Obsah
I Parciální diferenciální rovnice 1
1 Rovnice prvního řádu 3
Vývoj věkově strukturované populace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Model procesu umírání . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Model procesu rození . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
„Seminumerické řešení modelu věkově strukturované populace . . . . . . . . . . . 8
1.1 Rovnice ve dvou nezávisle proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1 Lineární rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.2 Řešení rovnice a(x, y)ux + b(x, y)uy = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.3 Kanonický tvar a řešení rovnice a(x, y)ux + b(x, y)uy = f(x, y, u) . . . . . . 14
1.1.4 Okrajová úloha pro rovnici a(x, y)ux + b(x, y)uy = f(x, y, u) . . . . . . . . . 20
1.1.5 Okrajová úloha pro obecnou rovnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2 Rovnice v n nezávisle proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.1 Rovnice lineární v derivacích s nulovou pravou stranou . . . . . . . . . . . . 28
1.2.2 Quasilineární rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3 Evoluční rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.1 Počáteční úloha pro evoluční lineární rovnici v jedné prostorové proměnné . 35
1.3.2 Autonomní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.3.3 McKendrickova-von Foersterova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2 Rovnice druhého řádu 47
Model šíření drogy v žíle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Speciální případy a okrajové podmínky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Nejjednodušší řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.1 Rovnice ve dvou nezávisle proměnných lineární ve druhých derivacích . . . . . . . 54
2.1.1 Charakteristiky a kanonický tvar rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.2 Lineární parabolická rovnice s konstantními koeficienty . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.1 Kanonický tvar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.2.2 Evoluční rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.2.3 Parabolická rovnice na kružnici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.2.4 Parabolická rovnice na přímce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.2.5 Parabolická rovnice na polopřímce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.2.6 Parabolická rovnice na úsečce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.7 Počáteční úlohy pro parabolické rovnice – shrnutí . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.2.8 Úloha bez počátečních podmínek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3 Rovnice reakce-difúze 93
3.1 Lineární rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.1.1 Rovnice na úsečce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.1.2 Rovnice na přímce – putující vlny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3.2 Fisherova-Kolmogorovova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
i
3.2.1 Rovnice na úsečce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.2.2 Rovnice na přímce – putující vlna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
II Diferenciální rovnice se zpožděním 109
4 Nejjednodušší model zpětnovazební regulace 111
4.1 Rovnice s diskrétním zpožděním . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.1.1 Řešení metodou kroků . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.1.2 Řešení pomocí Laplaceovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.1.3 Charakteristická rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.2 Rovnice s distribuovaným zpožděním . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2.1 Distribuované zpoždění typu Γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A Dodatky k matematické analýze 129
A.1 Distribuce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.1.1 Základní pojmy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
A.1.2 Derivování distribucí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A.1.3 Konvergence distribucí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A.2 Fourierova transformace a konvoluce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.3 Okrajové úlohy pro obyčejné lineární rovnice druhého řádu . . . . . . . . . . . . . 139
A.3.1 Formulace úloh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.3.2 Homogenní okrajová úloha s parametrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.3.3 Řešení nehomogenní okrajové úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
III Aplikace 151
ii
Část I
Parciální diferenciální rovnice
1
Kapitola 1
Rovnice prvního řádu
Vývoj věkově strukturované populace
Uvažujme nějakou populaci tvořenou jedinci různého věku. Předpokládejme, že známe složení
této populace v nějakém čase a zajímá nás, jak se bude vyvíjet její velikost a věkové složení.
K vyjádření velikosti populace můžeme používat dvě veličiny. Můžeme ji vyjadřovat jednak jako
množství1
jedinců, kteří mají v čase t věk v rozmezí od a do a + τ, přesněji jedince, kteří mají
v čase t věk z intervalu [a, a+τ); tuto veličinu označíme N(t, a, τ). Velikost populace však můžeme
vyjádřit také jako tzv. hustotu populace věku a v čase t, kterou označíme symbolem u(t, a). Hustota
populace u a velikost populace N jsou vázány vztahem
N(t, a, τ) =
a+τ
a
u(t, ξ)dξ.
O hustotě u budeme předpokládat, že je to spojitě diferencovatelná funkce. Obě funkce u a N jsou
nezáporné.
Procesy probíhající v populaci jsou rození a umírání.
Model procesu umírání
Označme symbolem D(t, a, τ) množství jedinců, kteří zemřou během časového intervalu (t, t + τ]
a v čase t mají věk v rozmezí [a, a+τ). Jedinci, kteří během časového intervalu délky τ nezemřeli,
zestárli o τ. Tuto triviální skutečnost (zákon zachování) vyjádříme rovností
N(t + τ, a + τ, τ) = N(t, a, τ) − D(t, a, τ). (1.1)
Vyjádříme levou stranu této rovnosti a upravíme pomocí substituce η = ξ − τ,
N(t + τ, a + τ, τ) =
a+2τ
a+τ
u(t + τ, ξ)dξ =
a+τ
a
u(t + τ, η + τ)dη.
1Slovo „množství může označovat počet všech jedinců. Může to však také být počet jedinců vztažený k nějaké
ploše, počet nějak „reprezentativně vybraných jedinců a podobně.
3
S využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě pro funkce dvou proměnných můžeme psát
N(t + τ, a + τ, τ) − N(t, a, τ) =
=
a+τ
a
u(t + τ, ξ + τ) − u(t, ξ) dξ =
a+τ
a
∂u
∂t
(t + ϑ1τ, ξ + τ)τ +
∂u
∂a
(t, ξ + ϑ2τ)τ dξ =
= τ
a+τ
a
∂u
∂t
(t + ϑ1τ, ξ + τ) +
∂u
∂a
(t, ξ + ϑ2τ) dξ, (1.2)
kde ϑ1, ϑ2 jsou nějaká čísla z intervalu [0, 1]. K vyjádření množství umírajících jedinců budeme
předpokládat, že podíl zemřelých jedinců jistého věku za krátký časový interval délky ∆t mezi
všemi jedinci téhož věku je přímo úměrný trvání ∆t procesu umírání,
D(t, a, ∆t)
N(t, a, ∆t)
= µ(a)∆t.
Koeficient úměrnosti µ(a), který závisí na věku a, nazýváme specifická úmrtnost (mortalita) ve
věku a. Výraz na levé straně poslední rovnosti můžeme také interpretovat jako klasickou pravděpodobnost,
že jedinec, který má v čase t věk v rozmezí od a do a + ∆t, zemře v průběhu časového
intervalu (t, t + ∆t]. Hodnotu µ(a) proto můžeme chápat jako pravděpodobnost, že jedinec věku a
zemře během jednotkového časového intervalu2
. Specifickou úmrtnost budeme považovat za spojitou
nezápornou funkci µ definovanou na intervalu [0, ∞). Typický průběh funkce µ je znázorněn
na Obrázku 1a): Úmrtnost novorozenců je relativně velká. Pak až do jistého věku (většinou do dospělosti,
ukončení individuálního vývoje) klesá. Dále zůstane na nějaké nízké úrovni a po dosažení
hranice stáří opět roste; zpočátku lineárně a nakonec jako konvexní funkce.
Z uvedeného předpokladu dostaneme vyjádření množství umírajících jedinců ve tvaru
D(t, a, ∆t) = µ(a)N(t, a, ∆t)∆t = ∆t

µ(a)
a+∆t
a
u(t, ξ)dξ

 . (1.3)
Položíme τ = ∆t a dosadíme rovnosti (1.2) a (1.3) do relace (1.1). Dostaneme
a+∆t
a
∂u
∂t
(t + ϑ1∆t, ξ + ∆t) +
∂u
∂a
(t, ξ + ϑ2∆t) + µ(a)u(t, ξ) dξ = 0.
Tato rovnost má platit pro libovolná a ≥ 0, t ≥ 0 a ∆t > 0. To je možné jen tak, že integrovaná
funkce je nulová, tj. pro všechna přípustná a, t, ∆t platí
∂u
∂t
(t + ϑ1∆t, a + ∆t) +
∂u
∂a
(t, a + ϑ2∆t) + µ(a)u(t, a) = 0
a odtud limitním přechodem ∆t → 0 dostaneme McKendrickovu-von Foersterovu rovnici
∂u
∂t
(t, a) +
∂u
∂a
(t, a) = −µ(a)u(t, a). (1.4)
Známé složení populace na počátku vyjádříme počáteční podmínkou
u(0, a) = ϕ(a) (1.5)
příslušnou k rovnici (1.4).
2Přesnější vyjádření je „intenzita pravděpodobnosti . Hodnota µ má totiž rozměr převrácené hodnoty času a
pravděpodobnost je bezrozměrná; navíc µ může být větší než 1.
4
µ
a
β
aaI aT
β∗
a) b)
Obrázek 1.1: Typický průběh a) specifické úmrtnosti µ a b) specifické porodnosti β v závislosti na
věku. Hodnota aI označuje věk počátku plodnosti (dospělosti), hodnota aT věk ukončení plodnosti.
Popíšeme, jak se vyvíjí část populace tvořená jedinci, kteří se narodili před časem t = 0. V takto
vymezené části populace má v čase t každý jedinec věk větší než t. Zajímá nás tedy hustota u,
jejíž definiční obor je zúžen na množinu
A1 = (t, a) ∈ R2
: a > t ≥ 0 . (1.6)
Zvolíme libovolné a0 > 0 a pro a ≥ a0 položíme
x(a) = u(a − a0, a).
Pak podle řetězového pravidla pro výpočet derivací složené funkce a podle rovnice (1.4) platí
x′
(a) =
d
da
u(a − a0, a) =
∂u
∂t
(a − a0, a)
∂(a − a0)
∂a
+
∂u
∂a
(a − a0, a)
∂a
∂a
=
=
∂u
∂t
(a − a0, a) +
∂u
∂a
(a − a0, a) = −µ(a)u(a − a0, a) = −µ(a)x(a).
Z počáteční podmínky (1.5) dostaneme
x(a0) = u(a0 − a0, a0) = u(0, a0) = ϕ(a0). (1.7)
Funkce x je tedy řešením obyčejné lineární homogenní rovnice
x′
(a) = −µ(a)x(a)
s počáteční podmínkou (1.7). To znamená, že
x(a) = ϕ(a0)e
−
a
a0
µ(ξ)dξ
a poněvadž u(t, a) = u(a − (a − t), a), můžeme psát řešení rovnice (1.4) s počáteční podmínkou
(1.5) na množině A dané formulí (1.6) ve tvaru
u(t, a) = ϕ(a − t)e
−
a
a−t
µ(ξ)dξ
. (1.8)
Ze spojitosti funkce u dále plyne, že takto definovaná funkce je řešením počáteční úlohy (1.4),
(1.5) na množině ¯A1 (t, a) ∈ R2
: a ≥ t ≥ 0 .
5
Model procesu rození
Nejprve si uvědomíme, že v populaci nemohou být jedinci neomezeného věku. V časovém okamžiku
t je v populaci nějaký maximální věk amax; hodnota amax závisí na čase t. Pro hustotu u tedy
platí u(t, a) = 0 pro každé a > amax. Vezmeme libovolné celé kladné číslo n a položíme
∆a =
amax
n
, ai = i∆a, i = 0, 1, 2, . . ., n.
O jedincích, kteří v čase t mají věk a takový, že ai−1 < a ≤ ai, řekneme, že jsou v čase t v i-té
věkové třídě. Množství jedinců v i-té věkové třídě je rovno N(t, ai−1, ∆a); to plyne z předpokládané
spojitosti hustoty u.
Označme Bi(t, τ) množství novorozenců, kteří se narodili v časovém intervalu (t, t + τ] a jsou
potomky jedinců3
, kteří v čase t byli v i-té věkové třídě. K vyjádření množství novorozených jedinců
budeme předpokládat, že v krátkém časovém intervalu délky ∆t je množství narozených potomků
jedinců z nějaké věkové třídy úměrný velikosti této věkové třídy a délce časového intervalu ∆t, tj.
Bi(t, ∆t) = βiN(t, ai−1, ∆a)∆t = βi∆t
ai
ai−1
u(t, ξ)dξ,
koeficienty úměrnosti βi jsou nezáporné. Podle věty o střední hodnotě integrálního počtu existují
čísla αi, ai−1 ≤ αi ≤ ai, taková, že
ai
ai−1
u(t, ξ)dξ = u(t, αi)∆a.
Dostáváme tak vyjádření
Bi(t, ∆t)
∆t
= βiu(t, αi)∆a, i = 1, 2, . . ., n. (1.9)
Zavedeme nyní spojitou nezápornou funkci β nezávisle proměnné a, pro niž platí β(αi) = βi.
Funkční hodnotu β(a) interpretujeme jako očekávaný (typický) počet potomků, které má jedinec
věku a během jednotkového časového intervalu. Funkci β budeme proto nazývat věkově specifická
porodnost. Typický průběh specifické porodnosti β je znázorněn na Obrázku 1b). Novorození
jedinci žádné potomky nemají, mohou je mít až po dosažení jistého věku aI (dospělosti). Pak
porodnost naroste do jisté maximální hodnoty β∗
, po nějaké době začne klesat a ve věku aT (po
menopauza) vymizí. Většina organismů je plodná až do smrti, přežívání po menopauze se objevuje
jen u některých primátů nebo u kosatek; hodnota aT tedy může být větší než maximální možný
věk dosahovaný v populaci.
Pravou stranu rovností (1.9) nyní můžeme psát ve tvaru β(αi)u(t, αi)∆a; platí pro ni
min
ai−1≤ξ≤ai
β(ξ)u(t, ξ) ∆a ≤ β(αi)u(t, αi)∆a ≤ max
ai−1≤ξ≤ai
β(ξ)u(t, ξ) ∆a,
takže součet levých stran rovností (1.9) splňuje nerovnosti
n
i=1
min
ai−1≤ξ≤ai
β(ξ)u(t, ξ) ∆a ≤
1
∆t
n
i=1
Bi(t, ∆t) ≤
n
i=1
max
ai−1≤ξ≤ai
β(ξ)u(t, ξ) ∆a. (1.10)
Součet
n
i=1
Bi(t, ∆t) vyjadřuje množství všech novorozenců, kteří se narodili v krátkém časovém
intervalu (t, t + ∆t]. Jinak řečeno, vyjadřuje množství všech jedinců, kteří v čase t + ∆t měli věk
3U pohlavně se rozmnožující populace zní vyjádření „potomek jedince podivně; každý je potomkem dvou
jedinců, kteří mohou být různého věku. V takovém případě je vhodné za populaci považovat pouze populaci samic.
6
z intervalu [0, ∆t). To znamená, že
n
i=1
Bi(t, ∆t) = N(t + ∆t, 0, ∆t) =
∆t
0
u(t + ∆t, ξ)dξ = u(t + ∆t, θ∆t)∆t,
kde θ ∈ (0, 1) je nějaké číslo; poslední rovnost plyne z věty o střední hodnotě integrálního počtu.
Uvedené vyjádření dosadíme do nerovností (1.10) a dostaneme
n
i=1
min
ai−1≤ξ≤ai
β(ξ)u(t, ξ) ∆a ≤ u(t + ∆t, θ∆t) ≤
n
i=1
max
ai−1≤ξ≤ai
β(ξ)u(t, ξ) ∆a.
Výraz na levé straně konverguje pro ∆a → 0 (tj. pro n → ∞) k dolnímu (Riemannovu) integrálu
z funkce β( · )u(t, · ) na intervalu [0, amax], výraz na pravé straně k integrálu hornímu. V limitě
tak dostáváme rovnost
u(t + ∆t, θ∆t) =
amax
0
β(ξ)u(t, ξ)dξ.
Nyní provedeme další limitní přechod ∆t → 0. Nakonec si ještě uvědomíme, že pro ξ > amax je
β(ξ)u(t, ξ) = 0 při libovolném t. V horní mezi integrálu tedy můžeme psát ∞. Dostaneme tak
u(t, 0) =
∞
0
β(ξ)u(t, ξ)dξ; (1.11)
to je okrajová podmínka pro rovnici (1.4), která bývá také nazývána podmínka obnovy.
Popíšeme, jak se vyvíjí část populace tvořená jedinci, kteří se narodili po čase t = 0. V takto
vymezené části populace má v čase t každý jedinec věk menší než t. Zajímá nás tedy hustota u,
jejíž definiční obor je zúžen na množinu
A2 = (t, a) ∈ R2
: t > a ≥ 0 .
Zřejmě je A2 ∪ ¯A1 = [0, ∞) × [0, ∞), takže hledáme řešení rovnice (1.4) na zbytku definičního
oboru hustoty u.
Výraz na pravé straně rovnosti (1.11) závisí pouze na proměnné t. Proto ho označíme symbolem
ψ(t). Zvolíme libovolné t0 > 0 a pro a ≥ 0 položíme
y(a) = u(a + t0, a).
Pak platí
y(0) = ψ(t0), y′
(a) = −µ(a)y(a),
takže funkce y je řešením této Cauchyovy úlohy pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici, tj.
u(a + t0, a) = y(a) = ψ(t0)e
−
a
0
µ(ξ)dξ
.
Poněvadž hodnota t0 byla libovolná a platí u(t, a) = u a + (t − a), a , řešení rovnice (1.4) na
množině A2, které splňuje okrajovou podmínku (1.11), dostaneme ve tvaru
u(t, a) = ψ(t − a)e
−
a
0
µ(ξ)dξ
, (1.12)
kde funkce ψ je definována integrálem
ψ(t) =
∞
0
β(ξ)u(t, ξ)dξ. (1.13)
7
„Seminumerické řešení modelu věkově strukturované populace
Model vývoje věkově strukturované populace je dán rovnicí (1.4) spolu s počáteční podmínkou
(1.5) a s okrajovou podmínkou (1.11). Zapíšeme ho v kompaktním tvaru
∂u
∂t
+
∂u
∂a
= −µ(a)u, t > 0, a > 0, (1.14)
u(0, a) = ϕ(a), a > 0, (1.15)
u(t, 0) =
∞
0
β(ξ)u(t, ξ)dξ, t > 0. (1.16)
Hledaná funkce u = u(t, a) vyjadřuje hustotu populace věku a v čase t. Poznamenejme, že v rovnici
(1.14) nepíšeme explicitně nezávisle proměnné t, a jako argumenty funkce u, neboť jsou zapsány
v operátorech parciálních derivací. Počáteční funkce ϕ = ϕ(a) vyjadřuje strukturu populace (tj.
její hustotu) v čase t = 0, funkce β = β(a) vyjadřuje věkově specifickou porodnost a funkce
µ = µ(a) věkově specifickou úmrtnost.
Z dosud provedených výpočtů, tj. podle (1.8), (1.12) máme řešení úlohy (1.14), (1.15), (1.16)
ve tvaru
u(t, a) =



ϕ(a − t) e
−
a
a−t
µ(ξ)dξ
, t ≤ a,
ψ(t − a) e
−
a
0
µ(ξ)dξ
, t > a.
Pro zjednodušení zápisu označme
ℓ(a) = e
−
a
0
µ(ξ)dξ
.
Řešení úlohy (1.14), (1.15), (1.16) pak zapíšeme
u(t, a) =



ϕ(a − t)
ℓ(a)
ℓ(a − t)
, t ≤ a,
ψ(t − a)ℓ(a), t > a.
(1.17)
Problémem tohoto vyjádření je skutečnost, že funkce ψ není v zadání úlohy; je dána integrálem
(1.13), v němž vystupuje hledaná funkce u. Proto se pokusíme najít alespoň přibližné řešení úlohy
na nějaké konečné množině bodů
{(ti, aj) : i = 0, 1, 2, . . ., N, j = 0, 1, 2, . . ., M} .
Konkrétně: zvolíme časový interval ∆t, maximální uvažovaný věk aM a čas vývoje populace tN ;
věk aM i čas tN volíme jako násobky „časového měřítka ∆t, věk aM navíc tak, že β(a) = 0 pro
a ≥ aM . Pak položíme
ti = i∆t, i = 0, 1, 2, . . ., aj = j∆t, j = 0, 1, 2, . . ..
Pro libovolné nezáporné celé číslo j podle (1.17) platí
u(ti, aj+i) = ϕ(aj+i − ti)
ℓ(aj+i)
ℓ(aj+i − ti)
= ϕ(aj)
ℓ(aj+i)
ℓ(aj)
.
Pro libovolné kladné i platí
u(ti, 0) = ψ(ti)ℓ(0) = ψ(ti),
takže pro kladné i platí
u(ti+j, aj) = ψ(ti+j − aj)ℓ(aj) = ψ(ti)ℓ(aj) = u(ti, 0)ℓ(aj).
8
Hodnotu ψ(ti) = u(ti, 0) budeme aproximovat integrálem (1.13) počítaným numericky pomocí
složeného lichoběžníkového pravidla,
u(ti, 0) = ψ(ti) =
∞
0
β(ξ)u(ti, ξ)dξ =
aM
0
β(ξ)u(ti, ξ)dξ ≈
≈
M
k=1
1
2 β(ak−1)u(ti, ak−1) + β(ak)u(ti, ak) ∆t =
= 1
2 β(0)u(ti, 0) + 2
M−1
k=1
β(ak)u(ti, ak) + β(aM )u(ti, aM ) ∆t = ∆t
M−1
k=1
β(ak)u(ti, ak);
využíváme zavedené vlastnosti β(aM ) = 0 a přirozeného předpokladu β(0) = 0 (novorozenci nejsou
plodní).
Řešení úlohy (1.14), (1.15), (1.16) v bodech (ti, aj) budeme aproximovat hodnotami ui,j, tj.
u(ti, aj) ≈ ui,j. Ještě označíme ϕj = ϕ(aj) , βj = β(aj), ℓj = ℓ(aj). Hodnoty ui,j můžeme počítat
např. podle schématu
ui,j+i = ϕj
ℓj+i
ℓj
, j = 0, 1, 2, . . ., M, i = 0, 1, 2, . . ., min{N, M − j},
ui,0 = ∆t
M−1
k=1
βkui,k, ui+j,j = ui,0ℓj, i = 1, 2, . . . , N, j = 1, 2, . . ., min{M, N − i}.
Toto uspořádání výpočtu kopíruje myšlenkový postup odvození formule (1.17) – nejprve se vypočítá
vymírání jednotlivých věkových kategorií počáteční populace, pak se v každém časovém kroku
postupně přidávají novorozenci a počítá se jejich vymírání.
Výpočet lze ovšem uspořádat i jinak – v jednotlivých časových krocích vypočítat věkové složení celé
populace. K tomu si nejprve povšimněme, že pro všechna přípustná i a j platí
aj − ti+1 = (j − i − 1)∆t = aj−1 − ti, ti+1 − aj = (i + 1 − j)∆t = ti − aj−1.
Proto podle (1.17) pro 0 ≤ i < j platí
ui+1,j ≈ u(ti+1, aj) = ϕ(aj − ti+1)
ℓ(aj)
ℓ(aj − ti+1)
= ϕ(aj−1 − ti)
ℓ(aj)
ℓ(aj−1 − ti)
=
= ϕ(aj−1 − ti)
ℓ(aj−1)
ℓ(aj−1 − ti)
ℓ(aj)
ℓ(aj−1)
= u(ti, aj−1)
ℓ(aj)
ℓ(aj−1)
≈ ui,j−1
ℓj
ℓj−1
,
pro i ≥ j > 0 platí
ui+1,j ≈ u(ti+1, aj) = ψ(ti+1 − aj)ℓ(aj) = ψ(ti − aj−1)ℓ(aj−1)
ℓ(aj)
ℓ(aj−1)
≈ ui,j−1
ℓj
ℓj−1
.
Pro libovolné i ≥ 0 a j > 0 tedy platí
ui+1,j ≈
ℓj
ℓj−1
ui,j−1.
Dále
ui+1,0 ≈ ∆t
M−1
k=1
βkui+1,k ≈ ∆t
M−1
k=1
βk
ℓk
ℓk−1
ui,k−1 = ∆t
M−2
k=0
βk+1
ℓk+1
ℓk
ui,k.
Označíme-li nyní
Pj =
ℓj+1
ℓj
, Fj = βj+1
ℓj+1
ℓj
∆t
a povšimneme si, že
FM−1 = βM
ℓM
ℓM−1
∆t = 0, FM = β (M + 1)∆t
ℓM+1
ℓM
∆t = 0,
9
můžeme schéma výpočtu zapsat jako
u0,j = ϕj , j = 0, 1, 2, . . . , M,
ui+1,0 =
M
j=0
Fjui,j ,
ui+1,j = Pj−1ui,j−1, j = 1, 2, . . . , M,
nebo v maticovém tvaru





u0,0
u0,1
...
u0,M





=





ϕ0
ϕ1
...
ϕM





,









ui+1,0
ui+1,1
ui+1,2
...
ui+1,M−1
ui+1,M









=









F0 F1 F2 . . . FM−1 FM
P0 0 0 . . . 0 0
0 P1 0 . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . 0 0
0 0 0 . . . PM−1 0


















ui,0
ui,1
ui,2
...
ui,M−1
ui,M









.
Tento zápis ukazuje, že počáteční úloha (1.14), (1.15), (1.16) pro McKendrickovu-vonFoersterovu rovnici je
analogií Leslieho modelu vývoje věkově strukturované populace. V McKendrickově-vonFoersterově modelu
jsou čas i struktura spojité, v Leslieho modelu jsou diskrétní.
1.1 Rovnice ve dvou nezávisle proměnných
Jedná se o rovnice tvaru
F x, y, u,
∂u
∂x
,
∂u
∂y
= 0, (1.18)
kde F je spojitá funkce pěti proměnných definovaná na nějaké množině G ⊆ R5
s neprázdným
vnitřkem.
Klasické (silné) řešení rovnice (1.18) je funkce u definovaná na množině Ω ⊆ R2
, na vnitřku
množiny Ω diferencovatelná, na uzávěru množiny Ω spojitá, která splňuje vztahy
x, y, u(x, y),
∂u(x, y)
∂x
,
∂u(x, y)
∂y
∈ G a F x, y, u(x, y),
∂u(x, y)
∂x
,
∂u(x, y)
∂y
= 0
pro všechny body (x, y) z vnitřku množiny Ω.
1.1.1 Lineární rovnice
Lineární rovnice je tvaru
a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = g(x, y), (1.19)
kde a, b, c, g jsou spojité funkce dvou proměnných definované na nějaké podmnožině prostoru R2
,
která má neprázdný vnitřek. O funkcích a, b budeme navíc předpokládat, že jsou na vnitřku svého
definičního oboru nenulové.
Kdyby totiž na nějaké otevřené podmnožině A společného definičního oboru funkcí a, b, c, g
byla například funkce a nulová, rovnice by na A nabyla tvaru
b(x, y)uy + c(x, y)u = g(x, y)
a mohli bychom ji považovat za rovnici obyčejnou – proměnnou y bychom chápali jako nezávisle
proměnnou, proměnnou x bychom považovali za parametr.
Pokud je funkce g na pravé straně rovnice (1.19) nulová, tj. pokud rovnice je tvaru
a(x, y)ux + b(x, y)uy + c(x, y)u = 0, (1.20)
řekneme, že tato rovnice je homogenní. Množina řešení rovnice (1.20) splňuje princip superpozice:
Lineární kombinace řešení rovnice (1.20) je opět řešením této rovnice. Podrobněji:
10
• Je-li funkce u řešením rovnice (1.20) a α je libovolné reálné číslo, pak také funkce αu je řešením
této rovnice.
Důkaz: Poněvadž
∂(αu)
∂x
= α
∂u
∂x
a
∂(αu)
∂y
= α
∂u
∂y
,
platí
a
∂(αu)
∂x
+ b
∂(αu)
∂y
+ c(αu) = α a
∂u
∂x
+ b
∂u
∂y
+ cu = 0.
• Jsou-li funkce u1, u2 řešením rovnice (1.20) se stejným definičním oborem, pak také funkce
u1 + u2 je řešením této rovnice.
Důkaz: Poněvadž
∂(u1 + u2)
∂x
=
∂u1
∂x
+
∂u2
∂x
a
∂(u1 + u2)
∂y
=
∂u1
∂y
+
∂u2
∂y
,
platí
a
∂(u1 + u2)
∂x
+ b
∂(u1 + u2)
∂y
+ c(u1 + u2) =
= a
∂u1
∂x
+ b
∂u1
∂y
+ cu1 + a
∂u2
∂x
+ b
∂u2
∂y
+ cu2 = 0 + 0 = 0.
Protože funkce u ≡ 0 je zřejmě řešením rovnice (1.20), plyne z principu superpozice, že množina
všech řešení rovnice (1.20) definovaných na jedné množině Ω tvoří reálný vektorový prostor.
Nyní se podívejme na strukturu množiny řešení nehomogenní rovnice (1.19). Pro ni platí:
• Jsou-li funkce u1 a u2 řešením nehomogenní rovnice (1.19), pak jejich rozdíl je řešením homogenní
rovnice (1.20).
Důkaz:
a
∂(u1 − u2)
∂x
+ b
∂(u1 − u2)
∂y
+ c(u1 − u2) =
= a
∂u1
∂x
+ b
∂u1
∂y
+ cu1 − a
∂u2
∂x
+ b
∂u2
∂y
+ cu2 = g − g = 0.
• Je-li funkce uN řešením nehomogenní rovnice (1.19), pak pro každé řešení uH homogenní rovnice
(1.20) je součet funkcí uN + uH také řešením nehomogenní rovnice (1.19).
Důkaz:
a
∂(uN + uH)
∂x
+ b
∂(uN + uH)
∂y
+ c(uN + uH) =
= a
∂uN
∂x
+ b
∂uN
∂y
+ cuN + a
∂uH
∂x
+ b
∂uH
∂y
+ cuH = g + 0 = g.
Množinu řešení nehomogenní lineární rovnice (1.19) tedy můžeme chápat jako afinní prostor.
Přesněji, řešení nehomogenní rovnice (1.19) jsou body afinního prostoru, jehož zaměřením je vektorový
prostor všech řešení lineární homogenní rovnice (1.20).
11
1.1.2 Řešení rovnice a(x, y)ux + b(x, y)uy = 0
Představme si, že řešení známe. Nechť tedy funkce u = u(x, y) je řešením rovnice
a(x, y)ux + b(x, y)uy = 0. (1.21)
Tuto funkci dvou proměnných můžeme znázornit pomocí vrstevnic. Nechť tyto vrstevnice mají
parametrické vyjádření tvaru
x = x(s),
y = y(s),
(1.22)
kde parametr s probíhá nějaký reálný interval I. Poněvadž funkce u je diferencovatelná, jsou její
vrstevnice hladké křivky (případně body v bodech lokálních extrémů funkce u), tj. funkce x = x(s),
y = y(s) jsou diferencovatelné. Na vrstevnicích platí
u x(s), y(s) = const
(pro libovolnou hodnotu parametru s ∈ I). Derivováním této rovnosti podle parametru dostaneme
rovnost
0 =
d
ds
u x(s), y(s) =
∂u x(s), y(s)
∂x
dx(s)
ds
+
∂u x(s), y(s)
∂y
dy(s)
ds
;
použili jsme řetězové pravidlo pro derivování složené funkce. Porovnáním s rovnicí (1.21) vidíme,
že poslední rovnost bude splněna, pokud
x′
(s) =
dx(s)
ds
= a x(s), y(s) , y′
(s) =
dy(s)
ds
= b x(s), y(s) .
Toto pozorování vede k rozhodnutí, že k parciální diferenciální rovnici (1.21) přiřadíme dvourozměrný
autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic
x′
= a(x, y),
y′
= b(x, y).
(1.23)
Tento systém se nazývá charakteristický systém příslušný k rovnici (1.21), jeho trajektorie se
nazývají charakteristiky rovnice (1.21), nebo první integrál rovnice (1.21). Charakteristiky jsou
vrstevnicemi řešení u rovnice (1.21). Dělením rovnic charakteristického systému (1.23) dostaneme
charakteristickou rovnici příslušnou k rovnici (1.21); charakteristická rovnice má tvar
dy
dx
=
b(x, y)
a(x, y)
(1.24)
a je to obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu. Budeme předpokládat, že má řešení. Poněvadž
se jedná o rovnici prvního řádu, závisí její obecné řešení na jedné konstantě. Tuto konstantu osamostatníme
na pravé straně rovnosti vyjadřující řešení charakteristické rovnice (1.24) a dostaneme
ϕ(x, y) = const; (1.25)
přitom ϕ je diferencovatelná funkce definovaná na množině Ω. Tuto skutečnost můžeme vyjádřit
také jinak: charakteristickou rovnici (1.24) přepíšeme ve tvaru
b(x, y)dx − a(x, y)dy = 0; (1.26)
funkce ϕ je tedy kmenovou funkcí diferenciálu na levé straně.
Vrstevnice řešení u parciální diferenciální rovnice (1.21) mají implicitní vyjádření (1.25), konstanta
na pravé straně představuje hodnotu funkce u na příslušné vrstevnici. Označme tuto hodnotu
symbolem Φ ϕ(x, y) .
Provedenými úvahami jsme vlastně našli algoritmus hledání řešení parciální diferenciální rovnice
(1.21). K rovnici přiřadíme charakteristický systém (1.23) nebo charakteristickou rovnici
12
(1.24), který (nebo kterou) vyřešíme a najdeme první integrál rovnice (1.21) ve tvaru (1.24).
Pak vezmeme libovolnou diferencovatelnou funkci Φ jedné proměnné a položíme
u(x, y) = Φ ϕ(x, y) . (1.27)
Ještě je potřeba udělat zkoušku, že takto nalezená funkce u je skutečně řešením parciální rovnice
(1.21). Jinak řečeno, dokázat následující:
Tvrzení 1. Nechť ϕ : Ω → R je diferencovatelná funkce taková, že rovnost (1.25) je implicitním
zápisem trajektorií charakteristického systému (1.23) (nebo ekvivalentně: implicitním zápisem
řešení charakteristické rovnice (1.24)). Je-li Φ libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné
taková, že její definiční obor obsahuje obor hodnot funkce ϕ, pak funkce u definovaná vztahem
(1.27) je řešením rovnice (1.21).
Důkaz: Pro řešení x = x(s), y = y(s) charakteristického systému platí
ϕ x(s), y(s) = const.
Derivováním této rovnosti podle parametru s dostaneme
0 =
d
ds
ϕ x(s), y(s) =
∂ϕ x(s), y(s)
∂x
dx(s)
ds
+
∂ϕ x(s), y(s)
∂y
dy(s)
ds
=
=
∂ϕ x(s), y(s)
∂x
a x(s), y(s) +
∂ϕ x(s), y(s)
∂y
b x(s), y(s) ,
stručně
a(x, y)ϕx(x, y) + b(x, y)ϕy(x, y) = 0.
Dále
∂u(x, y)
∂x
=
∂Φ ϕ(x, y)
∂x
= Φ′
ϕ(x, y) ϕx(x, y),
∂u(x, y)
∂y
= Φ′
ϕ(x, y) ϕy(x, y),
takže
a(x, y)
∂u(x, y)
∂x
+ b(x, y)
∂u(x, y)
∂y
= a(x, y)ϕx(x, y) + b(x, y)ϕy(x, y) Φ′
ϕ(x, y) = 0.
Dostali jsme množinu řešení rovnice (1.21) ve tvaru (1.27). Prvky této množiny závisí na diferencovatelných
funkcích, nikoliv na konstantách, jak tomu je v případě obyčejných diferenciálních
rovnic. Odtud plyne, že (vektorový) prostor řešení lineární homogenní parciální diferenciální rovnice
nemůže mít konečnou dimensi. Navíc zatím nevíme, zda rovnice (1.21) nemá nějaké další
řešení, které není uvedeného tvaru.
Příklad.
ux − 6x2
uy = 0.
Charakteristická rovnice je
dy
dx
= −6x2
a její řešení je bezprostředně dáno integrací pravé strany,
y = −2x3
+ const. První integrál dané rovnice tedy můžeme zapsat ve tvaru
2x3
+ y = const
a její řešení je dáno rovností
u(x, y) = Φ(2x3
+ y),
kde Φ je libovolná diferencovatelná funkce.
13
Zkouška:
∂u(x, y)
∂x
=
∂
∂x
Φ(2x3
+ y) = Φ′
(2x3
+ y) · 6x2
,
∂u(x, y)
∂y
=
∂
∂y
Φ(2x3
+ y) = Φ′
(2x3
+ y)
takže
∂u(x, y)
∂x
− 6x2 ∂u(x, y)
∂y
= 6x2
Φ′
(2x3
+ y) − 6x2
Φ′
(2x3
+ y) = 0.
1.1.3 Kanonický tvar a řešení rovnice a(x, y)ux + b(x, y)uy = f(x, y, u)
Uvažujme parciální diferenciální rovnici prvního řádu ve tvaru
a(x, y)ux + b(x, y)uy = f(x, y, u). (1.28)
Budeme hledat nějakou transformaci nezávisle proměnných, která tuto rovnici nějak zjednoduší.
Současně budeme chtít, aby tato transformace nebyla příliš komplikovaná. Ponecháme tedy první
souřadnici (nezávisle proměnnou x) beze změny a transformujeme pouze souřadnici druhou (nezávisle
proměnnou y). Jinými slovy, původní souřadnice x, y transformujeme na nové souřadnice
ξ, η tak, že
ξ = x, η = ϕ(x, y), (1.29)
Přitom ϕ je diferencovatelná funkce dvou proměnných. Aby se jednalo skutečně o transformaci
prostoru R2
do R2
, musí být zobrazení φ : R2
→ R2
, definované vztahem
φ(x, y) =
ξ
η
=
x
ϕ(x, y)
,
regulární (invertovatelné). Existuje tedy inversní zobrazení φ−1
: R2
→ R2
; jeho druhou složku
označíme χ, je to diferencovatelná funkce dvou proměnných. Přitom funkce ϕ a χ splňují rovnosti
χ(ξ, η) = y, ϕ(x, y) = η, podrobněji
χ x, ϕ(x, y) = y, ϕ ξ, χ(ξ, η) = η. (1.30)
Poznamenejme, že k tomu, aby zobrazení φ bylo regulární, stačí, aby funkce ϕ měla nenulovou
parciální derivaci podle druhé proměnné, tj. ϕy = 0.
Nyní budeme rovnici (1.28) transformovat do nových nezávisle proměnných pomocí transformace
(1.29). Parciální derivace hledané funkce u podle původních proměnných vyjádříme v nových
proměnných pomocí „řetězového pravidla pro derivování složených funkcí:
ux =
∂u
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂u
∂η
∂η
∂x
= uξ + uηϕx, uy =
∂u
∂ξ
∂ξ
∂y
+
∂u
∂η
∂η
∂y
= uηϕy.
Po dosazení do levé strany řešené rovnice (1.28) tedy dostaneme
aux + buy = auξ + (aϕx + bϕy)uη.
Pokud funkce ϕ bude taková, že výraz v závorce vymizí, daná rovnice se transformuje na rovnici,
v níž vystupuje pouze jedna parciální derivace. Požadujeme tedy aϕx + bϕy = 0, tj.
b
a
= −
ϕx
ϕy
.
Výraz −
ϕx
ϕy
ovšem vyjadřuje obyčejnou derivaci funkce y = y(x) zadané implicitně rovnicí
ϕ(x, y) = const.
14
Funkce y = y(x) zadaná touto rovnicí tedy má derivaci tvaru
dy
dx
=
b(x, y)
a(x, y)
.
Porovnáním s (1.24) vidíme, že transformační funkce ϕ současně implicitně vyjadřuje charakteristiky
rovnice (1.21).
Transformovaná rovnice má tvar auξ = f. Funkce a je podle předpokladu nenulová, proto
můžeme rovnici dále upravit, vyjádřit parciální derivaci uξ:
uξ =
f
a
u.
Dostáváme tak první závěr: Transformace nezávisle proměnných (1.29), kde funkce ϕ představuje
implicitní zápis (1.25) charakteristik rovnice (1.21), převádí rovnici (1.28) na rovnici
uξ = F(ξ, η, u); (1.31)
přitom
F(ξ, η, u) =
f ξ, χ(ξ, η), u
a ξ, χ(ξ, η)
,
kde funkce χ je definována rovnostmi (1.30). Rovnice (1.31) se nazývá kanonický tvar rovnice
(1.28).
V rovnici (1.31) není derivace hledané funkce u podle proměnné η. Hledanou funkci tedy
můžeme chápat jako funkci jedné nezávisle proměnné ξ a její parciální derivaci uξ chápat jako
derivaci obyčejnou. V tomto pojetí bude nezávisle proměnná η mít roli parametru. Hledáme tedy
řešení obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu s parametrem η
du
dξ
= F(ξ, η, u).
Pokud se nám podaří tuto rovnici vyřešit, tj. najít funkci u = u(ξ, η), která ji splňuje, dostaneme
zpětnou substitucí nezávisle proměnných řešení původní rovnice (1.28). Přitom je potřeba mít na
paměti, že integrační konstanta objevující se při řešení obyčejné rovnice, bude záviset na parametru
η. Ve vyjádření řešení rovnice (1.28) se tedy bude vyskytovat nějaká neurčená funkce proměnné η,
tj. v původních nezávisle proměnných nějaká funkce argumentu ϕ(x, y). To je v souladu s výsledky
uvedenými v 1.1.2.
Příklad
Hledejme řešení rovnice yux + xuy = u2
+ 1 v kladném kvadrantu.
Příslušná charakteristická rovnice je
dy
dx
=
x
y
a její řešení je implicitně dáno rovností x2
− y2
= const. Transformace
ξ = x, η = x2
− y2
převede danou rovnici na kanonický tvar
ξ2 − η uξ = u2
+ 1.
Tuto rovnici budeme považovat za obyčejnou. Upravíme ji na tvar explicitní obyčejné diferenciální
rovnice s parametrem η
du
dξ
=
u2
+ 1
ξ2 − η
15
a vidíme, že se jedná o rovnici se separovanými proměnnými. Její řešení je implicitně dáno rovností
du
u2 + 1
=
dξ
ξ2 − η
.
Integrací dostaneme implicitní tvar řešení rovnice
arctg u = ln ξ + ξ2 − η + C(η),
kde C je integrační konstanta, která závisí na parametru η. V tomto případě můžeme funkci u
vyjádřit explicitně,
u(ξ, η) = tg C(η) + ln ξ + ξ2 − η .
Návratem k původním proměnným x, y dostaneme řešení dané rovnice ve tvaru
u(x, y) = tg C(x2
− y2
) + ln(x + y) ,
kde C je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné.
Zkouškou se můžeme přesvědčit, že se skutečně jedná o řešení dané rovnice. Parciální derivace
nalezené funkce u jsou4
ux(x, y) =
1
cos2 (C(x2 − y2) + ln(x + y))
2xC′
(x2
− y2
) +
1
x + y
,
uy(x, y) =
1
cos2 (C(x2 − y2) + ln(x + y))
−2yC′
(x2
− y2
) +
1
x + y
,
takže platí
yux(x, y) + xuy(x, y) =
1
cos2 (C(x2 − y2) + ln(x + y))
=
=
sin2
C(x2
− y2
) + ln(x + y) + cos2
C(x2
− y2
) + ln(x + y)
cos2 (C(x2 − y2) + ln(x + y))
=
= tg2
C(x2
− y2
) + ln(x + y) + 1 = u2
+ 1
a rovnice je splněna.
Řešení u = u(ξ, η) rovnice (1.31) v kanonickém tvaru obecně nelze explicitně vyjádřit. V některých
případech, např. jedná-li se o rovnici se separovatelnými proměnnými nebo o rovnici exaktní,
můžeme její řešení vyjádřit alespoň implicitně. Takové řešení závisí na integrační konstantě Φ,
která ovšem sama závisí na parametru η. Řešení rovnice (1.31) tak zapíšeme ve tvaru
ψ(ξ, η, u) = Φ(η);
přitom ψ je diferencovatelná funkce tří proměnných, Φ je diferencovatelná funkce jedné proměnné.
Návratem k původním nezávisle proměnným x, y dostaneme implicitní tvar řešení rovnice (1.28)
ψ x, ϕ(x, y), u = Φ ϕ(x, y) .
Nejjednodušší je situace v případě lineární rovnice. Kanonický tvar rovnice (1.19) je
uξ = P(ξ, η)u + Q(ξ, η); (1.32)
4Poznamenejme, že zápis sin2 α označuje druhou mocninu funkční hodnoty goniometrické funkce sinus v bodě
α, nikoliv dvakrát iterovanou funkci sinus; podobně pro funkce cosinus a tangens.
16
přitom
P(ξ, η) = −
c ξ, χ(ξ, η)
a ξ, χ(ξ, η)
, Q(ξ, η) =
g ξ, χ(ξ, η)
a ξ, χ(ξ, η)
,
kde funkce χ je definována rovnostmi (1.30). Hledáme tedy řešení obyčejné lineární diferenciální
rovnice prvního řádu
du
dξ
= P(ξ, η)u + Q(ξ, η).
Její řešení je tvaru
u(ξ, η) = const · exp



ξ
ξ0
P(s, η)ds


 +
ξ
ξ0
Q(s, η) exp


ξ
s
P(σ, η)dσ

 ds.
Integrační konstanta samozřejmě může záviset na parametru η, proto ji zapíšeme jako Φ(η). Řešení
lineární parciální diferenciální rovnice v kanonickém tvaru (1.32) je tedy dáno formulí
u(ξ, η) = Φ(η) exp



