Zadání příkladů — Statistická inference II — 2017
Příklad 12. nezávislost /i a a2; pravděpodobnost pokrytí Nechť X ~ N(fi,a2), kde /i = 20 a a2 = 100.
Pomocí simulační studie vypočítejte Pearsonův korelační koeficient rx s- Nakreslete šedou barvou rozptylový graf (im,sm), kde m = 1,2, ...,M, přičemž M = 5 000. Černou barvou vyznačte v grafu takové body (xm,sm), pro
Xjn /j,
které platí tw7
< íij_i(qí/2). Dále vykreslete hranice, které jsou definovány body (xm,sm), jež
splňují vztah tyy,m = tn-i(a/2). Vypočítejte pravděpodobnost pokrytí 95% DIS pro jj, jako podíl ~^mI{tw,m < í„_i(a/2))/M. Zvolte (a) n = 5, (b) n = 50 a (c) n = 100.
Simulaci proveďte také za předpokladu, že data pochází ze smíšeného rozdělení X ~ \pN(fi, a'f) + (1 —p)N(fi, u'^)], kde p = 0.9, fj, = 20, of = 100 a a\ = 400.
## n
## aktuálni pst.pokryti 0.952
## nominálni pst.pokryti (spolehlivost) 0.950
## n
## aktuálni pst.pokryti 0.958
## nominálni pst.pokryti (spolehlivost) 0.950
Pravděpodobnost pokryti
N=5, r=0.0175
Pravděpodobnost pokryti
N=5, r=0.0048
## n
## aktuálni pst.pokryti 0.958
## nominálni pst.pokryti (spolehlivost) 0.950 ## n
## aktuálni pst.pokryti 0.9425
## nominálni pst.pokryti (spolehlivost) 0.9500
1
Pravděpodobnost pokryti Pravděpodobnost pokryti
N=50, r=0.0059 N=50, r=0.0337
0 10 20 30 40 0 10 20 30 40
## n
## aktuálni pst.pokryti 0.946
## nominálni pst.pokryti (spolehlivost) 0.950
## n
## aktuálni pst.pokryti 0.942
## nominálni pst.pokryti (spolehlivost) 0.950
Pravděpodobnost pokryti
N=100, r=0.0126
Pravděpodobnost pokryti
N=100, r=0.0319
2
Příklad 13. konvergence p a £ k normálnímu rozdělení
1. Proveďte simulaci pseudonáhodných čísel z N'z{^, S), kde yui = 0, /i2 = 0, cri = 1, 02 = 1, M = 10 000, r/io = 0.8.
Pro každé m = 1,2,..., M, vypočítejte realizaci výběrového korelačního koeficientu rm a Fisherovy Z-proměnné zn^m. Zobrazte histogramy simulovaných rm a z^m a superponujte je teoretickými hustotami příslušných normálních rozdělení. Vytvořte animaci zobrazující rozdělení výběrového korelačního koeficientu R a Fisherovy Z transformace pro různé rozsahy náhodného výběru n € {5,10,..., 70}.
Pearsonuv korel. koeficient - R
n = 5, p = 0.8
oj
o _ CO -
oj
I-1-1-1-1-1
0.5        0.6        0.7        0.8        0.9 1.0
P
Fisherova Z-promenna - Zr
n =5, p = 0.8
^ -
co -
TO
I-1-1-1-1-1
-0.5       0.0        0.5        1.0        1.5 2.0
Z,
2. Vytvořte animaci zobrazující rozdělení výběrového korelačního koeficientu R € {0.1, 0.2,..., 0.9} a Fisherovy Z transformace pro tyto různé korelační koeficienty. Animace vytvořte pro (a) n = 5, (b) n = 10, (c) n = 100.
3
Pearsonuv korel. koeficient - R
n = 10, p = 0.1
o c\i
Fisherova Z-promenna - Zr
n = 10, p = 0.1
co H
Pearsonuv korel. koeficient - R
n = 50, p = 0.1
CM
O _ CO -
CO
I-1-1-1-1-1
0.0        0.2        0.4        0.6        0.8 1.0
P
Fisherova Z-promenna - Zr
n = 50, p = 0.1
o
co H
LO OJ
O OJ
O LO
W T-
o
LO Ö
O
-2-10 1
4
Příklad 14. Test o korelačním koeficientu p: Mějme data one-sample-correlation-skull-mf.txt a proměnné největší výška mozkovny skuli.pH a morfologická výška tváře face.H (obě v mm) starověké egyptské mužské populace, o kterých předpokládáme, že mají dvourozměrné normální rozdělení A^//, S).
1. Otestujte hypotézu o tom, že korelační koeficient největší výšky mozkovny a morfologické výšky tváře je rovný 0.251.
2. Vypočítejte 100 x (1 — a)% empirický DIS pro korelační koeficient, kde koeficient spolehlivosti 1 — a = 0.95. Použijte
(a) Waldovu testovací statistiku Zyy',
(b) testovací statistiku poměrem věrohodnosti Ulr-
	1 0.1	1          1          1          1 1 0.2       0.3       0.4       0.5 0.6 p		
	test.statistika	W	kritický obor	p-hodnota
Waldův přístup	1.104799	(-oo, -1.959964) U (1.959964; oo)	(0.1868617,0.4605561)	0.2692467
Věrohodnostní přístup	1.241757	(3.841459; oo)	(0.1880626,0.4590998)	0.2651328
5
Příklad 15. Rozdělení testovacích statistik F, Uwi U s a Ulr jednovýběrového testu o rozptylu a2
Pomocí simulační studie ověřte, že
• statistika F ■■
nS2n	Au
n 1	n
= 2 l	v -^obs
n f	■^obs
= 2 l	n
• statistika Uw = — I--1     ~ x (1)
2
2/
2
1 ~x2(i)
• statistika [7ljí = F0bs — n yl + ln ^-J J ~ x (1)
• Vygenerujte M = 1000 pseudonáhodných výběrů o rozsahu n = 5. Pro každý náhodný výběr vypočítejte hodnoty realizací testovacích statistik F, Uw, Us a Ulr- Vytvořte histogramy těchto testovacích statistik a superponujte je křivkami příslušného rozdělení.
• Vytvořte animaci, pomocí které bude zřejmé, jak se s rostoucím n rozdělení testovacích statistik F, Uw, Us a Ulr asymptoticky blíží k příslušnému rozdělení. Animaci spravte pro měnící se n € {3, 4, 5,10,15, 20, 25, 30, 35, 40,45, 50,60, 70, 80, 90,100, 200, 300,400, 500, 600,700, 800, 900,1000}
6
Příklad 16. Pokračování příkladu 15
• Vygenerujte M = 1000 pseudonáhodných výběrů o rozsahu n = 5. Pro každý náhodný výběr stanovte hodnoty realizací testovacích statistik F, Uw, Us a Ulr- Pomocí funkce density() vypočítejte jádrové odhady rozdělení testovacích statistik Uw, Us a Ulr- Tyto jádrové odhady zobrazte do jednoho grafu a barevně je odlište. Do grafu dokreslete křivku hustoty \2 rozdělení o jednom stupni volnosti a vertikální referenční čáru v hodnotě 0.
• Vytvořte animaci, pomocí které bude zřejmé, jak se s rostoucím n rozdělení testovacích statistik Uw, U s a Ulr asymptoticky blíží k X2(l) rozdělení. Animaci spravte pro měnící se n € {3, 4, 5,10,15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80,90,100, 200, 300,400, 500, 600, 700, 800, 900,1000}
7