1
J. Humlíček FKL II JS2018 úterý 17.4. 13:00 ÚFKL
9. Vrstva prostorového náboje u rozhraní
Vznikne-li mezi objemem krystalu a rozhraním s jiným prostředím (i povrchem) potenciálový
rozdíl, přerozdělí se volně pohyblivé náboje v krystalu a vytvoří tzv. oblast (vrstvu)
prostorového náboje. Tato vrstva stíní elektrické pole, které bychom pozorovali v případě
absence volně pohyblivých nábojů. Rovnovážné rozložení náboje záleží na potenciálovém
rozdílu na rozhraní, na koncentraci volných nábojů, na statické permitivitě a na teplotě.
Rovnováha se nastaví tak, že tendence elektrického pole přitáhnout nebo odtlačit volné náboje
k nebo od rozhraní je v rovnováze s tendencí plynu volných nosičů k rovnoměrnému
rozptýlení do celého objemu krystalu.
Pro kvalitativní popis vybereme jako příklad situaci, kdy je potenciálový rozdíl  způsoben
přítomností nekonečně tenké vrstvy kladného náboje s plošnou hustotou  a objem krystalu
má elektronovou vodivost. První předpoklad znamená, že potenciál na rozhraní je větší než v
objemu (kladná testovací částice zvyšuje při přiblížení k vrstvě kladného náboje svou
potenciální energii, je touto vrstvou odpuzována). Volně pohyblivé (kvazi)elektrony jsou
naopak kladným nábojem na rozhraní přitahovány. Při teplotě absolutní nuly by se na
rozhraní vytvořila nekonečně tenká vrstva záporného náboje s plošnou hustotou -, stínící
dokonale elektrické pole kladného náboje. Při konečné teplotě vede tepelný pohyb elektronů k
rozšíření této vrstvy. Schematicky je tento stav nakreslen v obrázku dole jako závislost energií
dna vodivostního pásu Ec a vrcholu valenčního pásu Ev na souřadnici z. Symbol EF znamená
chemický potenciál (Fermiho energii), který je v rovnováze nezávislý na z.
-10 -8 -6 -4 -2 0
-60
-40
-20
0
EF
Ev
ProfilU
E/kT
z / LD
Ec
Pásové energie u nabitého rozhraní.
2
Rovnováha ve vrstvě prostorového náboje
Kvantitativní popis musí respektovat souvislost potenciálu (z) s hustotou náboje (z) danou
Poissonovou rovnicí
2
2
( ) 4
( ) ,
d z
z
dz
 


  (9.1)
kde  je statická dielektrická konstanta krystalu. Při praktickém provádění výpočtů je třeba
dbát na použitou soustavu jednotek. Vztah (9.1) je platí v soustavě cgs, v SI je statická
permitivita  nahrazena součinem 4or, kde r je bezrozměrná relativní permitivita a o
permitivita vakua (8.854E-12 F/m):
2
2
( ) 1
( ) .
o r
d z
z
dz


 
  (9.1 SI)
V homogenní vrstvě izolátoru tloušťky d, s přiloženým napětím U, dává Poissonova rovnice
konstantní intenzitu elektrického pole U/(dor) a kvadratickou závislost potenciálu na poloze.
Kapacita C (náboj na jednotkové napětí) kondenzátoru s plochou S je orS/d; relativní
statická permitivita křemíku je přibližně 11.4, což dává kapacitu plochy 1 cm2
při tloušťce 1
mm zhruba 10.4 pF.
V přítomnosti volně pohyblivých nosičů náboje (vybereme elektrony) je dále ve hře
statistická souvislost koncentrace volných elektronů n(z) a vzájemné polohy dna vodivostního
pásu
( ) ( )c cBE z E e z  (9.2)
a Fermiho energie EF; zde jsme limitní hodnotu Ec v objemu krystalu (z→-∞) označili jako
EcB. Pro parabolickou disperzní relaci s efektivní hmotností m* je koncentrace elektronů dána
hustotou stavů
3/2
2 3
2 ( *)
( ) pro ,
( ) 0 pro
c c
c
m
D E V E E E E
D E E E

  
 
 (9.3)
a Fermi-Diracovou statistikou,
 
1
= .
exp 1
FD
F
f E
E E
kT
 
 
 
(9.4)
3
S uvážením spinové degenerace orbitálních stavů je tedy hustota elektronů
* 3/2
2 3
2 ( )
.
exp 1c
c
FE
E Em
n dE
E E
kT






 (9.5)
S pomocí symbolu pro Fermi-Diracovy integrály můžeme vztah pro koncentraci přepsat jako
1/ 2
( )
( ) ,F cB
c
E E e z
n z N F
kT
  
  
 
(9.6)
kde
* 3/2
2 3
2 ( )
.c
m kT
N



(9.7)
Poznámka: v limitě použitelnosti klasické statistiky použijeme vztah (8.19) a pro koncentraci
dostaneme z (9.6) přibližný výsledek
* 3/2
3 3
( )(2 )
( ) 2 exp ,
8
F cBE E e zm kT
n z
kT


  
  
