Sbírka příkladů z okruhů a polynomů — Algebra I
Okruhy, podokruhy, obor integrity, těleso, homomorfismus
1. Rozhodněte, zda daná množina M je podokruhem okruhu (C, +, •):
a) M = {a + 2i \ a G R},
b) M = {a + 2i | a G C},
c) M = {a + bi | a G R, b G N},
d) M = {3a + bi | a G Z, 6 G Z},
e) M = {a + 2bi | a G Z, b G Z}, f|M = {|t I a G Z,fc G N}.
2. Nechť (R, +, •) je komutativní okruh. Rozhodněte, zda je okruh taky
a) (R, +, □), kde □ je operace definovaná vztahem aU\b = a- b + b- a pro libovolné a, b G R,
b) (R,+,+).
3. Rozhodněte, zda daná podmnožina A okruhu racionálních čísel (Q, +, •) je okruh, případně obor integrity. Jde-li o okruh, charakterizujte jeho invertibilní prvky.
a) A = {| \PeZ,qeN,3\q}
b) A = {p- | m G Z, n G N}
c) A = {p- | m G Z, n G N}
4. Rozhodněte, zda (M, ©, ©) je okruh, obor integrity, těleso:
a) M = TLx ® y = x + y — l,x Q y = x • y — 1
b) M = 'L)x®y = x + y— 1, xQy = x + y — xy
c) M = Q, operace jako v b)
d) M = Q x Q, (x, y) © (u, u) = (x + u, y + u), (x, y) 0 (u, u) = (xu + 2yu,     + y u)
e) M = Z2 x Z2, (x, y) © (u, u) = (x + u, y + v), (x, y) 0 (u, v) = (xu + yt>, xv +yu + yv)
5. Rozhodněte, zda zobrazení / : C —> C je homomorfismus okruhu (C, +, •) do okruhu (C, +, •), je-li pro a, b G R dáno:
a) f (a + bi) = a + b,
b) /(a + 6i) = a2 + b2,
c) /(a + bi) = a — bi.
6. Určete, zda je okruh (Z2, +, •) x (Z3, +, •) oborem integrity. Je izomorfní s okruhem (Zg, +, •)?
7. Dokažte, že okruh (Z, ©, ©) z příkladu 4 b) je izomorfní s okruhem (Z, +, •).
8. Určete všechny čtveřice (a,b,c,d) G M4 takové, že předpis a(r + si) = (ar + 6s) + (cr +
pro r, s G M, definuje homomorfismus a : C —?► C okruhu C do sebe. Pro které z nich se jedná o izomorfismus?
9. Buď Q(VŠ) = {a + 6^/3 | a, b G Q} podokruh okruhu (M, +, •). Ukažte, že (Q(\/3), +, •) je těleso. Dokažte, že libovolný okruhový homomorfismus a : Q(\/3) —> C je identický na množině racionálních čísel, tj. Vr G Q : a(r) = r. Popište všechny okruhové homomorfismy a : Q(\/3) —> C. Které z nich jsou izomorfismy?
1
Dělení v okruzích polynomů
10. V Q[i] dělte se zbytkem polynomy
a) (x5 + x3 - 2x + 1) : (-x3 + x + 1),
b) (3x3 + 10x2 + 2x - 3) : (5x2 + 25x + 30),
c) (12x4 + 3x3 - 4x + 3) : (2x2 - 1),
d) (x6 + x4 + x2 + 1) : (x2 - x + 1).
11. V Q[x] dělte se zbytkem polynomy:
a) (2x3 + 3x2 - 4x + 5) : (x - 2),
b) (4x4 - 3x2 - x + 2) : (3x + 1).
Kořeny polynomů
12. Uvažme polynom f(x) = x6 - 6x5 + 9x4 + 8x3 - 24x2 + 16 G Q[x]. Dokažte, že c = 2 je kořenem polynomu / a určete jeho násobnost n.
