1
J. Humlíček FKL II JS2017 úterý 16.5. 13:00 ÚFKL
13. Heterostruktury I
„Atomárně přesné“ navázání různých materiálů je možné, díky moderním epitaxním
technologiím.
Umístění atomů do předepsaných krystalových poloh
Obr. 1a. Dvojitá heterostruktura – epitaxe ve vodorovném směru.
V mřížkově nepřizpůsobených systémech: deformace a napětí až do kritické tloušťky.
Energie dna vodivostního a vrcholu valenčního pásu
Je-li gap v tenké střední vrstvě („jáma“) menší než v okolním materiálu („bariéra“), mohou se
nespojitosti energií na rozhraní rozdělit podle následujícího obrázku. Je dobré se přesvědčit,
že zvýšení energií valenčních stavů ve střední vrstvě znamená potenciálovou jámu pro díry.
Obr. 1b. Dvojitá heterostruktura – uspořádání energií v kvantové jámě typu 1.
Eg1
(QW)
Eg2
(bulk)
Eg1
(bulk)
Ec2
Ev2
Ev1
Ev1
Ec1
děrové stavy
elektronové stavy
POLOHA
Ec1
ENERGIE
2
Hrubý pohled na pásové offsety: dielektrické stínění a Pennův gap
Schopnost elektronů přesouvat se ve vnějším poli s frekvencí  je dána permitivitou
(13.1)
kde
(13.1a)
(13.1b)
(13.1c)
Pro nulovou frekvenci a zanedbatelné tlumení  je stínicí schopnost elektronového systému
dána součtem členů nepřímo úměrných kvadrátu mezipásových energií,
(13.2)
Pro nejhrubší odhady použijeme Pennův model pro souvislost dlouhovlnné permitivity a
mezipásové energie:
(13.3)
kde
(13.3a)
2 2
3 '
22 2
, '
' '
( )
( ) 1 ,
( ) ( ) ( )
pc ll
l lc BZ ll ll
F ke
d k
i m k i k

 
      
  
    
 
'
'
( ) ( )
( ) ,l l
ll
E k E k
k



2
'
'
2 ', | | ,
( ) .
( )
ll
ll
l k p l k
F k
Vm k


2
2
3
2 2
, ' '
', | | ,2
(0) 1 .
( )l l llBZ
l k p l ke
d k
V m k
 
     
2
2
1 ,
p
g


  
2
2 4
.val
p
N e
m

 
2
2 4
,c
pc
c
N e
m

 
3
Frekvence p je analogií plasmové frekvence volně pohyblivých nábojů ze vztahu (13.1a),
ovšem s koncentrací všech valenčních elektronů, hmotnost m je hmotností volného elektronu.
V diamantové struktuře s kubickou mřížkovou konstantou ao je je tato koncentrace rovna
(13.3b)
Druhým parametrem ve formuli (13.3) je Pennův gap g, reprezentující efektivní hodnotu
mezipásových odstupů. Jeho hodnotu můžeme dostat z naměřené dlouhovlnné (elektronové)
permitivity a z mřížkové konstanty. Následující tabulka obsahuje relevantní hodnoty pro
několik polovodivých krystalů
Parametry vybraných kubických krystalů
--------------------------------------
a ... kubická mřížková konstanta
Eps8 ... statická dielektrická konstanta (elektronová)
Nval ... hustota valenčních elektronů
Ep ... plasmová energie valenčních elektronů
E-Penn ... Pennův gap
a eps8 Nval Ep E-Penn
(A) (10^23 cm^-3) (eV) (eV)
Si 5.43 11.70 2.00 16.6 5.07
Ge 5.65 16.00 1.77 15.6 4.04
Sn 6.47 24.00 1.18 12.8 2.66
GaP 5.44 9.10 1.99 16.5 5.81
AlAs 5.66 8.16 1.76 15.6 5.83
GaAs 5.66 10.90 1.76 15.6 4.96
InP 5.86 9.50 1.59 14.8 5.08
InAs 6.05 12.30 1.45 14.1 4.20
GaSb 6.10 14.40 1.41 13.9 3.81
InSb 6.47 15.70 1.18 12.8 3.33
ZnSe 5.65 5.90 1.77 15.6 7.06
ZnTe 6.10 7.30 1.41 13.9 5.55
CdTe 6.48 7.20 1.18 12.7 5.11
HgTe 6.48 9.30 1.18 12.7 4.42
3
0
8(atomů)x4(elektrony)
.valN
a

4
Pozoruhodným rysem pásové struktury většiny běžných polovodivých materiálů je podobnost
valenčních pásů. Tento fakt je podkladem pro následující předpověď uspořádání pásů na
rozhraní dvou materiálů: nastavení vrcholu valenčního pásu mezi materiály 1 a 2 vede k
odstupu energií (valenčnímu offsetu) rovnému polovině Pennových gapů,
(13.4)
Tyto hodnoty, spočtené z dat v předchozí tabulce, jsou ve třetím sloupci následující tabulky
pro několik rozhraní mřížkově přizpůsobených heterostruktur. Zároveň uvádíme výsledky
(dosti náročných) výpočtů SCIC (Self-Consistent Interface Calculations) s použitím
pseudopotenciálů a výběr experimentálních dat.
Valenční offsety pro mřížkově přizpůsobené heteropřechody
---------------------------------------------------------
valenční pás Delta Ev * SCIC výběr expt.
níže výše (eV) (eV) (eV)
AlAs GaAs 0.44 0.37 0.42,0.55
InAs GaSb 0.20 0.38 0.51,0.57
GaP Si 0.37 0.61 0.80
GaAs Ge 0.46 0.63 0.56
AlAs Ge 0.90 1.05 0.95
ZnSe Ge 1.51 2.17 1.25,1.52
CdTe Sn 1.22 1.0
ZnSe GaAs 1.05 1.59 1.10
CdTe InSb 0.89 0.87
CdTe HgTe 0.35 0.23 0.12,0.35
Mřížkové přizpůsobení (podobnost mřížkových konstant) je důležitým faktorem ovlivňujícím
kvalitu rozhraní a spolehlivost měření pásových energií. Je vidět, že ani v těchto relativně
jednoduchých případech nejsou experimentální data z různých zdrojů v souladu. Vzhledem k
extrémní jednoduchosti jsou odhady offsetů založené na Pennově gapu překvapivě dobré.
2 1*
( )
.
2
g g
vE
 
 

5
Mřížková konstanta a energie gapu
Trendy v závislosti gapu na mřížkové konstantě (zvážit také závislost na hydrostatickém a
uniaxiálním/biaxiálním tlaku). „Bandstructure engineering“ s ternárními/kvaternárními
sloučeninami.
Obr. 2. Energie gapu a mřížkové konstanty pro vybrané polovodivé krystaly.
Heteroepitaxní růst je relativně snadný pro materiály s blízkou mřížkovou konstantou.
Jednotlivé materiály mají vyznačený přímý nebo nepřímý gap.
Lokalizace nosičů
v jedné dimenzi – dvojrozměrná struktura (2D, kvantová jáma, QW)
ve dvou dimenzích – jednorozměrná struktura (1D, kvantový drát, quantum wire)
ve třech dimenzích – nularozměrná struktura (0D, kvantová tečka, QD)
6
Růst z molekulárních svazků v ultravysokém vakuu
Pionýrská práce
L. Esaki and R. Tsu, IBM J. Res. Develop. 14, 61 (1970).
Obr. 5. MBE schematicky.
7
Jednou z nejdůležitějších metod experimentálního studia lokalizovaných stavů v kvantových
jamách je optická absorpční/ reflexní a emisní spektroskopie.
Obr. 3. Absorpce v kvantových jamách AlGaAs/GaAs/AlGaAs při 4.2 K (Dingle et. al, 1974).
Schematicky je (elektro)luminiscence znázorněna v obr. 4.
Obr. 4. Schéma emise světla při anihilaci excitovaných stavů v kvantové jámě.
-
+
děrový stav
elektronový stav
POLOHA
emitovaný foton - Eg
8
Orientační výpočet stavů v pravoúhlé kvantové jámě
Výpočet jednočásticových stavů v pravoúhlé jámě podle obr. 5 je snadný a instruktivní.
Obr. 5. Profil potenciálu pravoúhlé jámy.
Pro vázané stavy (kvazi)částice s hmotností m* a energií E splníme stacionární
Schroedingerovu rovnici
(13.5)
následujícím způsobem:
(13.6)
Zde musí být
(13.7)
Spojitost vlnové funkce v x=0, a vyžaduje splnění transcendentní rovnice
(13.8)
s bezrozměrnými hodnotami
a x0
U0
potential
0
2 2
* 2
( ) ( ) ( )
2
d
U x x E x
m dx
 
 
   
 

1
( )
3
2 2
( ) pro 0 ;
( ) pro ;
( ) cos( ) sin ( ) pro 0 .
Qx
Q x a
x Ae x
x B e x a
x A Kx B Kx x a



 
 
 
   
* *
2 2
02 2
2 2
( ) , .
m m
Q U E K E  
 
2 2
2( )( )
tan( )
( ) ( )
Qa Ka
Ka
Qa Ka



9
(13.9)
Zde jsme zavedli symbol C pro bezrozměrnou veličinu, kterou by mohl charakterizovat název
„kvantový obsah“ jámy“:
(13.10)
Tato veličina vystupuje v následujících souvislostech energie stavu E a parametrů vlnové
funkce,
(13.11)
Rovnici (13.8) můžeme v této notaci převést na tvar
(13.12)
odkud vyjde, s uvážením prvního ze vztahů (13.11) explicitní závislost veličiny C na relativní
energii E/Uo:
(13.13)
odkud vyjde explicitní závislost veličiny C na relativní energii E/Uo:
(13.14)
* *
2 2 2 2 2 2 2
02 2
2 2
( ) , ( ) ( ) ( ) .
m m
Ka a E Qa U a Ka C Ka    
 
*
02
2
.
m
C a U

2
2
0 0 0
( )
, , 1 .
E Ka E E
Ka C Qa C
U C U U
   
2
2
2 1
tan( ) tan( ) ,
1 2
Ka Ka
C C Ka
Ka C
CKa
C
 
  
 
 
 
  
 
2
2
2 1
tan( ) tan( ) ,
1 2
Ka Ka
C C Ka
Ka C
CKa
C
 
  
 
 
 
  
 
0 01
00
2 1
1
tan .
1 2
E E
U U
C
EE
UU

 
  
 


10
Vzhledem k periodicitě inverzní tangenty můžeme snadno spočíst sérii hodnot C, pro které
mají (vázané) stavy zadanou energii E/Uo ≤ 1:
(13.15)
Počet vázaných stavů je
(13.16)
každá jáma tedy má alespoň jeden vázaný stav a jejich počet se zvětší o jedničku při vzrůstu
hodnoty C o .
Výsledek výpočtu závislosti energie na parametru C je v obr. 6.
Obr. 6. Energie vázaných stavů v kvantové jámě v závislosti na hodnotě parametru C.
0
0
, 0,1,...m
m
C C m
E
U

  
1 int ;
C
n

 
11
Normalizované vlnové funkce tří nejnižších stavů jámy s C=10 jsou znázorněny v obr. 7
(střed symetrie jámy byl v počátku souřadnice x, šířka jámy je a).
Všimneme si symetrie (antisymetrie) vlnových funkcí pro sudé (liché) indexy energiových
pásů.
Obr. 7. Vlnové funkce tří stavů v kvantové jámě.
12
Pro oblíbený systém s jámou GaAs a bariérami AlAs jsou předpověděné lokalizační energie
nakresleny v obr. 8, odděleně pro elektrony (e), těžké (hh) a lehké (lh) díry. Šířka jámy je
vyjádřena v počtu monovrstev (mL), přitom předpokládáme orientaci (100).
Obr. 8. Vlnové funkce tří stavů v kvantové jámě.
Závislost energie nejnižšího (těžkoděrového) přechodu na šířce jámy je v obr. 10 pro různé
rozdělení rozdílu gapů na valenční a vodivostní offset.
Obr.9. Energie nejnižšího přechodu v kvantové jámě.