Okruhy Definice. Množina R spolu se dvěma operacemi + a • se nazýva okruh, jestliže platí: ► (/?,+) je komutativní grupa, ► (/?, •) je pologrupa s neutrálním prvkem, ► platí distributivní zákony, tj. pro libovolné prvky a, b, c g R je a • (b + c) = a • b + a • c, (b + c)-a = b- a + c- a (užíváme obvyklou konvenci o tom, že násobení má přednost před sčítáním). Příklady. (Z, +, ■), (Q, +, •), (R, +, •), (C, +, •) jsou okruhy. Pro libovolné m g N je (Zm, +, •) okruh. Množina všech čtvercových matic Mn^n(R), kde R značí Z, Q, ffi. nebo C a r? g N, tvoří okruh (Mnjn(R), +, •)■ Množina všech polynomů /?[x], kde /? značí Z, Q, ffi. nebo C, tvoří okruh (/?[x],+, •)■ Příklad. (N, +, •) okruhem není. Okruhy Definice. (/?, +, •) je okruh, jestliže: ► (/?,+) je komutativní grupa, ► (/?, •) je pologrupa s neutrálním prvkem, ► platí distributivní zákony, tj. pro libovolné prvky a, b, c g R je a • (b + c) = a • b + a • c, (b + c) • a = b • a + c • a. Označení. Neutrální prvek grupy (/?,+) značíme 0 a nazýváme nula okruhu R, zatímco neutrální prvek pologrupy (/?, •) značíme 1 a nazýváme jednička okruhu R. Inverzní prvek k prvku a g /? v grupě (/?, +) se nazývá opačný prvek, značíme —a. Symbolem a — b rozumíme a + (—b). Mocninu prvku a g /? v grupě (/?,+) nazýváme násobek prvku a značíme na pro libovolné r? g Z. Součet a± + — - + an prvků okruhu R lze stručně zapsat X)ľ=i a'- Základní vlastnosti okruhů Definice. Okruh (/?,+,•) se nazývá triviální, má-li R jediný prvek. Věta. Necht R je okruh. Pak platí ► Va G R : 3-0 = 0- 3 = 0, ► ya.be R: (-3) • b = 3 • (-b) = -(3 • b), ► Va, t, c G /? : 3 • (b — c) = 3 • b — 3 • c, (b — c) • a = b • 3 — c • 3, ► Vr?, m e N Vai,..., 3„, bi,..., bm G /? : (*i + • • • + *„) • (61 + • • • + bm) = Eľ=i EjLi 3i ■ bJ' ► Vr?, m e Z Va, b * b — c. [věta 1.10, str. 59] Definice. Nechť R je okruh. Invertibilní prvek pologrupy (/?,•) se nazývá jednotka okruhu R. Množinu všech jednotek okruhu R značíme Rx. Poznámka. Nezaměňujte pojmy jednička a jednotka okruhu. Okruh má jedinou jedničku, kdežto jednotek může mít více. Vždy je jednička jednotkou. Okruhy s jedinou jednotkou jsou výjimečné (například okruh Z2). Nezaměňujte R* a Rx. Uvědomte si, že nové označení je v souladu s užívaným Z*. Tělesa R* = R — {0} ... množina nenulových prvků okruhu R, Rx = {a g R; 3b g R : a • b = b • a = 1} ... množina invertibilních prvků pologrupy (/?,•)■ Vgŕa. A/ecbŕ /? je oW?. Pak (/?x, •) je grupa. [[Věta 4.7, str. 25] je užita pro pologrupu (/?, •).] Definice. Netriviální komutativní okruh R se nazývá těleso, pokud je každý jeho nenulový prvek jednotkou. Věta. Netriviální komutativní okruh R je těleso, právě když R* = Rx, tedy právě když (/?*, •) je grupa, [věta í.u, str. eo] Důsledek. Každé těleso je oborem integrity, [věta 1.13, str. eo] Příklad. Okruh celých čísel Zje oborem integrity, který není tělesem. Věta. Každý konečný obor integrity je tělesem, [věta 1.17, str. ei] Věta. Okruh zbytkových tříd Zm je oborem integrity právě když je tělesem, což nastane právě když m je prvočíslo, [věta í.ie, str. ei] Charakteristika okruhu Poznámka. Připomeňme, že v okruhu R pro libovolné a g R, r? £ N je na = a + a + • • • + a. Protože jedničku a nulu okruhu R •v-' r? značíme 1 a 0, v následující definici je rovností nl = 0 nutno rozumět, že v okruhu R platí 1 + 1 + -- - + 1 = 0. -' n Definice. Nechť R je okruh. Nejmenší přirozené číslo n takové, že nl = 0, se nazývá charakteristika okruhu R. Pokud takové n neexistuje (tedy pro všechna k £ N platí kl ^ 0), řekneme, že charakteristika okruhu R je nula. Označení. Charakteristiku okruhu