1    Kalibrační invariance
Pokud je vlnová funkce ipi řešením Schródingerovy rovnice pak funkce
V>2 = Vie1^ (2)
[h^ír = T- f-iW-g/aVva + (3)
bude řešením analogické Schródingerovy rovnice
_ 1 dt 2m
ve které
% -
A2  =  ^i + -V^ (4) q dt
Změnou U\ —> Ľ2 a A\ —> A2 nedojde ke změně intenzity elektrického pole ani magnetické indukce, protože
B2  =  VxA2 = Vxi*i + -Vx (v<p) = V x Äľ = Bx (6) =  -Wt - § = Ä. (8)
Také vektor (^V<^ — , který u supravodičů vystupuje v rovnici pro hustotu proudu, zůstane při uvedené transformaci zachován.
2   Přibližné odvození Josephsonových rovnic
Mějme dva stejné supravodiče oddělené tenkou dielektrickou bariérou. Vlnovou funkci kondenzátu Cooperových párů v prvním supravodiči (normovanou na 1) označíme ifji, v druhém supravodiči ip2-Celková vlnová funkce kondenzátu Cooperových párů bude ifj = c\i\)\ + 02^2, kde c\ a c2 jsou časově závislé komplexní amplitudy a druhé mocniny jejich velikostí se rovnají koncentraci Cooperových párů v prvním (ri\) a druhém (77-2) supravodiči. Schrodingerovu rovnici
lh (lF    + í ^2)) = Ř (ci    + 02 ^2)) (9)
1
můžeme vynásobením zleva vektory {ipi | nebo {ip2 | převést na dvě rovnice
dci
ih ih
dt dc2
(10) fll)
Výrazy {ipi \ H a {ip2 \ H \ip2) odpovídají chemickému potenciálu Cooperových párů v prvním (/ii) a v druhém (^2) supravodiči. Po označení K =      \ H \ip2) = {ip2 \ H       dostáváme dvojici rovnic
in--—   =  [i\C\ + Kc2 dt
ih-
dc2
li2c2 + K ci.
(12)
(13)
Protože amplitudy c\ = ^/n7eltrl a c2 = ^fn2~&ip'2 jsou komplexní, můžeme obě rovnice (12) a (13) rozdělit na jejich reálné a imaginární části. Reálné části vedou po uvážení ri\ í=s n2 na
dAtp
h —-— = /i2 — /ii = 2eU, dt
(14)
kde U je napětí mezi oběma supravodiči a Aip = ipi — ip2. Imaginární části rovnic (12) a (13) lze přepsat na
dni
h
dt dn2
= —2K yjn\n2 sin A(f =  2K ^/n^n2' sin Aip,
tedy
dni
dn2
(15)
(16)
dt dt • <17>
Protože přesun Cooperových párů z jednoho supravodiče do druhého odpovídá elektrickému proudu tekoucímu přechodem, můžeme uzavřít, že elektrický supravodivý proud přechodem je přímo úměrný sin Aip:
' ' (18)
Is = IcsinA(f,
kde konstantu úměrnosti Ic nazýváme kritický proud.
3   Josephsonův přechod v magnetickém poli
Představme si Josephsonův přechod, kterým prochází magnetické pole, se souřadnicovou soustavou znázorněnou na obr. 1. Stínící proudy tečou zhruba ve vzdálenosti Londonovské hloubky vniku (A^)
2
%(y)
<ř = O       <ř = <ř(/2
Obrázek 1: Ilustrace k výpočtu kritického proudu Obrázek 2: Prostorové rozložení hustoty el. v magnetickém poli. proudu Josephsonovým přechodem pro tři různé
magnetické indukční toky přechodem.
od bariéry, dostatečně daleko od bariéry jsou stínící proudy zanedbatelné a proud supravodičem teče jen ve směru osy x. Protože pro hustotu proudu v supravodiči platí
(19)
(20)
3 = — \W \ hV^-2eA m V
a vektor A má přibližně směr osy y, platí daleko od přechodu
= — A dy Ťi
V magnetickém poli proto musí být fáze alespoň jednoho ze supravodičů funkcí y a pro rozdíl fází obou supravodičů platí
(21)
dAo?     2e A í     2e d$
-- = — AA =--,
dy       h h dy
kde $ je magnetický indukční tok přechodem. Při poslední úpravě bylo využito, že pro magnetický indukční tok plochou ohraničenou na obr. 1 tenkým červeným obdélníkem platí
d$= í B-dS =
J B ■ dS = J (V x ŕj ■ d~S = j Ä-dr = AAdy.