ξ
ξ0
P(s, η)ds


 +
ξ
ξ0
Q(s, η) exp


ξ
s
P(σ, η)dσ

 ds, (1.33)
kde Φ je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné, ξ0 je nějaké reálné číslo; ve většině
případů lze položit ξ0 = 0.
Řešení lineární rovnice (1.19) dostaneme z formule (1.33) návratem k původním nezávisle
proměnným x, y. Pro funkci P najdeme s využitím druhé rovnosti (1.29) vyjádření
P(s, η) = −
c s, χ(s, η)
a s, χ(s, η)
= −
c s, χ(s, ϕ(x, y))
a s, χ(s, ϕ(x, y))
,
analogicky vyjádříme funkci Q. Výsledek nyní můžeme zformulovat ve tvaru věty:
Věta 1. Nechť ϕ : Ω → R je diferencovatelná funkce taková, že rovnost (1.25) je implicitním zápisem
trajektorií charakteristického systému (1.23) (nebo ekvivalentně: implicitním zápisem řešení
charakteristické rovnice (1.24)) a χ : Ω → R je funkce taková, že jsou splněny podmínky (1.30)5
.
Označme
p(x, y, s) = −
c s, χ(s, ϕ(x, y))
a s, χ(s, ϕ(x, y))
, q(x, y, s) =
g s, χ(s, ϕ(x, y) )
a s, χ(s, ϕ(x, y) )
.
Je-li Φ diferencovatelná funkce jedné proměnné, jejíž definiční obor obsahuje obor hodnot funkce
ϕ, pak funkce u definovaná rovností
u(x, y) = Φ ϕ(x, y) exp


x
x0
p(x, y, s)ds

 +
x
x0
q(x, y, s) exp


x
s
p(x, y, σ)dσ

 ds
je řešením rovnice (1.19); číslo x0 je libovolné takové, že integrály na pravé straně jsou konečné
pro všechny dvojice (x, y) ∈ Ω.
Důkaz provedeme přímým výpočtem. Je to pěkné cvičení na derivování vícenásobně složených
funkcí více proměnných.
Výpočty provedené před Větou 1 ukazují, če pokud má charakteristická rovnice (1.24) řešení,
pak má řešení i lineární parciální rovnice (1.19) a toto řešení má tvar uvedený ve Větě 1. Existence
řešení lineární parciální rovnice v tomto tvaru je tedy důsledkem existence řešení příslušné
charakteristické rovnice, tj. obyčejné diferenciální rovnice.
5Všimněte si, že na levých stranách rovností (1.30) nejsou funkce dvou proměnných, ale funkce tří proměnných,
přičemž hodnoty první a druhé proměnné jsou shodné.
17
Při řešení konkrétní lineární homogenní parciální diferenciální rovnice prvního řádu ve dvou
nezávisle proměnných bývá přehlednější rovnici transformovat na kanonický tvar, rovnici v kanonickém
tvaru vyřešit a zpětně transformovat nezávisle proměnné, než používat vzorec z Věty 1.
Příklad.
yux − xuy = x2
+ y2
Rovnici budeme uvažovat na množině G = (x, y) ∈ R2
: x ≥ 0, y ≥ 0 , na jejímž vnitřku jsou
oba koeficienty a(x, y) = y, b(x, y) = −x nenulové. Příslušná charakteristická rovnice je
dy
dx
= −
x
y
.
Je to obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými a její řešení je implicitně dáno
rovností x2
+ y2
= const. Zavedeme tedy transformaci
ξ = x, η = x2
+ y2
.
Pak na množině G je
y = η − ξ2, ξx = 1, ξy = 0, ηx = 2x = 2ξ, ηy = 2y = 2 η − ξ2,
takže
ux = uξξx + uηηx = uξ + 2ξuη, uy = uξξy + uηηy = 2 η − ξ2 uη.
Po dosazení do řešené rovnice dostaneme
η − ξ2 uξ + 2ξuη − 2ξ η − ξ2 uη = ξ2
+ η − ξ2
a odtud snadnou úpravou získáme kanonický tvar
uξ =
η
η − ξ2
.
Tuto jednoduchou obyčejnou rovnici řešíme integrací podle proměnné ξ,
u =
η
η − ξ2
dξ = η arcsin
ξ
√
η
+ const.
Integrační konstanta závisí na parametru η, řešení rovnice v kanonickém tvaru je
u(ξ, η) = η arcsin
ξ
√
η
+ Φ(η),
kde η je libovolná diferencovatelná funkce jedné proměnné. Návratem k původním proměnným
dostaneme řešení dané rovnice ve tvaru
u(x, y) = (x2
+ y2
) arcsin
x
x2 + y2
+ Φ(x2
+ y2
).
Ještě můžeme využít skutečnosti, že pro x > 0, y > 0 je
arcsin
x
x2 + y2
= arctg
x
y
,
a výsledek zapsat v trochu kratším tvaru
u(x, y) = (x2
+ y2
) arctg
x
y
+ Φ(x2
+ y2
).
18
Ukážeme ještě řešení dané rovnice přímým dosazováním do formulí ve Větě 1. Máme
a(x, y) = y, b(x, y) = −x, c(x, y) = 0, g(x, y) = x2
+ y2
.
Implicitní zápis řešení charakteristické rovnice je x2
+ y2
= const a tedy
ϕ(x, y) = x2
+ y2
.
Tvar funkce χ dostaneme ze druhé rovnosti (1.30). Má platit
η = ϕ ξ, χ(ξ, η) = ξ2
+ χ(ξ, η)2
,
takže χ(ξ, η) = η − ξ2. Dále p(x, y, s) = 0 a
q(x, y, s) =
g s, χ(s, ϕ(x, y))
a s, χ(s, ϕ(x, y))
=
s2
+ χ s, ϕ(x, y)
2
χ s, ϕ(x, y)
=
s2
+ ϕ(x, y) − s2
ϕ(x, y) − s2
=
x2
+ y2
x2 + y2 − s2
.
Zvolíme x0 = 0 a řešení dané rovnice rovnice dostaneme podle Věty 1 ve tvaru
u(x, y) = Φ(x2
+ y2
) +
x
0
x2
+ y2
x2 + y2 − s2
ds = Φ(x2
+ y2
) + (x2
+ y2
) arcsin
x
x2 + y2
,
tedy až na pořadí sčítanců ve stejném, jako při předchozím způsobu řešení rovnice.
Rovnici (1.28) jsme transformovali do nových nezávisle proměnných tak, že jsme ponechali
první souřadnici nezměněnu a za druhou jsme vzali funkci vyjadřující charakteristiku rovnice. To
není jediná možnost, jak parciální rovnici (1.28) transformovat na kanonický tvar, tj. na obyčejnou
rovnici s parametrem. Stejně dobře můžeme ponechat druhou souřadnici a první nahradit
charakteristikou.
Příklad.
2ux + 3uy − xu = 0
Charakteristická rovnice je
dy
dx
= 3
2 ,
její řešení y = 3
2 x + const můžeme přepsat ve tvaru
3x − 2y = const;
to je zápis charakteristiky. Zavedeme transformaci
ξ = 3x − 2y, η = y.
Pak ux = 3uξ, uy = −2uξ + uη, x = 1
3 (ξ + 2η). Levá strana dané rovnice se tedy transformuje na
tvar
2ux + 3uy − xu = 6uξ − 6uξ + 3uη − 1
3 (ξ + 2η)u = 3 uη − 1
9 (ξ + 2η)u .
Kanonický tvar dané rovnice je
∂u
∂η
= 1
9 (ξ + 2η)u.
Tato rovnice má řešení
du
u
= 1
9 (ξ + 2η)dη, tj. ln u = 1
9 (ξη + η2
) + const, neboli u = const · e
1
9 (ξη+η2
)
.
Řešení rovnice v kanonickém tvaru je tedy u = Φ(ξ)e
1
9 η(ξ+η)
a návratem k původním proměnným
dostaneme řešení dané rovnice
u(x, y) = Φ(3x − 2y)e
1
9 y(3x−2y+y)
= Φ(3x − 2y)
9
ey(3x−y).
19
1.1.4 Okrajová úloha pro rovnici a(x, y)ux + b(x, y)uy = f(x, y, u)
Uvažujme parciální diferenciální rovnici (1.28) lineární v prvních derivacích a jednu konkrétní
charakteristiku rovnice (1.21) s nulovou pravou stranou; tato charakteristika má parametrické
vyjádření (1.22) a je řešením autonomního systému obyčejných diferenciálních rovnic (1.23) s
počátečními podmínkami
x(0) = x0, y(0) = y0.
Nechť funkce u je řešením rovnice (1.28). Pak na uvažované charakteristice platí
d
ds
u x(s), y(s) = ux x(s), y(s)
dx(s)
ds
+ uy x(s), y(s)
dy(s)
ds
=
= a x(s), y(s) ux x(s), y(s) + b x(s), y(s) uy x(s), y(s) = f x(s), y(s), u x(s), y(s) .
Odtud vidíme, že prostorová křivka, jejíž parametrické vyjádření je řešením autonomního systému
dx
ds
= a(x, y),
dy
ds
= b(x, y),
du
ds
= f(x, y, u)
(1.34)
s počátečními podmínkami
x(0) = x0, y(0) = y0, u(0) = u0 = u(x0, y0), (1.35)
je incidentní s grafem řešení rovnice (1.28), tj. leží na grafu funkce u.
Zadáme-li tedy hodnotu u0 řešení u rovnice (1.28) v nějakém bodě (x0, y0) charakteristiky,
máme hodnoty řešení u rovnice (1.28) ve všech bodech této charakteristiky jako řešení autonomního
systému obyčejných diferenciálních rovnic (1.34) s počátečními podmínkami (1.35). Systém
(1.34) charakterizuje řešení rovnice (1.19), proto se nazývá charakteristický systém příslušný
k rovnici (1.19), jeho trajektorie můžeme nazvat charakteristické křivky rovnice (1.28).
Jedno konkrétní řešení (partikulární řešení) rovnice (1.28) získáme tak, že na každé charakteristice
zadáme právě jednu funkční hodnotu. Jinak řečeno, zadáme hodnoty řešení na nějaké
rovinné křivce, která protíná každou charakteristiku právě jednou. Takové křivce říkáme okraj pro
rovnici (1.28).
Okraj může být zadán parametricky rovnicemi
x = X(σ),
y = Y (σ),
kde parametr σ probíhá nějaký interval J. Pro každou hodnotu parametru σ ∈ J zadáme hodnotu
řešení u = g(σ). Rovnosti
x = X(σ), y = Y (σ), u = g(σ), σ ∈ J (1.36)
lze interpretovat jako parametrické vyjádření prostorové křivky, která má ležet na grafu řešení u
rovnice (1.28). Tyto rovnosti nazýváme okrajová podmínka pro rovnici (1.28).
Okrajová úloha pro rovnici (1.28) je úloha najít řešení u = u(x, y) rovnice (1.28), které splňuje
okrajovou podmínku (1.36), tj. řešení, pro které platí
u X(σ), Y (σ) = g(σ)
pro každou hodnotu parametru σ ∈ J.
Okrajovou úlohu můžeme řešit tak, že metodami popsanými v 1.1.3 najdeme řešení rovnice
závisející na obecné funkci Φ a dosadíme do něho okrajovou podmínku. Dostaneme tak funkcionální
rovnici pro neznámou funkci Φ, z které určíme její tvar; ten lze v některých případech z příslušné
rovnice uhodnout.
20
Příklad
Hledejme řešení rovnice
2ux − 3uy = xu,
které splňuje podmínku
u(x, 0) = x2
pro každé x ∈ R. Zadáváme tedy hodnoty řešení na ose x. Okrajovou podmínku můžeme parametricky
zapsat jako
x = σ, y = 0, u = σ2
, σ ∈ R.
Řešení dané rovnice jsme našli v příkladu na str. 19 ve tvaru
u(x, y) = Φ(3x − 2y)
9
√
e3xy−y2
.
Aby toto řešení splnilo okrajovou podmínku, musí platit
x2
= u(x, 0) = Φ(3x)
9
√
e0 = Φ(3x).
Funkce Φ je tedy řešením jednoduché funkcionální rovnice Φ(3x) = x2
a snadno uhodneme, že
funkci Φ můžeme zadat předpisem Φ(ξ) = 1
3 ξ
2
. Pro řešení dané okrajové úlohy tak dostáváme
formulku
u(x, y) = (x − 2
3 y)2 9
√
e3xy−y2
.
Řešení funkcionální rovnice však obecně není snadná úloha. Proto může být výhodné při řešení
okrajové úlohy (1.28), (1.36) postupovat jinak.
Najdeme konkrétní charakteristiku, která protíná okraj v bodě daném konkrétní hodnotou
parametru σ. To znamená, že rovnosti v (1.36) chápeme jako počáteční podmínky pro autonomní
systém obyčejných diferenciálních rovnic (1.34), tj. najdeme řešení systému rovnic
dx
ds
= a(x, y),
dy
ds
= b(x, y),
du
ds
= f(x, y, u)
s počátečními podmínkami
x(0) = X(σ), y(0) = Y (σ), u(0) = g(σ).
Takové řešení počáteční úlohy pro autonomní systém obyčejných diferenciálních rovnic tedy závisí
na nezávisle proměnné s a na parametru σ, je obecně tvaru
x = x(s, σ), y = y(s, σ), u = u(s, σ).
Pro řešení okrajové úlohy představuje parametr σ i nezávisle proměnná s pouze pomocné parametry,
které je potřeba eliminovat. Proto budeme první dvě rovnosti chápat jako dvě rovnice pro
dvě neznámé s a σ; tyto neznámé vyjádříme pomocí proměnných x, y, tj. najdeme s = s(x, y),
σ = σ(x, y), a dosadíme je do třetí rovnosti. Dostaneme tak řešení okrajové úlohy ve tvaru
u(x, y) = u s(x, y), σ(x, y) .
Příklad
Hledejme řešení rovnice
yux − xuy = x2
+ y2
,
které splňuje okrajovou podmínku
u(x, 0) = x2
, x ≥ 0.
21
Zadáváme tedy hodnoty řešení na kladné poloose x. Všechny funkce, které se objevují v dané
rovnici, jsou definovány na celém prostoru R2
. Budeme hledat řešení, které je definované na co
největší podmnožině R2
, nikoliv pouze v prvním kvadrantu jako v příkladu na str. 18.
Parametrické vyjádření okrajové podmínky je
x = σ, y = 0, u = σ2
, σ ≥ 0.
Řešíme charakteristický systém
dx
ds
= y,
dy
ds
= −x,
du
ds
= x2
+ y2
s počátečními podmínkami
x(0) = σ, y(0) = 0, u(0) = σ2
.
Jeho řešení je
x = σ sin s +
π
2
, y = σ cos s +
π
2
, u = (s + 1)σ2
. (1.37)
První dvě rovnosti nejprve umocníme na druhou a sečteme, dostaneme
σ2
= x2
+ y2
,
poté je vydělíme a dostaneme
x
y
=
sin s + π
2
cos s + π
2
= tg s +
π
2
.
Tato jednoduchá goniometrická rovnice pro neznámou s + π
2 má řešení
s +
π
2
= arctg
x
y
+ kπ, kde k ∈ Z,
tedy s = arctg
x
y
+ (2k − 1)π
2 . Dosazením do pravé strany třetí rovnosti v (1.37) dostaneme
x2
+ y2
1 + (2k − 1)
π
2
+ arctg
x
y
.
V tomto vyjádření však zůstává neurčený parametr k a navíc tato formule je pro y = 0 nedefinovaná,
dokonce ani nemá limitu pro y → 0. Pro x > 0 totiž platí
lim
y→0+
arctg
x
y
=
π
2
a lim
y→0−
arctg
x
y
= −
π
2
.
Aby byla splněna okrajová podmínka, mělo by pro x > 0 platit
x2
= lim
y→0+
x2
+ y2
1 + (2k − 1)
π
2
+ arctg
x
y
= x2
1 + (2k − 1)
π
2
+
π
2
= x2
(1 + kπ),
tedy k = 0, a současně
x2
= lim
y→0−
x2
+ y2
1 + (2k − 1)
π
2
+ arctg
x
y
= x2
1 + (k − 1)π ,
tedy k = 1. Jinak řečeno, na množině (x, y) ∈ R2
: x > 0, y > 0 je řešení dané okrajové úlohy
tvaru
u(x, y) = x2
+ y2
1 −
π
2
+ arctg
x
y
22
a na množině (x, y) ∈ R2
: x > 0, y < 0 tvaru
u(x, y) = x2
+ y2
1 +
π
2
+ arctg
x
y
.
Tato vyjádření lze jednotně zapsat formulí
u(x, y) = x2
+ y2
1 + arctg
x
y
−
π
2
sgn y .
Takto definovaná funkce je řešením dané okrajové úlohy na množině R2
{(x, 0) : x < 0}.
Podívejme se ještě jednou na parametrické vyjádření řešení dané úlohy. Rovnostmi (1.37) jsou
parametrickým vyjádřením plochy v prostoru, která může připomínat šroubovou plochu s osou
šroubování u (při fixované hodnotě σ se jedná o šroubovici, tj. prostorovou křivku, která „obíhá
osu u, celou ji oběhne při nárůstu parametru s o hodnotu 2π a po jedné „otočce vystoupá
o hodnotu σ2
).
Řešení charakteristického systému s počátečními podmínkami tedy vyjadřuje diferencovatelnou
varietu, která je lokálně grafem řešení rovnice, křivka vyjadřující okrajovou podmínku přitom na
této varietě leží.
1.1.5 Okrajová úloha pro obecnou rovnici
Budeme hledat řešení rovnice (1.18) s okrajovou podmínkou (1.36). Abychom zjednodušili zápis,
zavedeme označení
p =
∂u
∂x
, q =
∂u
∂y
(1.38)
a rovnici zapíšeme jako
F(x, y, u, p, q) = 0. (1.39)
Pro řešení rovnic lineárních v prvních derivacích se ukázal jako užitečný pojem charakteristiky.
Je to rovinná křivka s parametrickým vyjádřením
x = x(s), y = y(s), s ∈ I,
která je řešením charakteristického systému, tj. autonomního systému obyčejných diferenciálních
rovnic
dx
ds
= a(x, y),
dy
ds
= b(x, y).
V případě rovnice (1.21) je na charakteristice řešení konstantní. V případě rovnice (1.28) s nenulovou
pravou stranou jsme zavedli charakteristickou křivku v prostoru. Je to křivka, která leží
na grafu řešení rovnice (1.28) a její průmět do roviny souřadnic x, y je charakteristikou. Jinak
řečeno, charakteristická křivka určuje v každém bodě x(s), y(s) charakteristiky funkční hodnotu
u x(s), y(s) řešení rovnice (1.28). Charakteristická křivka je trajektorií autonomního systému
dx
ds
= a(x, y),
dy
ds
= b(x, y),
du
ds
= f(x, y, u).
Rovnici (1.28) lineární v derivacích přepíšeme s použitím označení (1.38) ve tvaru
a(x, y)p + b(x, y)q − f(x, y, u) = 0.
V případě této rovnice je tedy F(x, y, u, p, q) = a(x, y)p + b(x, y)q − f(x, y, u) a platí
a(x, y) =
∂F
∂p
(x, y, u, p, q), b(x, y) =
∂F
∂q
(x, y, u, p, q),
z čehož dále plyne
f(x, y, u) = p
∂F
∂p
(x, y, u, p, q) + q
∂F
∂q
(x, y, u, p, q),
23
neboť je splněna rovnice (1.28). Charakteristický systém příslušný k rovnici (1.28) tedy můžeme
stručně zapsat
dx
ds
= Fp,
dy
ds
= Fq,
du
ds
= pFp + qFq. (1.40)
Tyto výsledky zobecníme pro rovnici (1.18).
Řešení obecné rovnice vyjádříme tak, že každému bodu charakteristiky přiřadíme hodnotu řešení
u a hodnoty obou parciálních derivací p a q. Dostaneme tak křivku v pětirozměrném prostoru,
která má parametrické vyjádření
x = x(s), y = y(s), u = u(s), p = p(s), q = q(s), s ∈ I; (1.41)
nazýváme ji charakteristický pruh rovnice (1.18). Ten samozřejmě splňuje rovnici (1.39), tj.
F x(s), y(s), u(s), p(s), q(s) = 0, (1.42)
a budeme požadovat, aby funkce x = x(s), y = y(s), u = u(s) také splňovaly systém obyčejných
diferenciálních rovnic (1.40). Derivováním rovnosti (1.42) podle parametru s dostaneme
0 =
d
ds
F x(s), y(s), u(s), p(s), q(s) = Fx
dx
ds
+ Fy
dy
ds
+ Fu
du
ds
+ Fp
dp
ds
+ Fq
dq
ds
=
= FxFp + FyFq + Fu(pFp + qFq) + Fp
dp
ds
+ Fq
dq
ds
=
= Fx + pFu +
dp
ds
Fp + Fy + qFu +
dq
ds
Fq.
Tato rovnost bude splněna zejména tehdy, když
dp
ds
= − (Fx + pFu) ,
dq
ds
= − (Fy + qFu) . (1.43)
Provedené úvahy naznačují, že za charakteristický systém příslušný k rovnici (1.39) můžeme považovat
systém obyčejných diferenciálních rovnic (1.40), (1.43).
Ještě určíme počáteční podmínky tak, aby řešení charakteristického systému vyjadřovalo řešení
počáteční úlohy (1.18), (1.36). Stejně, jako v případě rovnice lineární v derivacích položíme
x(0) = x0 = X(σ), y(0) = y0 = Y (σ), u(0) = u0 = g(σ).
Počáteční hodnota charakteristického pruhu musí splňovat rovnici (1.39), tj.
F(x0, y0, u0, p0, q0) = 0. (1.44)
Dále pro počáteční hodnoty souřadnic p a q charakteristického pruhu platí
p0 = ux(x0, y0) = ux X(σ), Y (σ) , q0 = uy(x0, y0) = uy X(σ), Y (σ) .
Nyní přepíšeme třetí rovnost z okrajové podmínky (1.36) ve tvaru g(σ) = u X(σ), Y (σ) a zderivujeme
podle parametru σ. Dostaneme
g′
(σ) = p0X′
(σ) + q0Y ′
(σ). (1.45)
Dosažené výsledky můžeme shrnout jako algoritmus pro hledání řešení okrajové úlohy (1.18),
(1.36): Rovnici přepíšeme do tvaru (1.39) a přiřadíme jí charakteristický systém obyčejných autonomních
rovnic (1.40), (1.43) s počátečními podmínkami
x(0) = x0 = X(σ), y(0) = y0 = Y (σ), u(0) = u0 = g(σ), p(0) = p0, q(0) = q0,
kde hodnoty p0 a q0 jsou řešením soustavy rovnic (1.44), (1.45). První tři složky
x = x(s, σ), y = y(s, σ), u = u(s, σ) (1.46)
řešení počáteční úlohy pro charakteristický systém vyjadřují parametrické vyjádření (grafu) řešení
u dané okrajové úlohy. Pokud lze z prvních dvou rovností (1.46) vyjádřit parametry s, σ pomocí
souřadnic x, y, tj. vyjádřit s = s(x, y), σ = σ(x, y), dosadíme tyto výrazy do třetí rovnosti (1.46)
a dostaneme tak explicitní vyjádření řešení dané okrajové úlohy.
24
Příklad
Budeme hledat řešení rovnice
u2
x − u2
y = 4u,
které splňuje okrajovou podmínku
u(cos σ, sin σ) = cos 2σ
V tomto případě je
F(x, y, u, p, q) = p2
− q2
− 4u,
takže
Fx = Fy = 0, Fu = −4, Fp = 2p, Fq = −2q,
pFp + qFq = 2p2
− 2q2
, Fx + pFu = −4p, Fy + qFu = −4q.
To znamená, že charakteristický systém je
dx
ds
= 2p,
dy
ds
= −2q,
du
ds
= 2(p2
− q2
),
dp
ds
= 4p,
dq
ds
= 4q.
Dvě poslední rovnice jsou obyčejné lineární homogenní rovnice s konstantním koeficientem. Jejich
řešení s obecnými počátečními podmínkami tedy je
p = p(s) = p0e4s
, q = q(s) = q0e4s
.
Tyto výrazy dosadíme do prvních tří rovnic charakteristického systému. Dostaneme
dx
ds
= 2p0e4s
,
dy
ds
= −2q0e4s
,
du
ds
= 2(p2
0 − q2
0)e8s
a po integraci
x = x0 + 1
2 p0 e4s
− 1 , y = y0 − 1
2 q0 e4s
− 1 , u = u0 + 1
4 (p2
0 − q2
0) e8s
− 1 . (1.47)
Parametrické vyjádření počátečních podmínek je X(σ) = cos σ, Y (σ) = sin σ, g(σ) = cos 2σ, takže
počáteční hodnoty x0, y0 a u0 jsou dány rovnostmi
x0 = cos σ, y0 = sin σ, u0 = cos 2σ (1.48)
a počáteční hodnoty p0 a q0 splňují rovnice (1.44), (1.45), konkrétně
4 cos2σ = p2
0 − q2
0, 2 sin 2σ = p0 sin σ − q0 cos σ. (1.49)
Bezprostředním dosazením ze třetí rovnosti (1.48) a první rovnosti (1.49) do třetí rovnosti (1.47)
dostaneme
u = e8s
cos 2σ. (1.50)
Soustava rovnic (1.49) je tvořena jednou lineární a jednou kvadratickou rovnicí pro dvě neznámé
p0 a q0. Má tedy dvě řešení.
První řešení soustavy (1.49) je p0 = 2 cosσ, q0 = −2 sinσ. Dosazením do prvních dvou rovností
(1.47) dostaneme
x = e4s
cos σ, y = e4s
sin σ.
Umocněním těchto rovností na druhou a jejich odečtením dostaneme
x2
− y2
= e8s
cos 2σ.
Porovnáním se vztahem (1.50) vidíme, že jedno řešení dané okrajové úlohy je dáno výrazem
u(x, y) = x2
− y2
.
25
Druhé řešení soustavy algebraicko-goniometrických rovnic (1.49) je
p0 = −
2 cosσ(1 + 2 sin2
σ)
cos 2σ
, q0 = −
2 sinσ(1 + 2 cos2
σ)
cos 2σ
.
Po dosazení těchto výrazů a výrazů (1.48) do rovností (1.47) dostaneme
x = cos σ 1 −
1 + 2 sin2
σ
cos 2σ
e4s
− 1 =
cos σ
cos 2σ
2 − (1 + 2 sin2
σ)e4s
,
y = sin σ 1 +
1 + 2 cos2
σ
cos 2σ
e4s
− 1 =
sin σ
cos 2σ
−2 + (1 + 2 cos2
σ)e4s
.
Spolu s rovností (1.50) tak máme vyjádřeno druhé řešení dané úlohy v parametrickém tvaru.
Vzhledem k tomu, že ve jmenovateli zlomků je výraz cos 2σ, omezíme se na hodnoty parametru σ
z intervalu −1
4 π, 1
4 π .
Významným speciálním případem obecné rovnice (1.18) je rovnice tvaru
a(x, y, u)
∂u
∂x
+ b(x, y, u)
∂u
∂y
= f(x, y, u), (1.51)
kde a, b jsou spojité funkce tří proměnných. Koeficienty a, b u prvních parciálních derivací hledané
funkce na této funkci závisí. Proto výraz na pravé straně rovnice (1.51) nevyjadřuje lineární operátor
na množině diferencovatelných funkcí dvou proměnných, ale je pouze „lineárnímu podobný
nebo „jakoby lineární . Proto se rovnice (1.51) nazývá quasilineární.
V případě quasilineární rovnice (1.51) je
F(x, y, u, p, q) = a(x, y, u)p + b(x, y, u)q − f(x, y, u),
takže Fp = a(x, y, u), Fq = b(x, y, u), pFp + qFq = f(x, y, u). První tři rovnice charakteristického
systému (1.40) příslušného k rovnici (1.51) jsou proto tvaru
dx
ds
= a(x, y, u),
dy
ds
= b(x, y, u),
du
ds
= f(x, y, u). (1.52)
Tyto rovnice nezávisí na (pomocných) souřadnicích p, q charakteristického pruhu. Pro řešení quasilineární
rovnice (1.51) tedy nepotřebujeme rovnice (1.43). Řešení rovnice (1.51) s okrajovou podmínkou
(1.36) v parametrickém tvaru tedy dostaneme jako řešení systému obyčejných diferenciálních
rovnic (1.52) s počátečními podmínkami
x(0) = X(σ), y(0) = Y (σ), u(0) = g(σ).
Příklad
Budeme hledat řešení rovnice
(y + u)
∂u
∂x
+ (u + x)
∂u
∂y
= x + y,
které splňuje okrajovou podmínku
u(x, −x) = 2x.
Charakteristický systém řešené rovnice je tvaru
dx
ds
= y+u,
dy
ds
= x + u,
du
ds
= x+y.
26
Jedná se tedy o systém lineárních obyčejných diferenciálních rovnic s konstantní maticí
A =


0 1 1
1 0 1
1 1 0

 .
Její vlastní čísla a příslušné vlastní vektory jsou
λ1,2 = −1, λ3 = 2, v1 =


1
0
−1

 , v2 =


0
1
−1

 , v3 =


1
1
1

 .
To znamená, že obecné řešení charakteristického systému je
x(s) = Ae2s
+ Be−s
,
y(s) = Ae2s
+ Ce−s
,
u(s) = Ae2s
− (B + C)e−s
.
Okrajovou podmínku přepíšeme do tvaru x = σ, y = −σ, u = 2σ, ze kterého dostaneme počáteční
podmínky pro charakteristický systém
x(0) = σ, y(0) = −σ, u(0) = 2σ.
Řešení charakteristického systému s těmito počátečními podmínkami je
x(s) = 2
3 σe2s
+ 1
3 σe−s
= 1
3 σe−s
2e3s
+ 1 ,
y(s) = 2
3 σe2s
− 5
3 σe−s
= 1
3 σe−s
2e3s
− 5 ,
u(s) = 2
3 σe2s
+ 4
3 σe−s
= 1
3 σe−s
2e3s
+ 4 .
Z prvních dvou rovností postupně vyjádříme
2e3s
=
5x + y
x − y
, 1
3 σe−s
=
x − y
6
a dosadíme do rovnosti třetí. Po úpravě pak dostaneme řešení dané úlohy
u(x, y) =
3x − y
2
.
1.2 Rovnice v n nezávisle proměnných
Budeme se zabývat rovnicí
F x1, x2, . . . , xn, u,
∂u
∂x1
,
∂u
∂x2
, . . . ,
∂u
∂xn
= 0, (1.53)
kde F je spojitá funkce 2n + 1 proměnných definovaná na nějaké množině G ⊆ R2n+1
, která má
neprázdný vnitřek. Při označení vektoru nezávisle proměnných x = (x1, x2, . . . , xn)T
a gradientu
∇u =
∂u
∂x1
,
∂u
∂x2
, . . . ,
∂u
∂xn
T
můžeme rovnici (1.53) zapsat úsporněji
F (x, u, ∇u) = 0.
Klasické (silné) řešení rovnice (1.53) je spojitě diferencovatelná funkce u definovaná na otevřené
množině Ω ⊆ Rn
, taková, že pro každé x ∈ Ω platí
x, u(x), ∇u(x) ∈ G a F x, u(x), ∇u(x) = 0.
27
1.2.1 Rovnice lineární v derivacích s nulovou pravou stranou
Rovnice
a1(x1, x2, . . . , xn)
∂u
∂x1
+ a2(x1, x2, . . . , xn)
∂u
∂x2
+ · · · + an(x1, x2, . . . , xn)
∂u
∂xn
= 0,
stručněji
n
i=1
ai(x)
∂u
∂xi
= 0 (1.54)
nebo ve vektorovém zápisu
a(x)T
∇u = 0
je nejjednodušším speciálním případem obecné rovnice (1.53). Jedná se o bezprostřední zobecnění
rovnice (1.21) do vícerozměrného prostoru. Proto budeme její řešení hledat způsobem, který je
analogií metody charakteristik popsané v 1.1.2. Rovnici (1.54) přiřadíme autonomní systém n
obyčejných diferenciálních rovnic tvaru
dxi
ds
= ai(x1, x2, . . . , xn), i = 1, 2, . . . , n. (1.55)
Tento systém se nazývá charakteristický systém příslušný k rovnici (1.54) a jeho trajektorie se
nazývají charakteristiky rovnice (1.54). Charakteristika je hladká křivka v n-rozměrném prostoru,
lze ji zapsat parametrickými rovnicemi
xi = xi(s), s ∈ I, i = 1, 2, . . ., n, (1.56)
kde I je nějaký reálný interval. Nechť funkce u = u(x1, x2, . . . , xn) je řešením rovnice (1.55). Pro
derivaci funkce u na charakteristice (1.56) podle parametru s platí
d
ds
u x1(s), x2(s), . . . , xn(s) =
n
i=1
∂u x1(s), x2(s), . . . , xn(s)
∂xi
dxi
ds
=
=
n
i=1
∂u x(s)
∂xi
ai x(s) = 0.
To znamená, že na charakteristikách je řešení rovnice (1.54) konstantní. Odtud plyne, že řešení
rovnice (1.54) můžeme získat tak, že na každé charakteristice zadáme hodnotu funkce u.
Charakteristika rovnice (1.54) je hladkou křivkou v n-rozměrném prostoru. Takovou křivku
můžeme zapsat buď parametricky rovnostmi (1.56) nebo obecně jako průnik n − 1 nadploch (tj.
(n − 1)-rozměrných diferencovatelných variet) v n-rozměrném prostoru, tedy rovnostmi
ϕi(x1, x2, . . . , xn) = ci, i = 1, 2, . . ., n − 1, (1.57)
kde ϕi jsou diferencovatelné funkce n proměnných. Rovnosti (1.57) někdy můžeme získat z parametrického
vyjádření (1.56) charakteristik eliminací parametru s.
Jiná možnost, jak získat obecné vyjádření (1.57) charakteristik rovnice (1.54) spočívá ve vydělení
rovnic charakteristického systému (1.55); dostaneme tak n − 1 obyčejných diferenciálních
rovnic, např.
dxi+1
dxi
=
ai+1(x1, x2, . . . , xn)
ai(x1, x2, . . . , xn)
, n = 1, 2, . . . , n − 1,
nebo
dxi
dx1
=
ai(x1, x2, . . . , xn)
a1(x1, x2, . . . , xn)
, n = 2, 3, . . . , n.
28
Obecné řešení těchto systémů rovnic, které závisí na n − 1 konstantách, zapíšeme v implicitním
tvaru (1.57). Předchozí obyčejné diferenciální rovnice můžeme také jednotně zapsat ve tvaru rovností
diferenciálů
dx1
a1(x1, x2, . . . , xn)
=
dx2
a2(x1, x2, . . . , xn)
= · · · =
dxn
an(x1, x2, . . . , xn)
. (1.58)
Hodnotu funkce u, která je řešením lineární rovnice (1.54), vyjádříme na charakteristikách pomocí
diferencovatelné funkce Φ, která je funkcí n − 1 proměnných. Řešení rovnice (1.54) tedy píšeme ve
tvaru
u(x) = Φ ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕn−1(x) . (1.59)
Provedené úvahy ukazují, že pro rovnici (1.54) lze zformulovat výsledek, který je bezprostředním
zobecněním Tvrzení 1 platného pro rovnice ve dvou nezávisle proměnných.
Tvrzení 2. Nechť funkce ϕi : Ω → R, i = 1, 2, . . ., n − 1, jsou diferencovatelné funkce takové, že
rovnosti (1.57) jsou implicitním zápisem trajektorií charakteristického systému (1.55) příslušného
k rovnici (1.54) (nebo ekvivalentně: implicitním zápisem řešení sytému obyčejných diferenciálních
rovnic (1.58)). Je-li Φ libovolná diferencovatelná funkce n − 1 proměnných taková, že její definiční
obor obsahuje kartézský součin oborů hodnot funkcí ϕi, pak funkce u definovaná rovností (1.59)
je řešením rovnice (1.54).
Důkaz: Na řešení (1.56) charakteristického systému (1.55) jsou splněny rovnosti (1.57). Tedy
pro každý index j platí
0 =
d
ds
ϕj x1(s), x2(s), . . . , xn(s) =
n
i=1
∂ϕj x1(s), x2(s), . . . , xn(s)
∂xi
dxi(s)
ds
=
=
n
i=1
∂ϕj x1(s), x2(s), . . . , xn(s)
∂xi
ai x1(s), x2(s), . . . , xn(s) ,
stručně
n
i=1
∂ϕj(x)
∂xi
ai(x) = 0.
Dále
∂u(x)
∂xi
=
∂
∂xi
Φ ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕn−1(x) =
n−1
j=1
∂Φ ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕn−1(x)
∂ϕj
∂ϕj(x)
∂xi
,
takže
n
i=1
ai(x)
∂u(x)
∂xi
=
n
i=1
ai(x)
n−1
j=1
∂Φ ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕn−1(x)
∂ϕj
∂ϕj(x)
∂xi
=
=
n−1
j=1
∂Φ ϕ1(x), ϕ2(x), . . . , ϕn−1(x)
∂ϕj
n
i=1
ai(x)
∂ϕj(x)
∂xi
= 0.
Povšimněme si, že na levé straně rovnice (1.54) je skalární součin vektoru a s gradientem
hledané funkce u. Gradient je lineární zobrazení, skalární součin také. Složení lineárních zobrazení
je lineární. Odtud plyne, že rovnice (1.54) také splňuje princip superpozice: Jsou-li u1, u2, . . . , uk
řešení rovnice (1.54), pak také jejich libovolná lineární kombinace je řešením této rovnice. Jinak
řečeno, množina všech řešení rovnice (1.54) tvoří reálný vektorový prostor.
29
Příklad
(y − 2x − 2z)
∂u
∂x
+ (x − 2y + 2z)
∂u
∂y
+ (x − y + y)
∂u
∂z
= 0
Příslušný charakteristický systém
dx
ds
= −2x+ y − 2z,
dy
ds
= x − 2y + 2z,
dz
ds
= x− y+ z
je lineární homogenní systém obyčejných diferenciálních rovnic s konstantní maticí. Můžeme tedy
explicitně napsat jeho řešení
x = (2As + 2B)e−s
,
y = (−2As + 2C)e−s
,
z = (−2As + C − B − A)e−s
;
přitom A, B, C jsou integrační konstanty. Druhou rovnost vydělíme rovností první a dostaneme
y
x
=
−As + C
As + B
, tj.
x + y
x
=
B + C
As + B
,
třetí rovnost vydělíme první a dostaneme
z
x
=
−2As + C − B − A
As + B
, tj.
x + z
x
=
C + B − A
2(As + B)
,
tyto rovnosti navzájem vydělíme a dostaneme
x + y
x + z
= const.
Analogicky (první a třetí rovnost tentokrát dělíme druhou) dostaneme
x + y
z − y
= const.
Řešení je tedy tvaru u(x, y) = Φ x+y
x+z , x+y
z−y , kde Φ je libovolná diferencovatelná funkce dvou
proměnných.
Na charakteristikách je řešení rovnice (1.54) konstantní. Proto konkrétní řešení (partikulární
řešení) této rovnice můžeme získat tak, že na „začátku každé charakteristiky určíme funkční
hodnotu řešení. „Začátky charakteristik lze určit tak, že v prostoru zavedeme nějakou nadplochu
((n−1)-rozměrnou varietu), která protíná každou charakteristiku právě jednou; průsečík této nadplochy
s charakteristikou budeme považovat za „začátek charakteristiky . Nadplocha s uvedenou
vlastností se nazývá okraj pro rovnici (1.54).
Okraj může být zadán parametrickými rovnicemi; poněvadž se jedná o (n − 1)-rozměrnou
nadplochu, závisí na n − 1 parametrech. Parametrické rovnice okraje tedy jsou
xi = Xi(σ1, σ2, . . . , σn−1), i = 1, 2, . . . , n,
kde parametry σ1, σ2, . . . , σn−1 jsou z nějaké podmnožiny prostoru Rn−1
, která má neprázdný
vnitřek. Průsečík konkrétní charakteristiky s okrajem je určen konkrétní sadou parametrů. Hodnoty
řešení u rovnice (1.54) tedy zadáváme pro tuto sadu parametrů. Jinak řečeno, zadáváme
okrajovou podmínku ve tvaru
u X1(σ1, σ2, . . . , σn−1), X2(σ1, σ2, . . . , σn−1), . . . , Xn(σ1, σ2, . . . , σn−1) = g(σ1, σ2, . . . , σn−1).
(1.60)
30
Okrajovou úlohu, tj. rovnici (1.54) s podmínkou (1.60), řešíme tak, že k charakteristickému systému
přidáme počáteční podmínky
xi(0) = Xi(σ1, σ2, . . . , σn−1), i = 1, 2, . . . , n. (1.61)
Jednotlivé složky řešení Cauchyovy úlohy (1.55) závisí na nezávisle proměnné s a na parametrech
σ1, σ2, . . . , σn−1, tj.
xi = xi(s, σ1, σ2, . . . , σn−1). (1.62)
Rovnosti (1.62) a rovnost (1.60) přepsaná do tvaru u = g(σ1, σ2, . . . , σn) představují parametrické
vyjádření (grafu) řešení okrajové úlohy (1.54), (1.60).
Na rovnosti (1.62) se také můžeme dívat jako na systém n rovnic pro n neznámých, kterými
jsou parametry s, σ1, σ2, . . . , σn−1. Pokud se z něho podaří explicitně vyjádřit parametry okraje
σ1, σ2, . . . , σn−1 v závislosti na souřadnicích x1, x2, . . . , xn, tj.
σj = σj(x1, x2, . . . , xn), j = 1, 2, . . ., n − 1,
pak je lze dosadit do okrajové podmínky (1.60). Takovým způsobem dostaneme řešení okrajové
úlohy (1.54), (1.60) ve tvaru
u(x1, x2, . . . , xn) = g σ1(x1, . . . , xn), . . . , σn−1(x1, . . . , xn) .
Příklad
Budeme hledat řešení rovnice
(z + y − x)
∂u
∂x
+ (z + x − y)
∂u
∂y
+ z
∂u
∂z
= 0
s okrajovou podmínkou
u(x, y, a) = 4a4
xy,
kde a je nějaká reálná konstanta.
Charakteristický systém (1.55) je v tomto případě tvaru
dx
ds
= −x+y+z,
dy
ds
= x−y+z,
dz
ds
= z.
Jedná se o lineární homogenní systém obyčejných diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty,
jeho obecné řešení je tvaru
x = Aes
+ Be−2s
+ C,
y = Aes
− Be−2s
+ C,
z = Aes
.
Počáteční podmínky (1.61) odpovídající dané okrajové podmínce jsou
x(0) = σ1, y(0) = σ2, z(0) = a.
Pro integrační konstanty A, B, C tak dostáváme soustavu lineárních rovnic
A+B+C = σ1,
A−B+C = σ2,
A = a,
31
která má řešení A = a, B = 1
2 (σ1 − σ2), C = 1
2 (σ1 + σ2) − a. Řešení (1.62) Cauchyovy úlohy pro
charakteristický systém je
x = aes
+ 1
2 (σ1 − σ2) e−2s
+ 1
2 (σ1 + σ2) − a,
y = aes
− 1
2 (σ1 − σ2) e−2s
+ 1
2 (σ1 + σ2) − a,
z = aes
.
Bezprostředně vidíme aes
= z a tedy e−2s
= a2
/z2
. Po dosazení do prvních dvou rovností dostaneme
systém rovnic pro parametry σ1, σ2 ve tvaru
x = z +
a2
(σ1 − σ2)
2z2
+
σ1 + σ2
2
− a,
y = z −
a2
(σ1 − σ2)
2z2
+
σ1 + σ2
2
− a,
nebo po úpravě
(z2
+ a2
)σ1 + (z2
− a2
)σ2 = 2z2
(x − z + a),
(z2
− a2
)σ1 + (z2
+ a2
)σ2 = 2z2
(y − z + a).
Determinant této soustavy lineárních rovnic je roven 4a2
z2
, takže pro a = 0 dostaneme
σ1 =
1
2a2
(x + y − 2z + 2a)a2
+ (x − y)z2
, σ2 =
1
2a2
(x + y − 2z + 2a)a2
− (x − y)z2
.
Parametrické vyjádření okrajové podmínky (1.60) je
u(σ1, σ2, a) = 4a4
σ1σ2.
Do této rovnosti dosadíme vypočítané hodnoty parametrů σ1, σ2 a dostaneme řešení dané úlohy
ve tvaru
u(x, y, z) = a4
(x + y − 2z + 2a)2
− (x − y)2
z4
.
Tato funkce je řešením úlohy pro nenulovou hodnotu parametru a. V případě a = 0 je řešením
nulová funkce, u ≡ 0.
1.2.2 Quasilineární rovnice
Řešení rovnice
a1(x1, . . . , xn, u)
∂u
∂x1
+ a2(x1, . . . , xn, u)
∂u
∂x2
+ · · · + an(x1, . . . , xn, u)
∂u
∂xn
= f(x1, . . . , xn, u),
neboli
n
i=1
ai(x, u)
∂u
∂xi
= f(x, u) (1.63)
případně ve vektorovém zápisu
a(x, u)T
∇u = f(x, u),
budeme hledat v implicitním tvaru
V (x, u) = 0, (1.64)
kde V je nějaká diferencovatelná funkce n + 1 proměnných.
Budeme si představovat, že řešení známe. Nechť tedy u = u(x) je řešení rovnice (1.63), které
je implicitně popsáno rovností (1.64). Pak platí
V x, u(x) = 0.
32
Tuto rovnost parciálně zderivujeme podle každé z proměnných xi. Dostaneme
∂V x, u(x)
∂xi
+
∂V x, u(x)
∂u
∂u(x)
∂xi
= 0, i = 1, 2, . . . , n.
Dále vynásobíme i-tou rovnost výrazem ai x, u(x) a výsledné rovnosti sečteme. Výsledkem je
rovnost
n
i=1
ai x, u(x)
∂V x, u(x)
∂xi
+
n
i=1
ai x, u(x)
∂u(x)
∂xi
∂V x, u(x)
∂u
= 0
a poněvadž funkce u je řešením rovnice (1.63), můžeme tuto rovnost upravit na tvar
n
i=1
ai x, u(x)
∂V x, u(x)
∂xi
+ f x, u(x)
∂V x, u(x)
∂u
= 0.
Vidíme, že funkce V je řešením rovnice v n+1 nezávisle proměnných, která je lineární v derivacích
a má nulovou pravou stranu. Stručně: funkce V , která rovností (1.64) implicitně popisuje řešení
quasilineární rovnice (1.63), je řešením parciální diferenciální rovnice
n
i=1
ai(x, u)
∂V
∂xi
+ f(x, u)
∂V
∂u
= 0.
To je rovnice, kterou jsme se zabývali v předchozí části. Máme tedy následující algoritmus pro
hledání řešení quasilineární rovnice (1.63).
K rovnici (1.63) přiřadíme charakteristický systém obyčejných autonomních diferenciálních rov-
nic
dxi
ds
= ai(x1, . . . , xn, u), i = 1, 2, . . . , n,
du
ds
= f(x1, . . . , xn, u).
(1.65)
Jeho trajektorie vyjádříme v obecném tvaru jako průnik n nadploch
ϕj(x1, x2, . . . , xn, u) = cj, j = 1, 2, . . . , n.
Řešení rovnice (1.63) je pak implicitně dáno rovností
Φ ϕ1(x1, . . . , xn, u), ϕ2(x1, . . . , xn, u), . . . , ϕn(x1, . . . , xn, u) = 0,
kde Φ je libovolná diferencovatelná funkce n proměnných.
Rovnici (1.63) s okrajovou podmínkou (1.60) řešíme tak, že najdeme řešení charakteristického
systému (1.65) s počátečními podmínkami (1.61) doplněnými o podmínku
u(0) = g(σ1, σ2, . . . , σn−1).
Toto řešení závisí na nezávisle proměnné s a parametrech σ1, σ2, . . . , σn−1, tj.
xi = xi(s, σ1, σ2, . . . , σn), i = 1, 2, . . . , n
u = u(s, σ1, σ2, . . . , σn).
Těmito rovnostmi je parametricky zadáno řešení okrajové úlohy (1.63), (1.60). V některých jednoduchých
případech lze parametry s, σ1, σ2, . . . , σn−1 eliminovat a řešení úlohy vyjádřit explicitně.
Povšimněme si, že algoritmus řešení okrajové úlohy (1.63), (1.60) je bezprostředním zobecněním
postupu při řešení úlohy (1.51), (1.36) pro funkci ve dvou nezávisle proměnných.
33
1.3 Evoluční rovnice
Za evoluční rovnice považujeme takové parciální diferenciální rovnice, u nichž jednu z nezávisle
proměnných hledané funkce interpretujeme jako čas; tuto proměnnou budeme považovat za první
a značit ji symbolem t. Evoluční rovnice prvního řádu jsou tedy obecně rovnice tvaru
F t, x1, x2, . . . , xn, u,
∂u
∂t
,
∂u
∂x1
,
∂u
∂x2
, . . . ,
∂u
∂xn
= 0.
Pro zjednodušení zápisu opět označíme vektor „prostorových 6
proměnných x1, x2, . . . , xn symbolem
x a vektor parciálních derivací hledané funkce podle prostorových proměnných zapíšeme
jako gradient ∇u. Předchozí rovnici tedy stručněji zapíšeme ve tvaru
F t, x, u,
∂u
∂t
, ∇u = 0.
Dále budeme předpokládat, že derivaci hledané funkce podle času můžeme z této rovnice vyjádřit.
Budeme se tedy zabývat rovnicemi tvaru
∂u
∂t
= f(t, x, u, ∇u). (1.66)
(Klasické) řešení rovnice (1.66) je diferencovatelná funkce u : J × Ω → R, která pro všechna
(t, x) ∈ J × Ω splňuje rovnost
∂u
∂t
(t, x) = f t, x, u(t, x), ∇u(t, x) ;
přitom J ⊆ R je interval a Ω ⊆ Rn
je množina s neprázdným vnitřkem.
Počáteční podmínka pro rovnici (1.66) je tvaru
u(t0, x) = ϕ(x), x ∈ Ω,
kde t0 ∈ J.
Přirozeným okrajem oboru Ω prostorové proměnné x je jeho hranice ∂Ω. Obecněji budeme však
okrajem Γ rozumět (n − 1)-rozměrnou nadplochu v Ω. Zapíšeme ho parametrickými rovnicemi
Γ : xi = Xi(σ1, σ2, . . . , σn−1), i = 1, 2, . . . , n.
Parametry σ1, σ2, . . . , σn−1 jsou z nějaké podmnožiny prostoru Rn−1
s neprázdným vnitřkem.
Okrajová podmínka pro rovnici (1.66) obvykle určuje hodnoty hledané funkce na uvažovaném
okraji. V takovém případě je tvaru
u t, X1(σ1, σ2, . . . , σn−1), . . . , Xn(σ1, σ2, . . . , σn−1) = ψ(σ1, σ2, . . . , σn−1), t ∈ J. (1.67)
Jiný typ okrajové podmínky váže hodnoty hledané funkce na okraji s ostatními funkčními hodnotami.
Formálně zapsáno
u t, X1(σ1, σ2, . . . , σn−1), . . . , Xn(σ1, σ2, . . . , σn−1) = Ψ u(t, · ) , t ∈ J,
nebo stručně
u(t, x) x∈Γ
= Ψ u(t, · ) , t ∈ J, (1.68)
kde Ψ je zobrazení z množiny diferencovatelných funkcí definovaných na množině Ω do množiny
reálných čísel (Ψ je funkcionál). Příkladem okrajové podmínky tohoto tvaru je podmínka (1.11)
v úvodním modelu vývoje věkově strukturované populace.
Množina diferencovatelných funkcí definovaných na oboru Ω tvoří vektorový prostor nad polem
reálných čísel. Pokud také množina B všech funkcí u : J × Ω → R, které splňují okrajovou
podmínku tvoří vektorový prostor, řekneme, že okrajová podmínka je homogenní. Podrobněji:
okrajová podmínka (1.67), resp. (1.68), je homogenní, pokud ji splňuje nulová funkce u ≡ 0 a dále
6Obor nezávisle proměnných x1, x2, . . . , xn obecně nemusí být nějaký geometrický prostor, jak tomu obvykle
bývá ve fyzikálních aplikacích. Dále již budeme uvozovky vynechávat.
34
1. jestliže funkce u splňuje podmínku (1.67), resp. (1.68), pak také funkce αu splňuje tutéž
podmínku pro libovolné α ∈ R;
2. jestliže funkce u, v splňují podmínku (1.67), resp. (1.68), pak také funkce u +v splňuje tutéž
podmínku.
Pokud je funkcionál Ψ v podmínce (1.68) lineárním zobrazením, pak je okrajová podmínka (1.68)
homogenní. Je-li funkce ψ v podmínce (1.67) nulová, ψ ≡ 0, pak je také okrajová podmínka (1.67)
homogenní. (Promyslete si, že v takovém případě je podmínka (1.67) s pravou stranou ve tvaru
funkce speciálním případem podmínky (1.68) s pravou stranou ve tvaru funkcionálu.) To jsou
obvyklé případy homogenní okrajové podmínky.
1.3.1 Počáteční úloha pro evoluční lineární rovnici v jedné prostorové
proměnné
Lineární rovnice byly již obecně zavedeny v 1.1.1. Tam byly také uvedeny jejich základní vlastnosti.
Uvažujme nyní specielně lineární evoluční rovnici s konstantním koeficientem u prostorové derivace,
tj. rovnici tvaru
∂u
∂t
= a
∂u
∂x
+ b(t, x)u + f(t, x), (1.69)
kde a = 0, b, f : [0, ∞) × Ω → R. Tuto obecně nehomogenní rovnici lze řešit transformací na
kanonický tvar, sr. 1.1.3. Tento postup použijeme pouze pro rovnici homogenní. Pro řešení rovnice
nehomogenní ukážeme alternativní postup, který umožňuje interpretovat některé rysy procesu,
který je rovnicí modelován. Nakonec využijeme skutečnosti, že množina řešení nehomogenní rovnice
tvoří afinní prostor, tj. že řešení nehomogenní rovnice lze zapsat jako řešení homogenní rovnice
s obecnou počáteční podmínkou a řešení nehomogenní rovnice s nějakou speciální počáteční pod-
mínkou.
Nejprve budeme řešit homogenní rovnici s obecnou počáteční podmínkou, tj. úlohu
∂u
∂t
= a
∂u
∂x
+ b(t, x)u, pro t > 0, x ∈ R, (1.70)
u(0, x) = ϕ(x), pro x ∈ R. (1.71)
Charakteristická rovnice příslušná k uvažované parciální diferenciální rovnici je
dx
dt
= −a.
Řešení této obyčejné diferenciální rovnice v implicitním tvaru je
x + at = const.
Transformace τ = t, ξ = x + at převede rovnici (1.70) na její kanonický tvar
∂u
∂τ
= b(τ, ξ − aτ)u.
Řešení této rovnice (což je v podstatě obyčejná lineární homogenní rovnice závislá na jednom
parametru ξ) je dáno rovností
u(τ, ξ) = u(0, ξ)e
τ
0
b(s,ξ−as)ds
.
Podle podmínky (1.71) je u(0, ξ) = ϕ(ξ). Řešení počáteční úlohy (1.70), (1.71) v původních nezávisle
proměnných tedy je
u(t, x) = ϕ(x + at)e
t
0
b s,x+a(t−s) ds
= ϕ(x + at)e
t
0
b(t−s,x+as)ds
.
35
Integrál v exponentu je vlastně křivkovým integrálem z funkce b přes úsečku (část charakteristiky)
spojující body (t, x) a (0, x + at).
Povšimněme si ještě speciálního případu rovnice (1.70), kdy funkce b je konstantní. Rovnice
∂u
∂t
= a
∂u
∂x
+ bu
s počáteční podmínkou (1.71) má řešení
u(t, x) = ϕ(x + at)ebt
.
Hodnotu x + at můžeme interpretovat jako polohu bodu na prostorové ose, který má v čase t = 0
souřadnici x a pohybuje se rovnoměrně rychlostí a. Výraz ϕ(x + at) si tedy můžeme představit
jako graf funkce ϕ pohybující se rovnoměrně nad vodorovnou osou. Výraz ebt
tento graf deformuje
ve svislém směru. Pro b < 0 je
lim
t→∞
u(t, x) = 0
pro každé x a každou ohraničenou počáteční funkci ϕ. Řešení počáteční úlohy pro lineární homogenní
rovnici s konstantními koeficienty tedy v tomto případě modeluje postupující a postupně
mizející vlnu; tato vlna postupuje při a > 0 v záporném směru osy x (tj. doleva), při a < 0
doprava. Pro b > 0 rovnice naopak představuje rostoucí postupující vlnu,
Snadno ověříme, že řešení počáteční úlohy pro homogenní rovnici s počáteční podmínkou
v obecném okamžiku t = σ, tj. řešení úlohy
∂u
∂t
= a
∂u
∂x
+ b(t, x)u, pro t > σ, x ∈ R, (1.72)
u(σ, x) = ϕ(x), pro x ∈ R, (1.73)
je tvaru
u(t, x) = ϕ x + a(t − σ) e
t−σ
0
b(t−s,x+as)ds
.
Nyní vyřešíme nehomogenní rovnici s nulovou počáteční podmínkou, tj. úlohu
∂u
∂t
= a
∂u
∂x
+ b(t, x)u + f(t, x), pro t > 0, x ∈ R, (1.74)
u(0, x) = 0, pro x ∈ R. (1.75)
Můžeme si představovat, že počáteční nulový stav veličiny u je v průběhu času narušován nějakým
vlivem, který je popsán nehomogenitou f. Tyto vlivy se postupně nasčítají (integrují) do veličiny
u. Přesněji řečeno, očekáváme, že řešení počáteční úlohy (1.74), (1.75) je tvaru
u(t, x) =
t
0
w(t, x, σ)dσ, (1.76)
kde w je zatím neznámá funkce; budeme předpokládat, že w je diferencovatelná. Tato myšlenka
se nazývá Duhamelův princip.
Funkce u definovaná rovností (1.76) splňuje počáteční podmínku (1.75) pro libovolnou funkci
w. Budeme konkrétně funkci w hledat tak, aby funkce u splnila také rovnici (1.74).
Podle věty o derivaci integrálu platí
∂u
∂t
= w(t, x, t) +
t
0
∂w
∂t
(t, x, σ)dσ,
∂u
∂x
=
t
0
∂w
∂x
(t, x, σ)dσ,
36
takže po dosazení do rovnice (1.74) dostaneme
t
0
∂w
∂t
(t, x, σ) − a
∂w
∂x
(t, x, σ) − b(t, x)w(t, x, σ) dσ = f(t, x) − w(t, x, t). (1.77)
Na výraz w(t, x, σ) se můžeme dívat jako na funkci dvou proměnných t a x s parametrem σ. Pokud
tato funkce splní pro každou kladnou hodnotu σ podmínky
∂w(t, x, σ)
∂t
= a
∂w(t, x, σ)
∂x
+ b(t, x)w(t, x, σ), pro t > σ, x ∈ R,
w(σ, x, σ) = f(σ, x), pro x ∈ R,
pak splní také rovnost (1.77). Funkce w tedy může být zvolena jako řešení počáteční úlohy pro
homogenní lineární rovnici s počáteční podmínkou v okamžiku t = σ. To je úloha typu (1.72),
(1.73). Těmito úvahami dostáváme
w(t, x, σ) = f σ, x + a(t − σ) e
t−σ
0
b(t−s,x+as)ds
.
Celkem máme řešení úlohy (1.74), (1.75) ve tvaru
u(t, x) =
t
0
f σ, x + a(t − σ) e
t−σ
0
b(t−s,x+as)ds
dσ =
t
0
f(t − σ, x + aσ)e
σ
0
b(t−s,x+as)ds
dσ.
Řešení nehomogenní rovnice s obecnou počáteční podmínkou je součtem řešení úlohy pro homogenní
rovnici s obecnou počáteční podmínkou a řešení úlohy pro nehomogenní rovnici s nulovou
počáteční podmínkou. Tedy řešení počáteční úlohy (1.69), (1.71) je tvaru
u(t, x) = ϕ(x + at)e
t
0
b(t−s,x+as)ds
+
t
0
f(t − σ, x + aσ)e
σ
0
b(t−s,x+as)ds
dσ
=

