1
J. Humlíček FKL II JS2018 úterý 27.2. 13:00 ÚFKL
2. Translační symetrie, reciproká mříž, Brillouinovy zóny,
hustota stavů
Invariance nekonečného krystalu vůči translacím
1 1 2 2 3 3 1 2 3, , , celé.nT n a n a n a n n n   (1.1)
14 možných mříží (Bravaisovy mříže). Podle bodové symetrie syngonie
s jedním nebo více možnými typy:
triklinická (prostá),
monoklinická (prostá, bazálně centrovaná),
ortorombická (prostá; bazálně, plošně, prostorově centrovaná),
tetragonální (prostá, bazálně centrovaná),
hexagonální (prostá),
romboedrická (prostá),
kubická (prostá; plošně, prostorově centrovaná, SC, FCC,
BCC).
Jednoelektronové stacionární stavy
2 2
2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
p
H r V r r V r r E r
m m
   
   
         
   
(1.2)
s periodickým potenciálem V:
( ) ( ) .nV r T V r 
(1.3)
Translace nemění Hamiltonián, hustota pravděpodobnosti výskytu
elektronu v místech r a nr T je stejná,
2 2
( ) ( ) .n nr T r   (1.4)
2
Vlnová funkce se tedy může lišit násobením komplexní jedničkou
( )
,ni T
nC e
 (1.5)
kde  je skalární reálná funkce vektorového argumentu. Provedení
dvou translací nT a mT vede k násobení původní vlnové funkce
faktorem m nC C , funkce  v předchozí rovnici (1.5) tedy musí být
lineární kombinací složek vektoru translace, neboli skalárním
součinem:
( ) .n nT k T   (1.6)
Vlastní funkce Hamiltoniánu je tedy indexována vektorem k, který
zaručuje požadované vlastnosti při translacích o mřížové vektory:
( ) ( ) , kde ( ) ( ) .ikr
nk k k k
r e u r u r T u r    (1.7)
To je Blochova funkce, s rovinnou vlnou ikr
e a translačně invariantní
částí u. Vektor k, indexující Blochovu funkci, není určen jednoznačně.
Přičteme-li k němu takový vektor K, který ve skalárním součinu s
translačními vektory mříže dá celočíselný násobek 2, hodnota
fázového faktoru nC se nezmění. Hledejme takové vektory ve tvaru
lineární kombinace trojice vektorů
1 1 2 2 3 3 1 2 3, , , celé.qK q b q b q b q q q   (1.8)
Splnění podmínky
2 , celé,q nK T m m  (1.9)
zajišťují vektory
3
1 2 3 2 3 1 3 1 2
0 0 0
2 2 2
, , .b a a b a a b a a
  
     
   (1.10)
0 1 2 3( )a a a    je objem primitivní buňky mříže vytvořené vektory
a. Průměty jednotlivých vektorů b do vektorů a se stejným indexem
mají velikost 2, s různými indexy jsou nulové:
2 , , 1,2,3.q n qnb a q n   (1.11)
Vektory qK tvoří reciprokou mřížku (vzdálenosti v ní mají rozměr
převrácené délky). Konstrukce reciproké mříže zajišťuje, že patří do
téže syngonie jako výchozí („přímá“) mříž. Prostý a bazálně
centrovaný typ se také zachovává, plošně a prostorově centrované
typy pro ortorombickou a kubickou syngonii se navzájem vymění.
Vektory indexující Blochovu funkci jsou ekvivalentní, pokud se liší o
vektor reciproké mříže – vybíráme je z první Brillouinovy zóny
(Wignerova-Seitzova buňka reciproké mříže): zvolíme některý
mřížový bod reciproké mříže za počátek a body v poloviční
vzdálenosti k dalším mřížovým bodům vedeme roviny kolmé na
příslušné spojnice. K nejbližším rovinám zvoleného počátku je první
Brillouinovou zónou (1. BZ). Skalární součiny s primitivními vektory
jsou omezeny na oblast velikosti 2,
, 1,2,3 .jk a j      (1.12)
Konečné rozměry - (cyklické) Bornovy-Kármánovy podmínky, s
opakováním hodnot vlnových funkcí v dostatečně velkých
vzdálenostech krystalu:
( ) ( ) , 1,2,3 ,j jr N a r j    (1.13)
Nj jsou velká kladná. Očekáváme, že při dostatečně velkých Nj budou
vlastnosti takového krystalu prakticky stejné jako vlastnosti
4
nekonečného nebo „dostatečně velkého“ (vzhledem k meziatomovým
vzdálenostem) krystalu. Mluvíme o „objemových“ (nebo
„bulkových“) vlastnostech. Zřejmě zde zanedbáváme vliv povrchu
nebo rozhraní k jiným materiálům. Takové přiblížení nebývá
použitelné pro malé rozměry krystalů (v „nanostrukturách“).
Periodické okrajové podmínky (1.13) vedou ke „kvazikontinuu“
možných hodnot vektoru k v první Brillouinově zóně. Jsou to lineární
kombinace primitivních vektorů reciproké mříže,
1 1 2 2 3 3 ,k k b k b k b   (1.14)
s koeficienty kj v rozsahu od −½ do ½ s malým krokem 1/Nj.
Klasifikace stacionárních stavů jednoelektronového Hamiltoniánu
vektorem k (obvykle nahrazujeme kvazikontinuum možných hodnot
kontinuem a používáme derivování podle jeho komponent a
integrování přes ně) a dalším diskrétním indexem (kvantovým číslem)
s označením n. Schroedingerova rovnice (1.2) s Blochovým tvarem
vlnové funkce vyjde ve tvaru
2 2 22
2
, ,
( ) ( ) ( ) ,
2 2
ik r ik r
nk n k n
k i k V r e u r E e u r
m m m
  