Pro magnetický indukční tok tímto obdélníkem dále platí
d$ = B(s + 2XL)dy,
(22)
3
kde s značí tloušťku bariéry a B velikost magnetické indukce v bariéře. Nyní pomocí Maxwellovy rovnice V x H = j a Josephsonovy rovnice j = jc sin Aip dostáváme
dB
dy
= ji j c sinA<£)
a kombinací (21), (22) a (23) tzv. Ferrellovu-Prangeovu rovnici
d2A^ dy2
(23)
(24)
2eii(s + 2XL)jc K '
Pro slabá magnetická pole (pro nulový celkový proud přechodem lze použít sin Aip í=s Aip) vede Ferrellova-Prangeova rovnice k exponenciálnímu vytlačení magnetického pole z bariéry popsaného hloubkou vniku magnetického pole do bariéry Aj. Dalším příkladem řešení rovnice (24) je závislost
A2, =
sin Aip
h
Aip = 4 arctg
x
exp|-
(26)
která umožňuje vniknutí magnetického pole do bariéry ve formě víru. Zesilování magnetického pole vede k pronikání dalších vírů do bariéry. Pokud je množsví vírů v bariéře velké a víry jsou nahloučeny těsně na sobě, je možné magnetické pole v bariéře považovat za prakticky konstantní, což využijeme v následujícím odvození.
Závislost kritického proudu na magnetickém poli
Jesliže magnetické pole v bariéře nezávisí na y, lze z (21) jednoduše vyvodit
2ir $
A<p(y) = A<p(0) + —jy, (27)
kde $o = h/(2e) označuje fluxon a $ je celkový magnetický indukční tok přechodem. Různými místy přechodu proto potečou odlišné hustoty supravodivého proudu (viz obr. 2). Celkový proud tekoucí přechodem spočítáme integrací
jc sin A(f dx dy = jcd / sin
Ap(0)
2tt$
y
dx.
(28)
Velikost tohoto výrazu dosahuje maxima pro Aip(0) = tt/2 a po označení Ic0 = jcdl dostáváme skutečnost, že maximální supravodivý proud Josephsonovým přechodem je v magnetickém poli omezen hodnotou
~ir 27r$
2 + 7t
h = j c d
Tato závislost je vynesena na obr. 3
sin
y
dx
— IcO
(29)
4
	0.8
o	0.6
u	
—	
u	
	0.4
	0.2
	0
Obrázek   3:   Závislost  kritického  proudu  na       Obrázek  4:   Náhradní schéma Josephsonova
magnetickém indukčním toku Josephsonovým přechodu.
přechodem.
4   VA charakteristiky Josephsonova přechodu
Elektrické náhradní schéma Josephsonova přechodu (viz obr. 4) vede k rovnici
I = - + Ic sm(A<p) + C — R át
(30)
Je-li na přechodu konstantní napětí, poteče přechodem kromě stejnosměrného proudu U/R také střídavý supravodivý proud
(31)
s frekvencí
= Ir sin | ^ Ut
(32)
Komplikovanější je řešení Josephsonova přechodu protékaného konstantním proudem. Nejdřív se podívejme na situaci, kdy zanedbáme kapacitu přechodu, což vede k rovnici
d Aip 2eRIr
I/Ic — sinA<^
h
dt,
(33)
kterou lze řešit pomocí integrálu
dx
a — sin x        \/a2 — 1
arctg
atg(f)-l
(34)
5
Obrázek 5: Časový průběh napětí na Josephso- Obrázek 6: Průměrné hodnoty napětí na dvou nově přechodu bez kapacity pro konstantní nad- různých Josephsonových přechodech protékaných kricitký proud. stejnosměrným proudem I.
Příklad výsledných průběhů napětí je na obr. 5. Je vidět, že při nižším napětí je změna fáze ve shodě s (14) pomalá a část periody s nízkým napětím trvá relativně dlouho, zatímco při vyšším napětí se fáze mění rychle a Josephsonův přechod proto zůstává ve stavu s vysokým napětím jen krátce. Časový průběh napětí proto obsahuje vyšší harmonické frekvence. Průměrná hodnota napětí roste s proudem podle (U) = ižy'I2 — I2.