R značíme char R. Príklady, char Z = char Q = char IR = char C = 0, charZm = m. Věta. Nechť R je okruh, m = char R. Pak pro každé a g R platí ma = 0. [Věta 2.4, str. 62] Věta. Necht R je obor integrity, pak char R je buď 0, nebo prVOČÍslO. [Věta 2.5, str. 62] Charakteristika okruhu Definice. Necht R je okruh. Nejmenší přirozené číslo n takové, že nl = 0, se nazýva charakteristika okruhu R. Pokud takové n neexistuje (tedy pro všechna k g N platí kl ^ 0), řekneme, že charakteristika okruhu R je nula. Charakteristiku okruhu R značíme char R. Věta. Necht R je obor integrity. Pak pro libovolný a g R* platí: ► pokud char R = 0, pak pro každé k g N je ka ^ 0; ► pokud char R — p > 0, pak řád prvku a v grupě (/?, +) je p. [Věta 2.6, str. 62] Důsledek. Je-li R obor integrity, pak všechny nenulové prvky grupy (/?,+) mají stejný řád. Důsledek. Je-li R konečné těleso, p = char R, pak grupa (/?, +) je izomorfní s grupou (Zp, +) x • • • x (Zp, +), počet p/v/ců konečného tělesa R je tedy mocninou jeho prvočíselné Charakteristiky p. [Poznámka 2.8, str. 62] Homomorfismus okruhů Definice. Nechť (/?, +, •) a (S, +, •) jsou okruhy, f : R —> S zobrazení. Řekneme, že f je homomorfismus okruhu R do okruhu S, jestliže ► pro každé a, b g R platí f (a + b) = f (a) + ► pro každé a,b e R platí f (a • b) = f (a) • ► ŕ(l) = l. Injektivnŕ homomorfismus se nazýva vnoření, bijektivní izomorfismus. O okruzích R, S řekneme, že jsou izomorfní, píšeme R = S, existuje-li alespoň jeden izomorfismus R —> S. Příklad. Pro libovolné m e N je zobrazení tt : Z —>> Zm, určené předpisem 7ľ(a) = [a]m pro libovolné a g Z, homomorfismus okruhu (Z, +, •) celých čísel do okruhu (Zm, +, •) zbytkových tříd modulo m. Věta. Jsou-li f \ R —> S a g \ S —> T homomorfismy okruhu, pak také g o f : R —> T je homomorfismem okruhu, [veta 4.4, str. 73] Homomorfismus okruhů, jeho jádro Věta. Necht f : R —> S je izomorfismus okruhu. Pak i inverzní zobrazení f ~ľ : S —> R je izomorfismus okruhu, [veta 4.5, str. 73] Důsledek. Pro libovolné okruhy R, S, T platí: R^ R; z R^ S plyne S = R; a konečně zR^SaS=T plyne R^ T. Poznámka. Zapomeneme-li v okruhu R, jak se násobí, zůstane nám aditivní grupa (/?, +). Každý homomorfismus okruhů f : R —> S je také homomorfismem aditivních grup, je tedy f(0) = 0, pro každé a E R platí f{—a) — — f (a), a máme jeho jádro: Definice. Necht f : R —>> S je homomorfismus okruhů. Množina ker f = {a g /?; f (a) = 0} se nazývá jádro homomorfismu f. Věta. Homomorfismus okruhu f : /? —> S je injektivní, právě když ker f — {0}. [Věta 4.9, str. 74] Př/ft/ac/. Zobrazení f : C -> M2,2(R). kde f (a + b/) = ( _^ ^ pro libovolné a, b £ IR, je vnoření tělesa C komplexních čísel do okruhu M2?2(K) matic typu 2x2. Binomická věta Věta (binomická). Necht R je komutativní okruh, pak pro každé a, b e R a každé n e N platí ;=o ^'' kde g) = (n_Hjyj\ značí obvyklý binomický koeficient. Důkaz, indukcí vůči n: I. krok: prípad n = 1 je zřejmý. II. krok: předpokládejme, že pro nějaké n g N už bylo dokázáno, dokážeme tvrzení pro n + 1. Víme tedy (a + b)" = a" + g) a""1 - b + g) a""2 - b2 + • • - + (/J a • b""1 + b" Vynásobením (užíváme komutativitu okruhu) (a+Ď)" • a = a"+1 + (J) a" • b+ g) a""1 • Ď2 + • • • + Q a ■ b", (a+b)n-b= (nQ)an-b+(n1)an-1-b2 + ---+(nn_1)a-bn + bn+1. Sečtením a užitím + (") = ("Í) dostaneme (a + b)n+1 = což se mělo dokázat. Umocnění na charakteristiku v oboru integrity Věta. Pro libovolné prvočíslo p a libovolné /'e{l,2,...,p — 1} platí p | (?). Důkaz. Platí p | p! = (?) • /'! • (p - /')!. Současně p f /'! • (p - /')! Vera. Necht R je obor integrity charakteristiky