       
 
(1.15)
kde můžeme rovinnou vlnou ikr
e dělit a máme rovnici pro periodickou
část u. Tu stačí řešit v primitivní buňce a okrajové podmínky jsou
dány periodicitou u. (Kvazi)spojitá změna energie E při změně
vektoru k uvnitř 1. BZ při pevném n vede k rozsahu, označovaném
jako n-tý pás; závislost na velikosti k v určitém směru v 1. BZ se
označuje jako disperze energie v tomto směru. Soustava pásů pro daný
krystal se označuje jako pásová struktura. Může v ní být interval bez
povolených hodnot energie, ten pak tvoří pás zakázaných energií
(gap). V nejhrubším pohledu můžeme tedy vyznačit rozsahy možných
energií elektronů způsobem znázorněným v obrázku:
5
Nejhrubší znázornění energiových pásů v polovodiči nebo izolátoru s
větším (vlevo) a menším (vpravo) gapem. Spodní pásy (hustě
šrafované) jsou obsazené, horní (řídce šrafované) jsou neobsazené.
Přítomnost pásu zakázaných energií je pro polovodiče a izolátory
podstatná, proto má i tento způsob svoje opodstatnění. Pro bulkový
materiál je označení „polohy“ v krystalu nepodstatné. Situace se ale
změní, sledujeme-li heterostrukturu, t.j. dva odlišné materiály
napojené na sebe „s atomární přesností“. V našich idealizacích pak
zacházíme s ostrým rozhraním mezi dvěma poloprostory, které jsou
vyplněny materiály s různými pásovými strukturami
jednoelektronových stavů. Chování elektronového systému je pak
výrazně ovlivněno uspořádáním pásů na rozhraní; není jedno, je-li
energie nejvyššího obsazeného stavu větší, rovná, nebo menší než tato
energie v sousedním materiálu s jinou hodnotou gapu. V hořejším
obrázku dostaneme jedno z možných uspořádání vodorovným
posuvem pásů takovým, aby se nakreslené dva bloky energiových
pásů dotkly.
EgEg
ENERGIE
POLOHA
6
Hustota stavů
Podrobnější informace o pásové struktuře jsou v hustotě stavů D(E).
Rozumíme zde hustotu vůči hodnotám energie, neboli počet stavů
P(E, E+dE) v intervalu mezi E a E+dE, vydělený šířkou tohoto
intervalu dE:
( , d )
( ) .
d
P E E E
D E
E

