Algebra 1 Jméno:
Ukázka písemky
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů. K postupu k ústní zkoušce potřebujete 35 bodů
Hodnocení											
											
											
(včetně nadbytečných bodů z minipísemek). Na práci máte 2,5 hodiny (150 minut).
1. (lOkrát ±1 bod — správně 1 bod, chybně —1, bez odpovědi 0) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a)	ano	ne	V libovolné nekonečné grupě existuje prvek nekonečného řádu.	
(b)	ano	ne	Pro libovolný homomorfismus grup platí, že je injektivní, právě když	má jednoprvkové
	jádro.			
(c)	ano	ne	Každá konečná grupa má netriviální centrum.	
(d)	ano	ne	Existuje nekomutativní grupa mající právě 121 prvků.	
(e)	ano	ne	Pro libovolnou akci grupy G na množině X platí, že systém všech orbit tvoří rozklad	
	na množině		X.	
(f)	ano	ne	Libovolný konečný obor integrity je tělesem.	
(g)	ano	ne	Libovolný obor integrity lze vnořit do vhodného tělesa.	
(h)	ano	ne	Charakteristika libovolného tělesa je nula.	
(i)	ano	ne	Každý okruh s jednoznačným rozkladem je oborem integrity.	
Ü)	ano	ne	Pro libovolný okruh R platí, že množina jeho jednotek Rx spolu s	operací násobení
	tvoří komutativní grupu.			
2. (10 bodů) V grupě (§5, o) jsou dány dvě permutace, a = (1, 2, 3,4, 5) a (3 = (3,4) o (2, 5). Určete podgrupu (a, (3) generovanou permutacemi a a (3 v (§5, o). Kolik má podgrupa (a, (3) prvků?
3. (10 bodů) Nechť (G, •) je součin grupy (Z*3, •) a grupy (Z*9, •), tj. G = Z*3 x Z*9. Popište vypsáním všech prvků alespoň jednu 2-Sylowskou podgrupu grupy G. Přitom navíc v odpovědi napište, kolik má tato 2-Sylowská podgrupa prvků a kolik 2-Sylowských podgrup grupa G má.
4. (10 bodů) O polynomu / = x6 + 3x5 — 5x3 + 3x — 1 G C [x] víte, že má vícenásobný kořen. Určete všechny kořeny polynomu / včetně jejich násobností.
5. (10 bodů) Rozhodněte, zda existuje homomorfismus okruhů Z[\/2] —> Q- Pokud ano, dejte příklad alespoň jednoho takového homomorfismu, pokud ne, neexistenci homomorfismu zdůvodněte.
6. (10 bodů) Rozložte polynom g = x7 + x6 + x3 + x2 + x + 1 G Z2[i] na ireducibilní faktory nad okruhem Z2 zbytkových tříd modulo 2.
7. (10 bodů) Nechť (G, ■) je grupa, ve které je každý prvek inverzní sám k sobě, tj. pro každé a E G platí a-1 = a. Dokažte, že grupa (G, ■) je komutativní.