Nelineární dynamika a její aplikace Lenka Přibylová 15. června 2012 -f Bi O CD ?^alnL„ MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, OPtaBlávíní '^^■'^ fondvCR EVROPSKÁ UNIE MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY pra konkurancMchopnmt ^ÍWA"**" INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ © Lenka Přibylová, 20121 Obsah Dynamické systémy 5 Lineárni algebra - opakování 21 Spojité dynamické systémy 23 Lineárni systém - opakování 24 Nelineární autonomní systém 72 Diskrétní dynamické systémy 95 Lineární systém - opakování 96 Nelineární autonomní systém 126 Systémy závislé na parametrech, bifurkace 144 EE1 El Ba IBa ©Lenka Přibylová, 2012Q Jednoparametrické bifurkace ve spojitém případě 150 Bifurkace sedlo-uzel, fold, limitní bod 151 Hystereze a náhlé skoky 171 Teorie katastrof 179 Další jednoparametrické bifurkace počtu singulárních bodů 192 Hopfova bifurkace 196 Víceparametrické bifurkace 212 Redukce na centrální varietu 227 Jednoparametrické bifurkace v diskrétním případě 244 Bifurkace typu fold, sedlo-uzel 245 □ Q [33 ©Lenka Přibylová, 2012H Bifurkace typu flip 248 Zdvojování periody a univerzalita 252 Deterministický chaos 256 Neimark-Sackerova bifurkace 282 Poincarého zobrazení a bifurkace cyklů 286 Chaos ve spojitých systémech 291 Model Lorenzova atraktoru 295 Literatura, software a applety 303 EE1 El Ba IBB ©Lenka Přibylová, 2012Q Dynamické systémy Definice: Dynamickým systémem rozumíme trojici {T,X, } Poznámka 1. Fakticky může jít o cokoliv měřitelného, co se mění v čase... Teplota hrnku kafe, kurz koruny, počet studentů v daném semestru... EBl Q 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ (- Definice: Deterministickým dynamickým systémem rozumíme systém {T, X, splňující podmínku kde id je identita na X, tj. Vx 6 X : idx = x. Tato vlastnost říká, že systém spontánně nemění svůj stav. Poznámka 2. Touto podmínkou vylučujeme náhodné jevy, např. kurz koruny nebo počet studentů v daném semestru... i když prakticky vše je důsledkem toho, co již bylo... anebo tomu tak není? Z hlediska kvantové mechaniky je zase vše náhodné. Takže jde vlastně o náš přístup k věci. EBl Q 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Definice: Autonomním dynamickým systémem rozumíme deterministický systém {T, X, splňující podmínku ipt+s = ^ o ips, tj. Vx G X : ípt+sx = yř(ysx), pokud jsou definovány obě strany rovnice. Tato vlastnost říká, že se „zákony evoluce" nemění během času. Poznámka 3. Autonomní systémy jsou dány předchozími v čase měnícími se stavy, nikoliv samotným časem. Typickýcm spojitým příkladem je v čase měnící se stav x(t) podle obyčejné diferenciální rovnice x = f {x). Typickým diskrétním příkladem je v čase skokově měnící se stav x(n + 1) = f(x(n)). EBl E] Q © Lenka Přibylová, 2012 Q x(t) = x(t) + t x(t) = (x(t) + l)2 x(n+l) = ^> x(n + l) = není autonomní je autonomní není autonomní je autonomní Mezi autonomní rovnice se lehce zahrnou i ty, které jsou vyššího řádu, tj. obsahují v případě diferenciálních rovnic i derivace vyššího řádu nebo v případě diferenčních rovnic členy posloupnosti závisí na konečném počtu předchozích členů. © Lenka Přibylová, 2012 Q x(t) + x(t) + 2x(t) = O můžeme zapsat jako systém X\{t) = X2{t) x2{t) = —2xi{t) — x2{t), kde x — X\ SL X — X2- Vektorově je to zápis = (fi(xi(t),x2(t))\ = ( x2(t) *2(t)J \f2{x1{t),x2{t))J \-2Xl{t) -x2{t)J' tj. x = f (x), kde x = a f = (^j^j ■ Je—li funkce x lineární (jako ' tomto případě), mluvíme o lineární rovnici a lze jej zapsat maticově / o 1 N takto x = Ax. V našem případě je matice A = I ^ ^ V autonomním lineárním systému jsou prvky matice čísla. V obecném lineárním systému to mohou být funkce času. Q B Q ©Lenka Přibylová, 2012Q x(n + 2) + x(n + 1) + 2x(n) = O můžeme zapsat jako systém x\(n + 1) = x2(n) x2{n + l) = — 2xi{n) — x2(n), kde x(n) = X\(n) a x(n + 1) = x2(n). Vektorově je to zápis íx1(n + l)\ = ífi{x1{n),x2{n))\ = í x2(n) \ \x2{n + i)) \j2(x1(n),x2{n))) {-Ix^n) - x2(n) J ' tj.x(n + l) = f(x(n)),kdex = (j^j)af= (j ) • Stejně jako ve spojitém případě mluvíme o lineární rovnici, pokud ji můžeme zapsat maticově jako x(n + 1) = Ax(n). EBl Q 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Mezi autonomní systémy můžeme zahrnout i ty ODR, které původně autonomní nejsou: x(t) -x(t) +etx1(t) = 0 můžeme zapsat pomocí substituce x = X\, x = x2, t = x3 jako systém X\ = x2 x2 = x2 — éCix\ x3 = nebo vektorově tj. x = f (x), kde x f1(x1,x2,x3)\ / x2 f2{x1,x2,x3) = \ x2-eX3xl f3(xlrx2rx3)J EE1 Q B © Lenka Přibylová, 2012 Q Podobně pro diskrétní systémy: x(n + 2) - x(n + 1) + nx2(n) = 0 můžeme zapsat pomocí substituce Xi{n) = x(n), x2(n) = x(n + 1), x3(n) = n jako systém Xi{n + 1) = x2(n) x2(n + l) = x2(n) — x3(n)x\(n) x3(n + \) = x3{n) + l nebo vektorově + /f1(x1(n),x2(n),x3(n))\ ( x2(n) x2(n + l) = \f2{xi{n),x2{n),x3(n)) = \x2(n) - x3{n)x\{n) Kx3(n + l)J \f3(x1(n)rx2(n)rx3(n)) J \ x3(n) + l tj. x(n + 1) = f(x(n)), kde x(n) = x2(n) a f = ©Lenka Přibyloi Definice: Trajektorie s počátečním bodem xq 6 X je uspořádaná podmnožina fázového prostoru X {xěX : x = <£>ŕxo,Vŕ £ T, pro které je <£>rxo definováno} V případě spojitého systému jde o orientované křivky v X, v případě diskrétního systému jsou to posloupnosti bodů v X. Fázovým portrétem dynamického systému rozumíme rozmístění trajektorií ve fázovém prostoru X. i Trajektorie zakreslujeme často také jako funkce (posloupnosti) v T x X. Příklad. Nakreslete trajektorii x = —x s počátečním bodem (podmínkou) xq = 1. Nakreslete ji v X i v T x X. EBl Q 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Diskrétní trajektorie můžeme také zakreslovat pomocí tzv. pavučinového diagramu: xn+l / x Příklad. Nakreslete trajektorii x(n + 1) = \x{n) s počátečním bodem (podmínkou) x(0) = 1. Nakreslete ji v X i v T x X. Nakreslete také pavučinový diagram (x(n+ 1) versus x(n)). EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Definice: Dynamický systém D\ = {T, se nazývá topo- logicky ekvivalentní dynamickému systému D2 = {T, R", jestliže existuje homeomorfismus h : R" —>■ R", které zobrazuje trajektorie systému Di na trajektorie systému D2, přičemž zachovává jejich orientaci. Často v takovém případě mluvíme také o (topologicky) ekvivalentních fázových portrétech. Poznámka 4. Homeomorfismus je invertibilní zobrazení, které je spojité a jehož inverzní zobrazení je také spojité. Poznámka 5. Trajektorie systému Di se tedy dají jednoznačně přiřadit (i s orientací, resp. uspořádáním) k trajektoriím systému D2 tak, aby si vzájemně odpovídaly „sousední" body, lokální okolí. Nezajímají nás geometrické vzdálenosti a vztahy, ale topologické vlastnosti. EBl EJ 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Topologicky ekvivalentní spojitá dynamika v rovině: EE1 Q B © Lenka Přibylová, 2012 Q Topologicky ekvivalentní spojitá dynamika v rovině: EE1 Q 13 © Lenka Přibylová, 2012 Q Definice: Bod xq 6 X nazýváme singulárním bodem (nebo též rovnovážným, stacionárním, pevným bodem) dynamického systému, jestliže pro všechna t E T platí yŕx0 = x0. Definice: Cyklem rozumíme periodickou trajektorii L, která není singulárním bodem, splňující Vxq 6 L 0, Vŕ £ T. Nejmenší takové Tq nazýváme periodou cyklu L. EBl E] Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Poznámka 6. V systému s cyklem vznikají periodické oscilace. Cyklus spojitého systému je uzavřená křivka v X. Cyklem diskrétního systému je konečná uspořádaná A:-tice bodů z X. Limitním cyklem rozumíme cyklus, v jehož okolí nejsou jiné cykly. Poznámka 7. U diskrétního systému x(n + 1) = f(x(n)) mluvíme často o cyklu délky k = Tq, protože jde o uspořádanou A:-tici x(0), x(l), x(2), ...x(Jt- 1), pro kterou platí x(l) = f(x(0)), x(2) = f(x(l))..... x(k) = x(0) = í(x(k — 1)). Uvědomme si navíc, že x(0) = f(x(k - 1)) = f (f (x(k - 2))) = ■ ■ ■ = f (*)(x(0)) a tedy x(0) je nutně pevným bodem dynamického systému x{n+\) = í{k\x{n)). EE1 Q 13 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Definice: Invariantní množinou S rozumíme podmnožinu X splňující x0 e S =>■ 0 platí i/j'xéU (tento typ stability nazýváme Ljapunovskou stabilitou), • existuje okolí Uq D S takové, že yŕx —»■ S pro x G Uq a t —»■ oo (tento typ stability nazýváme asymptotickou stabilitou). EBl E] Q © Lenka Přibylová, 2012 EJ Lineární algebra - opakování Pro vlastní číslo (vlastní hodnotu) matice A E Rnxn příslušné vlastnímu vektoru v E IR" platí Av = Av, tj. vlastní čísla hledáme jako kořeny charakteristického polynomu det(A - AI) = 0. Matice A má v komplexním oboru n vlastních hodnot {Ai,..., A„} a příslušné vlastní vektory {,..., \\n } tvoří bázi C". Matice T tvořená vlastními vektory (po sloupcích) pak splňuje EBl E] Q © Lenka Přibylová, 2012 Q V případě násobných vlastních hodnot může obsahovat bloky tvaru q ^, přičemž sloupce matice T v tomto případě tvoří tzv. zobecněné vlastní vektory. Jde o vektor splňující Av = Av a další vektor w, který splňuje Aw = Aw + v. Pokud je násobnost vlastní hodnoty vyšší než dva, bude se takto vytvářet kaskáda zobecněných vlastních vektorů w(+i splňující Aw(+i = Aw(+i + w,-, která bude spolu s vektorem v tvořit bázi prostoru zobecněných vlastních vektorů. Lineární regulární transformace A i—»■ T 1 AT převádí na komplexní Jordánův kanonický tvar. Reálný tvar s reálným blokem a ^ vektorů v a v reálnou a imaginární část u a w vektoru v = u + zw. dostaneme, pokud použijeme místo komplexně sdružených © Lenka Přibylová, 2012 Q Spojité dynamické systémy Nejprve budeme studovat deterministický autonomní dynamický systém, který je dán systémem diferenciálních rovnic: Definice: Autonomním systémem diferenciálních rovnic rozumíme systém x = f(x), (1) kde x 6 X = R" a vektorová funkce f : R" —> R" je dostatečně hladká. Symbolem x rozumíme derivaci x podle času t E T = R. Poznámka9. Singulární body autonomního systému (1) splňují systém rovnic f (x) = 0. EB El B 139 © Lenka Přibylová, 2012 Q Lineární systém - opakování Uvažujme lineární autonomní systém x = Ax, (2) kde x e X = R" a A e R"x". Nechť A e C je vlastní číslo matice A a v příslušný vlastní vektor. • V případě A £ IR je f i-^ eAív reálným řešením rovnice (2). • V případě A £ R, které je A:-násobným kořenem charakteristického polynomu jsou í 4 (ŕ-Y)! '; = ^'''' ^ reámými řešeními rovnice (2), kde vj je systém k zobecněných vlastních vektorů (Avi = Avi a Av(- = Av, + v,_i pro i > 1). • V případě A = a ± z/3 je vlastní vektor v = u ± zw a reálnými řešeními rovnice (2) jsou pak t H4 eaŕ(cos j6r ■ u - sinySŕ ■ w), ř h-> eař(sin fit ■ u + cos ySŕ ■ w). EB El B 133 © Lenka Přibylová, 2012 Q Uvedená řešení jsou lineárně nezávislá a tvoří bázi prostoru řešení. Jejich lineární kombinace je také řešením (2). Maticové zobrazení 11—y <í>(ŕ) těchto řešení se nazývá fundamentální matice řešení příslušného homogenního lineárního systému (2). Singulárním bodem systému (2) je počátek, který je asymptoticky (dokonce exponenciálně) stabilní, pokud mají všechny vlastní hodnoty zápornou reálnou část. V případě, že má některá vlastní hodnota kladnou reálnou část, je počátek nutně nestabilní. V případě nulové vlastní hodnoty má systém (2) konstantní nenulová řešení (počátek tedy nemůže být asymptoticky stabilní), v případě ryze imaginárních vlastních hodnot existují periodická řešení (a také nemůže být počátek asymptoticky stabilní). EBl E] Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Lineární diferenciální rovnice bývají často zapsány ve tvaru 0 = amx{m\t) + flm_1^(m"1)(ř) H-----h flix(ŕ) + a0x(t). V takovém případě hledáme vlastní čísla jako kořeny charakteristického polynomu p(A) = amXm + am_x\m~x +----Y a0. Poznámka 10. Podkud je levá strana rovnice nenulová, tj. ve tvaru f(t) = ... (nehomogenní rovnice), pak obecné řešení nehomogenní rovnice je součtem libovolného partikulárního řešení nehomogenní rovnice a obecného řešení příslušné lineární homogenní rovnice (s nulovou levou stranou). EBl E] Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Polynom p (A) je ve skutečnosti charakteristickým polynomem det(A — AI) lineárního systému X\{t) = Xi{t), xm(t) = —-^(am_ixm(t) H-----\-a0x1(t)), kde Xi{t) = x{t) Příklad . Dokažte uvedené tvrzení pro 0 = ax + bx + cx tj. ukažte, že kořeny p(A) jsou vlastní čísla Jacobiho matice jistého dvourozměrného lineárního systému. EEI EJ 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému ±i = 4*1 + 5x2 ±i = —Xi — 2x2- © Lenka Přibylová, 2012 Q Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému ±i = 4*1 + 5x2 ±i = —Xi — 2x2- Řešení: A -- 4 5 -1 -2 Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému ±1 4*1+ 5x2 —Xi — 2x2- Řešení: det(A - AJ) 4-A -1 5 -2-A Az -2A (A-3)(A + 1) = 0 1 Matice systému má vlastní čísla Ai = 3 a A2 = — 1. ínfc, Přibylová, 2012 Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: A = det(A - AJ) 4 5 -1 -2 Ai = 3 : 1 5 -1 -5 4*1+ 5x2 — X! — 2x2- 4-A 5 -1 -2-A A2-2A-3= (A-3)(A + 1) = 0 vi = a příslušné vlastní vektory splňují Avi = 3vi ©Lenka Přibylová, 201: 1 Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: A = det(A - AJ) 4 5 -1 -2 Ai = 3 : A2 = -1 : 4-A -1 1 5 -1 -5 5 5 -1 -1 ±1 4*1+ 5x2 — X! — 2x2. 5 -2-A vi = v2 = A2-2A-3= (A-3)(A + 1) = 0 a Av2 = —V2 x = Tu =>■ x = Ax Tú = ATu Zaveďme vhodnou lineární transformaci. x = Tu =>■ x = Ax Tů = ATu ů = T xATu 3 O Matice systému bude v Jordánově tvaru [ ^ I, pokud T = (vi,v2). Tu x Tú ú Ú2, Ax ATu T xATu 3 O O -1 1 Systém se tedy rozpadne na dvě samostatné rovnice. x = Tu =>■ x Tú ú "i Ax ATu T xATu — «2 Systém se tedy rozpadne na dvě samostatné rovnice. x = Tu =>■ x Tú ú "i Řešení: «i(ŕ) = Cie3í, u2(t) = c2e Ax ATu T xATu — u2 BEI Q B © Lenka Přibylová, 2012 Q Tu x = Ax Tú = ATu ú = T xATu úA [3 O \ (Ul Ú2J {O -lj {u2 ú2 = —u2 Řešení: «i(ŕ) = Cie3í, u2(t) = c2e~ŕ / 5c!e3ŕ + c2e ŕ \—c1e3t — c2e~ŕ Řešení původního systému tedy dostaneme zpětnou transformací. Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému ±i = —Xi + 6x2 ±1 = 2xi + 3x2. EEl Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému ±i = —Xi + 6x2 ±1 = 2xi + 3x2. Řešení: EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému X\ = —Xi + 6x2 ±1 = 1x\ + 3x2. Řešení: det(A - AJ) -1 - A 6 2 3-A A2-2A-15= (A-5)(A + 3) =0 anka Přibylová, 2012 ta Najdeme vlastní čísla Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému X\ = —Xi + 6x2 ±1 = 1x\ + 3x2. Řešení: det(A - AJ) Ai = 5 : -1 - A 6 2 3-A -6 6 A2-2A-15= (A-5)(A + 3) =0 2 -2 Vi a příslušné vlastní vektory. anka Přibylová, 2012 ta Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému X\ = —Xi + 6x2 ±1 = 1x\ + 3x2. Řešení: det(A - AJ) Ai = 5 : l 0 0 1 V! A2 = "3 : I, J v2 = 1 - A 6 2 3-A -6 6 \ A 2 -2J Vl=(,l 2 6\ / 3 2 6 V2= -1 A2-2A-15= (A-5)(A + 3) =0 a příslušné vlastní vektory. ínfc, Přibylová, 2012 1 Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: det(A - AJ) Ai = 5 : A2 = -3 : ±1 1 - A 6 2 3-A -6 6 \ (1 2 6\ / 3 2 6 V2= -1 — X! + 6X2 2xx + 3x2. A2-2A-15= (A-5)(A + 3) =0 x = 1 3 1 -1 c2e 5t -3t cie5ř + 3c2e 3ř Cie5t _ Cie-3t Řešení je násobkem matice složené z vlastních vektorů a vektoru exponenciál. ESHPiSi^S^i^i^^^^ (£> Lenka l-hbylová, 1 Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému ±i = 3xi — 2x2 ±1 = 2xi — íx2- © Lenka Přibylová, 2012 Q Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému ±i = 3xi — 2x2 ±1 = 2xi — íx2- Řešení: A 3 -2 2 -1 Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: A det(A - AJ) 3 -2 2 -1 3-A 2 3xi — 2x2 2xi — íx2- -2 -1 - A 2A + 1 = (A-l)2 Matice systému má dvojnásobné vlastní číslo Ai = 1. ©Lenka Přibylová, 20] Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému ±i = 3*i — 2x2 ±i = 2xi — íx2- Řešení: 3 -: 2 -det(A - AJ) Ai = 1 : 3-A 2 2 -2N 2 -2, -2 -1 - A 2A+1 = (A-l)2 vi = s deficientním vlastním vektorovým prostorem. ©Lenka Přibylová, 201: 1 Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: A det(A - AJ) 3 -2 2 -1 Ai = 1 : 3-A 2 2 -2" 2 -2 -2 -1 - A Av2 = A1V2 + vi : 3*i— 2x2 2xi — íx2- 2A+1 = (A-l)2 Vl = ( 2 -2 2 -2 l) v2 = l 1 I Vytvoříme proto druhý vektor splňující Av2 = Aiv2 + vi. Vektory I {vi, v2} tvoří bázi tzv. zobecněného prostoru vlastních vektorů. (tl h H U ■ Lenka Hribylova, ju1j | x = Tu Tú = ATu Zaveďme vhodnou lineární transformaci. 1 Tu Tú = ATu ú = T xATu Pro T = (vi, V2) bude matice systému v Jordánově tvaru. Q Q Q 139 tej Lenka Wibylová, 2012 Q Tu Tú ú "2 ATu T xATu 1 1 O 1 Násobením matic dostáváme: —(í 40 G 3 G i)-6-) G D -CD- V případě, že by šlo o nedeficientní prostor vlastních vektorů a nevytvářeli bychom zobecněný vlastní vektor, byla by v pravém horním rohu Jordánovy matice nula. x = Tu Tú = ATu ú = T xATu Úi = Ui + «2 «2 = «2 I Systém se tentokrát nerozpadne na dvě samostatné rovnice, ale lze I jej "zespodu vyřešit". x = Tu Tú = ATu ú = T xATu Úi = Ui + «2 li2 = «2 Řešení: «2(0 = c2ei, bei Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Tu Řešení: u2{t) = c2é, dosazením do první rovnice máme j Tů = ATu ů = T xATu - í1 Úl) Úl = «i + «2 li2 = «2 "1 c2e Jde o nehomogenní lineární diferenciální rovnici 1. řádu. , T IV ■ I , , „„„„ 1 Tu Tú = ATu ů = T xATu úA = (1 1\ (Ul ú2) {O l) \u2 Úl = Ui + «2 «2 = «2 Řešení: u2{t) = c2é, dosazením do první rovnice máme úl —Ui = c2é úie-t-me-t = ^=c2. Můžeme ji řešit např. vynásobením faktorem e 1 nebo variací konstanty. Násobení faktorem e~ř bude rychlejší. Tu Tů = ATu ů = T xATu úA = (1 1\ (Ul ú2) {O l) \u2 Úl = Ui + u2 ú2 = u2 Řešení: u2{t) = c2é, dosazením do první rovnice máme úi —Ui = c2é úie-t-uie-t = ^=c2. Odtud ui = (ci + c2t)é EE1 Q Q © Lenka Přibylová, 2012 fJJ Tu Tú = ATu ů = T xATu úA = (1 1\ (Ul ú2) {O l) \u2 Úl = Ui + u2 «2 = U2 Řešení: u2{t) = c2é, dosazením do první rovnice máme úl —Ui = c2é úie-t-me-t = ^=c2. Odtud ui = (ci + c2t)é *=t ftj=»((ci if e')=<*o)(i 2/ I Řešení původního systému dostaneme zpětnou transformací. eEími^b—ras™" ^^^^mumiiiiiiiiii^PI Tu Tú = ATu ů = T xATu úA = (1 1\ (Ul ú2) {O l) \u2 Úl = Ui + «2 «2 = «2 Řešení: u2{t) = c2é, dosazením do první rovnice máme úi —Ui = c2é úie-t-me-t = ^=c2. Odtud ui = (ci + c2t)é 'S)=(^)((cl^)=(^^(!)w(í ' (cl + c2ř + cl)et (ci + c2t+ \c2)é 2/ ©Lenka Přibyku Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému ±i = Xi — 4X2 ±1 = Xi + x2- EE1 Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému ±i = Xi — 4X2 X2 = Xi + x2. Řešení: A 1 -4N 1 II' Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému ±i = Xi — 4X2 X2 = Xi + x2. Řešení: A 1 -4N 1 II' det(A - AI) 1 - A -4 1 1 - A A — 2A + 5 = C Matice systému má komplexně sdružená vlastní čísla Ai 2 = 1 ± 2Ĺ A12 = ^E^ = 1±2i 2 Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: A : Ai = 1 + 2i: 1 -4 1 1 det(A - AJ) ■- -2i -4\ 1 -2Í Vl xi — 4^2 X! + X2- 1 - A -4 1 1 - A 2i 1 A - 2A + 5 = 0 a příslušné komplexní vlastní vektory splňují Avi = (1 + 2í)vi Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému 1 -4 1 1 Řešení: A : Ai = 1 + 2z : A2 = 1 - 2z : JÍ4 = — 4X2 X2 = Xi + X2. det(A - AJ) -2i -4 1 -2z 2i -4 1 2i Vi v2 = 1 -A 1 2i 1 2i -4 1 - A A 2A + 5 = 0 1 a Av2 = (1 — 2í)v2, jsou komplexně sdružené vi = V2 ©Lenka Přibylová, 2012 Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: A=G Ai = 1 + 2i A2 = 1 - 2i 1 1 2i -2/ 1 JÍ4 = Xi — 4x2 X2 = *1 + X2- det(A - AJ) -2z -4 1 -2/ 2i -4 1 2/ (l+2í)í Vi V2 = c2e (1-20* 1 -A 1 2/ 1 2i -4 1 - A A 2A + 5 = 0 Řešení v komplexním oboru tedy najdeme již známou metodou vlastních vektorů, přitom c\, C2 £ C. enfc, Přibylo' Označme u = Re vi a w = Im vi, tedy vi = u + íw a \i — u — zw. EEl Q 13 ©Lenka Přibylová, 2012 Označme u = Re vi a w = Im vi, tedy vi = u + z'w a v2 = u — z'w. Pak platí x = (u + z'w, u — z'w) c1eí(cos2ŕ + z'sin2ŕ) C2eŕ(cos2ŕ — z'sin2ŕ) Řešení můžeme rozepsat. Označme u = Re vi a w = Im vi, tedy vi = u + z'w a V2 = u — z'w. Pak platí , .x /cieŕ(cos2ŕ + zsin2ŕ)\ x = u + zw,u — zw f) . . ' v ; \c2er(cos2ŕ -ism2t)J = ciercos2ru — Ciersin2rw + c2é cos2ŕu — C2eŕsin2ŕw +ic\é cos2ŕw + ic\é sin2ŕu — zc2eŕ cos2ŕw — zc2eŕ sin2ŕu Upravujeme. Označme u = Re vi a w = Im vi, tedy vi = u + zw a v2 = u — z'w. Pak platí , .x /cieŕ(cos2ŕ + zsin2ŕ)\ x = u + zw,u — zw f) . . ' v ; \c2er(cos2ŕ - zsm2ŕ)/ = cieŕcos2ŕu — cieŕ sin2ŕw + c2eŕ cos2ŕu — c2eŕsin2ŕw +ic\é cos2ŕw + fcie* sin2ŕu — zc2eŕ cos2ŕw — zc2eŕ sin2ŕu = (ci + c2)eŕcos2ŕu — {c\ + c2)eŕsin2ŕw +z'(ci — c2)eŕcos2ŕw +z(ci — c2)eŕsin2ŕu Označme u = Re vi a w = Im vi, tedy vi = u + zw a v2 = u — z'w. Pak platí , .x /c1eŕ(cos2ŕ + zsin2ŕ)\ x = u + zw,u —zw f) . . ' v ; \c2er(cos2ŕ - zsm2ŕ)/ = cieŕcos2ŕu — c\é sin2ŕw + c2eŕcos2ŕu — c2eŕsin2ŕw -r-zcxe* cos2ŕw + ic\é sin2ŕu — zc2eŕ cos2ŕw — zc2eŕ sin2ŕu = (ci + c2)eŕcos2ŕu — (ci + c2)eŕsin2ŕw +z(ci — c2)eŕcos2ŕw-r- i{c\ — c2)eŕsin2ŕu = et{k\ cos2ŕ + /c2 sin2ŕ)u + é (kí cos2ŕ — /q sin2ŕ)w I Konstanty k\ = C\ + c2 a A:2 = i{c\ — c2) jsou obecně komplexní, I pokud jsou reálné, dostáváme reálné řešení x. ■1 ■ ■ ■ i!iimump.|L*.|iJ"!J| Označme u = Re vi a w = Im vi, tedy vi = u + z'w a V2 = u — z'w. Pak platí x = (u + z'w, u — z'w) /c1eŕ(cos2ŕ + z'sin2ŕ)" vC2eŕ(cos2ŕ — z'sin2ŕ)y = cieŕcos2ŕu — Cieŕsin2ŕw + C2eŕcos2ŕu — C2eŕsin2ŕw _ I in. nn*c- Qj-x.t I iV. ^pinTŕii in.nn*c- O J-tat in _ ^Ít-i O lii Řešení se budou po spirále vzdalovat od počátku. Je zřejmé, že xi(0) = k1,x1{Q) = k2. = et{k\ cos2ř + k2 sin2ř)u + é(k2 cos2ř — k\ sin2ř)w Maticově lze řešení zapsat jako x = TR Jfcie* k2e* kde T = (u, w) a R = ( COS ^, S*n?^ ) je matice rotace o úhel 2t. y ' V — sm2ř cos2ř / ' © Lenka Přibylová, 20121 Nelineární autonomní systém Nelineární úlohu (1) se singulárním bodem Xq lze posunutím tohoto bodu do počátku převést na tvar x = Ax + g(x), (3) kde A = Df (xq) je Jacobiho matice f v singulárním bodě Xq a g(x) = o(|| x ||) pro || x ||—>■ 0, což znamená, že lim ľ 8W ľ = 0. ||x|| ^0 || x II Často dokonce || g(x) | < k || x ||2 na || x || < a {a > 0, k > 0). Je-li 11—y 3*(ř) fundamentální matice řešení příslušného homogenního lineárního systému tvaru (2), pak metodou variace konstanty dostáváme řešení úlohy (3) s počáteční podmínkou x(íq) = C tvaru x(ř) = <&(r)<&-1(řo)e+ *(ř) ľ <&-1(s)g(x(s)) ds. J t0 EE1 El 13 133 © Lenka Přibylová, 2012 Q V případě, že A má pouze vlastní hodnoty se zápornými reálnými částmi odtud lze (pomocí Gronwallova lemmatu) ukázat, že existují a, b, c > 0 takové, že každé řešení (3) s počáteční podmínkou x(0) = £, || £ I ^ ť splňuje pro t > t q II x(ř) ||< c (I C II e-a(t-^\ Dostáváme tedy následující tvrzení: Věta (Ljapunovova věta): Uvažujme systém (1) a jeho singulární bod xq. Označme J = Df (xq) Jacobiho matici v bodě xq. Pak xq je stabilní, jestliže všechna vlastní čísla K\, Xi, ■ ■ ■ ,Xn matice J splňují Re A, < 0. (Takový singulární bod nazýváme atraktorem.) © Lenka Přibylová, 2012 Q Poznámka 11. „Obrácením běhu času", tj. pro t —»■ —oo, můžeme analogicky odvodit Ljapunovovu větu pro nestabilní „odpuzující" singulární bod (tzv. repeler). V takovém případě musí všechna vlastní čísla splňovat Re A,- > 0. Definice: Singulární bod Xq systému (1) nazveme hyperbolickým singulárním bodem, jestliže žádná z vlastních hodnot příslušné Jacobiho matice J = Df (xq) neleží na imaginární ose. EBl E] Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Věta (Grobmanova-Hartmanova, věta o linearizaci): Systém (1) je v okolí svého hyperbolického singulárního bodu Xq lokálně topologicky ekvivalentní se svou linearizaci x = Df (xq)x. ^-' Důkaz naleznete např. v originálním článku a také v mnoha monografiích. Poznámka 12. Systémy tvaru (1) v okolí hyperbolických singulárních bodů Xq a yo jsou tedy lokálně topologicky ekvivalent právě tehdy, když tyto singulární body mají stejný počet n_ a n+ vlastních hodnot s Re A < 0 a Re A > 0. © Lenka Přibylová, 2012 Q Poznámka 13. Fázové portréty v rovině. Uvažujme dvourozměrný systém x = f (x), x = (xlrx2)T E M2, kde f je hladká funkce. Předpokládejme, že x = xq je singulární bod, tj. f (xq) = 0, a J = Df (xq) je příslušná Jacobiho matice v tomto bodě. Matice J má pak dvě vlastní hodnoty Ai, A2, které jsou kořeny charakteristické rovnice det(J - AI) = A2 - dX + A = 0, kde a = tr J = Ai + A2 je stopa Jacobiho matice a A = det J = A1A2 je její determinant. Věta: Postačujícími podmínkami asymptotické stability singulárního bodu spojitého systému (1) v rovině jsou podmínky A = detj>0 a t7 = trj<0. © Lenka Přibylová, 2012 Q Topologická klasifikace hyperbolického singulárního bodu v rovině: ("+,"-) Vlastní hodnoty Fázový portrét Stabilita (0,2) • • \ > < S) , uzel ohnisko stabilní (1.1) J U nestabilní \ŕ "a'° (2,0) • • ~s ^ uzel nestabilní fc S; 1 ohnisko © Lenka Přibylová, 2012 Q Príklad. Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém x = x + y2 ý = -y + *-2y2 v okolí jeho singulárního bodu. ©Lenka Přibylová, 20120 Příklad. Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém x = x + y2 y = -y + x~2y2 v okolí jeho singulárního bodu. Řešení: Singulární body jsou dva [0,0] a [ — 1/9,-1/3]. Z nulovosti pravé strany první rovnice máme x = —y2, což dává po dosazení do pravé strany druhé rovnice -y-y2-2y2 = -y(l + 3y) = 0. I ■ ■ ■-(£) Lenka ťhbylova, Wl' Příklad. Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém x = x + y2 y = -y + x~2y2 v okolí jeho singulárního bodu. Řešení: Singulární body jsou dva [0,0] a [ — 1/9, —1/3]. Jacobiho matice je J = (1 -l-4y)' EE1 Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Příklad. Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém x = x + y2 y = -y + x~2y2 v okolí jeho singulárního bodu. Řešení: Singulární body jsou dva [0,0] a [ — 1/9, —1/3]. Jacobiho matice je j=Df(x,y)=(; _12i43/),tj.j(o,o)=(; _ox), EE1 El 19 © Lenka Přibylová, 2012 fJJ Příklad. Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém x = x + y2 ý = -y + x-ty1 v okolí jeho singulárního bodu. Řešení: Singulární body jsou dva [0,0] a [ — 1/9, —1/3]. Jacobiho matice je ] = DÍ(x,y)=(\ _12Z4Atj.J(0,0)= Q _0X det(J - AI) 1 - A 0 1 -1 - A -(1 -A)(l + A), 1 Vlastní čísla splňují det(J — AI) = 0 D Lenka Přibylová, 2012 Příklad. Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém x = x + y2 ý = -y + x-2y2 v okolí jeho singulárního bodu. Řešení: Singulární body jsou dva [0,0] a [ — 1/9, —1/3]. Jacobiho matice je J = DÍ(x,y) = det(J - AI) = 1 2y 1 -1-Ay 1 - A 0 1 -1 - A ,tj.J(0,0) = -(1 -A)(l + A), [0,0] je SEDLO. Ai = 1 > 0, A2 = -1 < 0 bei Q 13 © Lenka Přibylová, 2012 Q det(J - AI) = 1 - A 1 A = (1-A)(; A) + | =A2 rA + 1, i ■ Vlastní čísla splňují det(J — AI) = O >,l „„U l«,k,L„í MM = (1-A)(i-A) + ?=A2-^A + 1, 9' 3- je NESTABILNÍ OHNISKO. = (1-A)(i-A) + ?=A2-^A + 1, 9' 3J je NESTABILNÍ OHNISKO. V programu XPPAUT spustte přikladl.ode EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ V tomto okamžiku shrňme informace pro spojitý autonomní systém. Na nelineární systém můžeme v okolí hyperbolických singulárních bodů hledět jako na mírně deformovaný lineární systém (mluvíme o tzv. perturbovaném systému), jehož chování se od nelineárního nijak kvalitativně neliší. Pro stabilitu či nestabilitu singulárního bodu jsou podstatná znaménka reálné části vlastních hodnot matice (pouze !!!) prvních parciálních derivací funkce /, tzv. Jacobiho matice. Oscilace jsou způsobeny komplexními vlastními hodnotami. Nic nevíme o situaci, kdy vlastní hodnoty mají v singulárním bodě nulovou reálnou část, tj. v případě, kdy nejde o hyperbolický singulární bod. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Model Michaelis-Mentenové, enzymatická kinetika Chemické a biochemické reakce je vhodné popisovat pomocí diferenciálních rovnic. Elementární reakce podléhají kinetické rovnici, která popisuje rychlost, se kterou interagují dvě látky a vytvářejí třetí: a + b\c Koncentrace látek se značí v hranatých závorkách a uvedenou reakci můžeme popsat rovnicí m=k[A][B]/ kde derivace koncentrace [C] je okamžitá změna koncentrace [C], tedy rychlost, s jakou je tvořen produkt reakce. Konstanta k je rychlostní konstanta, která vlastně konstantou není - závisí např. na teplotě nebo homogenitě směsi. Budeme ale předpokládat, že se teplota nemění a látky jsou dobře promíchané. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Většina biochemických reakcí probíhá oběma směry: k+ A + B^C k- Změna koncentrace [A] pak splňuje m = .k+[A][B]+k_[C}. Ve skutečnosti je většina reakcí složitější a bude tedy popsána systémem diferenciálních rovnic. EEl o q © Lenka Přibylová, 2012 EJ Enzymy e jsou katalyzátory chemických reakcí, při kterých pomáhají ze substrátu s vytvořit produkt p, přičemž z reakce vycházejí samy v nezměněné formě. EBl q 19 © Lenka Přibylová, 2012 Q Kinetické rovnice reakcí tedy můžeme popsat následujícími diferenciálními rovnicemi: 4f = (fc_1+fc2)[C]-fci[S][E], 4r = HC]. Navíc předpokládáme, že produkt p okamžitě odebíráme, aby nešel do zpětné reakce. Je evidentní, že platí tj. [e] + [c] = eg je počáteční koncentrace enzymu, [e] tedy můžeme eliminovat. Rovnici produktu můžeme oddělit a integrovat zvlášť. EBl Q 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Označme [S] = s a [C] = c. Úpravou tedy dostáváme dvě diferenciální rovnice: á = k_ic — kis(e0 — c), č = Ä4s(e0 - c) - (k2 + A:_i)c s počátečními podmínkami c(0) = 0 a s(0) = Sq >> eg- Příklad. Dokažte, že počátek je asymptoticky stabilní singulární bod. Příklad. Nakreslete fázový portrét a graficky analyzujte systém a nakreslete přibližně tvar řešení s uvedenou počáteční podmínkou. Příklad. Prozkoumejte model v programu XPPAUT. Spusťte XPPAUT a otevřte soubor MichaelisMenten.ode. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Prostudujte článek o modelu diety. Prozkoumejte model v programu XPPAUT. © Lenka Přibylová, 2012 Q Diskrétní dynamické systémy Definice: Autonomním systémem diferenčních rovnic rozumíme systém x(n + l) = í(x(n)), (4) kdex(n) 6 X = Rm a vektorová funkce f : Rm -> Rm je dostatečně hladká. Poznámka 14. Pevné body xq autonomního systému (4) splňují systém rovnic f(x0) = x0. EE1 Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Lineární systém - opakování Uvažujme lineární diferenční autonomní systém x(n + 1) = Ax(n), (5) kde x(n) E Rm, A e Rmxm, n e N0 s počáteční podmínkou x(0) = x0. Odtud x(n) = A"xq. NechťA G C je vlastní číslo matice A a v příslušný vlastní vektor. • V případě A G IR je x(n) = A"v reálným řešením rovnice (5). • V případě A G IR, které je A:-násobným kořenem charakteristického polynomu se zobecněnými vlastními vektory vj, í = 1,..., k, jsou ' • • n'~i\- x(n) = A"-'^ ri = 1/ • • • k reálnými řešeními rovnice (5). )=1 • V případě A = a ± z/3, cp = arctg £, je vlastní vektor v = u ± zw a reálnými řešeními rovnice (5) jsou pak © Lenka Přibylová, 20121 x(n) = |A|"(cos cpn ■ u±sin cpn ■ w),x(n) = |A|"(sincpn ■ u + cos cpn ■ w). Označme vlastní hodnoty sestupně |Ai| > \A2\ > ■ ■ ■ > |Am|. Protože xq můžeme zapsat jako lineární kombinaci nezávislých vlastních vektorů {vAl,..., vAm } (tvoří bázi): x0 = fcivAl + k2vX2 H-----h A:mvAm, můžeme řešení x(n) zapsat obdobně jako v následujícím případě různých vlastních hodnot vytknutím A" takto x(n) = An(k1vXl+k2vX2 +----VkmwKm) = *4A?vAi + k2^2v\2 +----V kmXnmwKm = A?(*ivAl +M|)"va2 + ■ ■ ■ +M^)"vAJ Pevným bodem systému (5) je počátek, který je asymptoticky (dokonce exponenciálně) stabilní, pokud |Ai| < 1. V případě |Ai| > 1 je počátek nutně nestabilní. Je-li \K\ \ = 1, nemůže být počátek asymptoticky stabilní. Bl B H Bl © Lenka Přibylová, 2012 EJ Lineární diferenční rovnice bývají často zapsány ve tvaru 0 = amx{n + m) + am_\x(n + m — 1) + ■ ■ ■ + a§x(n). V takovém případě hledáme vlastní čísla jako kořeny charakteristického polynomu p(A) = amXm + am_x\m~x +----h a0. Poznámka 15. Podkud je levá strana rovnice nenulová, tj. ve tvaru f(t) = ... (nehomogenní rovnice), pak obecné řešení nehomogenní rovnice je součtem libovolného partikulárního řešení nehomogenní rovnice a obecného řešení příslušné lineární homogenní rovnice (s nulovou levou stranou). © Lenka Přibylová, 2012 Q Polynom p (A) je ve skutečnosti charakteristickým polynomem det(A — AI) lineárního systému xi(n + l) = xi(n), xm_i{n + l) = xm{n), xm{n + l) = -j^(am_xxm(n) -\-----\-a0x1(n)), kde Xi{n) = x(n). EEl Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Xi{n + 1) = Xi{n) +\xi(n) x2(n + í) = Xi{n) + \x-i(n). EE1 Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Xi{n + 1) = Xi{n) + \xi(n) x2(n + í) = Xi{n) + \x-i(n). Řešení: A = m Matice systému Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Xi{n + 1) = Xi{n) + \xi(n) Řešení: A= l'1 2 det(A - AJ) = x2(n + l) = 1 - A 1 A Xi{n) + \xi(n). = A2 - §A + 1 = (A-2)(A- i) = 0 1 Matice systému má vlastní čísla Ai = 2 a A2 = \. Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Xi{n + 1) = Xi{n) + \xi(n) x2(n + l) = Xi{n) + \xi(n). Řešení: A = det(A - AI) = 2 : 1 - A 1 1 2 _ 1 2 A vi = A2 |A + 1 = (A-2)(A- i) = 0 a příslušné vlastní vektory splňují Avi = 2vi ©Lenka Přibylová, 2012 1 Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Xi{n + 1) = Xi{n) +\xi(n) x2(n + l) = Xi{n) + \x-i(n). Řešení: det(A - Ai = 2 : AJ) = -1 1 - A 1 1 2 A A2=x 2 ■ a Avt = vi v2 = = A2 |A + 1 = (A-2)(A- i) = 0 2v2 1 x = Tu =>■ x(n + l) = Ax(n) Tu(n + 1) = ATu(n) Zaveďme vhodnou lineární transformaci. Tu x(n + l) = Ax(n) Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + l) = T_1ATu(n) 2 0N Matice systému bude v Jordánově tvaru [ ^ ), pokud T = (vi,v2). 2 Tu ^ x(n + l) Tu(n +1) u(n + l) (Ul{n + 1) \u2{n + l) Ax(n) ATu(n) T_1ATu(n) 2 0\ /Ml(M) O \) \u2(n) a Systém se tedy rozpadne na dvě samostatné rovnice. Cc^ Lenka Přibylová, '1ÍW1 Tu ^ x(n + l) Tu(n +1) u(n + l) (Ul{n + 1) \u2{n + l) «i(n + l) u2(n +1) Ax(n) ATu(n) T_1ATu(n) 2 0\ /Ml(M) O \) \u2(n) 2mi(m) 2"2(") 1 Systém se tedy rozpadne na dvě samostatné rovnice. (cl Lenka Wibylová, 2l)l2 x = Tu =>■ x(n + 1) Tu(n +1) u(n + l) (Ul{n + 1)\ \u2{n + l)) ui(n + l) u2(n +1) Řešení: u\(n) = c{2n, «2(w) = £2(2) Ax(n) ATu(n) T_1ATu(n) (2 0\ (Ul{n)\ \P \) \u2{n)) 2«i(«) 2"2(") bei Q Q © Lenka Přibylová, 2012 EJ Tu x(n + l) = Ax(n) Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + l) = T_1ATu(n) + _ /2 0\ (Ul{n) \u2{n + \)) \p \) \u2{n) «i(n + l) = 2ui(n) u2(n + l) = \u2(n) Řešení: = c{ln, u2(n) = c2(^)" ' ci2» + c2G)B \ cl2^-c2(I)"| 1 Řešení původního systému tedy dostaneme zpětnou transformací. ■■■uui tej Lenka Přibylova, ju1j Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Xi{n + 1) = —4xi(n)+9x2(n) x2(n + í) = — 4xi(n) + 8x2(n). EE1 Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: -4 9 -4 8 + = —4xi(n)+9x2(n) x2(n + í) = — 4xi(n) + 8x2(n). m Matice systému Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému Řešení: A = det(A - AJ) 4 9 4 8 x1(n + 1) x2(n + 1) -4-A -4 A -4*1 (n) + 9x2(n) -4xi(n) + 8x2(n). 4A + 4= (A-2)2 Matice systému má dvojnásobné vlastní číslo Ai = 2. ©Lenka Přibylová, 2012 1 Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému x1(n + 1) x2(n + 1) Řešení: -4 9 -4 8 det(A - AJ) - Ai = 2 : -4-A -4 -6 9 -4 6 A vi = -4xi(n) + 9x2(n) -4xi(n) + 8x2(n). ■ 4A + 4 = (A - 2)2 s deficientním vlastním vektorovým prostorem. ©Lenka Přibylová, 201: 1 Příklad . Najděte obecné řešení lineárního systému x1(n + 1) x2(n + 1) Řešení: a-rA 9 A - {-A 8 det(A - AJ) - Ai = 2 : Aw2 = A1V2 + Vi : A 4-A -4 6 9 4 6J Vl=V2 6 9 3 4 6 2 -4xi (n) + 9x2(n) -4xi (n) + 8x2(n). ■4A + 4= (A-2)2 v2 = I Vytvoříme proto druhý vektor splňující AV2 = A1V2 + vi. Vektory I {vi, V2} tvoří bázi zobecněného prostoru vlastních vektorů. Ml h ii iii ■ Lenka Hribylova, ju1j | x = Tu => Tu(n + 1) = ATu(n) Zaveďme vhodnou lineární transformaci. 1 Tu Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + l) = T_1ATu(n) Pro T = (vi, V2) bude matice systému v Jordánově tvaru. EB B B M- (cl Lenka Tylova, 2012 H Tu Tu(n + 1) u(n + l) «i(n + l) u2(n + l) ATu(ft) T_1ATu(n) 2 A O 2 Násobením matic dostáváme: t-at=(_!2 ->)(=í (3 J) = (_"4 J) -G 0- V případě, že by šlo o nedeficientní prostor vlastních vektorů a nevytvářeli bychom zobecněný vlastní vektor, byla by v pravém horním rohu lordanovv matice nula. x = Tu => Tu(n + 1) u(n + l) (ui{n + l)\ \u2{n + l)) «i(n + l) u2(n +1) ATu(n) T_1ATu(n) (2 l\ /Ml(n)\ ^0 2,1 ^(n); 2u1(n) + u2(n) 2u2(n) Systém se tentokrát nerozpadne na dvě samostatné rovnice, ale lze jej "zespodu vyřešit". x = Tu => Tu(n + 1) u(n + l) (ui{n + l)\ \u2{n + l)) ui(n + l) u2(n +1) Řešení: u2{n) = c22", ATu(ft) T"1ATu(n) (2 l\ /Ml(n)\ ^0 2,1 ^2(n),| 2u!(n) + u2(n) 2u2(n) bei Q Q © Lenka Přibylová, 2012 EJ x = Tu => Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + l) = T_1ATu(n) (Ul{n + 1)\ (2 l\ fUl(n)\ \u2{n + l)) \0 2) \u2{n)) «i(n + l) = 2u1(n) + u2(n) u2(n + í) = 2u2(n) Řešení: u2(n) = c22n, dosazením do první rovnice máme «i(n + l) -2ui(n) = c22" I Jde o nehomogenní lineární diferenční rovnici 1. řádu. Můžeme ji I řešit např. vynásobením faktorem 2~" nebo variací konstanty. Tu Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + l) = T_1ATu(n) (Ul(n + 1)\ _ (2 1\ fUl(n) \u2(n + l)J \0 2) \u2{n) «i(n + l) = 2u1(n) + u2(n) u2(n + í) = 2u2(n) Řešení: u2(n) = c22n, dosazením do první rovnice máme «i(n + l) -2ui(n) = c22" Ul(n + 1)2-" - 2Ul(n)2-n = - ^0 = c2. I Násobení faktorem 2 " bude rychlejší. ■MBMBMBMBMBMBMBMBMBMBMBMBM w Lenka Wibylová, 2012 Q Tu => Tu(n + 1) = ATu(n) u(n + l) = T_1ATu(n) (Ul(n + 1)\ _ (2 1\ fUl(n) \u2(n + l)J \0 2) \u2{n) «i(n + l) = 2u1(n) + u2(n) u2(n + í) = 2u2(n) Posloupnost zv(n) = u£„-} má konstantní diference, je to lineární posloupnost s diferencí c2. ux(n + 1)2-" - 2Ul(n)2-" = - f$ = c2. Odtud ^ = ci + c2n, tj. «i(n) = (ci + c2n)2 © Lenka Přibylová, 2012 Q x = T "i "2, = (^2) ({Cl+cCý2 {ci + c2n)2 n-l + c22n I Řešení původního systému dostaneme zpětnou transformací. v2)((Cl+c^)2"" , r on A\ = /(3c1 + 3c2n + 2c2)2"-1 2 W I (ci + c2n + c2)2" Nelineární autonomní systém Nelineární úlohu (4) s pevným bodem Xq lze posunutím tohoto bodu do počátku převést na tvar x(n + l) = Ax(n) + g(x(n)), (6) kde A = Df (xq) je Jacobiho matice f v singulárním bodě xq a g(x) = o( || x II) pro || x ||—>■ 0, často dokonce || g(x) || < k || x |2 na || x || < a (a > 0, k > 0). Podobně jako pro spojitý systém lze pomocí diskrétní analogie Gronwallova lemmatu ukázat, že v případě, že A má pouze vlastní hodnoty s absolutní hodnotou menší než 1, existují 0 < a < 1 a /3, c > 0 takové, že každé řešení (6) s počáteční podmínkou x(0) = £, || £ || < b splňuje pro n > hq II x(n) ||< c || £ || an-"o. EE1 Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Dostáváme tedy analogii Ljapunovovy věty pro diskrétní případ, tedy následující tvrzení: Věta (analogie Ljapunovovy věty): Uvažujme systém (4) a jeho pevný bod xq. Označme J = Df (xq) Jacobiho matici v bodě xq. Pak xq je stabilní, jestliže všechna vlastní čísla K\, Ki,..., A„ matice J splňují |A,| < 1. (Takový pevný bod nazýváme atraktorem.) Definice: Pevný bod xq systému (4) nazveme hyperbolickým pevným bodem, jestliže žádná z vlastních hodnot příslušné Jacobiho matice J = Dí(xq) nemá jednotkovou velikost. EBl Q 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Věta (analogie Grobmanovy-Hartmanovy věty o linearizaci): Systém (4) je v okolí svého hyperbolického pevného bodu xq lokálně topologicky ekvivalentní se svou linearizaci x(n + l) = Df(x0)x(n). Poznámka 16. Fázové portréty dvou systémů tvaru (4) v okolí hyperbolických pevných bodů xq a yo jsou lokálně topologicky ekvivalent právě tehdy, když tyto pevné body mají stejný počet m_ a m+ vlastních hodnot s |A| < 1 a |A| > 1. EEl q q © Lenka Přibylová, 2012 Q Poznámka 17. Fázové portréty v rovině. Uvažujme dvourozměrný systém x(n + l) = í(x(n)), x = (x1,x2)T E R2, kde f je hladká funkce. Předpokládejme, že x = xq je pevný bod zobrazení /, tj. í(xq) = xq, a J = Df(xo) je příslušná Jacobiho matice. Matice J má pak dvě vlastní hodnoty Ai, A2, které jsou kořeny charakteristické rovnice det(J - AI) = A2 - crA + A = 0, kde t7 = tr J = Ai + A2 je stopa Jacobiho matice a A = det J = A1A2 je její determinant. EBl E] B © Lenka Přibylová, 2012 EJ (-'.-^ Věta: Postačujícími podmínkami asymptotické stability pevného bodu diskrétního systému (4) v rovině jsou podmínky |A| = |detj| < 1, 1-Í7 + A = l-trj + detj>0 l+t7 + A = 1 + trJ + detJ > 0. Poznámka 18. Dostali jsme zcela analogické výsledky jako ve spojitém případě. Nelineární systém můžeme v okolí hyperbolických pevných bodů vnímat jako mírně deformovaný lineární systém, jehož chování se od nelineárního nijak kvalitativně neliší. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Topologická klasifikace hyperbolického pevného bodu v rovině: (m+,m-) vlastní hodnoty fázový portrét stabilita (0,2) < *- • • V uzel ••• ■ / ^ ohnisko • • stabilní (1.1) ° sedlo nestabilní (2,0) < > m • A •x uzel •o a • ohnisko • nestabilní El □ ©Lenka Přibylová, 2012 Příklad . Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém (zpožděná logistická rovnice) x(n+l) = rx{n){l — y{n)), y{n+l) = x{n) v okolí jeho pevných bodů pro r E (0,1). © Lenka Přibylová, 2012 Q Příklad . Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém (zpožděná logistická rovnice) v okolí jeho pevných bodů pro r E (0,1). Řešení: Pevné body jsou dva [0,0] a [^,^]. I Z druhé rovnice máme y = x, což dává po dosazení do první I rovnice rx(í — x) = x. B B ■ fl-Cii Lenka Wibylová, 20121 x(n + 1) y{n + l) rx(n)(í — y{n)), x(n) Příklad . Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém (zpožděná logistická rovnice) x(n+l) = rx{n){l — y{n)), y{n+l) = x{n) v okolí jeho pevných bodů pro r E (0,1). Řešení: Pevné body jsou dva [0,0] a [^y^, ^y^] • Jacobiho matice je j=Df(*,y)=(,<1-y> 7), EEi El 19 © Lenka Přibylová, 2012 Q Příklad . Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém (zpožděná logistická rovnice) x(n+l) = rx{n){l — y{n)), y{n+l) = x{n) v okolí jeho pevných bodů pro r E (0,1). Řešení: Pevné body jsou dva [0,0] a [^y^, ^y^] • Jacobiho matice je j = Df(,,y) = (^-y) 7),tj.j(o,o)=(; °), © Lenka Přibylová, 2012 fj Příklad . Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém (zpožděná logistická rovnice) x(n+l) = rx{n){l — y{n)), y{n+l) = x{n) v okolí jeho pevných bodů pro r E (0,1). Řešení: Pevné body jsou dva [0,0] a [^y^, ^y^] • Jacobiho matice je } = Di{x,y) det(J - AI) = r(l — y) —rx 1 0 r - A 0 1 -A ,tj.J(0,0) A(r - A), r (T 1 O/' 1 Vlastní čísla splňují det(J — AI) = 0 D Lenka Přibylová, 2012 Příklad . Najděte vlastní čísla a podle nich klasifikujte systém (zpožděná logistická rovnice) x(n+l) = rx{n){l — y{n)), y{n+l) = x{n) v okolí jeho pevných bodů pro r E (0,1). Řešení: Pevné body jsou dva [0,0] a 'r(\ — y) —rx 1 0 r - A 0 1 -A } = Di{x,y) det(J - AI) = . Jacobího matice je ,tj.j(o,0)=(; * Xir - A), [0,0] je STABILNÍ UZEL. 1 1 -ŕ 1 O , © Lenka Přibylová, 20121 J(¥-¥) = det(J - AI) = 1 1 -r 1 O 1 - A í-r 1 -A = A2-A-(l-r), II Vlastní čísla splňují det(J — AI) = O 5 Lenka Přibylová, 2012 J( r—l r—ľ* det(J - AI) = 1 1 -r 1 O 1 - A 1 - r 1 -A = A2-A-(l-r), "r—1 r—l je NESTABILNÍ (sedlo nebo uzel). -1± VI+4(1-r) Al,2 = -~- EE1 Q 13 2^ Poznámka 19. Proč pro spojitý případ je u vlastních hodnot kritickou mezí Re A = 0 a pro diskrétní |A| = 1? Uvažujme nejjednodušší lineární diferenciální rovnici s vlastní hodnotou A Jejím řešením je x(t) = ceAí = c(eA)ř. Tato funkce bude konvergovat k počátku, pokud |eA| < 1, resp. Re A < 0. Pro opačné nerovnosti bude divergovat. Analogická lineární diferenční rovnice s vlastní hodnotou A je x(n + 1) = Ax(n). Jejím řešením je x(n) = cA". Tato posloupnost bude konvergovat k počátku, pokud |A| < 1 a pro opačnou nerovnost bude divergovat. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Co se stane s trajektoriemi v okolí singulárního bodu, který není hyperbolický, je těžké říct. Rozhodně nám na odpověď na tuto otázku nestačí znát pouze první derivace funkcí popisujících dynamiku. Ukazuje se, že je situace ještě daleko složitější, než by se na první pohled mohlo zdát. Nelineární perturbace mohou v okolí singulárních bodů ovlivňovat nejenom jejich stabilitu, ale mohou být původci nelineárních jevů, které jsme zatím neviděli. Nelineární dynamika může vysvětlovat vznik limitních cyklů (v ekonomii modelovat vznik endogenních hospodářských cyklů, v biologii cykly populací predátora a kořisti), hysterezi a bistabilní stavy (v enzymatické kinetice modeluje biochemické procesy dělení buňky, v neuroscience modeluje excitabilitu neuronů, v populační biologii jevy nenadálých přemnožení apod.), dále např. vznik chaotického chování a citlivosti na počáteční podmínky (v modelech počasí, populačních modelech nebo modelech srdečního rytmu). EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Všechny tyto modely mají společné to, že v "běžné"situaci jsou ustáleny právě do stabilního stavu, stabilního singulárního bodu a vychýlení z počátečních podmínek nebo malá změna parametrů systému toto nijak kvalitativně neovlivní. V situaci, kdy tyto "běžné"hodnoty parametrů opustíme, může dojít (a ve výše uvedených modelech také dochází) ke kvalitativní změně chování dynamického systému. Tato změna se nazývá BIFURKACE DYNAMICKÉHO SYSTÉMU. © Lenka Přibylová, 2012 fj Systémy závislé na parametrech, bifurkace Uvažujme systém diferenciálních rovnic s parametrem tvaru x = f(x,£), (7) kde x e X = R"1 je vektor proměnných, £ e JRfc je vektor parametrů a vektorová funkce f : Rm x Kk Rm je dostatečně hladká. Jestliže f (xq,£o) = 0/ má systém (7) singulární bod xq pro parametr £ = £q a linearizovaný systém v tomto bodě je ú = Df(x0,£0)u, kde Df (xq,£o) značí Jacobiho matici v bodě Xq pro parametr £ = £q. ebi e] q © Lenka Přibylová, 2012 EJ Je-li pro £q singulární bod Xq hyperbolický, je lineární transformace Df (xq,£o) : lRm lRm invertibilní a věta o implicitní funkci zaručuje lokálně existenci a jednoznačnost křivky £ i—»■ P(e), která splňuje P(eq) = xq a f(p(e),e) = 0, tedy ^3(e) odpovídá singulárnímu bodu pro parametr £. Navíc, pokud Df (xq,£o) má m+ a m_ vlastních hodnot s kladnou resp. zápornou reálnou částí, bude mít v okolí £q Jacobiho matice Df (^(e),e) stejný počet m+ a m_ vlastních hodnot s kladnou resp. zápornou reálnou částí. © Lenka Přibylová, 2012 Q Uvažujme systém diferenčních rovnic s parametrem tvaru x(n + l) = f(x(n),e), (8) kde x e X = Rm je vektor proměnných, £ e Rfc je vektor parametrů a vektorová funkce f : Rm x Kk Rm je dostatečně hladká. Jestliže f (xq,£o) = x0/ má systém (8) pevný bod Xq pro parametr £ = £q a linearizovaný systém v tomto bodě je u(n + 1) = Df (x0,e0)u(n), kde Df (xq,£o) značí Jacobiho matici v bodě xq pro parametr £ = £q. ebi E] 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Je-li pro £q pevný bod Xq hyperbolický, je lineární transformace Df (xq,£o) — I : lRm lRm invertibilní a věta o implicitní funkci zaručuje lokálně existenci a jednoznačnost křivky £ i—»■ /5(e), která splňuje P(eq) = xq a f(^(e),e) = /5(e), tedy 0(e) odpovídá pevnému bodu pro parametr £. Navíc, pokud Df (xq,£o) má m+ a m_ vlastních hodnot s velikostí větší resp. menší než l,bude mítvokolí £q Jacobiho matice Df(^(e),e) stejný počet m+ a m_ vlastních hodnot s velikostí větší resp. menší než 1. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Hyperbolický rovnovážný bod bude mít tedy pro parametry £ dostatečně blízké £o stejné kvalitativní vlastnosti (stabilitu, nestabilitu, dimenze stabilní a nestabilní variety). V okolí hyperbolického rovnovážného bodu závislého na parametru je tedy tento systém tzv. strukturálně stabilní, tj. perturbovaný systém je s ním lokálně topologicky ekvivalentní. V případě, že má Jacobiho matice Df (xq,£o) nějakou vlastní hodnotu s nulovou reálnou částí ve spojitém případě nebo s velikostí rovnou 1 v diskrétním případě (wio 7^ 0), není zaručena existence ani jednoznačnost křivky P(e), tj. při perturbaci může dojít k zániku rovnovážného bodu (v každém okolí £q), nebo k vzniku nové větve rovnovážných řešení (odtud vznikl název, rozvětvení = bifurkace) a samozřejmě při přechodu £q může dojít ke změně stability, dimenze stabilní a nestabilní variety, tedy obecně k lokální kvalitativní změně chování systému. EBl EJ Q © Lenka Přibylová, 2012 EJ Definice: Lokální bifurkací systému (7) resp. (8) v okolí rovnovážného bodu (xq,£o) s kritickou hodnotou parametru £ = £q rozumíme výše uvedenou kvalitativní změnu dynamiky v okolí kritické hodnoty £q, tj. fázové portréty v okolí singulárního bodu xq při přechodu přes bifurkační parametr £q nejsou lokálně topologicky ekvivalentní. Poznámka 20. V okolí nehyperbolického singulárního bodu, kde dochází k bifurkaci, je systém strukturálně nestabilní. EBl Q 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Jednoparametrické bifurkace ve spojitém případě V následujících kapitolách se zblízka podíváme na situace, kdy se chování spojitého systému lokálně kvalitativně mění právě díky nehyperbolicitě singulárního bodu. Půjde o bifurkace závislé na změně jednoho parametru, proto mluvíme o jednoparametrické bifurkaci, někdy o bifurkaci kodimenze jedna. V prostoru k parametrů je totiž taková bifurkační hranice oddělující od sebe strukturálně stabilní oblasti (k — 1) - rozměrnou varietou, má tedy kodimenzi 1. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Bifurkace sedlo-uzel, fold, limitní bod Uvažujme diferenciální rovnice s parametrem tvaru x = e — x2, i é R, £ ě R. (9) Singulární body splňují f(x, e) := e — x2 = 0, tj. leží na křivce e = x2. Pro e < 0 systém (9) nemá žádný singulární bod, pro e = 0 je singulární bod Xq = 0 a pro e > 0 jsou singulární body dva x = ±i/i. Parametr e = 0 je tedy bifurkační hodnotou a při jeho přechodu v okolí počátku dochází k lokální bifurkaci typu fold (ohyb). Bod (xq, £q) = (0,0) je tzv. limitním bodem. Všimněte si, že vlastní hodnota A = D f (0,0) = 0. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Bifurkační diagram bifurkace typu fold: £ < 0 0 e = 0 /e ve e > 0 t < ' Křivka odpovídající stabilnímu singulárnímu bodu se zakresluje plnou čarou (plný bod), nestabilnímu bodu pak čárkovaně (prázdný bod). © Lenka Přibylová, 20121 Věta: Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) x = f(x,a), x e R, a e R, (10) kde / je hladká funkce, má pro a = 0 singulární bod x = 0 a A = fx (0,0) = 0. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky fxx(0,0) 7^ 0 podmínka nedegenerovanosti, fa (0,0) 0 podmínka transverzality. Pak je (10) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě fold bifurkace ý=±e±y1 © Lenka Přibylová, 2012 q Bifurkace tohoto typu (fold) se nazývá také bifurkace sedlo-uzel. Systém (9) je tzv. normálním tvarem pro bifurkaci sedlo-uzel. Znaménko fXx(0,0) pak určuje znaménko u x2 v normálním tvaru, znaménko fa (0,0) určuje znaménko u e. Každá jednoparametrická diferenciální rovnice tvaru (10) splňující podmínky věty je lokálně topologicky ekvivalentní s jejím normálním tvarem. Ti, kteří chtějí vědět, jak najít onen neznámý homeomorfismus z definice topologické ekvivalence, klikněte ZDE. Podmínka nedegenerovanosti zaručuje, že nejde o jiný typ bifurkace, podmínka transverzality zaručuje, že při přechodu parametru přes kritickou hodnotu skutečně dochází ke kvalitativní změně (vzniku či zániku singulárních bodů). Ve vícerozměrném případě k této bifurkaci dochází v případě, že Jacobiho matice J má právě jednu vlastní hodnotu s nulovou reálnou částí, a to nulovou, hledáme tedy det J = 0. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Jednoduchým vícerozměrným případem je dvourozměrný systém _ 2 ý = -y, jehož centrální varieta je osa x, jejíž dynamika je výše popsána, a osa y je stabilní jednorozměrnou varietou. Při přechodu přes bifurkační hodnotu parametru e = 0 tedy dochází ke kvalitativní změně - typu sedlo-uzel. Odtud název bifurkace. x e<{) e = 0 £>0 © Lenka Přibylová, 2012 q Model výlovu Uvažujme konstantně lovenou populaci (např. tuňáků) modelovanou logistickou rovnicí x = rx{l — y ) — h = f {x,h) s mírou růstu r > 0, výlovem h > 0 a kapacitou prostředí ÍC > 0. Výlov h je parametrem, který ovlivňuje existenci rovnovážného stavu Bifurkace typu fold nastává v případě, že pro singulární bod v kritické hodnotě parametru platí fx{x*,h*) = r- f x* = 0, tj. pokud platí x* = K eq q q © Lenka Přibylová, 2012 q což je právě splynutí singulárních bodů X\ a x2 v jediný To nastává pro kritickou hodnotu parametru h: h* — lK " — 4 • Protože fxx = — x T^Oa//, = — 1 7^ 0, jsou splněny podmínky nedegenerovanosti a transverzality bifurkace typu fold. Pokud výlov překročí tuto prahovou hodnotu h*, populace nutně vymře. Příklad. Analyzujte model v programu Matcont. H H H D ©Lenka Přibylová, 2012EJ Příklad . Ukažte, že v parametrickém systému x = x — y + 1 ý = y2-2x-e dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru e a nakreslete bifurkační diagram. EBl El 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Příklad . Ukažte, že v parametrickém systému x = x — y + 1 ý = y2-2x-e dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru e a nakreslete bifurkační diagram. Řešení: Singulární bod splňuje y2 — 2(y — 1) — e = 0, Dosazením x = y — 1 do pravé strany druhé rovnice. Šj ETTP^BSBi © Lenka Přibylová, 2012 Příklad . Ukažte, že v parametrickém systému x = x — y + 1 ý = y2-2x-e dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru e a nakreslete bifurkační diagram. Řešení: Singulární bod splňuje y2 — 2(y — 1) — e = 0, tj. y\ti = 1 ± Ve — 1 2/1,2 = B g ■ 2± V4-4(2-e) Příklad . Ukažte, že v parametrickém systému x = x — y + 1 ý = y2-2x-e dochází k bifurkaci sedlo-uzel, najděte kritickou hodnotu parametru e a nakreslete bifurkační diagram. Řešení: Singulární bod splňuje y2 — 2(y — 1) — e = 0, tj. y\ti = 1 ± Ve — 1 pro £q = 1 je singulární bod [0,1] limitní, pro e < 1 singulární body nejsou pro e > 1 jsou singulární body dva [±Ve — 1/1 i Ve — 1] • EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Jacobiho matice má tvar D f (x, y) = -2 2y x ý ■y+l -2x- 1 -ť "2 2y, Jacobiho matice má tvar Df(x, y) = v singulárním bodě tedy j = Df(±v^Xi ± v^T) = (_X2 2(1 © Lenka Přibylová, 2012 Q Jacobiho matice má tvar Df(x,y) = v singulárním bodě tedy J = Dí(±Ve ~ 1,1 ± Ve-1) = det J = ±2Ve - 1 = AiA2 1 -l\ -1 2 2(1 ± Ve-1)/ ' EE1 Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Jacobiho matice má tvar Dí(x, y) = ^ ^ 2yJ' v singulárním bodě tedy j = Df(±^,i±^)=(_12 2(1±"^))-det J = ±2Ve - 1 = AiA2 trj = 3± 2Ve - 1 = Ai + A2 > 0pro e > 1 v okolí 1. © Lenka Přibylová, 2012 fj Jacobiho matice má tvar Df(x,y) = v singulárním bodě tedy j = Df(±^,i±^)=(_12 2(1±"^))-det J = ±2 Ve - 1 = AiA2 trj = 3± 2Ve - 1 = Ai + A2 > 0pro e > 1 v okolí 1. Bod [Ve — 1/1 + Ve — 1] je tedy nestabilní uzel a bod [—Ve — 1/1 — Ve — 1] sedlo. ("2 2y)' © Lenka Přibylová, 2012 Q Jacobiho matice má tvar Df(x,y) = v singulárním bodě tedy j = Df(±^,i±^)=(_12 2(1±"^))-det J = ±2 Ve - 1 = AiA2 trj = 3± 2Ve - 1 = Ai + A2 > 0pro e > 1 v okolí 1. Bod [Ve — 1/1 + Ve — 1] je tedy nestabilní uzel a bod [—Ve — 1/1 — Ve — 1] sedlo. V kritické hodnotě parametru £q = 1 dochází k bifurkaci typu sedlo-uzel. ("2 2y)' © Lenka Přibylová, 2012 Q x nestabilní uzel LP,' --o- 0 1\ sedlo © Lenka Přibylová, 20121 Pro hledání vhodných "adeptů"pro jednoparametrickou bifurkaci sedlo-uzel vícerozměrného systému tvaru (7) x = f(x,e) můžeme použít jednoduchý algoritmus. Hledáme řešení soustavy rovnic: f(x,e) = 0, detDf(x,e) = 0 vzhledem