> fertile%20crescent - 3000 Øčíselná symbolika v nejstarších památkách v Uruku, v Sumeru a v Egyptě Ø Ø meidum > •3150 př. Kr. •2700 př. Kr. •2180 př. Kr. •1994 př. Kr. •1797 př. Kr. •1543 př. Kr. •1080 př. Kr. •715 př. Kr. •332 př. Kr. •Archaická doba •Stará říše •1. přechodná doba •Střední říše •2. přechodná doba •Nová říše •3. přechodná doba •Pozdní doba •Ptolemaiovská doba •30 př. Kr. Ø Ø mapa egypt2 > pyramidy006 •Archaická doba – cihlový kultovní komplex komplexy v Abydu •Stupňovitá hrobka z 1. dynastie v Sakkáře andzib •3. dynastie – Džoserova stupňovitá pyramida v Sakkáře dzoser •4. dynastie – Snofruova pyramida v Médúmu meidum •4. dynastie – Snofruova pyramida v Dahšúru – Lomená pyramida dahsur_lp •4. dynastie – Snofruova pyramida v Dahšúru – Červená pyramida dahsur_cp 2700 - 2400 př.n.l. Østavba nejznámějších pyramid (Chufuova 232x232m, 7 mil. tun) Øpostavena v letech 2551 - 2528 > •4. dynastie – Chufuova „Velká“ pyramida v Gíze chufu Chufuova pyramida Ø Ø giza-cheops01 giza-cheops02 > •4. dynastie – pyramidy v Gíze (Menkaure, Rachef, Chufu) giza •5. dynastie – pyramidy v Abúsíru (Neferirkare, Niuserre, Sahure) abusir •5. dynastie – Sahureova pyramida v Abúsíru sahure venis •5. dynastie – Venisova pyramida v Sakkáře pepi •6. dynastie – pyramida Pepiho II. v jižní Sakkáře illahun •12. dynastie – pyramida Senusreta II. v Illáhúnu dahsur_am •12. dynastie – pyramida Amenemheta III. v Dahšúru 1890 – 1800 př.n.l. Øvznikají texty egyptských papyrů Ømoskevský 1890 Ø Rhindův 1650 M17 •Rhindův matematický papyrus – počítání sklonu pyramid R_pyramidy •nepoziční desítková soustava • • • 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 • • • •241657 •násobení 12 × 13 • • 1 12 • 2 24 • 4 48 • 8 96 • • •násobení 12 × 13 • •\1 12 • 2 24 •\4 48 •\8 96 • •12 + 48 + 96 = 156 •násobení 12 × 13 dělení 255 ÷ 17 • •\1 12 1 17 • 2 24 10 170 •\4 48 2 34 •\8 96 4 68 • •12 + 48 + 96 = 156 •násobení 12 × 13 dělení 255 ÷ 17 • •\1 12 \1 17 • 2 24 \10 170 •\4 48 2 34 •\8 96 \4 68 • •12 + 48 + 96 = 156 1 + 10 + 4 = 15 • kmenné zlomky 1/n • • 2 × 1/2a • • 2 × 1/b • kmenné zlomky 1/n • • 2 × 1/2a 1/a • • 2 × 1/b • kmenné zlomky 1/n • • 2 × 1/2a 1/a • • 2 × 1/b 1/b1+1 /b2+1/b3 •Tabulka 2 : n • •Vyděl 2 ÷ 17 •1/12 . 1 1/3 1/12 1/51 . 1/3 1/68 . 1/4 • •řešení: 1 17 1 17 • 2/3 11 1/3 2 34 • 1/3 5 2/3 3 51 1/3 • 1/6 2 1/2 1/3 4 68 1/4 • \1/12 1 1/4 1/6 • \zbytek 1/3 1/4 •2 × 1/17 = 1/12 + 1/51+ 1/68 •Tabulka 2 : n • •Vyděl 2 ÷ 17 •1/12 . 1 1/3 1/12 1/51 . 