13. Určete hodnotu koeficientu a G Q tak, aby polynom / = x5 — ax2 — ax + 1 G Q[x] měl dvojnásobný kořen c = — 1.
14. Dokažte, že pro každé n G N je c = 1 dvojnásobným kořenem polynomu nxn+1 — (n + l)xn + 1 G Z [x].
Taylorův rozvoj polynomu
15. Vyjádřete polynom f(x) = x4 + 2x3 — 3x2 — 4x + 1 v mocninách lineárního polynomu x + 1.
16. Vyjádřete polynom f(x) = (x-2)4 + 4(x-2)3+6(x-2)2 + 10(x-2)+20 bez počítání jednotlivých mocnin polynomu x — 2.
Racionální kořeny polynomů
17. Nalezněte všechny racionální kořeny polynomu v C[x] a určete jejich násobnost.
a) 12x6 + 8x5 - 85x4 + 15x3 + 55x2 + x - 6
b) 4x7 - 16x6 + x5 + 55x4 - 35x3 - 38x2 + 12x + 8
c) 4x7 - 23x5 + 17x4 + 31x3 - 49x2 + 24x - 4
d) 2x7 - 3x6 - 20x5 - x4 + 66x3 + 91x2 + 48x + 9
e) 4x5 + 8x4 - 27x3 - 79x2 - 56x - 12
f) 4x5 - 35x3 + 15x2 + 40x + 12
g) x3 - |x2 - \x + \
h) 5x3-8x2 + llx + 6
i) 12x4 - 7x3 - 19x2 - 3x + 2 j) 3x5 - x4 + \xz - |x2 + |x k) 6x4 + x3 + x2 - 16x - 12
1) 9x6 - 21x5 - 17x4 + 15x3 - 42x2 - 34x - 6
m) 4x6 - 12x5 + 9x4 - 12x2 + 36x - 27
n) 2x7 - 3x6 - 8x5 + 6x4 + 10x3 + x2 + 4x + 4
0) x4 + x3 - 2x2 - 3x - 1
p) x5 - 4x4 + 4x3 + 2x2 - 5x + 2
q) / = 12x7 - 56x6 + 115x5 - 141x4 + 103x3 - 35x2 - 3x + 9
1) g = 8x7 - 44x6 + 70x5 - 17x4 - 24x3 + 10x2 + 2x - 1
2
18. Určete takové a G C, pro něž má polynom / = 2x6 — x5 — llx4 — x3 + ax2 + 2ax + 8 G C[x] kořen 2. Pro toto a určete všechny racionální kořeny polynomu / včetně násobností.
19. Určete všechna a G Z, pro něž má polynom x4 + 2x3 — 3x2 + ax — 4 racionální kořen. Komplexní kořeny polynomů
20. Určete všechna komplexní řešení rovnice x11 = 2 pro n G N.
21. Nalezněte rovnici, jejíž všechna komplexní řešení tvoří v Gaussově rovině rovnostranný trojúhelník se středem v nule a jedním vrcholem v i.
22. Řešte v C kvadratickou rovnici x2 + (1 + 3i)x + i — 2 = 0.
23. Určete všechna komplexní řešení rovnice x 4 + x3 + x2 + x + 1 = 0.
Rozklad polynomů
24. Napište rozklad polynomu na součin ireducibilních faktorů postupně nad Q, M, C:
a~\    -> • 3 _ J) ,-y-. 2 _ 1_ „      I 1
^ X' g   X' 2 i ^
b) 5x3 - 8x2 + llx + 6
c) 12x4 - 7x3 - 19x2 - 3x + 2
d) 3x5 - x4 + |x3 - |x2 + |x
e) 6x4 + x3 + x2 - 16x - 12
f) 4x6 - 12x5 + 9x4 - 12x2 + 36x - 27
g) 9x6 - 21x5 - 17x4 + 15x3 - 42x2 - 34x - 6
25. Napište rozklady na součin ireducibilních polynomů postupně nad C, M, Q těch polynomů z Příkladu 17, u kterých znáte dostatek racionálních kořenů.
26. Určete všechny kořeny polynomu /, víte-li, že má tři kořeny racionální. Rozložte / na ireducibilní faktory postupně nad Q, M, C:
a) f(x) = 4x5 - 4x4 - 5x3 - 7x2 + x + 2 G C[x],
b) f(x) = 4x5 - 12x4 - 13x3 - 13x2 + 3x + 4 G C[x].
Komplexně sdružené kořeny
27. Určete všechny kořeny polynomu / = x7 — 4x6 + 8x5 — 7x4 + 8x2 — 8x + 4 G C[x], víte-li, že má dvojnásobný kořen 1 + i. Rozložte tento polynom na ireducibilní faktory postupně nad Q, M, C.
28. Mezi všemi normovanými polynomy s reálnými koeficienty, které mají jednoduchý kořen — | a dvojnásobný kořen 3 + 2i, nalezněte polynom nejmenšího stupně. Rozložte tento polynom na ireducibilní polynomy nad Q, M, C.