 
(9.6a)
což je modifikovaný vztah (8.21) s polohovou závislostí potenciálu elektronů.
Pro další rozbor zjednodušíme zápisy zavedením dvou bezrozměrných veličin
( )
( ) , ,F cBE Ee z
u z
kT kT



  (9.8)
koncentraci elektronů v objemu označíme nB. Z Poissonovy rovnice (9.1) dostáváme
   
2 2
1/2 1/22
2
1/2 1/2 1/2
2
1/2 1/2
4 4
( ) ( ) ( )
4 ( ) ( ) ( )1
1 1 ,
( ) ( )
B c
c
D
d u e e
e n n z N F F u
dz kT kT
e N F F u F u
kT F L F
 
 
 
   
  
      
    
        
   
(9.9)
kde jsme použili označení
2 2
1/24 ( ) 4
D
c B
kT kT
L
e N F e n
 
  
  (9.10)
pro tzv. Debyeovu stínicí délku v objemu krystalu. V soustavě SI:
4
2
.o r
D
B
kT
L
e n
 
 (9.10 SI)
Nelineární diferenciální rovnici (9.9) druhého řádu pro redukovaný potenciál u(z) lze pomocí
jednoduchého triku převést na rovnici prvního řádu:
22
1/2
2 2
1/2
( )1
2 2 1 ,
( )D
F udu d u du du
dz d dz
dz dz dz dz L F


      
        
        
(9.11)
neboli
2 ( )
1/2 3/2 3/2
2 2
1/2 1/2
( ) ( ) ( )2 2 2
1 .
( ) 3 ( )
u z
D D
F t F u Fdu
dt u
dz L F L F
  
 
      
         
     

(9.12)
Zde jsme využili následující vlastnost Fermi-Diracových integrálů,
1( ) ( ) .j j
d
F t jF t
dt
 (9.13)
kterou můžeme prověřit přímo z definičních vztahů.
Derivace redukovaného potenciálu podle souřadnice je tedy podle (9.12)
2
( , ) ,
D
du
F u
dz L
 (9.14)
kde
3/2 3/2
1/2
( ) ( )2
( , )
3 ( )
F u F
F u u
F
 


 
    (9.15)
se znaménkem + pro kladné u a znaménkem – pro záporné u.
Přepíšeme-li vztah (9.14) do tvaru
2
,
( , ) D
du
dz
F u L
 (9.16)
můžeme dostat hledanou závislost potenciálu na souřadnici v implicitním tvaru další
integrací:
5
( )
(0)
1
.
( , )2
u z
Du
dt z
F t L
 (9.17)
Dobrou představu o monotónní závislosti u(z) můžeme získat tak, že ji aproximujeme
exponenciálou
( ) (0)exp
z
u z u
L
 
  
 
(9.18)
tak, aby její derivace podle z v bodě z = 0 souhlasila se správnou hodnotou podle vztahu
(9.14), neboli dávala správnou hodnotu intenzity elektrického pole na rozhraní. Tuto
podmínku splňuje (efektivní stínicí) délka
 
1 (0)
.
(0),2
D
u
L L
F u 
 (9.19)
Debyeova stínicí délka (9.10) je vhodnou veličinou pro rychlou orientaci. V následujícím
obrázku je nakreslena pro široký rozsah koncentrací volných nosičů v objemu materiálu; pro
relativní permitivitu 10 a teplotu 300 K dosahuje hodnoty 10 nm pro koncentraci zhruba 1E17
cm-3
.
10
9
10
11
10
13
10
15
10
17
10
19
10
21
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10000
1000
100
10
 x T(K) = 1
DebyeL
LD
(nm)
nB
(cm
-3
)
Debyeova stínicí délka v závislosti na koncentraci volných nosičů, pro několik hodnot
součinu relativní permitivity a teploty.
6
Efektivní stínicí délka ze vztahu (9.19) je (jako násobek Debyeovy délky) nakreslena ve dvou
následujících obrázcích.
Pro kladné hodnoty redukovaného potenciálu (jde o vrstvu obohacenou o elektrony) a
tloušťka vrstvy prostorového náboje s růstem potenciálu klesá. Parametr  udává polohu
Fermiho energie vůči dnu vodivostního pásu v objemu, záporné hodnoty znamenají Fermiho
energii uvnitř pásu zakázaných energií.
Pro záporné hodnoty redukovaného potenciálu jde o ochuzenou vrstvu a tloušťka vrstvy
prostorového náboje s růstem velikosti potenciálu roste. V oblasti použitelnosti klasické
statistiky („daleko od degenerace“) použijeme aproximace Fermi-Diracových integrálů
exponenciálami (pro z záporné s velkou absolutní hodnotou)
1/ 2 3/ 2
3
( ) exp( ) , ( ) exp( )
2 4
 
 F z z F z z (9.20)
a funkci F ze vztahu (9.15) nahradíme vztahem
exp( ) exp( )
( , ) exp( ) 1 .
exp( )
 


 
        
u
F u u u u (9.21)
Efektivní stínicí délka (9.19) je pak
(0)
pro (0) 1 .
2
D
u
L L u