 (1.16)
Označíme-li jako Nn(E) počet stavů od nejmenší možné hodnoty
energie n-tého pásu (bezpečná volba je -∞) po argument E, můžeme s
použitím předchozích úvah o kvazispojitých intervalech vektorů k a
energií E použít derivaci této funkce, a hustotu stavů dostaneme jako
součet přes všechna n:
d ( )
( ) ( ) .
d
n
n
n n
N E
D E D E
E
   (1.17)
Ukázka hustoty stavů pro Si, Ge a -Sn je v následujícím obrázku. Do
předchozího nejjednoduššího schématu ji zredukujeme tak, že
vyznačíme pás energií od zhruba -13 eV do nuly pro všechny tři
materiály (to jsou energie obsazených stavů), pak je pás zakázaných
energií šířky zhruba 1.2 eV (Si), 0.7 eV (Ge) a nulové šířky pro -Sn.
Navazující vyšší energie mají v naší idealizaci neobsazené
jednoelektronové stavy.
7
Hustota stavů Si, Ge a -Sn. Výpočet s nelokálním
pseudopotenciálem, Chelikowsky and Cohen, PRB (1976). Expt. data
z R.Pollak et al., PRL (1973) pro Si, Grobman et al., PRL (1972) pro
Ge.
8
Pro praktický výpočet hustoty stavů je velmi vhodná formule
(1.16). Vzhledem ke kvazikontinuu možných hodnot vektoru k s
ekvidistantními odstupy můžeme spočíst Nn(E) jako objem
reciprokého prostoru, který je ohraničený plochou En(k) = E, vydělený
objemem připadajícím v reciprokém prostoru na jeden stav. Příspěvek
n-tého pásu do hustoty stavů pak dostaneme zderivováním tohoto
podílu podle energie E:
3
( ) 31 2 3 0
3 3
( )
1 2 3 0
d
d d
( ) = d .
(2 )d (2 ) d
n
n
E k E
n
E k E
k
N N N
D E k
E E
N N N
 







(1.18)
Objem ohraničený ekvienergiovou plochou v hořejším vztahu
můžeme snadno pro některé disperzní závislosti snadno spočíst.
Provedeme tento výpočet pro kvadratickou disperzi energie kolem
minima pásu,
22 22
* * *
0 * * *
( , , ) , , , >0 .
2
yx z
n x y z x y z
x y z
kk k
E k k k E m m m
m m m
 
     
 
(1.19)
Toto by byla disperze volného elektronu, kdyby tzv. efektivní
hmotnosti * * *
, ,x y zm m m byly stejné a rovné hmotnosti elektronu ve vakuu.
Krystalový potenciál ale situaci mění, setrvačnost elektronů může být
různá v různých směrech a typicky se liší od setrvačnosti volného
elektronu. Ekvienergiové plochy s disperzí (1.19) jsou elipsoidy,
jejichž objem snadno najdeme. S použitím transformace
' 3 * * * 3 '
*
, , , , d dj
j x y z
j
k
k j x y z k m m m k
m
   (1.20)
9
je objemový integrál ve vztahu (1.18) objemem třírozměrné v koule s
kvadrátem poloměru 2(E-E0)/ħ2
, tedy (4/3)[2(E-E0)/ħ2
]3/2
.
Derivováním podle E tedy dostaneme příspěvek pásu (1.19) do
hustoty stavů ve tvaru
* * *1 2 3 0
0 03
4 2
( ) pro .
(2 )
n x y z
N N N
D E m m m E E E E



   (1.18)
Pro energie menší než E0 je hustota stavů nulová (žádné takové stavy
v tomto pásu nejsou).
Parabolickou disperzní relaci mají volné elektrony, pro které jsou
navíc všechny tři efektivní hmotnosti stejné a rovné klidové hmotnosti
elektronu ve vakuu, m0. Systém volných (neinteragujících) elektronů
můžeme vložit no nekonečně slabého periodického potenciálu, ve
kterém se disperzní relace nezmění, ale symetrie potenciálu se uplatní;
to je koncept „prázdné mřížky“ („empty lattice“).
Prázdná mřížka FCC, se zachovanou symetrií potenciálu, má pásovou
strukturu z následujícího obrázku:
10
Pásová struktura prázdné mřížky FCC, podle Dresselhaus,
Dresselhaus & Jorio, Group Theory, Application to the Physics of
Condensed Matter.
Jsou zde použity standardní symboly pro označení bodů a směrů
vysoké symetrie, přiřazené kartézským souřadnicím v reciprokém
prostoru podle následujícího obrázku:
Symboly pro body a směry vysoké symetrie v 1. BZ struktury FCC.
Jaká je energiová závislost hustoty stavů?