ϕ(x + at) +
t
0
f(t − σ, x + aσ)e
−
t
σ
b(t−s,x+as)ds
dσ

 e
t
0
b(t−s,x+as)ds
.
1.3.2 Autonomní rovnice
Pokud pravá strana rovnice (1.66) nezávisí explicitně na čase t, tj. pokud
∂f
∂t
= 0, pak řekneme,
že tato rovnice je autonomní. Autonomní evoluční parciální diferenciální rovnice prvního řádu je
tedy rovnice tvaru
∂u
∂t
= g (x, u, ∇u) . (1.78)
Autonomní rovnice popisují procesy, které jsou invariantní vzhledem k posunutí v čase. Tuto
vlastnost přesněji vyjadřuje následující:
Tvrzení 3. Nechť funkce u = u(t, x) je řešením autonomní rovnice (1.78) a t0 ∈ R je libovolné.
Pak funkce v definovaná rovností v(t, x) = u(t + t0, x) je také řešením rovnice (1.78), pro které
platí v(0, x) = u(t0, x).
Důkaz: Nejprve si povšimněme, že pro libovolné i ∈ {1, 2, . . ., n} je
∂v
∂xi
(t, x) =
∂u
∂xi
(t + t0, x)
37
a tedy ∇v = ∇u. Dále, poněvadž funkce u je řešením rovnice (1.78), platí
∂v
∂t
(t, x) =
∂u
∂t
(t + t0, x) = g x, u(t + t0, x), ∇u(t + t0, x) = g x, v(t, x), ∇v(t, x) ,
takže funkce v je také řešením rovnice (1.78).
Z uvedeného tvrzení plyne, že počáteční podmínku pro autonomní rovnici (1.78) lze bez újmy
na obecnosti vždy uvažovat ve tvaru
u(0, x) = ϕ(x), x ∈ Ω. (1.79)
Okrajová podmínka pro autonomní rovnici (1.78) je opět tvaru (1.67).
Stacionární (nebo rovnovážné) řešení autonomní evoluční rovnice je takové, které nezávisí na
čase. Pro stacionární řešení tedy platí
∂u
∂t
= 0, což vzhledem k (1.78) znamená, že stacionární
řešení rovnice (1.78) je funkce u = u(x) definovaná na množině Ω, která je současně řešením
implicitní diferenciální rovnice
g(x, u, ∇u) = 0.
Prostorově (nebo strukturně) stabilizované řešení autonomní evoluční rovnice je takové, které
v průběhu času nemění tvar. Přesněji řečeno, je to takové řešení u = u(t, x), pro které jsou grafy
funkcí u(t1, · ), u(t2, · ) podobné geometrické útvary pro každá dvě t1, t2 ∈ J. Ještě jinak řečeno,
prostorově stabilizované řešení rovnice (1.78) je řešení tvaru
u(t, x) = T (t)X(x),
kde T : J → R, X : Ω → R jsou diferencovatelné funkce. Stacionární řešení autonomní evoluční
rovnice je prostorově stabilizovaným řešením s konstantní časovou složkou T .
Uvažujme speciální rovnici (1.78) takovou, že její pravá strana nezávisí explicitně na prostorových
proměnných x, tedy rovnici tvaru
∂u
∂t
= h(u, ∇u). (1.80)
Předpokládejme dále, že funkce h je homogenní7
. Prostorov stabilizované řešení u = T X dosadíme
do rovnice (1.80) a upravíme její pravou stranu,
T ′
X = h(T X, ∇T X) = T h(X, ∇X);
přitom ′
označuje obyčejnou derivaci podle proměnné t. Předchozí rovnost vydělíme součinem T X
a dostaneme
T ′
T
=
h(X, ∇X)
X
.
Výraz na levé straně této rovnosti závisí pouze na nezávisle proměnné t, nikoliv na x, výraz na
pravé straně rovnosti závisí pouze na proměnných x, nikoliv na t. Na obou stranách rovnosti je
tedy nějaká konstanta; označme ji λ. Pro prostorovou složku X řešení u v uvažovaném případě
platí
h(X, ∇X) = λX. (1.81)
Pokud tedy existuje konstanta λ, že rovnice (1.81) má řešení Xλ, pak existuje prostorově stabilizované
řešení rovnice (1.80). Přitom časová složka T splňuje rovnici
T ′
T
= λ.
Řešením této obyčejné lineární homogenní rovnice je funkce daná předpisem T (t) = eλt
. Prostorově
stabilizované řešení proto je tvaru
u(t, x) = eλt
Xλ(x). (1.82)
7Tj. pro každé κ ∈ R a všechna α ∈ R, β ∈ Rn platí h(κα, κβ) = κh(α, β), kdykoliv jsou obě strany této rovnosti
definovány.
38
Příklad.
Uvažujme lineární homogenní autonomní rovnici ve dvou nezávisle proměnných s konstantním
koeficientem u prostorové derivace
∂u
∂t
= a
∂u
∂x
+ b(x)u
definovanou pro x ∈ R t > 0. Tato rovnice má vždy nulové řešení, které je řešením stacionárním.
Navíc pro každé reálné číslo λ má tato rovnice prostorově stabilizované řešení
u(t, x) = eλt
exp



−
1
a

λx −
x
0
b(ξ)dξ





.
Pro λ = 0 je toto řešení stacionární.
Uvažujme nyní rovnici (1.78) s okrajovou podmínkou (1.67) nebo (1.68). Prostorově stabilizované
řešení této počáteční úlohy definujeme jako prostorově stabilizované řešení rovnice (1.78),
které navíc pro každé t splňuje příslušnou okrajovou podmínku. V případě homogenní okrajové
podmínky (1.68) platí
u(t, x) x∈Γ
= T (t)X(x) x∈Γ
= Ψ T (t)X( · ) = T (t)Ψ X( · ) .
Prostorová složka X prostorově stabilizovaného řešení tedy splňuje okrajovou podmínku
X(x) x∈Γ
= Ψ X( · ) . (1.83)
Pokud existuje číslo λ a k němu existuje nenulová funkce Xλ takové, že splňují homogenní podmínku
(1.83) a rovnici (1.81) s homogenní funkcí h, pak má okrajová úloha (1.80), (1.68) prostorově
stabilizované řešení tvaru (1.82).
Podívejme se na tento výsledek z obecnějšího hlediska. Množina diferencovatelných funkcí definovaných
na množině Ω, které splňují homogenní okrajovou podmínku (1.68) tvoří vektorový
prostor. Dále máme zobrazení (operátor) A z tohoto prostoru do prostoru spojitých funkcí definované
vztahem
A(w)(x) = h w(x), ∇w(x) .
S tímto označením můžeme rovnici (1.81) přepsat do tvaru
A(w) = λw.
Okrajová úloha (1.81), (1.83) je tak vlastně úlohou najít vlastní číslo a příslušný vlastní vektor
operátoru A.
1.3.3 McKendrickova-von Foersterova rovnice
V úvodu této kapitoly jsme odvodili, že vývoj věkově strukturované populace lze modelovat parciální
evoluční lineární rovnicí (1.4) spolu s počáteční podmínkou (1.5) a okrajovou podmínkou
(1.11); okrajová podmínka má pravou stranu ve tvaru integrálu, tj. lineárního funkcionálu. Této
úloze se nyní budeme věnovat podrobněji.
Uvažujme tedy úlohu
∂u
∂t
+
∂u
∂a
= −µ(a)u, t > 0, a > 0 (1.84)
u(0, a) = ϕ(a), a > 0, (1.85)
u(t, 0) =
∞
0
β(s)u(t, s)ds, t > 0. (1.86)
39
t
aϕ(a)
x(t)
Φ
λ0
1
a) b)
Obrázek 1.2: K řešení McKendrickovy-von Foersterovy rovnice. a) charakteristiky rovnice (1.84),
b) možný průběh funkce Φ, tj. pravé strany rovnice (1.99).
Hodnoty okrajové funkce u( · , 0) pro zjednodušení zápisu označíme symbolem x, tj.
u(t, 0) = x(t). (1.87)
Charakteristická rovnice příslušná k parciální rovnici (1.84) je
da
dt
= 1
a má obecné řešení v implicitním vyjádření
a − t = const.
Charakteristiky rovnice (1.84) jsou tedy polopřímky rovnoběžné s osou prvního kvadrantu. Z toho
je také vidět, že charakteristiky určené kladnou konstantou na pravé straně této rovnosti protínají
osu a; na charakteristikách s kladnou konstantou jsou tedy hodnoty funkce u určeny počáteční
podmínkou (1.85). Podobně, charakteristiky určené zápornou konstantou na pravé straně uvedené
rovnosti protínají osu t a hodnoty funkce u jsou na nich určeny okrajovou podmínkou (1.86).
Situace je znázorněna na Obrázku 1.2a).
Pro t ≤ a zavedeme nové souřadnice τ a ξ vztahy
τ = t, ξ = a − t.
Po této transformaci rovnice (1.84) s počáteční podmínkou (1.85) nabude tvar
∂u
∂τ
= −µ(ξ + τ)u, u(0, ξ) = ϕ(ξ).
Řešení této počáteční úlohy pro obyčejnou lineární homogenní rovnici je
u(τ, ξ) = ϕ(ξ) e
−
ξ+τ
ξ
µ(σ)dσ
.
Návratem k původním proměnným dostaneme
u(t, a) = ϕ(a − t) e
−
a
a−t
µ(ξ)dξ
. (1.88)
Pro t > a zavedeme nové souřadnice τ a ξ vztahy
τ = t − a, ξ = a;
40
transformaci tohoto tvaru volíme proto, aby transformovaný čas τ byl kladný, plynul od minulosti
do budoucnosti. Nyní dostaneme rovnici (1.84) v kanonickém tvaru a k ní příslušnou transformovanou
okrajovou podmínku
∂u
∂ξ
= −µ(ξ)u, u(τ, 0) = x(τ).
Řešením této Cauchyovy úlohy je funkce u definovaná vztahem
u(τ, ξ) = x(τ) e
−
ξ
0
µ(ξ)dξ
.
V původních proměnných tedy
u(t, x) = x(t − a) e
−
a
0
µ(ξ)dξ
. (1.89)
Pro zjednodušení zápisu dosud dosažených výsledků zavedeme podobně jako v úvodu kapitoly
označení
ℓ(a) = e
−
a
0
µ(ξ)dξ
. (1.90)
Zřejmě je ℓ(a) > 0 pro každé a ≥ 0. Řešení úlohy (1.84), (1.85), (1.86) rozepsané rovnostmi (1.88),
(1.89) můžeme jednotně zapsat jako
u(t, a) =



ϕ(a − t)
ℓ(a)
ℓ(a − t)
, t ≤ a,
x(t − a)ℓ(a), t > a.
(1.91)
V tomto zápisu zůstává neurčená „okrajová funkce x, jejíž hodnota vyjadřuje hustotu novorozenců
v čase t.
Funkce x zavedená vztahem (1.87) je definována integrálem na pravé straně rovnosti (1.86),
v němž vystupuje funkce u, která je definována vztahem (1.91). Z toho je vidět, že je potřebné
integrál z rovnosti (1.86) rozdělit na součet dvou integrálů,
x(t) =
∞
0
β(s)u(t, s)ds =
t
0
β(s)u(t, s)ds +
∞
t
β(s)u(t, s)ds.
Každý z těchto integrálů upravíme:
t
0
β(s)u(t, s)ds =
t
0
β(s)x(t − s)ℓ(s)ds =
t
0
β(t − ξ)ℓ(t − ξ)x(ξ)dξ,
∞
t
β(s)u(t, s)ds =
∞
t
β(s)ϕ(s − t)
ℓ(s)
ℓ(s − t)
ds =
∞
0
β(ξ + t)
ℓ(ξ + t)
ℓ(ξ)
ϕ(ξ)dξ.
Celkem tak dostáváme, že funkce x je řešením integrální rovnice
x(t) =
t
0
β(t − ξ)ℓ(t − ξ)x(ξ)dξ +
∞
0
β(ξ + t)
ℓ(ξ + t)
ℓ(ξ)
ϕ(ξ)dξ. (1.92)
Tato rovnice bývá v demografických aplikacích nazývána spojitá Lotkova rovnice obnovy v nehomogenním
tvaru.
41
Integrální rovnici (1.92) můžeme přepsat. Označme:
K(t, s) = β(t − s)ℓ(t − s), F(t) =
∞
0
β(ξ + t)
ℓ(ξ + t)
ℓ(ξ)
ϕ(ξ)dξ.
Při tomto označení rovnice (1.92) nabude tvar
x(t) =
t
0
K(t, s)x(s)ds + F(t).
Integrální rovnice tohoto tvaru se nazývá Volterrova integrální rovnice druhého druhu.
Jiný z používaných tvarů rovnice (1.92) dostaneme tak, že označíme
k(t) =
β(t)ℓ(t), t ≥ 0,
0, t < 0.
.
V prvním integrálu na pravé straně rovnice (1.92) tak dostaneme konvoluci,
x(t) =
∞
0
k(t − ξ)x(ξ)dξ + F(t),
takže integrální rovnici (1.92) můžeme přepsat jako rovnici konvolučního typu
x = k ∗ x + F.
Závěr: Řešení úlohy (1.84), (1.85), (1.86) je dáno rovností (1.91), kde funkce ℓ je definována
rovností (1.90) a funkce x je řešením integrální rovnice (1.92).
Řešení úlohy (1.84), (1.85), (1.86) můžeme vyjádřit i jinak. Povšimněme si, že řešení této úlohy
je zúžením řešení okrajové úlohy
∂u
∂t
+
∂u
∂a
= −µ(a)u, t ∈ R, a > 0
u(t, 0) =



ϕ(−t)
ℓ(−t)
, t ≤ 0,
∞
0
β(s)u(t, s)ds, t > 0.
(1.93)
Jedná se o úlohu pro stejnou rovnici na širším oboru, tvar okrajové podmínky plyne z tvaru řešení
původní úlohy na charakteristikách. Přímým výpočtem se můžeme přesvědčit, že řešení pomocné
úlohy (1.93) je tvaru
u(t, a) = u(t − a, 0)ℓ(a) = x(t − a)ℓ(a).
Pro okrajovou funkci x = x(t) = u(t, 0) nyní platí: pro t > 0 je
x(t) =
∞
0
β(s)u(t, s)ds =
∞
0
β(s)ℓ(s)x(t − s)ds =
t
−∞
β(t − ξ)ℓ(t − ξ)x(ξ)dξ,
a pro t ≤ 0 je x(t) = ϕ(−t)/ℓ(−t). Funkce x je tedy řešením integrální rovnice
x(t) =
t
−∞
β(t − ξ)ℓ(t − ξ)x(ξ)dξ, t > 0 (1.94)
42
s podmínkou
x(t) =
ϕ(−t)
ℓ(−t)
, t ≤ 0. (1.95)
Rovnice (1.94) bývá nazývána homogenní Lotkova rovnice obnovy.
Rovnici (1.94) můžeme zderivovat podle času. Dostaneme
x′
(t) = β(0)ℓ(0)x(t) +
t
−∞
d
dt
β(t − ξ)ℓ(t − ξ) x(ξ)dξ =
= β(0)x(t) +
t
−∞
β′
(t − ξ) − µ(t − ξ)β(t − ξ) ℓ(t − ξ)x(ξ)dξ.
Označíme
w(s) = β′
(s) − µ(s)β(s) ℓ(s)
a výsledek přepíšeme:
x′
(t) = β(0)x(t) +
t
−∞
w(t − ξ)x(ξ)dξ. (1.96)
To je obyčejná diferenciální rovnice s distribuovaným zpožděním. Příslušná počáteční podmínka je (1.95).
Strukturně stabilizované řešení rovnice (1.84)
Takové řešení je podle 1.3.2 tvaru u(t, a) = eλt
A(a), kde funkce A je řešením obyčejné diferenciální
rovnice (1.81). V našem konkrétním případě se tedy ptáme, zda existuje číslo λ takové, že úloha
−A′
− µ(a)A = λA, a > 0, (1.97)
A(0) =
∞
0
β(s)A(s)ds, (1.98)
má řešení. Tato úloha samozřejmě má triviální nulové řešení A ≡ 0 pro libovolnou hodnotu λ.
Takové řešení je ale nezajímavé; lze ho interpretovat jako model populace s nulovou hustotou,
tedy nepřítomnost populace.
Obyčejná lineární homogenní rovnice (1.97) má obecné řešení
A(a) = C exp
−λa−
a
0
µ(ξ)dξ
= Cℓ(a)e−λa
.
Řešení je nenulové, pokud C = 0. Po dosazení do podmínky (1.98) a vydělení konstantou C
dostaneme
1 =
∞
0
β(s)ℓ(s)e−λs
ds. (1.99)
Číslo λ má být řešením této rovnice. Označme její pravou stranu symbolem Φ(λ).
Předpokládejme, že funkce β a µ splňují přirozené podmínky kladené na věkově specifickou
plodnost a úmrtnost, tedy že jsou to funkce integrabilní a nezáporné; funkce β je navíc ohraničená
a kladná na nějakém uzavřeném intervalu [a1, a2]. Za těchto předpokladů je ℓ nerostoucí funkce
splňující nerovnosti 0 < ℓ(s) ≤ 1 pro každé s ≥ 0 a integrál na pravé straně rovnosti (1.99) je
kladný. Dále odvodíme:
Φ′
(λ) = −
∞
0
sβ(s)ℓ(s)e−λs
ds < 0, pro každé λ;
43
označíme β∗
= sup {β(s) : s ≥ 0} a dostaneme
0 < Φ(λ) ≤ β∗
∞
0
e−λs
ds = lim
s→∞
β∗
λ
1 − e−λs
=
β∗
λ
, lim
λ→∞
β∗
λ
= 0, tj. lim
λ→∞
Φ(λ) = 0;
nakonec označíme minimum funkce β na uzavřeném intervalu [a1, a2] symbolem β∗, tj.
β∗ = min {β(s) : a1 ≤ s ≤ a2} > 0,
a pro λ < 0 dostaneme
Φ(λ) =
∞
0
β(s)ℓ(s)e−λs
ds ≥
a2
a1
β(s)ℓ(s)e−λs
ds ≥
a2
a1
β(s)ℓ(s)e−λs
ds ≥
≥ β∗ℓ(a2) e−λ(a1)
a2
a1
ds = β∗ℓ(a2) e−λ(a1)
(a2 − a1),
z čehož plyne
lim
λ→−∞
Φ(λ) ≥ (a2 − a1) β∗ ℓ(a2) lim
λ→−∞
e−λa1
= ∞.
Celkem vidíme, že Φ je klesající funkce, která na intervalu (−∞, ∞) klesne od nekonečna k nule.
To znamená, že rovnice
1 = Φ(λ)
má právě jedno reálné řešení. Existuje tedy jediné reálné číslo λ takové, že okrajová úloha (1.97),
(1.98) má nenulové řešení tvaru
A(a) = Cℓ(a)e−λa
.
Vzhledem k faktu, že funkce Φ je klesající, znaménko vlastního čísla λ je určeno hodnotou výrazu
Φ(0) =
∞
0
β(s)ℓ(s)ds,
viz Obrázek 1.2b). Je-li Φ(0) > 1, pak λ > 0; je-li Φ(0) < 1, pak λ < 0.
Dosažené výsledky nyní můžeme shrnout: Rovnice (1.84) s okrajovou podmínkou (1.86) má
řešení tvaru
u(t, a) = Cℓ(a)e−λa
eλt
;
přitom C je nějaké kladné číslo, které vyjadřuje hustotu novorozenců v čase t = 0, λ je řešením
rovnice (1.99) a vyjadřuje růstový koeficient populace.
Cvičení
V úlohách 1–6 najděte obecné řešení rovnice.
1. x2
ux + y2
uy = 0
2. (1 + x2
)ux + xyuy = 0
3. (z − x + y)ux + (z + x − y)uy + zuz = 0
4. x1
∂u
∂x1
+ x2
∂u
∂x2
+ · · · + xn
∂u
∂xn
= 0
5. yux − xuy = y2
− x2
44
6. xuux + yuuy + xy = 0
V úlohách 7–12 najděte řešení okrajové úlohy.
7. 2ux + 3uy = 0, u(0, y) = 4y
8. (z − y)ux + (x − z)uy + (y − x)uz = 0, u(0, y, z) = yz
9. u(x + u)ux − y(y + u)uy = 0, u(1, y) =
√
y
10. (x + u)ux + yuy = u + y2
, u(x, 1) = x
11. u2
x − u2
y = u, u(1, y) = 1
12. ut = −(ux)2
, u(0, x) = ax
Výsledky:
1. u(x, y) = Φ
x − y
xy
2. u(x, y) = Φ
y2
1 + x2
3. u(x, y, z) = Φ x + y − 2z, z2
(x − y)
4. u(x1, x2, . . . , xn) = Φ
x2
x1
,
x3
x2
, . . . ,
xn
xn−1
5. u(x, y) = xy + Φ(x2
+ y2
)
6. Φ
x
y
, xy + u2
= 0 (implicitní popis)
7. u(x, y) = 4y − 6x
8. u(x, y, z) = xy + yz + zx
9. u(x, y) =
√
xy
10. u(x, y) =
x + y2
ln y
1 + ln y
11. 4u − (x − 3)2
4u − (x − 1)2
= 0 (implicitní popis)
12. u(t, x) = ax − a2
t
45
46
Kapitola 2
Rovnice druhého řádu
Model šíření drogy v žíle
Představme si, že v jistém okamžiku vstříkneme do žíly nějaké množství drogy. Chceme modelovat,
jak se množství vstříknuté látky v krvi mění v průběhu času.
Budeme uvažovat tři procesy. Molekuly drogy jednak pronikají mezi molekuly krve, dochází
k difúzi látky v kapalině. Droga je také unášena proudící krví a navíc může docházet k nějaké
chemické reakci – látka se může v kapalině rozkládat nebo tvořit. Abychom tuto situaci popsali
matematicky, budeme si žílu představovat jako dlouhý tenký válec; jeho poloměr je vzhledem k jeho
délce zanedbatelný1
. Proto budeme tento válec považovat za jednorozměrný objekt a prostorovou
osu x ztotožníme s osou válce. V uvažovaném válci proudí kapalina.
Množství látky vyjádříme její hustotou (koncentrací); za hustotu budeme považovat hmotnost
látky vztaženou k délce úseku válce, na kterém se nachází. Přesněji: označíme-li symbolem u(t, x)
hustotu látky v čase t a v bodě x a symbolem m(t, α, β) množství látky v úseku válce mezi
souřadnicemi α a β, pak budou tyto veličiny vázány vztahy
m(t, α, β) =
β
α
u(t, x)dx, u(t, x) = lim
∆x→0
m(t, x, x + ∆x)
∆x
.
Probíhající chemické reakce budeme charakterizovat nějakou veličinou f, kterou můžeme nazvat
intenzita reakce a charakterizovat jako množství látky, které se příslušnou reakcí vytvoří
(nebo rozloží) za jednotku času v části válce o jednotkové délce. Pokud látka vzniká, je intenzita
kladná, f > 0, pokud se rozkládá, je f < 0. Intenzita reakce ovšem může záviset na množství (tj.
koncentraci) látky a být v každém bodě a v každém čase jiná, tedy f = f(t, x, u). Pak množství
látky, které vznikne (nebo se rozloží) za časový interval [t, t+∆t] v úseku válce mezi souřadnicemi
α a β je dáno výrazem
t+∆t
t
β
α
f s, x, u(s, x) dxds; (2.1)
znaménko tohoto výrazu určuje, zda se jedná o tvorbu nebo rozklad látky.
Difúzi vyjádříme veličinou g = g(t, x), kterou nazveme difúzní tok. Můžeme si ho představit
jako rychlost difundující částice. Přesněji ho definujeme tak, že množství látky (tj. hmotnost),
které se dostane difúzí přes bod o souřadnici x za časový interval [t, t + ∆t], je rovno
t+∆t
t
g(s, x)ds;
1Žíla samozřejmě není dlouhý tenký válec – žíly se větví, průměr žíly i v jedné větvi není po celé délce stejný.
Sestavovaný model tedy nelze považovat za adekvátní, přijatá zjednodušení ho příliš vzdalují od reality. Přesto je
užitečný pro popis některých aspektů uvažovaného procesu.
47
je-li tato veličina kladná, jedná se o pohyb zleva doprava, je-li záporná, pak o pohyb zprava doleva.
Do úseku válce, jehož levý krajní bod má souřadnici α a pravý krajní bod souřadnici β, se tedy
za časový interval [t, t + ∆t] difúzí dostane přes levý okraj množství látky o hmotnosti
t+∆t
t
g(s, α)ds
a přes pravý okraj se z něho dostane množství látky o hmotnosti
t+∆t
t
g(s, β)ds.
Tato interpretace předpokládá, že g(t, α) > 0, g(t, β) > 0; kdyby tyto nerovnosti nebyly splněny,
odpovídajícím způsobem bychom vyměnili slova „do úseku za „z úseku a naopak. Celková změna
hmotnosti látky v úseku válce od α do β způsobená difúzí za časový interval [t, t + ∆t] tedy je
t+∆t
t
g(s, α)ds −
t+∆t
t
g(s, β)ds =
t+∆t
t
g(s, α) − g(s, β) ds. (2.2)
Celkovou změnu hmotnosti drogy v úseku žíly od bodu α do bodu β způsobenou reakcí a
difúzí během časového intervalu [t, t + ∆t] můžeme nyní vyjádřit jako součet výrazů (2.1) a (2.2).
S využitím Newtonovy-Leibnizovy formule a první věty o střední hodnotě integrálního počtu ji
upravíme na tvar
t+∆t
t
β
α
f s, x, u(s, x) dxds +
t+∆t
t
g(s, α) − g(s, β) ds =
=
t+∆t
t


β
α
f s, x, u(s, x) dx −
β
α
∂
∂x
g(s, x)dx

 ds =
=
t+∆t
t


β
α
f s, x, u(s, x) −
∂
∂x
g(s, x) dx

 ds =
=
β
α
f t + ϑ1∆t, x, u(t + ϑ1∆t, x) −
∂
∂x
g(t + ϑ1∆t, x) ∆t dx, (2.3)
kde ϑ1 ∈ (0, 1) je číslo, jehož existence je zaručena první větou o střední hodnotě integrálního
počtu.
Nyní se budeme zabývat změnou hmotnosti látky v žíle vlivem proudění krve; tento proces
nazýváme advekce. Předpokládejme na okamžik, že délková hustota u unášené látky a rychlost v
proudění kapaliny jsou konstantní. V takovém případě je vzdálenost, kterou urazí částice látky od
nějakého bodu za časový interval délky ∆t, rovna v∆t a celková hmotnost látky, která za tento
čas proteče přes uvažovaný bod, je rovna uv∆t. V realističtějším případě, kdy hustota u i rychlost
proudění v závisí na čase a na místě, je celkové množství látky, které proteče přes bod x, dáno
stejným součinem, ovšem funkce u a v vyčíslíme v nějaké „mezihodnotě dvojrozměrného intervalu
[t, t + ∆t] × [x, x + ∆x], kde ∆x = v∆t. Toto množství (hmotnost) je tedy dáno výrazem
u(t + h1∆t, x + h2∆x)v(t + h1∆t, x + h2∆x)∆t,
kde h1, h2 ∈ [0, 1]. Avšak podle věty o střední hodnotě platí
u(t + h1∆t, x + h2∆x)v(t + h1∆t, x + h2∆x) = u(t, x)v(t, x) + h3∆t,
48
kde h3 je nějaká konstanta2
. Celková hmotnost látky, která proteče přes levý krajní bod α uvažovaného
úseku válce během časového intervalu [t, t + ∆t] je tedy dána výrazem
u(t, α)v(t, α)∆t + ϑ2(∆t)2
, (2.4)
kde ϑ2 je nějaká konstanta. Analogicky, hmotnost látky, která proteče během uvažovaného časového
intervalu přes pravý krajní bod β, je dána výrazem
u(t, β)v(t, β)∆t + ϑ3(∆t)2
. (2.5)
Pokud je rychlost v proudění kladná, tj. kapalina proudí zleva doprava, přiteče do úseku s krajními
body α, β přes levý krajní bod celková hmotnost látky (2.4) a odteče z něho přes pravý krajní bod
látka o hmotnosti (2.5); pokud by rychlost byla záporná, tj. kapalina by proudila zprava doleva,
zaměníme slova „přiteče za „odteče a naopak. Změna hmotnosti látky za časový interval [t, t+∆t]
v úseku válce od bodu o souřadnici α po bod o souřadnici β způsobená advekcí je rovna rozdílu
u(t, α)v(t, α)∆t + ϑ2(∆t)2
− u(t, β)v(t, β)∆t + ϑ3(∆t)2
=
= u(t, α)v(t, α) − u(t, β)v(t, β) ∆t + ϑ4(∆t)2
,
kde ϑ4 = ϑ2 − ϑ3. Tento rozdíl můžeme pomocí Newtonovy-Leibnizovy formule vyjádřit ve tvaru

−
β
α
∂
∂x
u(t, x)v(t, x)dx

 ∆t + ϑ4(∆t)2
. (2.6)
Celková změna hmotnosti drogy v uvažovaném úseku žíly za čas od t do t + ∆t je součtem
výrazů (2.3) a (2.6),
δ(t, α, β, ∆t) =
=
β
α
f t + ϑ1∆t, x, u(t + ϑ1∆t, x) −
∂
∂x
g(t + ϑ1∆t, x) − u(t, x)v(t, x) ∆t dx+
+ ϑ4(∆t)2
.
Ze zákona zachování hmoty nyní můžeme vyjádřit celkovou hmotnost látky v úseku válce od α po
β za časový interval délky ∆t
β
α
u(t + ∆t, x)dx =
β
α
u(t, x)dx + δ(t, α, β, ∆t).
Po dosazení a zřejmé úpravě dostaneme
β
α
u(t + ∆t, x) − u(t, x)
∆t
+
∂
∂x
g(t + ϑ1∆t, x) + u(t, x)v(t, x) −
− f t + ϑ1∆t, x, u(t + ϑ1∆t, x) dx = ϑ4∆t
a limitním přechodem ∆t → 0
β
α
∂
∂t
u(t, x) +
∂
∂x
g(t, x) +
∂
∂x
u(t, x)v(t, x) − f t, x, u(t, x) dx = 0.
2Tuto konstantu lze podrobněji vyjádřit výrazem h3 =
∂
∂t
uv + v
∂
∂x
uv, kde hodnoty funkcí u, v jsou vyčísleny
v nějakém bodu dvojrozměrného intervalu [t, t + ∆t] × [x, x + ∆x].
49
Úsek válce od souřadnice α do souřadnice β byl vybrán libovolně, stejně tak i časový okamžik t.
To znamená, že pro všechna x a všechna t musí platit
∂
∂t
u(t, x) = −
∂
∂x
g(t, x) −
∂
∂x
v(t, x)u(t, x) + f t, x, u(t, x) . (2.7)
Tato relace váže neznámou funkci u (hustotu) a neznámou funkci g (difúzní tok), intenzita f
probíhající chemické reakce je dána charakterem reakce. Potřebujeme tedy ještě nějak funkci g
určit. Předpokládejme tedy, že difúzí se částice přesunuje z místa s větší koncentrací na místo
s koncentrací menší (to je předpoklad celkem přirozený) a že rychlost difundující částice je přímo
úměrná rozdílu koncentrací (přesněji gradientu, tj. derivaci koncentrace). Tento předpoklad bývá
nazýván Fickův zákon. Tedy
g(t, x) = −D
∂
∂x
u(t, x).
Kladný koeficient úměrnosti D se nazývá difuzivita; může se měnit s časem i s místem, tedy
D = D(t, x). Dosazením do rovnosti (2.7) dostaneme rovnici reakce-advekce-difúze
∂
∂t
u =
∂
∂x
D(t, x)
∂
∂x
u −
∂
∂x
v(t, x)u + f(t, x, u). (2.8)
Tato rovnice má být splněna pro každý čas t > 0 a každý bod x ∈ R. K rovnici přidáme počáteční
podmínku vyjadřující koncentraci difundující látky v počátečním čase t = 0
u(0, x) = ϕ(x), (2.9)
která má platit pro každé x ∈ R.
Speciální případy a okrajové podmínky
Budeme nyní předpokládat, že uvažovaná látka v kapalině nereaguje, tj. f ≡ 0, kapalina je homogenní,
v čase se nemění, tj. D(t, x) ≡ a2
= const, a proudí konstantní rychlostí v(t, x) ≡ const.
Obecnou rovnici reakce-advekce-difúze (2.8) tak můžeme zjednodušit na rovnici advekce-difúze
s konstantními koeficienty
∂
∂t
u = a2 ∂2
∂x2
u − v
∂
∂x
u. (2.10)
V tomto případě můžeme prostorovou souřadnici transformovat – zavést novou souřadnou soustavu,
která je „unášena rychlostí v . Zavedeme tedy novou prostorovou souřadnici ξ vztahem
ξ = x − vt.
Pak podle řetězového pravidla pro výpočet parciálních derivací složených funkcí platí
∂
∂t
u(t, ξ) =
∂
∂t
u t, ξ(t, x) =
∂
∂t
u t, ξ(t, x)
∂t
∂t
+
∂
∂ξ
u t, ξ(t, x)
∂ξ(t, x)
∂t
=
∂
∂t
u(t, ξ) − v
∂
∂ξ
u(t, ξ)
a analogicky a stručněji (bez psaní nezávisle proměnných)
∂u
∂x
=
∂u
∂t
∂t
∂x
+
∂u
∂ξ
∂ξ
∂x
=
∂u
∂ξ
,
∂2
∂x2
u =
∂
∂x
∂u
∂ξ
=
∂2
∂ξ2
u.
Dosazením do rovnice (2.8) dostaneme rovnici difúze
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂ξ2
. (2.11)
Tato rovnice vlastně modeluje difúzi látky v neproudící kapalině, případně difúzi plynu v nějakém
dlouhém válci naplněném vzduchem nebo jiným plynem.
50
Také si můžeme uvědomit, že vedení tepla v tělese je proces analogický difúzi – teplo také
přechází z místa teplejšího na chladnější a přechod tepla můžeme považovat za úměrný teplotnímu
spádu (tj. gradientu nebo derivaci teploty) a orientovaný opačně. Jinak řečeno, Fickův zákon
popisuje i vedení tepla. Proto se rovnice (2.11) nazývá také rovnice vedení tepla. V takovém
případě interpretujeme hledanou funkci u = u(t, x) jako teplotu malého okolí bodu x (malého
kousku tyče, v níž je teplo vedeno) v čase t. Poněkud přesněji vyjádřeno: v časovém okamžiku t je
celková tepelná energie úseku tyče od bodu se souřadnicí α po bod se souřadnicí β dána výrazem
k
β − α
β
α
u(t, x)dx,
kde k = 1,38 · 10−23
JK−1
je Boltzmanova konstanta.
Zatím jsme neuvažovali o délce žíly (trubice, válce), v níž probíhá difúze. Jedna z možností
je uvažovat tak dlouhou žílu, že „na její konec nedohlédneme , matematicky řečeno, pravý konec
oboru, na němž difúze probíhá je v nekonečnu. Ale i v tak dlouhé žíle je celkové množství difundující
látky konečné, neboť do žíly jsme vstříkli omezené množství drogy. Tuto podmínku vyjádříme tak,
že
∞
x0
u(t, x)dx < ∞; (2.12)
přitom x0 je nějaké číslo. Tato podmínka říká, že uvedený nevlastní integrál konverguje, neboť
hustota u je nezáporná. Odtud dále plyne, že
lim
x→∞
u(t, x) = 0
pro každý čas t, neboť funkci u považujeme za spojitou. Podmínka (2.12) se nazývá podmínka
integrability nebo integrovatelnosti.
Pravý konec válce (trubice, žíly) však může být v nějaké konečné vzdálenosti, mít konečnou
souřadnici x0. Tento pravý konec může být pro difundující látku uzavřený, žádná přes něj neprostupuje,
tedy
∂u
∂x
(t, x0) = 0 (2.13)
pro každý čas t. Jiná možnost je, že na tomto konci je nějak dán tok (probíhá na něm nějaký
proces, který tok určuje). Ten se může v čase měnit. Dostáváme tak podmínku
∂u
∂x
(t, x0) = ν(t). (2.14)
Podmínky tvaru (2.13) nebo (2.14) se nazývají Neumannovy okrajové podmínky.
Jiná možnost je, že na pravém otevřeném konci válce se látka rozptyluje do volného prostoru.
V takovém případě je napravo od krajního bodu x0 koncentrace (prakticky) nulová a tok, tj.
derivace hustoty podle prostorové proměnné, je podle Fickova zákona úměrný koncentraci nalevo
od bodu x0 (uvnitř válce). Tedy
∂u
∂x
(t, x0) = −hu(t, x0) (2.15)
pro každé t; přitom h je kladný koeficient úměrnosti (převrácená hodnota „difusivity přes hranici
). V okolním prostoru ale nemusí být jen nulová koncentrace látky. Napravo od krajního
bodu x0 může koncentrace mít v každém okamžiku t nějakou hodnotu µ(t) nezávislou na koncentraci
v trubici, např. v důsledku nějakého vnějšího probíhajícího procesu. V takovém případě je
difúzní tok přes hranici úměrný rozdílu koncentrací nalevo a napravo od hranice, tedy
∂u
∂x
(t, x0) = −h u(t, x0) − µ(t) . (2.16)
51
Podmínky tvaru (2.15) nebo (2.16) se nazývají Robinovy okrajové podmínky.
Pokud rovnici (2.11) interpretujeme jako model vedení tepla v dlouhé tenké tyči (drátu) po
stranách tepelně izolované, můžeme na jejím konci udržovat nulovou teplotu (konec tyče přiložíme
k ledu). V takovém případě dostaneme podmínku
u(t, x0) = 0 (2.17)
pro každý čas t. Nebo teplota na konci tyče může být určována nějakým vnějším nezávislým
procesem; pak dostaneme podmínky tvaru
u(t, x0) = µ(t). (2.18)
Podmínky (2.17) a (2.18) se nazývají Dirichletovy okrajové podmínky.
Podmínky (2.13), (2.15) a (2.17) můžeme zapsat jednotným způsobem
αu(t, x0) + β
∂u
∂x
(t, x0) = 0; (2.19)
pro α = 0, β = 1 se jedná o podmínky Neumannovy, pro α = h, β = 1 o podmínky Robinovy a
pro α = 1, β = 0 o podmínky Dirichletovy. Podobně i podmínky (2.14), (2.16) a (2.18) můžeme
souhrnně zapsat ve tvaru
αu(t, x0) + β
∂u
∂x
(t, x0) = ̺(t). (2.20)
Podmínky (2.19) a (2.20) nazýváme Newtonovy okrajové podmínky.
Analogicky můžeme zformulovat okrajové podmínky pro levý okraj oboru, na němž modelujeme
difúzi nebo vedení tepla. Jediný rozdíl je v Robinových podmínkách, kde se změní znaménko
u koeficientu h.
Obor prostorové proměnné x ale nemusí žádné okraje mít, může jít o nějaký uzavřený prstenec.
V takovém případě po proběhnutí celého prstence (uzavřené křivky) se dostaneme do stejného
bodu, koncentrace látky v něm musí být stejná. Trochu přesněji: označíme-li délku křivky ℓ, pak
v každém časovém okamžiku t musí platit
u(t, x) = u(t, x + ℓ) (2.21)
pro libovolnou hodnotu x. Podmínku (2.21) nazýváme podmínka periodičnosti nebo periodická
okrajová podmínka.
Ještě si všimněme jedné skutečnosti. Pokud nějaké funkce u1, u2 splňují některou z podmínek
(2.12), (2.21) nebo (2.19), pak také libovolná lineární kombinace těchto funkcí splňuje stejnou podmínku.
Podmínky (2.12), (2.21), (2.19) splňují princip superpozice a proto je souhrnně nazýváme
homogenní okrajové podmínky.
Nejjednodušší řešení
Uvažujme jednoduchou situaci: v jednom bodě (který můžeme považovat za počátek souřadnic) do
kapaliny v počátečním okamžiku „umístíme nějaké množství A látky, která se bude v neproudící
kapalině šířit difúzí. Vývoj koncentrace difundující látky bude popsán rovnicí
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
, t > 0, x ∈ R. (2.22)
V průběhu procesu žádnou látku z kapaliny neodebíráme, ani ji do ní neřidáváme, její množství
je stále stejné jako na začátku. Musí tedy platit
∞
−∞
u(t, x)dx = A pro všechna t > 0. (2.23)
52
Tato rovnost však musí platit i na počátku, v čase t = 0, tj.
A =
∞
−∞
u(0, x)dx.
Přitom ale předpokládáme, že na počátku je hustota v šude s výjimkou bodu x = 0 nulová, neboť
veškerá látka je koncentrována v jediném bodě. Hustotu na počátku tedy při této idealizaci
nemůžeme považovat za „normální reálnou funkci a poslední integrál za „normální integrál (Riemannův
nebo nějaký obecnější). Počáteční rozložení látky, její „distribuci (v hovorovém významu
tohoto slova), budeme považovat za distribuci ve smyslu Dodatku A.1. Počáteční podmínku pro
rovnici (2.22) tedy napíšeme ve tvaru
u(0, x) = Aδ(x), x ∈ R, (2.24)
kde δ je Diracova distribuce.
Pokusíme se „uhodnout řešení rovnice (2.22) s počáteční podmínkou (2.24). Můžeme si představovat,
že difúze probíhá tak, že jednotlivé molekuly látky se náhodně pohybují a že pravděpodobnost
pohybu nalevo je stejná jako pravděpodobnost pohybu napravo. Koncentrace látky po
jistém čase by tedy mohla mít tvar normálního (Gaussova) rozložení pravděpodobnosti se střední
hodnotou 0. Rozptyl se však s časem mění – na počátku je nulový a s postupem času se zvětšuje.
Pro rozptyl σ2
= σ(t)2
tedy platí
σ(0) = 0. (2.25)
Řešení rovnice (2.22) s počáteční podmínkou (2.24) tedy budeme hledat ve tvaru
u(t, x) = A
1
√
2π σ(t)
e
− x2
2σ(t)2
.
Z vlastností rozložení pravděpodobností je vidět, že při této volbě v každém čase t platí
∞
−∞
u(t, x)dx = A
∞
−∞
1
√
2π σ(t)
e
− x2
2σ(t)2
dx = A,
takže podmínka (2.23) je splněna. Má být splněna také rovnice (2.22). Proto vyjádříme
∂u
∂t
(t, x) =
A
√
2π
−
1
σ(t)2
σ′
(t) +
1
σ(t)
−
x2
2
−2σ(t)−3
σ′
(t) e
− x2
2σ(t)2
=
=
A
√
2π
e
− x2
2σ(t)2
σ′
(t)
x2
σ(t)4
−
1
σ(t)2
=
A
√
2π
e
− x2
2σ(t)2
x2
− σ(t)2 σ′
(t)
σ(t)4
,
∂2
u
∂x2
(t, x) =
∂
∂x
A
√
2π
1
σ(t)
e
− x2
2σ(t)2
−
2x
2σ(t)2
= −
A
√
2π
1
σ(t)3
∂
∂x
xe
− x2
2σ(t)2
=
= −
A
√
2π
1
σ(t)3
1 + x −
2x
2σ(t)2
e
− x2
2σ(t)2
=
A
√
2π
e
− x2
2σ(t)2
1
σ(t)5
x2
− σ(t)2
.
Po dosazení do rovnice (2.22) a jednoduché úpravě dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici pro
neznámou funkci σ
σ′
(t) =
a2
σ(t)
.
Řešení této rovnice se separovanými proměnnými, které splňuje počáteční podmínku (2.25) je
σ(t) =
√
2a2t. Dostáváme tedy řešení počáteční úlohy (2.22), (2.24) ve tvaru
u(t, x) =
A
2
√
a2πt
e− x2
4a2t . (2.26)
53
2.1 Rovnice ve dvou nezávisle proměnných lineární ve druhých
derivacích
Budeme se zabývat rovnicemi tvaru
A(x, y)
∂2
u
∂x2
+ 2B(x, y)
∂2
u
∂x∂y
+ C(x, y)
∂2
u
∂y2
= F x, y, u,
∂u
∂x
,
∂u
∂y
, (2.27)
kde A, B, C jsou reálné funkce definované na nějaké množině G ⊆ R2
s neprázdným vnitřkem
a funkce F je definována na množině G × R3
. Přitom budeme předpokládat, že pro každý bod
(x, y) ∈ G platí
|A(x, y)| + |B(x, y)| + |C(x, y)| > 0,
tj. funkce A, B, C nejsou současně nulové. Pro každý bod (x, y) ∈ G můžeme zavést matici
M(x, y) =
A(x, y) B(x, y)
B(x, y) C(x, y)
.
Tato matice je evidentně symetrická.
Nechť (x0, y0) ∈ G. Rovnice (2.27) se nazývá
hyperbolická v bodě (x0, y0), je-li matice M(x0, y0) indefinitní,
parabolická v bodě (x0, y0), je-li matice M(x0, y0) pozitivně nebo negativně semidefinitní,
eliptická v bodě (x0, y0), je-li matice M(x0, y0) pozitivně nebo negativně definitní.
Rovnice (2.27) se nazývá hyperbolická, resp. parabolická, resp. eliptická, na otevřené množině
H ⊆ G, je-li hyperbolická, resp. parabolická, resp. eliptická, v každém bodě množiny H.
Ze známých vět z lineární algebry plyne, že rovnice (2.27) je
hyperbolická
parabolická
eliptická



