1
J. Humlíček FKL II JS2018 čtvrtek 3.5. 13:00 ÚFKL
11. Hallův jev a magnetorezistence
Pohyb volných nosičů náboje ve vnějším elektrickém poli může být výrazně ovlivněn
přítomností magnetického pole.
Hallův jev v trojrozměrném plynu volných nosičů
V aproximaci relaxační doby je kvaziklasická pohybová rovnice s intenzitou elektrického pole
E a magnetickou indukcí B pro nosič s nábojem e
2 *
*
2
,
d r m dr dr
m eE e B
dt dt dt
   
   
(11.1)
 je střední doba, za kterou nosič prodělá srážku vynulující jeho driftovou rychost. Poslední
člen v (11.1) je Lorentzova síla. Předpokládejme magnetické pole orientované podél osy z;
pak můžeme hořejší pohybovou rovnici přepsat pro komponenty polohy nosiče x a y jako
* *
, .y yx x
x y z y x z
dv vdv vm m
E v B E v B
e dt e dt 
  
       
   
(11.2)
Ve směru x přikládáme elektrické pole (je to „podélný směr“), ve směru y vzniká elektrické
pole díky Lorentzově síle (v „příčném směru).
Tvar vzorku pro měření vodivosti a Hallova napětí.
2
Ve stacionárním stavu je zrychlení nosiče nulové; v (11.2) můžeme vx z první rovnice dosadit
do druhé, dostaneme tak rovnici pro vy:
2 2 2*
* *
.z z
y y x
e B e Bm
v eE E
m m
 

 
   
 
(11.3)
Použijeme symbol pro cyklotronovou frekvenci
*
  z
c
eB
m
(11.4)
a pohybovou rovnici (11.3) přepíšeme do tvaru
   2 2
*
1 .y c y c x
e
v E E
m

      (11.5)
Ve slabém magnetickém poli (typicky splněno při měření Hallova napětí) je kvadrát součinu
cyklotronové frekvence a relaxační doby zanedbatelný a (11.5) se zjednoduší:
* *
.z
y y x
eBe
v E E
m m
  
  
 
(11.6)
Proudovou hustotu j dostaneme vynásobením rychlosti nosičů jejich nábojem a koncentrací.
Předpokládejme koncentraci elektronů (s efektivní hmotností me) ne a koncentraci děr (s
efektivní hmotností mh) nh. Celková proudová hustota podél y je součtem dvou příspěvků a v
ustáleném stavu je nulová:
2 2
0 .e e z e h h z h
y ye yh y x y x
e e h h
n e eB n e eB
j j j E E E E
m m m m
      
         
   
(11.7)
Předchozí vztah můžeme zapsat stručně s pomocí symbolu  pro pohyblivost:
   2 2
,
, .
y e e h h x h h e e z
e h
e h
e h
E n n E n n B
e e
m m
   
 
 
  
  (11.8)
Intenzitu elektrického pole podél x můžeme napsat pomocí odpovídající proudové hustoty jx a
vodivosti ,
3
 
.x x
x
e e h h
j j
E
e n n  
 

(11.9)
Z (11.8) tak dostaneme úměrnost příčného elektrického pole Ey podélné proudové hustotě jx a
magnetické indukci, vyjádřenou pomocí Hallova koeficientu RH:
 
2 2
2
.h h e e
y H x z x z
e e h h
n n
E R j B j B
e n n
 
 

 

(11.10)
Jednotky (SI) v hořejší relaci:
3 3 3
2 2 2 2 2
V m A m A Wb m A V s
T .
m C m A s m m A s m m

  
 
V přítomnosti jediného druhu nosičů s koncentrací n je Hallův koeficient
1
.HR
en
  (11.11)
Při konečné teplotě mají nosiče náboje různé energie a rozptylové mechanismy na jejich
energii závisí. Proto je vhodné předchozí postup modifikovat tak, že nejdeme střední
(očekávané) hodnoty funkcí relaxační doby, které v hořejším postupu vystupují. Místo vztahu
(11.8) vezmeme zřejmě
   2 2
2 2 2 22 2
2 2 2 2
2 2 2 2
,
( ) ( ) , ( ) ( ) ,
( ) ( ) , ( ) ( ) ,
y e e h h x h h e e z
e h
e e h h
e e h h
e h
e e h h
e e h h
E n n E n n B
e ee e
E f E dE E f E dE
m m m m
e ee e
E f E dE E f E dE
m m m m
   
 
   
 
   
 
 
 
 
  
   
   
 
 
(11.12)
kde f(E) je hustota pravděpodobnosti obsazení stavu s energií E. Střední hodnoty první a
druhé mocniny relaxačních dob pak vstoupí do vztahu (11.10). V přítomnosti jediného druhu
nosičů s koncentrací n je Hallův koeficient namísto (11.11) roven
2
2
.


