
V 2ct22
^2
je sdružená hustota za podmínky, že data pochází z druhé skupiny.
Logaritmická věrohodnostní funkce náhodné veličiny X má tvar
L(0ix)=n/(*i,0).
i=l
Příklad 2. Odhad parametrů směsi dvou normálních rozdělení
1. Načtěte datový soubor faithfuI obsahující údaje o době čekání na erupci (waiting) a o době trvání erupce (eruption), přičemž se zaměřte na proměnnou waiting.
2. Nakreslete histogram doby čekání na erupci a superponujte jej křivkou jádrového odhadu.
3. Pomocí funkce optim() odhadněte parametry p, yui, /i2, o\, o\ smíšeného rozdělení \pN(fii, a'()+(l—p)N({i2, náhodné proměnné waiting.
4. Pomocí funkce optim() nalezněte rozptyly odhadů parametrů p, fí{,      a'f, <j\. Body 1.-3. aplikujte také na proměnnou eruption.
a) ## p        mul sigmal        mu2 sigma2
## MLE 0.3609 54.6145 5.8698 80.0908 5.8682 ## Var 0.0010   0.4893 0.2884   0.2547 0.1608
Histogram
o
40      50      60      70      80      90 100 doba cekáni na erupci
1
b) ## p      mul sigmal       mu2 sigma2
## MLE 0.3482 2.0183 0.2356 4.2733 0.4370 ## Var 0.0009 0.0007 0.0005 0.0012 0.0007
Histogram
re o to
o
o
o o
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
4.5
5.0
doba trváni erupce
Příklad 3. Newton-Raphsonova metoda Nechť náhodná veličina X pochází z normálního rozdělení se střední hodnotou /i a rozptylem a2, tj. X ~ N(fi, a2). Hustota náhodné veličiny X má tvar
1. Odvoďte tvar věrohodnostní a logaritmické věrohodnostní funkce pro N(p,, a2).
2. Odvoďte tvar skóre funkce pro parametr /i a pro parametr a (ne tr2!!!).
3. Odvoďte tvary druhých parciálních derivací logaritmické věrohodnostní funkce podle parametrů jj, a a (celkem
4. Naprogramujte v R dvourozměrnou Newton-Raphsonovu metodu pro normální rozdělení N(fi, a2). Funkci pojmenujte nrnorm.
Naprogramovanou funkci nyní vyzkoušíme na reálných datech.
5. Načtěte datový soubor one-sample-mean-skull-mf.txt.
6. Vykreslete histogram proměnné délka lebky (skuli.L).
7. Pomocí naprogramované funkce nrnorm odhadněte parametr /iau proměnné skull.L.
8. Odhady získané pomocí funkce nrnorm porovnejte s bodovými odhady parametrů jj, a a.
9. Body 6-8 aplikujte také naproměnnou šířka lebky (skuli.B).
4).
2
a) Délka lebky
##               mu sigma
## 1 179.5169 7.1390
## 2 179.5169 7.2249
Délka lebky
Histogram
id o
o
160        170        180        190 200 délka lebky
b) Šířka lebky
## mu sigma
## 1 136.1662 4.9247 ## 2 136.1662 4.9708
3