v bodě (x0, y0) ∈ G právě tehdy, když



B(x0, y0)2
> A(x0, y0)C(x0, y0),
B(x0, y0)2
= A(x0, y0)C(x0, y0),
B(x0, y0)2
< A(x0, y0)C(x0, y0).
2.1.1 Charakteristiky a kanonický tvar rovnice
Budeme hledat transformaci nezávisle proměnných, která rovnici (2.27) převede na nějaký jednodušší
tvar; v ideálním případě na takový, aby bylo možné najít nějaké její řešení.
Nechť H ⊆ G je otevřená množina. Buďte dále ϕ, ψ : H → R takové funkce, že
ϕx(x, y)ψy(x, y) − ϕy(x, y)ψx(x, y) = 0
pro všechna (x, y) ∈ H. Pak transformace
ξ = ϕ(x, y), η = ψ(x, y) (2.28)
bijektivně zobrazí množinu H na otevřenou podmnožinu R2
a rovnici (2.27) transformuje na tvar
(využíváme formule pro druhé parciální derivace složené funkce)
a(ξ, η)uξξ + 2b(ξ, η)uξη + c(ξ, η)uηη = ˜F(ξ, η, u, uξ, uη), (2.29)
kde
a = Aϕ2
x + 2Bϕxϕy + Cϕ2
y = ϕ2
y A −
ϕx
ϕy
2
− 2B −
ϕx
ϕy
+ C ,
b = Aϕxψx + B(ϕxψy + ϕyψx) + Cϕyψy,
c = Aψ2
x + 2Bψxψy + Cψ2
y = ψ2
y A −
ψx
ψy
2
− 2B −
ψx
ψy
+ C ;
(2.30)
54
naznačenou úpravu výrazu pro funkce a nebo c lze samozřejmě provést pouze v případě, že ϕy = 0
nebo ψy = 0.
Při hledání inversní transformace k transformaci (2.28) řešíme soustavu rovnic (2.28) pro neznámé
x, y. Přitom první, resp. druhou, z rovnic je implicitně dána funkce y1 = y1(x), resp.
y2 = y2(x), pro jejíž derivaci platí
y′
1 = −
ϕx
ϕy
, resp. y′
2 = −
ψx
ψy
(podle vzorce pro derivaci implicitně zadané funkce, viz např. Z Došlá, O Došlý: Diferenciální
počet funkcí více proměnných. MU 1999, str. 96).
Obyčejná diferenciální rovnice v implicitním tvaru (nerozřešená vzhledem k derivaci)
A(x, y)
dy
dx
2
− 2B(x, y)
dy
dx
+ C(x, y) = 0 (2.31)
se nazývá charakteristická rovnice parciální diferenciální rovnice (2.27). Její řešení se nazývají
charakteristiky této rovnice.
Z předchozích úvah je vidět, že platí: Je-li rovnice (2.27) hyperbolická, má dvě jednoparametrické
množiny charakteristik, které jsou řešeními obyčejných diferenciálních rovnic
y′
=
B(x, y) + (B(x, y))2 − A(x, y)C(x, y)
A(x, y)
a y′
=
B(x, y) − (B(x, y))2 − A(x, y)C(x, y)
A(x, y)
.
(2.32)
Je-li rovnice (2.27) parabolická, má jednu jednoparametrickou množinu charakteristik, která je
řešením obyčejné diferenciální rovnice
y′
=
B(x, y)
A(x, y)
. (2.33)
Je-li rovnice (2.27) eliptická, nemá reálné charakteristiky.
Jsou-li ϕ(x, y) = const a ψ(x, y) = const implicitní popisy řešení obyčejných diferenciálních
rovnic (2.32), tedy charakteristik hyperbolické rovnice (2.27), pak
−
ϕx
ϕy
a −
ψx
ψy
jsou kořeny charakteristické rovnice (2.31), takže v (2.30) dostaneme a = c = 0. Kanonický tvar
hyperbolické rovnice (2.27) je
uξη = ˜F1(ξ, η, u, uξ, uη).
Příklad
Uvažujme rovnici
x2 ∂2
u
∂x2
− y2 ∂2
u
∂y2
= 0. (2.34)
V této rovnici je A(x, y) = x2
, B(x, y) = 0, C(x, y) = −y2
. To znamená, že pro každou dvojici
(x, y) ∈ R2
takovou, že xy = 0, platí
B(x, y)2
= 0 > −x2
y2
= A(x, y)C(x, y)
a rovnice je tedy hyperbolická na vnitřku každého z kvadrantů.
Charakteristická rovnice příslušná k rovnici (2.34) je tvaru
x2 dy
dx
2
− y2
= 0.
55
Z ní vyjádříme derivaci a dostaneme dvě explicitní rovnice
dy
dx
= ±
y
x
,
které mají separované proměnné a jejich řešení jsou implicitně dána rovnostmi
ln |y| ∓ ln |x| = const.
Charakteristiky tedy splňují rovnosti
ϕ(x, y) = xy = const, ψ(x, y) =
y
x
= const.
Zavedeme proto nové nezávisle proměnné ξ, η vztahy
ξ = xy, η =
y
x
. (2.35)
Uvnitř prvního kvadrantu je x > 0, y > 0 a pro tyto hodnoty je také ξ > 0, η > 0. Transformace
(2.35) tedy převádí vnitřek prvního kvadrantu na sebe. Inversní transformace je dána rovnostmi
x =
ξ
η
, y = ξη.
Dále platí
∂ξ
∂x
= y = ξη,
∂ξ
∂y
= x =
ξ
η
,
∂η
∂x
= −
y
x2
= −η
η
ξ
,
∂η
∂y
=
1
x
=
η
ξ
,
takže podle řetězového pravidla je
∂u
∂x
=
∂u
∂ξ
∂ξ
∂x
+
∂u
∂η
∂η
∂x
= ξη
∂u
∂ξ
− η
η
ξ
∂u
∂η
,
∂2
u
∂x2
=
∂
∂ξ
ξη
∂u
∂ξ
− η
η
ξ
∂u
∂η
∂ξ
∂x
+
∂
∂η
ξη
∂u
∂ξ
− η
η
ξ
∂u
∂η
∂η
∂x
=
=
1
2
η
ξ
∂u
∂ξ
+ ξη
∂2
u
∂ξ2
+
1
2
η
ξ
η
ξ
∂u
∂η
− η
η
ξ
∂2
u
∂η∂ξ
ξη +
+
1
2
ξ
η
∂u
∂ξ
+ ξη
∂2
u
∂ξ∂η
−
3
2
η
ξ
∂u
∂η
− η
η
ξ
∂2
u
∂η2
−η
η
ξ
=
= ξη
∂2
u
∂ξ2
− 2η2 ∂2
u
∂ξ∂η
+
η3
ξ
∂2
u
∂η2
+ 2
η2
ξ
∂u
∂η
,
∂u
∂y
=
∂u
∂ξ
∂ξ
∂y
+
∂u
∂η
∂η
∂y
=
ξ
η
∂u
∂ξ
+
η
ξ
∂u
∂η
.
∂2
u
∂y2
=
∂
∂ξ
ξ
η
∂u
∂ξ
+
η
ξ
∂u
∂η
∂ξ
∂y
+
∂
∂η
ξ
η
∂u
∂ξ
+
η
ξ
∂u
∂η
∂η
∂y
=
=
1
2
1
√
ξη
∂u
∂ξ
+
ξ
η
∂2
u
∂ξ2
−
1
2ξ
η
ξ
∂u
∂η
+
η
ξ
∂2
∂η∂ξ
ξ
η
+
+ −
1
2η
ξ
η
∂u
∂ξ
+
ξ
η
∂2
u
∂ξ∂η
+
1
2
1
√
ξη
∂u
∂η
+
η
ξ
∂2
u
∂η2
η
ξ
=
=
ξ
η
∂2
u
∂ξ2
+ 2
∂2
u
∂ξ∂η
+
η
ξ
∂2
u
∂η2
.
56
Tyto výrazy dosadíme do rovnice (2.34)
ξ
η
ξη
∂2
u
∂ξ2
− 2η2 ∂2
u
∂ξ∂η
+
η3
ξ
∂2
u
∂η2
+ 2
η2
ξ
∂u
∂η
− ξη
ξ
η
∂2
u
∂ξ2
+ 2
∂2
u
∂ξ∂η
+
η
ξ
∂2
u
∂η2
= 0
a upravíme
−4ξη
∂2
u
∂ξ∂η
+ 2η
∂u
∂η
= 0,
∂2
u
∂ξ∂η
=
1
2ξ
∂u
∂η
.
Tato rovnice je kanonickým tvarem dané rovnice (2.34). Zavedeme v ní substituci v =
∂u
∂η
a
dostaneme
∂v
∂ξ
=
1
2ξ
v.
Tuto parciální diferenciální rovnici můžeme považovat za obyčejnou, neboť se v ní objevuje jediná
derivace podle proměnné ξ. Řešení této obyčejné lineární homogenní rovnice je v =
√
ξ φ(η);
přitom φ je „integrační konstanta , která nezávisí na proměnné ξ, ale může záviset na proměnné
η. Dostáváme tak rovnost
∂u
∂η
= ξ φ(η),
kterou zintegrujeme podle proměnné η a dostaneme
u = ξ Φ(η) + Ψ(ξ).
Funkce Φ je primitivní k funkci φ a funkce Ψ je „integrační konstanta , která může záviset na
nezávisle proměnné ξ.
Návratem k původním proměnným dostaneme obecné řešení rovnice (2.34) ve tvaru
u(x, y) =
√
xyΦ
y
x
+ Ψ(xy);
přitom Φ, Ψ jsou libovolné dvakrát diferencovatelné funkce jedné proměnné.
Je-li rovnice (2.27) parabolická, pak je B2
= AC. Pokud je v tomto případě řešení rovnice
(2.33) implicitně zapsáno rovností ψ(x, y) = const, pak v rovnostech (2.30) dostaneme c = 0 a
platí
−
ψx
ψy
=
B
A
, tj. ψx = −
B
A
ψy
Je-li tedy ϕ(x, y) libovolná funkce nezávislá na funkci ψ, pak v rovnostech (2.30) dostaneme
b = −Bϕxψy + B ϕxψy −
B
A
ϕyψy + Cϕyψy = C −
B2
A
ϕyψy =
AC − B2
A
ϕyψy = 0.
Většinou stačí volit ϕ(x, y) = x nebo ϕ(x, y) = y. Kanonický tvar parabolické rovnice (2.27) je
uξξ = ˜F2(ξ, η, u, uξ, uη).
Příklad
Uvažujme rovnici
x2 ∂2
u
∂x2
− 2xy
∂2
u
∂x∂y
+ y2 ∂2
u
∂y2
+ x
∂u
∂x
+ y
∂u
∂y
= 0.
57
V této rovnici je A(x, y) = x2
, B(x, y) = −xy, C(x, y) = y2
, takže
B(x, y)2
= x2
y2
= A(x, y)C(x, y)
a rovnice je parabolická. Příslušná charakteristická rovnice je tvaru
x2 dy
dx
2
+ 2xy
dy
dx
+ y2
= 0
(pozor na znaménko koeficientu u první derivace). Z charakteristické rovnice vyjádříme
dy
dx
= −
y
x
.
Tato obyčejná diferenciální rovnice se separovanými proměnnými má řešení dané implicitně rovností
xy = const. Zavedeme tedy nové nezávisle proměnné ξ, η vztahy
ξ = y, η = xy.
Pak je
x =
η
ξ
, y = ξ,
∂ξ
∂x
= 0,
∂ξ
∂y
= 1,
∂η
∂x
= ξ,
∂η
∂y
=
η
ξ
a dále
∂u
∂x
= ξ
∂u
∂η
,
∂u
∂y
=
∂u
∂ξ
+
η
ξ
∂u
∂η
,
∂2
u
∂x2
= ξ2 ∂2
u
∂η2
,
∂2
u
∂x∂y
= ξ2 ∂2
u
∂ξ∂η
+ η
∂2
u
∂η2
+
∂u
∂η
,
∂2
u
∂y2
=
∂2
u
∂ξ2
+ 2
η
ξ
∂2
u
∂ξ∂η
+
η2
ξ2
∂2
u
∂η2
.
Po dosazení do rovnice a úpravě dostaneme kanonický tvar dané rovnice
∂2
u
∂ξ2
= −
1
ξ
∂u
∂ξ
.
Tuto rovnici můžeme považovat za obyčejnou diferenciální rovnici, neboť se v ní vyskytují derivace
podle jediné proměnné ξ. Položíme
v =
∂u
∂ξ
a dostaneme
∂v
∂ξ
= −
1
ξ
v.
Tato rovnice má řešení
v =
1
ξ
Φ(η),
takže
∂u
∂ξ
=
1
ξ
Φ(η).
Integrací podle proměnné ξ dostaneme u = Φ(η) ln ξ + Ψ(η). Návrat k původním proměnným dá
řešení dané rovnice ve tvaru
u(x, y) = Φ(xy) ln y + Ψ(xy),
kde Φ a Ψ jsou dvakrát diferencovatelné funkce jedné proměnné.
58
2.2 Lineární parabolická rovnice s konstantními koeficienty
Budeme se zabývat lineární parabolickou rovnicí ve dvou nezávisle proměnných s konstantními
koeficienty, která je tvaru
A2 ∂2
u
∂x2
+ 2AC
∂2
u
∂x∂y
+ C2 ∂2
u
∂y2
+ D
∂u
∂x
+ E
∂u
∂y
+ Fu = f(x, y), (2.36)
kde A, C, D, E, F jsou reálné konstanty takové, že |A|+|C| > 0. Pokud je funkce f na pravé straně
rovnice nulová, mluvíme o homogenní rovnici, v opačném případě o nehomogenní. Rovnice (2.36)
je parabolická v celé rovině R2
.
2.2.1 Kanonický tvar
Charakteristická rovnice
dy
dx
=
C
A
příslušná k rovnici (2.36) má řešení implicitně dané rovností Cx − Ay = const. Transformace
nezávisle proměnných
ξ = x, η = Cx − Ay
převede rovnici (2.36) na tvar
A2 ∂2
u
∂ξ2
+ D
∂u
∂ξ
+ (CD − AE)
∂u
∂η
+ Fu = f(ξ, η) (2.37)
(symboly f(x, y) a f(ξ, η) chápeme jako obrazy bodu, který má v původní soustavě souřadnice
(x, y) a v transformované (ξ, η), nikoliv jako předpisy pro výpočet funkční hodnoty).
Je-li CD = AE, můžeme rovnici (2.37) považovat za obyčejnou – na hledanou funkci u se dívat
jako na funkci jedné nezávisle proměnné ξ s parametrem η. Je to lineární rovnice druhého řádu
s konstantními koeficienty, tedy rovnice řešitelná v kvadraturách.
Předpokládejme, že CD = AE a označme
a =
A2
CD − AE
, b =
D
CD − AE
, c =
F
CD − AE
, ˜f(ξ, η) =
f(ξ, η)
CD − AE
.
Rovnici (2.37) tedy přepíšeme ve tvaru
a
∂2
u
∂ξ2
+ b
∂u
∂ξ
+
∂u
∂η
+ cu = ˜f(ξ, η). (2.38)
Tuto rovnici ještě dále upravíme. Zavedeme novou neznámou funkci v = v(ξ, η) vztahem
v(ξ, η) = exp
b
2a
ξ + c −
b2
4a
η u(ξ, η).
Pak platí
u = v exp −
b
2a
ξ − c −
b2
4a
η ,
∂u
∂ξ
=
∂v
∂ξ
−
b
2a
v exp −
b
2a
ξ − c −
b2
4a
η ,
∂u
∂ξ
=
∂2
v
∂ξ2
− 2
b
2a
∂v
∂ξ
+
b2
4a2
v exp −
b
2a
ξ − c −
b2
4a
η ,
∂u
∂η
=
∂v
∂η
− c −
b2
4a
v exp −
b
2a
ξ − c −
b2
4a
η .
59
Po dosazení do rovnice (2.38) a snadné úpravě dostaneme rovnici pro neznámou funkci v ve tvaru
a
∂2
v
∂ξ2
+
∂v
∂η
= g(ξ, η), (2.39)
kde g(ξ, η) = ˜f(ξ, η) exp
b
2a
ξ + c −
b2
4a
η .
Rovnici (2.39), v níž se vyskytuje jediný parametr a prohlásíme za kanonický tvar lineární
parabolické parciální diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty.
2.2.2 Evoluční rovnice
Evoluční parciální diferenciální rovnice je taková, v níž jednu z nezávisle proměnných interpretujeme
jako čas.
Budeme se nyní zabývat rovnicemi, v nichž je derivace hledané funkce podle času prvního řádu.
Uvažujme tedy lineární homogenní parabolickou evoluční parciální diferenciální rovnici s konstantním
koeficientem v kanonickém tvaru
∂u
∂t
= α
∂2
u
∂x2
. (2.40)
Snadno ověříme, že tato rovnice splňuje princip superpozice, tj. funkce u ≡ 0 je jejím řešením a
lineární kombinace jejich řešení je řešením. Vskutku, jsou-li funkce u1 = u1(t, x), u2 = u2(t, x)
takové, že
∂u1
∂t
= α
∂2
u1
∂x2
,
∂u2
∂t
= α
∂2
u2
∂x2
a c1, c2 jsou libovolné konstanty, pak
∂
∂t
c1u1 + c2u2 = c1
∂u1
∂t
+ c2
∂u2
∂t
= c1α
∂2
u1
∂x2
+ c2α
∂2
u2
∂x2
= α
∂2
∂x2
(c1u1 + c2u2).
Znaménko koeficientu α souvisí se „směrem plynutí času . Vyjádříme to poněkud přesněji: Uvažujme
čas τ, který „plyne opačným směrem , tj. τ = −t. Pak
dτ
dt
= −1 =
dt
dτ
.
Pro řešení u = u(t, x) rovnice (2.40) platí
∂
∂τ
u =
∂u
∂t
dt
dτ
= −
∂u
∂t
= −α
∂2
u
∂x2
.
To znamená, že změna znaménka konstanty α představuje nahrazení času plynoucího z přítomnosti
do budoucnosti časem plynoucím z přítomnosti do minulosti.
Dále se budeme věnovat pouze rovnicím s kladným koeficientem α. Můžeme ho proto psát ve
tvaru druhé mocniny. Jinak řečeno, budeme se věnovat rovnici difúze neboli rovnici vedení tepla,
sr. (2.11).
Řešení rovnice jsme dosud chápali v obvyklém intuitivním významu: řešením rovnice je funkce,
která tuto rovnici splňuje ve všech bodech svého definičního oboru. Toto pojetí nejprve mírně
rozšíříme. Za řešení homogenní evoluční parabolické rovnice
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x
, (2.41)
pro t > 0 a x ∈ J, kde J je nějaký otevřený interval reálných čísel, budeme považovat funkci
u = u(t, x) definovanou na množině H = (0, ∞) × J, která splňuje rovnici pro skoro všechna
(t, x) ∈ H. Podrobněji řečeno, první derivace funkce u podle času a druhá derivace funkce u
podle proměnné x jsou integrovatelné na každé kompaktní podmnožině množiny H (zejména tedy
60
množina bodů, v nichž některá z derivací neexistuje, má míru nula) a pro každou dvojici intervalů
(t1, t2) ⊆ (0, ∞), (α, β) ⊆ J platí
t2
t1
β
α
∂u(t, x)
∂t
− a2 ∂2
u(t, x)
∂x2
dxdt = 0.
Řešení nehomogenní evoluční parabolické rovnice
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x
+ f(t, x), (2.42)
zavádíme analogicky.
Řešení evoluční parabolické rovnice s počáteční podmínkou
u(0, x) = ϕ(x) (2.43)
pro x ∈ J je takové řešení u = u(t, x), že
lim
t→0+
u(t, x) = ϕ(x)
pro skoro všechna x ∈ J.
Nehomogenní rovnice
Nehomogenní rovnici (2.42) s nulovou počáteční podmínkou
u(0, x) = 0 (2.44)
můžeme interpretovat jako popis změny teploty v dlouhé tenké tyči, která měla na počátku teplotu
nulovou a je v každém čase t > 0 a každém bodě x ∈ J zahřívána nějakým zdrojem s „intenzitou
f(t, x). Tato představa napovídá, že teplota tyče v čase t je určena množstvím tepla, které se v ní
ze zdroje naskládalo, nasčítalo, naintegrovalo za časový interval od 0 do t. Trochu přesněji řečeno,
budeme předpokládat, že řešení takové počáteční úlohy je dáno integrálem
u(t, x) =
t
0
w(t, x, σ)dσ, (2.45)
kde w je nějaká, zatím neznámá funkce tří proměnných. Tato myšlenka je známa jako Duhamelův
princip. Funkce u definovaná rovností (2.45) splňuje počáteční podmínku (2.44). Dále pro ni platí
∂2
u
∂x2
(t, x) =
∂2
∂x2
t
0
w(t, x, σ)dσ =
t
0
∂2
w
∂x2
(t, x, σ)dσ,
a podle věty o derivaci integrálu závislého na parametru platí
∂u
∂t
(t, x) =
∂
∂t
t
0
w(t, x, σ)dσ = w(t, x, t) +
t
0
∂w
∂t
(t, x, σ)dσ.
Po dosazení do rovnice (2.42) dostaneme
w(t, x, t) +
t
0
∂w
∂t
(t, x, σ)dσ = a2
t
0
∂2
w
∂x2
(t, x, σ)dσ + f(t, x)
61
a po snadné úpravě
t
0
∂w
∂t
(t, x, σ) − a2 ∂2
w
∂x2
(t, x, σ) dσ = f(t, x) − w(t, x, t).
Z této rovnosti vidíme, že za funkci w ve vyjádření (2.45) řešení úlohy (2.42), (2.44) můžeme dosadit
funkci w = w(t, x, σ) chápanou jako funkci nezávisle proměnných t a x, s jedním parametrem σ,
která při jakékoliv hodnotě tohoto parametru σ splňuje rovnosti
∂w
∂t
(t, x, σ) = a2 ∂2
w
∂x2
(t, x, σ), pro t > σ a x ∈ J,
w(σ, x, σ) = f(σ, x), pro x ∈ J.
(2.46)
Zdůrazněme ještě, že z provedených úvah nijak neplyne, že by řešení úlohy (2.42), (2.44) nutně
muselo mít tvar daný rovností (2.45) a dále rovnostmi (2.46). Pouze jsme ukázali, že pokud bude
funkce w splňovat rovnosti (2.46), pak funkce (2.45) je řešením úlohy (2.42), (2.44). Proto vyvstává
otázka, zda neexistuje i nějaké jiné řešení úlohy (2.42), (2.44). Problematice jednoznačnosti
řešení se nebudeme věnovat obecně, ale až později pro rovnice s různými speciálními doplňujícími
podmínkami.
Nehomogenní rovnice (2.42) s počáteční podmínkou (2.43) má řešení u = u(t, x), které je tvaru
u(t, x) = v(t, x) + w(t, x), (2.47)
kde funkce v je řešením homogenní rovnice (2.41) s počáteční podmínkou (2.43) a funkce w je
řešením nehomogenní rovnice (2.42) s počáteční podmínkou (2.44). Jinak řečeno, řešení počáteční
úlohy pro nehomogenní rovnici je součtem řešení homogenní rovnice s původní počáteční
podmínkou a nehomogenní rovnice s nulovou počáteční podmínkou. Vskutku,
∂
∂t
u(t, x) =
∂
∂t
v(t, x) +
∂
∂t
w(t, x) = a2 ∂2
∂x2
v(t, x) + f(t, x) + a2 ∂2
∂x2
w(t, x) =
= a2 ∂2
∂x2
v(t, x) + w(t, x) + f(t, x) = a2 ∂2
∂x2
u(t, x) + f(t, x),
u(0, x) = v(0, x) + w(0, x) = ϕ(x) + 0 = ϕ(x)
a funkce u = v + w tedy splňuje rovnici (2.42) i počáteční podmínku (2.43).
2.2.3 Parabolická rovnice na kružnici
Budeme řešit nehomogenní parabolickou rovnici (2.42) pro t > 0 a x ∈ R s počáteční podmínkou
(2.43). O počáteční funkci ϕ a „prostorové části nehomogenity f(t, · ) budeme předpokládat, že
mají stejnou periodu ℓ. Budeme požadovat, aby řešení splňovalo periodickou podmínku (2.21).
Obor prostorové proměnné x tedy můžeme chápat jako kružnici délky ℓ, tj. kružnici o poloměru
ℓ/(2π).
Takto formulovanou úlohu lze interpretovat jako model difúze v trubici délky ℓ stočené do
prstence.
Víme, že každou po částech spojitou funkci ϕ s periodou ℓ můžeme vyjádřit jako trigonometrickou
Fourierovu řadu
ψ(x) =
a0
2
+
∞
k=1
ak cos
2kπ
ℓ
x + bk sin
2kπ
ℓ
x ,
kde
ak =
2
ℓ
ℓ
0
ψ(ξ) cos
2kπ
ℓ
ξdξ, k = 0, 1, 2, . . ., bk =
2
ℓ
ℓ
0
ψ(ξ) sin
2kπ
ℓ
ξdξ, k = 1, 2, . . ..
62
Řešení úlohy budeme hledat ve tvaru Fourierovy řady. Tento postup se nazývá metoda Fourierových
řad.
Nechť tedy pro skoro všechna x ∈ R a všechna t > 0 platí
ϕ(x) =
Φ0
2
+
∞
k=1
Φk cos
2kπ
ℓ
x + Ψk sin
2kπ
ℓ
x ,
f(t, x) =
F0(t)
2
+
∞
k=1
Fk(t) cos
2kπ
ℓ
x + Hk(t) sin
2kπ
ℓ
x ,
kde
Φk =
2
ℓ
ℓ
0
ϕ(ξ) cos
2kπ
ℓ
ξdξ, Fk(t) =
2
ℓ
ℓ
0
f(t, ξ) cos
2kπ
ℓ
ξdξ, k = 0, 1, 2, . . ., (2.48)
Ψk =
2
ℓ
ℓ
0
ϕ(ξ) cos
2kπ
ℓ
ξdξ, Hk(t) =
2
ℓ
ℓ
0
f(t, ξ) sin
2kπ
ℓ
ξdξ, k = 1, 2, . . . . (2.49)
Řešení úlohy (2.42), (2.43), (2.21) má být periodické v prostorové proměnné x, hledáme ho tedy
ve tvaru
u(t, x) =
a0(t)
2
+
∞
k=1
ak(t) cos
2kπ
ℓ
x + bk(t) sin
2kπ
ℓ
x , (2.50)
kde a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . jsou zatím neurčené funkce jedné proměnné. Platí
∂u
∂t
(t, x) =
a′
0(t)
2
+
∞
k=1
a′
k(t) cos
2kπ
ℓ
x + b′
k(t) sin
2kπ
ℓ
x ,
∂2
u
∂x2
(t, x) = −
∞
k=1
2kπ
ℓ
2
ak(t) cos
2kπ
ℓ
x + bk(t) sin
2kπ
ℓ
x ;
symbol ′
přitom označuje obyčejnou derivaci podle proměnné t.
Uvedené řady formálně dosadíme do rovnice (2.42) a počáteční podmínky (2.43),
a′
0(t)
2
+
∞
k=1
a′
k(t) +
2kπa
ℓ
2
ak(t) cos
2kπ
ℓ
x + b′
k(t) +
2kπa
ℓ
2
bk(t) sin
2kπ
ℓ
x =
=
F0(t)
2
+
∞
k=1
Fk(t) cos
2kπ
ℓ
x + Hk(t) sin
2kπ
ℓ
x ,
a0(0)
2
+
∞
k=1
ak(0) cos
2kπ
ℓ
x + bk(0) sin
2kπ
ℓ
x =
Φ0
2
+
∞
k=1
Φk cos
2kπ
ℓ
x + Ψk sin
2kπ
ℓ
x .
Věta o jednoznačnosti Fourierových řad říká, že rovnají-li se součty dvou Fourierových řad, pak
se rovnají také jejich koeficienty. Odtud plyne, že pro funkce a0, a1, a2, . . . , b1, b2, . . . musí platit
a′
0(t) = F0(t), a0(0) = Φ0,
a′
k(t) +
2kπa
ℓ
2
ak(t) = Fk(t), ak(0) = Φk, k = 1, 2, . . . ,
b′
k(t) +
2kπa
ℓ
2
bk(t) = Hk(t), Bk(0) = Ψk, k = 1, 2, . . ..
63
To jsou počáteční úlohy pro obyčejné lineární diferenciální rovnice. Jejich řešení je
ak(t) = Φke−(2kπa
ℓ )2
t
+
t
0
Fk(s)e−(2kπa
ℓ )2
(t−s)
ds, k = 0, 1, 2, . . .,
bk(t) = Ψke−(2kπa
ℓ )
2
t
+
t
0
Hk(s)e−(2kπa
ℓ )
2
(t−s)
ds, k = 1, 2, . . ..
Tyto funkce dosadíme do tvaru (2.50) řešení dané úlohy. Po úpravě dostaneme
u(t, x) =
Φ0
2
+
∞
k=1
e−(2kπa
ℓ )2
t
Φk cos
2kπ
ℓ
x + Ψk sin
2kπ
ℓ
x +
+
t
0
F0(σ)
2
+
∞
k=1
e−(2kπa
ℓ )2
(t−σ)
Fk(σ) cos
2kπ
ℓ
x + Hk(σ) sin
2kπ
ℓ
x dσ.
Výsledek vyjádříme jen pomocí objektů, které jsou v zadání úlohy, tj. konstanty a a funkcí ϕ, f.
Jinak řečeno, do pravé strany předchozí rovnosti dosadíme vyjádření (2.48) a (2.49) koeficientů
Φk, Ψk a funkcí Fk, Hk. Po úpravě (přehození integrálu a sumace) dostaneme
u(t, x) =
ℓ
0
ϕ(ξ)
1
ℓ
+
2
ℓ
∞
k=1
e−(2kπa
ℓ )2
t
cos
2kπ
ℓ
ξ cos
2kπ
ℓ
x + sin
2kπ
ℓ
ξ sin
2kπ
ℓ
x dξ+
+
t
0


ℓ
0
f(σ, ξ)
1
ℓ
+
2
ℓ
∞
k=1
e−(2kπa
ℓ )2
(t−σ)
cos
2kπ
ℓ
ξ cos
2kπ
ℓ
x + sin
2kπ
ℓ
ξ sin
2kπ
ℓ
x dξ

 dσ.
Tento výsledek ještě upravíme pomocí součtového vzorce na tvar
u(t, x) =
ℓ
0
ϕ(ξ)
1
ℓ
+
2
ℓ
∞
k=1
e−(2kπa
ℓ )2
t
cos
2kπ
ℓ
(x − ξ) dξ+
+
t
0


ℓ
0
f(σ, ξ)
1
ℓ
+
2
ℓ
∞
k=1
e−(2kπa
ℓ )
2
(t−σ)
cos
2kπ
ℓ
(x − ξ) dξ

 dσ.
Dosažený výsledek lze zapsat v přehlednějším tvaru: Řešení úlohy (2.42), (2.43), (2.21) je dáno
součtem integrálů
u(t, x) =
ℓ
0
ϕ(ξ)G(x, ξ, t)dξ +
t
0


ℓ
0
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξ

 dσ, (2.51)
kde funkce G : R2
× (0, ∞) → R daná výrazem
G(x, ξ, t) =
1
ℓ
1 + 2
∞
k=1
e−(2kπa
ℓ )2
t
cos
2kπ
ℓ
(x − ξ)
je tzv. funkce vlivu okamžitého bodového zřídla nebo zdroje3
, stručně zřídlová nebo zdrojová funkce,
také Greenova funkce nebo fundamentální řešení.
3Pokud rovnici (2.41) interpretujeme jako model vedení tepla v nějakém prstenci, pak funkce G( · , ξ, t) udává
rozložení teploty v časovém okamžiku t, vzniká-li v tomto okamžiku v bodě ξ jisté množství tepla.
64
Řešení (2.51) dané úlohy vyšlo jako součet řešení homogenní rovnice (2.41) s nenulovou počáteční
podmínkou (2.43) a řešení nehomogenní rovnice (2.42) s nulovou počáteční podmínkou
(2.44); jedná se tedy o zvláštní případ obecného výsledku (2.47).
Ještě si povšimněme několika vlastností funkce G, které jsou bezprostředně evidentní, nebo je
lze ověřit přímým výpočtem.
• Funkce G je spojitá na množině R2
× (0, ∞).
• Je symetrická v prvních dvou proměnných, tj. G(x, ξ, t) = G(ξ, x, t) pro všechny trojice
(x, ξ, t) ∈ R2
× (0, ∞).
• Funkce jedné proměnné G( · , ξ, t) má spojité derivace druhého řádu pro všechny dvojice
parametrů (ξ, t) ∈ R × (0, ∞).
• Funkce dvou proměnných G( · , ξ, · ), je pro všechna ξ ∈ R řešením rovnice (2.41), které
splňuje podmínku periodičnosti (2.21) pro každou hodnotu t > 0.
• Pro všechny hodnoty x, ξ ∈ R platí
lim
t→∞
G(x, ξ, t) =
1
ℓ
.
Z poslední uvedené vlastnosti funkce G plyne, že pro řešení u = u(t, x) homogenní parabolické
rovnice (2.41) s počáteční podmínkou (2.43), které splňuje podmínku periodičnosti (2.21), platí
lim
t→∞
u(t, x) =
1
ℓ
ℓ
0
ϕ(ξ)dξ.
Řešení konverguje pro t → ∞ ke konstantní funkci. Pokud tedy úlohu (2.41), (2.43), (2.21) interpretujeme
jako model difúze nějaké látky v uzavřeném prstenci délky ℓ, dostáváme, že po dostatečně
dlouhém čase se difundující látka stejnoměrně rozptýlí po prstenci a její lineární hustota bude
podílem její celkové hmotnosti a délky prstence. To není nikterak překvapivý výsledek; ukazuje
však, že se model chová realisticky.
2.2.4 Parabolická rovnice na přímce
Budeme hledat řešení homogenní rovnice (2.41) nebo rovnice nehomogenní (2.42), které je definováno
na množině [0, ∞) × R a pro x ∈ R splňuje počáteční podmínku (2.43). Navíc budeme
požadovat, aby řešení splnilo podmínky
0
−∞
u(t, x) dx < ∞,
∞
0
u(t, x) dx < ∞ (2.52)
pro t > 0.
O počáteční funkci ϕ a o nehomogenitě f budeme předpokládat, že mají po částech spojitou
derivaci a splňují podobné podmínky
0
−∞
|ϕ(x)|dx < ∞,
∞
0
|ϕ(x)|dx < ∞, (2.53)
0
−∞
|f(t, x)|dx < ∞,
∞
0
|f(t, x)|dx < ∞, pro všechna t ≥ 0. (2.54)
Jinak řečeno, funkce ϕ, f(t, · ) a u(t, · ) jsou v definičním oboru Fourierovy transformace pro
každou hodnotu t > 0; viz Dodatek A.2.
65
Homogenní rovnice s nenulovou počáteční podmínkou
Úlohu (2.41), (2.43), (2.52) můžeme podle předpokladu (2.53) nejprve transformovat na Fourierův
obraz a pak hledat obraz (spektrum) jejího řešení. Tento způsob hledání řešení bývá nazýván
metoda Fourierovy transformace.
Při transformaci úlohy čas t zafixujeme, budeme ho považovat za parametr. Fourierův obraz
funkce u(t, · ) je komplexní funkce jedné reálné proměnné definovaná předpisem
F u(t, · ) (ξ) =
∞
−∞
u(t, x)e−ixξ
dx;
tuto hodnotu budeme stručně označovat symbolem ˆu(t, ξ). Fourierův obraz derivace podle parametru
t je
F
∂
∂t
u(t, · ) (ξ) =
∞
−∞
∂u(t, x)
∂t
e−ixξ
dx =
∂
∂t
∞
−∞
u(t, x)e−ixξ
dx =
∂
∂t
ˆu(t, ξ).
Poněvadž Fourierova transformace převádí derivaci na násobení výrazem iξ (sr. formuli (A.1) a
její odvození), je Fourierův obraz druhé derivace funkce u(t, · ) roven
F
∂2
∂x2
u(t, · ) (ξ) = (iξ)2
ˆu(t, ξ) = −ξ2
ˆu(t, ξ).
Fourierův obraz rovnice (2.41) a počáteční podmínky (2.43) je tedy tvaru
∂
∂t
ˆu(t, ξ) = −a2
ξ2
ˆu(t, ξ), ˆu(0, ξ) = ˆϕ(ξ), (2.55)
kde ˆϕ je Fourierův obraz počáteční funkce ϕ.
Nyní budeme na chvíli považovat proměnnou ξ za parametr a čas t za nezávisle proměnnou, tj.
na rovnosti (2.55) se budeme dívat jako na počáteční úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici, kde
hledanou funkcí je funkce ˆu( · , ξ). Jedná se o úlohu pro lineární homogenní rovnici s konstantním
koeficientem, její řešení je dáno formulí
ˆu(t, ξ) = ˆϕ(ξ)e−a2
ξ2
t
.
To je současně Fourierův obraz řešení počáteční úlohy (2.41), (2.43). Označme ještě
ˆg(t, ξ) = e−a2
ξ2
t
(2.56)
a Fourierův obraz řešení úlohy (2.41), (2.43) dostáváme ve tvaru
ˆu(t, ξ) = ˆϕ(ξ)ˆg(t, ξ).
Vzhledem k souvislosti Fourierovy transformace a konvoluce funkcí (A.3) můžeme nyní řešení
úlohy (2.41), (2.43) zapsat ve tvaru
u(t, x) = ϕ ∗ g(t, · ) (x). (2.57)
Reálná funkce g(t, · ) je vzorem spektrální funkce ˆg(t, · ) dané formulí (2.56). Získáme ji tedy
inversní Fourierovou transformací (A.2):
g(t, x) =
1
2π
∞
−∞
e−a2
ξ2
t
eixξ
dξ.
66
Pravou stranu nejprve upravíme
1
2π
∞
−∞
e−a2
ξ2
t
eixξ
dξ =
1
2π


∞
−∞
e−a2
ξ2
t
cos xξdξ + i
∞
−∞
e−a2
ξ2
t
sin xξdξ

 =
1
π
∞
0
e−a2
ξ2
t
cos xξdξ,
neboť integrovaná funkce v imaginární části je lichá a integrovaná funkce v reálné části je sudá.
Ve výsledném integrálu zavedeme substituci a označení
η =
√
a2t ξ, q =
x
√
a2t
.
Dostaneme
∞
0
e−a2
ξ2
t
cos xξdξ =
1
√
a2t
∞
0
e−η2
cos qηdη.
Poslední integrál označíme I(q). Tedy
I(q) =
∞
0
e−η2
cos qηdη,
zejména pro q = 0 platí
I(0)2
=
∞
0
e−η2
dη
∞
0
e−ξ2
dξ =
[0,∞)2
e−η2
−ξ2
dηdξ =
π
2
0
∞
0
re−r2
drdφ =
=
π
2

−
1
2
∞
0
−2re−r2
dr

 = −
π
4
e−r2 ∞
r=0
=
π
4
, tj. I(0) =
√
π
2
;
při výpočtu dvojného integrálu jsme použili transformaci do polárních souřadnic. Dále derivováním
podle parametru q obdržíme
d
dq
I(q) =
d
dq
∞
0
e−η2
cos qηdη =
∞
0
e−η2
(−η sin qη)dη =
1
2
∞
0
−2ηe−η2
sin qηdη =
=
1
2

 e−η2
sin qη
∞
η=0
− q
∞
0
e−η2
cos qηdη

 = −
q
2
I(q).
Integrál I(q) je tedy řešením počáteční úlohy pro obyčejnou lineární homogenní diferenciální rov-
nici
d
dq
I = −
q
2
I, I(0) =
√
π
2
,
to znamená, že
I(q) =
√
π
2
e− q2
4 .
Návratem k proměnné x dostaneme vyjádření funkce g,
g(t, x) =
1
π
1
√
a2t
I
x
√
a2t
=
1
2
√
πa2t
exp −
x2
4a2t
. (2.58)
Nyní můžeme uzavřít, že řešení počáteční úlohy (2.41), (2.43) je dáno formulí (2.57), kde funkce
g je definována rovností (2.58), po dosazení tedy
u(t, x) =
1
2
√
πa2t
∞
−∞
ϕ(ξ) exp −
(x − ξ)2
4a2t
dξ.
67
Pro zjednodušení zápisu ještě zavedeme funkci G (opět jí budeme říkat zřídlová funkce) předpisem
G(x, ξ, t) =
1
2
√
πa2t
exp −
(x − ξ)2
4a2t
(2.59)
a řešení úlohy vyjádříme jako nevlastní integrál
u(t, x) =
∞
−∞
ϕ(ξ)G(x, ξ, t)dξ. (2.60)
Úlohu můžeme mírně zobecnit. Budeme hledat řešení rovnice (2.41) pro t > σ a x ∈ R, kde σ
je nějaké reálné číslo. Počáteční podmínku (2.43) v takovém případě nahradíme podmínkou
u(σ, x) = ϕ(x). (2.61)
Nechť funkce u je řešením takové úlohy. Položíme
v(t, x) = u(t + σ, x).
Funkce v je tedy definovaná pro t ≥ 0, x ∈ R a splňuje podmínky
∂v
∂t
(t, x) =
∂u
∂t
(t + σ, x),
∂2
v
∂x2
(t, x) =
∂2
u
∂x2
(t + σ, x), v(0, x) = u(σ, x) = ϕ(x).
To znamená, že funkce v je řešením úlohy (2.41), (2.43) a je tedy dána integrálem na pravé straně
rovnosti (2.60). Poněvadž u(t, x) = v(t − σ, x), je řešení rovnice (2.41) na množině t ≥ σ, x ∈ R,
které splňuje počáteční podmínku (2.61) dáno nevlastním integrálem
u(t, x) =
∞
−∞
ϕ(ξ)G(x, ξ, t − σ)dξ. (2.62)
Nehomogenní rovnice s nulovou počáteční podmínkou
Podle 2.2.2 má rovnice (2.42) s počáteční podmínkou (2.44) řešení tvaru (2.45) a funkce w je
řešením úlohy (2.46) s J = (−∞, ∞). Podle předpokladu (2.54) a výpočtů v předchozí části,
konkrétně podle vztahu (2.62), je funkce w splňující rovnosti (2.46) dána nevlastním integrálem
w(t, x, σ) =
∞
−∞
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξ.
Dosazením takto definované funkce w do vztahu (2.45) dostaneme řešení úlohy pro nehomogenní
rovnici (2.42) s nulovou počáteční podmínkou (2.44) ve tvaru dvojnásobného integrálu
u(t, x) =
t
0


∞
−∞
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξ

 dσ, (2.63)
kde funkce G je definována předpisem (2.59).
Nehomogenní rovnice s nenulovou počáteční podmínkou
Uvažujme nehomogenní rovnici (2.42) s počáteční podmínkou (2.43) takovou, že funkce ϕ splňuje
podmínky (2.53). Takto formulovaná úloha má podle 2.2.2 řešení u = u(t, x) tvaru (2.47), kde
funkce v je řešením homogenní rovnice (2.41) s počáteční podmínkou (2.43) a funkce w je řešením
68
nehomogenní rovnice (2.42) s počáteční podmínkou (2.44). Podle předchozích výsledků je funkce
v dána nevlastním integrálem na pravé straně rovnosti (2.60), funkce w je dána dvojnásobným
integrálem na pravé straně rovnosti (2.63). Celkem tak dostáváme, že řešení počáteční úlohy (2.42),
(2.43) je dáno součtem
u(t, x) =
∞
−∞
ϕ(ξ)G(x, ξ, t)dξ +
t
0