29. Určete všechny kořeny polynomu / = x6 — 7x5 + 20x4 — 30x3 + 37x2 — 55x + 50 G C[x], víte-li, že má dvojnásobný kořen 2 — i. Rozložte jej na ireducibilní faktory postupně nad Q, M, C.
30. Mezi všemi normovanými polynomy s reálnými koeficienty, které mají dvojnásobný kořen | a dvojnásobný kořen k nalezněte polynom nejmenšího stupně. Zapište rozklad tohoto polynomu na ireducibilní faktory postupně nad Q, M, C:
a) k = 1 — i,
b) k = 1 - 2i.
3
31. Nalezněte všechny kořeny polynomu x 4 + 4x2 + x + 6 G C [x] a určete jejich násobnost, víte-li, že jedním z kořenů je číslo —4^^-.
32. Víme, že polynom / = 4x6 — 4x5 + 4x4 — 4x3 + 5x2 — 3x + 1 G C[x] má dvojnásobný kořen ^ + Určete zbývající kořeny polynomu /.
33. Uveďte příklad polynomu v M[x], resp. v Z[x], jehož kořenem je
a)
b) 2 + VŠi,
c) \/3 — 51
Polynomy nad Zp
34. Nalezněte všechny kořeny polynomu x5 + 5x4 — x2 — x + 3 v Z7.
35. Určete všechny ireducibilní polynomy nad
a) Z2 stupně menšího než 5,
b) Z3 stupně menšího než 4.
36. Nalezněte všechny kořeny polynomu x6 — x5 — x4 — x3 — x2 — x + 1 G 1js[x] v ^[x] a určete jejich násobnost.
37. Určete nějaký prvek a ÉZ5 takový, že polynom x3 + x2 + ax + 1 je ireducibilní nad Z5.
38. Určete všechny prvky a G Z7, pro které je polynom x3 + x2 + x + a ireducibilní nad Z7.
39. Udejte příklad polynomu
a) g G Zôfx], který je stupně 5, má dvojnásobný kořen 2 a žádné jiné kořeny nemá,
b) g G Z2[x], který je stupně 5, není ireducibilní a nemá žádný kořen,
c) g G Z3[x], který je stupně 4, není ireducibilní a nemá žádný kořen,
d) g G Z3[x], který je stupně 5, není ireducibilní a nemá žádný kořen,
e) g G Zôfx], který je stupně 6, má dvojnásobný kořen 2, jednoduchý kořen 4 a který nemá žádné další kořeny.
40. Rozložte polynomy na ireducibilní faktory.
a) x6 + x5 + x2 + 1 G Z2[x]
b) x7 + 3x6 + 2x5 - x4 + 3x3 - x2 + x + 1 G Z5[x]
c) x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 G Z2[x]
d) x7 - x6 + 2x4 + x3 - x2 + 2 G Z5[x]
e) x5 + x4 + x3 - x2 + 1 G Z3[x]
f) x4 +x3 + x + 1 G Z2[x]
g) x5 + 3x3 + x + 3 G Z5[x]
h) x5 + x3 + 2x2 + 2
Eisensteinovo kritérium
41. Ukažte, že polynom f{x) je ireducibilní nad Q:
a) f{x) = x11 + p; n G N, p je prvočíslo,
b) f (x) = x6 +x3 + 1.
42. Najděte n G N takové, že polynom x2 — n je ireducibilní nad Q, ale nesplňuje podmínku Eisen-steinova kritéria.
4
43. Najděte n G N tak, aby polynom p (x) = x11 + n
a) byl ireducibilní nad Q,
b) nebyl ireducibilní nad Q.
44. Určete, který z polynomů f (x) = x5 + 3x3 — 9x + 3 G Z [a;] a g(x) = x4 + 4x3 + 5x2 — 3 G Z [a;] je ireducibilní nad Z a který lze nad Z rozložit na součin polynomů nižšího stupně. Napište rozklady polynomů f a g na ireducibilní faktory nad Z.
Euklidův aloritmus, Bezoutova rovnost
45. Nalezněte polynomy f(x),g(x) G Q[x], které jsou stupně 3, každý z nich má alespoň jeden alespoň dvojnásobný kořen a jejich největší společný dělitel je:
a) x2 + x — 6,
b) x2 + x - 2,
c) x2 + 2x - 3.
Vyjádřete největší společný dělitel polynomů /, g Bezoutovou rovností.
46. Nalezněte polynomy f(x),g(x) G Q[x], které jsou stupně 4, každý z nich má alespoň jeden alespoň trojnásobný kořen a jejich největší společný dělitel je:
a) x2 + x — 2,
b) x2 +2x- 3,
c) x2 - 2x - 3.