    H
H
r
R
enen
(11.13)
Jako rH jsme označili tzv. Hallův faktor,
4
2
2
.


Hr (11.14)
Pokud je jeho hodnota blízká k jedné, je zřejmě pohyblivost součinem Hallova koeficientu a
vodivosti:
  HR (11.15)
a současné měření Hallova napětí a vodivosti dává koncentraci nosičů a jejich relaxační dobu.
Většinou však nelze zanedbat závislost relaxační doby na energii a součin ve vztahu (11.15)
se od pohyblivosti liší, označuje se jako Hallova pohyblivost:
. H Hr (11.16)
Magnetorezistence
V přítomnosti obou druhů nosičů se stejnou koncentrací je celkový příčný proud nulový,
magnetické pole ale vychyluje nenulové příčné proudy elektronů a děr v navzájem opačných
směrech podél x. Tak vzniká magnetorezistence, t.j. závislost podélného odporu na
magnetickém poli. V hořejším modelu vyjádříme z první pohybové rovnice (11.2) rychlost
nosiče ve směru x v ustáleném stavu (nulové zrychlení) jako
   * *
2
2 2
,
.
1
 
 
 

            



x x y x z z x y x z z
x y z
x
z
e e
v E E v B B E E v B B
m m
E E B
v
B
(11.17)
Proudová hustota v podélném směru je složená z příspěvku elektronů a děr,
.   x xe xh e xe h xhj j j n ev n ev (11.18)
Pro malou příčnou intenzitu el. pole (malé Hallovo napětí) dostaneme z (11.12) a (11.13)
lineární závislost podélného proudu na Ex:
2 2 2 2
( ) ,
1 1
 

 
 
   
  
e e h h
x x x z x
e z h z
n n
j e E B E
B B
(11.19)
s vodivostí závislou na magnetické indukci. V limitách slabého a silného magnetického pole
dostáváme
5
 3 3 2 2 2
2 2
2
( ) (0) , pro 1 ,
( ) , pro 1 .
x z x e e h h z h z
e h
x z h z
e h z
B e n n B B
n n e
B B
B
    
 
 
  
 
  
 

 (11.20)
V druhém případě je specifický odpor úměrný kvadrátu magnetické indukce.
Kvantový Hallův jev v dvojrozměrném plynu volných nosičů
Lokalizace plynu volných elektronů do velmi tenké vrstvy v rovině (x,y), nejlépe
v heterostruktuře, zmenší o jedničku počet stupňů volnosti. V magnetickém poli
orientovaném podél z jsou pak energie kvantovány do Landauových hladin,
* *
*
1 1 1 1
( , ) ,
2 2 2 2
  
   
        
   
  z
z c B z B z
eB
E l B l g B l g B
m
(11.21)
tedy do systému diskrétních hladin s odstupem kvanta energie daného cyklotronovou
frekvencí. Každá Landauova\ hladina je rozštěpena do spinového dubletu, s energií danou
Bohrovým magnetonem B a efektivním g-faktorem. Tato změna elektronové struktury
podstatně ovlivní proudy v příčném i podélném směru.
Proudové hustoty ve směru x a y v dvojrozměrném případě jsou pro slabá elektrická pole
, ,       x xx x xy y y xy x xx yJ E E J E E (11.22)
protože
,     xx yy yx xy (11.23)
pro izotropní materiál. S šířkou dvojrozměrného „kanálu“ w je podélná proudová hustota a
příčná intenzita elektrického pole
, , 
yx
x y
VI
J E
w w
(11.24)
kde Ix a Vy jsou po řadě podélný proud a příčné napětí. Dvojrozměrná proudová hustota je
proud tekoucí jednotkovou šířkou.
V ustáleném stavu neteče proud podél y, tedy pro rezistivity  dostáváme z (11.22)
6
2 2 2 2
, .

