1
J. Humlíček FKL II JS2018 úterý 20.3. 13:00 ÚFKL
6. Cyklotronová rezonance elektronů a děr
Idea sledování stavů kolem minima vodivostního a maxima valenčního pásu v polovodičích –
Shockley 1953:
2
3
Pohyb (kvazi)elektronů a děr v magnetickém poli v aproximaci parabolických pásů (efektivní
hmotnosti); začneme s izotropním pásem
2
2
*
( ) .
2


 k
E k
m
(6.1)
Klasická pohybová rovnice pro částici ve statickém magnetickém poli s intenzitou H a
harmonickém elektrickém poli s amplitudou E0 a frekvencí  je
*
0 ,

  
    
   
   i tdv v v H
m e E e
dt c
(6.2)
kde  je střední doba mezi srážkami (za kterou se vynuluje driftová rychlost v způsobená
vnějším polem). Předpokládejme magnetické pole orientované ve směru osy z a lineárně
4
polarizovanou harmonickou vlnu podél x. Harmonická časová závislost driftové rychlosti pak
má amplitudy ve směru x a y, splňující díky pohybové rovnici (6.2) vztahy
*
*
1
,
1
.




 
   
 
 
   
 
y z
x x
x z
y
ev H
m i v eE
c
ev H
m i v
c
(6.3)
Amplituda x-ové složky rychlosti je
 * 2 2 2
1
,
1 2

   


  
x
x
c
eE i
v
m i
(6.4)
kde
* *
z z
c
eH eB
m c m c
     (6.5)
je cyklotronová frekvence. Protože sledujeme nemagnetické materiály, je magnetická indukce
B rovna přibližně intenzitě magnetického pole H. Znaménko v (6.5) vybírá smysl rotačního
pohybu, který je pro elektron a díru opačný.
Předchozí vztahy jsou v soustavě jednotek cgs; v SI je cyklotronová frekvence
*
.z
c
eB
m
   (6.5)SI
Orientace ve velikostech důležitých veličin:
vhodné frekvenční pásmo je 24 GHz (případně 9 GHz), tedy
151 9 rad/s; =2 / =42 ps; =c =1.3 cm; 0.095 meV.c c c vac c cE T T     
Intenzita magnetického pole pro rezonanci je pak
860 Oe=6.8 5 A/m.H E
(Horizontální složka zemského magnetického pole v Brně je asi 0.2 Oerstedu nebo 16 A/m.)
Dále posoudíme poloměr Rc cyklotronové orbity: pro střední termální rychlost
*
0*
8
4 6 cm/s pro 0.1 , 4 K
kT
v E m m T
m
   
je
5
300 nm .c
c
v T
R

 
Je třeba si uvědomit, že pravidelný pohyb po cyklotronových orbitách je přídavkem k
chaotickému termálnímu pohybu.
Driftová rychlost nabitých částic je odpovědná za proudovou hustotu; ta má také harmonickou
časovou závislost, ve směru x je to
 
2
2* 2
c
1/
( ) = ,
1/
i t i t
x x x
Ne i
j t Nev e E e
m i
  
  


 
(6.6)
kde N je koncentrace nosičů. Podle (6.4) je ovšem amplituda driftové rychlosti úměrná
amplitudě elektrického pole a můžeme zavést (komplexní) vodivost jako konstantu úměrnosti
mezi proudovou hustotou a intenzitou elektrického pole:
 0 2 2 2
1
,
1 2

 
   

 
  
x
x c
j i
E i
(6.7)
kde
2
0 *

 
Ne
m
(6.8)
je statická (=0) vodivost.
Energie odebíraná ze střídavého pole je úměrná reálné části komplexní vodivosti (je to
Jouleovo teplo vznikající díky tlumení pohybu nosičů náboje s relaxační dobou ). Frekvenční
závislost absorbované energie je vhodné vyjádřit pomocí bezrozměrných veličin:
 
 
2 2
22 2 2
0
Re 1
, , .
1 4

  