∞
−∞
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξ

 dσ, (2.64)
kde funkce G je definována předpisem (2.59).
Ještě ukážeme, že toto řešení počáteční úlohy (2.42), (2.43) je jediné ve třídě funkcí, jejichž
„prostorová část u(t, · ) je v definičním oboru Fourierovy transformace. Předpokládejme proto,
že funkce u1 = u1(t, x) a u2 = u2(t, x) jsou dvě řešení počáteční úlohy splňující podmínky pro
Fourierovu transformaci. Položme u = u1 − u2. Pak funkce u je ze stejné třídy funkcí a splňuje
rovnosti
∂u
∂t
(t, x) =
∂u1
∂t
(t, x) −
∂u2
∂t
(t, x) =
= a2 ∂2
u1
∂x2
(t, x) + f(t, x) − a2 ∂2
u2
∂x2
(t, x) + f(t, x) = a2 ∂2
u
∂x2
(t, x),
u(0, x) = u1(0, x) − u2(0, x) = ϕ(x) − ϕ(x) = 0,
takže funkce u = u(t, x) je řešením úlohy
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
, pro t > 0, x ∈ R,
u(0, x) = 0, pro x ∈ R.
Přitom je funkce u(t, · ) v definičním oboru Fourierovy transformace. Z výpočtů provedených dříve
plyne, že tato funkce u je definována formulí (2.60) s ϕ ≡ 0, tedy u ≡ 0. To znamená, že funkce
u1 a u2 splývají na svém definičním oboru.
Příklad
Najdeme řešení rovnice
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
+ ru
na oblasti {(t, x) : t > 0, x ∈ R}, které splňuje počáteční podmínku
u(0, x) =
α, |x| < 1
2 ε,
0, jinak,
kde ε > 0.
Nejprve se zbavíme reakčního členu ru na pravé straně rovnice tak, že zavedeme novou neznámou
funkci v = v(t, x) vztahem
v(t, x) = e−rt
u(t, x),
tj. provedeme speciální případ transformace rovnice na kanonický tvar uvedené v 2.2.1. Pak je
u(t, x) = ert
v(t, x),
∂u
∂t
(t, x) =
∂v
∂t
(t, x) + rv(t, x) ert
,
∂2
u
∂x2
(t, x) =
∂2
v
∂x2
(t, x)ert
a po dosazení do rovnice dostaneme
∂v
∂t
(t, x) + rv(t, x) ert
= a2 ∂2
v
∂x2
(t, x)ert
+ rv(t, x)ert
.
69
Výraz ert
je nenulový, proto ho můžeme vykrátit. Funkce v je tedy řešením homogenní rovnice
∂v
∂t
= a2 ∂2
v
∂x2
s počáteční podmínkou
v(0, x) = u(0, x)er·0
=
α, |x| < 1
2 ε,
0, jinak.
Podle (2.60) a (2.59) je funkce v dána integrálem
v(t, x) =
α
2
√
πa2t
1
2 ε
− 1
2 ε
e− (x−ξ)2
4a2t dξ.
Zavedeme v něm substituci
η =
x − ξ
√
2a2t
, dξ = −
√
2a2tdη.
Pak je
v(t, x) =
α
√
2π
2x+ε
2
√
2a2t
2x−ε
2
√
2a2t
e− η2
2 dη = α Φ
2x + ε
2
√
2a2t
− Φ
2x − ε
2
√
2a2t
,
kde Φ je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Dostáváme tak řešení dané úlohy
u(t, x) = ert
v(t, x), tj.
u(t, x) = α Φ
2x + ε
2
√
2a2t
− Φ
2x − ε
2
√
2a2t
ert
.
V počáteční podmínce nyní zvolíme speciálně α =
A
ε
. Pak je
∞
−∞
u(0, x)dx =
A
ε
1
2 ε
− 1
2 ε
dx = A
pro každé ε > 0. Pokud tedy danou rovnici interpretujeme jako model autokatalytické reakce
(rychlost tvorby reagující látky je úměrná jejímu množství) a difúze, je počáteční množství difundující
látky rovno A a toto množství je koncentrováno v malém okolí počátku, na intervalu
délky ε. Pro ε → 0 proto můžeme počáteční funkci považovat za distribuci, tj. zobecněnou funkci,
konkrétně za A-násobek Diracovy distribuce. Dále platí
lim
ε→0
A
ε
Φ
2x + ε
2
√
2a2t
− Φ
2x − ε
2
√
2a2t
=
=
A
√
2a2t
lim
ε→0
Φ
x
√
2a2t
+
ε
2
√
2a2t
− Φ
x
√
2a2t
−
ε
2
√
2a2t
ε
√
2a2t
=
=
A
√
2a2t
lim
η→0
Φ
x
√
2a2t
+
η
2
− Φ
x
√
2a2t
−
η
2
η
=
A
√
2a2t
Φ′ x
√
2a2t
,
70
a poněvadž derivace distribuční funkce normovaného normálního rozložení pravděpodobnosti je
hustotou tohoto rozdělení, dostáváme řešení dané úlohy pro ε → 0 ve tvaru
u(t, x) =
A
√
2a2t
1
√
2π
e− x2
2·2a2t ert
=
A
2
√
a2πt
ert− x2
4a2t . (2.65)
Pro r = 0 dostáváme řešení ve stejném tvaru, jaký mělo „uhodnuté řešení (2.26) úlohy (2.22),
(2.24).
Podívejme se ještě na interpretaci získaného výsledku. Funkce u daná rovností (2.65) je kladná
pro každé t > 0 a každé x ∈ R. Jinak řečeno, za libovolně krátký čas a v libovolně velké vzdálenosti
od počátku je koncentrace difundující látky nenulová. To by znamenalo, že nějaké částice látky se
pohybují nekonečnou rychlostí, což samozřejmě není fyzikálně možné. Toto pozorování ukazuje, že
zjednodušující předpoklady přijaté při vytváření modelu vedou k jeho neadekvátnosti. Fyzikální
nesprávnost modelu je však jen teoretická. Vzhledem k tomu, že exponenciální funkce ex2
s rostoucí
hodnotou x velice rychle klesá k nule, je nenulová koncentrace v dostatečné vzdálenosti od počátku
prakticky nedetekovatelná.
Pokusme se stanovit pozorovatelnou rychlost, jakou se v prostředí šíří difundující látka vznikající
autokatylytickou rekcí. Nechť δ označuje minimální koncentraci látky, kterou lze v prostředí
detekovat, a R = R(t) časově závislou vzdálenost od počátku, v níž je koncentrace rovna hodnotě
δ, tj. u t, R(t) = δ. Dosazením do (2.65) dostaneme
δ =
Aert
2
√
a2πt
exp −
R(t)2
4a2t
.
Z této rovnice vyjádříme
R(t)2
t2
= 4a2
r −
2a2
t
ln
4πa2
δ2
t
A2
a dále
lim
t→∞
R(t)
t
2
= 4a2
r.
Odtud plyne, že pro dostatečně velký čas t je
R(t) ≈ 2
√
a2r t, (2.66)
což znamená, že pozorovatená rychlost šíření látky je přibližně konstantní a rovna 2
√
a2r.
Vlastnosti zřídlové funkce
Funkce G : R2
× (0, ∞) → (0, ∞) definovaná vztahem (2.59) má evidentně následující vlastnosti:
• Je spojitá na svém definičním oboru.
• Je symetrická v prvních dvou proměnných, tj. G(x, ξ, t) = G(ξ, x, t) pro všechny trojice
(x, ξ, t) ∈ R2
× (0, ∞).
• Funkce G( · , ξ, t) (tj. funkce G chápaná jako funkce jedné proměnné x se dvěma parametry
ξ a t) má spojité derivace druhého řádu pro všechny hodnoty (ξ, t) ∈ R × (0, ∞).
• Funkce G( · , ξ, · ) je pro všechna ξ ∈ R řešením rovnice (2.41), které splňuje podmínky
integrovatelnosti
0
−∞
G(x, ξ, t) dx < ∞,
−∞
0
G(x, ξ, t) dx < ∞
pro každou hodnotu t.
71
• Pro jakékoliv hodnoty ξ ∈ R a t > 0 platí lim
t→∞
G(x, ξ, t) = 0.
• Funkce jedné proměnné G(0, · , t) je pro jakoukoliv hodnotu t sudá.
• Funkce jedné proměnné
∂G
∂x
(0, · , t), tj. funkce daná předpisem
∂G
∂x
(0, ξ, t) =
ξ
4 π(a2t)3
exp −
ξ2
4a2t
je lichá pro jakoukoliv hodnotu t.
Z posledních dvou vlastností, z toho, že součin sudé a liché funkce je funkce lichá a že integrál
z liché funkce na intervalu symetrickém kolem nuly je roven nule, plyne:
Tvrzení 4. Jsou-li ψ, χ : R → R ohraničené funkce integrabilní na každém kompaktním intervalu,
přičemž funkce ψ je lichá a funkce χ je sudá, pak pro funkce v, w definované vztahy
v(t, x) =
∞
−∞
ψ(ξ)G(x, ξ, t)dξ, w(t, x) =
∞
−∞
χ(ξ)G(x, ξ, t)dξ
platí
v(t, 0) =
∞
−∞
ψ(ξ)G(0, ξ, t)dξ = 0,
∂w
∂x
(t, 0) =
∞
−∞
χ(ξ)
∂G
∂x
(0, ξ, t)dξ = 0.
2.2.5 Parabolická rovnice na polopřímce
Budeme hledat řešení nehomogenní parabolické rovnice (2.42) definované na oboru [0, ∞)×[0, ∞),
které splňuje podmínku integrovatelnosti
∞
0
u(t, x) dx < ∞ (2.67)
a pro každé x > 0 počáteční podmínku (2.43). O počáteční funkci ϕ a nehomogenitě f budeme
předpokládat, že splňují „pravou část podmínek integrovatelnosti (2.53) a (2.54). K řešení těchto
úloh využijeme výsledky získané při řešení parabolických rovnic na přímce metodou Fourierovy
transformace v 2.2.4.
Úlohy s nulovou okrajovou podmínkou
Budeme požadovat, aby řešení úlohy (2.42), (2.43), (2.67) v levém krajním bodě intervalu [0, ∞)
proměnné x splňovalo pro každou hodnotu t ≥ 0 Dirichletovu
u(t, 0) = 0 (2.68)
nebo Neumannovu
∂u
∂x
= 0 (2.69)
nulovou (homogenní) podmínku.
Tvrzení 4 ukazuje, jak tyto úlohy řešit. Při řešení rovnice (2.42) s počáteční podmínkou (2.43)
pro x > 0 a okrajovými podmínkami (2.67), (2.68) pro t > 0 prodloužíme počáteční funkci ϕ a
nehomogenitu f(t, · ) na celý interval (−∞, ∞) tak, aby to byly funkce liché. Položíme tedy
˜ϕ(x) =
ϕ(x), x ≥ 0,
−ϕ(−x), x < 0,
, ˜f(t, x) =
f(t, x), x ≥ 0,
−f(t, −x), x < 0,
, pro libovolné t ≥ 0.
72
Řešení úlohy (2.42), (2.43), (2.67), (2.68) je pak podle (2.64) dáno formulí
u(t, x) =
∞
−∞
˜ϕ(ξ)G(x, ξ, t)dξ +
t
0


∞
−∞
˜f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξ

 dσ.
Tento výsledek ještě upravíme tak, aby ve vyjádření řešení byly pouze funkce vystupující v zadání
úlohy, tj. „funkce bez vlnek . Pro libovolnou ohraničenou lokálně integrovatelnou lichou funkci ψ
platí
∞
−∞
ψ(ξ)G(x, ξ, t)dξ = −
0
−∞
ψ(−ξ)G(x, ξ, t)dξ +
∞
0
ψ(ξ)G(x, ξ, t)dξ =
= −
∞
0
ψ(ξ)G(x, −ξ, t)dξ +
∞
0
ψ(ξ)G(x, ξ, t)dξ =
∞
0
ψ(ξ) G(x, ξ, t) − G(x, −ξ, t) dξ.
Poněvadž
G(x, ξ, t) − G(x, −ξ, t) =
1
2
√
πa2t
exp −
(x − ξ)2
4a2t
− exp −
(x + ξ)2
4a2t
=
=
1
2
√
πa2t
exp −
x2
+ ξ2
4a2t
exp
2xξ
4a2t
− exp
−2xξ
4a2t
=
1
√
πa2t
exp −
x2
+ ξ2
4a2t
sinh
xξ
2a2t
,
můžeme řešení úlohy
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
+ f(t, x), t > 0, x > 0,
u(0, x) = ϕ(x), x > 0,
u(t, 0) = 0,
∞
0
u(t, x) dx < ∞, t > 0
psát ve tvaru
u(t, x) =
∞
0
ϕ(ξ)GD(x, ξ, t)dξ +
t
0


∞
0
f(σ, ξ)GD(x, ξ, t − σ)dξ

 dσ, (2.70)
kde
GD(x, ξ, t) =
1
√
πa2t
exp −
x2
+ ξ2
4a2t
sinh
xξ
2a2t
.
Analogickým postupem (funkce ϕ a f(t, · ) prodloužíme na interval (−∞, ∞) tak, aby se z nich
staly funkce sudé) odvodíme, že řešení úlohy
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
+ f(t, x), t > 0, x > 0,
u(0, x) = ϕ(x), x > 0,
∂u
∂x
(t, 0) = 0,
∞
0
u(t, x) dx < ∞, t > 0,
tj. úlohy s Neumannovou okrajovou podmínkou v levém krajním bodě, je tvaru
u(t, x) =
∞
0
ϕ(ξ)GN (x, ξ, t)dξ +
t
0


∞
0
f(σ, ξ)GN (x, ξ, t − σ)dξ

 dσ, (2.71)
73
kde
GN (x, ξ, t) =
1
√
πa2t
exp −
x2
+ ξ2
4a2t
cosh
xξ
2a2t
.
Snadno nahlédneme, že funkce GD, GN : (0, ∞)3
→ [0, ∞) mají následující vlastnosti:
• Jsou spojité na svém definičním oboru.
• Jsou symetrické v prvních dvou proměnných.
• Funkce GN ( · , ξ, t) a GD( · , ξ, t) mají spojité derivace druhého řádu pro všechny dvojice
parametrů (ξ, t) ∈ (0, ∞) × (0, ∞).
• Funkce GD( · , ξ, · ), resp. GN ( · , ξ, · ), je pro všechna ξ ∈ (0, ∞) řešením rovnice (2.41), které
splňuje okrajové podmínky (2.67) a (2.68), resp. (2.69), pro každou hodnotu t.
• Pro jakékoliv hodnoty x, ξ ≥ 0 platí lim
t→∞
GD(x, ξ, t) = 0 = lim
t→∞
GN (x, ξ, t).
Úlohy s nenulovou okrajovou podmínkou
Budeme hledat řešení úlohy (2.42), (2.43), (2.67) na oboru [0, ∞) × [0, ∞), které navíc splňuje
nenulovou (nehomogenní) Dirichletovu
u(t, 0) = µ(t) (2.72)
nebo Neumannovu
∂u
∂x
= ν(t) (2.73)
podmínku; přitom µ, ν jsou nějaké funkce definované skoro všude na intervalu [0, ∞) a na tomto
intervalu integrovatetelné; funkce µ je navíc skoro všude diferencovatelná . Řešení budeme hledat
ve tvaru u(t, x) = U(t, x) + v(t, x), kde funkce U je skoro všude diferencovatelná podle první
proměnné a dvakrát diferencovatelná podle druhé a splňuje příslušnou okrajovou podmínku, funkce
v je zatím neurčená. Pak platí
∂u
∂t
=
∂U
∂t
+
∂v
∂t
,
∂2
u
∂x2
=
∂2
U
∂x2
+
∂2
v
∂x2
, u(0, x) = U(0, x) + v(0, x).
Po dosazení do rovnice a počáteční podmínky
∂v
∂t
= a2 ∂2
v
∂x2
+ f + a2 ∂2
U
∂x2
−
∂U
∂t
, v(0, x) = ϕ(x) − U(0, x)
dostaneme, že funkce v = v(t, x) je řešením úlohy
∂v
∂t
= a2 ∂2
v
∂x2
+ ˜f(t, x), t > 0, x > 0,
v(0, x) = ˜ϕ(x), x > 0
s nulovou Dirichletovou nebo Neumannovou podmínkou. Přitom funkce ˜ϕ a ˜f jsou dány výrazy
˜ϕ(x) = ϕ(x) − U(0, x), ˜f(t, x) = f(t, x) + a2 ∂2
U
∂x2
(t, x) −
∂U
∂t
(t, x).
Snadno ověříme, že funkce U daná vztahem
U(t, x) = e−x
µ(t) (2.74)
74
splňuje Dirichletovu podmínku (2.72). V takovém případě je
˜ϕ(x) = ϕ(x) − µ(0)e−x
, ˜f(t, x) = f(t, x) + a2
µ(t) − µ′
(t) e−x
.
Pokud tedy funkce ϕ a f(t, · ) splňují podmínky integrovatelnosti (2.53) a (2.54), pak také funkce
˜ϕ a ˜f(t, · ) splňují tytéž podmínky. To znamená, že funkce v je řešením známé úlohy; je dáno
formulí (2.70), v níž jsou funkce ϕ a f psána s vlnkou.
Funkce U daná vztahem
U(t, x) = xe−x
ν(t) (2.75)
splňuje Neumannovu podmínku (2.73). V tomto případě je
˜ϕ(x) = ϕ(x), ˜f(t, x) = a2
(x − 2)ν(t) − xν′
(t) e−x
a funkce v je dána formulí (2.71), v níž píšeme˜nad symboly ϕ a f.
Volit funkci U splňující nehomogenní okrajovou podmínku pomocí rovnosti (2.74) nebo (2.75)
je jen jednou z obecných možností. V konkrétních úlohách může tvar nehomogenity napovědět
„vhodnější tvar funkce U; „vhodnost může spočívat v tom, že nehomogenita ˜f v rovnici pro
neznámou funkci v je nějakým způsobem jednoduchá (nejlépe nulová), nebo v tom, že funkci U
lze nějak (např. fyzikálně) interpretovat.
Příklad
Uvažujme úlohu
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
, t > 0, x > 0,
u(0, x) = 0, x > 0,
u(t, 0) = sin t,
∞
0
|u(t, x)|dx < ∞, t > 0.
Tuto úlohu můžeme interpretovat jako popis vedení tepla v dlouhé tyči, která je na povrchu izolovaná,
na počátku má nulovou teplotu a na jednom konci ji periodicky zahříváme a ochlazujeme.
Lze očekávat, že v každém bodě tyče se bude teplota měnit se stejnou periodou. Ovšem vliv kolísání
teploty na konci tyče na teplotu ve vzdálenosti x od něho se projeví s nějakým zpožděním,
které je tím větší, čím je vzdálenost x větší; v nejjednodušším případě by zpoždění mohlo být
vzdálenosti přímo úměrné. Amplituda kolísání teploty se musí s rostoucí vzdáleností od konce
zmenšovat, a to tak, aby byla splněna podmínka integrovatelnosti. Tato úvaha vede k nápadu, že
funkce U by mohla být tvaru
U(t, x) = e−αx
sin(t − βx),
kde α, β jsou zatím neurčené kladné konstanty. Při této volbě je
∂U
∂t
(t, x) = e−αx
cos(t − βx),
∂2
U
∂x2
(t, x) = e−αx
(α2
− β2
) sin(t − βx) + 2αβ cos(t − βx) ,
takže
a2 ∂2
U
∂x2
(t, x) −
∂U
∂t
(t, x) = e−αx
a2
(α2
− β2
) sin(t − βx) + (2a2
αβ − 1) cos(t − βx) .
Aby byl poslední výraz nulový, budeme požadovat α2
= β2
, 2a2
αβ = 1, tedy zvolíme
α = β =
1
2a2
, U(t, x) = exp −
x
√
2a2
sin t −
x
√
2a2
.
75
Dostáváme tak řešení dané úlohy ve tvaru u(t, x) = U(t, x) + v(t, x), kde v je řešením počáteční
úlohy pro homogenní parabolickou rovnici na polopřímce s homogenními okrajovými podmínkami
∂v
∂t
= a2 ∂2
v
∂x2
, t > 0, x > 0,
v(0, x) = exp −
x
√
2a2
sin
x
√
2a2
, x > 0,
v(t, 0) = 0,
∞
0
|v(t, x)|dx < ∞, t > 0.
Podle (2.70) je tedy řešení úlohy dáno formulí
u(t, x) = exp −
x
√
2a2
sin t −
x
√
2a2
+
+
1
√
πa2t
∞
0
exp −
x2
+ ξ2
4a2t
−
ξ
√
2a2
sin
ξ
√
2a2
cosh
xξ
2a2t
dξ.
Ještě si můžeme povšimnut, že
lim
t→∞
u(t, x) − U(t, x) = 0;
řešení dané úlohy je asymptoticky ekvivalentní s „uhodnutou funkcí U. V odstavci 2.2.8 uvidíme,
že funkce U vyjadřuje speciální případ prvních dvou Fourierových zákonů vedení tepla.
2.2.6 Parabolická rovnice na úsečce
Nyní budeme hledat řešení parabolické rovnice homogenní (2.41) nebo nehomogenní (2.42) na
oboru {(t, x) : t > 0, 0 < x < ℓ}. O hledané funkci u budeme předpokládat, že pro každou hodnotu
x ∈ (0, ℓ) splňuje počáteční podmínku (2.43). Dále budeme pro t > 0 požadovat splnění
homogenních (2.19) nebo nehomogenních (2.20) Newtonových okrajových podmínek v krajních
bodech intervalu (0, ℓ). Takovou úlohu můžeme interpretovat jako model difúze ve válci konečné
délky ℓ nebo jako model vedení tepla v tyči délky ℓ.
Základní myšlenkou při řešení těchto úloh je oddělení času a prostorové proměnné, tj. předpoklad,
že řešení lze hledat ve tvaru součinu dvou funkcí, z nichž jedna závisí pouze na čase t a
druhá pouze na prostorové proměnné x. Podle tohoto postupu se tato metoda nazývá separace
proměnných, podle svého objevitele se nazývá Fourierova metoda.
Užití metody nejprve ukážeme na jednodušší úloze – řešení rovnice s Dirichletovými okrajovými
podmínkami. K jejímu řešení stačí znalost základů teorie Fourierových řad. Pro řešení úlohy
s obecnými Newtonovými okrajovými podmínkami se využívá Sturmova teorie řešení okrajových
úloh pro obyčejné lineární diferenciální rovnice druhého řádu, viz Dodatek A.3.
Dirichletova úloha
Uvažujme nejprve úlohu pro homogenní rovnici s nulovými Dirichletovými okrajovými podmín-
kami
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
, t > 0, x ∈ (0, ℓ),
u(0, x) = ϕ(x), x ∈ (0, ℓ),
u(t, 0) = 0 = u(t, ℓ), t > 0.
(2.76)
O počáteční funkci ϕ budeme předpokládat, že je nenulová4
. Pak také řešení u musí být nenulová
funkce.
4Poznamenejme, že počáteční funkce ϕ nemusí splňovat okrajovou podmínku ϕ(0) = 0 = ϕ(ℓ), poněvadž po
řešení nepožadujeme, aby splňovalo rovnici a podmínky všude, ale stačí, aby je splňovalo skoro všude, sr. str. 60.
76
Řešení úlohy (2.76) budeme hledat ve tvaru součinu funkcí, z nichž jedna závisí pouze na čase
t a druhá pouze na prostorové proměnné x, tj.
u(t, x) = T (t)X(x);
obě funkce T , X musí být nenulové. Toto vyjádření dosadíme do řešené rovnice. Dostaneme
T ′
X = a2
T X′′
,
kde ′
označuje obyčejnou derivaci funkce podle její jediné proměnné. Tuto rovnost vydělíme součinem
a2
T X,
T ′
a2T
=
X′′
X
.
Výraz na levé straně závisí pouze na proměnné t, výraz na pravé straně pouze na proměnné x.
Jinak řečeno, výraz na levé straně nezávisí na proměnné x a proto ani výraz na pravé straně
nemůže na x záviset. Obě strany rovnosti jsou tedy konstantní. Označíme jejich hodnotu jako −λ.
Dostaneme tak dvě obyčejné diferenciální rovnice
T ′
a2T
= −λ,
X′′
X
= −λ. (2.77)
Věnujme se nejprve druhé z nich. Přepíšeme ji ve tvaru
X′′
+ λX = 0. (2.78)
To je obyčejná lineární homogenní rovnice druhého řádu s konstantním koeficientem. Z okrajové
podmínky v úloze (2.76) plyne, že
T (t)X(0) = 0 = T (t)X(ℓ),
což je možné splnit jen tak, že funkce X, tedy řešení rovnice (2.78), splňuje okrajové podmínky
X(0) = 0 = X(ℓ). (2.79)
Pokud je λ < 0, má rovnice (2.78) obecné řešení tvaru
X(x) = Ae
√
−λ x
+ Be−
√
−λ x
.
První z okrajových podmínek (2.79) klade na integrační konstanty A, B omezení
A + B = 0
a druhá z nich omezení
Ae
√
−λ ℓ
+ Be−
√
−λ ℓ
= 0.
Z první rovnosti dostaneme B = −A a po dosazení do druhé dostaneme
0 = A e
√
−λ ℓ
− e−
√
−λ ℓ
= 2A sinh
√
−λ ℓ.
Avšak hyperbolický sinus má hodnotu 0 jedině pro argument rovný 0 a
√
−λ ℓ > 0. Musí tedy být
A = 0 a v důsledku toho i B = 0. To znamená, že v případě λ < 0 má úloha (2.78), (2.79) pouze
nulové, tj. nevyhovující řešení.
Pokud je λ = 0, pak je řešením rovnice X′′
= 0 lineární funkce
X(x) = Ax + B.
První z podmínek (2.79) dá B = 0 a druhá z nich následně A = 0. V případě λ = 0 opět nemá
úloha (2.78), (2.79) vyhovující řešení.
77
Pokud je λ > 0, pak má rovnice (2.78) obecné řešení
X(x) = A cos
√
λx + B sin
√
λx.
Podmínka X(0) = 0 dá A = 0. Poté podmínka X(ℓ) = 0 vede k rovnosti
0 = B sin
√
λ ℓ.
Abychom dostali nenulové řešení, musí být B = 0 a tedy sin
√
λ ℓ = 0. Z této goniometrické rovnice
plyne, že
√
λ ℓ = kπ, kde k je nějaké celé číslo. Poněvadž λ > 0 a ℓ > 0, musí být také k > 0.
Dostáváme tak možné hodnoty konstanty λ. Označme je
λk =
kπ
ℓ
2
, k = 1, 2, . . . .
Úloha (2.78), (2.79) má nenulové řešení pouze pro hodnoty λ = λk; zapišme ho v obecném tvaru
Xk(x) = Ak sin
kπ
ℓ
x.
Nalezenou hodnotu λk dosadíme do první rovnice (2.77). Dostaneme obyčejnou lineární homogenní
rovnici
T ′
= −
kπa
ℓ
2
T,
která má obecné řešení
Tk(t) = Bke−(kπa
ℓ )
2
t
.
Součin funkcí Xk, Tk označíme uk. Dostáváme tak nekonečnou spočetnou množinu řešení
uk(t, x) = Cke−(kπa
ℓ )2
t
sin
kπ
ℓ
x, k = 1, 2, . . . .
Každá z těchto funkcí splňuje rovnici a okrajové podmínky v úloze (2.76). Poněvadž je řešená
rovnice homogenní, platí princip superpozice, a proto také lineární kombinace funkcí uk splňuje
rovnici a okrajové podmínky uvažované úlohy. Řešení tedy můžeme formálně zapsat ve tvaru řady
u(t, x) =
∞
k=1
uk(t, x) =
∞
k=1
Cke−(kπa
ℓ )
2
t
sin
kπ
ℓ
x. (2.80)
Z počáteční podmínky v úloze (2.76) dostaneme nyní rovnost
ϕ(x) =
∞
k=1
Ck sin
kπ
ℓ
x,
kterou můžeme přečíst tak, že počáteční funkce ϕ má Fourierův rozvoj do sinové řady. Pak konstanty
Ck jsou Fourierovými koeficienty funkce ϕ vzhledem k ortogonálnímu systému funkcí
sin
kπ
ℓ
x
∞
k=1
,
a to znamená, že je můžeme vyjádřit ve tvaru
Ck =
2
ℓ
ℓ
0
ϕ(ξ) sin
kπ
ℓ
ξdξ.
78
Nekonečná řada v rovnosti (2.80) jakožto Fourierova řada konverguje absolutně a lokálně stejnoměrně.
Proto můžeme řešení úlohy (2.76) upravit
u(t, x) =
∞
k=1

2
ℓ
ℓ
0
ϕ(ξ) sin
kπ
ℓ
ξdξ

 e−(kπa
ℓ )2
t
sin
kπ
ℓ
x =
=
ℓ
0
ϕ(ξ)
2
ℓ
∞
k=1
e−(kπa
ℓ )
2
t
sin
kπ
ℓ
ξ sin
kπ
ℓ
x dξ.
Označíme-li nyní
G(x, ξ, t) =
2
ℓ
∞
k=1
e−(kπa
ℓ )2
t
sin
kπ
ℓ
ξ sin
kπ
ℓ
x, (2.81)
můžeme řešení úlohy (2.76) psát ve známém tvaru
u(t, x) =
ℓ
0
ϕ(ξ)G(x, ξ, t)dξ. (2.82)
Opět zformulujeme několik evidentních vlastností funkce G : [0, ℓ]2
× [0, ∞) → R:
• Funkce G je spojitá na množině (0, ℓ)2
× (0, ∞).
• Je symetrická v prvních dvou proměnných.
• Funkce jedné proměnné G( · , ξ, t) má spojité derivace druhého řádu pro všechny dvojice
parametrů (ξ, t) ∈ (0, ℓ) × (0, ∞).
• Funkce dvou proměnných G( · , ξ, · ), je pro všechna ξ ∈ (0, ℓ) řešením rovnice (2.41), které
splňuje nulové Dirichletovy okrajové podmínky pro každou hodnotu t.
• Pro všechny hodnoty x, ξ ∈ [0, ℓ] platí lim
t→∞
G(x, ξ, t) = 0.
Řešení úlohy pro nehomogenní rovnici s nulovými Dirichletovými okrajovými podmínkami
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
+ f(t, x), t > 0, x ∈ (0, ℓ),
u(0, x) = ϕ(x), x ∈ (0, ℓ),
u(t, 0) = 0 = u(t, ℓ), t > 0.
je podle Duhamelova principu dáno součtem
u(t, x) =
ℓ
0
ϕ(ξ)G(x, ξ, t)dξ +
t
0


ℓ
0
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξ

 dσ.
V případě úlohy pro nehomogenní rovnici s obecnými Dirichletovými okrajovými podmínkami
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
+ f(t, x), t > 0, x ∈ (0, ℓ),
u(0, x) = ϕ(x), x ∈ (0, ℓ),
u(t, 0) = µ0(t), u(t, ℓ) = µ1(t), t > 0
79
můžeme řešení hledat ve tvaru
u(t, x) = U(t, x) + v(t, x),
kde funkce U splňuje okrajové podmínky. Zřejmě stačí funkci U volit jako lineární v proměnné x,
tj.
U(t, x) = µ0(t) +
µ1(t) − µ0(t)
ℓ
x.
Funkce v je pak řešením úlohy s nulovými Dirichletovými okrajovými podmínkami
∂v
∂t
= a2 ∂2
v
∂x2
+ f(t, x) − µ′
0(t) +
µ′
1(t) − µ′
0(t)
ℓ
x, t > 0, x ∈ (0, ℓ),
v(0, x) = ϕ(x) − µ0(0) −
µ1(0) − µ0(0)
ℓ
x, x ∈ (0, ℓ),
v(t, 0) = 0 = v(t, ℓ), t > 0.
Příklad
Najdeme řešení homogenní parabolické rovnice
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
pro t > 0 a x ∈ (0, ℓ), které splňuje konstantní počáteční podmínku
u(0, x) = u0
pro x ∈ (0, ℓ) a konstantní Dirichletovy okrajové podmínky
u(t, 0) = 0, u(t, ℓ) = u1
pro t > 0.
Tuto úlohu lze interpretovat jako model chladnutí tyče délky ℓ, která byla na počátku zahřáta
na teplotu u0, na jejím levém konci udržujeme nulovou teplotu a na pravém teplotu u1. Tyč je
na svém povrchu tepelně izolovaná, takže na jejím povrchu nedochází k výměně tepla s okolním
prostředím.
V daném případě okrajové podmínky splňuje funkce
U(t, x) =
u1
ℓ
x.
Hodnoty této funkce nezávisí na čase, takže řešení úlohy je tvaru
u(t, x) =
u1
ℓ
x + v(t, x),
kde funkce v je řešením úlohy
∂v
∂t
= a2 ∂2
v
∂x2
, t > 0, x ∈ (0, ℓ),
v(0, x) = u0 −
u1
ℓ
x, x ∈ (0, ℓ),
v(t, 0) = 0 = v(t, ℓ), t > 0.
Podle obecných výsledků je
v(t, x) =
ℓ
0
u0 −
u1
ℓ
ξ
2
ℓ
∞
k=1
e−(kπa
ℓ )2
t
sin
kπ
ℓ
ξ sin
kπ
ℓ
xdx =
=
2
ℓ
∞
k=1
e−(kπa
ℓ )
2
t
sin
kπ
ℓ
x
ℓ
0
u0 −
u1
ℓ
ξ sin
kπ
ℓ
ξdξ.
80
Integrál vypočítáme „per partes ,
ℓ
0
u0 −
u1
ℓ
ξ sin
kπ
ℓ
ξdξ = −
ℓ
kπ
u0 −
u1
ℓ
ξ cos
kπ
ℓ
ξ
ℓ
ξ=0
−
u1
ℓ
ℓ
kπ
ℓ
0
cos
kπ
ℓ
ξdξ =
=
ℓ
kπ
(u0 − u1) cos kπ − u0 =
ℓ
kπ
u0 − (u0 − u1)(−1)k
.
Dostáváme tak řešení dané úlohy vyjádřené ve tvaru
u(t, x) =
u1
ℓ
x +
2
π
∞
k=1
u0 − (u0 − u1)(−1)k
k
e−(kπa
ℓ )2
t
sin
kπ
ℓ
x.
Obecná Newtonova úloha
Uvažujme nejprve úlohu homogenní, tj. homogenní rovnici (2.41) s homogenními okrajovými podmínkami
(2.19) na intervalu (0, ℓ). Hledáme tedy řešení úlohy
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
, t > 0, x ∈ (0, ℓ),
u(0, x) = ϕ(x), x ∈ (0, ℓ),
α0u(t, 0) + β0
∂u
∂x
(t, 0) = 0 = α1u(t, ℓ) + β1
∂u
∂x
(t, ℓ), t > 0.
(2.83)
O počáteční funkci ϕ opět předpokládáme, že je nenulová, a proto i řešení úlohy musí být nenulové.
Nejprve separujeme proměnné, tj. předpokládáme, že řešení má tvar
u(t, x) = T (t)X(x). (2.84)
Toto vyjádření dosadíme do dané rovnice a upravíme tak, že na pravé straně ponecháme pouze
funkci X a její derivaci. Dostaneme rovnost
T ′
a2T
=
X′′
X
,
jejíž levá strana nezávisí na proměnné x a pravá nezávisí na proměnné t; výrazy na obou stranách
jsou tedy rovny nějaké konstantě, kterou opět označíme −λ a dostaneme dvě rovnice
T ′
a2T
= −λ,
X′′
X
= −λ. (2.85)
Druhou z nich přepíšeme do tvaru obyčejné lineární homogenní rovnice druhého řádu s konstantním
koeficientem
X′′
+ λX = 0. (2.86)
Vyjádření (2.84) řešení úlohy (2.83) dosadíme do okrajové podmínky. Dostaneme rovnosti
α0T (t)X(0) + β0T (t)X′
(0) = 0 = α1T (t)X(ℓ) + β1T (t)X′
(ℓ),
které mají být splněny pro libovolnou hodnotu t > 0. Odtud plyne, že řešení X rovnice (2.86)
splňuje okrajové podmínky
α0X(0) + β0X′
(0) = 0 = α1X(ℓ) + β1X′
(ℓ). (2.87)
Úloha (2.86), (2.87) pro obyčejnou lineární rovnici druhého řádu s parametrem λ a homogenními
okrajovými podmínkami je Sturmovou-Liouvilleovou úlohou, sr. Dodatek A.3.2. Podle Věty 2
81
existuje rostoucí posloupnost vlastních čísel, z nichž nejmenší je větší nebo rovno 0. Přímým výpočtem
se můžeme přesvědčit, že 0 je vlastním číslem úlohy (2.86), (2.87) právě tehdy, když
α1β0 − α0β1 = α0α1ℓ.
V takovém případě označíme λ0 = 0; příslušná vlastní funkce v0 je lineární,
v0(x) = α1x − α1ℓ − β1.
Pro zjednodušení (sjednocení) zápisu zavedeme množinu indexů
I =



{0, 1, 2, . . .} , α1β0 − α0β1 = α0α1ℓ,
{1, 2, 3, . . .} , α1β0 − α0β1 = α0α1ℓ.
(2.88)
Řešením Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (2.86), (2.87) dostaneme posloupnost vlastních čísel λk a k
nim příslušné vlastní funkce vk, k ∈ I. Dostáváme tak spočetně mnoho řešení
Xk(x) = vk(x), k ∈ I
okrajové úlohy (2.86), (2.87).
Nalezené hodnoty λk, k ∈ I dosadíme do první rovnice (2.85). Dostaneme tak obyčejné lineární
homogenní rovnice
T ′
= −a2
λkT, k ∈ I,
jejichž obecné řešení je tvaru
Tk(t) = Cke−a2
λkt
.
Po dosazení funkcí Xk, Tk do vyjádření (2.84) hledaného řešení úlohy pro parciální diferenciální
rovnici dostaneme spočetný systém funkcí
uk(t, x) = Tk(t)Xk(x) = Cke−a2
λkt
vk(x), k ∈ I,
z nichž každá je řešením dané rovnice a splňuje příslušné okrajové podmínky z úlohy (2.83).
Poněvadž rovnice i okrajové podmínky jsou homogenní, a tedy splňují princip superpozice, můžeme
řešení této úlohy psát ve tvaru nekonečné řady
u(t, x) =
k∈I
Cke−a2
λkt
vk(x) (2.89)
se zatím neurčenými koeficienty Ck, k ∈ I. Ty získáme z dosud nevyužité počáteční podmínky
ϕ(x) = u(0, x) =
k∈I
Ckvk(x).
Z tohoto vyjádření je vidět, že konstanty Ck jsou Fourierovými keficienty funkce ϕ vzhledem
k ortogonálnímu systému vlastních funkcí {vk}k∈I, tedy
Ck =
1
||vk||
2
ℓ
0
ϕ(ξ)vk(ξ)dξ.
Tyto koeficienty dosadíme do rovnosti (2.89) vyjadřující řešení a upravíme ji na tvar
u(t, x) =
ℓ
0
ϕ(ξ)
k∈I
vk(x)vk(ξ)
||vk||2 e−a2
λkt
dξ.
82
Dosažený výsledek shrneme: Řešení úlohy (2.83) je dáno integrálem
u(t, x) =
ℓ
0
ϕ(ξ)G(x, ξ, t)dξ ;
přitom funkce G : [0, ℓ]2
× [0, ∞) → R je definována nekonečnou řadou
G(x, ξ, t) =
k∈I
vk(x)vk(ξ)
||vk||
2 e−a2
λkt
,
kde λk jsou vlastní hodnoty a vk jsou příslušné vlastní funkce Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (2.86),
(2.87), indexová množina I je zavedena vztahem (2.88).
Zřídlová funkce G má vlastnosti:
• Funkce G je spojitá na množině (0, ℓ)2
× (0, ∞).
• Je symetrická v prvních dvou proměnných.
• Funkce jedné proměnné G( · , ξ, t) má spojité derivace druhého řádu pro všechny dvojice
parametrů (ξ, t) ∈ (0, ℓ) × (0, ∞).
• Funkce dvou proměnných G( · , ξ, · ) je pro všechna ξ ∈ (0, ℓ) řešením rovnice (2.41), které
splňuje homogenní Newtonovy okrajové podmínky
α0G(0, ξ, t) + β0
∂G
∂x
(0, ξ, t) = 0 = α1G(ℓ, ξ, t) + β1
∂G
∂x
(ℓ, ξ, t)
pro každou hodnotu t > 0.
• Pro všechny hodnoty x, ξ ∈ [0, ℓ] platí
lim
t→∞
G(x, ξ, t) =



3 α2
1xξ − α1(x + ξ)(α1 + β1) + (α1 + β1)2
ℓ (α2
1ℓ2 + 3β1(α1 + β1))
, α1β0 − α0β1 = α0α1ℓ,
0, α1β0 − α0β1 = α0α1ℓ.
Řešení úlohy pro nehomogenní rovnici s homogenními Newtonovými okrajovými podmínkami
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
+ f(t, x), t > 0, x ∈ (0, ℓ),
u(0, x) = ϕ(x), x ∈ (0, ℓ),
α0u(t, 0) + β0
∂u
∂x
(t, 0) = 0 = α1u(t, ℓ) + β1
∂u
∂x
(t, ℓ), t > 0
je podle Duhamelova principu dáno součtem
u(t, x) =
ℓ
0
ϕ(ξ)G(x, ξ, t)dξ +
t
0


ℓ
0
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξ

 dσ.
V případě úlohy pro nehomogenní rovnici s nehomogenními Newtonovými okrajovými pod-
mínkami
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
+ f(t, x), t > 0, x ∈ (0, ℓ),
u(0, x) = ϕ(x), x ∈ (0, ℓ),
α0u(t, 0) + β0
∂u
∂x
(t, 0) = µ0(t), α1u(t, ℓ) + β1
∂u
∂x
(t, ℓ) = µ1(t), t > 0
83
můžeme řešení hledat ve tvaru
u(t, x) = U(t, x) + v(t, x),
kde funkce U splňuje okrajové podmínky. Funkce v je pak řešením úlohy pro nehomogenní rovnici
s homogenními Newtonovými okrajovými podmínkami
∂v
∂t
= a2 ∂2
v
∂x2
+ a2 ∂2
U
∂x2
(t, x) −
∂U
∂t
(t, x) + f(t, x), t > 0, x ∈ (0, ℓ),
v(0, x) = ϕ(x) − U(0, x), x ∈ (0, ℓ),
α0v(t, 0) + β0
∂v
∂x
(t, 0) = 0 = α1v(t, ℓ) + β1
∂v
∂x
(t, ℓ), t > 0.
Funkci U lze volit ve tvaru
U(t, x) =



α1µ0(t) − α0µ1(t)
β0α1 − β1α0 − α0α1ℓ
x +
β0µ1(t) − β1µ0(t) − ℓα1µ0(t)
β0α1 − β1α0 − α0α1ℓ
, β0α1 − β1α0 = α0α1ℓ,
β0µ1(t) − β1µ0(t) − α1ℓµ0
β0ℓ(α1ℓ + 2β1)
x2
+
µ0(t)
β0
x,
β0α1 − β1α0 = α0α1ℓ,
β0ℓ(α1ℓ + 2β1) = 0,
α1µ0(t) − α0µ1(t)
2α0α1
exp
α0
β0
x +
µ1(t)
α1
, β0 = 0 = β0α1 + β1α0,
α1µ0(t) − α0µ1(t)
α0α1
exp
x
ℓ
+
µ1(t)
α1
, β0 = 0 = β1 + α1ℓ.
(2.90)
Zejména pro α0 = α1 = 1, β0 = β1 = 0 (Dirichletovy podmínky) dostaneme
U(t, x) =
µ1(t) − µ0(t)
ℓ
x + µ0(t)
a pro α0 = α1 = 0, β0 = β1 = 1 (Neumannovy podmínky)
U(t, x) =
µ1(t) − µ0(t)
2ℓ
x2
+ µ0(t)x.
V případě α0 = −α1, β0 = β1 = 1 (Robinovy podmínky) lze položit
U(t, x) =
µ1(t) + µ0(t)
2 − α0ℓ
x −
µ1(t) − µ0(t) + α0ℓµ0(t)
α0(2 − α0ℓ)
, pokud α0 = 2ℓ,
a
U(t, x) =
µ0(t) + µ1(t)
2α0
eα0x
−
µ1(t)
α0
, pokud α0 = 2ℓ.
Je-li možné funkci U volit jako lineární ve druhé proměnné x (tj. pokud β0α1 − β1α0 = α0α1ℓ),
pak je
∂U
∂x2
≡ 0 a nehomogenita řešené rovnice se poněkud zjednoduší. Pokud navíc okrajové
podmínky nezávisí na čase, tj. µ0 ≡ const, µ1 ≡ const, pak také
∂U
∂t
≡ 0 a funkce v je řešením
původní rovnice.
2.2.7 Počáteční úlohy pro parabolické rovnice – shrnutí
V odstavcích 2.2.3–2.2.6 jsme našli řešení nehomogenní parabolické rovnice (2.42) s počáteční
podmínkou (2.43) v několika speciálních případech. Nalezené řešení úlohy
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
+ f(t, x), t > 0, x ∈ J,
u(0, x) = ϕ(x), x ∈ J,
(2.91)
84
kde J je nějaký omezený nebo neomezený interval reálných čísel, které navíc splňuje nějaké homogenní
okrajové podmínky, je tvaru
u(t, x) =
J
ϕ(ξ)G(x, ξ, t)dξ +
t
0


J
f(σ, ξ)G(x, ξ, t − σ)dξ

 dσ. (2.92)
Zřídlová (Greenova) funkce G : J2
×(0, ∞) → R je určena intervalem J a okrajovými podmínkami.
V Tabulce 2.1 jsou uvedeny zřídlové funkce v některých speciálních případech.
Řešení úlohy (2.91) s nehomogenními okrajovými podmínkami lze hledat ve tvaru
u(t, x) = U(t, x) + v(t, x),
kde funkce U : (0, ∞) × J → R splňuje okrajové podmínky a funkce v je řešením úlohy
∂v
∂t
= a2 ∂2
v
∂x2
+ ˜f(t, x), t > 0, x ∈ J,
u(0, x) = ˜ϕ(x), x ∈ J,
s homogenními podmínkami stejného typu; přitom
˜f(t, x) = f(t, x) + a2 ∂2
U
∂x2
(t, x) −
∂U
∂t
(t, x), ˜ϕ(x) = ϕ(x) − U(0, x).
Volba funkce U není nijak apriori dána, tvary zavedené rovnostmi (2.74), (2.75) nebo (2.90) pro
speciální intervaly J a speciální okrajové podmínky jsou jenom jednou z možností.
Ještě si připomeňme, že pro téměř všechny zřídlové funkce G uvedené v Tabulce 2.1 (výjimkou
je funkce G pro homogenní Neumannovu úlohu na úsečce), platí vztah
lim
t→∞
G(x, ξ, t) = 0 pro všechna (x, ξ) ∈ R2
.
To znamená, že po „dostatečně dlouhém čase bude hodnota prvního integrálu na pravé straně
rovnosti (2.92) zanedbatelná. Jinak řečeno, řešení úlohy (2.91) v „dostatečně dlouhém časovém
horizontu nezávisí na počáteční podmínce, v průběhu času vymizí informace o počátku. Systém
s takovou vlastností – jeho vývoj za dlouhý časový interval nezávisí na počátečním stavu – se
nazývá ergodický.
2.2.8 Úloha bez počátečních podmínek
Dosud jsme hledali řešení parabolické rovnice (2.41) nebo (2.42), které splňovalo nějakou počáteční
podmínku, tj. znali jsme stav v počátečním čase t = 0. Tato informace však nemusí být vždy
dostupná – pokud navíc proces popsaný parabolickou rovnicí pozorujeme v čase dlouho od jeho
začátku. Vzhledem k ergodičnosti však počáteční stav nemá na vývoj systému už nějaký podstatný
vliv.
Konkrétně: Teplota na zemském povrchu v průběhu dne i v průběhu roku kolísá. Toto kolísání
lze v prvním přiblížení považovat za periodické. Budeme modelovat šíření periodických teplotních
změn v zemi, kterou budeme považovat za homogenní poloprostor; budeme ho charakterizovat
jedinou souřadnicí x, hloubkou pod povrchem. Při mnohonásobném pravidelném opakování teplotních
změn na povrchu bude vliv počáteční teploty menší, než vlivy, které zanedbáváme (např.
nehomogennost půdy, odchylky od přesné periodičnosti průběhu povrchové teploty a podobně).
Teplotu v čase t a v hloubce x označíme u(t, x). Vnitřní zdroje tepla v půdě (např. geotermální
energii) neuvažujeme. Proto bude vývoj teploty popsán homogenní parabolickou rovnicí
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
, (2.93)
85
interval J okrajová podmínka G(x, ξ, t)
(−∞, ∞) u(t, x) = u(t, x + ℓ)
1
ℓ
1 + 2
∞
k=1
e−(2kπa
ℓ )2
t
cos
2kπ
ℓ
(x − ξ)
(−∞, ∞)
0
−∞
u(t, x) dx < ∞,
∞
0
u(t, x) dx < ∞
e−
(x−ξ)2
4a2t
2
√
πa2t
(0, ∞) u(t, 0) = 0,
∞
0
u(t, x) dx < ∞
e− x2+ξ2
4a2t
√
πa2t
sinh
xξ
2a2t
(0, ∞)
∂u
∂x
(t, 0) = 0,
∞
0
u(t, x) dx < ∞
e− x2+ξ2
4a2t
√
πa2t
cosh
xξ
2a2t
(0, ℓ) u(t, 0) = 0 = u(t, ℓ)
2
ℓ
∞
k=1
e−(kπa
ℓ )2
t
sin
kπ
ℓ
ξ sin
kπ
ℓ
x
(0, ℓ)
∂u
∂x
(t, 0) = 0 =
∂u
∂x
(t, ℓ)
1
ℓ
1 + 2
∞
k=1
e−(kπa
ℓ )2
t
cos
kπ
ℓ
ξ cos
kπ
ℓ
x
(0, ℓ) u(t, 0) = 0 =
∂u
∂x
(t, ℓ)
2
ℓ
∞
k=0
e−((2k+1)πa
2ℓ )
2
t
sin
(2k + 1)π
2ℓ
ξ sin
(2k + 1)π
2ℓ
x
(0, ℓ)
∂u
∂x
(t, 0) = 0 = u(t, ℓ)
2
ℓ
∞
k=0
e−((2k+1)πa
2ℓ )
2
t
cos
(2k + 1)π
2ℓ
ξ cos
(2k + 1)π
2ℓ
x
Tabulka2.1:Zřídlovéfunkceúlohy(2.91)proněkteréhomogenníokrajovépodmínky.
86
(0, ℓ) u(t, 0) = 0,
∂u
∂x
(t, ℓ) = −hu(t, ℓ) 2
∞
k=1
(h2
+ λk)
ℓ(h2 + λk) + 2h
e−a2
λkt
sin
√
λkξ sin
√
λkx,
λk jsou kladné kořeny rovnice
√
λ = −h tg
√
λℓ
(0, ℓ)
∂u
∂x
(t, 0) = 0,
∂u
∂x
(t, ℓ) = −hu(t, ℓ) 2
∞
k=1
(h2
+ λk)
ℓ(h2 + λk) + 2h
e−a2
λkt
cos
√
λkξ cos
√
λkx,
λk jsou kladné kořeny rovnice
√
λ = h cotg
√
λℓ
(0, ℓ)
∂u
∂x
(t, 0) = hu(t, 0),
∂u
∂x
(t, ℓ) = −hu(t, ℓ)
∞
k=1
e−a2
λkt
cos
√
λkξ +
h
√
λk
sin
√
λkξ cos
√
λkx +
h
√
λk
sin
√
λkx
ℓ
2
+
h2
ℓ + 2h
2λk
,
λk jsou kladné kořeny rovnice
√
λ
h
−
h
√
λ
= 2 cotg
√
λℓ
Tabulka2.1:pokračování
87
kde a2
vyjadřuje koeficient teplotní vodivosti půdy. Teplota na povrchu bude vyjádřena okrajovou
podmínkou
u(t, 0) = µ(t), (2.94)
kde µ je nějaká spojitá periodická funkce. Jakožto spojitá periodická funkce je µ také ohraničená,
tj. existuje nějaká hodnota M, že
|µ(t)| ≤ M pro t ∈ R.
Teplota půdy v dlouhodobém časovém horizontu nemůže překračovat nejvyšší teplotu na povrchu
a nemůže klesnout pod jeho nejnižší teplotu (poněvadž neuvažujeme žádné vnitřní zdroje tepla
nebo chlazení). Proto budeme hledat řešení, které splňuje podmínku ohraničenosti
|u(t, x)| ≤ M pro t ∈ R, x ≥ 0. (2.95)
Hledáme tedy funkci u : [0, ∞) × R → R, která splňuje rovnici (2.93) a podmínky (2.94), (2.95).
Poněvadž funkce µ je spojitá a periodická, můřeme ji vyjádřit ve tvaru absolutně a stejnoměrně
konvergentní Fourierovy řady5
µ(t) =
a0
2
+
∞
k=1
ak cos kωt + bk sin kωt ;
přitom
ak =
ω
π
2π/ω
0
µ(s) cos kωsds, k = 0, 1, 2, . . ., bk =
ω
π
2π/ω
0
µ(s) sin kωsds, k = 1, 2, . . .. (2.96)
Je zřejmé, že pokud funkce vi splňují rovnici (2.93) s okrajovými podmínkami vi(t, 0) = ϕi(t),
i = 1, 2, pak také jejich součet v = v1 + v2 splňuje rovnici (2.93) a navíc okrajovou podmínku
v(t, 0) = ϕ1(t) + ϕ2(t). Proto budeme řešení naší úlohy (2.93), (2.94), (2.95) hledat ve tvaru
u(t, x) =
∞
k=0
vk(t, x) +
∞
k=1
wk(t, x),
kde všechny funkce vk, wk splňují rovnici (2.93), jsou ohraničené a splňují okrajové podmínky
vk(t, 0) = ak cos kωt, k = 0, 1, 2, . . ., (2.97)
wk(t, 0) = bk sin kωt, k = 1, 2, . . .. (2.98)
Nejprve však najdeme ohraničené řešení pomocné úlohy
∂v
∂t
= a2 ∂2
v
∂x2
, t ∈ R, x > 0,
v(t, 0) = akeikωt
, t ∈ R
(2.99)
s komplexní okrajovou podmínkou. Snadno ověřme, že reálná část řešení této úlohy je také řešením
úlohy (2.93), (2.97). Řešení úlohy (2.99) budeme hledat v exponenciálním tvaru
v(t, x) = akeαt+βx
.
Pak je v(t, 0) = akeαt
a porovnáním s okrajovou podmínkou v úloze (2.99) vidíme, že α = ikω.
Dále
∂v
∂t
(t, x) = αakeαt+βx
,
∂2
v
∂x2
(t, x) = β2
akeαt+βx
,
5Pokud uvažujeme roční kolísání teploty, je ω = 2π/rok.
88
takže po dosazení do rovnice v úloze (2.99) a snadné úpravě dostaneme
α = a2
β2
.
Odtud a2
β2
= ikω. Z této kvadratické rovnice s komplexními koeficienty vypočítáme
β = ±(1 + i)
kω
2a2
.
Dostáváme tak řešení pomocné úlohy (2.99) ve tvaru
v(t, x) = ak exp ikωt ± (1 + i)
kω
2a2
x = ak exp ±
kω
2a2
x exp i kωt ±
kω
2a2
x .
Z tohoto vyjádření je zřejmé, že řešení se znaménkem „+ je neohraničené; vyhovuje tedy tedy
pouze funkce se znaménkem „− . Proto omezené řešení úlohy (2.93), (2.97) je reálnou částí posledního
výrazu, v němž místo symbolu „± píšeme znaménko „− , tj.
vk(t, x) = ak exp −
kω
2a2
x cos kωt −
kω
2a2
x .
Analogicky najdeme ohraničené řešení úlohy (2.93), (2.98) ve tvaru
wk(t, x) = bk exp −
kω
2a2
x sin kωt −
kω
2a2
x .
Celkem tak dostáváme řešení úlohy (2.93), (2.94), (2.95) ve tvaru nekonečné řady
u(t, x) =
a0
2
+
∞
k=1
exp −
kω
2a2
x ak cos kωt −
kω
2a2
x + bk sin kωt −
kω
2a2
x ,
kde koeficienty ak, bk jsou dány integrály (2.96). Výraz v hranatých závorkách můžeme upravit6
a výsledek zapsat ve tvaru
u(t, x) =
a0
2
+
∞
k=1
Ak(x) cos kω t − δk(x) ,
kde
Ak(x) =



exp −
kω
2a2
x
a2
k + b2
k
, a2
k + b2
k = 0,
0, jinak,
δk(x) =
1
2ka2ω
x +



1
kω
arctg
bk
ak
, ak = 0,
π
2kω
, ak = 0.
Teplotní vlny
Úloha o vedení tepla v půdě je jedním z prvních příkladů užití matematické teorie tepla. Za zjednodušujících
předpokladů ji řešil již Joseph Fourier7
. Předpokládal, že teplota na povrchu v průběhu
roku (čas vyjadřoval ve dnech) je rovna součtu průměrné roční teploty a teploty specifické pro den,
6Při výpočtu používáme vzorce cos(ϕ − arctg ξ) =
1
1 + ξ2
cos ϕ +
ξ
1 + ξ2
sin ϕ.
7J. Fourier: Théorie analytique de la chaleur. Firmin Didot P`ere et Fils, Paris 1822.
89
která je úměrná výšce Slunce nad obzorem za poledne. Pokud se tedy čas t počítá od okamžiku
letního slunovratu, je povrchová teplota vyjádřena funkcí
µ(t) = T + γ cos ωt,
kde T je průměrná roční teplota, γ je příslušná konstanta úměrnosti a frekvence ω má hodnotu
ω =
2π
365,26
den−1
.
Při této volbě tedy je a0 = 2T , a1 = γ, a2 = a3 = · · · = 0 = b1 = b2 = · · · a řešení úlohy
∂u
∂t
= a2 ∂2
u
∂x2
, t ∈ R, x > 0,
u(t, 0) = T + γ cos ωt, |u(t, · )| ≤ |T | + |γ| t ∈ R
je dáno výrazem
u(t, x) = T + γe−
√ ω
2a2 x
cos ωt −
ω
2a2
x = T + γe−
√ ω
2a2 x
cos ω t −
1
2a2ω
x .
Označme
A(x) = γe−
√ ω
2a2 x
, δ(x) =
1
2a2ω
x.
Řešení nyní můžeme zapsat ve tvaru
u(t, x) = T + A(x) cos ω t − δ(x)
a interpretovat ho jako šíření teplotních vln v půdě. Přitom A(x) vyjadřuje amplitudu kolísání
teploty v hloubce x, δ(x) vyjadřuje opožďování δ(x) maxim (minim) teplot v hloubce x od příslušných
okamžiků na povrchu. Výsledek lze také přepsat pomocí periody τ =
2π
ω
kolísání povrchové
teploty jako
u(t, x) = T + A(x) cos
2π
τ
t − δ(x) ;
při tomto zápisu je
A(x) = γe− 1
a
√π
τ x
, δ(x) =
1
2a
τ
π
x.
Mění-li se po dlouhou dobu periodicky teplota na povrchu, nastává v půdě kolísání teploty
s toutéž periodou. Přitom platí:
1. Amplituda A(x) kolísání teploty v hloubce x klesá exponenciálně s hloubkou; rostou-li
hloubky s aritmetickou posloupností, klesají amplitudy s geometrickou posloupností (první
Fourierův zákon).
V hluboké studni nebo v jeskyni je dlouhodobě téměř konstantní teplota přibližně se rovnající
průměrné roční teplotě na povrchu.
2. Teplota v půdě kolísá s jistým fázovým zpožděním za kolísáním teploty na povrchu; opožďování
δ(x) teplotních extrémů v hloubce x je úměrné této hloubce (druhý Fourierův zákon).
V hloubce x se teplotní extrém projeví za čas δ(x) od jeho výskytu na povrchu, což lze
chápat i tak, že teplo se v půdě šíří konstantní rychlostí
x
δ(x)
=
√
2a2ω = 2 a2
π
τ
.
Poznamenejme, že tato rychlost má formálně stejné vyjádření, jako rychlost difundující látky
vznikající autokatylytickou reakcí (viz str. 69nn), přičemž reakční rychlost odpovídá poloviční
frekvenci kolísání teploty.
90
3. Hloubka pronikání teploty do půdy závisí na periodě kolísání teploty na povrchu. Relativní
změna amplitudy v hloubce x je rovna
A(x)
γ
= e− 1
a
√π
τ x
;
při kolísání povrchové teploty o periodách τ1 a τ2 budou hloubky x1 a x2, ve kterých dochází
ke stejným relativním změnám teploty, v poměru
x2
x1
=
τ2
τ1
.
(třetí Fourierův zákon).
91
92
Kapitola 3
Rovnice reakce-difúze
3.1 Lineární rovnice
Uvažujme lineární parabolickou rovnici ve dvou nezávisle proměnných
∂u
∂t
= D
∂2
u
∂x2
+ ru
s kladnými parametry D, r.
Pro zjednodušení zápisu změníme měřítko nezávisle proměnných, tj. zavedeme bezrozměrný
čas τ a bezrozměrnou prostorovou proměnnou ξ vztahy
ξ =
r
D
x, τ = rt.
Pak je
∂u
∂t
=
∂τ
∂t
∂u
∂τ
= r
∂u
∂τ
,
∂2
u
∂x2
=
∂ξ
∂x
∂
∂ξ
∂ξ
∂x
∂u
∂ξ
=
r
D
∂
∂ξ
r
D
∂u
∂ξ
=
r
D
∂2
u
∂ξ2
;
po dosazení do rovnice a vykrácení parametru r dostaneme lineární parabolickou rovnici bez
parametrů ve tvaru
∂u
∂τ
=
∂2
u
∂ξ2
+ u.
Bez újmy na obecnosti se tedy můžeme zabývat rovnicí bez parametrů
∂u
∂t
=
∂2
u
∂x2
+ u, (3.1)
v níž opět čas označujeme t a prostorovou proměnnou x. Tato rovnice je lineární a splňuje princip
superpozice (o tom se lze přesvědčit přímým výpočtem) – množina jejích řešení tvoří vektorový
prostor. Zejména nulová funkce u0 ≡ 0 je řešením rovnice (3.1). Toto řešení je současně stacionární
(nezávisí na čase t) a prostorově homogenní (nezávisí na prostorové proměnné x).
Pokud k rovnici (3.1) přidáme nějaké homogenní okrajové podmínky, bude množina řešení
příslušné okrajové úlohy také tvořit vektorový prostor; ten je průnikem prostoru řešení rovnice
(3.1) a prostoru funkcí, které splňují okrajové podmínky.
3.1.1 Rovnice na úsečce
Budeme vyšetřovat některé kvalitativní vlastnosti řešení rovnice (3.1) uvažované pro t > 0 a
x ∈ (0, ℓ), kde ℓ je nějaké kladné číslo. Přitom budeme požadovat splnění homogenních okrajových
podmínek. Abstraktněji řečeno, budeme se zabývat některými vlastnostmi zaměření afinního
prostoru řešení okrajových a počátečních úloh pro rovnici (3.1).
93
Rovnice s Neumannovými okrajovými podmínkami
Uvažujme rovnici (3.1) na intervalu (0, ℓ) prostorové proměnné s homogenními Neumannovými
okrajovými podmínkami
∂u
∂x
(t, 0) = 0 =
∂u
∂x
(t, ℓ), t > 0. (3.2)
Podle 2.2.1 a 2.2.7 je řešení úlohy (3.1), (3.2) dáno řadou
u(t, x) = a0et
+
∞
k=1
ak exp 1 −
kπ
ℓ
2
t cos
kπ
ℓ
x,
kde konstanty a0, a1, a2, . . . závisí na počáteční funkci u(0, · ); také lze říci, že volba konstant
a0, a1, a2, . . . určuje počáteční funkci.
Zejména tedy vidíme, že úloha (3.1), (3.2) má prostorově homogenní řešení tvaru
uh(t, x) = a0et
.
Pro tato řešení platí uh(0, · ) ≡ a0, a pokud a0 = 0, pak
lim
t→∞
|uh(t, x)| = ∞, pro všechna x ∈ (0, ℓ).
Úloha (3.1), (3.2) má vždy řešení, které roste nade všechny meze pro t → ∞, i když je jeho
počáteční hodnota jakkoliv malá (ale nenulová).
Rovnice s Dirichletovými okrajovými podmínkami
Rovnice (3.1) na intervalu (0, ℓ) prostorové proměnné s homogenními Dirichletovými okrajovými
podmínkami
u(t, 0) = 0 = u(t, ℓ), t > 0, (3.3)
má podle 2.2.1 a 2.2.7 řešení ve tvaru řady
u(t, x) =
∞
k=1
ak exp 1 −
kπ
ℓ
2
t sin
kπ
ℓ
x, (3.4)
kde konstanty ak jsou určeny počáteční funkcí u(0, · ), nebo ji určují. Budeme o ní předpokládat,
že je ohraničená a integrabilní.
Ve výrazu na pravé straně rovnosti (3.4) se objevuje poměr π/ℓ. Proto rozlišíme tři možnosti
velikosti délky ℓ.
• ℓ < π: V tomto případě pro každé k = 1, 2, 3, . . . platí
1 −
kπ
ℓ
2
< 1 − k2
≤ 0.
Odtud dále plyne, že všechny exponenciální funkce ve vyjádření (3.4) pro t → ∞ klesají
k nule, takže
lim
t→∞
u(t, x) = 0 pro všechna x ∈ (0, ℓ).
• ℓ = π: Řešení (3.4) můžeme přepsat do tvaru
u(t, x) = a1 sin x +
∞
k=2
ak exp 1 −
kπ
ℓ
2
t sin
kπ
ℓ
x.
Opět všechny exponenciální funkce monotonně konvergují k 0 pro t → ∞, takže
lim
t→∞
u(t, x) = a1 sin x pro všechna x ∈ (0, ℓ).
94
Ještě si můžeme všimnout (a přesvědčit se o tom přímým výpočtem), že pro libovolnou
hodnotu a1 je funkce un daná vztahem
un(t, x) = a1 sin x
řešením úlohy (3.1), (3.3). Toto řešení je stacionární (nezávisí na čase t) a prostorově nehomogenní
(závisí na prostorové proměnné x).
• ℓ > π: Úloha (3.1), (3.3) má (mimo jiné) řešení dané formulí
u(t, x) = a1 exp 1 −
π
ℓ
2
t sin
π
ℓ
x.
Přitom
1 −
π
ℓ
2
> 1,
takže pro libovolnou hodnotu a1 = 0 (ať je absolutní hodnota a1 sebemenší) platí
lim
t→∞
|u(t, x)| = ∞ pro všechna x ∈ (0, ℓ).
Rovnice s Robinovými okrajovými podmínkami
Rovnice (3.1) s homogenními Robinovými okrajovými podmínkami
∂u
∂x
(t, 0) = αu(t, 0),
∂u
∂x
(t, ℓ) = −αu(t, ℓ), t > 0, (3.5)
kde α > 0 má podle 2.2.1 a 2.2.7 řešení ve tvaru řady
u(t, x) =
∞
k=1
ake(1−λk)t
cos λk x +
α
λk
sin λk x , (3.6)
kde vlastní hodnoty λ1, λ2, . . . jsou kladné kořeny rovnice
√
λ
α
−
α
√
λ
= 2 cotg
√
λ ℓ (3.7)
uspořádané podle velikosti, λ1 < λ2 < λ3 < · · · . Konstanty ak jsou opět určeny počáteční funkcí
u(0, · ), nebo ji určují.
Z vyjádření (3.6) vidíme, že hodnota λ1 určuje chování řešení úlohy (3.1), (3.5). Pokud λ1 > 1
(a tedy všechna λk > 1), pak
lim
t→∞
u(t, x) = 0 pro všechna x ∈ (0, ℓ).
Pokud λ1 < 1, pak má úloha (3.1), (3.5) řešení
u(t, x) = e(1−λ1)t
cos λ1 x +
α
λ1
sin λ1 x ,
pro něž platí lim
t→∞
u(t, 0) = ∞. Úloha tedy má neokraničené řešení.
Pokud λ1 = 1, pak má úloha (3.1), (3.5) neomezeně mnoho stacionárních prostorově nehomogenních
řešení tvaru
un(t, x) = a1(cos x + α sin x),
kde a1 jsou nenulové konstanty.
95
Na rovnici (3.7) se můžeme dívat jako na implicitní zápis funkce λ jedné reálné proměnné ℓ,
λ = λ(ℓ). Najdeme její derivaci λ′
. Platí
d
dℓ
√
λ
α
−
α
√
λ
= λ′ λ + α2
2α
√
λ
3 a
d
dℓ
2 cotg
√
λ ℓ = −λ′ ℓ
√
λ sin
√
λℓ
2 −
2
√
λ
sin
√
λℓ
2 .
Porovnáním výrazů na pravých stranách těchto rovností vypočítáme
λ′
= −
4αλ2
2αλℓ + (λ + α2) sin
√
λℓ
2 ,
a to znamená, že λ′
< 0, takže funkce λ je klesající. Je-li tedy λ = 1 pro nějakou hodnotu nezávisle
proměnné ℓ, pak nalevo od této hodnoty je λ > 1 a napravo od ní je λ < 1.
Pro analýzu chování řešení úlohy (3.1), (3.5) při t → ∞ v závislosti na délce ℓ definičního
intervalu tedy stačí najít kritickou hodnotu ℓkrit takovou, že λ(ℓkrit) = 1; pak pro ℓ < ℓkrit všechna
řešení úlohy při t → ∞ vymizí, pro ℓ > ℓkrit bude existovat neohraničené řešení.
Dosazením ℓkrit za ℓ v rovnici (3.7) dostaneme rovnici
1 − α2
2α
= cotg ℓkrit,
která má řešení ℓkrit = 2 arctg α, jak se snadno přesvědčíme přímým dosazením.
Shrnutí
Ještě si povšimněme, že Neumannovy podmínky (3.2) jsou speciálním případem Robinových podmínek
(3.5) pro α = 0. Robinovy podmínky s α > 0 můžeme přepsat na tvar
u(t, 0) =
1
α
∂u
∂x
(t, 0), u(t, ℓ) = −
1
α
∂u
∂x
(t, ℓ), t > 0; (3.8)
z něho vidíme, že Dirichletovy podmínky (3.3) jsou limitním případem Robinových podmínek pro
α → ∞.
Výsledky provedené diskuse řešení úlohy (3.1), (3.5)/(3.8) s ℓ > 0 můžeme zapsat:
Nechť 0 ≤ α ≤ ∞.
• Je-li ℓ < 2 arctg α, pak pro každé řešení u úlohy platí
lim
t→∞
u(t, x) = 0, pro všechna x ∈ [0, ℓ],
tj. nulové řešení rovnice (3.1) je atrahující.
• Je-li ℓ = 2 arctg α, pak existují prostorově nehomogenní stacionární řešení úlohy; tato řešení
jsou tvaru
un(t, x) = a1(cos x + α sin x) = a1 1 + α2 cos(x − arctg α),
kde a1 = 0.
• Je-li ℓ > 2 arctg α, pak existuje neohraničené řešení úlohy; podrobněji, existuje řešení u
takové, že pro libovolné ε > 0 je
max {|u(t, x)| : x ∈ [0, ℓ]} < ε a lim
t→∞
max {|u(t, x)| : x ∈ [0, ℓ]} = ∞.
96
3.1.2 Rovnice na přímce – putující vlny
Přímým výpočtem se můžeme snadno přesvědčit, že rovnice (3.1) má řešení v exponenciálním
tvaru
u(t, x) = Ae−µx+(1+µ2
)t
, (3.9)
která jsou definována pro všechna t, x ∈ R; parametry A a µ jsou libovolná reálná čísla. Je-li
µ = 0, dostaneme prostorově homogenní řešení (nezávisející na prostorové proměnné x) ve tvaru
exponenciální funkce.
Nechť µ = 0 a označme
c =
1 + µ2
µ
, U(ζ) = Ae−µζ
.
Pak řešení (3.9) můžeme přepsat jako
u(t, x) = U(x − ct) (3.10)
a interpretovat tak, že graf počáteční funkce u(0, · ) = U se pohybuje konstantní rychlostí c; je-li
µ > 0, pohybuje se doprava (v kladném směru osy x), je-li µ < 0, tak doleva. Proto se řešení
rovnice (3.1), které lze zapsat ve tvaru (3.10) někdy nazývá putující vlna (travelling wave).
Rychlost c postupu putující vlny závisí na parametru µ. Vyšetřením průběhu funkce
c = c(µ) =
1 + µ2
µ
zjistíme, že pro µ > 0 je c ≥ 2, pro µ < 0 je c ≤ −2. Minimální rychlost putující vlny tvaru (3.9)
(bez ohledu na směr postupu) je c = cmin = 2.
K rychlosti putující vlny se lze dopracovat i jiným, obecnějším, způsobem. Hledejme, pro jaké
hodnoty c má rovnice (3.1) řešení tvaru (3.10), kde U je monotonní funkce jedné proměnné.
Řešení musí splňovat rovnici (3.1). Jinak řečeno, poněvadž
∂u
∂t
(t, x) = −cU′
(x − ct),
∂2
u
∂x2
(t, x) = U′′
(x − ct),
musí funkce U splňovat obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu
−cU′
= U′′
+ U,
po úpravě
U′′
+ cU′
+ U = 0.
Aby tato rovnice měla monotonní řešení, musí být kořeny její charakteristické rovnice λ2
+cλ+1 = 0
reálné, tj.
c2
− 4 ≥ 0.
Minimální rychlost putující vlny (bez ohledu na orientaci) je opět cmin = 2.
Rovnice s podmínkami integrability
Řešení rovnice (3.1) definované pro x ∈ R ve tvaru (3.9) nesplňuje podmínky integrovatelnosti
0
−∞
|u(t, x)|dx < ∞,
∞
0
|u(t, x)|dx < ∞, pro t > 0. (3.11)
Můžeme ho však modifikovat. Připustíme pouze nezáporné hodnoty parametru µ, položíme
u(t, x) = Ae−µ|x|+(1+µ2
)t
= Ae(1+µ2
)t
e−µ|x|
(3.12)
97
a lehce ověříme, že se skutečně jedná o řešení úlohy (3.1), (3.11). Můžeme ho interpretovat jako
dvě putující vlny symetrické kolem počátku, které se od něho vzdalují rychlostí
c =
1 + µ2
µ
≥ 2.
Ještě připomeňme, že v 2.2.4 jsme také našli jedno explicitní řešení úlohy (3.1), (3.11); konkrétně
se jedná o řešení (2.65) s a = r = 1, tj. řešení tvaru
u(t, x) = Aet 1
2
√
πt
e− x2
4t . (3.13)
Ukázali jsme tam také, že pro dostatečně velký čas t se hodnota x prostorové proměnné, pro niž
platí |u(t, x)| = δ > 0, pohybuje konstantní rychlostí 2, tj. tou nejmenší možnou (sr. formuli (2.66)
s a = r = 1).
Obě formule (3.12) a (3.13) jsou vlastně stejného typu – nějaká exponenciální funkce času
násobená hustotou nějakého rozdělení pravděpodobnosti se střední hodnotou 0; ve formuli (3.13)
se jedná o normální rozdělení s časově proměnným rozptylem 1
2 t2
, ve formuli (3.12) se jedná
o Laplaceovo (dvojitě exponenciální) rozdělení s konstantním rozptylem 1/µ2
.
3.2 Fisherova-Kolmogorovova rovnice
Jedná se o rovnici reakce-difúze s nelineárním reakčním členem
∂u
∂t
=
∂2
u
∂x2
+ u(1 − u). (3.14)
Tato rovnice modeluje šíření výhodné allely v populaci1
, nebo šíření populace v prostoru, přičemž
velikost populace roste logisticky.
Nebudeme hledat řešení rovnice (3.14) splňující obecné počáteční nebo okrajové podmínky.
Omezíme se na některá speciální řešení a jejich některé vlastnosti, které jsou užitečné pro aplikace.
3.2.1 Rovnice na úsečce
Budeme hledat nezáporné stacionární, tj. na čase nezávislé, řešení rovnice (3.14) definované na
konečném intervalu (0, ℓ), které splňuje Dirichletovy okrajové podmínky
u(t, 0) = 0 = u(t, ℓ), t ≥ 0. (3.15)
Jinak řečeno, hledáme takové řešení u : [0, ∞)×[0, ℓ] → [0, ∞) úlohy (3.14), (3.15), že pro libovolné
časové okamžiky t1, t2 ≥ 0 a libovolný bod x ∈ [0, ℓ] platí u(t1, x) = u(t2, x) (nebo ekvivalentně,
pro všechna t ≥ 0, x ∈ [0, ℓ] platí ∂
∂t u(t, x) = 0). Pak lze zřejmě psát
u(t, x) = U(x)
pro t ≥ 0, 0 ≤ x ≤ ℓ, kde U je dvakrát diferencovatelná funkce definovaná na intervalu [0, ℓ], která
splňuje obyčejnou diferenciální rovnici druhého řádu
U′′
+ U(1 − U) = 0, 0 < x < ℓ, (3.16)
a okrajovou podmínku
U(0) = 0 = U(ℓ). (3.17)
Okrajová úloha (3.16), (3.17) pro obyčejnou diferenciální rovnici má zřejmě prostorově homogenní,
tj. konstantní, řešení U ≡ 0. Druhé konstantní řešení U ≡ 1 rovnice (3.16) nesplňuje okrajovou
1„Výhodnou allelou se rozumí allela, která při daném selekčním tlaku zajišťuje nejvyšší zdatnost (fitness).
98
V
U10
(a)
V
U1
Vkrit
0
(b)
Obrázek 3.1: Stavový prostor (a) a trajektorie (b) systému (3.18)
podmínku (3.17). Budeme hledat prostorově nehomogenní řešení řešení rovnice (3.16), tj. takové,
které má nenulovou derivaci podle prostorové proměnné x.
Rovnici druhého řádu (3.16) převedeme standardním způsobem na systém rovnic prvního řádu.
Položíme V = U′
a dostaneme autonomní dvourozměrný systém
U′
= V
V ′
= U(U − 1).
(3.18)
Provedeme kvalitativní analýzu tohoto systému. Funkce U má být nezáporná, U ≥ 0. Tato funkce
má splňovat okrajové podmínky (3.17) a nemá být identicky nulová; to znamená, že v nějakém
bodě musí být kladná, někde nalevo od takového bodu pak bude rostoucí (a tedy její derivace tam
bude V kladná), někde napravo klesající. Za stavový prostor systému (3.18) lze tedy vzít množinu
Ω = [0, ∞) × R.
Systém (3.18) má jedinou U-nulklinu V = 0, nad osou U jsou trajektorie orientovány doprava
(v kladném směru osy U), pod ní doleva. Dále má systém dvě V -nulkliny U = 0 (tvořící hranici
stavového prostoru Ω) a U = 1, pro 0 < U < 1 jsou trajektorie orientovány dolů (v záporném
směru osy V ), pro U > 1 jsou orientovány nahoru. Stavový prostor je znázorněn na obr. 3.1(a).
Vidíme, že systém (3.18) má dva rovnovážné body (0, 0) a (1, 0). Jeho variační matice je
J(U, V ) =
0 1
2U − 1 0
,
takže platí
det J(1, 0) =
0 1
1 0
= −1 < 0, tr J(0, 0) = tr
0 1
−1 0
= 0.
To znamená, že rovnovážný bod (1, 0) je sedlo (což je vidět i z obrázku), rovnovážný bod (0, 0)
ležící na hranici stavového prostoru Ω není hyperbolický.
Vydělením rovnic systému (3.18) dostaneme obyčejnou rovnici prvního řádu se separovanými
proměnnými
dV
dU
=
U(U − 1)
V
,
která má obecné řešení
3(V 2
+ U2
) − 2U3
= const. (3.19)
99
Touto rovností jsou implicitně zadány trajektorie systému (3.18), výraz na její levé straně je jeho
invariantem; označíme ho Φ(U, V ). Zřejmě platí Φ(U, V ) = Φ(U, −V ) pro všechna (U, V ) ∈ Ω. To
znamená, že trajektorie systému (3.18) jsou symetrické podle osy U.
Provedená analýza již umožňuje načrtnout trajektorie systému (3.18), viz obr. 3.1(b). Trajektorie,
které současně vyjadřují řešení úlohy (3.16), (3.17), začínají na hranici stavového prostoru
Ω v kladné části osy V (řešení úlohy „startuje pro hodnotu nezávisle proměnné x = 0 ve funkční
hodnotě U = 0 a má kladnou derivaci) a mělo by skončit (pro hodnotu nezávisle proměnné x = ℓ)
na hranici Ω v záporné části osy V (tam je U(ℓ) = 0, V ′
(ℓ) < 0). Vidíme ovšem, že pro jakousi kritickou
hodnotu V = Vkrit > 0 trajektorie skončí v sedle (1, 0). Odpovídající řešení rovnice (3.16)
je tedy kladné pro každé x > 0 a nemůže proto splnit druhou okrajovou podmínku (3.17) pro
konečnou hodnotu ℓ; také můžeme říci, že řešení rovnice (3.16) s počáteční podmínkou U(0) = 0,
U′
(0) = Vkrit je pro x > 0 kladné a platí pro ně lim
x→∞
U(x) = 1.
Trajektorie systému (3.18), které začínají v bodě (0, V0) takovém, že 0 < V0 < Vkrit, skončí
pro jistou konečnou hodnotu x0 > 0 na hranici stavového prostoru Ω v bodě (0, −V0). Těmto
trajektoriím odpovídají řešení okrajové úlohy (3.16), (3.17) s ℓ = x0. Pro taková řešení vždy platí
U(x) < 1 pro všechna x ∈ (0, ℓ); přitom maximální hodnota řešení U roste s rostoucí počáteční
hodnotou V (0) = U′
(0). Poněvadž hodnoty funkce U jsou menší než 1, plyne z rovnice (3.16), že
U′′
(x) = U(x) U(x) − 1 < 0
pro x ∈ (0, ℓ), takže funkce U je ryze konkávní.
Nekonstantním řešením okrajové úlohy (3.16), (3.17) odpovídají právě takové trajektorie systému
(3.18), které začínají uvnitř úsečky {(0, V ) : 0 < V < Vkrit}. Trajektorie systému (3.18),
které zanikají v sedle (1, 0) nebo z něho vycházejí, jsou implicitně dány rovnicí (3.19) s const = 1.
Odtud vypočítáme, že Vkrit = 1
3
.
= 0,57735. Dále můžeme upřesnit, že stavový prostor systému
(3.18), v němž jsou trajektorie odpovídající řešením úlohy (3.16), (3.17) je množina
(U, V ) ∈ R2
: 0 ≤ U ≤ 1, |V | < 1
3 1 + 2U3
− 3U2
.
Ještě vyšetříme trajektorie systému (3.18) v okolí počátku. Je-li hodnota U „malá , U ≪ 1,
pak je hodnota U2
„zanedbatelná vzhledem k U, U2
≪ U. Řešení systému (3.18) v okolí počátku
se tedy (podle věty o spojité závisslosti řešení obyčejných diferenciálních rovnic na počátečních
podmínkách a parametrech) „chová podobně jako řešení lineárního systému
U′
= V
V ′
= −U.
(3.20)
Řešení tohoto systému s počátečními podmínkami U(0) = 0, V (0) = ε, kde ε > 0 je „malé číslo,
je dáno rovností
U(x) = ε sin x.
Tato funkce je kladná pro x ∈ (0, π) a pro x0 = ℓ = π je nulová. Z tohoto výsledku nahlédneme, že
řešení rovnice (3.16), které „startuje v bodě 0 se sebemenší kladnou derivací (tj. řešení s počáteční
podmínkou U(0) = 0, U′
(0) = ε) „skončí v 0 až ve vzdálenosti π. Jinak řečeno, okrajová úloha
(3.14), (3.15) může mít prostorově nehomogenní nezáporné stacionární řešení pouze pro ℓ > π.
Stabilita stacionárních řešení
Našli jsme dvě nezáporná stacionární řešení Dirichletovy okrajové úlohy (3.14), (3.15) pro Fisherovu-Kolmogorovovu
rovnici. Jsou to triviální konstantní řešení u0 ≡ 0 a nekonstantní řešení
un = un(t, x) = U(x),
kde U je řešení okrajové úlohy (3.16), (3.17) pro obyčejnou diferenciální rovnici. Vyšetříme stabilitu
těchto stacionárních řešení, tj. podíváme se, jak se v čase chová řešení úlohy (3.14), (3.15), které
se na počátku „liší málo od stacionárního.
100
Prostorově homogenní řešení: Nejprve uvažujme „malou odchylku v od nulového řešení.
Funkce v musí splňovat rovnici (3.14) a poněvadž v je „malá , zanedbáme v ní kvadratický člen
v2
. Funkce v je tedy řešením počáteční úlohy
∂v
∂t
=
∂2
v
∂x2
+ v, t > 0, 0 < x < ℓ,
v(t, 0) = 0 = v(t, ℓ), t > 0.
Jedná se tedy o Dirichletovu úlohu pro lineární rovnici reakce-difúze na úsečce, kterou jsme vyšetřovali
v 3.1.1. Můžeme tedy říci, že nulové řešení úlohy (3.14), (3.15) je asymptoticky stabilní
pro ℓ < π a nestabilní pro l > π.
Prostorově nehomogenní řešení: Pokud je ℓ > π, pak má úloha (3.14), (3.15) nekonstantní
stacionární řešení un. Uvažujme řešení této úlohy, které se „málo liší od un, tedy řešení tvaru
U(x) + w(t, x), (3.21)
kde odchylka w je nějaká „malá funkce. Platí
∂
∂t
(U + w) =
∂w
∂t
,
∂2
∂x2
(U + w) = U′′
+
∂2
w
∂x2
= U(U − 1) +
∂2
w
∂x2
podle (3.16). Po dosazení funkce (3.21) do pravé strany rovnice (3.14) tak dostaneme
U(U − 1) +
∂2
w
∂x2
+ (U + w)(1 − U − w) =
∂2
w
∂x2
+ (1 − 2U)w − w2
.
Poněvadž odchylku považujeme za „malou , zanedbáme kvadratický člen w2
. Odchylku w tedy
považujeme za řešení okrajové úlohy
∂w
∂t
=
∂2
w
∂x2
+ (1 − 2U)w, t > 0, 0 < x < ℓ,
w(t, 0) = 0 = w(t, ℓ), t > 0.
(3.22)
Tuto úlohu budeme řešit Fourierovou metodou, tj. řešení budeme hledat ve tvaru
w(t, x) = T (t)X(x).
Po dosazení do rovnice dostaneme
T ′
X = T X′′
+ (1 − 2U)T X,
neboli
T ′
T
=
X′′
X
+ 1 − 2U.
Výraz na levé straně nezávisí na prostorové proměnné x, výraz na pravé straně nezávisí na čase
t; oba výrazy jsou tedy rovny nějaké konstantě, řekněme −λ. Funkce T je tedy řešením obyčejné
lineární rovnice prvního řádu
T ′
= −λT, (3.23)
a funkce X je řešením obyčejné lineární rovnice druhého řádu
− X′′
− (1 − 2U)X = λX. (3.24)
Aby byly splněny okrajové podmínky pro funkci w v úloze (3.22), musí platit
X(0) = 0 = X(ℓ). (3.25)
Funkce X je tedy řešením Sturmovy-Liouvilleovy úlohy (3.24), (3.25). Podle Věty 2 v A.3.2 existují
vlastní hodnoty λ1 < λ2 < λ3 < · · · a k nim příslušné vlastní funkce X1, X2, X3, . . . . Přitom funkce
101
X1 na intervalu (0, ℓ) nemění znaménko. Ukážeme, že λ1 > 0 (a v důsledku toho jsou všechny
vlastní hodnoty kladné).
Funkce X1 splňuje rovnici (3.24) s λ = λ1, tedy pro ni platí
X′′
1 (x) + λ1 + 1 − 2U(x) X1(x) = 0.
Tuto rovnost vynásobíme výrazem U(x) a upravíme na tvar
U(x)X′′
1 (x) − U′′
(x)X1(x) = U(x)2
X1(x) − λ1U(x)X1(x);
využili jsme toho, že funkce U splňuje rovnici (3.16). Levou stranu zintegrujeme v mezích od 0
do ℓ a využijeme faktu, že funkce U, resp. X1 splňuje okrajové podmínky (3.17), resp. (3.25).
Dostaneme
ℓ
0
U(x)X′′
1 (x) − U′′
(x)X1(x) dx =
= U(x)X′
1(x)
ℓ
0
−
ℓ
0
U′
(x)X′
1(x)dx − U′
(x)X1(x)
ℓ
0
+
ℓ
0
U′
(x)X′
1(x)dx = 0.
To znamená, že po integraci pravé strany ve stejných mezích obdržíme rovnost
ℓ
0
U(x)2
X1(x)dx = λ1
ℓ
0
U(x)X1(x)dx.
Funkce U je uvnitř intervalu (0, ℓ) kladná, funkce X1 je zde nenulová a nemění znaménko. To
znamená, že oba integrály v poslední rovnosti jsou nenulové a mají stejné znaménko. Z toho dále
plyne, že λ1 > 0.
Sturmova-Liouvilleova úloha (3.24), (3.25) má tedy všechny vlastní hodnoty kladné. Jelikož
řešení rovnice (3.23) s λ = λk je dáno rovností
Tk(t) = bke−λkt
,
kde bk je nějaká konstanta (závislá na počáteční hodnotě), dostáváme řešení okrajové úlohy (3.22)
ve tvaru řady
w(t, x) =
∞
k=1
bke−λkt
Xk(x).
Poněvadž jsou všechna λk kladná, jsou všechny exponenciální funkce e−λkt
klesající s limitou 0, a
proto platí
lim
t→∞
w(t, x) = 0
pro všechna x ∈ [0, ℓ]. To znamená, že „malá odchylka od stacionárního řešení un v průběhu času
neroste a v limitě t → ∞ vymizí. Řešení un je tedy asymptoticky stabilní.
Bifurkace v úloze (3.14), (3.15)
Na úlohu (3.14), (3.15) se můžeme dívat jako na úlohu s jedním kladným parametrem ℓ. Dosažené
výsledky shrneme:
• Je-li ℓ < π, pak má úloha (3.14), (3.15) jediné stacionární řešení u0 ≡ 0, které je asymptoticky
stabilní.
102
• Je-li ℓ > π, pak má úloha (3.14), (3.15) dvě stacionární řešení. Prostorově homogenní řešení
u0 ≡ 0 je nestabilní. Prostorově nehomogenní řešení un je dáno výrazem
un(t, x) = U(x),
kde funkce U je řešením okrajové úlohy (3.16), (3.17). Je to nezáporná ryze konkávní funkce
taková, že
max {U(x) : 0 ≤ x ≤ ℓ} < 1.
Stacionární řešení un je asymptoticky stabilní.
Rovnice s Robinovými nebo Neumannovými podmínkami
Nyní se podívejme na řešení rovnice (3.14) na intervalu (0, ℓ), které splňuje okrajové podmínky
∂u
∂x
(t, 0) = αu(t, 0),
∂u
∂x
(t, ℓ) = −αu(t, ℓ), t > 0, (3.26)
kde α je nezáporné číslo. Pokud α > 0, jedná se o Robinovy podmínky, pokud α = 0, jedná se o
Neumannovy podmínky.
Opět budeme hladet stacionární, prostorově homogenní nebo nehomogenní, řešení úlohy (3.14),
(3.26). V podstatě můžeme opakovat provedenou analýzu úlohy (3.14), (3.15). Prostorově homogenní
řešení je nulové. Prostorově nehomogenní řešení bude opět řešením obyčejné rovnice (3.16),
tentokrát s okrajovou podmínkou
U′
(0) = αU(0), U′
(ℓ) = −αU(ℓ). (3.27)
Počáteční podmínky pro řešení systému (3.18) proto budou
V (0) = αU(0), V (ℓ) = −αU(ℓ). (3.28)
Trajektorie systému (3.18) odpovídající stacionárním řešením úlohy (3.14), (3.26) leží proto v
jistém zúžení stavového prostoru pro systém (3.18), konkrétně v množině
(U, V ) : 0 ≤ U ≤ 1, |V | ≤ αU, |V | < 1
3 (1 + 2U3
− 3U2
) ,
viz obr. 3.2.
Trajektorie v okolí počátku jsou opět (přibližně) trajektoriemi lineárního systému (3.20), avšak
v případě α > 0 s počáteční podmínkou tvaru
U(0) =
ε
α
, V (0) = ε. (3.29)
První složka řešení úlohy (3.20), (3.29) je dána rovností
U(x) =
ε
α
(cos x + α sin x) =
ε
√
1 + α2
α
cos(x − arctg α).
Odtud plyne, že hodnota U(x0) je stejná jako U(0) pro x0 = 2 arctg α (tj. trajektorie začínající
v bodě (ε/α, ε) skončí v bodě (ε/α, −ε) pro x0 = 2 arctg α). Z toho je vidět, že minimální hodnota
ℓ, pro niž má úloha (3.14), (3.26) prostorově nehomogenní stacionární řešení je větší než 2 arctg α;
použijeme označení
ℓkrit(α) = 2 arctg α.
Pro α = 1 je ℓkrit = 1
2 π.
Ještě si připomeňme, že Dirichletovy podmínky (3.15) jsou mezním případem Robinových
podmínek (3.26) pro α → ∞. Platí
lim
α→∞
ℓkrit(α) = 2 lim
α→∞
arctg α = π
103
V
U
10
V = αU
V = −αU
V = 1
3 (1 + 2U3 − 3U2)
V = − 1
3 (1 + 2U3 − 3U2)
Obrázek 3.2: Stavový prostor autonomního systému (3.18) a trajektorie odpovídající stacionárním
řešením úlohy (3.14), (3.26)
v souladu s předchozím výsledkem pro Dirichletovu úlohu (3.14), (3.15).
V případě Neumannových podmínek (3.26) s α = 0 zdegeneruje stavový prostor systému (3.18)
na úsečku
{(U, 0) : 0 ≤ U ≤ 1} ,
tj. V = U′
≡ 0 a úloha (3.18), (3.28) má tedy pouze řešení, která mají první složku konstantní.
Jinak řečeno, úloha (3.14), (3.26) s Neumannovými okrajovými podmínkami, α = 0, má jedině
konstantní, tj. prostorově homogenní, stacionární řešení. Podle rovnice (3.16) jsou tato řešení
U0 ≡ 0 a un ≡ 1. Tato stacionární řešení existují pro libovolnou nezápornou hodnotu ℓ; to je
v souladu s vlastností
lim
α→0
ℓkrit(α) = 2 lim
α→0
arctg α = 0.
Vyšetřit stabilitu nalezených stacionárních řešení úlohy (3.14), (3.26) lze analogickým způsobem
jako v případě úlohy (3.14), (3.15) s Dirichletovými okrajovými podmínkami.
Získané výsledky diskuse stacionárních řešení úlohy (3.14), (3.26) shrneme:
• Je-li α = 0, pak jediná stacionární řešení úlohy (3.14), (3.26) jsou řešení prostorově homogenní
u0 ≡ 0, u1 ≡ 1. Přitom u0 je nestabilní a u1 je asymptoticky stabilní.
• Je-li α > 0, pak má úloha (3.14), (3.26) jediné prostorově homogenní stacionární řešení
u0 ≡ 0. Toto řešení je pro ℓ < 2 arctg α asymptoticky stabilní, pro ℓ > 2 arctg α je nestabilní.
• Je-li α > 0 a ℓ > 2 arctg α, pak má úloha (3.14), (3.26) prostorově nehomogenní stacionární
řešení
un(t, x) = U(x),
kde U je řešením okrajové úlohy (3.16), (3.27); je to nezáporná konkávní funkce taková, že
max {U(x) : 0 ≤ x ≤ ℓ} < 1.
Toto řešení je asymptoticky stabilní.
104
3.2.2 Rovnice na přímce – putující vlna
Budeme hledat nezáporné řešení rovnice (3.14) definované pro každé t > 0 na neomezeném intervalu
(−∞, ∞), které má tvar putující vlny
u(t, x) = U(x − ct), (3.30)
kde c je nějaká kladná konstanta, vyjadřující rychlost této vlny. Funkce U jedné proměnné vyjadřuje
tvar putující vlny. Budeme po ní požadovat
U(ξ) ≥ 0, lim
ξ→−∞
U(ξ) = 1, lim
ξ→∞
U(ξ) = 0. (3.31)
Takové řešení modeluje invazi populace do neobsazeného prostředí o jednotkové kapacitě (úživnosti),
nebo šíření výhodné allely v prostorově rozložené populaci.
Řešení tvaru (3.30) musí splňovat rovnici (3.14), tedy
∂u
∂t
(t, x) =
∂
∂t
U(x − ct) = −cU′
(x − ct),
∂2
u
∂x2
=
∂2
∂x2
U(x − ct) = U′′
(x − ct),
a po dosazení do rovnice (3.14)
−cU′
(x − ct) = U′′
(x − ct) + U(x − ct) 1 − U(x − ct) .
To znamená, že funkce U je řešením autonomní rovnice druhého řádu
U′′
= −cU′
+ U(U − 1).
Tuto rovnici přepíšeme standardním způsobem jako dvojrozměrný systém prvního řádu, tj. zavedeme
novou novou funkci V vztahem V (ξ) = U′
(ξ) pro ξ ∈ R. Dostaneme tak systém
U′
= V,
V ′
= U(U − 1) − cV.
(3.32)
Tento systém má dva rovnovážné (stacionární) body (0, 1) a (0, 0). Řešení systému (3.32), jehož
první složka má požadované vlastnost (3.31), je ve ve stavovém prostoru reprezentována heteroklinickou
trajektorií, která vychází z bodu (1, 0), vstupuje do bodu (0, 0) a neopustí polorovinu
U ≥ 0. Budeme hledat podmínky, za jakých taková heteroklinická trajektorie existuje.
Variační matice systému (3.32) je
J(U, V ) =
0 1
2U − 1 −c
.
Konkrétně
J(1, 0) =
0 1
1 −c
, det J(1, 0) = −1 < 0,
což znamená, že stacionární bod je sedlo. Při každé hodnotě c tedy existuje konečně mnoho trajektorií,
které z bodu (1, 0) vychází.
Dále
J(0, 0) =
0 1
−1 −c
, det J(0, 0) = 1 > 0, tr J(0, 0) = −c < 0.
Stacionární bod (0, 0) je tedy stabilní uzel (pro c ≥ 2) nebo ohnisko (pro c < 2). Trajektorie
do bodu (0, 0) vstupují; fázové portréty systému (3.32) pro dvě různé hodnoty parametru c jsou
znázorněny na Obrázku 3.3. Pokud by stacionární bod (0, 0) byl ohniskem, libovolná trajektorie
by ho obíhala a tak se dostala nalevo od osy V ; tím by byl porušen první z požadavků (3.31).
Touto úvahou dostáváme nutnou podmínku
c ≥ 2 (3.33)
105
V
U1
V
U
1
Obrázek 3.3: Fázové portréty systému (3.32) pro dvě různé hodnoty parametru c; c = 1 vlevo a
c = 2 vpravo.
pro existenci heteroklinické trajektorie systému (3.32) v polorovině U ≥ 0, tj. pro existenci řešení
rovnice (3.14) ve tvaru putující vlny.
Ukážeme, že podmínka (3.33) je také dostatečná pro existenci heteroklinické trajektorie systému
(3.32) spojující stacionární body (1, 0) a (0, 0). Ve stavovém prostoru systému (3.32) uvažujme
trojúhelník
P = (U, V ) : 0 ≤ U ≤ 1, −
2
c
U ≤ V ≤ 0 ,
viz Obrázek 3.4. V jeho vrcholech (0, 0) a (1, 0) jsou stacionární body. Ve vrcholu 1, −
c
2
má
vektorové pole určené systémem (3.32) směr −
c
2
, 2 , je tedy orientováno dovnitř trojúhelníka P.
Na vnitřku „horní odvěsny je toto vektorové pole orientováno „dolů , na vnitřku „pravé odvěsny
„doleva 2
. Vektor vnitřní normály k trojúhelníku P na přeponě V = −
2
c
U má souřadnice (2, c).
Pro
0 < U < 1, V = −
2
c
U, c ≥ 2
nyní platí
(2, c) · (U′
, V ′
) = (2, c) · −
2
c
U, U(U − 1) + 2U = −
4
c
U + cU(U − 1) + 2cU =
= cU2
+ c −
4
c
U ≥ cU2
+ 2 −
4
2
U = cU2
> 0;
skalární součin vektoru vnitřní normály a vektorového pole je kladný. To znamená, že úhel, který
svírá vnitřní normála s vektorovým polem je ostrý, takže vektorové pole je orientováno dovnitř
trojúhelníka P. Celkem tak dostáváme, že trojúhelník P je positivně invariantní množinou systému
(3.32).
Uvnitř trojúhelníka P není žádný stacionární bod. Podle Bendixsonova kriteria
∂
∂U
V +
∂
∂V
U(U − 1) − cV = −c < 0
2Přesněji: Pro U ∈ (0, 1) a V = 0 je U′ = 0, V ′ = U(U − 1) < 0, takže vektorové pole určené systémem (3.32)
je orientováno v záporném směru osy V . Pro U = 1 a V ∈ 0, −
2
c
je U′ < −
2
c
< 0, takže vektorové pole je
orientováno v záporném směru osy U.
106
V
U1
− c
2
Obrázek 3.4: Positivně invariantní množina systému (3.32)
tam není ani žádný cyklus. Trajektorie vycházející z okolí bodu (1, 0) uvnitř trojúhelníka P tak
musí skončit ve stacionárním bodě (0, 0), tj. existuje heteroklinická trajektorie spojující stacionární
body (1, 0) a (0, 0). Ta representuje řešení rovnice (3.14) ve tvaru putující vlny.
Na konci oddílu 3.2.2 jsme viděli, že c = 2 je rychlost putující vlny v lineární rovnici reakcedifúze
(3.1) s počáteční podmínkou tvaru Diracovy distribuce. Tato úloha je modelem šíření malthusovsky
rostoucí populace v prostoru, která na počátku byla koncentrována v jediném bodě,
tedy zaujímala omezenou oblast. Populace rostoucí logisticky se z omezené oblasti těžko může
šířit do prostoru rychleji, než populace rostoucí exponenciálně. Proto také pro rychlost c postupu
putující vlny v rovnici (3.14) bude platit c ≤ 2.
Spolu s (3.33) tak dostáváme c = 2 jako rychlost putující vlny rovnice (3.14) s počáteční
podmínkou
u(0, x) = ϕ(x) ≥ 0
takovou, že ϕ(x) = 0 při |x| > R pro nějakou hodnotu R.
107
108
Část II
Diferenciální rovnice se zpožděním
109
Kapitola 4
Nejjednodušší model
zpětnovazební regulace
Představme si, že máme zregulovat nějaký proces k nějakému žádoucímu výsledku. Jako „paradigmatický
příklad bývá v této souvislosti uváděna regulace teploty vody ve sprše, viz obr. 4.1.
Pro sprchující se osobu je nějaká teplota optimální. Pokud na ni teče voda chladnější, vychýlí páku
baterie směrem k teplé vodě, pokud teče voda teplejší, vychýlí ji naopak. Čím je voda ledovější,
(nebo naopak horčejší), tím víc páku vychýlí. Tuto situaci popíšeme matematicky.
Označme y teplotu vody proudící ze sprchy. Tato teplota se s časem může měnit, neboť sprchovaná
osoba manipuluje s pákou baterie; tedy y = y(t). Označme dále α teplotu optimální.
Budeme předpokládat, že změna teploty (tj. derivace funkce y podle času) způsobená regulací
je přímo úměrná rozdílu aktuální teploty od teploty optimální; koeficient úměrnosti označíme β.
Dostáváme tak jednoduchou rovnost
dy
dt
= β(α − y). (4.1)
Je-li teplota nižší než optimální, tj. α − y > 0, teplotu zvětšujeme. To znamená, že koeficient β je
kladný.
V rovnosti (4.1) není uveden čas. Zamysleme se nad ním. Nechť t označuje časový okamžik, ve
kterém voda o teplotě y = y(t) protéká baterií. V témže okamžiku ze sprchy vytéká voda, která
tekla přes baterii před nějakou dobou; označme tuto dobu τ. Časová prodleva τ představuje čas,
za který voda proteče od baterie k růžici sprchy. Osoba reaguje na vodu ze sprchy, tedy na vodu
o teplotě y(t − τ). Rovnost (4.1) tedy musíme upřesnit, psát ji ve tvaru
dy(t)
dt
= β α − y(t − τ) . (4.2)
Na tuto rovnost se můžeme dívat jako na model vývoje teploty vody v čase, tj. teplotu y považovat
za neznámou a (4.2) chápat jako rovnici pro tuto funkci. Jedná se o obyčejnou lineární diferenciální
rovnici prvního řádu s jedním diskrétním zpožděním. Obyčejná diferenciální rovnice prvního řádu
je to proto, že se v ní vyskytuje první derivace hledané funkce podle její jediné proměnné, lineární
je proto, že hledaná funkce je na pravé straně v první mocnině, s jedním diskrétním zpožděním
proto, že zpoždění (časová prodleva) τ je přesně určeno a je jediné.
Ale ani rovnice (4.2) ještě nemusí být adekvátním modelem uvažované regulace. Zpoždění může
být nějak „rozmazané . Voda nemusí proudit úplně rovnoměrně, její rychlost se může s teplotou
nebo nastavením regulační páky nějak měnit; osoba nemusí na změnu teploty reagovat okamžitě
a přesně. Trochu techničtěji řečeno, zpoždění τ nemusí být „klasická veličina , ale může to být
veličina náhodná. Budeme ji považovat za spojitou a její hustotu označíme w.
Diskrétní zpoždění τ můžeme považovat za náhodné s nulovým rozptylem, za jeho hustotu
111
Obrázek 4.1: Regulace teploty vody ve sprše. Symbol s označuje dráhu, kterou voda urazí od
baterie (mixer), ℓ označuje délku trubky od baterie po růžici sprchy. (Obrázek je z knihy V. Kolmanovskii,
A. Myshkis: Applied Theory of Functional Differential Equations. Springer, 2010
reprint.)
můžeme považovat Diracovu distribuci soustředěnou v bodě τ a psát
y(t − τ) =
∞
−∞
y(t − s)δ(s − τ)ds =
∞
−∞
y(s)δ(t − s − τ)ds =
t
−∞
y(s)δ(t − τ − s)ds.
Je-li tedy zpoždění náhodnou veličinou s hustotou w, nahradíme v rovnici (4.2) výraz y(t − τ)
výrazem
t
−∞
y(s)w(t − s)ds.
Dostaneme tak obyčejnou lineární diferenciální rovnici s distribuovaným zpožděním
dy(t)
dt
= β