char R = p > 0. Pa/c pro každé a, b E R platí (a + b)p = ap + bp. [Věta 2.9, str. 62] Důsledek. Necht R je obor integrity charakteristiky char R = p > 0. Pak zobrazení f : /? —>► R, kde f (r) = rp, je injektivní homomorfismus okruhu. Podokruh okruhu Definice. Nechť (/?, +, •) je okruh, H podmnožina množiny R. Řekneme, že H je podokruh okruhu /?, jestliže ► 0,1gW, ► pro každé a g H platí —a g H, ► pro každé a, b g H platí a + b, a • b g H. Poznámka. Největším podokruhem okruhu /? (vzhledem k c) je celý okruh R, nejmenším podokruhem je {r?l; n g Z}. Věta. Nechť H je podokruh okruhu (/?, +, •). Pak + a • určují operace na množině H, přičemž H je okruh vzhledem k těmto operacem. Je-li okruh R komutativní, pak je i okruh H komutativní. Je-li R obor integrity, pak je i H obor integrity, [veta 3.2, str. 66] Důsledek. Každý podokruh tělesa je oborem integrity. Příklad. Podokruh tělesa nemusí být těleso: vždyť Zje podokruhem Q. Věta. Jestliže H je podokruh okruhu R a K je podokruh okruhu H, pak je K také podokruh okruhu R. [Zřejmé, vždyť operace + a • se v okruhu H počítají jako v R.] Podokruh okruhu generovaný podmnožinou okruhu Věta. Necht R je okruh, I neprázdná množina taková, že pro každé i G / je dán podokruh H\ okruhu R. Pak průnik H/e/ všech těchto podokruhů je opět podokruhem okruhu R. Definice. Nechť M je podmnožina okruhu R. Symbolem (M) označíme průnik všech podokruhů okruhu R, jejichž podmnožinou je množina M. Podle předchozí věty je (M) podokruhem okruhu R obsahující množinu M; evidentně je nejmenší s touto vlastností. Podokruh (M) nazýváme podokruh generovaný množinou M, množinu M nazýváme množina generátorů podokruhů (M). Poznámka. Zřejmě (R) = R, (0) = {nl\ n G Z}. Označení. Je-li M = H U {a}, kde H je podokruh okruhu R a a G R, píšeme též H[a] místo (M). Věta. Necht H je podokruh komutativního okruhu R a a G R. Pak H[a] = {h0 + hxa + h2a2 + ••• + hnan\ n G N, h0, hľ,..., hn G H}. [Věta 3.12, str. 71] Součin okruhů Věta. Necht (/?, +, •) a (S, +, •) jsou okruhy. Definujme na kartézském součinu R x S nové operace + a • po složkách, tj. + (r2,s2) = (ri + r2jsi + s2), (l,si) • (r2,s2) = (ri • r2jsi • s2) pro libovolné ri, r2 G /? a si, s2 e S. Pa/c (/? x S, +, •) je o/cri//7 s nulou (0,0) a jedničkou (1,1). A/awc p/atf (/? x S)x =/?xxSx [Ověření je zdlouhavé, ale snadné: všechny axiomy okruhu jsou v R X S splněny protože se operace počítají po složkách a v obou složkách tyto axiomy platí, protože jsou R a S okruhy] Definice. Výše popsaný okruh (/? x S, +, •) se nazývá součin okruhů (/?, +, •) a (S, +, •). Zobrazení pi : RxS^Ra p2 : /? x S —>> S určená předpisy pi((r, s)) = r, p2((r,s)) = s pro libovolné (r,s)e/?xS se nazývají projekce (ze součinu). Věta. Nechť (R x S, +, •) je součin okruhů (/?, +, •) a (S, +, •). Pa/c obě projekce p\ a p2 jsol/ surjektivní homomorfismy okruhů. [Zřejmé, protože se operace počítají po složkách.] řnská zbytková věta Věta (Čínská zbytková). Necht m, n £ N a zobrazení f : Zmn 4ZmxZn je určeno předpisem f{[a]mn) = ([a]m, [a]n) pro libovolné a Q{R), k(a) = # pro každé a G R. Příklad. • 7" ta/covy, že f o k = f. Příklad. = {x + / • y; x, y G Z} je obor integrity, inkluze dává jeho vnoření do C, tj. máme injektivní homomorfismus f : Z[i] -)■ C, kde f (a) = a pro o G Z[/']. Proto (?