1
J. Humlíček FKL II JS2018 úterý 13.3. 13:00 ÚFKL
5. Spin-orbitální interakce, vrchol valenčního pásu
Stavy elektron v atomu jsou ovlivněny vnitřním magnetickým polem,
vznikajícím orbitálním pohybem. Toto pole se snaží orientovat spinový
magnetický moment. Jde o relativistický efekt, v limitě c → ∞ mizí.
Operátor spinu,
0 1 0 1 0
, , ,
1 0 0 0 1
  
     
       
     
x y z
i
i
(5.1)
spin-orbitální interakce v Hamiltoniánu,
2 2
1
( ) .
2 2

   


SOH V p
m c (5.2)
Alternativní zápisy používají magnetický moment spojený se spinem
elektronu,
= ,
2
B
e e S S
S
mc mc S S
 
 
 
 
 
  (5.3)
energii v magnetickém poli s intenzitou H,
,  

SOH H (5.4)
intenzitu magnetického pole
.  
 v
H E
c (5.5)
2
Magnetický moment volného elektronu B (Bohrův magneton) je 9.2740154E-21 erg/gauss,
v SI je to 9.2740154E-24 J/T (1 erg = 1E-7 J, 1 gauss = 1E-4 T), v jednotkách vhodnějších pro
studium mikrostruktury hmoty je to zhruba 58 eV/T. Magnetické pole Země je při povrchu
v rozsahu 25-65 T, silné permanentní neodymové (neodymium-iron-boron) magnety dosahují
až 1.3 T.
V izolovaném atomu je
( )( ) ( ) ,     
  
SOH r r p S r L S (5.6)
kde L je orbitální moment hybnosti. Vezměme například atomový pstav
(l=1). Celkový moment hybnosti je reprezentován operátorem
. 
 
J L S (5.7)
Skalární součin je
( ) ( ) ( ) ,            
            
J J L S L S L L S S L S S L (5.8)
kde L a S komutují (operují v různých prostorech). Jejich průměty ml a
ms ale nejsou dobrá kvantová čísla, protože jsou propojeny SO
interakcí, přičemž l a s zůstávají dobrými kvantovými čísly. Vhodnými
stavovými vektory pro ocenění velikosti součinu LS jsou tedy
, , , .jj l s m (5.9)
Ze vztahu (5.8) vychází pro diagonální maticový prvek čtverce
celkového momentu hybnosti
2
2
( 1) ( 1) ( 1) ,      


j j l l s s L S (5.10)
tedy hledaná střední hodnota součinu LS rovna
 
2
( 1) ( 1) ( 1) .
2
      
 
L S j j l l s s (5.11)
3
Pro atomové p-stavy (l=1, s=1/2) je j=3/2 nebo 1/2, neboli
2
2
pro 3/ 2 , pro 1/ 2 .
2
      
  
L S j L S j
(5.12)
Spin-orbitální interakce tedy odštěpí energie stavů s celkovým
momentem hybnosti 3/2 a 1/2.
Atomový s-stav není SO interakcí ovlivněn, zůstává spinová
degenerace. Atomový d-stav se štěpí na 6-krát degenerovaný D5/2
a 4-krát degenerovaný stav D3/2.
Atomová čísla a SO rozštěpení ve vrcholu valenčního pásu.
Pásová struktura Ge bez započtení SO interakce (Dresselhaus). Pozor
na valenční stavy s nejmenší energií.
4
Pásová struktura Ge bez započtení SO interakce (Dresselhaus). Pozor
na valenční stavy s nejmenší energií.
Dvojné grupy – operace symetrie na spinové proměnné (rotace o 2
změní znaménko stavového vektoru).
Charaktery ireducibilních reprezentací dvojné grupy struktury ZnS ve
středu Brillouinovy zóny .
5
Disperze valenčních stavů („warping“):
2 2 4 2 2 2 2 2 2 2
( ) ( ) .x y z y x zE k Ak B k C k k k k k k     
(5.13)
Parametry valenčních pásů ve středu Brillouinovy zóny .
6
Kontury konstantní energie kolem středu Brillouinovy zóny .
Těžko- a lehkoděrový pás, efektivní hmotnost vystředovaná přes
směry:
2
* 2 2
21 1
2 2 1 ,
15hh
C
A B
m B
  
      
    
 (5.14)
2
* 2 2
21 1
2 2 1 .
15lh
C
A B
m B
  
      
    
 (5.15)