α −
t
−∞
y(s)w(t − s)ds

 . (4.3)
Tuto rovnici můžeme také číst tak, že aktuální změna veličiny y závisí na celé předchozí historii
této veličiny, od času −∞ (času v temné minulosti, kam nedohlédneme, času od stvoření světa
nebo Velkého třesku, případně času, před kterým můžeme vliv modelované veličiny na její změnu
v současnosti zanedbat) po přítomný okamžik t. Funkce w pak vyjadřuje váhu, s jakou má minulost
vliv na současnost; přesněji: w(σ) je váha (intenzita, podíl) vlivu okamžiku σ před aktuálním časem
t na změnu velikosti v čase t.
Budeme předpokládat, že přítomnost je zcela výsledkem minulosti a budoucnost na ni nemá
112
žádný vliv. Funkce w tedy má vlastnosti
w(s) = 0 pro s < 0,
∞
0
w(s)ds = 1. (4.4)
Rovnice (4.3) s funkcí w splňující podmínky (4.4) se nazývá kauzální nebo neanticipativní. Vzhledem
k první z vlastností (4.4) můžeme rovnici (4.3) zapsat ve tvaru konvoluce
dy(t)
dt
= β α − y ∗ w(t)
nebo stručněji
y′
= β(α − y ∗ w).
4.1 Rovnice s diskrétním zpožděním
V rovnici s diskrétním zpožděním (4.2) jsou tři parametry α, β, τ; parametr α má stejný rozměr
jako veličina y, τ má rozměr času a β převrácené hodnoty času. Vhodnou změnou měřítek (jednotek)
veličiny y i času můžeme počet parametrů zredukovat o dva, tedy rovnici (4.2) transformovat
na rovnici s jediným parametrem. Konkrétně, začátek sledování nebo regulace procesu zvolíme za
počátek času a změníme jeho měřítko tak, aby čas byl bezrozměrný; to můžeme udělat dvěma přirozenými
způsoby – čas vynásobit parametrem β nebo vydělit parametrem τ. „Cílovou hodnotu
α veličiny y zvolíme za počátek (nulovou hodnotu) a měřítko neměníme; místo regulované veličiny
uvažujeme její odchylku od požadované hodnoty, ta má stejný rozměr jako původní veličina1
.
Označme na chvíli čas symbolem s a dále označme s0 okamžik, v němž začínáme pozorování
veličiny y. Rovnici (4.2) přepíšeme
y′
(s) = β α − y(s − τ)), s ≥ s0 (4.5)
a označíme
a = βτ; (4.6)
bezrozměrný parametr a je kladný, a > 0.
1. transformace
Zvolíme novou jednotku času tak, že položíme
t =
1
τ
(s − s0);
čas t je bezrozměrný a proces regulace začne v čase t = 0. Dále zavedeme novou stavovou proměnnou
x vyjadřující absolutní odchylku regulované veličiny od požadované hodnoty α v čase t,
x(t) = y(τt + s0) − α.
Pak je
x′
(t) = τy′
(τt + s0) = τβ α − y(τt + s0 − τ) = τβ α − y(τ(t − 1) + s0) =
= τβ α − (x(t − 1) + α) = −τβx(t − 1).
Vzhledem k (4.6) tedy můžeme rovnici (4.5) zapsat ve tvaru
x′
= −ax(t − 1), t > 0. (4.7)
1Jinak řečeno, za novou regulovanou veličinu bereme y−α, tj. posunutou starou. Bezrozměrnou veličinu můžeme
„přirozeně získat jen v případě α = 0; pak by za novou veličinu bylo možné zvolit y/α (relativní odchylku od
požadované hodnoty) nebo y/α − 1.
113
2. transformace
Nyní zavedeme bezrozměrný čas vztahem
t = β(s − s0).
Vzdálenost regulované veličiny od požadované hodnoty α v čase t je tedy dána výrazem
x(t) = y
1
β
t + s0 − α.
Dále je
x′
(t) =
1
β
y′ 1
β
t + s0 =
1
β
β α − y
1
β
t + s0 − τ = α−y
1
β
(t − βτ) + s0 = −x(t−τβ),
takže rovnici (4.5) můžeme také přepsat ve tvaru
x′
(t) = −x(t − a), t > 0. (4.8)
4.1.1 Řešení metodou kroků
Hledáme řešení rovnice (4.7) spojité na intervalu [0, ∞), které splňuje počáteční podmínku
x(0) = 1. (4.9)
O funkci x( · ), která je řešením této úlohy budeme dále předpokládat, že je definována na celém
intervalu (−∞, ∞) a splňuje podmínku
x(t) = 0 pro t < 0. (4.10)
Tato úloha popisuje situaci, kdy uvažovaná veličina byla v počátečním čase t = 0 nějakým impulsem
vychýlena z požadovaného stavu a příslušnou výchylku považujeme za jednotkovou.
Pro t ∈ [0, 1) je funkce x( · ) řešením počáteční úlohy pro obyčejnou diferenciální rovnici
x′
(t) = 0, x(0) = 1,
tedy x(t) = 1. To znamená, že pro t ∈ [1, 2) je x(t − 1) = 1. Dále
lim
t→1−
x(t) = 1.
Na intervalu [1, 2) je tedy funkce x(· ) řešením počáteční úlohy
x′
(t) = −a, x(1) = 1,
tedy x(t) = 1 − a(t − 1). Pro t ∈ [2, 3) nyní platí x(t − 1) = 1 − a(t − 2) a je
lim
t→2−
x(t) = lim
t→2−
1 − a(t − 1) = 1 − a.
Na tomto intervalu je tedy funkce x( · ) řešením počáteční úlohy
x′
(t) = −a 1 − a(t − 2) = −a + a2
(t − 2), x(2) = 1 − a,
což znamená, že
x(t) = 1 − a +
t
2
− a + a2
(s − 2) ds = 1 − a − a(t − 2) +
a2
2
(t − 2)2
= 1 − a(t − 1) +
a2
2
(t − 2)2
.
114
Analogicky postupujeme dále. Pro t ∈ [3, 4) je
x′
(t) = −a + a2
(t − 2) −
a2
2
(t − 3)2
,
x(3) = lim
t→3−
1 − a(t − 1) +
a2
2
(t − 2)2
= 1 − 2a +
a2
2
,
x(t) = 1 − 2a +
a2
2
+
t
3
−a + a2
(s − 2) −
a2
2
(s − 3)2
ds =
= 1 − 2a +
a2
2
− a(t − 3) +
a2
2
(t − 2)2
− 1 −
a3
6
(t − 3)3
=
= 1 − a(t − 1) +
a2
2
(t − 2)2
−
a3
6
(t − 3)3
.
Z dosavadních výsledků můžeme hádat, že pro t ∈ [n, n + 1), kde n ∈ N, platí
x(t) = 1−a(t−1)+
a2
2
(t−2)2
−
a3
6
(t−3)3
+
a4
24
(t−4)4
+· · ·+(−1)n an
n!
(t−n)n
=
[t]
i=0
(−1)i ai
i!
(t−i)i
,
kde [ξ] označuje celou část z reálného čísla ξ. Ověříme, že tato funkce je skutečně řešením úlohy
(4.7), (4.9), (4.10).
Pro t ∈ [0, 1) je x(t) = 1 a to je podle provedených výpočtů řešením úlohy. Pro každé t > 1,
t ∈ N platí
x′
(t) =
d
dt
[t]
i=0
(−1)i ai
i!
(t − i)i
=
d
dt

1 +
[t]
i=1
(−1)i ai
i!
(t − i)i

 =
=
[t]
i=1
(−1)i ai
(i − 1)!
(t − i)i−1
= −a
[t−1]
i=0
(−1)i ai
i!
(t − 1 − i)i
= −ax(t − 1).
Dále je
lim
s→1−
x(t) = lim
s→1−
1 = 1, lim
s→1+
x(t) lim
s→1+
1 − a(s − 1) = 1,
takže funkce x( · ) je v bodě t = 1 spojitá. Pro t > 1, t ∈ N platí t = [t] a
lim
s→t−
x(t) = lim
s→t−
t−1
i=0
(−1)i ai
i!
(s − i)i
=
t−1
i=0
(−1)i ai
i!
(t − i)i
,
lim
s→t+
x(t) = lim
s→t+
t
i=0
(−1)i ai
i!
(s − i)i
=
t
i=0
(−1)i ai
i!
(t − i)i
=
t−1
i=0
(−1)i ai
i!
(s − i)i
,
tedy
lim
s→t−
x(t) = lim
s→t+
x(t)
a funkce x( · ) je v bodě t ∈ N spojitá. Dále
lim
s→t−
x′
(t) = lim
s→t−
t−1
i=0
(−1)i ai
(i − 1)!
(s − i)i−1
=
t−1
i=0
(−1)i ai
(i − 1)!
(t − i)i−1
=
=
t
i=0
(−1)i ai
(i − 1)!
(t − i)i−1
= lim
s→t+
x′
(t),
115
0 5 10 15
0.00.40.8
a = 0.2
t
x
0 5 10 15
0.00.40.8
a = 0.367879441171442
tx
0 5 10 15
0.00.40.8
a = 0.6
t
x
0 5 10 15
−0.50.00.51.0
a = 1
t
x
0 5 10 15
−1.00.00.51.0
a = 1.57079632679490
t
x
0 5 10 15
−10−505
a = 2
t
x
Obrázek 4.2: Fundamentální řešení (4.11) rovnice (4.7) pro různé hodnoty parametru a.
což znamená, že funkce x( · ) má v bodě t ∈ N spojitou derivaci. Celkem je tedy funkce x( · )
spojitá pro každé t > 0 a s výjimkou jediného bodu t = 1 má spojitou první derivaci a splňuje
diferenciální rovnici (4.7).
Analogickými výpočty se lze přesvědčit, že řešení x( · ) úlohy (4.7), (4.9), (4.10) má v každém
bodě t = n ∈ N spojitou derivaci až do řádu n − 1. Řešení je tedy funkce, která je po částech
polynomem. V každém z intervalů tvaru [n, n + 1) se však jedná o polynom jiného stupně; stupeň
polynomu se zvětšuje s rostoucí hodnotou nezávisle proměnné t. Navíc s rostoucím t také vzrůstá
hladkost funkce, roste řád derivace, kterou má funkce spojitou.
Řešení úlohy (4.7), (4.9), (4.10) nazveme fundamentální řešení rovnice (4.7) a označíme ho
k( · ). Je tedy
k(t) =
[t]
i=0
(−1)i ai
i!
(t − i)i
. (4.11)
Průběh fundamentálního řešení rovnice (4.7) pro několik různých hodnot parametru a je zobrazeno
na obr. 4.2. Vidíme, že řešení může k nule konvergovat monotonně ale různě rychle (s parametrem
a rostoucím od nuly k jisté hodnotě roste i rychlost konvergence), může k ní konvergovat s více
či méně tlumenými oscilacemi (s parametrem a rostoucím v jistých mezích roste i amplituda
tlumených oscilací), ale také může kolem ní oscilovat s konstantní nebo rostoucí amplitudou (pro
dostatečně velkou hodnotu parametru a).
4.1.2 Řešení pomocí Laplaceovy transformace
Přestavme si, že známe vývoj uvažované veličiny po jistou dobu v minulosti a chceme ho určit pro
budoucnost. Přesněji řečeno, předpokládejme, že známe řešení rovnice (4.7) na intervalu [−1, 0] a
116
chceme znát řešení pro t > 0. Hledáme tedy řešení úlohy
x′
(t) = −ax(t − 1), t > 0,
x(t) = ϕ(t), −1 ≤ t ≤ 0,
(4.12)
kde ϕ : [−1, 0] → R je integrabilní funkce.
Integrací rovnice v mezích od 0 do t a s využitím počáteční podmínky x(0) = ϕ(0) dostaneme
x(t) = ϕ(0) − a
t
0
x(s − 1)ds = ϕ(0) − a
t−1
−1
x(s)ds = ϕ(0) − a
0
−1
ϕ(s)ds − a
t−1
0
x(s)ds.
Označme
M = ϕ(0) − a
0
−1
ϕ(s)ds .
Při tomto označení dostaneme pro řešení úlohy odhad
|x(t)| = ϕ(0) − a
0
−1
ϕ(s)ds − a
t−1
0
x(s)ds ≤ ϕ(0) − a
0
−1
ϕ(s)ds + a
t−1
0
|x(s)| ds ≤
≤ M + a
t
0
|x(s)| ds.
Podle Gronwallova lemmatu (viz např. J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU,
Brno 2001, str. 19) tedy platí |x(t)| ≤ Meat
. To znamená, že řešení úlohy je funkce exponenciálního
řádu, a proto existuje jeho Laplaceův obraz.
Laplaceova transformace levé strany rovnice je sLx(s) − ϕ(0) a pravé strany
− a
∞
0
x(t − 1)e−st
dt = −a
∞
−1
x(t)e−s(t+1)
dt =
= −ae−s


0
−1
ϕ(t)e−st
dt +
∞
0
x(t)e−st
dt

 = −ae−s
0
−1
ϕ(t)e−st
dt − ae−s
Lx(s).
Z transformované úlohy
sLx(s) − ϕ(0) = −ae−s
0
−1
ϕ(t)e−st
dt − ae−s
Lx(s)
tedy dostaneme Laplaceův obraz řešení úlohy (4.12) ve tvaru
Lx(s) =
1
s + ae−s

ϕ(0) − ae−s
0
−1
ϕ(t)e−st
dt

 . (4.13)
Pokud je počáteční funkce ϕ tvaru
ϕ(t) =
1, t = 0,
0, 0 > t ≥ −1,
117
pak řešená úloha (4.12) je již vyřešenou úlohou (4.7), (4.9), (4.10). V takovém případě je
Lx(s) =
1
s + ae−s
= Lk(s), (4.14)
kde k( · ) je fundamentální řešení rovnice (4.7) dané formulí (4.11).
Označme na chvíli
˜ϕ(t) =
ϕ(t − 1), 0 ≤ t ≤ 1,
0, jinak.
Pak je
e−s
0
−1
ϕ(t)e−st
dt = e−s
1
0
ϕ(t − 1)e−s(t−1)
dt =
∞
0
˜ϕ(t)e−st
dt = L ˜ϕ(s).
Dosazením tohoto výsledku a (4.14) do vyjádření (4.13) dostaneme
Lx(s) = Lk(s) ϕ(0) − aL ˜ϕ(s) = ϕ(0)Lk(s) − aL ˜ϕ(s)Lk(s).
Poněvadž součin Laplaceových obrazů funkcí je Laplaceovým obrazem konvoluce funkcí, platí
Lx(s) = ϕ(0)Lk(s) − aL ˜ϕ ∗ k(s) = L ϕ(0)k − a ˜ϕ ∗ k (s).
To znamená, že řešení úlohy (4.12) je dáno formulí
x(t) = ϕ(0)k(t) − a ˜ϕ ∗ k(t).
Ještě upravíme konvoluci na pravé straně rovnosti:
˜ϕ ∗ k(t) =
∞
0
˜ϕ(s)k(t − s)ds =
1
0
ϕ(s − 1)k(t − s)ds.
Dostáváme tak řešení úlohy (4.12) ve tvaru
x(t) = ϕ(0)k(t) − a
1
0
k(t − s)ϕ(s − 1)ds. (4.15)
4.1.3 Charakteristická rovnice
Rovnice (4.7) je lineární homogenní, splňuje princip superpozice. To napovídá, že by mohla mít
řešení tvaru x(t) = eλt
, kde λ je zatím neznámá hodnota. Dosadíme toto vyjádření do rovnice
(4.7),
λeλt
= −aeλ(t−1)
a po vynásobení výrazem e−λt
dostaneme charakteristickou rovnici
λ + ae−λ
= 0; (4.16)
její řešení se nazývá charakteristický kořen.
Připomeňme, že číslo ξ je n-násobným kořenem rovnice f(ξ) = 0, pokud platí
f′
(ξ) = 0, f′′
(ξ) = 0, . . . , f(n−1)
(ξ) = 0, f(n)
(ξ) = 0;
je-li n = 1, mluvíme o jednoduchém kořenu.
Tvrzení 5. Každá z funkcí x(t) = tj
eλt
, j = 0, 1, 2, . . ., n−1 je řešením rovnice (4.7) právě tehdy,
když λ je n-násobným kořenem charakteristické rovnice (4.16).
118
Důkaz: Poněvadž předpokládáme a > 0, není λ = 0 kořenem charakteristické rovnice.
Označme h(λ) levou stranu charakteristické rovnice (4.16). Pak
h(λ) = λ + ae−λ
, h′
(λ) = 1 − ae−λ
, h′′
(λ) = ae−λ
, h(j)
(λ) = (−1)j
ae−λ
pro j = 2, 3, . . ..
Nechť L je operátor, který diferencovatelné funkci x definované na intervalu (−∞, ∞) přiřadí
funkci Lx danou vztahem
Lx(t) = x′
(t) + ax(t − 1).
Pak L je lineární operátor a jeho jádrem jsou diferencovatelná řešení rovnice (4.7), tj. Lx ≡ 0
právě tehdy, když x je řešením rovnice (4.7).
Buď k ∈ {1, 2, . . ., n − 1}. S využitím binomické věty dostaneme
Ltk
eλt
= ktk−1
eλt
+ λtk
eλt
+ a(t − 1)k
eλ(t−1)
=
= eλt

λtk
+ ktk−1
+ ae−λ
k
j=0
k
j
tk−j
(−1)j

 =
= eλt

 λ + ae−λ
tk
+ 1 − ae−λ
ktk−1
+ ae−λ
k
j=2
k
j
tk−j
(−1)j

 =
= eλt

h(λ)tk
+ h′
(λ)ktk−1
+
k
j=2
k
j
tk−j
h(j)
(λ)

 = eλt
k
j=0
k
j
tk−j
h(j)
(λ),
a s využitím Leibnizovy formule pro výpočet vyšší derivace součinu funkcí dostaneme
∂k
∂λk
eλt
h(λ) =
k
j=0
k
j
h(j)
(λ)
∂k−j
∂λk−j
eλt
=
k
j=0
k
j
h(j)
tk−j
eλt
= eλt
k
j=0
k
j
tk−j
h(j)
(λ).
Celkem tedy
Ltk
eλt
=
∂k
∂λk
eλt
h(λ)
pro libovolné k ∈ {0, 1, 2, . . ., n − 1} (pro k = 0 je totiž tento vztah splněn triviálně). To znamená,
že funkce x(t) = tk
eλt
je řešením rovnice (4.7) právě tehdy, když je alespoň k-násobným kořenem
rovnice
eλt
h(λ) = 0,
která je ekvivalentní s rovnicí charakteristickou (4.16).
Důsledek 1. Má-li charakteristická rovnice (4.16) komplexní n-násobná kořen λ = α+βi, pak má
také n-násobný kořen λ = α−βi a funkce x(t) = t2
eαt
cos βt, x(t) = t2
eαt
sin βt, j = 0, 1, . . . , n−1
jsou řešením rovnice (4.7)
Důkaz: Je-li α + βi n-násobným kořenem charakteristické rovnice (4.16) a h je funkce zavedená
v důkazu předchozího tvrzení, pak
h(j)
(α + βi) = (−1)j
ae−α
(cos β − i sin β) = (−1)j
ae−α
cos(−β) + i sin(−β) = h(j)
(α − βi),
j = 0, 1, . . ., n − 1.
Odtud plyne první tvrzení. Druhé tvrzení nyní plyne z principu superpozice, neboť
tj
eαt
cos βt =
1
2
tj
e(α+βi)t
+ e(α−βi)t
, tj
eαt
sin βt =
1
2i
tj
e(α+βi)t
− e(α−βi)t
.
119
a < e−1
λ
−λ
λ2 λ1
a
ae−λ
a = akrit = e−1
λ
akrit
akrit e−λ
−λ
λ∗
a > e−1
λ
a
ae−λ
−λ
Obrázek 4.3: Grafické znázornění charakteristické rovnice (4.16) pro různé hodnoty parametru a.
Charakteristickou rovnici (4.16) můžeme přepsat ve tvaru
ae−λ
= −λ.
Grafem pravé strany je osa druhého a čtvrtého kvadrantu, grafem levé strany je klesající exponenciála.
Ta může osu druhého kvadrantu protínat ve dvou bodech (charakteristická rovnice má dva
reálné různé kořeny λ1, λ2), může se jí dotýkat (charakteristická rovnice má dvojnásobný reálný
kořen λ∗
), nebo s ní nemít žádný společný bod (charakteristická rovnice nemá reálný kořen), viz
obr. 4.3.
Najdeme kritickou hodnotu akrit parametru a, pro kterou má charakteristická rovnice dvojnásobný
reálný kořen λ∗
. Hodnoty akrit a λ∗
jsou řešením soustavy rovnic
akrite−λ∗
= −λ∗
,
d
dλ
akrite−λ
= −akrite−λ∗
= −1.
Tedy λ∗
= −1, akrit = e−1
.
Nyní můžeme zformulovat první výsledek: Pokud parametr a splňuje podmínky 0 < a ≤ e−1
,
pak existuje monotonní řešení x = x(t) rovnice (4.7) takové, že
lim
t→∞
x(t) = 0.
Charakteristická rovnice (4.16) může také mít komplexní kořeny tvaru λ = α + βi. Ty samozřejmě
rovnici splňují, tj.
α + βi + ae−α
(cos β − i sin β) = 0.
Porovnáním reálné a imaginární části dostaneme soustavu rovnic
α = −ae−α
cos β,
β = ae−α
sin β
(4.17)
pro reálné hodnoty α, β. Bezprostředně je vidět, že s každým řešením (α, β) je také dvojice (α, −β)
řešením této soustavy. Stačí se tedy omezit na hledání řešení s β > 0.
Přímým výpočtem ověříme, že pro a = 1
2 π má soustava (4.17) řešení α = 0, β = 1
2 π. Pro
hodnotu parametru a = 1
2 π tedy existují periodická řešení rovnice (4.7)
x(t) = cos 1
2 πt a x(t) = sin 1
2 πt.
Soustavu rovnic (4.17) můžeme dále upravit na tvar
α = −β cotg β,
a =
β
sin β
e−β cotg β
,
120
0 5 10 15 20 25
−3−2−10123
β
α,a
α = −βcotg(β)
a =
β
sin(β)
exp(−βcotg(β))
π 2π 3π 4π 5π 6π
π
2
1
e
Obrázek 4.4: Grafické řešení soustavy rovnic (4.17), tj. hledání komplexních kořenů charakteristické
rovnice (4.16).
v jehož pravých stranách se objevuje pouze neznámá β. Vyšetříme průběh pravých stran, které
budeme považovat za funkce nezávisle proměnné β. Výsledek je na obr. 4.4. Tento obrázek můžeme
využít tak, že pro zvolenou hodnotu parametru a najdeme příslušné hodnoty β (jako první souřadnice
průsečíků přímky rovnoběžné s vodorovnou osou ve výšce a s červenými čarami). K těmto
hodnotám β najdeme hodnoty α (jako druhou souřadnici modré čáry v příslušné hodnotě β).
Na obrázku 4.4 je takto znázorněna nejmenší hodnota β odpovídající hodnotě a = 1
2 π a k němu
příslušná hodnota α = 0.
Z obrázku 4.4 je vidět, že pro libovolnou hodnotu a > 0 existuje nekonečně mnoho dvojic (α, β),
které vyhovují rovnicím (4.17). To znamená, že rovnice (4.7) má nekonečně mnoho nezávislých
oscilatorických řešení. Dále pro hodnoty a > 1
2 π existuje dvojice (α, β) vyhovující rovnicím (4.17)
taková, že α > 0. To znamená, že pro a > 1
2 π existuje řešení rovnice (4.7), které osciluje s rostoucí
amplitudou.
Poněvadž rovnice (4.7) splňuje princip superpozice, množina jejích řešení tvoří vektorový prostor.
Provedené úvahy však ukazují, že tento prostor nemá konečnou dimenzi.
4.2 Rovnice s distribuovaným zpožděním
Uvažujme rovnici (4.3) s váhovou funkcí w splňující podmínky (4.4). Parametr β má rozměr převrácené
hodnoty času a parametr α má stejný rozměr jako regulovaná veličina y. „Váha minulosti
w je bezrozměrná veličina a je současně hustotou nezáporné náhodné veličiny „zpoždění signálu,
který určuje regulaci veličiny y . Označme její střední hodnotu symbolem τ, tj.
τ =
∞
−∞
sw(s)ds =
∞
0
sw(s)ds
121
a platí τ > 0; hodnota τ představuje očekávané zpoždění signálu potřebného k regulaci veličiny y.
Podobně jako v případě rovnice s diskrétním zpožděním zavedeme novou stavovou proměnnou
x = x(t) jako (absolutní) odchylku regulované veličiny y od cílové hodnoty α,
x(t) = y(t) − α.
Pak je
x′
(t) = y′
(t) = β

α −
t
−∞
y(s)w(t − s)ds

 = β

α
t
−∞
w(t − s)ds −
t
−∞
y(s)w(t − s)ds

 =
= −β
t
−∞
y(s) − α w(t − s)ds = −β
t
−∞
x(s)w(t − s)ds.
Rovnice (4.3) je tedy ekvivalentní s rovnicí
x′
(t) = −β
t
−∞
x(s)w(t − s)ds, (4.18)
nebo stručněji s rovnicí, jejíž pravá strana je ve tvaru konvoluce
x′
= −βx ∗ w.
Tato rovnice vypadá jako obyčejná diferenciální rovnice pro neznámou funkci x, na jejíž pravé
straně se nezávisle proměnná explicitně nevyskytuje; jedná se tedy o rovnici „svého druhu autonomní
. Transformovaná rovnice formálně obsahuje jediný parametr β. Ovšem další parametry
jsou skryty ve váhové funkci w; přinejmenším je v ní implicitně obsaženo očekávané zpoždění
signálu τ.
Jako počáteční podmínku k rovnici (4.18) je potřebné zadat všechny hodnoty hledané funkce
x až do počátečního času t0, tj. podmínku
x(t) = ϕ(t), t ≤ t0. (4.19)
Nyní zvolíme t0 = 0 a speciální počáteční funkci ϕ, konkrétně
ϕ(t) =
0, t < 0,
1, t = 0.
(4.20)
Integrací rovnice (4.18) podle času v mezích od 0 po t dostaneme
x(t) = x(0) − β
t
0


σ
−∞
x(s)w(σ − s)ds

 dσ =
= x(0) − β
t
0


0
−∞
x(s)w(σ − s)ds +
σ
0
x(s)w(σ − s)ds

 dσ.
Pokud funkce x splňuje počáteční podmínku (4.19) s funkcí ϕ danou předpisem (4.20), pak platí
x(t) = 1 − β
t
0


σ
0
x(s)w(σ − s)ds

 dσ. (4.21)
122
Zavedeme funkci W vztahem
W(s) =
s
0
w(σ)dσ =
s
−∞
w(σ)dσ.
Pokud váhovou funkci w interpretujeme jako hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny „zpoždění
regulačního signálu , pak funkce W představuje distribuční funkci této náhodné veličiny.
Nyní v dvojnásobném integrálu na pravé straně rovnosti (4.21) změníme pořadí integrace a
integrál upravíme,
t
0


σ
0
x(s)w(σ − s)ds

 dσ =
t
0


t
s
x(s)w(σ − s)dσ

 ds =
=
t
0
x(s)


t
s
w(σ − s)dσ

 ds =
t
0
x(s)


t−s
0
w(σ)dσ

 ds =
t
0
x(s)W(t − s)ds.
Celkem tak dostáváme výsledek, že řešení počáteční úlohy
x′
(t) = −β
t
−∞
x(s)w(t − s)ds, t > 0,
x(0) = 1, t = 0,
x(t) = 0, t < 0
pro diferenciální rovnici s distribuovaným zpožděním je současně řešením integrální rovnice
x(t) + β
t
0
x(s)W(t − s)ds = 1.
4.2.1 Distribuované zpoždění typu Γ
V rovnici (4.18) zvolíme speciální váhovou funkci w, konkrétně hustotu gama rozdělení pravděpo-
dobnosti,
w(s) = gp
α(s) =
αp
Γ(p)
e−αs
sp−1
,
kde α a p jsou kladné parametry. Tato funkce má vlastnosti (4.4). Náhodnou veličinu T s hustotou
gp
α interpretujeme jako zpoždění signálu. Očekávaná (střední) doba zpoždění τ je
E T =
∞
0
sgp
α(s)ds =
αp
Γ(p)
∞
0
e−αs
sp
ds =
αp
Γ(p)

 −
1
α
e−αs
sp
∞
s=0
+
p
α
∞
0
e−αs
sp−1
ds

 =
=
p
α
∞
0
αp
Γ(p)
e−αs
sp−1
ds =
p
α
∞
0
gp
α(s)ds =
p
α
,
druhý moment náhodné veličiny T je
∞
0
s2
gp
α(s)ds =
αp
Γ(p)
∞
0
e−αs
sp+1
ds =
αp
Γ(p)

 −
1
α
e−αs
sp+1
∞
s=0
+
p + 1
α
∞
0
e−αs
sp
ds

 =
=
p + 1
α
αp
Γ(p)
∞
0
se−αs
sp−1
ds =
p + 1
α
∞
0
sgp
α(s)ds =
p + 1
α
E T =
(p + 1)p
α2
,
123
n = 1 n = 2 n = 4 n = 10
gn
n
1
s1 2
gn
n
1
s1 2
gn
n
1
s1 2
gn
n
1
s1 2
Obrázek 4.5: Hustota gama rozdělení pravděpodobnosti s parametry p = α = n ∈ N pro několik
hodnot n.
takže rozptyl zpoždění je roven
var T = E T 2
− (E T )2
=
(p + 1)p
α2
−
p
α
2
=
p
α2
.
Zejména pro p = α = n ∈ N platí
gn
n(s) =
nn
(n − 1)!
e−ns
sn−1
, E T = 1, lim
n→∞
varT = lim
n→∞
1
n
= 0.
To znamená, že posloupnost funkcí {gn
n}∞
n=1 je vytvořující posloupností Diracovy distribuce soustředěné
v bodě 1. Grafy hustot gn
n pro několik hodnot parametru n jsou zobrazeny na obrázku
4.5.
Transformace rovnice na rovnici s bezrozměrným časem
Vzhledem k tomu, že τ = E T = p/α, můžeme ve vyjádření váhové funkce gp
α psát zlomek p/τ
místo parametru α. Váhová funkce tedy bude
w(s) = gp
p/τ (s) =
pp
τpΓ(p)
e− p
τ s
sp−1
=
pp
τΓ(p)
e−p s
τ
s
τ
p−1
=
1
τ
gp
p
s
τ
a rovnice (4.18) získá tvar
z′
(s) = −
β
τ
s
−∞
z(σ)gp
p
s − σ
τ
dσ; (4.22)
píšeme symbol z místo x a s místo t. Změnou měřítka σ → τσ v integrační proměnné tuto rovnici
přepíšeme
z′
(s) = −β
s/τ
−∞
z(τσ)gp
p
s − τσ
τ
dσ.
Nyní zavedeme bezrozměrnou nezávisle proměnnou t vztahem s = τt a označíme x(t) = z(τt).
Pak
x′
(t) = τz′
(τt) = −τβ
t
−∞
z(τσ)gp
p
τt − τσ
τ
dσ = −βτ
t
−∞
x(σ)gp
p(t − σ)dσ.
Znovu použijeme označení (4.6). Rovnice (4.22) se pak transformuje na rovnici
x′
(t) = −a
t
−∞
x(s)gp
p(t − s)ds (4.23)
124
s bezrozměrným časem t a s bezrozměrnými parametry a, p. Také tuto rovnici lze přepsat v kratším
tvaru s konvolucí na pravé straně
x′
= −ax ∗ gp
p.
Pokud zvolíme p ∈ N, můžeme rovnici (4.7) s diskrétním zpožděním považovat za limitní případ
rovnice (4.23) s distribuovaným zpožděním pro p → ∞.
Příklad: Řešení rovnice (4.23) s parametrem p = 1
Hustota gama rozdělení pravděpodobnosti s parametry p = α = 1 je klesající exponenciální funkce,
g1
1(s) = e−s
. Uvažujme tedy počáteční úlohu
x′
(t) = −a
t
−∞
x(s)e−(t−s)
ds, t > 0,
x(t) = ϕ(t), t ≤ 0.
Zavedeme pomocnou funkci y = y(t) vztahem
y(t) =
t
−∞
x(s)e−t+s
ds.
Pak je
y′
(t) = x(t) −
t
−∞
x(s)e−t+s
ds = x(t) − y(t)
a dále platí
x(0) = ϕ(0), y(0) =
0
−∞
ϕ(s)es
ds. (4.24)
Funkce x a y tedy splňují soustavu obyčejných lineárních diferenciálních rovnic
x′
= −ay
y′
= x − y
s počátečními podmínkami (4.24). Tato počáteční úloha je ekvivalentní s počátečním problémem
pro obyčejnou lineární homogenní rovnici druhého řádu s konstantním koeficientem
x′′
+ x′
+ ax = 0, x(0) = ϕ(0), x′
(0) = −a
0
−∞
ϕ(s)es
ds,
který má jediné řešení
x(t) =



ϕ(0) cosh 1
2
√
1 − 4a t +
A
√
1 − 4a
sinh 1
2
√
1 − 4a t e− 1
2 t
, a < 1
4 ,
ϕ(0) + 1
2 At e− 1
2 t
, a = 1
4 ,
ϕ(0) cos 1
2
√
4a − 1 t +
A
√
4a − 1
sin 1
2
√
4a − 1 t e− 1
2 t
, a > 1
4 ,
kde jsme označili
A = ϕ(0) − 2a
0
−∞
ϕ(s)es
ds.
125
Tato funkce je současně řešením dané úlohy. Platí pro ni
lim
t→∞
x(t) = 0
a funkce x je v okolí nekonečna monotonní (pro a ≤ 1
4 ), nebo osciluje kolem 0 (pro a > 1
4 ).
Z výsledků výpočtu vidíme, že regulace pomocí zpětné vazby s exponenciálně klesajícím vlivem
minulosti, vede vždy k dosažení žádaného cílového stavu; při jeho dosahování se mohou objevit tlumené
oscilace – pokud „intenzita regulování je příliš velká, nebo regulaci ovlivňuje příliš vzdálená
minulost.
Charakteristická rovnice a nestabilita
Rovnice (4.23) splňuje princip superpozice, jak se můžeme snadno přesvědčit přímým výpočtem.
Proto zkusíme hledat její řešení ve tvaru exponenciální funkce x(t) = eλt
. Takové řešení musí
splňovat rovnost
λeλt
= x′
(t) = −a
t
−∞
eλs
gp
p(t − s)ds,
tedy pro λ ∈ R, λ > −p a p > 1 bude platit
λ = −a
t
−∞
e−λ(t−s)
gp
p(t − s)ds = −a
∞
0
e−λs
gp
p(s)ds =
−app
Γ(p)
∞
0
e−(λ+p)s
sp−1
ds =
= −
app
Γ(p)

 −
1
λ + p
e−(λ+p)s
sp−1
∞
s=0
+
p − 1
λ + p
∞
0
e−(λ+p)s
sp−2
ds

 =
= −
app
(λ + p)Γ(p − 1)
∞
0
e−(λ+p)s
sp−2
ds = −a
p
λ + p
p
∞
0
(λ + p)p−1
Γ(p − 1)
e−(λ+p)s
sp−2
ds =
= −a
p
λ + p
p ∞
0
gp−1
λ+p(s)ds = −a
p
λ + p
p
,
neboť gp−1
λ+p je hustotou rozdělení pravděpodobnosti. Analogickým výpočtem se lze přesvědčit, že
odvozená rovnost platí i pro p = 1 a také pro λ komplexní s reálnou částí větší než −p. Dostáváme
tak charakteristickou rovnici příslušnou k rovnici (4.23) ve tvaru
λ(λ + p)p
+ app
= 0. (4.25)
Z provedených výpočtů je zřejmé, že pro každý kořen λ této rovnice je exponenciální funkce x,
x(t) = eλt
řešením diferenciální rovnice s distribuovaným zpožděním (4.23).
Pokud je parametr p přirozené číslo, pak je charakteristická rovnice (4.25) rovnicí algebraickou
stupně p + 1. Pak můžeme vyšetřit standardními metodami, např. užitím Hurwitzova kritéria, za
jakých podmínek má kořeny s kladnou reálnou částí, tedy za jakých podmínek je nulové řešení
rovnice (4.23) nestabilní. Výsledky pro několik hodnot parametru p jsou shrnuty v následující
tabulce:
p dostatečná podmínka nestability
2 a > 4
3 a > 8
3
.
= 2,6667
4 a > 32 5
√
2 − 7
.
= 2,2742
5 a > 16
5 7
√
5 − 15
.
= 2,0879
126
Ekvivalence rovnice (4.23) se systémem obyčejných lineárních rovnic
Nechť p ∈ N a uvažujme počáteční úlohu pro rovnici s distribuovaným zpožděním
x′
(t) = −a
t
−∞
x(s)gp
p(t − s)ds, t > 0,
x(t) = ϕ(t), t ≤ 0.
(4.26)
Pro funkce gj
p definované vztahy
gj
p(s) =
pj
(j − 1)!
e−ps
sj−1
, j = 1, 2, . . . , p,
platí
g1
p(0) = p, gj
p(0) = 0, j = 2, 3, . . . , p,
d
ds
g1
p(s) =
d
ds
pe−ps
= −p2
e−ps
= −pg1
p(s),
d
ds
gj
p(s) =
pj
(j − 1)!
−psj−1
+ (j − 1)sj−2
e−ps
=
= p
pj−1
(j − 2)!
sj−2
−
pj
(j − 1)!
sj−1
e−ps
= p gj−1
p (s) − gj
p(s) , j = 2, 3, . . ., p.
Nechť nyní funkce x = x(t) je řešením úlohy (4.26). Položme
y0(t) = x(t), yj(t) =
t
−∞
x(s)gj
p(t − s)ds, j = 1, 2, . . ., p.
Pak platí
y0(0) = ϕ(0), yj(0) =
0
−∞
ϕ(s)gj
p(t − s)ds, j = 1, 2, . . ., p, (4.27)
dále
y′
0(t) = −a
t
−∞
x(s)gp
p(t − s)ds = −ayp(t)
a s využitím odvozených identit pro funkce gj
p dostaneme
y′
1(t) = x(t)g1
p(0) +
t
−∞
x(s)
d
ds
g1
p(t − s)ds = px(t) − p
t
−∞
x(s)g1
p(t − s)ds = p y0(t) − y1(t) ,
y′
j(t) = x(t)gj
p(0) +
t
−∞
x(s)
d
ds
gj
p(t − s)ds = p
t
−∞
x(s) gj−1
p (t − s) − gj
p(t − s) ds =
= p yj−1(t) − yj(t) , j = 2, 3 . . ., p.
To znamená, že funkce y0, y1, . . . , yp jsou řešením systému obyčejných homogenních diferenciálních
rovnic s konstantními koeficienty
y′
0 = −ayp,
y′
j = p(yj−1 − yj), j = 1, 2, . . . , p
(4.28)
127
a s počátečními podmínkami (4.27). Tuto počáteční úlohu můžeme zapsat v obvyklém vektorovém
tvaru









y0
y1
y2
...
yp−1
yp









′
=









0 0 0 . . . 0 −a
p −p 0 . . . 0 0
0 p −p . . . 0 0
...
...
...
...
...
...
0 0 0 . . . −p 0
0 0 0 . . . p −p


















y0
y1
y2
...
yp−1
yp









,









y0(0)
y1(0)
y2(0)
...
yp−1(0)
yp(0)









=









ϕ(0)
ϕ ∗ g1
p(0)
ϕ ∗ g2
p(0)
...
ϕ ∗ gp−1
p (0)
ϕ ∗ gp
p(0)









.
(4.29)
Nultá složka řešení tohoto systému je řešením počáteční úlohy (4.26).
Ještě si můžeme všimnout, že charakteristická rovnice příslušná k systému obyčejných lineárních
rovnic (4.29) je tvaru (4.25).
128
Příloha A
Dodatky k matematické analýze
A.1 Distribuce
A.1.1 Základní pojmy
Nechť ϕ : Rn
→ R je funkce n proměnných definovaná na celém prostoru Rn
. Nosič funkce ϕ
definujeme jako uzávěr množiny {x ∈ Rn
: ϕ(x) = 0} a značíme ho Supp ϕ.
Symbolem D označíme množinu funkcí definovaných na Rn
, které zde jsou třídy C∞
(mají
spojité všechny parciální derivace libovolného řádu) a jejichž nosič je kompaktní množina.
Na množině D definujeme metriku ρ vztahem
ρ(ϕ, ψ) = sup
∂i1+i2+···+in
∂xi1
1 ∂xi2
2 · · · ∂xin
n
(ϕ(x) − ψ(x)) : x ∈ Rn
, (i1, i2, . . . , in) ∈ (N ∪ {0})
n
.
Množinu D s touto metrikou nazýváme prostor testovacích funkcí, jeho prvky nazýváme testovací
funkce.
Zobrazení T : D → R, pro které platí
T (ϕ + ψ) = T (ϕ) + T (ψ), T (cϕ) = cT (ϕ) , c ∈ R
nazýváme lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí. Obraz funkce ϕ při zobrazení T
budeme značit
T (ϕ), T · ϕ, T ϕ.
Množinu všech lineárních funkcionálů D → R nazýváme prostor duální k D a značíme ji D′
.
Definice 1. Spojitý lineární funkcionál na prostoru testovacích funkcí se nazývá distribuce.
Podrobněji: Zobrazení T : D → R nazveme distribuce, jestliže
• (∀ϕ, ψ ∈ D) T (ϕ + ψ) = T ϕ + T ψ,
• (∀ϕ ∈ D) (∀c ∈ R) T (cϕ) = cT ϕ,
• (∀{ϕn} ⊆ D) (∀ϕ ∈ D) ϕn → ϕ v prostoru (D, ρ) ⇒ T ϕn → T ϕ v prostoru R s přirozenou
metrikou.
Příklady distribucí
1. Nechť f : Rn
→ R je funkce taková, že pro každou kompaktní množinu K ⊆ Rn
existuje
konečný integrál
K
f(x)dx (tzv. lokálně integrabilní funkce). Definujme Tf ∈ D′
vztahem
Tf ϕ =
Rn
f(x)ϕ(x)dx .
129
Tf ϕ budeme také značit f ϕ , nebo podrobněji f(x) ϕ(x) .
Distribuce T ∈ D′
taková, že existuje lokálně integrabilní funkce f pro niž T ϕ = f ϕ
pro všechny ϕ ∈ D, se nazývá regulární distribuce. Distribuce, která není regulární, se někdy
nazývá singulární.
Každé lokálně integrabilní funkci odpovídá distribuce, proto lze množinu lokálně integrovatelných
funkcí považovat za podmnožinu D′
. Z tohoto důvodu se distribuce někdy nazývají
zobecněné funkce.
Každou funkci ϕ ∈ D lze považovat za regulární distribuci. Tedy D ⊆ D′
.
2. Diracova distribuce δ přiřadí každé testovací funkci ϕ ∈ D hodnotu ϕ(0). Diracova distribuce
není regulární. Přesto se používá zápis
δ ϕ = δ(x) ϕ(x) =
Rn
δ(x)ϕ(x)dx = ϕ(0) .
Nosič distribuce
Řekneme, že distribuce T ∈ D′
je na množině Ω ⊆ Rn
nulová, jestliže T ϕ = 0 pro každou testovací
funkci ϕ ∈ D takovou, že Supp ϕ ⊆ Ω.
Nosič distribuce T je nejmenší (vzhledem k množinové inklusi) uzavřená množina taková, že na
jejím komplementu je T nulová.
Základní operace v prostoru distribucí
• Součet distribucí T, S ∈ D′
:
T + S ∈ D′
je distribuce, pro niž platí
(T + S)ϕ = T ϕ + Sϕ
pro každou testovací funkci ϕ ∈ D.
• Násobení distribuce T ∈ D′
funkcí a : Rn
→ R třídy C∞
:
Je-li ϕ ∈ D testovací funkce, pak ϕ má kompaktní nosič. To znamená, že také funkce aϕ má
kompaktní nosič, tedy aϕ ∈ D.
aT ∈ D′
je distribuce, pro niž platí
(aT )ϕ = T (aϕ)
pro každou testovací funkci ϕ ∈ D.
• Translace (posunutí) distribuce T ∈ D o vektor h ∈ Rn
:
Je-li ϕ ∈ D, pak funkce ϕh definovaná vztahem ϕh(x) = ϕ(x + h) má kompaktní nosič, je
tedy také testovací funkcí.
Translace distribuce T ∈ D′
o vektor h je distribuce τhT ∈ D′
, pro niž platí
(τhT ) ϕ = T ϕh
pro každou testovací funkci ϕ ∈ D.
Pro regulární distribuci určenou funkcí f platí
(τhTf ) ϕ =
Rn
f(x)ϕ(x + h)dx =
Rn
f(x − h)ϕ(x)dx .
Nechť x0 = o + h. Translace Diracovy distribuce o vektor h, je distribuce δ(x − x0), pro niž platí
δ(x − x0) ϕ(x) = δ(x) ϕ(x + h) = ϕ(x0)
pro každou ϕ ∈ D. Tato distribuce se nazývá Diracova distribuce soustředěná v bodě x0.
130
A.1.2 Derivování distribucí
Nechť f je diferencovatelná (a tedy lokálně integrabilní) funkce, ϕ ∈ D. Pak platí
Rn
∂f
∂x1
(x)ϕ(x)dx =
∞
−∞
∞
−∞
· · ·
∞
−∞