(Z[/']) ^ {a ■ p-1; a, f3 G Z[/], /3 ^ 0} = {x + / • y; x,y G Q} = Q[/]. Příklad. Podobně (^(Zfy7/?]) = Qfy7/?] pro libovolné prvočíslo p. R [Věta 4.19, str. 77] Dělitelnost v komutativních okruzích Definice. Necht R je komutativní okruh, a, b £ /?. Řekneme, že prvek b dělí prvek a, neboli že prvek a je dělitelný prvkem b, píšeme b | a, jestliže existuje prvek q £ /? takový, ze a — q - b. V opačném případě říkáme, že prvek b nedělí prvek a, neboli že prvek a není dělitelný prvkem b, píšeme b\ a. \/eŕa. Necht R je komutativní okruh, pak platí ► Va £ /? : 1 a, a a; ► Va, b, c e R \ a b, b c = > a ► Va, b, c e R: a b, a c = > a c; b+c; ► Va e R : a e Rx a 1; b E R x ► Va,be /?: ae /?x, b ► Va, b e /? : a e Rx =4> a [Věta 2.11, str. 63] Důsledek. Necht R je komutativní okruh, ai,..., an, b e /?, ui,..., un E R libovolné. Jestliže b | a/ pro každé i — 1,..., r?, pa/c Dělitelnost v komutativních okruzích Definice. Necht R je komutativní okruh, a, b g R. Řekneme, že prvky a, b jsou asociované, píšeme a ~ b, jestliže a | b a současně b | a. \/eŕa. Necht R je komutativní okruh. Relace asociovanosti ~ je relací ekvivalence na množině R. [věta 2.13, str. 63] Věta. Nechť R je obor integrity, a, b g R. Pak platí a ~ b, právě když existuje jednotka c g Rx tak, že a — c - b. [věta 2.15, str. 64] Definice. Nechť R je komutativní okruh, a, b g R. Libovolný prvek cg/? splňující c I a, c I b, se nazývá společný dělitel prvků a, b. Libovolný prvek d g R se nazývá největší společný dělitel prvků a, b, jestliže ► d I a, cf I b, ► Vc g /? : c I a, c I b =4> c | d. Tedy největší společný dělitel prvků a, b je takový jejich společný dělitel, který je dělitelný každým jejich společným dělitelem. Dělitelnost v komutativních okruzích Definice. Nechť R je komutativní okruh, a, b g R. Libovolný prvek cg/? splňující a | c, b | c, se nazývá společný násobek prvků a, b. Libovolný prvek d g /? se nazývá nejmenší společný násobek prvků a, b, jestliže ► a | d, b | c/, ► V c g /? : a I c, b I c =4> c/ | c. Tedy nejmenší společný násobek prvků a, b je takový jejich společný násobek, který dělí každý jejich společný násobek. Poznámka. Předchozí definice mírně pozměňují dříve definované pojmy „největší společný dělitel" a „nejmenší společný násobek" v Z. Definovali jsme je totiž pomocí uspořádání podle velikosti, které v obecném okruhu nemáme k dispozici. Dále budeme tyto pojmy používat podle nové definice, avšak zavedené označení (m. n) a [m. n] ponecháme. Tedy (m. n) značí nezáporný největší společný dělitel čísel m, n g Z. Podobně [m, n] značí jejich nezáporný nejmenší společný násobek. Dělitelnost v komutativních okruzích Věta. Nechť R je komutativní okruh, a, b G R. Největší společný dělitel prvků a, b, pokud existuje, je určen jednoznačně až na asociovanost. Také nej menší společný násobek prvků a, b, pokud existuje, je určen jednoznačně až na asociovanost. [věta 2.17, str. 64] Definice. Necht R je obor integrity, a G R. Řekneme, že a je ireducibilní prvek okruhu /?, jestliže a 7^ 0, a ^ Rx a pro každé b, c G R takové, že a = b • c, platí bG/?xac~a anebo c G /?x a b ~ a. Příklad. Ireducibilními prvky okruhu Z jsou právě prvočísla a čísla k nim opačná. Příklad. Je-li 7" těleso, pak v T neexistují žádné ireducibilní prvky. Věta. Necht R je obor integrity, a, b G R. Je-li a ireducibilní prvek okruhu R a b ~ a, pak je také b ireducibilní. Důkaz. Víme, že existuje jednotka e G Rx, že a = e • b. Zřejmě b 7^ 0, b £ Rx. Pro každé x, y G /?, b = x • y, je a = (e • x) • y. Okruhy s jednoznačným rozkladem Definice. Řekneme, že R je okruh s jednoznačným rozkladem, jestliže ► R je obor integrity, ► každé a G R, a ^ 0, a ^ Rx, lze rozložit na součin několika ireducibilních prvků, přičemž tento součin je jednoznačný až na pořadí a asociovanost. Příklad. Víme, že Zje okruh s jednoznačným rozkladem (například rozklady 6 = 2- 3 = 3- 2 = (-2) • (-3) = (-3) • (-2) se