Když nezanedbáme kapacitu přechodu, můžeme narazit na dva typy chování Josephsonova přechodu. Pro nízké hodnoty R a C se obvod chová podobně jako v případě se zanedbanou kapacitou, viz modrou křivku na obr. 6. Při vyšších hodnotách součinu R2C se přechod stává hysterezním. Pro podkritické proudy může být napětí na přechodu nulové, při překročení Ic průměrné napětí skokem vzroste, ale při následujícím snižování proudu přechod v určitém intervalu proudů zůstává v odporovém stavu s nenulovým napětím, viz červenou křivku na obr. 6.
5    Shapirovy schody
Situace se ještě zpestří, když skrz Josephsonův přechod pošleme stejnosměrný proud a přechod zároveň ozáříme elektromagnetickým zářením, čímž na něj přivedeme vysokofrekvenční (v praxi většinou mikrovlnné) napětí. Pokud pro napětí na přechodu platí
U = UDC + UMw cos ujMWt, (35)
6
[m A]
Obrázek 7: Přiklad vypočítaných Shapirových Obrázek 8: Schéma stejnosměrného skvidu.
schodů (modře).
bude se rozdíl fází obou supravodičů vyvíjet podle
Aip = Aip0 + ^-UDCt + ^ Umw sinojMWt (36) li h lomw
a přechodem poteče supravodivý proud
Is   =   Icsm{ujDCt + Aipo + asmujMWt) =
=  Ic sin (ludc t + Aipo) cos (a sin luMwt) + Ic cos (ludc t + A<^0) sin (a sin LUMwt) (37) WflC   —   -r- Udc
a =
h
2e Umw
k lúmw
Funkce sin (a sin ujmwí) a cos (a sin w^ffí) Jsou periodické funkce s frekvencí ujmw (nebo 2 ujmw) a jejich Fourierův obraz obsahuje mnoho vyšších harmonických signálů s frekvencemi nujMW in je libovolné celé číslo). Střední hodnota proudu Is bude nenulová jenom tehdy, když ujdc = nujMW. Pokud tedy proudu tekoucímu skrz ozářený přechod vnutíme nenulovou stejnosměrnou složku, musí se stejnosměrné napětí na přechodu ustálit na některé z hodnot
%
UDC = n —ujmw- (38) Ze
Protože toto napětí je kvantované a frekvenci záření je možné určit s vysokou přesností, používají se ozářené Josephsonovy přechody jako standardy stejnosměrného napětí. Příklad VA charakteristiky spočítané pro přechod ozářený mikrovlnami s frekvencí 10 GHz je ukázaný na obr. 7. Stejnosměrná
7
složka napětí při nízkých hodnotách stejnosměrného proudu skáče po kvantovaných hodnotách (38), při vysokých hodnotách proudu se projevuje zejména odporová větev přechodu a VA charakteristika se přimyká k přímce U^c = RIdc- Tato VA charakteristika se nazývá Shapirovy schody.
6 Skvidy
SQUID (superconducting quantum interference device) nebo SKVID (supravodivý kvantový interferenční detektor) je zařízení založené na supravodivém prstenci přerušeném jedním nebo více Jose-phsonovými přechody. Skvidy se používají k citlivému měření magnetických polí v řádu až 10~18 T.
6.1   DC skvid
Stejnosměrný skvid je tvořen supravodivým prstencem přerušeným dvěma Josephsonovými přechody (obr. 8), který využívá interference proudu Cooperových párů tekoucími dvěma rameny prstence. Celým obvodem teče proud /, který bývá o několik procent vyšší než 2IC, takže oba přechody pracují v odporovém režimu. Supravodivý proud tekoucí oběma přechody má velikost
Is = Ic (sin A(pi + sin Aip2
(39)
kde A(fi a Aip2 jsou změny fází na prvním a druhém Josephsonově přechodu. Pokud se mění magnetický indukční tok protékající prstencem ($), indukuje se na prstenci napětí
takže platí
A(fi
d$
Aip2 L
= U = Ui — U2 =
h f AAipi AAip2
2e
dí
dí
= -2tt-
K
= L
sin Aipi + sin ( Aipi + 27r—
=  2IC sin ( A(fi + 7t
K ~2
cos 7t
K
K ~2
(40)
(41)
(42)
$o   2 y    v $o
Prstencem tedy může protékat supravodivý proud maximálně
2IC cos   7t--1--,
zbytek proudu musí protékat odporovými větvemi schématu na obr. 8 a vytváří tak na skvidu lehce měřitelné napětí, které je periodickou funkcí intenzity magnetického pole v prstenci. Protože fluxon,
8
který určuje periodu oscilací, je malý (zhruba 2 • 10~15 Wb), umožňují skvidy měřit extrémně slabá magnetická pole.