∞
−∞
∂f
∂x1
(x)ϕ(x)dx1

 dx2 . . . dxn−1dxn =
=
∞
−∞
∞
−∞
· · ·
∞
−∞

[f(x)ϕ(x)]∞
x1=−∞ −
∞
−∞
f(x)
∂ϕ
∂x1
(x)dx1

 dx2 . . . dxn−1dxn =
= −
∞
−∞
∞
−∞
· · ·
∞
−∞
f(x)
∂ϕ
∂x1
(x)dx1dx2 . . . dxn−1dxn = −
Rn
f(x)
∂ϕ
∂x1
(x)dx ,
poněvadž Supp(fϕ) je kompaktní. Jako zobecnění této úvahy definujeme:
Parciální derivace podle první proměnné distribuce T ∈ D′
je distribuce
∂
∂x1
T , pro niž platí
∂
∂x1
T ϕ = −T
∂ϕ
∂x1
pro každou ϕ ∈ D.
Obecně
∂i1+i2+···in
∂xi1
1 ∂xi2
2 · · · ∂xin
n
T ϕ = (−1)i1+i2+···in
T
∂i1+i2+···in
∂xi1
1 ∂xi2
2 · · · ∂xin
n
ϕ .
Každá distribuce má derivace libovolného řádu.
Každá lokálně integrabilní funkce f určuje regulární distribuci. Tato distribuce má derivaci
libovolného řádu. V tomto smyslu lze říci, že každá lokálně integrabilní funkce f má derivaci
libovolného řádu. Tato distribuce však obecně není funkcí ale distribucí. Nazýváme ji distributivní
derivací funkce f.
Heavisidova skoková funkce (distribuce)
Funkce H : R → R definovaná vztahem
H(x) =
1, x ≥ 0
0, x < 0
je lokálně integrabilní. Určuje tedy regulární distribuci, pro niž platí
H ϕ =
∞
−∞
H(x)ϕ(x)dx =
∞
0
ϕ(x)dx .
Dále platí
H′
ϕ = − H ϕ′
= −
∞
0
ϕ′
(x)dx = − [ϕ(x)]
∞
0 = ϕ(0) = δ ϕ ,
tedy distributivní derivací funkce H je Diracova distribuce (soustředěná v bodě 0).
Obecně: Funkce H : Rn
→ R definovaná vztahem
H(x1, x2, . . . , xn) =
1, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . xn ≥ 0
0, jinak
131
určuje regulární distribuci:
H ϕ =
∞
−∞
∞
−∞
· · ·
∞
−∞
H(x1, x2, . . . , xn)ϕ(x1, x2, . . . , xn)dx1dx2 · · · dxn =
=
∞
0
∞
0
· · ·
∞
0
ϕ(x1, x2, . . . , xn)dx1dx2 · · · dxn .
Poněvadž
∂n
∂x1∂x2···∂xn
H ϕ = (−1)n
H ∂n
∂x1∂x2···∂xn
ϕ =
= (−1)n
∞
0
∞
0
· · ·
∞
0
∂n
∂x1∂x2 · · · ∂xn
ϕ(x1, x2, . . . , xn)dx1dx2 · · · dxn =
= (−1)n
∞
0
∞
0
· · ·
∞
0
∂n−1
∂x2∂x3 · · · ∂xn
ϕ(x1, x2, . . . , xn)
∞
x1=0
dx2dx3 · · · dxn =
= −(−1)n
∞
0
∞
0
· · ·
∞
0
∂n−1
∂x2∂x3 · · · ∂xn
ϕ(0, x2, x3, . . . , xn)dx2dx3 · · · dxn = · · ·
· · · = (−1)2n
ϕ(0, 0, . . . , 0) = ϕ(0, 0, . . . , 0) ,
je
∂n
∂x1∂x2 · · · ∂xn
H = δ.
Distributivní derivace funkcí jedné proměnné
Nechť funkce f : R → R je třídy C∞
na každém z intervalů (−∞, 0), (0, ∞) a nechť každá její
derivace je lokálně integrabilní. Tato funkce určuje regulární distribuci Tf .
Označme σm = lim
x→0+
f(m)
(x) − lim
x→0−
f(m)
(x) a T ′
f =
∂
∂x
T, T ′′
f =
∂2
∂x2
T . . . , T
(k)
f =
∂k
∂xk
T .
Pro každou ϕ ∈ D platí
T ′
f ϕ = − f(x) ϕ′(x) = −
∞
−∞
f(x)ϕ′
(x)dx = −
0
−∞
f(x)ϕ′
(x)dx −
∞
0
f(x)ϕ′
(x)dx =
= − [f(x)ϕ(x)]
0
−∞ +
0
−∞
f′
(x)ϕ(x)dx − [f(x)ϕ(x)]
∞
0 +
∞
0
f′
(x)ϕ(x)dx =
= lim
x→0+
f(x)ϕ(x) − lim
x→0−
f(x)ϕ(x) +
∞
−∞
f′
(x)ϕ(x)dx =
= ϕ(0) lim
x→0+
f(x) − lim
x→0−
f(x) +
∞
−∞
f′
(x)ϕ(x)dx =
= σ0ϕ(0) +
∞
−∞
f′
(x)ϕ(x)dx = σ0 δ ϕ + f′
ϕ = σ0 δ ϕ + Tf′ ϕ ,
symbolicky
T ′
f = σ0δ + Tf′ .
132
Obecně
T
(k)
f ϕ =
k−1
m=0
(−1)k−m−1
σmϕ(k−m−1)
(0) +
∞
−∞
f(k)
(x)ϕ(x)dx ,
Symbolicky
T
(k)
f =
k−1
m=0
σmδ(k−m−1)
+ Tf(k) .
A.1.3 Konvergence distribucí
Řekneme, že posloupnost distribucí {Tk}
∞
k=1 ⊆ D′
konverguje pro k → ∞ k distribuci T ∈ D′
a
píšeme
lim
k→∞
Tk = T ,
jestliže pro každou testovací funkci ϕ ∈ D je lim
k→∞
Tkϕ = T ϕ (v tomto případě jde o konvergenci
číselných posloupností).
Nechť {Tk}∞
k=1 ⊆ D′
je posloupnost distribucí taková, že pro každou testovací funkci ϕ ∈ D
existuje limita posloupnosti čísel {Tkϕ}
∞
k=1. Definujme zobrazení T : D → R předpisem
T (ϕ) = lim
k→∞
Tkϕ .
Pak T je lineární (to plyne z linearity každé z distribucí Tk a z linearity operátoru limity posloupností)
a spojité (důkaz např. v: Laurent Schwartz: Théorie des distributions, Paris 1973). To
znamená, že T je distribuce.
δ-vytvořující posloupnosti
Nechť {fk}
∞
k=1 je posloupnost lokálně integrabilních funkcí na Rn
takových, že lim
k→∞
Tfk
= δ, tj.
lim
k→∞
fk ϕ = ϕ(0)
pro každou testovací funkci ϕ ∈ D. Pak {fk}
∞
k=1 se nazývá δ-vytvořující posloupnost, funkce fk se
nazývají impulsní funkce.
Příklady δ-vytvořujících posloupností:
fk(x) =



k, |x| ≤
1
2k
0, |x| >
1
2k
, fk(x) =



k − k2
|x|, |x| ≤
1
k
0, |x| >
1
k
,
fk(x) =
k
2π
e−kx2
/2
, fk(x) =
sin kx
πx
,
fk(x) =
1
π
αk
x2 + α2
k
,
přitom {αk}∞
k=1 je libovolná posloupnost kladných čísel taková, že lim
k→∞
αk = 0,
fk(x) =



1
ℓ
+
2
ℓ
k
m=1
cos
2πm
ℓ
x, |x| ≤ 1
2 ℓ
0, |x| > 1
2 ℓ
.
Tyto posloupnosti jsou znázorněny na obrázku A.1.
133
fk
x
fk
x
fk(x) =
k, |x| ≤ 1/(2k)
0, jinak
fk(x) =
k − k2
|x|, |x| ≤ 1/k
0, jinak
fk
x
fk
x
fk(x) =
k
2π
e− 1
2 kx2
fk(x) =
sin kx
πx
fk
x
fk
x
fk(x) =
1
π
k2
k4x2 + 1
fk(x) =



1
2 +
k
n=1
cos nπx, |x| ≤ 1
0, jinak
Obrázek A.1: Několik prvních členů některých δ-vytvořujících posloupností. S rostoucím k se
zmenšuje síla čáry.
134
A.2 Fourierova transformace a konvoluce
O všech funkcích nezávisle proměnné x, které se v tomto oddíle vyskytnou, budeme předpokládat,
že jsou definovány na celé množině R, mají po částech spojitou derivaci a konvergují dostatečně
rychle k nule pro |x| → ∞. „Dostatečně rychlou konvergencí budeme rozumět, že
∞
−∞
f(x) dx < ∞.
Fourierova transformace F převádí reálnou funkci f jedné reálné proměnné na komplexní
funkci F(f) = ˆf jedné reálné proměnné definovanou vztahem
ˆf(ξ) =
∞
−∞
f(x)e−ixξ
dx.
Obraz funkce f při Fourierově transformaci (Fourierův obraz funkce) můžeme také vyjádřit jako
součet reálné a imaginární části,
ˆf(ξ) =
∞
−∞
f(x) cos xξdx − i
∞
−∞
f(x) sin xξdx.
Poznámka 1. Fourierův obraz funkce f bývá v (technických) aplikacích nazýván spektrum (signálu)
f, někdy také spektrální funkce nebo spektrální hustota.
Z linearity integrálu plyne, že Fourierova transformace je lineární, tj.
F(c1f1 + c2f2)(ξ) = c1
ˆf1(ξ) + c2
ˆf2(ξ).
Příklady:
• Najdeme Fourierův obraz funkce f dané předpisem f(x) = e−α|x|
, kde α > 0.
ˆf(ξ) =
∞
−∞
e−α|x|
e−ixξ
dx =
0
−∞
ex(α−iξ)
dx +
∞
0
e−x(α+iξ)
dx =
∞
0
e−x(α−iξ)
dx +
∞
0
e−x(α+iξ)
dx =
= −
e−x(α−iξ)
α − iξ
−
e−x(α+iξ)
α + iξ
∞
x=0
= −
e−xα
(cos xξ + i sin xξ)
α − iξ
−
e−xα
(cos xξ − i sin xξ)
α + iξ
∞
x=0
=
=
1
α − iξ
+
1
α + iξ
=
2α
α2 + ξ2
.
• Najdeme Fourierův obraz funkce f dané předpisem
f(x) =
α, |x| < β,
0, jinak,
kde β > 0.
Při výpočtu využijeme skutečnosti, že funkce cos je sudá a funkce sin je lichá. Dostaneme
ˆf(ξ) =
∞
−∞
f(x)e−ixξ
dx = α
β
−β
(cos xξ+i sin xξ)dx = 2α
β
0
cos xξdx = 2α
sin xξ
ξ
β
x=0
= 2α
sin βξ
ξ
.
135
Pro Fourierův obraz derivace funkce f dostaneme integrací per partes a s využitím vlastnosti
lim
|x|→∞
f(x) = 0 vztah
F(f′
)(ξ) =
∞
−∞
f′
(x)e−ixξ
dx = f(x)e−ixξ ∞
x=−∞
−
∞
−∞
f(x)(−iξ)e−ixξ
dx =
= iξ
∞
−∞
f(x)e−ixξ
dx = iξF(f)(ξ),
tj.
f′(ξ) = iξ ˆf(ξ). (A.1)
Fourierova transformace převádí infinitesimální operaci, derivaci funkce, na operaci aritmetickou,
na násobení.
Fourierova transformace není prostá – dvě funkce, které se liší na množině míry nula mají stejný
Fourierův obraz. Pokud však ztotožníme funkce, lišící se na množině míry nula, tj. provedeme
rozklad uvažované třídy funkcí podle ekvivalence
f ≡ g ⇔
∞
−∞
f(x) − g(x) dx = 0,
můžeme na těchto třídách ekvivalence považovat Fourierovu transformaci za prostou a v tomto
smyslu mluvit o transformaci inversní. Inversní Fourierova transformace F−1
převádí komplexní
funkci ˆf zpět na reálnou funkci f na celém oboru R; funkce f je dána vztahem
f(x) =
1
2π
∞
−∞
ˆf(ξ)eixξ
dξ; (A.2)
nevlastní integrál na pravé straně přitom chápeme ve smyslu hlavní hodnoty.
Příklad:
Najdeme vzor funkce
ˆf(ξ) = 2α
sin βξ
ξ
,
jinak řečeno, najdeme funkci f jejíž spektrum je ˆf.
f(x) =
1
2π
lim
ℓ→∞
ℓ
−ℓ
ˆf(ξ)eixξ
dξ =
α
π
lim
ℓ→∞
ℓ
−ℓ
sin βξ
ξ
(cos xξ + i sin xξ)dξ.
Imaginární část integrálu se rovná nule, neboť integrovaná funkce je lichá. V reálné části integrujeme
sudou funkci, počítáme tedy integrál
2
ℓ
0
sin βξ
ξ
cos xξdξ =
ℓ
0
1
ξ
sin(β + x)ξ + sin(β − x)ξ dξ.
Tento integrál rozdělíme na součet dvou. V prvním z nich substitucí (β + x)ξ = s dostaneme
ℓ
0
sin(β + x)ξ
ξ
dξ =
(β+x)ℓ
0
sin s
s
ds = Si(β + x)ℓ,
136
kde Si označuje funkci integrálsinus1
. Podobně najdeme
ℓ
0
sin(β − x)ξ
ξ
dξ = Si(β − x)ℓ.
Celkem tedy máme
f(x) =
α
π
lim
ℓ→∞
Si(β + x)ℓ + Si(β − x)ℓ .
Pokud je −β < x < β, jsou oba výrazy β + x a β − x kladné a tedy
lim
ℓ→∞
Si(β + x)ℓ + Si(β − x)ℓ = 2 lim
y→∞
Si(y) = π.
Pokud je x < −β nebo x > β, mají výrazy β + x a β − x opačná znaménka a protože je funkkce
Si lichá, platí
lim
ℓ→∞
Si(β + x)ℓ + Si(β − x)ℓ = lim
y→∞
Si(y) + lim
y→−∞
Si(y) =
π
2
−
π
2
= 0.
Pokud je x = −β nebo x = β, platí
lim
ℓ→∞
Si(β + x)ℓ + Si(β − x)ℓ = lim
ℓ→∞
Si(2βℓ) =
π
2
.
Tyto výpočty ukazují, že
f(x) =



α, x ∈ (−β, β),
1
2 α, x ∈ {−β, β} ,
0, jinak.
Porovnáním s předchozím příkladem vidíme, že funkce f se shoduje s funkcí, která byla „původním
vzorem funkce ˆf, ve všech bodech spojitosti. V bodech nespojitosti nabývá hodnot, které
jsou průměrem limity zprava a zleva.
Poznámka 2. Vzorce pro Fourierovu transformaci a pro inversní Fourierovu transformaci jsou
poněkud nesymetrické, rušivě působí faktor 1/(2π). Proto v někteých (teoretičtěji zaměřených)
publikacích bývá Fourierova transformace definována vztahem
ˆf(ξ) =
1
√
2π
∞
−∞
f(x)e−ixξ
dx.
Inversní transformace v takovém případě vyjde
f(x) =
1
√
2π
∞
−∞
ˆf(ξ)eixξ
dξ.
Tyto vzorce se liší jen znaménkem u výrazu ixξ.
Konvoluce funkcí f, g definovaných na R je funkce f ∗ g daná vztahem
f ∗ g(x) =
∞
−∞
f(y)g(x − y)dy.
1Funkce Si je definována vztahem
Si(t) =
t
0
sin x
x
dx =
∞
n=0
(−1)n t2n+1
(2n + 1) · (2n + 1)!
Tato funkce je lichá a splňuje rovnosti Si(0) = 0, lim
t→∞
Si(t) = 1
2
π.
137
Příklad:
Vypočítáme konvoluci funkcí f a g daných předpisem f(x) = e−α|x|
, g(x) = e−β|x|
; konstanty α,
β jsou kladné.
Konvoluce je dána nevlastním integrálem
(f ∗ g)(x) =
∞
−∞
e−α|y|
e−β|x−y|
dy.
Pro x < 0 tento integrál upravíme,
∞
−∞
e−α|y|
e−β|x−y|
dy =
x
−∞
eαy
e−β(x−y)
dy +
0
x
eαy
eβ(x−y)
dy +
∞
0
e−αy
eβ(x−y)
dy =
=
e−βx
α + β
e(α+β)y
x
y=−∞
+
eβx
α − β
e(α−β)y
0
y=x
−
eβx
α + β
e−(α−β)y
∞
y=0
=
=
e−βx
e(α+β)x
α + β
+
eβx
1 − e(α−β)x
α − β
+
eβx
α + β
=
eαx
+ eβx
α + β
+
eβx
− eαx
α − β
=
=
2α
α2 − β2
eβx
−
2β
α2 − β2
eαx
=
2
α2 − β2
αe−β|x|
− βe−α|x|
.
Analogicky vypočítáme, že také pro x ≥ 0 je
∞
−∞
e−α|y|
e−β|x−y|
dy =
2
α2 − β2
αe−β|x|
− βe−α|x|
.
Výrazem na pravé straně této rovnosti je tedy dána hodnota konvoluce funkcí f a g.
Fourierův obraz konvoluce funkcí f, g je
F(f ∗ g)(ξ) =
∞
−∞
f ∗ g(x)e−ixξ
dx =
∞
−∞


∞
−∞
f(y)g(x − y)e−ixξ
dy

 dx =
=
R2
f(y)g(x − y)e−ixξ
dxdy.
V tomto dvojném integrálu budeme transformovat proměnné tak, že položíme x = z + y, y = y.
Jacobián tohoto zobrazení je
1 1
0 1
= 1.
Dále e−ixξ
= e−iyξ
e−izξ
, tedy
F(f ∗ g)(ξ) =
R2
f(y)g(z)e−iyξ
e−izξ
dzdy =


∞
−∞
f(y)e−iyξ
dy




∞
−∞
g(z)e−izξ
dz

 = ˆf(ξ)ˆg(ξ).
To znamená, že
f ∗ g = ˆfˆg, (A.3)
Fourierova transformace převádí konvoluci funkcí na jejich součin.
138
A.3 Okrajové úlohy pro obyčejné lineární rovnice druhého
řádu
A.3.1 Formulace úloh
Označme Ck
(0, ℓ) množinu funkcí k-krát diferencovatelných na (0, ℓ), ℓ ∈ R ∪ {∞}.
Diferenciální operátor
Buďte a, b, c ∈ C0
(0, ℓ) a a(x) = 0 pro x ∈ (0, ℓ). Lineární diferenciální operátor druhého řádu
L = L(a, b, c) : C2
(0, ℓ) → C0
(0, ℓ) definujeme předpisem
Ly(x) = a(x)y′′
(x) + b(x)y′
(x) + c(x)y(x) , x ∈ (0, ℓ) .
Rovnice
Ly = g,
kde g ∈ C0
(0, ℓ) je lineární diferenciální rovnice druhého řádu; v případě g ≡ 0 homogenní,
v opačném nehomogenní.
Buďte p ∈ C1
(0, ℓ), q ∈ C0
(0, ℓ). Pak operátor L(−p, −p′
, q) daný vztahem
L(−p, −p′
, q)y(x) = −p(x)y′′
(x) − p′
(x)y′
(x) + q(x)y(x) = − p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x)
nazveme samoadjungovaný. Každý lineární diferenciální operátor druhého řádu L(a, b, c), pro jehož
koeficienty a, b platí
b(x) = a′
(x), x ∈ (0, ℓ)
je samoadjungovaný. Rovnice
− p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x) = f(x) , x ∈ (0, ℓ)
se nazývá samoadjungovaná nebo Sturmova-Liouvilleova rovnice.
Tvrzení 6. Každou lineární diferenciální rovnici s koeficientem a ∈ C1
(0, ℓ) lze vyjádřit v samoadjungovaném
tvaru.
Důkaz: Buď
h(x) =
b(x) − a′
(x)
a(x)
dx , ̺(x) = eh(x)
.
Pak
(̺(x)a(x))′
= eh(x)
a(x)
′
= eh(x)
h′
(x)a(x) + eh(x)
a′
(x) =
= ̺(x)
b(x) − a′
(x)
a(x)
a(x) + ̺(x)a′
(x) = ̺(x)b(x),
tedy
̺(x)a(x)y′′
(x) + ̺(x)b(x)y′
(x) + ̺(x)c(x)y(x) = ̺(x)g(x)
je samoadjungovaná rovnice, p = −̺a, q = ̺c, f = ̺g.
Okrajové podmínky
Budeme hledat řešení rovnice
Ly(x) = f(x),
na intervalu (0, ℓ), které splňuje některé z následujících podmínek.
139
• Dirichletovy podmínky:
y(0) = y0, y(ℓ) = y1.
• Neumannovy podmínky:
y′
(0) = y0, y′
(ℓ) = y1.
• Newtonovy podmínky:
α0y(0) + β0y′
(0) = y0, α1y(ℓ) + β1y′
(ℓ) = y1,
přičemž α2
0 + β2
0 = 0 = α2
1 + β2
1.
• Podmínky omezenosti:
y(x) je omezená pro x → 0+, y(x) je omezená pro x → ℓ − .
U podmínek omezenosti můžeme připustit ℓ = ∞ a jako levý okraj použít −∞, nikoliv 0.
• Podmínky periodičnosti (periodické podmínky):
y(x) = y(x + ℓ) pro každé x ∈ R;
Řešení rovnice v tomto případě hledáme na celé reálné ose.
Dirichletovy podmínky jsou zvláštním případem podmínek Newtonových pro α0 = α1 = 1,
β0 = β1 = 0; Neumannovy podmínky jsou zvláštním případem Newtonových podmínek pro α0 =
α1 = 0, β0 = β1 = 1.
Podmínky různého typu lze kombinovat; můžeme například požadovat splnění Neumanovy
podmínky v levém krajním bodě a podmínky omezenosti v pravém krajním bodě.
Jakoukoliv okrajovou podmínku nazveme homogenní, jestliže s libovolnými dvěma funkcemi
y1, y2, které této podmínce vyhovují, vyhovuje téže podmínce i jejich libovolná lineární kombinace
k1y1 + k2y2.
Newtonovy podmínky s y0 = y1 = 0, podmínky periodičnosti i podmínky omezenosti s y1 = 0
nebo y0 = 0 jsou homogenní.
Okrajová úloha, v níž rovnice i okrajové podmínky jsou homogenní se nazývá homogenní
okrajová úloha, v opačném případě nehomogenní okrajová úloha.
Symetrický diferenciální operátor
Řekneme, že operátor L je symetrický na množině M ⊆ C2
(0, ℓ), jestliže pro všechny u, v ∈ M
platí
ℓ
0
Lu(x)v(x)dx =
ℓ
0
u(x)Lv(x)dx .
140
Buď L = L(−p, −p′
, q) samoadjungovaný operátor. Pak platí (s využitím integrace „per partes )
ℓ
0
Lu(x)v(x)dx −
ℓ
0
u(x)Lv(x)dx =
=
ℓ
0
− p(x)u′
(x)
′
+ q(x)u(x) v(x) − u(x) − p(x)v′
(x)
′
+ q(x)v(x) dx =
=
ℓ
0
p(x)v′
(x)
′
u(x) − p(x)u′
(x)
′
v(x) dx =
= [p(x)v′
(x)u(x)]
ℓ
0 −
ℓ
0
p(x)v′
(x)u′
(x)dx − [p(x)u′
(x)v(x)]
ℓ
0 +
ℓ
0
p(x)u′
(x)v′
(x)dx =
= p(ℓ)v′
(ℓ)u(ℓ) − p(0)v′
(0)u(0) − p(ℓ)u′
(ℓ)v(ℓ) + p(0)u′
(0)v(0) =
= p(ℓ) v′
(ℓ)u(ℓ) − u′
(ℓ)v(ℓ) − p(0) v′
(0)u(0) − u′
(0)v(0) .
• Samoadjungovaný operátor L = L(−p, −p′
, q) je symetrický na množině funkcí, které splňují
homogenní Newtonovy podmínky.
Důkaz: Je-li β0 = 0, pak u′
(0) = −
α0
β0
u(0), v′
(0) = −
α0
β0
v(0), takže v′
(0)u(0)−u′
(0)v(0) = 0.
Je-li α0 = 0, pak u(0) = −
β0
α0
u′
(0), v(0) = −
β0
α0
v′
(0), takže opět v′
(0)u(0) − u′
(0)v(0) = 0.
Analogicky ověříme, že v′
(ℓ)u(ℓ) − u′
(ℓ)v(ℓ) = 0.
• Pokud funkce p je ℓ-periodická, pak samoadjungovaný operátor L = L(−p, −p′
, q) je symetrický
na množině ℓ-periodických funkcí.
A.3.2 Homogenní okrajová úloha s parametrem
Nechť λ ∈ R. Uvažujme homogenní okrajovou úlohu pro rovnici
Lv(x) = λv(x).
Tato úloha má vždy triviální řešení v ≡ 0. Pokud existuje netriviální řešení v = v(x), nazveme ho
vlastní funkcí okrajové úlohy a parametr λ nazveme vlastním číslem operátoru L.
Je-li λ vlastní číslo operátoru L a v = v(x) je příslušná vlastní funkce uvažované okrajové
úlohy, pak také funkce cv je pro libovolnou konstantu c ∈ R vlastní funkcí.
Jestliže vlastnímu číslu λ odpovídá k lineárně nezávislých vlastních funkcí, řekneme, že λ je
k-násobné vlastní číslo.
Tvrzení 7. Označme ML množinu funkcí splňujících příslušné homogenní okrajové podmínky. Jeli
operátor L symetrický na množině ML a 0 = λ1 = λ2 jsou jeho dvě vlastní čísla, pak odpovídající
vlastní funkce jsou ortogonální v prostoru L2
(0, ℓ).
Důkaz:
ℓ
0
v1(x)v2(x)dx =
1
λ1
ℓ
0
λ1v1(x)v2(x)dx =
1
λ1
ℓ
0
Lv1(x)v2(x)dx =
=
1
λ1
ℓ
0
v1(x)Lv2(x)dx =
λ2
λ1
ℓ
0
v1(x)v2(x)dx.
Kdyby
ℓ
0
v1(x)v2(x)dx = 0 pak by
λ2
λ1
= 1, což by byl spor.
141
Příklady:
Uvažujme samoadjungovaný operátor L = L(−a2
, 0, 0), kde a je nějaká nenulová konstanta. Rov-
nici
− a2
y′′
(x) = λy(x) (A.4)
můžeme přepsat na tvar
y′′
(x) +
λ
a2
y(x) = 0.
Řešení této homogenní lineární rovnice druhého řádu závisí na znaménku parametru λ. Obecné
řešení rovnice je dáno vztahem
y(x) =



A exp
√
−λ
|a|
x + B exp −
√
−λ
|a|
x , λ < 0,
Ax + B, λ = 0,
A cos
√
λ
|a|
x + B sin
√
λ
|a|
x, λ > 0,
kde A, B jsou nějaké konstanty.
1) Hledáme řešení rovnice (A.4) na intervalu (0, ℓ), které splňuje Dirichletovy homogenní okrajové
podmínky
y(0) = 0 = y(ℓ).
Je-li λ = 0, pak má platit
y(0) = 0 = B, y(ℓ) = 0 = Aℓ + B,
takže B = 0 a v důsledku toho také A = 0 a rovnice má pouze triviální řešení.
Je-li λ < 0, pak má platit
y(0) = 0 = A + B, tj. B = −A, y(ℓ) = 0 = Ae
√
−λ
|a|
ℓ
− Ae−
√
−λ
|a|
ℓ
= 2A sinh
√
−λ
|a|
ℓ;
pro −λ > 0 je však sinh
√
−λ
|a|
ℓ > 0 a z toho plyne, že A = 0. Rovnice (A.4) má opět pouze triviální
řešení.
Je-li λ > 0, pak má platit
y(0) = 0 = A, y(ℓ) = 0 = B sin
√
λ
|a|
ℓ.
Odtud plyne, že
√
λ
|a|
ℓ = kπ pro k ∈ Z, k = 0, tedy λ =
kπa
ℓ
2
pro k = 1, 2, 3, . . ., neboť λ > 0.
Vlastní čísla operátoru L(−a2
, 0, 0) s homogenními Dirichletovými podmínkami na intervalu
(0, ℓ) a příslušné vlastní funkce jsou
λk =
kπa
ℓ
2
, vk(x) = sin
kπ|a|
ℓ
x, k = 1, 2, 3, . . ..
2) Nyní hledáme řešení rovnice (A.4) na R, které splňuje podmínky periodičnosti
y(x) = y(x + ℓ).
Je-li λ < 0, pak je řešení y(x) je monotonní; konkrétně rostoucí pro A > 0 nebo A = 0, B < 0,
klesající pro A < 0 nebo A = 0, B > 0 a konstantní nulové pro A = B = 0. Úloha má tedy pouze
triviální řešení.
142
Pro λ = 0 má rovnice řešení y(x) = Ax + B, které je periodické a netriviální pouze pro A = 0,
B = 0. První vlastní číslo tedy je λ0 = 0 a příslušná vlastní funkce v0 je nenulová konstanta.
Pro λ > 0 má rovnice řešení y(x) = A cos
√
λ
|a|
x + B sin
√
λ
|a|
x které má splňovat podmínku
A cos
√
λ
|a|
x + B sin
√
λ
|a|
x = A cos
√
λ
|a|
(x + ℓ) + B sin
√
λ
|a|
(x + ℓ) =
= A cos
√
λ
|a|
x cos
√
λ
|a|
ℓ − sin
√
λ
|a|
x sin
√
λ
|a|
ℓ + B sin
√
λ
|a|
x cos
√
λ
|a|
ℓ + cos
√
λ
|a|
x sin
√
λ
|a|
ℓ =
= A cos
√
λ
|a|
ℓ + B sin
√
λ
|a|
ℓ cos
√
λ
|a|
x + −A sin
√
λ
|a|
ℓ + B cos
√
λ
|a|
ℓ sin
√
λ
|a|
x.
Poněvadž funkce cos
√
λ
|a|
x a sin
√
λ
|a|
x jsou nezávislé, plyne odtud
A cos
√
λ
|a|
ℓ + B sin
√
λ
|a|
ℓ = A, −A sin
√
λ
|a|
ℓ + B cos
√
λ
|a|
ℓ = B,
neboli
cos
√
λ
|a|
ℓ − 1 A + sin
√
λ
|a|
ℓ B = 0,
− sin
√
λ
|a|
ℓ A + cos
√
λ
|a|
ℓ − 1 B = 0.
Tato homogenní soustava lineárních algebraických rovnic pro neznámé A, B má nenulové řešení
právě tehdy, když determinant její matice je nulový, tj. právě tehdy, když
cos
√
λ
|a|
ℓ − 1
2
+ sin
√
λ
|a|
ℓ
2
= 0.
Tato rovnost je splněna právě tehdy, když cos
√
λ
|a|
ℓ = 1 a sin
√
λ
|a|
ℓ = 0, což znamená, že
√
λ
|a|
ℓ = 2kπ,
k ∈ Z.
Celkem tedy vlastní čísla operátoru L(−a2
, 0, 0) s podmínkami periodičnosti a příslušné vlastní
funkce jsou
λ0 = 0, v0(x) = const = 0,
λk =
2kπa
ℓ
2
, vk(x) = cos
2kπ
ℓ
x, ˜vk(x) = sin
2kπ
ℓ
x, k = 1, 2, 3, . . ..
Kladná vlastní čísla jsou tedy dvojnásobná.
3) Nakonec najdeme řešení rovnice (A.4) na (0, ∞), které splňuje podmínky omezenosti
y(x) je omezená pro x → 0 + a pro x → ∞ .
Je-li λ < 0, pak
lim
x→∞
|y(x)| =
∞, A = 0,
0, A = 0.
V tomto případě tedy všechna záporná čísla λ− jsou vlastními čísly a příslušné vlastní funkce jsou
v−(x) = e−
√
−λ−
|a|
x
.
143
Podobně pro λ = 0 je
lim
x→∞
|y(x)| =
∞, A = 0,
B, A = 0.
Číslo λ0 = 0 je vlastním číslem a příslušná vlastní funkce je
v0(x) = const = 0.
Pro λ > 0 jsou všechna řešení omezená, takže jakékoliv kladné číslo λ+ je vlastním číslem a
příslušné vlastní funkce jsou
v+(x) = cos
λ+
|a|
x, ˜v+(x) = sin
λ+
|a|
x.
Sturmova-Liouvilleova úloha
− p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x) = λy(x), x ∈ (0, ℓ),
α0y(0) + β0y′
(0) = 0 = α1y(ℓ) + β1y′
(ℓ).
Věta 2. Platí následující tvrzení:
• Sturmova-Liouvilleova úloha má nekonečně mnoho vlastních čísel λ1, λ2, . . . , pro která platí
min{q(x) : x ∈ [0, l]} ≤ λ1 < λ2 < · · · ; lim
n→∞
λn = ∞ .
• Každému vlastnímu číslu Sturmovy-Liouvilleovy úlohy přísluší právě jedna normovaná vlastní
funkce.
• Vlastní funkce vn = vn(x) odpovídající vlastnímu číslu λn má v intervalu (0, ℓ) právě n − 1
nulových bodů. Mezi každými dvěma sousedními nulovými body vlastní funkce vn leží právě
jeden nulový bod vlastní funkce vn+1. Zejména vlastní funkce v1 nemění znaménko na intervalu
(0, ℓ).
• Posloupnost {vn}∞
n=1 normovaných vlastních funkcí Sturmovy-Liouvilleovy úlohy tvoří úplnou
ortonormální posloupnost na [0, ℓ]. Tj. je-li funkce f ∈ L2
(0, ℓ), pak Fourierova řada
funkce f vzhledem k ortonormální posloupnosti {vn}∞
n=1 konverguje k funkci f podle středu
(konvergence v prostoru L2
(0, ℓ)). Je-li funkce f navíc spojitá a splňuje homogenní okrajové
podmínky, je tato konvergence stejnoměrná.
Důkaz: Viz J. Kalas, M. Ráb: Obyčejné diferenciální rovnice. MU, Brno 1995, str. 158–163.
Důkaz je tam proveden pro případ p ≡ 1.
Tvrzení jsou ilustrována předchozím příkladem.
A.3.3 Řešení nehomogenní okrajové úlohy
Budeme hledat řešení nehomogenní rovnice v samoadjungovaném tvaru s homogenními Newtonovými
okrajovými podmínkami
Ly(x) ≡ − p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x) = f(x), x ∈ (0, ℓ),
α0y(0) + β0y′
(0) = 0 = α1y(ℓ) + β1y′
(ℓ).
144
Fourierova metoda
• Najdeme posloupnost vlastních čísel {λn}∞
n=1 a ortogonální posloupnost příslušných vlastních
funkcí {vn}∞
n=1 Sturmovy-Liouvilleovy úlohy, tj. rostoucí posloupnost čísel {λn}∞
n=1 a
posloupnost funkcí {vn}∞
n=1, které splňují:
Lvn(x) = λnvn(x),
α0vn(0) + β0v′
n(0) = 0 = α1vn(ℓ) + β1v′
n(ℓ).
• Funkci f vyjádříme ve tvaru Fourierovy řady vzhledem k orthogonálnímu systému vlastních
funkcí
f(x) =
∞
n=1
dnvn(x), kde dn =
1
||vn||
2
l
0
f(ξ)vn(ξ)dξ.
• Řešení úlohy hledáme také ve tvaru Fourierovy řady
y(x) =
∞
n=1
cnvn(x).
Musí tedy platit
Ly(x) = L
∞
n=1
cnvn(x) =
∞
n=1
cnLvn(x) =
∞
n=1
cnλnvn(x),
takže
∞
n=1
cnλnvn(x) =
∞
n=1
dnvn(x).
z čehož podle věty o jednoznačnosti Fourierovy řady plyne
cn =
dn
λn
, n = 1, 2, . . . ,
pokud všechna vlastní čísla jsou nenulová.
Hledané řešení tedy je
y(x) =
∞
n=1
vn(x)
λn ||vn||
2
ℓ
0
f(ξ)vn(ξ)dξ =
ℓ
0
f(ξ)
∞
n=1
vn(ξ)vn(x)
λn ||vn||
2 dξ.
Označíme-li
G(x, ξ) =
∞
n=1
vn(ξ)vn(x)
λn ||vn||2 ,
lze řešení zapsat ve tvaru integrálu
y(x) =
ℓ
0
f(ξ)G(x, ξ)dξ.
145
Metoda variace konstant
• Najdeme řešení u, v dvou pomocných homogenních úloh s jednou okrajovou podmínkou
Lu = − (pu′
)
′
+ qu = 0, α0u(0) + β0u′
(0) = 0,
Lv = − (pv′
)
′
+ qv = 0, α1v(ℓ) + β1v′
(ℓ) = 0.
Funkce u, v nejsou určeny jednoznačně. Vezmeme ty, které jsou lineárně nezávislé.
• Pro Wronskián W(x) = u(x)v′
(x) − u′
(x)v(x) funkcí u, v platí p(x)W(x) ≡ K, kde K je
nenulová konstanta, neboť
(pW)′
= p(uv′
− u′
v)
′
= p′
uv′
+ pu′
v′
+ puv′′
− p′
u′
v − pu′′
v − pu′
v′
=
= (pv′′
+ p′
v′
)u − (pu′′
+ p′
u′
)v = (pv′
)
′
u − (pu′
)
′
v = qvu − quv = 0,
kdyby K = 0, pak by W ≡ 0, což by byl spor s lineární nezávislostí.
• Řešení nehomogenní úlohy hledáme metodou variace konstant, tedy ve tvaru
y(x) = c1(x)u(x) + c2(x)v(x).
Funkce y má být řešením dané nehomogenní rovnice, takže musí platit
f = L(c1u + c2v) = − p(c1u)′ ′
+ qc1u − p(c2v)′ ′
+ qc2v =
= −p (c′′
1 u + 2c′
1u′
+ c1u′′
) − p′
(c′
1u + c1u′
) + qc1u −
− p (c′′
2 v + 2c′
2v′
+ c2v′′
) − p′
(c′
2v + c2v′
) + qc2v =
= c1 (−pu′′
− p′
u′
+ qu) − pc′
1u′
− p (c′′
1 u + c′
1u′
) − p′
c′
1u +
c2 (−pv′′
− p′
v′
+ qv) − pc′
2v′
− p (c′′
2 v + c′
2v′
) − p′
c′
2v =
= c1Lu − pc′
1u′
− p(c′
1u)
′
+ c2Lv − pc′
2v′
− p(c′
2v)
′
=
= −p(c′
1u′
+ c′
2v′
) − p(c′
1u + c′
2v)
′
.
Tato rovnost bude splněna zejména tehdy, když funkce c1, c2 splňují soustavu rovnic
c′
1(x)u(x) + c′
2(x)v(x) = 0,
c′
1(x)u′
(x) + c′
2(x)v′
(x) = −
f(x)
p(x)
.
(A.5)
Platí tedy
c′
1(x) =
1
W(x)
0 v(x)
−
f(x)
p(x)
v′
(x)
=
f(x)v(x)
K
,
c′
2(x) =
1
W(x)
u(x) 0
u′
(x) −
f(x)
p(x)
= −
f(x)u(x)
K
.
(A.6)
• Funkce y(x) má splňovat okrajové podmínky, tj.
α0 [c1(0)u(0) + c2(0)v(0)] + β0 [c′
1(0)u(0) + c1(0)u′
(0) + c′
2(0)v(0) + c2(0)v′
(0)] = 0
α1 [c1(ℓ)u(ℓ) + c2(ℓ)v(ℓ)] + β1 [c′
1(ℓ)u(ℓ) + c1(ℓ)u′
(ℓ) + c′
2(ℓ)v(ℓ) + c2(ℓ)v′
(ℓ)] = 0,
po úpravě s využitím (A.5)
c1(0) α0u(0) + β0u′
(0) + c2(0) α0v(0) + β0v′
(0) = 0,
c1(ℓ) α1u(ℓ) + β1u′
(ℓ) + c2(ℓ) α1v(ℓ) + β1v′
(ℓ) = 0;
146
každá z funkcí splňuje jednu okrajovou podmínku, tedy
c2(0) α0v(0) + β0v′
(0) = 0 ,
c1(ℓ) α1u(ℓ) + β1u′
(ℓ) = 0 ,
takže
c1(ℓ) = 0 , c2(0) = 0 . (A.7)
• Funkce c1, c2 jsou řešením rovnic (A.6) s počátečními podmínkami (A.7) a jsou tedy dány
výrazy
c1(x) =
1
K
x
ℓ
f(ξ)v(ξ)dξ , c2(x) = −
1
K
x
0
f(ξ)u(ξ)dξ .
• Řešení úlohy je
y(x) = −
u(x)
K
ℓ
x
f(ξ)v(ξ)dξ −
v(x)
K
x
0
f(ξ)u(ξ)dξ .
Označíme-li
G(x, ξ) =



−
u(x)v(ξ)
K
, 0 ≤ x < ξ ≤ ℓ
−
v(x)u(ξ)
K
, 0 ≤ ξ < x ≤ ℓ
,
lze řešení zapsat ve tvaru jediného integrálu
y(x) =
ℓ
0
f(ξ)G(x, ξ)dξ .
Greenova funkce
Funkci G : [0, ℓ] × [0, ℓ] → R nazveme Greenovou funkcí homogenní okrajové úlohy
Ly(x) ≡ − p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x) = 0, x ∈ (0, ℓ),
α0y(0) + β0y′
(0) = 0 = α1y(ℓ) + β1y′
(ℓ).
kde p(x) > 0 pro x ∈ [0, l], jestliže
(i) G je spojitá pro x ∈ [0, ℓ] × [0, ℓ],
(ii) G je symetrická, tj. G(x, ξ) = G(ξ, x),
(iii) pro každé ξ ∈ [0, ℓ] má funkce G(·, ξ) spojité derivace druhého řádu,
(iv) pro každé ξ ∈ [0, ℓ] je funkce G(·, ξ) řešením uvažované okrajové úlohy,
(v) lim
x→ξ+
Gx(x, ξ) − lim
x→ξ−
Gx(x, ξ) = −
1
p(ξ)
pro ξ ∈ (0, ℓ).
Věta 3. Má-li uvažovaná homogenní okrajová úloha jen triviální řešení y ≡ 0 a jsou-li funkce
p ∈ C1
(0, ℓ), q ∈ C2
(0, ℓ), existuje právě jedna její Greenova funkce. Nehomogenní okrajová úloha
Ly(x) ≡ − p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x) = f(x), x ∈ (0, ℓ),
α0y(0) + β0y′
(0) = 0 = α1y(ℓ) + β1y′
(ℓ).
má pak jediné řešení tvaru
y(x) =
ℓ
0
f(ξ)G(x, ξ)dξ .
147
Důkaz: Viz I. Kiguradze: Okrajové úlohy pro systémy lineárních obyčejných diferenciálních
rovnic. MU, Brno 1997, str. 82. Důkaz je proveden pro mnohem obecnější situaci.
Úloha s nehomogenními okrajovými podmínkami
Ly(x) ≡ − p(x)y′
(x)
′
+ q(x)y(x) = f(x), x ∈ (0, ℓ),
α0y(0) + β0y′
(0) = y0, α1y(ℓ) + β1y′
(ℓ) = y1.
Jestliže funkce w = w(x) splňuje okrajové podmínky
α0w(0) + β0w′
(0) = y0, α1w(ℓ) + β1w′
(ℓ) = y1
a funkce u = u(x) je řešením úlohy
Lu(x) = f(x) − Lw(x)
s homogenními okrajovými podmínkami
α0u(0) + β0u′
(0) = 0 = α1u(ℓ) + β1u′
(ℓ),
pak funkce
y(x) = u(x) + w(x)
je řešením uvažované úlohy, jak se snadno přesvědčíme přímým výpočtem.
Funkci w je vhodné volit v co nejjednodušším tvaru, například polynom.
Cvičení
1. Vypočítejte první a druhou distributivní derivaci funkce f(x) = |x|.
2. Nechť H je Heavisidova funkce a položme x+ = xH(x), x− = −xH(−x). Vypočítejte distributivní
derivace těchto funkcí.
3. Určete distribuci xn
δ(n)
(x), tj. upravte výraz tak, aby se v něm objevovala Diracova distribuce
v první mocnině.
4. Najděte Fourierův obraz (spektrum) funkce f(x) = e−cx2
, kde c je kladná konstanta.
5. Vypočítejte konvoluci funkcí f(x) = e−ax2
, g(x) = e−bx2
, kde a, b jsou kladné konstanty.
Řešte okrajové úlohy
6. −y′′
−
2
x
y′
= 0, x ∈ (0, 1); y(1) = y0, y je omezená pro x → 0+.
7. − x2
y′ ′
= 0, x ∈ (1, ∞); y(1) = y0, lim
x→∞
y(x) = 0.
8. − (xy′
)
′
= 0, x ∈ (1, ∞); y(1) = y0, y je omezená pro x → ∞.
9. −xy′′
− y′
= 0, x ∈ (1, 2); y(1) = y1, y(2) = 0.
10. −x2
y′′
− xy′
+ k2
y = 0, x ∈ (0, ℓ); y(ℓ) = 1, y je omezená pro x → 0+; k je parametr.
11. −xy′′
− y′
= −x, x ∈ (0, ℓ); y(0) = y(ℓ) = 0.
12. −y′′
= sin x, x ∈ (0, 2π); y′
(0) = y′
(2π) = 0.
148
Najděte vlastní funkce okrajových úloh a vlastní čísla příslušných operátorů
13. −v′′
= λv, x ∈ (0, ℓ); v′
(0) = v′
(ℓ) = 0.
14. −v′′
= λv, x ∈ R; v(x) = v(x + 2π).
15. −v′′
+ qv = λv, x ∈ (0, ℓ); v′
(0) = 0, v(ℓ) = 0; q je parametr.
Řešte okrajové úlohy
16. −y′′
− ω2
y = f(x), x ∈ (0, ℓ); y(0) = y(ℓ) = 0; ω je parametr.
17. −y′′
− 3y =
π − x
2
, x ∈ (0, π); y(0) = y(π) = 0.
18. Najděte Greenovu funkci úlohy −y′′
+ y = 0, y(0) = y(1) = 0.
Výsledky:
1. sgn x, 2δ(x)
2. x′
+ = H(x), x′
− = −H(−x)
3. (−1)n
n!δ(x)
4. ˆf(ξ) =
π
c
exp −
x2
4c
; návod: ukažte, že
d
dξ
ˆf(ξ) = −
ξ
2c
ˆf(ξ)
5.
π
a + b
exp −
ab
a + b
x2
6. y(x) = y0
7. y(x) = y0
x
8. y(x) = y0
9. y(x) = y1
ln 2−ln x
ln 2
10. y(x) = x
ℓ
|k|
11. nemá řešení
12. y(x) = sin x − x + C, C je libovolná konstanta
13. λn = nπ
ℓ
2
, vn(x) = cos nπ
ℓ
x, n = 0, 1, 2, . . .
14. λn = n2
, vn(x) = Cn cos nx + Dn sin nx, Cn, Dn jsou libovolné konstanty, C0 = 0, n = 0, 1, 2, . . .
15. λn = q + (2n+1)π
2ℓ
2
, vn(x) = cos (2n+1)π
2ℓ
x.
16. y(x) = B sin kπ
ℓ
x + 1
ω
x
0
f(ξ) sin kπ
l
(ξ − x)dξ pro ωℓ
π
= k ∈ N a
ℓ
0
f(ξ) sin kπ
ℓ
ξdξ = 0, B je libovolná
konstanta;
y(x) = 1
ω
x
0
f(ξ) sin ω(ξ − x)dξ − sin ωx
ω sin ωℓ
ℓ
0
f(ξ) sin ω(ξ − x)dξ = 2ℓ
x
0
f(ξ)
∞
k=1
sin kπ
ℓ
ξ sin kπ
ℓ
x
k2π2−ω2ℓ2 dξ pro
ωℓ
π
∈ N
17. y(x) =
∞
k=1
sin kx
k(k2−3)
= π
6
cos
√
3x − cotg
√
3π sin
√
3x + 1
6
(x − π)
18. G(x, ξ) =
sinh(1−x) sinh ξ
sinh 1
, 0 ≤ ξ ≤ x ≤ 1
sinh x sinh(1−ξ)
sinh 1
, 0 ≤ x < ξ ≤ 1
149
150
Část III
Aplikace
151