liší jen pořadím a asociovaností). Příklad. Každé těleso je okruh s jednoznačným rozkladem, neboť neobsahuje žádný prvek, který by byl nenulový a nebyl jednotka. Příklad. V okruhu Z[/] je možné dokázat větu o dělení se zbytkem (aby se dalo říct, že zbytek je „menší" než číslo, kterým se dělilo, je třeba nějak měřit velikost zbytku; v tomto případě to lze udělat pomocí absolutní hodnoty), [veta 3.4, str. 67] Stejnou úvahou jako v Z, tedy pomocí Euklidova algoritmu a Bezoutovy rovnosti lze pak ukázat, že Zf/1 je okruh s jednoznačným rozkladem. Příklad Nechť R = Z[iy/5] = {a + biVŠ; a, b e Z}. Pak R je obor integrity, protože je podokruhem C. Definujme zobrazení N : R —> Z takto: pro libovolné a = a + bi\/5 klademe A/(a) = \a\2 = a2 + 5b2. Jestliže f3 \ a v R, existuje 7 G R tak, že a = /3 ■ 7, a tedy A/(«) = |/3 • 7|2 = \f3\2 ■ |7|2 = N{P) ■ A/(7), tudíž A/(/3) | N(a) v Z. Je-li a = a + biVŠ e Rx, pak a | 1 v R, a proto A/(o) | A/(l) = 1. Odtud a2 + 5b2 = 1, proto b = 0, a = ±1. Je tedy /?x = {1, -1}. Platí 6 = 2 • 3 = (1 + /'v5)(l — 'v5), přitom tito všichni čtyři činitelé jsou ireducibilními prvky okruhu R. Je totiž A/(2) = 4, A/(3) = 9, A/(l + /-y/5) = A/(l - /'VŠ) = 6. Kdyby například 1 + iy/5 = 7 • S pro nějaké 7,6 £ R - Rx, platilo by A/(7) > 1, A/(5) > 1, A/(7) • A/(5) = 6. Proto A/(7) e {2,3}, což je spor, protože rovnice x + 5y2 = 2 a x2 + 5y2 = 3 nemají řešení v Z. Jsou tedy 2 • 3 = (1 + /VŠ)(1 - iy/Š) součiny ireducibilních prvků lišící se více než poradím a asociovaností, proto R není okruh s jednoznačným rozkladem. Pokračovaní příkladu Označme a = (1 + /VŠ)2 = 2(-2 + /'VŠ), /3 = 2(1 + /VŠ) a ukažme sporem, že a, (3 nemají největší společný dělitel v R. Předpokládejme tedy, že 7 = x + yi^/b je největší společný dělitel čísel a, (3. Pak platí 7 | a, 7 | (3 v /?, a tedy A/(7) | A/(a) = 36, A/(7) I A/(/3) = 24 v Z, tedy A/(7) | 12. Na druhou stranu 2 a 1 + jsou společní dělitelé čísel a, /3, a tedy 2 I 7 a 1 + / VŠ | 7 v /?, a tedy 4 = A/(2) | N{^) a 6 = A/(l + / VŠ) I A/(7) v Z, tedy 12 | A/(7). Dohromady 12 = N{^) — x2 + by2. Taková x,y £ Z však neexistují. Proto a, (3 nemají největší společný dělitel v R. Polynomy nad libovolným okruhem R Poznámka. Abychom nemuseli definovat, co je to výraz a kdy jsou si dva výrazy rovny, nezavedeme polynom jako výraz určitého tvaru, ale pomocí posloupnosti koeficientů. To lze udělat nad libovolným okruhem R. Definice. Nechť R je okruh. Polynomem nad okruhem R rozumíme nekonečnou posloupnost f = (ŕo, fi, • • •), kde f j E R pro každé / = 0,1, 2,... a platí, že množina {/ e N U {0}; f; ^ 0} je konečná. Prvky ŕo, fi, ŕ?,... nazýváme koeficienty polynomu f. Množinu všech polynomů nad okruhem R označujeme symbolem R[x\. Dohoda. Koeficienty polynomu f budeme automaticky označovat symboly /b, ŕi, ... . Věta. Necht R je okruh. Na množině R[x] definujeme operace +, • vztahy (f + g)i = fi+ gh (f ' g)i = EUo fkgi-k pro každé f,g G R[x], i G Z, / > 0. Pak (/?[x], +, •) je okruh. Je-li R komutativní, pak R[x] je také komutativní, [věta 5.2, str. 78] Polynomy nad libovolným okruhem R Definice. Okruh R[x] se nazývá okruh polynomů nad okruhem R. Věta. Necht R je okruh. Zobrazení k : R —>> R[x] určené předpisem k(a) — (a, 0, 0,...) je vnoření, [veta 5.4, str. 79] Ztotožnění. Polynomy tvaru (a, 0,0,...) se nazývají konstatntní. Předchozí věta nám umožňuje ztotožnit a £ R s konstantním polynomem (a, 0, 0,...). Tím se okruh R stává podokruhem okruhu R[x\. Polynom 0 = (0, 0, 0,...) se nazývá nulový, ostatní polynomy se nazývají nenulové. Definice. Nechť ŕ je nenulový polynom nad