 
   
   
 
y xyx xx
xx xy
x xx xy x xx xy
EE
J J (11.25)
Dvojrozměrné vodivosti  mají jednotky 1/, rezistivity  mají jednotky . Někdy se udávají
jako 1/ana čtverec, protože stejné hodnoty naměříme pro čtvercové vzorky libovolného
rozměru. Je-li délka kanálu l a šířka w, je odpor ve směru x dán součinem rezistivity xx a
bezrozměrného faktoru l/w.
V aproximaci relaxační doby dostaneme z (11.5) podmínku pro vynulování příčné rychlosti
elektronů:
*
0 .yz
y y x c
x
EeB
v E E
m E

      (11.26)
Podélná proudová hustota je součinem náboje elektronu, plošné koncentrace ns a rychlosti vx;
z první rovnice (11.2) dostaneme pro rychlost ve stacionárním stavu (bez zrychlení)
* *
.
 
 
  y y
x x
c z
E Ee e
v E
m m B
(11.27)
Odtud
,    y
x s x s
z
E
J en v en
B
(11.28)
1
,  y x z H x z
s
E J B R J B
en
(11.29)
1
. H
s
R
en
(11.30)
Hallův koeficient je dán plošnou hustotou elektronů. Vzhledem k (11.24) je
.
y
H
x z
V
R
I B
(11.31)
V silném magnetickém poli je součin cyklotronové frekvence a relaxační doby mnohem větší
než jednička, tedy podle (11.26) příčná intenzita elektrického pole mnohem větší než podélná.
Vzhledem k (11.25) je pak modul vnědiagonálního prvku tenzoru vodivosti mnohem větší než
prvku diagonálního. Pro rezistivity z (11.25) to znamená přibližné rovnosti
7
2
1
, .

 
 
   yxx
xx xy H z
xy xy x
V
R B
I (11.32)
Obě vodivosti a rezistivity se při sledování transportu elektronů v magnetickém poli výrazně
mění díky obsazování diskrétních Landauových hladin.
Plošná koncentrace elektronů je ve stavu s úplně obsazenými hladinami až po -tou včetně a
všemi dalšími neobsazenými rovna
( )  z
s
eB
n
h
(11.33)
a Hallova rezistivita je kvantovaná,
2
1 25813
, 1,2,... 
 
    y
xy
x
V h
I e
(11.34)
Z tohoto faktu vychází obvyklé označení „QHE“ (Quantum Hall Effect“). Zároveň se
pozoruhodným způsobem chová i podélná rezistivita; vysvětlení vychází z rozboru
„vodivého“ stavu elektronového plynu s částečně zaplněnými Landauovými hladinami a
„izolujícího“ stavu v případě Fermiho energie mezi plnou a prázdnou hladinou.
Relativní přesnost měření Hallovy rezistance v QHE je 10-8
, je to současný standard
elektrického odporu. Zároveň přináší možnost velmi přesného určení konstanty jemné
struktury,
2
0
1
,
4 137.035963(15)


 

e
c
(11.35)
ve které vystupují vedle poměru h/e2
pouze definované konstanty.
8
Uspořádání von Klitzinga, Peppera a Dordy v originální experimentu, ve kterém byl v roce
1980 objeven kvantový Hallův jev (Nobelova cena – von Klitzing 1985).
9
Originální záznam s poznámkami, identifikujícími vznik kvantového Hallova jevu.
10
Dvojrozměrný elektronový plyn v křemíkové struktuře MOS (a) a v heterostruktuře
GaAs/AlGaAs (b).
Heterostruktura pro měření QHE (Klitzing, RMP 1986).
11
Hustota stavů, podélná vodivost a Hallův koeficient (Klitzing, RMP 1986).
Hallova a podélná rezistivita v heterostruktuře GaAs-AlGaAs při teplotě 8 mK (Klitzing,
RMP 1986).
12
Detail Hallovy rezistivity teplotě 1.8 K a magnetické indukci 13.9 T pro dva různé vzorky
(Klitzing, RMP 1986).