Globální vlastnosti rovinných křivek: rotační index
Definice. Množina C ⊆ E2 se nazývá vložená křivka třídy Cr
, r ≥ 1, jestliže existuje
regulární pohyb f : I → E2 třídy Cr
takový, že C = f(I) pro nějaký otevřený interval
I ⊆ R.
Vložená křivka C ⊆ E2 se nazývá uzavřená vložená křivka třídy Cr
, jestliže existuje
parametrizace f : [a, b] → E2, a, b ∈ R taková, že f([a, b]) = C, f(a) = f(b) a dále f|(a,b) →
E2 je regulární pohyb třídy Cr
a platí f
(i)
+ (a) = f
(i)
− (b), i ≤ r.
Jestliže jsou navíc zobrazení f|[a,b) a f|(a,b] injektivní, C se nazývá jednoduchá uzavřená
vložená křivka.
Pro jednoduchost budeme v této kapitole mluvit jen o uzavřených a jednoduchých uzavřených
křivkách (které budeme implicitně uvažovat jako vložené). V tomto kontextu budeme
používat novou definici křivosti, pro kterou budeme uvažovat E2 jako orientovaný Euklidovský
prostor:
Definice. V každém bodě křivky f(t) definujeme orientovaný Frenetův repér (f(t); e1(t), ¯e2(t))
tak, že e1(t) = f (t)
||f (t)||
a (e1(t), ¯e2(t)) je kladná ortonormální báze. Je-li f(s) parametrizace
obloukem, číslo ¯κ(s) ∈ R splňující e1(s) = ¯κ(s)¯e2(s) budeme nazývat orientovaná křivost v
bodě f(s).
Frenetovy vzorce jsou podobné jako v neorientované verzi: e1(s) = ¯κ(s)¯e2(s) a e2(s) =
−¯κ(s)¯e1(s). Uvědomte si ale, že křivost může být i záporná. Rozmyslete si konkrétní příklady!
Tvrzení. Necht’ f : [a, b] → E2 je uzavřená křivka C třídy Cr
. Pak existuje funkce θ :
[a, b] → R třídy Cr
taková, že e1(t) = (cos θ(t), sin θ(t)), a platí θ (t) = ¯κ(t)||f (t)||. Navíc
rozdíl θ(b) − θ(a) nezávisí na volbě funkce θ.
Důkaz. Existence funkce θ je evidentní: zvolíme θ(a) tak, že e1(a) = cos θ(a), sin θ(a) a pak
rozšíříme θ spojitě na interval [a, b]. Přesněji, při parametrizaci obloukem máme cos θ(s) =
(e1(s), ε1) a sin θ(s) = −(¯e2(s), ε1), kde ε1 je první bázový vektor standardní báze. Tedy θ(s)
je třídy Cr
. (Potřebujeme k tomu oba předchozí vztahy? Rozmyslete si detaily!) Derivací
pak dostaneme, že θ (s) = ¯κ(s). Reparametrizací s = s(t), ds
dt
> 0 pak odvodíme θ (t) =
¯κ(t)||f (t)||.
Abychom ukázali nezávislost rozdílu θ(b) − θ(a) na volbě funkce θ, předpokládjme, že
ϕ(t) je jiná funkce splňující Tvrzení. Pak θ(t) − ϕ(t) = 2k(t)π pro nějakou spojitou funkci
k(t) ∈ Z. Ze spojitosti plyne, že k(t) je konstanta.
Tedy rozdíl θ(b) − θ(a) je určen volbou parametrizace vložené f : [a, b] → E2 uzavřené
křivky (ale pak už nezávisí na reparametrizaci). Rozmyslete si různé parametrizace kružnice
(cos t, sin t), kde bud’ t ∈ [0, 2π] nebo t ∈ [0, 4π].
Definice. Číslo nC := 1
2π
θ(b) − θ(a) se nazývá rotační index uzavřené křivky C z předchozího
Tvrzení.
Příklad. Křivka f(t) = (cos 2πt, sin 2πt) pro t ∈ [0, m], m ∈ N má rotační index m. Jedná
se samozřejmě o kružnici. Rozmyslete si příklady uzavřených křivek, jejichž rotační index je
≤ 0!
1
Věta. Platí nC = 1
2π
b
a
¯κ(t)||f (t)||dt.
Navíc nC nezávisí na reparametrizaci zachovávající orientaci. Reparametrizace měnící
orientaci převrací znaménko nC.
Důkaz. První část plyne ze vztahu θ (t) = ¯κ(t)||f (t)||. Závislost na reparametrizaci t = t(τ)
se plyne z tvaru integrálu na pravé straně po substituci t = t(τ).
Připomeňme, že konvexní podmnožina T ⊆ R2
splňuje, že je-li x1, x2 ∈ T pak také
x1x2 ⊆ T, kde x1x2 označuje úsečku s krajními body x1 a x2.
Lemma. Necht’ T ⊆ R je konvexní podmnožina a e : T → S1
funkce třídy Cr
. Pak existuje
funkce θ : T → R třídy Cr
splňující e(x) = (cos θ(x), sin θ(x)) pro x ∈ T. Navíc, jsou-li θ(x)
a ϕ(x) dvě takové funkce, pak se liší o 2kπ pro nějaké k ∈ Z.
Symbolem S1
označujeme kružnici. Uvědomte si, že toto technické Lemma je dvourozměrná
verze předchozího Tvrzení! (Důkaz jsme si neuváděli.)
Následující Věta je hlavním výsledkem této kapitoly:
Věta (Hopf’s Umlaufsatz). Je-li f : [a, b] → E2 jednoduchá uzavřená křivka C, pak nC =
±1.
Opačná implikace neplatí. Rozmyslete si příklady!
Důkaz. Můžeme předpokládat a = 0 a že f je parametrizována obloukem. Položme ∆ =
{(s, t) | 0 ≤ s ≤ b} ⊆ R2
a definujeme funkci h : ∆ → S1
předpisem
h(s, t) =



e1(s) s = t
−e1(0) (s, t) = (0, b)
f(t)−f(s)
||f(t)−f(s)||
jinak.
Množina ∆ je konvexní a funkce h(s, t) je spojitá. Dále můžeme předpokládat, že f(0) =
(0, 0) a že toto je “nejnižší” bod na křivce, tj. že tento bod má nejmenší y-novou souřadnici.
Pak e1(0) je až na znamńko první bázový vektor standardní báze, tj. e1(0) = ±ε1 a dále
budeme předpokládat e1(0) = ε1 (tím se může změnit orientace!).
Podle Lemmatu platí h(s, t) = cos ˜θ(s, t), sin ˜θ(s, t) pro spojitou funkci ˜θ : ∆ → R.
Je-li θ(s) funkce z Tvrzení, pak podle předchoí Věty platí
nC =
1
2π
b
a
¯κ(s)ds =
1
2π
θ(b) − θ(0) =
1
2π
˜θ(b, b) − ˜θ(0, 0) =
=
1
2π
˜θ(0, b) − ˜θ(0, 0) + ˜θ(b, b) − ˜θ(0, b) .
Zde N1 := ˜θ(0, b) − ˜θ(0, 0) je úhel, o který se mění vektor průvodiče. Tedy N1 = π, nebot’
křivka je v horní polorovině. Podobně N2 = ˜θ(b, b) − ˜θ(0, b) je úhel, o který se mění vektor
opačný k průvodiči, tj N2 = π. Tedy nC = 1.
2