okruhem R. Největší n > 0 takové, že fn 7^ 0, se nazývá stupeň polynomu f', značíme st(r). (Takové n existuje, vždyť množina {/ e N U {0}; f; 7^ 0} je konečná.) Koeficient fn se pak nazývá vedoucí koeficient polynomu f. Stupeň nulového polynomu klademe roven — 00, jeho vedoucí koeficient nedefinujeme. Příklad. Polynomy stupně 0 jsou právě nenulové konstantní polynomy. Polynomy nad libovolným okruhem R Definice. Polynomy stupně 1 se nazývají lineární, polynomy stupně 2 kvadratické, polynomy stupně 3 kubické. Lineární polynom (0,1, 0, 0,...) budeme označovat symbolem x. Příklad. Zřejmě x2 = (0,0,1,0,0,...), x3 = (0,0,0,1,0,...) atd. Věta. Nechť R je okruh a ŕ G R[x] nenulový polynom stupně n. Pak platí f = fn • xn + • • • + f\ • x + ŕo, kde koeficienty f\ polynomu f chápeme jako konstantní polynomy a operace + a • jsou operace V Okruhu R[x] . [Věta 5.8, str. 80] Poznámka. Přestože jsme polynomy nedefinovali jako výrazy, předchozí věta nám umožňuje s nimi tak pracovat. Dohoda. V následující větě budeme potřebovat tyto vztahy pro počítání s nekonečnem: —oc < n, (—oc) + (—oc) = (—oc) + n = n + (—oc) = —oc pro libovolné n G Z, n > 0. Polynomy nad libovolným okruhem R Věta. Nechť R je okruh a f,g £ R[x]. Pak platí ► st(f + g) < max{st(r),st(s)}, ► st(f -g) n a že pro polynomy stupně menšího než m již bylo dokázáno. Polynom g • a"1 • bm • xm_n má stejný stupeň i vedoucí koeficient jako f, proto pro polynom h = f — g • a"1 • bm • xm_n platí st(h) < m. Z indukčního předpokladu existují p, r G /?[x] tak, že st(r) < st(g-) a platí h = g - p + r. Pak dosazením a úpravou dostaneme f = g ■ a"1 • bm ■ xm~" + h = g- (a"1 • bm ■ xm~" + p) + r. Stačí označit q = a"1 • bm ■ xm~n + p. Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Necht R je okruh, f,g 0, odkud plyne k < st(ŕ). Proto nenulový polynom nemůže být dělitelný každou mocninou polynomu x — c a předchozí definice jednoznačně určuje násobnost každého kořene libovolného nenulového polynomu nad komutativním okruhem. Příklad. Kvadratický polynom x2 — [1]q G Zq[x] má čtyři jednoduché kořeny [—l]si [3]s, [—3]s- Počet kořenů polynomu nad oborem integrity Věta. Necht R je obor integrity, f £ R[x], f ^ 0. Polynom f má nejvýše st (ŕ) kořenů v R, počítáno i s násobností. Přesněji: součet násobností všech kořenů polynomu f v R je menší nebo roven st(r) Důkaz. Nechť ci,..., cs jsou různé kořeny polynomu f v R, nechť k\ je násobnost kořene q. Pak (x — q)ki | f v R[x]. Označme K podílové těleso oboru integrity R, tedy R je podokruhem tělesa K. Pak (x — q)ki | f v K[x]. Přitom x — ci, ..., x — cs jsou různé normované ireducibilní polynomy v K[x]. Rozložíme-li f na součin vedoucího koeficientu f a normovaných ireducibilních polynomů v K[x], z jednoznačnosti rozkladu plyne, že se mezi nimi polynom x — q objeví alespoň /c,-krát pro každé / = 1,..., s. Proto ri/=i(x - ci)ki I f- Protože K je těleso, platí J21=i ki < st(r)- Konečná podgrupa multiplikativní grupy tělesa Známe následující pojem a větu z teorie grup: Definice. Necht G je konečná grupa. Nejmenší e G N takové, že pro každé a G G platí ae = 1, se nazývá exponent grupy G. Věta. Necht G je konečná komutativní grupa. Pak exponent grupy G je roven největšímu z řádů všech prvků grupy G. Věta. Necht K je těleso, G je konečná podgrupa multiplikativní grupy (/<*,•). Pak G je cyklická grupa. Důkaz. Označme e exponent grupy G a n = \ G\ její řád. Podle připomenuté věty existuje g G G, jehož řád je e. Pak z Lagrangeovy věty e | n. Každý prvek grupy G je kořenem polynomu xe — 1, a tedy n < st(xe — 1) = e, proto n — e. Tedy g) C G mají obě n