1
J. Humlíček FKL II JS2018 úterý 24.4. 13:00 ÚFKL
10. Elektrický transport
Pohyblivé náboje, vznikající excitací donorových, akceptorových nebo valenčních stavů,
nesou ve vnějším elektrickém poli elektrický proud. Těmito „nosiči náboje“ jsou elektrony
a/nebo díry. Ve slabých polích je proud úměrný intenzitě elektrického pole (Ohmův zákon).
Kvaziklasické přiblížení
Předpokládejme plyn neinteragujících elektronů vložený do externího pole s potenciálem 
nezávislým na čase. Amplituda pravděpodobnosti nalezení nosiče v místě r se řídí časově
závislou Schroedingerovou rovnicí
 0 ( ) ( , ) ( , ) , 

  

  
H e r r t i r t
t
(10.1)
kde H0 je jednoelektronový Hamiltonián krystalu bez vnějšího pole. Pokud se vnější pole
mění málo na vzdálenostech řádu mřížkové konstanty, použijeme aproximaci efektivní
hmotnosti podobně jako v případě popisu příměsových stavů. Pro určitost budeme popisovat
elektrony ve stavech kolem dna vodivostního pásu, s izotropní disperzní relací
2
2
*
( ) (0) .
2
 


c c
k
E k E
m
(10.2)
Analogicky ke vztahu (7.16) pro obálky Wannierových funkcí dostaneme časově závislou
rovnici
2
*
( ) ( , ) (0) ( , ) .
2
   
          

  
 cR
e R C R t i E C R t
m t
(10.3)
Poloha vlnového klubka je ovlivněna přítomností vnějšího pole, v kvaziklasické aproximaci
v souladu s Newtonovou pohybovou rovnicí pro kvazičástici s hmotností m*. Působící síla je
gradientem potenciálu a udílí kvazičástici konstantní zrychlení. Bez „odporu“ proti
zrychlování by driftová rychlost a elektrický proud neomezeně rostly s časem. V souladu
s pozorovaným chováním vložíme do pohybové rovnice „tlumicí člen“, který vykompenzuje
zrychlení kvazičástice vnějším polem. Poloha elektronu se pak řídí pohybovou rovnicí
2 *
*
2
,

  
  d r m dr
m eE
dt dt
(10.4)
kde E je intenzita elektrického pole (gradient potenciálu) a  „relaxační doba“, tedy (střední)
doba, za kterou elektron prodělá srážku vynulující jeho driftovou rychost. Druhý člen na levé
straně (10.4) se také označuje jako brzdicí. Po odeznění přechodových jevů má nosič náboje
2
řídící se pohybovou rovnicí konstantní driftovou rychlost vd, což je přídavek k tepelné
rychlosti způsobený přítomností vnějšího pole. Podmínkou dosažení stacionárního stavu je
zřejmě nulové zrychlení, neboli hodnota driftové rychlosti
*
.

  
 
d
dr e
v E
dt m
(10.5)
Úvahu o driftové rychlosti a zrychlení vlnového klubka můžeme provést také následujícím
způsobem: jde o grupovou rychlost (rychlost přenosu energie) velikosti
( ) 1 ( )
.g
d k dE k
v
dk dk

 

(10.6)
Síla F vykoná za čas dt práci, o kterou se zvětší energie klubka:
( ) , .g g
dk
dE k Fv dt v dk F
dt
    (10.7)
Zrychlení způsobené silou F je tedy
2 2 2
2 2 2 *
1 1 1
,
gdv d E d E dk d E F
F
dt dkdt dk dt dk m
   
  
(10.8)
kde jsme použili kvadratickou disperzní relaci (10.2).
Proudová hustota, vodivost, pohyblivost
Náboj přenesený jednotkovou plochou za jednotku času je proudová hustota j; pro objemovou
hustotu nosičů n dostáváme
2
*
.d
ne
j nev E
m

  
 
(10.9)
S izotropní disperzní relací (10.2) je konstanta úměrnosti mezi proudovou hustotou a
intenzitou pole skalární vodivost :
2
*
, .
ne
j E
m

  

(10.10)
V anizotropním krystalu zřejmě nemusí být směr proudu a pole stejný a vodivost je tenzorem
řádu 2,
3
ˆ .

j E (10.11)
Vodivost závisí na čtverci náboje nosiče (proud je úměrný náboji a rychlosti jeho přesunu,
která je také úměrná náboji díky působící elektrické síle), proto se proudy nesené elektrony a
děrami sčítají.
Protože koncentrace nosičů v polovodiči může významně záležet na teplotě, je vhodné udávat
pohyblivost :
.