V praxi se měření větinou neprovádí tak, že by se počítaly periody měnícího se napětí. Ke skvidu bývá přivedena cívka, jejíž proud je řízen podle napětí na skvidu tak, aby cívka kompenzovala změny měřeného magnetického pole. Jak se měřené pole během experimentu změnilo se potom neurčuje podle počtu uběhlých period napětí (neboť napětí na skvidu se v této konfiguraci téměř nemění), ale podle proudu, který musí téct kompenzační cívkou, aby v prstenci uržel původní magnetické pole.
6.2   RF skvid
Vysokofrekvenční skvid je tvořen supravodivým prstencem, který je přerušený jediným Josephso-novým přechodem, a jehož funkce je založena na disipaci energie v prstenci. Díky jedinému přechodu v prstenci bývala výroba vf. skvidu jednodušší než výroba stejnosměrného skvidu, proto byly dříve k měření magnetických polí používány zejména vysokofrekvenční skvidy. Nedosahují ovšem takové citlivosti jako stejnosměrné skvidy.
Odvození dějů ve vf. skvidu je zpočátku analogické výpočtu pro stejnosměrný skvid. V proměnném mg. poli se na prstenci indukuje napětí
C7 = ±E,
dí
které můžeme pomocí rovnice (14) nahradit fází Josephsonova přechodu
d A(p   _   2tt d$
dí    _   % dí $
Aip  =  2ir— + K, (43)
kde K je integrační konstanta.
Dále započteme skutečnost, že proud indukovaný ve skvidu způsobuje zeslabení magnetického indukčního toku skvidem ($) oproti magnetickému indukčnímu toku vnějšího pole ($ex), který by skvidem tekl, kdyby skvidem netekl žádný proud:
$ = $ex - LI = $ex - LIC sin (^tt Jj- + K^j , (44)
kde L je vlastní indukčnost prstence a kde jsme pro vyjádření proudu použili rovnici (18). Drobnou úpravou a označením (3L = 2ttLIc/$0 dostáváme
$ $ /    $ \
27t— = 2tt-^ - (3L sin 2ir— + K   . (45)
9
Obrázek 9: Schéma vysokofrekvenčního skvidu a jeho zapojení s rezonančním obvodem.
Obrázek 10: Závislost magnetického pole ve vf. skvidu na externím mg. poli pro (3l = 0.7 (modrá křivka) a (3l = 10 (černá křivka).
Skvidy měří změnu magnetického pole, vhodnou volbou počátečního toku $ proto můžeme eliminovat integrační konstantu K a v dalším textu tedy pro přehlednost zvolíme K = 0.
Pro j3L < 1 má rovnice (45) charakter jednoznačné funkce, ale pro j3L > 1 se závislost stává víceznačnou (viz obr. 10), což vede k hystereznímu chování. Do vysokofrekvenčního skvidu se ovšem přivádí nejenom měřené vnější (pomalu se měnící) magnetické pole, ale je do něj navázáno i vysokofrekvenční magnetické pole tvořené cívkou rezonančního LC obvodu (viz obr. 9). Pokud je amplituda kmitů pole tvořeného rezonančním LC obvodem dostatečně vysoká a zároveň platí (3l > 1, vykazuje skvid hysterezi, jak je na obr. 10 naznačeno červenou přerušovanou čarou. (V příkladu vyneseném do tohoto obrázku osciluje vnější pole s amplitudou necelé 2 $o okolo střední hodnoty 0,5 $o dané jen pomalu se měnícím měřeným polem.) Hystereze ovšem vede ke ztrátám, tedy ke snížení kvality celého rezonančního obvodu a tím ke snížení amplitudy kmitů napětí rezonančního obvodu. Při změně vnějšího měřeného pole se hysterezní smyčka posouvá, přičemž se mohou měnit počet přeskoků mezi větvemi závislosti (45) a hysterezní ztráty. Sledováním amplitudy kmitů napětí rezonančního obvodu tak lze určovat změny měřeného vnějšího magnetického pole. V praxi i vf. skvid bývá provozován ve zpětnovazební konfiguraci, kde jsou změny měřeného vnějšího pole kompenzovány polem další cívky.
10