1/3 1/68 . 1/4 • •řešení: 1 17 1 17 • 2/3 11 1/3 2 34 • 1/3 5 2/3 3 51 1/3 • 1/6 2 1/2 1/3 4 68 1/4 • \1/12 1 1/4 1/6 • \zbytek 1/3 1/4 • •co největší část 2 •2 × 1/17 •Tabulka 2 : n • •Vyděl 2 ÷ 17 •1/12 . 1 1/3 1/12 1/51 . 1/3 1/68 . 1/4 • •řešení: 1 17 1 17 • 2/3 11 1/3 2 34 • 1/3 5 2/3 3 51 1/3 • 1/6 2 1/2 1/3 4 68 1/4 • \1/12 1 1/4 1/6 • \zbytek 1/3 1/4 • •2 × 1/17 • •Tabulka 2 : n • •Vyděl 2 ÷ 17 •1/12 . 1 1/3 1/12 1/51 . 1/3 1/68 . 1/4 • •řešení: 1 17 1 17 • 2/3 11 1/3 2 34 • 1/3 5 2/3 3 51 1/3 • 1/6 2 1/2 1/3 4 68 1/4 • \1/12 1 1/4 1/6 • \zbytek 1/3 1/4 • •2 × 1/17 • •R34 •Množství, jehož 1/2 1/4 k němu přidané dají 10. •\1 1 1/2 1/4 1/4 1/28 1/2 • 2 3 1/2 \1/2 1/14 1 •\4 7 celkem je to množství 5 1/2 1/7 1/14 •\1/7 1/4 •Metoda zkoušky: •\1 5 1/2 1/7 1/14 •\1/2 2 1/2 1/4 1/14 1/28 •\1/4 1 1/4 1/8 1/28 1/56 •celkem 9 1/2 1/8, zbytek je 1/4 1/8. 1/4 je 14. •1/7 1/14 1/14 1/28 1/28 1/56 1/8 7, celkem 21. • 8 4 4 2 2 1 • •R34 •Množství, jehož 1/2 1/4 k němu přidané dají 10. •\1 1 1/2 1/4 1/4 1/28 1/2 • 2 3 1/2 \1/2 1/14 1 •\4 7 celkem je to množství 5 1/2 1/7 1/14 •\1/7 1/4 •Metoda zkoušky: •\1 5 1/2 1/7 1/14 •\1/2 2 1/2 1/4 1/14 1/28 •\1/4 1 1/4 1/8 1/28 1/56 •celkem 9 1/2 1/8, zbytek je 1/4 1/8. 1/4 je 14. •1/7 1/14 1/14 1/28 1/28 1/56 1/8 7, celkem 21. • 8 4 4 2 2 1 • • •x + (1/2 + 1/4) × x = 10 •R34 •Množství, jehož 1/2 1/4 k němu přidané dají 10. •\1 1 1/2 1/4 1/4 1/28 1/2 • 2 3 1/2 \1/2 1/14 1 •\4 7 celkem je to množství 5 1/2 1/7 1/14 •\1/7 1/4 •Metoda zkoušky: •\1 5 1/2 1/7 1/14 •\1/2 2 1/2 1/4 1/14 1/28 •\1/4 1 1/4 1/8 1/28 1/56 •celkem 9 1/2 1/8, zbytek je 1/4 1/8. 1/4 je 14. •1/7 1/14 1/14 1/28 1/28 1/56 1/8 7, celkem 21. • 8 4 4 2 2 1 • • •10÷(1+1/2+1/4) = 5+1/2+1/7+1/14 •R34 •Množství, jehož 1/2 1/4 k němu přidané dají 10. •\1 1 1/2 1/4 1/4 1/28 1/2 • 2 3 1/2 \1/2 1/14 1 •\4 7 celkem je to množství 5 1/2 1/7 1/14 •\1/7 1/4 •Metoda zkoušky: •\1 5 1/2 1/7 1/14 •\1/2 2 1/2 1/4 1/14 1/28 •\1/4 1 1/4 1/8 1/28 1/56 •celkem 9 1/2 1/8, zbytek je 1/4 1/8. 1/4 je 14. •1/7 1/14 1/14 1/28 1/28 1/56 1/8 7, celkem 21. • 8 4 4 2 2 1 • • • (5+1/2+1/7+1/14 ) × (1+1/2+1/4) •R34 •Množství, jehož 1/2 1/4 k němu přidané dají 10. •\1 1 1/2 1/4 1/4 1/28 1/2 • 2 3 1/2 \1/2 1/14 1 •\4 7 celkem je to množství 5 1/2 1/7 1/14 •\1/7 1/4 •Metoda zkoušky: •\1 5 1/2 1/7 1/14 •\1/2 2 1/2 1/4 1/14 1/28 •\1/4 1 1/4 1/8 1/28 1/56 •celkem 9 1/2 1/8, zbytek je 1/4 1/8. 1/4 je 14. •1/7 1/14 1/14 1/28 1/28 1/56 1/8 7, celkem 21. • 8 4 4 2 2 1 • • •21/56 •R34 •Množství, jehož 1/2 1/4 k němu přidané dají 10. •\1 1 1/2 1/4 1/4 1/28 1/2 • 2 3 1/2 \1/2 1/14 1 •\4 7 celkem je to množství 5 1/2 1/7 1/14 •\1/7 1/4 •Metoda zkoušky: •\1 5 1/2 1/7 1/14 •\1/2 2 1/2 1/4 1/14 1/28 •\1/4 1 1/4 1/8 1/28 1/56 •celkem 9 1/2 1/8, zbytek je 1/4 1/8. 1/4 je 14. •1/7 1/14 1/14 1/28 1/28 1/56 1/8 7, celkem 21. • 8 4 4 2 2 1 • • •21/56 = 1/4 + 1/8 • •R51 •Metoda výpočtu (obsahu) trojúhelníkové plochy. •Řekne-li se ti: trojúhelník, jenž má 10 chet na výšku •a jeho základna je 4 chet. •Jaký je (obsah) jeho plochy? Postup: • 10 chet Spočítej 1/2 ze 4, je to 2, • 4 chet abys udal jeho obdélník. • Počítej s 10 •1 40 1 1000 2-krát, to je (obsah) jeho plochy. •1/2 20 2 2000, to je (obsah) jeho plochy: 2 • • •R51 •Metoda výpočtu (obsahu) trojúhelníkové plochy. •Řekne-li se ti: trojúhelník, jenž má 10 chet na výšku •a jeho základna je 4 chet. •Jaký je (obsah) jeho plochy? Postup: • 10 chet Spočítej 1/2 ze 4, je to 2, • 4 chet abys udal jeho obdélník. • Počítej s 10 •1 40 1 1000 2-krát, to je (obsah) jeho plochy. •1/2 20 2 2000, to je (obsah) jeho plochy: 2 • • • •4 × 1/2 = 2 • •R51 •Metoda výpočtu (obsahu) trojúhelníkové plochy. •Řekne-li se ti: trojúhelník, jenž má 10 chet na výšku •a jeho základna je 4 chet. •Jaký je (obsah) jeho plochy? Postup: • 10 chet Spočítej 1/2 ze 4, je to 2, • 4 chet abys udal jeho obdélník. • Počítej s 10 •1 40 1 1000 2-krát, to je (obsah) jeho plochy. •1/2 20 2 2000, to je (obsah) jeho plochy: 2 • • • •10 × 2 = 20 • •M6 •Metoda výpočtu pravoúhelníku. •Řekne-li se ti: pravoúhelník o obsahu 12 kde 1/2 1/4 z délky přísluší šířce. •Počítej se 1/2 1/4, až najdeš 1, vyjde 1 1/3. •Počítej s těmito 12, což je obsah plochy, 1 1/3 -krát, vyjde 16. •Spočítej odmocninu (z toho), vyjde 4 pro délku, 1/2 1/4, je to 3 pro šířku. Postup: 4 \1 4 • 12 3 \2 16 • • •M6 •Metoda výpočtu pravoúhelníku. •Řekne-li se ti: pravoúhelník o obsahu 12. kde 1/2 1/4 z délky přísluší šířce. •Počítej se 1/2 1/4, až najdeš 1, vyjde 1 1/3. •Počítej s těmito 12, což je obsah plochy, 1 1/3 -krát, vyjde 16. •Spočítej odmocninu (z toho), vyjde 4 pro délku, 1/2 1/4, je to 3 pro šířku. Postup: 4 \1 4 • 12 3 \2 16 • • • •b = (1/2 + 1/4) × a •a × b = 12 • •M6 •Metoda výpočtu pravoúhelníku. •Řekne-li se ti: pravoúhelník o obsahu 12. kde 1/2 1/4 z délky přísluší šířce. •Počítej se 1/2 1/4, až najdeš 1, vyjde 1 1/3. •Počítej s těmito 12, což je obsah plochy, 1 1/3 -krát, vyjde 16. •Spočítej odmocninu (z toho), vyjde 4 pro délku, 1/2 1/4, je to 3 pro šířku. Postup: 4 \1 4 • 12 3 \2 16 • • •1 ÷ (1/2 + 1/4) = 1 + 1/3 •a : b = 4 : 3 • •M6 •Metoda výpočtu pravoúhelníku. •Řekne-li se ti: pravoúhelník o obsahu 12. kde 1/2 1/4 z délky přísluší šířce. •Počítej se 1/2 1/4, až najdeš 1, vyjde 1 1/3. •Počítej s těmito 12, což je obsah plochy, 1 1/3 -krát, vyjde 16. •Spočítej odmocninu (z toho), vyjde 4 pro délku, 1/2 1/4, je to 3 pro šířku. Postup: 4 \1 4 • 12 3 \2 16 • • • •12 × (1 + 1/3) = 16 •a × a = 16 •M6 •Metoda výpočtu pravoúhelníku. •Řekne-li se ti: pravoúhelník o obsahu 12. kde 1/2 1/4 z délky přísluší šířce. •Počítej se 1/2 1/4, až najdeš 1, vyjde 1 1/3. •Počítej s těmito 12, což je obsah plochy, 1 1/3 -krát, vyjde 16. •Spočítej odmocninu (z toho), vyjde 4 pro délku, 1/2 1/4, je to 3 pro šířku. Postup: 4 \1 4 • 12 3 \2 16 • • • •4 × (1/2 + 1/4) = 3 = b • •R50 •Metoda výpočtu (obsahu) kruhové plochy o (průměru) 9 chet. •Jaký je obsah její plochy? Odečti 1/9 z toho, je to 1, •zbytek je 8. Počítej s 8 8-krát, •vyjde 64. Toto je její obsah v ploše: 64 secat. 9 • •postup: 1 9 obsah její plochy • 1/9 z toho 1 64 secat • odečíst od toho, zbytek 8 • 1 8 4 32 • 2 16 \8 64 • • •R50 •Metoda výpočtu (obsahu) kruhové plochy o (průměru) 9 chet. •Jaký je obsah její plochy? Odečti 1/9 z toho, je to 1, •zbytek je 8. Počítej s 8 8-krát, •vyjde 64. Toto je její obsah v ploše: 64 secat. 9 • •postup: 1 9 obsah její plochy • 1/9 z toho 1 64 secat • odečíst od toho, zbytek 8 • 1 8 4 32 • 2 16 \8 64 • • •9 - 1/9 × 9 = 8 • • • •R50 •Metoda výpočtu (obsahu) kruhové plochy o (průměru) 9 chet. •Jaký je obsah její plochy? Odečti 1/9 z toho, je to 1, •zbytek je 8. Počítej s 8 8-krát, •vyjde 64. Toto je její obsah v ploše: 64 secat. 9 • •postup: 1 9 obsah její plochy • 1/9 z toho 1 64 secat • odečíst od toho, zbytek 8 • 1 8 4 32 • 2 16 \8 64 • • •8 × 8 = 64 • • • •R48 • \1 9 secat • 1 8 secat 2 18 secat 9 • 2 16 secat 4 36 secat • 4 32 secat \8 72 secat • \8 64 secat celkem 81 secat • • • •R48 • \1 9 secat • 1 8 secat 2 18 secat 9 • 2 16 secat 4 36 secat • 4 32 secat \8 72 secat • \8 64 secat celkem 81 secat • • • • 9 – 1 = 8 • 8 × 8 = 64 9 × 9 = 81 •R44 •Metoda počítání čtverhranné obilnice, jejíž délka je 10, šířka 10 a výška 10. Co se do ní vejde v obilí? •Počítej s 10 10-krát, vyjde 100. Počítej se 100 10-krát, vyjde 1000. Připočti 1/2 z toho, je to 500, vyjde 1500. To je její objem •v pytlech. Spočítej 1/20 z 1500, vyjde 75. To je to, co se do ní vejde ve 