k x a jednomu z parametrů. Zda skutečně dochází k bifurkaci sedlo-uzel můžeme ověřit až spočtením vlastních hodnot Jacobiho matice Df (x,e) v okolí kritické hodnoty £q (většinou fixujeme složky až na jednu), přitom Jacobiho matice je vypočtena v singulárním bodě x = P(e), který závisí na parametru. EBl E] El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Druhá možnost je vhodně transfomovat systém (7) tak, aby se "vyloupla"jedna diferenciální rovnice, která bifurkaci způsobuje a zde použít větu o jednodimenzionální jednoparametrické bifurkaci sedlo-uzel. Říká se tomu redukce systému na centrálni varietu. Když se nad tímto trochu zamyslíme, zjistíme, že ani jedno nebude pro složitější systémy "ručně"spočitatelné. Proto pro vícerozměrné systémy nastupují kontinuační programy jako je XPPAUT s AUTO nebo Matcont, v jejichž pozadí ovšem jedna z těchto metod běží alespoň numericky. EBl EJ 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Hystereze a náhlé skoky Systém s hysterezí má paměť. V deterministickém systému bez hystereze je možné předpovědět výstup pouze v závislosti na čase, v systému s hysterezí to nelze, kromě času musíme znát i "cestu"vstupu, tedy trajektorii, kterou vstup prošel, než dosáhl určité hodnoty. Hystereze vykazuje typicky zpoždění při návratu do původního stavu. Známá je hystereze u feromagnetických materiálů, které po vystavení magnetickému poli vykazují nějakou dobu magnetické vlastnosti, poté dojde k zániku vnitřního magnetického pole. Tento jev se ale objevuje i v jiných oborech - biologii, medicíně, ekonomii apod. EBl q 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ 2. stabilní stav ferromagnetu - zmagnetizovaný parametr - síla vnějšího magnetického pole EE1 Q 13 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Model populace obaleče Choristoneura Occidentalis Spruce Budworm Model V roce 1978 byl vytvořen model populace obaleče, který je v Kanadě škůdcem jehličnatých lesů. Model umožnil pochopit dynamiku populace obaleče a mechanismus vzniku skokových změn, kdy dochází k jeho přemnožení. Na základě modelu je možné populaci obaleče kontrolovat. Populace obaleče bude modelována logistickým modelem růstu kde N je populace, r > 0 míra růstu populace aK > 0 kapacita prostředí (v případě obaleče je dána hustotou jehličí). Singulární bod N = K je asymptoticky stabilní, počátek nestabilní, řešení lze dokonce nalézt v explicitním tvaru. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ V modelu populace obaleče je na pravé straně navíc funkce predace BN2 ptáky p(N) = ^2 (analyzujte průběh funkce), která má sigmoidní charakter (A, B > 0), tj. N\ BNZ N = r*N{1-K)-ATTŇ- přičemž rg > 0 značí nikoliv míru růstu populace (birth - death rate), ale míru přírůstku nově vylíhlé populace, birth rate. V této rovnici lze zmenšit počet parametrů (změnou měřítka populace „ ^ n . . N Bt ArB K a casu) substituci x = —,t = —, r = -, q = — a dostaneme tak ' A A B ^ A x\ x2 x = rx[l--)---?. (12) V q) i + x2 Je zřejmé, že x = 0 je nestabilní singulární bod (proč?). Další singulární body splňují rovnici 1 X X q J l+x2' ©Lenka Přibyloi Graficky můžeme singulární body najít jako průsečíky přímky s nelineární křivkou: ......... • •'V X3 q \ f(x) Je zřejmé, že v případě vyznačeném na obrázku jsou nenulové singulární body tři, vnější dva stabilní, vnitřní nestabilní. Při malé změně parametrů může dojít k zániku jednoho z těchto stabilních EBl q 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ bodů. Při zániku bodu x\ tedy dochází i při relativně nízké velikosti populace k prudkému přemnožení, které navíc vykazuje hysterezi. Varietu odpovídající singulárním bodům můžeme zobrazit závisle na obou parametrech - r a q. Tento typický ohyb (fold - přeložení) se nazývá katastrofa bodu vratu -cusp catastrophe. Jde o bifurkaci dvouparametrickou. Schéma H H H D ©Lenka Přibylová, 2012EJ bifurkačního diagramu se v takovém případě zakresluje do prostoru parametrů, který je bifurkačními hranicemi (odpovídají limitním bodům bifurkace sedlo-uzel) rozdělen na strukturálně stabilní oblasti, tj. oblasti s topologicky ekvivalentními fázovými portréty. r 1 singulární bod cusp 1 2 """ Příklad. Analyzujte model v programu XPPAUT a vykreslete bifurkační diagram pomocí programu AUTO nebo v programu Matcont. Zkuste interaktivní aplet © Lenka Přibylová, 2012 EJ Model vznícení Prostudujte model vznícení. Hezky česky. Model koroze homogenního kovu Vytvořte ode soubor podle vědeckého článku. Příklad. Najděte model (v knize, článku), který je popsán diferenciálním systémem, v němž dochází k bifurkaci sedlo-uzel. EBl q 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Teorie katastrof Katastrofa bodu vratu - cusp catastrophe - je jednou z tzv. elementárních katastrof, které vznikají v dynamických systémech. Velmi typické jsou takové systémy, které mají pomalou změnu kontrolních parametrů a rychlou změnu stavových proměnných, k přechodu do rovnováhy tedy dochází téměř okamžitě. Pokud v takovém případě varieta rovnovážných stavů vykazuje ohyb např. typu cusp, změna parametrů má za následek v předchozí části popsaný jev hysterese a náhlého skoku. Na druhou stranu, pokud v dynamickém systému pozorujeme jev hysterese, náhlé skoky a bimodalitu (dva různé stabilní stavy), můžeme se domnívat, že bude možné toto chování vysvětlit modelem, ve kterém dochází ke katastrofě. EBl E] El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Základními elementárními katastrofami jsou fold, cusp, swallowtail a butterfly katastrofy, které jsou jevy na jednorozměrném stavovém prostoru s jedním až čtyřmi bifurkačními parametry. Bifurkaci typu fold a cusp jsme již vysvětlili, k dvourozměrné bifurkaci typu cusp se ještě vrátíme. Donedávna se zdálo, že bychom mohli takto katalogizovat katastrofické chování dynamických systémů pro různé dimenze stavových prostorů a kontrolních parametrů. V roce 1985 ale Arnold, Gusein-Zade a Varchenko ukázali, že od dimenze 11 je počet takovýchto katastrof nekonečný. To ale nic nemění na tom, že základní elementární katastrofy mohou popisovat a vysvětlovat chování mnohých dynamických systémů, protože ve strukturálně nestabilní oblasti parametrů bývá často jen jeden (fold bifurkace) nebo dva parametry (cusp bifurkace), přitom ostatní parametry dynamického systému sice ovlivňují systém jako celek, ale nikoliv dramatickým způsobem. © Lenka Přibylová, 2012 EJ Příklady takovýchto dynamických jevů najdeme v mnohých oblastech. Ve fyzice to může být přechod látky z plynného do kapalného stavu a naopak (stavová proměnná je hustota) v závislosti na teplotě a tlaku (kontrolní bifurkační parametry). Skoková změna je zde var a kondezace. Při vysokém tlaku již plyn od kapaliny nerozlišujeme -přešli jsme kritický bod vratu. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Další oblastí, kde hysterese vysvětluje příčinu náhlých skoků je biologie (viz model přemnožení obaleče). Ukazuje se ale, že také na biochemické úrovni tento matematický model vysvětluje tzv. biochemické přepínače. Neuron vyšle signál, buňka se začne dělit, rytmus srdce se změní. Jak dojde k této skokové změně? Vstupní napětí u v axonu se nemění skokově, ale postupně, přesto najednou překročí kritickou hranici a axonem projde signál. Dělení buňky ovlivňuje koncentrace cyklinu. Proč dojde k jednorázovému dělení při překročení určité koncentrace a dále se již buňka nedělí? A kde mechanismus havaruje a dojde k nekontorlovanému dělení a vzniku rakoviny? Kde je hranice, která běžný tep srdce změní na arytmii? Moderní biochemie hledá odpověď právě v matematickém modelu s hysteresí. Za posledních 20 let tato disciplína prodělala obrovský rozvoj právě díky matematickým modelům. Stránky matematického biologa Prof. Johna J. Tysona. EBl EJ 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Ekonomie je oblastí, kam vstupuje matematické nelineární modelování, teorie bifurkací a teorie katastrof paradoxně pomalu, i když první pokusy zasahují již do 70. let minulého století. Je na vás to změnit. Náhlé skoky a hysterese jsou přece typickými jevy na finančních trzích, v dynamice míry nezaměstnanosti nebo mezd. Inspiraci můžete čerpat na stránkách ekonomů, kteří nelineární modely propagují: Stránky Prof. J. Barkley Rossera. Stránky Prof. Petera Flaschela. Stránky Prof. Oliviera Bruna. EBl q 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Psychologie, sociologie bei o q © Lenka Přibylová, 2012 EJ Psychologie, sociologie bei Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Psychologie, sociologie bei o q © Lenka Přibylová, 2012 Q Psychologie, sociologie bei o q © Lenka Přibylová, 2012 fj Psychologie, sociologie bei o q © Lenka Přibylová, 2012 fj Psychologie, sociologie bei o q © Lenka Přibylová, 2012 Q Psychologie, sociologie bei o q © Lenka Přibylová, 2012 Q Psychologie, sociologie Další jednoparametrické bifurkace počtu singulárních bodů Normální forma transkritické bifurkace x = ex — x2 (13) Normální forma vidličkové (pitchfork) bifurkace x = ex — x3 (14) Příklad. Nakreslete jejich bifurkační diagramy. Nejdříve analyzujte ručně, poté využijte Matcont nebo XPPAUT a AUTO. EBl q 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Věta: Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) x = f(x,a), x e R, a e R, (15) kde / je hladká funkce tvaru f(x,a) = xg(x,a), má pro a = 0 nehyperbolický singulární bod x = 0 (A = fx(0,0) = 0). Předpokládejme, že jsou splněny podmínky gx(0,0) 7^ 0 podmínka nedegenerovanosti, ga(0,0) 0 podmínka transverzality. Pak je (15) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě transkritické bifurkace ý = ±ey ± y2 © Lenka Přibylová, 2012 fj Věta: Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) x = f(x,a), x e R, a e R, (16) kde / je v okolí počátku lichá funkce, má pro a = 0 nehyperbolický singulární bod x = 0 (A = fx (0,0) = 0). Předpokládejme, že jsou splněny podmínky fxxx(0,0) 7^0 podmínka nedegenerovanosti, fxa(0,0) 7^0 podmínka transverzality. Pak je (16) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě vidličkové bifurkace ý = ±ey ± y3 © Lenka Přibylová, 2012 Q Poznámka21. Jak v případě fold, tak v případě transkritické bifurkace znaménko u y2 odpovídá znaménku levé strany podmínky nedegenerovanosti. Podobně u vidličkové bifurkace je znaménko u y3 znaménkem levé strany podmínky nedegenerovanosti. Znaménko u e odpovídá znaménku levé strany podmínky transversality. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Hopfova bifurkace také Andronovova bifurkace nebo bifurkace vzniku limitního cyklu. Uvažujme systém diferenciálních rovnic s parametrem tvaru x = ux — 1/ — x(x2 + 1/2), 2 2 (17) y= x + y.y-y(x +y), kde x, 1/GlRa^GlRje parametr. Singulárním bodem systému je počátek a Jacobiho matice systému v něm má tvar ^ . Vlastní hodnoty jsou tedy Ai 2 = Pro \i < 0 je tedy počátek stabilním ohniskem, pro \i > 0 je nestabilním ohniskem. Kritická hodnota parametru \i = 0 je bifurkační hodnotou Hopfovy bifurkace, při jejím přechodu se mění kvalitativní vlastnost - stabilita - singulárního bodu. Systém (17) je normálním tvarem Hopfovy bifurkace. BI B H Bl © Lenka Přibylová, 2012 EJ Zaveďme komplexní proměnnou z = x + iy. Pak ž = x + iy = ]i(x + iy) + /(x + iy) — (x + iy) (x2 + y2), tj- ž = (y + i)z — z|z|2. Eulerův tvar komplexního čísla z = pe'f pak dává polární tvar systému (17): p = PÍH-P2), (18)

0 vzniká další singulární bod p = ^fy. (zápornou hodnotu můžeme vynechat, nemá v této reprezentaci smysl, jde o vzdálenost). Počátek je v tomto případě }i > 0 nestabilní, singulární bod p = ^fy. je stabilní. Tento odpovídá stabilnímu limitnímu cyklu v okolí počátku. EBl EJ 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ © Lenka Přibylová, 2012 Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Věta: Předpokládejme, že dvoudimenzionální jednoparametrický systém x = f(x,a), (20) kde x e R2, a e R, f = {fi,fif hladká funkce, má pro a z okolí 0 singulární bod x = 0 a J = Df(0,0) má vlastní hodnoty A12 = }i{a) ± z'a;(a), kde /z(0) = 0 a o;(0) = ĺOq > 0. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky 'i(O) 7^0 podmínka nedegenerovanosti, F«(0) 7^ 0 podmínka transverzality. Pak je (20) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě Hopfovy bifurkace Ú = ±£« — V ± u(u2 + V2), V = U + ±£V ± v(u2 + V2). v_ © Lenka Přibylová, 2012 Q Poznámka22. Číslo Zi(0) se nazývá první Ijapunovův koeficient nebo první Ijapunovovo číslo. Jeho znaménko určuje znaménko u nelineárních členů v normálním tvaru. V případě, že Zi(0) < 0, je systém ekvivalentní námi dříve studovanému se stabilním limitním cyklem, mluvíme o superkritické Hopfově bifurkaci. V případě Zi(0) > 0 jde o subkritickou Hopfovu bifurkaci s nestabilním limitním cyklem. Pokud je první Ijapunovův koeficient nulový, jde o Bautinovu bifurkaci, kterou je třeba popsat dvěma parametry a při které dochází např. k vzniku a zániku dvou blízkých limitních cyklů. Výpočet Ijapunovova koeficientu je založen na transformaci původního systému do lokálně topologicky ekvivalentního systému v normální formě. My si uvedeme pouze "kuchařku"na jeho výpočet. Znaménko u e určuje zase podmínka transversality. Ve vícerozměrném případě k této bifurkaci dochází v případě, že Jacobiho matice J má právě dvě ryze imaginární komplexně sdružené vlastní hodnoty. Ve dvourozměrném případě tedy hledáme tr J = 0 za předpokladu det J > 0. Perioda cyklu vznikajícího v okolí počátku je T = ^j, protože řešení (20) je blízké funkci elcot = cos tot + i sin tot. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Matice J = Df (0,0) má podle předpokladů dvě ryze imaginární vlastní hodnoty k\ 2 = ±z'o?o Jim příslušné (komplexní) vlastní vektory v, v jsou také komplexně sdružené. Označme T matici složenou z reálné a imaginární části vlastního vektoru příslušného vlastní hodnotě —íĺOq, tj. T = (Re v, Im v). Pak platí a transformace x = Tu pak převádí systém x = f(x,0) = Jx + F(x), na systém ů = T JTu + T F(Tu). (21) © Lenka Přibylová, 2012 Q Právě nelineární část (^q^' y2)^ = ^ 1F (Tu) je podstatná pro výpočet prvního ljapunovova koeficientu Zi(0) a určuje stabilitu nebo nestabilitu limitního cyklu vznikajícího v okolí kritické hodnoty Hopfovy bifurkace. Označme Pm 3. derivaci nelineární části prvního řádku podle první složky «1 vektoru u = («i, «2)T v nule, tj. p _ a3P(»i,»2) i 111 ~~ -au3-l«i=0,u2=0- Podobně např. Q12 bude značit 2. derivaci nelineární části druhého řádku podle první a druhé složky vektoru u v nule, tj. n — d2Q("i,"2) i «12 ~~ l«i=0,u2=0- EEl Q 13 © Lenka Přibylová, 2012 Q První ljapunovův koeficient pak vypočteme podle vzorce 'l(O) = ^j(Plll+Pl22 + Qll2 + Q222) + 573[P12(PH + -Pil) " Ql2(Qll + Q22) " PllQll + -P22Q22]. Je super, že máme kontinuační numerické programy jako XPPAUT a nemusíme to vždy dělat... EBl E] El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Chemický model Bruselátor Uvažujme chemické reakce A % x B + X % Y + C 2X + Y % 3X X D za předpokladu, že C a D dále do reakcí nevstupují a koncentrace [A] a [B] se udržují konstantní, kinetické rovnice reakce popisuje systém 4|1 = hlAj-UBJlXj+kzlXflYj-hlX], ifl = k2[B][X]-k3[X}2[Y}. © Lenka Přibylová, 2012 Q Označme x=[X\y/%,y= [Y]^ a = [A]|6 = [B]g, t = M, pak lze systém zjednodušit na tvar x= a — (b + l)x + x2y, v y (22 ý = /3x — ry. Příklad. Ukažte, že pro b = 1 + a2 dochází v systému (22) k superkritické Hopfově bifurkaci. EEI EJ 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Selkovův model glykolýzy Příklad. Prostudujte dynamiku modelu glykolýzy, který má (po zmenšení počtu parametrů) tvar x = —x + ay + x2y, ý = b — ay — ry. Analyzujte pomocí XPPAUTu nebo Matcontu. Původní Selkovův článek. Animace. 2 (23) © Lenka Přibylová, 2012 Q Model neuronu FitzHugh-Nagumův Model V roce 1948 provedl Alan Lloyd Hodgkin pokusy, při kterých zaváděl stejnosměrný proud různých velikostí do axonů nervových buněk a sledoval, že některé hodnoty proudu vyvolaly série impulzů o různých frekvencích, jiné vyvolávaly jen jeden impulz nebo byly bez odezvy. V roce 1952 pak A. L. Hodgkin a Andrew Fielding Huxley publikovali sérii článků, ve kterých popsali toky elektrických proudů povrchovou membránou nervového vlákna matematickým modelem, který je dnes známý jako Hodgkin-Huxleyho model. Sestává ze soustavy 4 nelineárních diferenciálních rovnic, které velmi dobře popisují chování neuronu. V roce 1961 Richard FitzHugh publikoval zjednodušený model, který vykazuje obdobné chování, protože je zjednodušením projekce 4-rozměrného Hodgkin-Huxleyho modelu na jeho tzv. centrální varietu. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ V= V(a-V)(V -\) - w + I, w = bV — cw. (24) V zastupuje membránové napětí, I je velikost vstupujícího proudu. Ostatní parametry i stavová proměnná w vycházejí z popisu kinetiky chemických reakcí na membráně axonu (přenos signálu je zprostředkován změnami koncetrací iontů K+, Na+, Cl~ a anionty bílkovin). Druhá rovnice je obnovovací, má pomalejší odezvu a umožňuje vznik impulzu, který následně ukončí. Na paramer a neklademe zatím znaménkové podmínky, b, c > 0. Příklad. Najděte podmínky pro vznik Hopfovy bifurkace a ukažte, že pokud vzniká, jde o superkritickou bifurkaci. Příklad. Vytvořte bifurkační diagram pro vhodné parametry. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Model šíření reklamy Příklad. Na základě vědeckého článku vytvořte ode soubor a pomocí XPPAUTu ověřte tvrzení z kapitoly 2.1 o vzniku superkritické Hopfovy bifurkace. Příklad. Spočtěte kritickou hodnotu parametru a Hopfovy bifurkace a první ljapunovův koeficient. © Lenka Přibylová, 2012 EJ Model dělení buňky Otevřte webovou stránku modelu. © Lenka Přibylová, 2012 Q Víceparametrické bifurkace Co se stane, pokud budeme měnit více než jeden parametr dynamického systému? V okolí hyperbolické rovnováhy nic moc, rovnováha v nějakém okolí zůstane stále hyperbolická. Pokud ale budeme sledovat křivku kritického parametru nějaké jednoparametrické bifurkace, může druhý parametr způsobit • ještě další vlastní hodnoty dosáhnou kritické hodnoty (nulová reálná část v případě spojitého, jednotková velikost v případě diskrétního systému) • nebo narušení některé z podmínek zaručujících bif urkaci daného typu - ať už narušením podmínky typu vlastní hodnoty nebo narušením podmínky nedegenerovanosti. EBl E] El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Spojitým příkladem může být • již zmíněná bifurkace typu cusp (bod vratu), kdy je narušena podmínka nedegenerovanosti bifurkace typu fold (sedlo-uzel), • Bogdanov-Takensova bifurkace, kdy ryze komplexní vlastní hodnoty splynou v nule • nebo fold-Hopf bifurkace, kdy vzniká kromě ryze komplexního páru vlastních hodnot ještě nulová vlastní hodnota. Uvedeme si pouze některé normální tvary a nakreslíme bifurkační diagramy v okolí kritických hodnot parametrů. EBl EJ 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Věta: Předpokládejme, že jednodimenzionální dvouparametrický systém (rovnice) x = f(x,a), x e IR, a. = (oci,tx2)T £ IR2, kde / je hladká funkce, má pro a = 0 singulární bod x = 0 a platí A = fx(0,0) = 0, /x*(0,0) = 0. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky fxxx(0,0)^0 (faJxa2~ f«2fxai)(0,0) ŕ o podmínka nedegenerovanosti, podmínka transverzality. Pak je uvedený nelineární systém v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě bifurkace bodu vratu - cusp ý = £i + e2y±y3 © Lenka Přibylová, 2012 Q Na příkladu této bifurkace bodu vratu si ukážeme, jak vypadá bifurkační diagram pro dva parametry. Singulární body leží na varietě M : e1 + e2y ± y3 = 0, přitom nulová první derivace, tedy podmínka pro bifurkaci typu fold (sedlo-uzel) je splněna na křivce splňující navíc e2 ± 3y2 = 0. Pokud z těchto dvou rovnic vyloučíme y, dostaneme křivku typického tvaru V 27t\ - 4e| = 0 s bodem vratu v počátku. © Lenka Přibylová, 2012 EJ Jednotlivé větve T\, T2 odpovídají zánikům dvojice singulárních bodů v ohybech variety M, tedy jsou to bifurkační hranice bifurkace sedlo-uzel. Bifurkace bodu vratu (cusp) implikuje vznik hystereze. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Oblasti označené 1 a 2 jsou strukturálně stabilní oblasti, ve kterých má systém 3 resp. 1 singulární bod. T\ a T2 odpovídají jednoparametrické bifurkaci typu fold, jsou to hranice kodimenze 1 v 2-rozměrném prostom parametrů. Jejich průnikem je bod vratu, který má dimenzi 0, tedy kodimenzi 2 v 2-rozměrném prostoru parametrů. EBl E] El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Obecně v A:-rozměrném prostoru parametrů bude mít jednoparametrická bifurkace kodimenzi 1, bude tedy (k — 1)-rozměrnou varietou. Průniky variet příslušných jednoparametrické bifurkaci budou variety příslušné víceparametrickým bifurkacím vyšší kodimenze. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Věta: Předpokládejme, že dvoudimenzionální dvouparametrický systém x = f(x,ex), x e K2, a E R2, kde f = {fi,fi)T je hladká funkce, má pro e* = 0 singulární bod x = 0 a J = Df (0,0) má vlastní hodnoty Ai/2 = }í{ol) ± ío;(a), kde y(0) = 0, o;(0) = ĺVq > 0 a Z1(0) = 0. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky h(0) ŕ o, a —»■ (y(ai), Zi(q;))t je v en = 0 regulární. Pak je uvedený nelineární systém v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v komplexní normální formě Bauti-novy bifurkace ž = (ei + z)z + e2z|z|2 + sgnZ2(0)z|z|4. ibylová, 2012 KJ Číslo 4*2(0) je tzv. druhý ljapunovuv koeficient a jeho výpočet je založen na podobném principu, jako výpočet prvního. Nebudeme jej uvádět, lze jej najít v literatuře např. Kuznecov str. 310. Bautinova bifurkace způsobuje, že vlivem druhého parametru dochází k narušení podmínky nedegenerovanosti u Hopfovy bifurkace. Zavedením polárních souřadnic z = pe1^ dostáváme normální formu ve tvaru (případ sgn ^(0) = —1) p = p(£i + £2p2-p4),

0} rozdělující parametrickou rovinu na strukturálně stabilní oblasti spolu s příslušnými fázovými portréty. o © Lenka Přibylová, 2012 Q Věta: Předpokládejme, že dvoudimenzionální dvouparametrický systém x = f (x, a), x E K2, a E R2, (25) kde f = {fi,fi)T je hladká funkce, má pro a. = 0 singulární bod x = OaJ = Df(0,0) 0 má dvě nulové vlastní hodnoty. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky s = sgn(/32o(a2o + M) 7^ 0, (x, a) —»■ (í(x,a),trDí(x,a),detDí(x,a.)) je v počátku regulárni Pak je systém (25) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě Bogdanov-Takensovy bifurkace ýi = yi ýi = £i + £2j/i + y\ + sj/ij/2 BBI EJ Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Čísla «20/ b\i a b2Q, z podmínky nedegenerovanosti jsou příslušné koeficienty Taylorových rozvojů hiyirVi) = \awy\ + ... a transformované pravé strany systému (25) transformací x = Ty na tvar (ýi\ = (o A (yi\ , (Fi(yi,y2)\ \ýi) \0 Oj \y2) + {F2(ylry2)J pomoci matice T složené z vlastních vektorů Df (0,0) (analogický postup jsme použili u výpočtu prvního ljapunovova koeficientu). EEl Q 13 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Bogdanov-Takensova bifurkace se někdy nazývá také double-zero, protože v kritické hodnotě parametrů a = 0 má systém dvě nulové vlastní hodnoty. V okolí a = 0 mohou tedy vlastní hodnoty měnit znaménko a mohou přecházet i přes imaginární osu. Dochází k degenerování Hopfovy bifurkace i bifurkace sedlo-uzel (fold), což způsobuje zánik limitního cyklu na tzv. smyčce separatrix sedla. Analýzou systému v normálním tvaru Bogdanov-Takensovy bifurkace pro s = — 1 získáme bifurkační diagram s hraniční křivkou Hopfovy bifurkace H = {(£i, £2) :ei =0, £2 < 0}a křivkou zániku dvou limitních bodů (bifurkace sedlo-uzel) T={(ei,£2) : 4£^ — £?, = 0} rozdělující parametrickou rovinu na strukturálně stabilní oblasti spolu s příslušnými fázovými portréty. Ve třetím kvadrantu ale navíc dochází k nelokální bifurkaci zániku smyčky separatrix (jde o tzv. homoklinickou bifurkaci smyčky separatrix sedla), která má v okolí počátku tvar p= {(£i,£2) :£i = -|£2 + o(4),e2 <0}. © Lenka Přibylová, 2012 fj bei Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Všechny uvedené jedno a dvouparametrické bifurkace spojitých systémů byly lokálními bifurkacemi v okolí singulárních bodů. V jejich blízkosti ale obecně vznikají také nelokální bifurkace (zdvojení limitního cyklu, smyčka separatrix sedla). Další bifurkace mohou vznikat např. v okolí homoklinických a heteroklinických trajektorií, tedy trajektorií vystupujících z jednoho singulárního bodu a navracejících se do něj nebo jiného singulárního bodu. Toto je ovšem již nad rámec našeho učiva. Významnou bif urkací z hlediska dynamiky a aplikací je Šilnikovova bifurkace, která může vzniknout až pro trojrozměrný systém s homoklinickou trajektorií vycházející ze sedlo-ohniska (dvě vlastní hodnoty komplexně sdružené se zápornou reálnou částí a jedna kladná reálná vlastní hodnota). V jeho okolí může dojít k „divoké" dynamice se spočetně mnoha cykly a ke vzniku tzv. spirálního atraktoru. Další významnou nelokální bifurkací limitního cyklu je bifurkace blue-sky. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Redukce na centrální varietu Podrobně jsme prozkoumali systémy v okolí hyperbolických singulárních bodů i rovnice či systémy, které mají vlastní hodnoty s nulovou reálnou částí. Co se bude dít v situaci, kdy některé vlastní hodnoty mají nulové a jiné nenulové reálné části říká následující věta. Věta (Věta o centrální varietě): Nechťxq = 0 je singulární bod systému (1), který není hyperbolický (tj. hq 7^ 0). Pak v okolí počátku existuje hladká invariantní varieta Wc(0), která je lokálně dána grafem funkce v : R"° —>■ R"- x která splňuje v(0) = 0 a Dv(Q) = 0. Varietu Wc(0) nazýváme centrální varietou. Důkaz této věty je založen na kontrakci v Banachově prostoru. Lze jej nalézt např. v Chicone: Ordinary Differential Equations with Applications, Springer 1999 str. 286-297. EBl EJ 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Uvažujme systém (1) se singulárním bodem Xq a vlastními hodnotami Df (xq) s nekladnými reálnými částmi (tj. Hq 7^ 0, n_ 7^ 0 a n+ = 0) převedený do tvaru x = Acx + gi (x, y) (26) ý= Asy + g2(x,y). Nulové řešení je v takovém případě stabilní (ne nutně asymptoticky). Podle věty o centrální varietě existuje v okolí počátku (0,0) invariantní centrální varieta daná grafem funkce v : M"° —»■ Rn~, tj. y = ľ (x). Dynamika na centrální varietě bude v okolí počátku dána rovnicí ů = Acu + gi(u,»/(u)), ueE"». (27) Trajektorie systému (26), které neleží na centrální varietě, se k ní exponenciálně přibližují pro t —»■ 00. Chování takového systému je tudíž možné redukovat na chování na jeho atraktoru, kterým je invariantní centrální varieta. EBl E El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Definice: Rovnice (27) se nazývá redukcí rovnice (26) na centrální varietu. Poznámka 23. Je evidentní, že pokud je stabilní počátek redukovaného systému, je stabilní také singulární bod xq původního systému (1) s n+ = 0. Vzhledem k tomu, že centrální varieta je v okolí počátku hladká, bude platit ý = Dv(x)x, tj. dosazením y = v {x) a pravých stran rovnic systému (26) dostáváme rovnici pro centrální varietu Asu(x) + g2(x,u(x)) = Du(x)(Acx + gl(x,i/(x))). (28) Řešení y = v {x) můžeme aproximovat Taylorovým polynomem alespoň 2. stupně (pro dostatečně hladkou f máme lokálně zaručenu dostatečnou hladkost), navíc nutně v(0) = 0 a Dv(Q) = 0. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Příklad. Redukujte systém x = —xy y = -y + x2-y2 na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému v okolí počátku. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Příklad. Redukujte systém x = —xy ý = -y + x2-y2 na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému v okolí počátku. Řešení: Počátek [0,0] je singulární bod. EBl q 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Příklad. Redukujte systém x = —xy ý = -y + x2-y2 na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému v okolí počátku. Řešení: Počátek [0,0] je singulární bod. Jacobiho matice je Df^={7x -X-2y\ © Lenka Přibylová, 2012 Q Příklad. Redukujte systém x = —xy ý = -y + x2-y2 na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému v okolí počátku. Řešení: Počátek [0,0] je singulární bod. Jacobiho matice je D/(*,y)=(2 _-_x23/),tj.D/(o,o)=(o © Lenka Přibylová, 2012 Q Příklad. Redukujte systém x = —xy ý = -y + x2-y2 na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému v okolí počátku. Řešení: Počátek [0,0] je singulární bod. Jacobiho matice je D/(*,y)=(2 _--r23/),tj.D/(o,o)=(o Vlastní hodnoty jsou tedy Ai = 0, A2 = — 1. EEl Q Q © Lenka Přibylová, 2012 EJ Příklad. Redukujte systém x = —xy ý = -y + x2-y2 na jeho centrální varietu v okolí počátku a popište dynamiku systému v okolí počátku. Řešení: Počátek [0,0] je singulární bod. Jacobiho matice je D/(*,y)=(2 _-_x23/),tj.D/(o,o)=(o _°x Vlastní hodnoty jsou tedy Ai = 0, A2 = — 1. Hledáme tedy centrální oo varietu jako graf funkce y = v(x) = ^ a-^x^ v okolí počátku, která je k=2 řešením —v(x) + x2 — v2(x) = v' (x)(—xv(x)). H B H D © Lenka Přibylová, 20121 Dosazením Taylorova rozvoje funkce v(x) dostáváme cikxk + x2 — (a-k^)2 = ~x Yl akxk akkxk 1 k=2 k=2 k=2 k=2 EE1 Q Q © Lenka Přibylová, 2012 fj Dosazením Taylorova rozvoje funkce v(x) dostáváme oo oo oo oo — akxk + X2 — ( dkxk) = ~x akxk akkxk~ k=2 k=2 k=2 k=2 Porovnáním koeficientů dostaneme «2 = 1/ x2 : -a2 + 1 = 0 Dosazením Taylorova rozvoje funkce v(x) dostáváme oo oo oo oo — akxk + x2 — (dkxk) = ~x akxk akkx:k~ k=2 k=2 k=2 k=2 Porovnáním koeficientů dostaneme a2 = 1, «3 = 0 a Dosazením Taylorova rozvoje funkce v(x) dostáváme oo oo oo oo — akxk + x2 — (dkxk) = ~x akxk akkx:k~ k=2 k=2 k=2 k=2 Porovnáním koeficientů dostaneme «2 = 1/ a3 = 0 a «4 = 1, x4 : —«4 — a\ = —a\ ■ 2 a Přibylová, 2012 Dosazením Taylorova rozvoje funkce v(x) dostáváme oo oo oo oo — akxk + X2 — ( dkxk) = ~x akxk ak^xkl k=2 k=2 k=2 k=2 Porovnáním koeficientů dostaneme a2 = 1, «3 = 0 a «4 = 1, tj. v(x) = x2 + x4 + 0(x5). EE1 Q 13 © Lenka Přibylová, 2012 Q Dosazením Taylorova rozvoje funkce v(x) dostáváme oo oo oo oo — akxk + X2 — ( dkxk) = ~x akxk Yl ak^xkl k=-2 k=2 k=2 k=2 Porovnáním koeficientů dostaneme a2 = 1, «3 = 0 a «4 = 1, tj. v(x) = x2 + x4 + 0(x5). Dynamika na centrální varietě pak bude dána rovnicí 00 x = -xv(x) = - Y^ akxk+1 = -x3 - x5 + 0(x6). k=2 © Lenka Přibylová, 20121 Dosazením Taylorova rozvoje funkce v(x) dostáváme oo oo oo oo — akxk + X2 — ( Clkxk) = —X Yl akxk ak^xkl k=2 k=2 k=2 k=2 Porovnáním koeficientů dostaneme a2 = 1, «3 = 0 a «4 = 1, tj. v(x) = x2 + x4 + 0(x5). Dynamika na centrální varietě pak bude dána rovnicí 00 x = -xv(x) = - Y^ akxk+1 = -x3 - x5 + 0(x6). k=2 Počátek je tedy asymptoticky stabilní. V levém okolí počátku je na invariantní varietě x > 0, trajektorie směřují k počátku, v pravém okolí je x < 0, trajektorie směřují k počátku. ĚB Ěl □ ĚH ™^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^~ (CJ Lenka l^ibylová, Dosazením Taylorova rozvoje funkce v(x) dostáváme oo oo oo oo — akxk + X2 — ( dkxk) = ~x akxk akkxkl k=2 k=2 k=2 k=2 Porovnáním koeficientů dostaneme a2 = 1, «3 = 0 a «4 = 1, tj. v(x) = x2 + x4 + 0(x5). Dynamika na centrální varietě pak bude dána rovnicí 00 x = -xv(x) = - akxk+1 = -x3 - x5 + 0(x6). k=2 Počátek je tedy asymptoticky stabilní. Program XPPAUT, spustte priklad2.ode © Lenka Přibylová, 20121 Jednoparametrické bifurkace v diskrétním případě Po spojitých bifurkacích podobně analyzujme diskrétní jednoparametrické bifurkace. Znovu půjde o situaci, kdy se chování systému lokálně kvalitativně mění díky nehyperbolicitě pevného bodu. Začneme s bifurkacemi závislými na změně jednoho parametru, která způsobí, že některá z vlastních hodnot přechází přes hranici jednotkového kruhu v Gaussově rovině. EBl EJ 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Bifurkace typu fold, sedlo-uzel Uvažujme diferenční rovnici s parametrem tvaru x (n + 1) = e + x(n) - x(n)2, x(n) e R, £ G R. (29) Pevné body splňují f(x, e) := e + x — x2 = x, tj. leží na křivce e = x2. Pro e < 0 systém (29) nemá žádný pevný bod, pro e = 0 je pevný bod Xq = 0 a pro e > 0 jsou pevné body dva x = ± i/ě. Parametr e = 0 je tedy bifurkační hodnotou a při jeho přechodu v okolí počátku dochází k lokální bifurkaci typu fold (ohyb). Bod (xq, £q) = (0,0) je tzv. limitním bodem. Všimněte si, že vlastní hodnota A = D f (0,0) = 1. EBI EJ 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Věta: Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) x(n + l) =f(x(n),a.), x(n) e R, a e R, (30) kde / je hladká funkce, má pro a = 0 pevný bod x = 0 a A = /x(0/0) = 1. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky fxx(0,0) 7^ 0 podmínka nedegenerovanosti, fa (0,0) 0 podmínka transverzality. Pak je (30) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě y(n + !) = £ + y(n) ± y(n)2 EEl Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q a<0 a = O a > O Ve vícerozměrném případě k této bifurkaci dochází v případě, že Jacobiho matice J má právě jednu vlastní hodnotu A = 1. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Bifurkace typu flip Uvažujme diferenční rovnici s parametrem tvaru x(n + í) =-(í+£)x(n) +x3(n)r x(n) e R, £ E R. (31) Pevné body splňují f(x, e) := — (1 + e)x + x3 = x, tj. leží na křivkách i = 0a2 + £=i2. Systém (31) má vždy nulový pevný bod, pro e < 0 je tento bod stabilní, pro e > 0 je nestabilní. Systém může mít ještě další dva pevné body x = ±a/2 + e. Parametr e = 0 je bifurkační hodnotou a při jeho přechodu v okolí počátku dochází k lokální bifurkaci, mění se stabilita počátku. Všimněte si, že vlastní hodnota A = Df(0,0) = —1. EBl EJ 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Pevné body x = ±\/2 + e pro malé e nejsou stabilní, protože D f (x, e) = —1 — e + 3x2 je pro pevné body v x = ±a/2 + e větší než 1. Co se tedy děje s trajektoriemi začínajícími v okolí počátku pro malá kladná e? Podívejme se blíže na cykly délky 2. To jsou pevné body zobrazení f(2\ tj. platí f(2\x,e) = -(l+e)(-(l + e)x + x3) + (-(l + e)x + x3)3 = x Tuto rovnici lze upravit na tvar x(ŕ -x2 - x2e + l)(-e - 2 + x2)(-e + x2) = 0. Je zřejmé, že mezi cykly délky 2 budou i pevné body x = 0 a x = ±a/2 + e. Navíc jsou tu ale x = ±i/ě, které budou v okolí počátku stabilní, protože Df{2\±yfe,e) = 1 - 4e + 4e2 e (0,1) pro e e (0,1). Vzhledem k vzniku těchto cyklů délky 2 v okolí počátku se tato bifurkace nazývá také bifurkace zdvojení periody. H H H D ©Lenka Přibylová, 2012EJ Věta: Předpokládejme, že jednodimenzionální jednoparametrický systém (rovnice) x(n + l) =f(x(n),a.), x(n) e R, a e R, (32) kde / je hladká funkce, má pro a = 0 pevný bod x = 0 a A = /x(0/0) = —1. Předpokládejme, že jsou splněny podmínky ^(fxx(0,0))2 + ^fxxx(0,0) 7^ 0 podmínkanedegenerovanosti, fxa(0,0) 7^0 podmínka transverzality. Pak je (32) v okolí počátku lokálně topologicky ekvivalentní systému v normální formě y(n + l) = -(l + e)y(n)±y3(n). EE1 Q 13 © Lenka Přibylová, 2012 Q bei Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Zdvojování periody a univerzalita Uvažujme logistickou rovnici x(n + 1) = ax(n)(l — x(n)), (33) kde a je kladný parametr. Příklad. Ukažte, že v systému dochází k flip bifurkaci. Najděte kritickou hodnotu parametru a, ve kterém dojde k rozdvojení. Příklad. Proveďte analýzu stability cyklu délky 2. Kdy a jak dojde k destabilizaci? © Lenka Přibylová, 2012 EJ Příklad. Prostudujte chování logistické rovnice v XPPAUTu. Spustte postupně logistic.ode, cobweb.ode a logbif.ode. Otevřte i soubory a prostudujte, jak jsou vytvořeny. Hezké applety. Poznámka 24. Zdvojování periody způsobuje vznik cyklů délky 2, 4, 8 atd. pro kritické hodnoty parametru a2, «4, ... Tato tzv. Feigenbaumova kaskáda zdvojování periody je obecný fenomén a číslo jí p = lim Ulk ~ "z"-1 = 4.6692 se nazývá Feigenbaumovo číslo. Nej překvapivější je, že tato konstanta je univerzální pro mnoho diferenčních systémů, ve kterých dochází ke kaskádové flip bifurkaci. Příklad. Rickerova rovnice populační dynamiky x(n + l) = ax{n)e~x{n\ © Lenka Přibylová, 20121 Logistický model růstu populace Pokud y(n) označuje velikost nebo hustotu populace v čase n ar je míra růstu této populace, bude rovnice popisovat diskrétní dynamiku populace. Míra růstu může záviset na mnoha faktorech. Nejjednodušší model (Malthusův) uvažuje r = const. Nevýhodou takového modeluje ovšem to, že asymptotické chování neodpovídá realitě, populace buď vymře nebo populace nekonečně roste. Typické biologické a ekologické modely předpokládají jistou kapacitu prostředí K, kterou nelze dlouhodobě překročit, protože prostředí by populaci neuživilo. Nejjednodušším a často používaným modelem je proto logistický model, kde míra růstu r lineárně klesá s velikostí populace k nule, tj. y(n + l) -y{n) = r{y{n))y{n) (34) El © Lenka Přibylová, 2012 Q Pokud je r 7^ 0 (triviální případ), můžeme provést transformaci 1 + r y(n) = -Kx(n), kterou zmenšíme počet parametrů a dostáváme logistickou rovnici: x(n + 1) = ax(n)(\ — x(n)), kdea = l+r. Příklad. Pouvažujte, jak by vypadal model, kde by míra růstu klesala s velikostí populace exponenciálně. Srovnejte s Rickerovou rovnicí. © Lenka Přibylová, 2012 EJ Deterministický chaos Co je to chaos? Slovo chaos se odvozuje z řeckého X^OG a znamená nepředvídatelnost. Deterministický chaos je neperiodické deterministické chovaní, které je • velice citlivé na počáteční podmínky, • topologicky transitivní - což znamená, že libovolný interval transformuje na libovolný další interval • má husté periodické trajektorie DETERMINISTICKÝ NEZNAMENÁ PŘEDVÍDATELNÝ!!! I © Lenka Přibylová, 2012 Q Nechť/ : I —»■ I je spojité zobrazení na I = (0,1}. Uvažujme diskrétní dynamický systém {N, í,/"}, kde n e N. Nechť/, Kel jsou uzavřené intervaly. Definice: Řekneme, že / pokrývá íC pod /, zapisujeme / —K, jestliže existuje uzavřený interval L c J tak, že f (L) = K. K 0 J EH B Q © Lenka Přibylová, 2012 EJ Věta (O pevném bodě): Jestliže / —/ pod /, pak má / v / pevný bod. Důkaz. Nechť/ = (a, b). Podle definice existuje uzavřený interval L c J takový, že f (L) = J, tedy existuje c, d E L splňující f (c) = a < c a f (d) = b > d. Podle věty o střední hodnotě nabývá spojitá funkce g(x) = f(x) — x nulové hodnoty na L C /. □ BBI EJ Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Uvědomme si nyní, že pokud Iq li ■ ■ ■ In pod /, pak existuje uzavřený interval / C í0 tak, že/(íf)(/) C Ik pro všechna k = 0,1,..., n — 1 a f(n\j) = In- Volbou In = Iq dostáváme s použitím věty o pevném bodě následují tvrzení: EBl EJ 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Věta: Jestliže Io l\ —^ ■ ■ ■ —^ ln-\ —ío P°d /, pak má /(-"-> v Iq pevný bod x, pro který platí f i1"1 (x) G í,- pro i = 0,1,..., n — 1. -1 Věta (Li-Yorke): Uvažujme spojité zobrazení / : I —»■ L které má cyklus délky 3. Pak má / také cykly libovolné délky n > 1. Důkaz. Uvažujme cyklus délky 3 {pi, p2, P3}, tj. P2 = /(Pi), P3 = /(P2)/ Pi = /(P3) Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že pi < p2 < P3- Označme dva intervaly = (pi, p2) a I2 = (p2, p3). Pak pokrývá í2 a h pokrývá li i I2. © Lenka Přibylová, 2012 EJ Perioda 3 implikuje chaos: i Pro libovolné n e N má tedy pn> pevný bod, protože platí h ~^ h ■ ■ ■ ~^ h ~^ h/ kde li je zde obsaženo (n — 1 )-krát. Tento pevný bod nemůže odpovídat cyklu délky k < n (kromě k = 3, který je předpokládán), protože pokud H H H D ©Lenka Přibylová, 2012EJ by platilo f^\x) = x pro k < n, pak x 6 l\ H l2 = {pi}r což je jediný cyklus, námi předpokládaný délky 3. □ Příklad. Ukažte, že pro ap = má logistická rovnice (33) cyklus délky 3, přičemž pro tuto kritickou hodnotu parametru dochází k bifurkaci typu fold, přičemž stabilní a nestabilní 3 cykly vznikají pro a > ap a zaniknou na a = ap. Bifurkační diagram logistického zobrazení: 2.4 Z6 2.8 3.1) 312 3.4 3.6 3.8 4,0 BI B H Bl © Lenka Přibylová, 2012 EJ Tent map - stanové zobrazení Tent map je příkladem jednoduchého zobrazení (0,1} na (0,1), které vykazuje chaotické chování. 0 i 1 2 H H H D © Lenka Přibylová, 2012 EJ Co víc, dynamický systém příslušný logistickému zobrazení na (0,1} je topologicky ekvivalentní systému {N, (0,1), T"}, a proto vykazuje také chaos. Totéž platí pro jakékoliv jiné zobrazení (0,1} na (0,1), které má jedno maximum. Na jednoduchém stanovém zobrazení si ukážeme proč - základním mechanismem je "stretch and fold", natažení a ohyb. Číslo x E (0,1} má binární zápis x = o-O^O^O^ ■ ■ ■ 2 -I- 22 -I- 23 kde Oty jsou cifry 0 nebo 1. Pokud x £ (0, \ ), pak T{x) = T(0.ĺí>iĺí>2Íí>3 ■ ■ ■ ) = 0.ĺí>2Íí>3 ■ ■ ■ Pokud x e ( 2/1}/pak 1-ié(0,j) splňuje T(l — x) = T{0.i2w3 ■ ■ ■ ) = 0.ĺí>2íí>3____ El © Lenka Přibylová, 2012 Q Přitom ale protože 1 x — 2 2 ' 22 22 23 23 ' je binární zápis x a 1 — x komplementární (na místě nuly stojí jednička a naopak). Označíme-li komplementy ojy a ZUj-, platí T{x) = T{0.i2w3 • • •) o.zu2l<73 ... x e (j, 1). Trajektorii x, T(x), T^^x),... stanového zobrazení si proto můžeme představit jako posun (případně komplenent posunu) v binárním zápise počáteční hodnoty x. Ještě si uvědomme, že metrika d(0.flifl2«3 • • • / o.