prvků, tj. G — (g) je cyklická. Důsledek. Necht R je konečné těleso, pak je jeho multiplikativní grupa (R*r) cyklická. Důsledek. Pro libovolné prvočíslo p je grupa (Z* •) cyklická. Derivace polynomu Definice. Nechť R je okruh, f = anxn + • • • + a2x2 + a\x + ao polynom z R[x\. Derivací polynomu f rozumíme polynom ff = nanxn-ľ H-----h 2a2x + aľ. Poznámka. V tělese reálných čísel máme pojem limity, který v obecném okruhu není k dispozici. Proto jsme pojem derivace polynomu nemohli definovat limitou, ale jen uvedeným vzorcem, v němž například nan znamená r?-násobek prvku an (tedy součet n kopií prvku an v grupě (/?, +)). Věta. Necht R je okruh, f,g e R[x]f c G R, n G N. Pak platí ► {f'gy = f'g + f'g', ► ((X — C)n)' — r?(x — C)""1. [Věta 6.15, str. 89] Označení. Druhou derivaci polynomu f značíme f" — {f')', třetí f111 — (ŕ77)7 atd. Obecně pro k G N pak /c-tou derivaci polynomu f značíme fW = (ŕ^"1))'. Je tedy f^ = ŕ7, ŕ(2) = ŕ", atd. Souvislost derivace polynomu s násobností kořenů Věta. Necht R je komutativní okruh, f E R[x], c E R, k EN. Jestliže c je alespoň k-násobným kořenem polynomu f, pak je c kořenem polynomů ff, f,f, ..., f(k~ľ\ Důkaz. Existuje tedy g E R[x] tak, že f = (x — c)k • g, odkud f = k{x - c)k-ľg + (x - c) V = (x - c)k-\kg + (x - c) • g'). Odtud věta plyne indukcí vůči k. Poznámka. Předchozí věta se užívá při hledání vícenásobných kořenů daného polynomu f E R[x], kde R je těleso. Takový kořen je také kořenem derivace f, a tedy i největšího společného dělitele (ŕ, f). Věta. Necht R je těleso, f E R[x], c E R, k E N. Předpokládejme, že char R = 0 nebo char R > k. Pak c je k-násobným kořenem polynomu f, právě když je c kořenem polynomů f, f, f", ..., f(k-i) a nenf kořenem polynomu f^k\ Příklad. Předpoklad o charakteristice je nezbytný. Například pro R — Z2 polynom f — x2 E ^[x] má kořen [0)2 násobnosti 2. Přitom ľ = 2[l]2x = 0, a tedy f{k\[0]2) = 0 pro každé k EN. Poznámka. Jev pozorovaný v předchozím příkladě platí obecněji: je-li char R = p > 0, pak pro každé f G R[x] platí = 0. Věta. Necht R je těleso, f G R[x], c G R, k G N. Předpokládejme, že char /? = 0 r?ebo char R > k. Pak c je k-násobným kořenem polynomu f, právě když je c kořenem polynomů f, f, f", ..., f(k-i) a nenf kořenem polynomu f^k\ Důkaz. Existuje tedy g G R[x] tak, že f = (x — c)k • g, přičemž (x — c) { g. Pak ŕ7 = (x — c)k~1{kg + (x — c) • g7). Předpokládejme, že (x — c)^ | ŕ7, pak z jednoznačnosti rozkladu plyne (x — c) | kg, existuje tedy h G R[x] tak, že /cg" = (x — c) • b, odkud g = (x — c) • (/cl)_1 • b, kde jsme využili předpokladu o charakteristice R zaručujícího kl ^ 0. Tedy (x — c) | g", spor. Tedy c je (/c — l)-násobný kořen f, je-li /c > 1, resp. c není kořenem ŕ7, je-li k — 1. Odtud indukcí vůči /c dostáváme, že c je kořenem polynomů f, ff, f,f, ..., f(k~ľ\ ale ne polynomu fM. „<^" Označme n násobnost kořene c polynomu f. Podle předchozí věty je c kořenem polynomů ŕ, ff, f,f, ... , Z^"-1). Proto n < k, a v případě char R ^ 0 platí char R > n. Můžeme tedy užít výše dokázaný směr, z něhož porovnáním plyne n — k. Polynomy nad C Věta (Základní věta algebry). Každý nekonstantní polynom f G C [x] má v C kořen, [věta 7.2, str. 93] Definice. Těleso R se nazýva algebraicky uzavřené, jestliže každý nekonstantní polynom f G R[x] má v R kořen. Příklad. Tělesa IR a Q nejsou algebraicky uzavřená, žádné konečné těleso není algebraicky uzavřené (je-li R = {ri,..., rn}, pak (x — ri) • ... • (x — rn) + 1 nemá v R kořen). Poznámka. Základní větu algebry lze tedy formulovat takto: C je algebraicky uzavřené těleso. Důsledek. Pro libovolný polynom f G C[x] platí: f je ireducibilní nad C, právě když je f lineární. Důsledek. Nechť f G C[x] je normovaný polynom, st(ŕ) = n > 1. Pak existují ci,..., cn G C tak, že f = (x — ci) • ... • (x — cn). Tento rozklad je navíc jednoznačný až na pořadí činitelů. Polynomy nad C - Viětovy vztahy Důsledek (Viěte). Necht f = xn + an_ixn_1 + • • • + aix + ao G C[x] je normovaný polynom, n > 1, ci,..., cn G C jeho kořeny (každý uveden tolikrát, kolik je jeho násobnost). Pak platí — 3n-l = Cl + • • • + C„, a„_2 = C1C2 + C1C3 H-----h cicn + C2C3 H-----h cn_icn, ( 1) ^n—k ^ ^ Qi Q2 • • • Q/f j l<#i<--- • • + a\x + ao G Z [x] je , seN, (r, s) = 1, taková, s ► r ► s pro každé m G Z platí (sm — r) | f(/7?) Dú/caz. 0 = s" • f(§) = a„r" + a^r^s + • • • + airs"'1 + a0sn. Proto r | aosn, což díky (r, s) = 1 dává r | ao-Podobně s | a^r", což díky (r, s) = 1 dává s | an. Označme d = sm — r, pak r = sm — d, dosazením an{sm- d)n + an-i{sm- d)n~ľs-\-----haľ(sm- d)sn~ľ + a0sn = 0 Užitím binomické věty a vynecháním všech sčítanců dělitelných d dostaneme d | an(sm)n + an_i(srn)n_1s + • • • + ai(sm)sn + aosn = f(m) • sn Každé prvočíslo dělící současně d i s musí dělit také r. Ovšem takové prvočíslo neexistuje, tedy (c/, s) = 1. Proto d | f(m). Polynomy nad Z - hledání racionálních kořenů Poznámka. Předchozí větu používáme pro nalezení všech racionálních kořenů daného polynomu s celočíselnými koeficienty a nenulovým absolutním členem: první dvě podmínky totiž dávají jen konečně mnoho možných hodnot pro r, s. Pro každou z možných dvojic r,s lze zjistit dosazením, zda ^ je kořenem f. V případě velkého počtu dvojic je možné některé dvojice eliminovat třetí podmínkou, například testovat, zda platí (s + r) \ f(—1) a (s-r)\f(l). Polynomy nad Z Definice. Nechť f = anxn + an-\xn~x + • • • + aix + ao G Z[x] je nenulový. Řekneme, že ŕ je primitivní, jestliže jeho koeficienty jsou nesoudělné, tj. (ao, ai,..., an) = 1. Věra fGai/ssovo lemma). Součin libovolných dvou primitivních polynomů je primitivní polynom. Důkaz sporem. Přepokládejme, že f,g> Zp[x] určené předpisem a(a„xn + an_ixn_1 H-----h aix + a0) = = Mpx" + [a^ilpx"-1 + • • • + [ai]px + [a0]p pro libovolné ao, ai,..., a„ e Z (tedy každý koeficient je nahrazen odpovídající zbytkovou třídou) je homomorfismus okruhů. Pak a(f) 7^ 0, a(g) 7^ 0, a(f) • a(g) — a(f • g) — 0, což je spor s tím, že Zp je těleso, a tedy Zp[x] je obor integrity. Polynomy nad Z - ireducibilita Věta (Gauss). Libovolný polynom f £ Z[x] je ireducibilní nad Z, právě když je ireducibilní nad Q. Důkaz. Tvrzení je zřejmé pro konstantní polynom f, který není ireducibilní ani nad Z ani nad Q. Nechť je tedy f nekonstantní. Jestliže f není ireducibilní nad Z, je možné jej psát jako součin dvou nekonstantníchch polynomů v Z[x]. Tyto polynomy jsou i z Q[x], a tedy f není ireducibilní nad Q. Předpokládejme tedy naopak, že f není ireducibilní nad Q. Pak tedy f = g • h pro vhodné nekonstantní polynomy f,g 0 a ŕ je nekonstantní. Existují tedy nekonstantní polynomy g, h G Z[x] tak, ze f — g - h. Opět užijme homomorfismus okruhů a : Z[x] —> Zp[x] určený předpisem a(bnxn + bn-xx"'1 + • • • + bix + b0) = = [bn]pxn + [Ďn-llpX"-1 + • • • + [bľ]px + [bo\p pro libovolné £>o, bi,..., bn G Z. Pak z prvního předpokladu plyne, ■v ze a(g-) • a(h) = • /)) = a{f) = Mpx" je asociované s polynomem xn, neboť p \ an. Přitom Zp[x] je okruh s jednoznačným rozkladem, proto ct(g) i a(h) jsou asociované s mocninami polynomu x. A protože jsou nekonstantní, musí být absolutní členy obou polynomů g i h dělitelné p. Jejich součin ao je tedy dělitelný p2, což je spor.