Vyjádřete největší společný dělitel polynomů /, g Bezoutovou rovností.
47. Pro dané dvojice polynomů /, g G M[x] najděte normovaný polynom, který je jejich největším společným dělitelem. Najděte koeficienty do příslušné Bezoutovy rovnosti.
a) / = x4 + 1, g = x3 — 1
b) / = x4 + 3x3 - x2 - 4x - 3, g = 3x3 + 10x2 + 2x - 3
c) / = x5 - 5x4 + 4x3 + 8x2 - 8x - 3, g = x4 - 2x3 - 7x2 + 8x + 3
Násobné kořeny
48. Nalezněte všechny aspoň dvojnásobné kořeny polynomu:
a) x6 + 6x5 + 15x4 + 20x3 + 12x2 - 4,
b) x4 - 2x3 - x2 + 2x + 1,
c) x4 + 6x3 + 7x2 — 6x + 1.
49. Rozložte v C[x] na lineární faktory polynom
a) x4 + 2ix3 + x2 + 2ix + 1, víte-li, že má dvojnásobný kořen,
b) x4 + 6x2 — 8ix — 3, víte-li, že má trojnásobný kořen.
c) x4 — 4x2 + 16x + 32, víte-li, že má alespoň jeden kořen vícenásobný.
d) x5 + 10x3 — 20ix2 — 15x + 4i, víte-li, že má čtyřnásobný kořen.
e) x3 — Qix + 4 — 4i, víte-li, že má dvojnásobný kořen.
f) x4 + 6x2 + 8ix — 3, víte-li, že má trojnásobný kořen.
5
Generovaní podokruhů a podtěles
50. Rozhodněte, zda následující podmnožina M okruhu komplexních čísel (C, +, •) je okruh, obor integrity, případně těleso. Jde-li o okruh, charakterizujte jeho invertibilní prvky.
a) M = {a + bi \ a, b G Z}
b) M = {a + b ■ VŠ j a, b G Q}
c) M = {a + b ■ Vb | a, b G Q}
d) M = {a + b • i±vJi | a> b e q}
51. Určete, které prvky náleží nejmenšímu podokruhu okruhu (C, +, •) obsahujícímu číslo a pro
7
a)	a =	Vš,
b)	a =	V2,
c)	a =	i,
d)	a =	cos^
e)	a =	cos^t
f)	a =	
g)	a =	Vň,
h)	a =	Vň,
i)	a =	Vňi.
52. Pro prvky z příkladu 51 najděte nejmenší podtěleso tělesa (C, +, •) obsahující daný prvek.
53. Nalezněte invertibilní prvky okruhu ({a + b • | a, 6 g Z}, +, •)
Faktorové okruhy
54. Buď e g C kořen polynomu / = x3 — x — 2g Q[x] stupně. Vyjádřete prvky e_1 , (1 + e)3 a (e2 + 3e — 1)~2 ve tvaru clq + a± • e + 02 • e2, kde ao, ai, «2 £ Q-
55. Buď e g C kořen polynomu / = x4 + 2x2 — Ax + 2 g Q[x]. Vyjádřete čísla e-1, e6 a (e2 + e + ve tvaru ao + ai • e + 02 • e2 + 03 • e3, kde aj g Q pro i = 0,..., 3.
56. Buď / = x2 + [1]3 G Z3[x]. Dokažte, že F9 a = x + (f).
Určete ao, a = 1 G Z takové, že
i) [«0)3 + M3 -a = a4;
ii) K)]3 + m3 -a = (a + [1]3)_1-
[x]/(f) je 9-prvkové těleso. Označme a G Fg prvek
57. Buď / = x4 +x3 + 1 G Z2[x] a označme Fi6 = Z2 [#]/(/) příslušné těleso. Označme a G Fi6 prvek a = x + (/).
Určete aj G Z2 pro i = 0,1, 2, 3 takové, že
i) ao + ai • a + • • • + a3 • a = a ,
ii) ao + ai • a + • • • + a3 • a3 = (a2 + 1)
58. Buď /
x + [2)5 G Zsfx] a nechť F125 = Zsfx]/^) je 125-prvkové těleso. Označme a G F
125
prvek a = x + (/). Určete a, 6, c G Z taková, že
i) [0)5 + [% • " + [c]5 • a2 =
ii) [a]5 + [6]5 • a + [c]5 • a2 = (a4 + a + l)"1.
6