&1&2&3 • • •) = E k=i 1 vytváří na (0,1) úplný metrický prostor (je analogická běžné metrice decimální). Dostáváme takto následující vlastnosti. H H H D © Lenka Přibylová, 20121 Citlivost na počáteční podmínky - předpokládejme, že známe počáteční podmínku Xq až do N-tého binárního místa. Uvažujme (nespočetnou) množinu čísel, která mají stejný začátek binárního zápisu, liší se až od mocniny 2~N a jejich trajektorie. Po n iteracích se tyto blízké trajektorie stávají zcela náhodnými a neexistuje žádný vztah k počáteční podmínce. Topologická transitivnost (mixování) - uvažujme interval počátečních hodnot, které se liší poprvé na N-tém binárním místě. Po n iteracích dojde k posunu o těchto n míst a interval se rozprostře na celý (0,1). Má husté periodické trajektorie - binární zápis každého racionálního čísla je zakončen opakující se skupinou cifer, a proto generuje periodické trajektorie (včetně pevnýchbodů). Iracionální čísla mají binární zápis, který se neopakuje. Proto jsou periodické trajektorie husté (jsou libovolně blízko jiné dané trajektorii) v množině chaotických trajektorií. © Lenka Přibylová, 2012 EJ Příklad. Ukažte, že h : x >—» sin2 ^ je homeomorfismus na (0,1} a platí f{h{x)) = h{T{x)) pro logistické zobrazení/(x) = 4x(l — x). Poznámka 25. Mluvíme o topologicky konjugovaných zobrazeních (T = h^1 o f oh) a topologicky ekvivalentní dynamice systémů {N, (0,1},/"} a {N,(0,1),T"}. © Lenka Přibylová, 2012 Q Jak měřit chaos? Uvažujme trajektorii x(n) splňující počáteční úlohu x{n + 1) = f{x{n)), xq = x Pro tuto trajektorii definujme číslo i/=i Toto číslo představuje míru separace infinitesimálně blízkých trajektorií od této trajektorie: dn = |/(")(x + £)-/(")n(x)| =gA ;Q £ £ © Lenka Přibylová, 20121 Definice: Číslo A(x) (pokud limita existuje) označujeme jako Lja-punovův exponent trajektorie. Pokud je x pevným bodem zobrazení /, definujeme A(x) = —co. Pokud podél trajektorie x(n) dochází ke kontrakci, je A(x) < 0, v případě asymptotické expanze je A(x) > 0. Je-li pro omezenou trajektorii Ljapunovův exponent kladný, je trajektorie nutně chaotická. Příklad. Ukažte, že Ljapunovův exponent stanového zobrazení je ln 2. Příklad. Pro která p jsou trajektorie x(n + 1) = Tp(x(n)) chaotické? Tp(x) px x e (o, \ ) p[l-x) x e (1,1) © Lenka Přibylová, 20121 Ve více dimenzích závisí míra separace blízkých trajektorií na počátečním směru separace, proto se definuje Ljapunovovo spektrum (n hodnot v bazických směrech, řazené dle velikosti) a maximální Ljapunovův exponent. Program Xppaut umí maximální Ljapunovův exponent trajektorie numericky vypočítat. Samozřejmě ale nepočítá limitu, ale pouze přibližnou konečnou sumu. Hodnoty Ljapunovových exponentů jsou invariantní vzhledem k širokému spektru transformací souřadnic (ergodická teorie, Osedelec) a limity existují pro skoro všechna x a na x nezávisí. Pro invertibilní ŕ) f f : X —»■ X, které má invertibilní se Ljapunovovy exponenty nemění. EEI EJ 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Chaotický atraktor Často rozlišujeme disipativní a konzervativní systémy. • V konzervativních systémech platí nějaký zákon zachovaní, obecně je zachováván objem fázového prostoru v čase. Systém je uzavřený, trajektorie jsou často cykly. Ideální kyvadlo : © Lenka Přibylová, 20121 V disipativních systémech se nějaká energie ztrácí, systém je otevřený a objem fázového prostoru v čase se zmenšuje. Takový systém v čase spěje k atraktoru - rovnovážnému bodu, limitnímu cyklu nebo jinému atraktoru. Tlumené kyvadlo : © Lenka Přibylová, 2012 Q V disipativních systémech mohou existovat také atraktory vykazující chaotické chování (diskrétní i spojité). A traktorem je vlastně jediná nekonečná chaotická trajektorie. Maximální Ljapunovův exponent takového atraktoru je kladný a atraktor typicky vykazuje tzv. fraktální strukturu (soběpodobnost). Nazývá se chaotickým nebo podivným atraktorem. Podivné chaotické atraktory v diskrétním 2D systému: GTFriJKFSCUUriSHBUFCBUTBmtUXHSXIT .Z5 L = 0.08 Java applet. © Lenka Přibylová, 2012 EJ V disipativních systémech mohou existovat také atraktory vykazující chaotické chování (diskrétní i spojité). A traktorem je vlastně jediná nekonečná chaotická trajektorie. Maximální Ljapunovův exponent takového atraktoru je kladný a atraktor typicky vykazuje tzv. fraktální strukturu (soběpodobnost). Nazývá se chaotickým nebo podivným atraktorem. Podivné chaotické atraktory v diskrétním 2D systému: LMLMEFUTNIMUITCUCNEFQTGGUNIFflRFMGTDKXFMMVFUUUF.BQflFIJMF.GlJX.. Java applet. © Lenka Přibylová, 2012 EJ V disipativních systémech mohou existovat také atraktory vykazující chaotické chování (diskrétní i spojité). A traktorem je vlastně jediná nekonečná chaotická trajektorie. Maximální Ljapunovův exponent takového atraktoru je kladný a atraktor typicky vykazuje tzv. fraktální strukturu (soběpodobnost). Nazývá se chaotickým nebo podivným atraktorem. Podivné chaotické atraktory v diskrétním 2D systému: Java applet. © Lenka Přibylová, 2012 EJ V disipativních systémech mohou existovat také atraktory vykazující chaotické chování (diskrétní i spojité). A traktorem je vlastně jediná nekonečná chaotická trajektorie. Maximální Ljapunovův exponent takového atraktoru je kladný a atraktor typicky vykazuje tzv. fraktální strukturu (soběpodobnost). Nazývá se chaotickým nebo podivným atraktorem. Podivné chaotické atraktory v diskrétním 2D systému: Java applet. © Lenka Přibylová, 2012 EJ V disipativních systémech mohou existovat také atraktory vykazující chaotické chování (diskrétní i spojité). A traktorem je vlastně jediná nekonečná chaotická trajektorie. Maximální Ljapunovův exponent takového atraktoru je kladný a atraktor typicky vykazuje tzv. fraktální strukturu (soběpodobnost). Nazývá se chaotickým nebo podivným atraktorem. Podivné chaotické atraktory v diskrétním 2D systému: Java applet. © Lenka Přibylová, 2012 EJ V disipativních systémech mohou existovat také atraktory vykazující chaotické chování (diskrétní i spojité). A traktorem je vlastně jediná nekonečná chaotická trajektorie. Maximální Ljapunovův exponent takového atraktoru je kladný a atraktor typicky vykazuje tzv. fraktální strukturu (soběpodobnost). Nazývá se chaotickým nebo podivným atraktorem. Podivné chaotické atraktory v diskrétním 2D systému: Java applet. © Lenka Přibylová, 2012 EJ Kontrola chaosu metodou OGY V roce 1990 Ott, Grebogi a Yorke uvedli praktickou metodu (úspěšnou i v aplikacích) stabilizace nestabilních chaotických cyklů. Metoda je založena na faktu, že chaotický atraktor obsahuje nekonečné husté množství nestabilních cyklů. Ty jsou stabilizovány malými perturbacemi kontrolního parametru a. Uvažujme zobrazení x(n + l) =f(x(n),fl), (35) kde a je dostupný parametr, který můžeme změnit v nějakém okolí své "nominální"hodnoty aq- Označme x* (a) nestabilní pevný bod zobrazení (35). V malém okolí flo můžeme aproximovat x(n + 1) - x*(a0) = Df(x* (a0), a0)(x(n) - x*(a0)) + c (a - a0), (36) kde c = || (x* (flo)/ ao) je sloupcový vektor. Vzhledem k transitivnosti a hustotě chaotické trajektorie musí v nějakém malém okolí x* (aq) pro Q] B H D ©Lenka Přibylová, 2012EJ nějaké x (n) platit a — a0 = — k ■ (x(n) — x*(a0)) (37) Substitucí (37) do (36) dostaneme x(n + 1) - x>0) = (Df(x*(fl0),«o) " ck)(x(«) - x*(a0)). Volbou k = (ki,...,km) můžeme dosáhnout stability regulovaného pevného bodu, tj. najdeme k tak, aby |Df(x*(a0),«o)-ck| < 1. Kontrola chaosu v Henonově zobrazení Prostudujte vědecký článek. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Kontrola chaosu v logistickém zobrazení Uvažujme logistickou rovnici (33), ve které kontrolujeme chaos neustálymi pulzy x,- = kxj po p iteracích. Definujme zobrazení F (x) = kf^v\x). Pevný bod x* regulovaného zobrazení F (x) tedy bude splňovat kf^ (x*) = x* a bude stabilní, pokud \kDf{P\x*)\ < 1. Označíme-li C(x) = —-^-Df^ (x), dostáváme podmínku pro f P (x) oblast kontrolovatelných hodnot: |Cp(x)| < 1. Výpočet C v Maplu Simulace v Matlabu, spusťte chaoscontrol.m EEl Q Q © Lenka Přibylová, 2012 Q Neimark-Sackerova bifurkace Jde o analogii Hopfovy bifurkace pro spojité systémy. Vzniká při přechodu komplexně sdružených vlastních hodnot přes hranici jednotkového kruhu a v její souvislosti se objevuje limitní cyklus. Uvedeme si pouze normální formu v maticovém tvaru, kde je velmi dobře viditelná souvislost s normální formou spojité Hopfovy bifurkace. íx(n + í)\ _ , .ícosQ — smrA/x(n)\ \y(n + l)) _^+ajlvsin0 cos 6 ) \y(n)) kde 8 = 6(cĺ), a = a(a), b = b(a) jsou hladké funkce splňující 0 < 6(0) < Tiafl(O) < 0. © Lenka Přibylová, 2012 fj Tento systém má pevný bod [x, y] = [0,0] s Jacobiho matici y , \ fcos6 — sm6 \ / = (1 + a) . a a ) y ' ysiní) cos 6 J a vlastními hodnotami Ai 2 = (1 + oc)e±,e. Pro m = 0 jsou hodnoty na jednotkovém kruhu a pevný bod není hyperbolický. Podobně jako u Hopfovy bifurkace můžeme transformací z (n) = x (n) + iy(n) převést systém na jednu komplexní rovnici, která má v polárním tvaru z (n) = p(n)el 0. Pro malá cc > 0 má navíc stabilní pevný bod BBI El la laa © Lenka Přibylová, 2012 Q který odpovídá vzdálenosti od počátku. Vzniká tedy stabilní limitní cyklus, přitom rotace v přibližné vzdálenosti po(oc) je přibližně o úhel © Lenka Přibylová, 2012 Q Podobně jako ve spojitém případě, i zde dochází buď k superkritické bifurkaci (vzniku stabilního limitního cyklu) nebo k subkritické bifurkaci (vzniku nestabilního limitního cyklu). Větu o ekvivalenci se systémem v normálním tvaru si uvádět nebudeme, jen podotkneme, že k podmínkám nedegenerovanosti a transversality se objevuje ještě další podmínka, která vylučuje tzv. silnou rezonanci. Jako odrazový můstek pro studium N-S bifurkace uveďme stránku Scholarpedia. EBl EJ 19 © Lenka Přibylová, 2012 EJ Poincarého zobrazení a bifurkace cyklů Uvažujme nyní znovu spojitý m-rozměrný systém (1) x = f(x). Předpokládejme navíc, že systém (1) má periodickou trajektorii L. V nějakém bodě xq E L uvažujme hladkou m — 1-rozměrnou varietu (např. nadrovinu) X = {g(x)=0:g:Km ^K,g(x0) = 0}, která je tzv. transverzální, což znamená, že není v bodě Xq tečná L, tedy řeže cyklus L. V angličtině se jí proto říká Poincaré cross-section L. Podmínku transverzality můžeme zapsat pomocí gradientu funkce g (normálového vektoru E) takto: ^0, © Lenka Přibylová, 2012 Q tedy normálový vektor L nesmí být kolmý k trajektorii cyklu L. Je zřejmé, že takovou varietou může být například rovina kolmá k L v xq: g(x) = =0. Na této varietě v okolí Xq nyní definujeme zobrazení P : L —»■ L, které zobrazuje bod x trajektorie 1 bude počátek nestabilní a dva další symetrické body budou stabilní pro r > 1 blízká jedné. Fyzikálně odpovídají tato řešení stabilnímu Rayleigho proudění: Charakteristický polynom příslušný těmto symetrickým bodům je A3 + (cr+ b + 1)A2 + (r + a)b\ + 2ab(r - 1), kde pro r > 1 jsou všechny koeficienty kladné a tudíž má alespoň jeden záporný kořen. Další dva mohou být i komplexní. Dochází u těchto dvou vlastních hodnot k přechodu imaginární osy, tj. k destabilizaci rovnováhy a vzniku limitního cyklu v důsledku Hopfovy bifurkace? Pokusme se najít tuto kritickou hodnotu. EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Pro kritickou hodnotu Hopfovy bifurkace leží komplexně sdružená vlastní čísla na imaginární ose, tj. pro charakteristický polynom a jeho vlastní čísla K\ a ±icv platí (A-Ai)(A-z'a;)(A + z'a;) = 0, tj- A3 - AiA2 + íxP-X - X-yíxí1 = 0. Pro kritickou hodnotu Hopfovy bifurkace tedy platí nutná podmínka (a + b + l)(r + a)b = 2ab(r - 1), tj- = cr(cr + b + 3) a-b-1 ' Protože r > 1, musí být navíc a > b + 1. © Lenka Přibylová, 2012 EJ Příklad. Vhodně zvolte parametry a vykreslete fázové portréty v některém z vhodných softwarů tak, aby byl vidět jev Hopfovy bifurkace. Příklad. V programu Matcont nebo Xppaut se pokuste nakreslit bifurkační diagram pro parametry blízké Hopfově bifurkaci. Všimněte si, že jde o subkritickou Hopfovu bifurkaci se vznikem nestabilního limitního cyklu. A divné věci začnou se dít... Homoklinická trajektorie sedla EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Fázové portréty pro různá r: Bifurkační diagram Lorenzova systému pro Prandtlovo číslo a = 10: Literatura, software a applety • Kontinuační balík Matcont pro Matlab http:// www.matcont.ugent.be/ • Program Xppaut s kontinuačním Auto http://www.math.pitt.edu/ bard/xpp/xpp.html • Applety pro ODR a bifurkace http: / / techmath.uibk.ac.at / numbau / alex / dynamics/bifurcation • Nelineární laboratoř http: / / faculty.ifmo.ru/butikov/Nonlinear • Applety pro chaos a fraktály http: / / www.student.math.uwaterloo.ca/~pmat370/JavaLinks.html EBl Q El © Lenka Přibylová, 2012 EJ Reference [1] Kuznetsov Y.A., Elements of Applied Bifucation Theory, Second Edition, Applied Mathematical Sciences 112, Berlin, Heidelgerg, New York, Springer-Verlag, 1995,1998. [2] Chicone C, Ordinary Differential Equations with Applications, Springer Verlag, 1998. [3] Edelstein-Keshet L., Mathematical Models In Biology, New York: Mc-Graw Hill Text, 1988. [4] Jackson E. A., Perspectives of nonlinear dynamics, Volume 2, Cambridge University Press, 1990. [5] Seydel R., Practical Bifurcation and Stability Analysis, Third Edition, Springer-Verlag, 2010. [6] Lynch S., Dynamical Systems with Applications using Maple, Second Edition, Birkhäuser Boston, 2010. EBl Q El © Lenka Pfibylovä, 2012 EJ [7] Hirsch M.W., Smale S., Devaney R.L., Differential equations, dynamical systems and an introduction to chaos, Elsevier Academic Press, 2004 [8] Alligood, K., Sauer, T., Yorke, J., Chaos: An Introduction to Dynamical Systems, New York, Springer-Verlag, 1997. [9] Murray, J. D., Mathematical Biology, Berlin, Springer-Verlag, 1993. [10] Fall Ch.R, Marland E. S., Wagner J. M., Tyson J. J., Computational Cell Biology, Springer-Verlag, New York, 2002 [11] Fitzhugh, R., Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane, Biophys. J. 1 (1961), 445. [12] Lorenz, E., Deterministic nonperiodic flow, J. Atmos. Sei. 20 (1963), 130. bei Q Q © Lenka Pfibylova, 2012 Q Konec © Lenka Přibylová, 2012 Q