 
  
  
c
c c
c
r r
r r
r r r
(6.9)
Výsledek v tomto tvaru umožňuje posoudit šance na pozorování rezonanční absorpce energie
pro c, viz následující obrázek.
6
Frekvenční závislost absorbované energie; z Dresselhaus, Kip, Kittel, Phys. Rev. 1955.
Při zadaných frekvencích , c je zřejmě třeba dostatečně malé relaxační tlumení pohybu
nosičů, neboli dostatečně dlouhá doba . Ta je přímo úměrná prakticky velmi často používané
charakteristice elektrického transportu v polovodičích – pohyblivosti :
0 *
, .

   
e
Ne
m
(6.10)
Pohyblivost je střední driftová rychlost v elektrickém poli s jednotkovou intenzitou, její
jednotkou je (cm/s)/(V/cm) = cm2
/Vs. Aby byla cyklotronová rezonance dobře pozorovatelná,
musí být   1, neboli
*
.


e
m
(6.11)
Prakticky vhodné mikrovlnné frekvence (f = /2  24 GHz) tedy vyžadují vysoké
pohyblivosti, které jsou z podmínky (6.11) navíc děleny efektivní hmotností (typicky zřetelně
menší než jedna),
20
*
11000 cm /Vs. 
m
m
(6.12)
Podmínku pro cyklotronovou rezonanci s dlouhou relaxační dobou můžeme s pomocí vztahu
(6.9) zapsat jako
1 . cr r (6.13)
7
Reálná část vodivosti je pak rovna jedné polovině stejnosměrné hodnoty. To je snadno
pochopitelné, protože jsme uvažovali lineární polarizaci proměnného pole, které je
superpozicí dvou ortogonálních stavů kruhové polarizace; jeden z nich (se stejným smyslem
rotace jako kruhové orbity nosičů náboje) je v použitém přiblížení vždy ve fázi
s cyklotronovým pohybem, druhý naopak v protifázi a k disipaci energie nedochází. Kdyby
bylo použito kruhově polarizované pole se souhlasnou fází, byla by v rezonanci absorpce
energie stejná jako ve stejnosměrném poli.
Při praktickém provedení cyklotronového experimentu je frekvence (mikrovlnného) pole
konstantní, mění se cyklotronová frekvence pomocí změny intenzity magnetického pole.
Typický profil absorbované energie v Ge, frekvence 24 GHz, teplota 4 K; z Dresselhaus, Kip,
Kittel, Phys. Rev. 1955.
Typický profil absorbované energie v Si, frekvence 24 GHz, teplota 4 K; statické magnetické
pole v rovině (110), pod úhlem 30 deg ke směru (100); z Dresselhaus, Kip, Kittel, Phys. Rev.
1955.
8
Důležité je nastavení vhodné koncentrace volných nosičů náboje. Osvědčila se optická
excitace (světlo žárovky fokusované na vzorek) s modulací intenzity; referenční signál využit
k fázově citlivé detekci mikrovlnné absorpce.
Experimentální uspořádání pro měření s kruhově polarizovaným světlem; z Dresselhaus, Kip,
Kittel, Phys. Rev. 1955.
Změna orientace vzorku vůči magnetickému poli umožňuje sledovat závislost efektivní
hmotnosti na směru.
9
Efektivní hmotnost elektronů v Ge; z Dresselhaus, Kip, Kittel, Phys. Rev. 1955. Různé
symboly označují nezávislá měření.
10
Efektivní hmotnost elektronů v Si; z Dresselhaus, Kip, Kittel, Phys. Rev. 1955. Různé
symboly označují nezávislá měření.
Efektivní hmotnost děr v Ge; z Dresselhaus, Kip, Kittel, Phys. Rev. 1955. Různé symboly
označují nezávislá měření.
11
Efektivní hmotnost děr v Si; z Dresselhaus, Kip, Kittel, Phys. Rev. 1955.
Sumarizace (dodnes platných) výsledků práce Dresselhaus, Kip, Kittel, Phys. Rev. 1955: