1. Matematická analýza
(a) Průběh funkce jedné proměnné
i. Vykreslení množiny v IR2
mezi grafy dvou funkcí v kartézských souřadnicích.
Množinu zvýrazněte šrafovaním,
ii. Graf funkce na ,,čtverečkovaném" papíru,
iii. Funkce a fee k ní inverzní, obrázek, explicitní tvar.
iv. Rozklad na parciální zlomky,
v. Geometrický význam derivace funkce (animace),
vi. Tečna ke křivce v daném bodě, daným bodem (obrázek, rovnice),
vii. Newtonova metoda hledání kořenů rovnice f(x) = 0 (graficky, výpočet)
viii. Extrémy funkce,
ix. Inflexní body.
x. Nulové body, asymptoty,
xi. Taylorův polynom (animace).
(b) Integrální počet
i. Určitý integrál (vykreslování horních a dolních součtů, příslušných k dané
funkci a danému dělení zadaného intervalu, výpočet, obrázek),
ii. Délka křivky (v kartézských, polárních souř., parametrické zadání, obrázek).
iii. Objem a povrch tělesa vzniklého rotací křivky kolem osy x (výpočet, obrá­
zek).
iv. Objem a povrch tělesa vzniklého rotací křivky kolem osy y (výpočet, obrá­
zek).
(c) Určování pevného bodu metodou postupných aproximací (výpočet, obrázek).
(d) Nekonečné řady
i. Posloupnosti částečných součtů Procedura vykreslí graf posloupnosti částečných
součtů a její limitu v případě, že existuje. Další procedura vypisuje
zadaný počet prvních členů posloupnosti částečných součtů a její n-tý člen.
ii. Cauchyův součin řad (vypíše zadaný počet prvních členů součinu, n-tý člen
a hodnotu součinu),
iii. Dirichletův součin řad
iv. Kochova křivka (vykreslí n-tou iteraci Kochovy křivky),
v. Sierpinského koberec (vykresluje n-tou iteraci Sierpinského koberce),
vi. Mengerova křivka.
vii. Srovnávací kritérium konvergence číselných řad s nezápornými členy,
viii. Limitní srovnávací kritérium, podílové a odmocninové.
ix. Raabeovo a integrální kritérium.
x. Poloměr konvergence řady funkcí.
1
xi. Fourierovy řady (animace),
(e) Diferenciální počet funkcí více proměnných
i. Vstevnice funkce (animace).
ii. Tečná rovina (rovnice, obrázek).
iii. Tečná rovina ke křivce dané parametricky.
iv. Tečná rovina ke křivce dané implicitně.
v. Grafické znázornění parciálních derivací.
vi. Grafické znázornění směrových derivací,
vii. Extrémy funkce dvou proměnných,
viii. Vázané extrémy.
ix. Tečna ke křivce dané implicitně rovnicí (rovnice, obrázek).
2. Diferenciální rovnice
(a) Řešení Lineární diferenciální rovnice 1. řádu.
(b) Řešení exaktní DR.
(c) Orthogonální trajektorie jednoparametrické soustavy křivek.
(d) Isogonální trajektorie jednoparametrické soustavy křivek.
(e) Řešení LDR 2. řádu s konstantními koeficienty homogenní.
(f) Řešení rovnice nehomogenní metodou variace konstant.
(g) Řešení rovnice nehomogenní metodou neurčitých koeficientů,
(h) Rovnice lineárního oscilátoru, animace.
(i) Matematické kyvadlo.
(j) Geometrické úlohy vedoucí na řešení DR, animace (2x).
3. Geometrie
Pracujte v projektivním rozšíření euklidovské roviny, v homogenních souřadnicích.
(a
(b
(c
(d
(e
(f
(6
Určete rovnici kuželosečky, která je dána body Ai,... ,A5.
Napište proceduru, která určuje matici dané kuželosečky.
Určete poláru bodu P vzhledem ke kuželosečce k.
Určete pól přímky p vzhledem ke kuželosečce k.
Určete tečnu kuželosečky procházející daným bodem.
Najděte střed kuželosečky.
Určete asymptoty kuželosečky.
Určete osy kuželosečky.
2
(i) Určete kanonický tvar rovnice kuželosečky (metodou invariantů, typ kuželosečky)
.
4. Zobrazení v euklidovském prostoru
(a) Klasifikace souměrností v E2
.
(b) Klasifikace souměrností v E3
.
5. Cyklické křivky a spirály
(a) Evolventa kružnice (animace).
(b) Archimedova spirála (animace).
6. Analytická geometrie na střední škole
(a) Rovnice kružnice, procházející danými třemi body, středem a daným bodem.
(b) Určete rovnice tečen vedených z daného bodu ke kružnici, v daném bodě kruž­
nice.
(c) Vzdálenost bodu od přímky v E3
(výpočet, obrázek).
(d) Vzájemná poloha dvou přímek v prostoru.
(e) Vzdálenost dvou přímek v prostoru.
(f) Vzájemná poloha přímky a roviny.
(g) Vzájemná poloha dvou rovin.
(h) Tečná rovina ke kouli rovnoběžná se zadanou rovinou,
(i) Tečná rovina ke kouli procházející zadanou přímkou,
(j) Průnik dvou koulí,
(k) Řezy krychle.
(1) Řezy čtyřbokého jehlanu.
7. Algebra
(a) Určování determinantu.
(b) Určování inverzní matice.
(c) Určení hodnosti matice.
(d) Určení NSD dvou polynomů.
(e) Řešení systému lineárních rovnic Gaussovou eliminací.
8. Střední škola
(a) Vztah mezi souřadnicemi bodu P jednotkové kružnice a funkcí sinus.
3
(b) Vztah mezi souřadnicemi bodu P jednotkové kružnice a funkcí cosinus.
(c) Vztah mezi souřadnicemi bodu P jednotkové kružnice a funkcí tangens.
(d) Vztah mezi souřadnicemi bodu P jednotkové kružnice a funkcí cotangens.
(e) Kružnice trojúhelníku vepsaná a opsaná.
(f) Appoloniovy kružnice.
9. Různé
(a) Maplety.
(b) Maple a program PovRay.
(c) Maple a VRML.
(d) Maple a JavaView.
4