dv E (10.12)
Z předchozího rozboru vychází pro pohyblivost relace
*
.

 
e
m
(10.13)
Pohyblivost a koncentrace elektronů (e) a děr (h) se mohou lišit, výsledná vodivost je zřejmě
( ) .   e e h he n n (10.14)
Charakteristické pohyblivosti elektronů a děr při pokojové teplotě jsou (v cm2
/Vs)
elektrony díry
Si 1300 500
GaAs 8800 400
Boltzmannova transportní rovnice
Pravděpodobnost obsazení pásového stavu s energií Ek v krystalu bez vnějšího pole je dána
Fermi-Diracovou statistikou,
0 1
= ,
exp 1
 
 
 

k
Fk
f
E E
kT
(10.15)
kde EF je Fermiho energie (chemický potenciál). Přítomnost vnějšího pole a srážkových
mechanismů tyto pravděpodobnosti mění; ve slabém poli (s malou intenzitou E) ponecháme
v Taylorově rozvoji změny za jednotku času jen lineární člen:
   
0 0 0
,
   
         
   
     

  

 k k k k k k
k
E k k k
df df dE df dr df
eE ev E
dt dE dt dE dt dE
(10.16)
4
kde jsme jako vk označili rychlost klubka centrovaného v poloze r v přímém prostoru a kolem
vlnového vektoru k v reciprokém prostoru.
V ustáleném stavu se pravděpodobnosti obsazení jednoelektronových stavů v čase nemění;
v aproximaci relaxační doby k je tedy
,

 
  
 
 
 
k k
Ek
df df
dt
(10.17)
neboli
 
0
. 

  

k
k k k
k
df
df e v E
dE
(10.18)
Ze vztahu (10.15) vychází následující výsledek pro hustotu proudu („Ohmův zákon“):
   
0
0 3 2 3
.    

     

    k
k k k k k k
BZ BZ k
df
j ev f df d k e v v E d k
dE
(10.19)
V dalším postupu budeme předpokládat nedegenerovaný elektronový plyn s parabolickou
disperzní relací (10.2); zanedbání jedničky ve jmenovateli Fermi-Diracovy statistiky (10.15)
vede k Boltzmannově statistice
 
2
0 2 2 2
*
(0)
=exp =exp exp .
2
     
      
    


F k F c
x y zk
E E E E
f k k k
kT kT m kT
(10.20)
Možné hodnoty k považujeme jako obvykle za (kvazi)kontinuum; „Gaussovský profil“
statistiky ze vztahu (10.20) má v každém ze tří směrů reciprokého prostoru disperzi
*
2
( ) ( ) ( ) .  

x y z
m kT
D k D k D k (10.21)
S izotropní disperzní relací jsou směry intenzity elektrického pole, driftové rychlosti a
proudové hustoty stejné. Budeme tedy počítat skalární vodivost ; integrály v k-prostoru v
(10.19) vyjádříme s pomocí hustoty stavů jako integrály přes energie. Hustota stavů
v jednotkovém objemu, se započtením spinové degenerace, je podle (2.18)
 
3/2*
2 3
2( )
pro .
2
  

c c
mD E
E E E E
V
(10.22)
Vztah (10.19) dává skalární vodivost ve tvaru
5
2
2
2 *
0
( ) ( ) ( ) .
3
 


 
e
E v E D E dE
m kT
(10.23)
S konkrétní závislostí relaxační doby na energii můžeme modelovou představu o vodivosti
zlepšit.
6
Změřená teplotní závislost pohyblivosti slabě legovaného n-typu Si (levý panel), spočtené
příspěvky rozptylu na různých fononech (pravý panel: A - akustické fonony uvnitř
vodivostních minim, 190 a 630 K – intervalley rozptyl s fonony s různými energiemi).
7
Teplotní závislost pohyblivosti n-typu Si pro různé úrovně koncentrace donorů.
8
Teplotní závislost pohyblivosti n-typu GaAs a příspěvky různých typů rozptylu.
Driftová rychlost elektronů a děr v GaAs a Si v závislosti na intenzitě vnějšího pole.
9
Přechod kov-izolátor v silně legovaných polovodičích
(MIT, “Metal-Insulator Transition”)
definice pomocí stejnosměrné (dc) vodivosti:
( ) 0 pro 0 ... kov,
(0) 0 ... izolator.
T T

 

(10.24)
Přehled Si:P z Loehneysen 1998
10
Přehled Si:P z Loehneysen 1998
11
Pohyblivost elektronů v grafénu
ovlivněná substrátem (z Ferry2013)