   (9.22)
Naopak, pro malé hodnoty |u| je
2
( , ) 1 1 .
2 2
            D
uu
F u u u L L (9.23)
7
-20 -10 0 10 20
0
1
2
3
 = (EF
- EcB
) / kT = -10 -5
0
5
10
EffL-F1a
L/LD
u = e / kT
Efektivní stínicí délka (relativně vůči Debyeově délce) v závislosti na redukovaném
potenciálu, pro několik hodnot vzájemné polohy dna pásu a Fermiho energie v objemu
polovodiče.
-20 -10 0 10 20
0.01
0.1
1
-5
0
5
10
 = (EF
- EcB
) / kT = -10
EffL-F1b
L/LD
u = e / kT
Efektivní stínicí délka (relativně vůči Debyeově délce) v závislosti na redukovaném
potenciálu, pro několik hodnot vzájemné polohy dna pásu a Fermiho energie v objemu
polovodiče.
8
Chování ochuzené vrstvy můžeme ještě snadno posoudit v případě silné degenerace (velké
koncentrace volných nosičů a/nebo nízké teploty). Použijeme aproximace Fermi-Diracových
integrálů pro velké kladné z (integrand v definičním vztahu (8.17) aproximujeme funkcí tj
pro
t < z a nulou pro t > z):
1
( ) .
1
j
j
z
F z
j



(9.24)
Funkce F ze vztahu (9.15) je přibližně
5/2 5/2
3/2
2 ( )
( , ) .
5
u
F u u
 


 
    (9.25)
Při výpočtu efektivní stínicí délky (9.19) je třeba zvláštní pozornost věnovat okolí nulové
hodnoty bezrozměrného potenciálu u; z Taylorova rozvoje v (9.25) do druhého řádu v u
dostaneme například
2
pro (0) 0 .
3
DL L u

  (9.26)
Představu o ochuzené vrstvě v podmínkách významné degenerace dává následující obrázek.
-1500 -1000 -500 0
0
10
20
30
400
300
 = (EF
- EcB
) / kT = 0
100
200
EffL-F3a
L/LD
u = e / kT
Efektivní stínicí délka (relativně vůči Debyeově délce) ochuzené vrstvy v závislosti na
redukovaném potenciálu, pro několik hodnot vzájemné polohy dna pásu a Fermiho energie v
objemu polovodiče.
9
Pro Fermiho energii 100 meV ve vodivostním pásu a teplotu 4 K je hodnota parametru 
zhruba 300, efektivní stínicí délka pro potenciál 300 meV na okraji ochuzené vrstvy je pak
zhruba 25-násobkem Debyeovy délky.
Kapacita vrstvy prostorového náboje
Vrstva prostorového náboje se očividně chová jako kondenzátor. Pro výpočet jeho kapacity
použijeme nejlépe Poissonovu rovnici (9.1) přepsanou pro hustotu náboje následujícím
způsobem:
2 2
2 2
( ) ( )
( ) .
4 4
d z kT d u z
z
dz e dz
  

 
    (9.27)
Pro druhou derivaci redukovaného potenciálu máme ovšem vztah (9.9), tedy
 1/2
2
1/2
( )
( ) 1 .
4 ( )D
F u zkT
z
eL F


 
 
  
 
(9.28)
Pro jednoduchost však vezmeme exponenciální závislost na poloze ze vztahů (9.18) a (9.19);
po dvojím derivování dostaneme
2
( ) (0)exp .
4
kT z
z u
eL L



 
   
 
(9.29)
Náboj vrstvy na jednotkovou plochu dostaneme integrací přes z do místa s redukovaným
potenciálem u(0):
0
( ) (0) (0) .
4 4
s
kT
Q z dz u
eL L
 
 
 
     (9.30)
Kapacita jednotkové plochy je
.
(0) 4

 
 s
s
Q
C
L
(9.31)
Tato veličina je závislá na potenciálu, protože na něm závisí délka L. Pro malé zakřivení pásů
(blízko stavu „flat-band“) je podle (9.23), (9.10) a (9.6a) je kapacita přibližně nezávislá na
potenciálu na povrchu:
10
2 2 * 3/2 1/2
0 3 3
( ) (2 )
exp .
4 4 8 2
  
  
 
    
 
F cBB
s
D
E Ee n e m kT
C
L kT kT
(9.32)
Kapacita jednotkové plochy je tedy dána pouze permitivitou a Debyeovou stínicí délkou; v SI:
0 .o r
s
D
C
L
 
 (9.32 SI)
S relativní statickou permitivitou křemíku 11.4 dává plocha 1 m2
při Debyeově délce 10 nm
kapacitu (pro malé povrchové potenciály) zhruba 10.1 pF.
Závislost na povrchovém potenciálu sleduje nepřímou úměrnost efektivní stínicí tloušťce:
0
.
/
 s
s
D
C
C
L L
(9.33)
Diferenciální kapacita jednotkové plochy je
.
(0)
s
sd
dQ
C
d
 (9.34)
Kondenzátor MOS
Řez základní strukturou MOS.
11
Pásové schéma struktury MOS, stav flat-band.
Typická C-V charakteristika struktury MOS.