X. Minucie
X. Zlomky
ductus dekret suprapositum numerům) inveniri, tunc ponenda est cifra sub quarta figura versus dextram (inclusive, prima com-putata, sub qua erat triplatum cum subtriplo, et hoc sive sit sive non, quia aliquando post operacionem totum surgit) et anterio-G 14r rande sunt figure per duas | differencias.
Si probare velis, an bene fecisti, tunc radičem cubicam in-ventam multiplica bis in se et veniet numerus propositus, si fue-rit precise cubicus. Si non, tunc cum addicione residui propositus numerus debet resultare. |
X. Minucia seu (pro: id est) fraccio dici tur pars alicuius to-cius (integri), sicut medietas (media pars) alicuius rei (integre) vel tercia pars vel quarta vel quinta et sic deinceps dicuntur totales minucie seu fracciones tocius (integri).
F 46v
que sunt inter primům triplatum et ultimum. Exemplum: 216101230, cuius radix est 600, et contingit hie ista cautela et prima, de qua patuit. I
G 14r [Si probare velis.] Dočet modům probandi, utrum scilicet radix cubica sit bene vel male extracta, dicens. Exemplum primi: 27000, cuius radix est 30. Et ibi in cifris est diligenter considerandum, quia triplatum ponendum est sub penul-tima figura.
[Minucia.] Hie est capitulum decimum et ultimum huius libri, in quo autor determinat de minuciis
3 triplatum Si ] triplům G, commentarius in F abest - 5 duas ] suas G -6 fecisti ] fecis F - cubicam inventam ] inventam cubicam F-9 debet ] de-bebit F-12 tercia pars ] pars tercia F - deinceps dicuntur totales Si ] totales deinceps dicuntur G, deinceps dicuntur F - 13 -nucie seu fracciones tocius. ... Debet autem numerator scribi superius et denominator inferius et in medio eorum debet poni ] in G, ubi folii inferior pars avulsa est, deest -26b inferius Si ] superius G, commentarius in F abest
10
seu fraccionibus wulgaribus, et 15 primo ostendit, quid sit minucia seu fraccio wulgaris, dicens.
Nota, minucia est pars aliquota tocius. Unde pars aliquota vocatur pars, que sumpta aliquociens con- 20 stituit totum. Item nota: Minutum est 60. pars alicuius tocius, ut quando totum dividitur in 60 partes, tunc una illarum particularum est minutum. Et sic minutum est 25 inferius ad ly minucia, quia ubi-cunque est minucia, ibi est minutum, et non econverso. Minuo, -is, -re significat integrum frangere per partes, quod est dividere et de
ben kubicky, zrušil nahoře napsané číslo) nemohl být nalezen, pak je třeba napsat nulu pod čtvrtou číslici směrem doprava (včetně, jako první počítaje tu, pod níž byl trojnásobek se subtri-plem, a to ať tam tato číslice je či není, protože někdy z operace vzejde úplné číslo) a číslice je třeba posunout dopředu o dvě místa.128
Chceš-li si ověřit, zda jsi postupoval správně, pak nalezený krychlový kořen násob dvakrát sebou a vyjde dané číslo, bylo-li přesně krychlové. Jestliže ne, pak musí dané číslo vyjít s přidáním zbytku.
X. Lomené číslo neboli (jako: to jest) zlomek se nazývá část nějakého celku (celistvého), např. polovina (poloviční část) nějaké věci (celistvé) nebo třetina nebo čtvrtina nebo pětina a tak se popořadě vyjadřují celková lomená čísla čili zlomky celku (celistvého ).
[Chceš-li si ověřit.] Učí způsob zkoušky, totiž zda krychlový kořen byl dobře či špatně nalezen, a říká (viz text). Příklad prvního: 27000; kořen je 30. A tam je nutno pozorně uvažovat o nulách, protože trojnásobek je třeba napsat pod předposlední číslici.129
[Lomené číslo.] Zde je desátá a poslední kapitola této knihy, v níž autor vykládá o lomených číslech čili obecných zlomcích, a nejprve ukazuje, co to lomené číslo čili obecný zlomek je, a říká (viz text).
Pamatuj, že zlomek je několikátá část celku. Z toho plyne, že několikátou částí je nazývána část, která vzatá několikrát vytváří celek. Rovněž si pamatuj: Minuta je šedesátá část celku, např. je-li celek rozdělen na 60 částí, pak jedna z těchto částeček je minuta. A tak minuta je podřazený pojem k pojmu zlomek, protože v pojmu zlomek je minuta obsažena, nikoliv však opačně. Minuo, -is, -ere, „zmenšovat", znamená lámat celek po částech, což je dělit a z většího dělat menší. Z toho je odvo-
124
125
X. Minucie
X. Zlomky
Et tales minucie (scilicet vulgares) seu fracciones tocius ha-bent duplicem numerum, per quern exprimuntur et scribuntur, scilicet numeratorem (scilicet, qui est primus) et denominatorem (qui est secundus).
Numerator dicitur ille, qui numerat partes alicuius tocius, et hie semper debet exprimi numeraliter, ut unum vel una, duo, tres, quatuor, sed denominator (scilicet numerus) dicitur ille, qui de-nominat partem alicuius tocius, et exprimitur (pronuncciatur) nominaliter in feminino genere, dicendo medietas, que scribitur per duo, et tercia pars, que scribitur per tria, et quarta, que scribitur per quatuor, et sic ascendendo continue. Debet autem numerator scribi superius (in superiori ordine) et denominator (scilicet numerus, debet scribi) inferius et in medio eorum (scilicet G 14v numerorum) debet poni | modica virgula. Et sic scribitur una medietas \ et sic due tercie | et sic quatuor quarte | et sic tres quinte j et ita continuando in infinitum.
Nota, quandocumque denominator est idem (id est equalis in quantitate) cum numeratore, tunc tantum valent ille minucie
mayori minus facere. Inde minu-cia, id est fraccio tocius per partes vel pars aliquota tocius. Et diffe-G 14v runt minucia et minutum, ut patet superius. Et minucia est duplex: Multitudinis est pars aliquota quantitatis distincte in quantum huius, et sic binarius est minucia, pars multitudinis sexagesima; ma-gnitudinis est pars aliquota quantitatis continue, ut jpanis.
[Et tales minucie.] Hie autor ostendit, quot sunt numeri neces-sarii ad exprimendum et scriben-
5 numerator Si ] nominator F, in G abest - 6 numeraliter Si ] nominaliter F, in G abest - 15 tercie ] tercie partes F - 16 in ] usque F - 18 valent ] valet ut F
10
15
20
dum tales minucias wulgares Numerator scribitur su<perius> ... quia in ... |
Nota, quandocumque denominator. Notandum est hie, quod numerus numerans quandoque est 25 equalis cum numero denominato-re, tunc significatur, quod ille partes faciunt totum integrum et non plus, ut|, |. Quando vero numerus numerans est minor quam denomi- 30 nans, tunc significatur, quod ille partes non sunt integrum, sed minus, ut \. Quando vero numerus
A takováto lomená čísla (totiž obecná)120 čili zlomky celku mají dvojí číslo, jehož prostřednictvím se vyjadřují a píší, totiž čitatele (tak, a ten je první) a jmenovatele (a ten je druhý).
Čitatelem se nazývá to číslo, které počítá části nějakého celku, a ten musí být vždy vyjádřen číslovkou, např. jedno nebo jedna, dvě, tři, čtyři; naproti tomu jmenovatelem (totiž takovým číslem) se nazývá to číslo, které pojmenovává část nějakého celku, a vyjadřuje se (vyslovuje) jménem v ženském rodě, např. polovina, která se píše pomocí dvojky, třetina, která se píše pomocí trojky, čtvrtina, která se píše pomocí čtverky, a tak dále směrem vzhůru. Čitatel se musí psát nahoře (v horním řádku), jmenovatel (totiž číslo, musí se psát) dole a uprostřed nich (totiž čísel) se musí napsat malá čárka. Tedy jedna polovina se píše takto: dvě třetiny takto: |, čtyři čtvrtiny takto: |, tři pětiny takto: | a tak dále až do nekonečna.
Všimni si, že když je jmenovatel totožný (tj. stejný v kvantitě) s čitatelem, pak mají tato lomená čísla (zlomky) hodnotu jako
zeno minutia, „zlomek", tj. lámání celku po částech nebo několikátá část celku. A mezi minutou a zlomkem je rozdíl, jak je vysvětleno výše. A zlomek je dvojí: Zlomek množství je několikátá část přetržité kvantity, dle rozsahu tohoto množství, a tak dvojka je zlomek, šedesátá část množství; zlomek velikosti je několikátá část nepřetržité kvantity, např. dvě pětiny chleba.131
[A takováto lomená čísla.] Zde autor ukazuje, kolik čísel je třeba
k vyjádření a napsání těchto obecných zlomků. ... Čitatel se píše nahoře ... protože...
Všimni si, že když je jmenovatel. Zde je třeba poznamenat, že čitatel je někdy stejný se jmenovatelem, a pak to znamená, že ony části tvoří celistvý celek, a ne více, např. |, j. Když je však čitatel menší než jmenovatel, pak se tím naznačuje, že ony části netvoří celek, ale méně, např. j. Je-li však čitatel větší než jmenovatel, pak to znamená, že ony části jsou části
126
127
X. Minucie
X. Zlomky
(fracciones) sicut integrum (suum), sicut-Junius halensis vel unius ulne valent integrum halensem vel integram ulnam. Et sic est finis.
celek (jejich), např. -| jednoho haléře nebo jednoho lokte mají hodnotu jako celý haléř nebo celý loket. A zde je konec.
numerans est maior quam denominator, tunc significatur, quod ille partes sunt partes aliquoti integri, ut y. Et sic minucie sunt in triplici differentia, ut patet.
Minucie sunt duplices: diver-sarum minuciarum et eiusdem. Di-versarum minuciarum sunt minucie expresse per diversos denomi-natores, ut |, |-et sic de aliis. Et sunt duplices, vel sunt tan turn due vel plures. Si tantum due, et sic de eis datur talis regula. Si reducere velis minucias dissimilium wulga-rium denominacionum ad denomi-
nacionem communem, tunc multi- 5 plices denominatorem unius per denominatorem alterius et produ-ctum erit denominator communis, ut ý j. Redducere autem minucias dissimilium denominacionum ad 10 eandem denominacionem communem est invenire unum numerům communem, qui contineat omnes illas minucias, et quod ille minucie sint partes aliquote illius nu- 15 meri communis, sic quot ... per se ...
několikerého celku, např. ^. A tak, jak je zřejmé, se zlomky liší trojím způsobem.132
Lomená čísla jsou dvojí: s různými zlomky,133 tj. o menších částech, a se stejným zlomkem. Lomená čísla o různých menších částech jsou vyjádřena různými jmenovateli, např. -|, j apod. A jsou dvojí, buď jsou jenom dvě neboje jich více. Jsou-li pouze dvě, pak pro ně platí toto pravidlo: Chceš-li uvést zlomky o různých obecných
jmenovatelích na společného jmenovatele, pak násob jmenovatele jednoho zlomku jmenovatelem druhého a výsledek bude společný jmenovatel; např. |-, j. Uvést zlomky o různých jmenovatelích na společného jmenovatele znamená najít jedno společné číslo, které bude obsahovat tyto menší části, a protože tyto menší části jsou několikáté části onoho společného čísla, proto kolik ...
1 2/2 ] 2/3 F - 2 integrum ] in integrum F - 3 Et sic est finis ] om. F -7a aliquoti Si ] aliquote G, commentarius in F abest
128
129