100-4-měřic: 74 100-4-měřic obilí. •Metoda řešení toho: • 1 10 1 1000 1 1500 •10 100 1/2 500 1/10 150 •100 1000 1/20 75 • 1 75 1/10 150 • 10 750 1/10 z 1/10 15 •\20 1500 2/3 z 1/10 z 1/10 z toho je 10. • •R44 •Metoda počítání čtverhranné obilnice, jejíž délka je 10, šířka 10 a výška 10. Co se do ní vejde v obilí? •Počítej s 10 10-krát, vyjde 100. Počítej se 100 10-krát, vyjde 1000. Připočti 1/2 z toho, je to 500, vyjde 1500. To je její objem •v pytlech. Spočítej 1/20 z 1500, vyjde 75. To je to, co se do ní vejde ve 100-4-měřic: 74 100-4-měřic obilí. •Metoda řešení toho: • 1 10 1 1000 1 1500 •10 100 1/2 500 1/10 150 •100 1000 1/20 75 • 1 75 1/10 150 • 10 750 1/10 z 1/10 15 •\20 1500 2/3 z 1/10 z 1/10 z toho je 10. • •10 × 10 = 100 •100 × 10 = 1000 • loktů3 • • •R44 •Metoda počítání čtverhranné obilnice, jejíž délka je 10, šířka 10 a výška 10. Co se do ní vejde v obilí? •Počítej s 10 10-krát, vyjde 100. Počítej se 100 10-krát, vyjde 1000. Připočti 1/2 z toho, je to 500, vyjde 1500. To je její objem •v pytlech. Spočítej 1/20 z 1500, vyjde 75. To je to, co se do ní vejde ve 100-4-měřic: 74 100-4-měřic obilí. •Metoda řešení toho: • 1 10 1 1000 1 1500 •10 100 1/2 500 1/10 150 •100 1000 1/20 75 • 1 75 1/10 150 • 10 750 1/10 z 1/10 15 •\20 1500 2/3 z 1/10 z 1/10 z toho je 10. • •1000 + 1/2 × 1000 •1000 + 500 = 1500 • pytlů • • •R44 •Metoda počítání čtverhranné obilnice, jejíž délka je 10, šířka 10 a výška 10. Co se do ní vejde v obilí? •Počítej s 10 10-krát, vyjde 100. Počítej se 100 10-krát, vyjde 1000. Připočti 1/2 z toho, je to 500, vyjde 1500. To je její objem •v pytlech. Spočítej 1/20 z 1500, vyjde 75. To je to, co se do ní vejde ve 100-4-měřic: 74 100-4-měřic obilí. •Metoda řešení toho: • 1 10 1 1000 1 1500 •10 100 1/2 500 1/10 150 •100 1000 1/20 75 • 1 75 1/10 150 • 10 750 1/10 z 1/10 15 •\20 1500 2/3 z 1/10 z 1/10 z toho je 10. • • 1/20 × 1500 • 75 stovek čtyřnásobných měřic • • • •R44 •Metoda počítání čtverhranné obilnice, jejíž délka je 10, šířka 10 a výška 10. Co se do ní vejde v obilí? •Počítej s 10 10-krát, vyjde 100. Počítej se 100 10-krát, vyjde 1000. Připočti 1/2 z toho, je to 500, vyjde 1500. To je její objem •v pytlech. Spočítej 1/20 z 1500, vyjde 75. To je to, co se do ní vejde ve 100-4-měřic: 74 100-4-měřic obilí. •Metoda řešení toho: • 1 10 1 1000 1 1500 •10 100 1/2 500 1/10 150 •100 1000 1/20 75 • 1 75 1/10 150 • 10 750 1/10 z 1/10 15 •\20 1500 2/3 z 1/10 z 1/10 z toho je 10. • •75 × 20 = 1500 •2/3 × 1/100 × 1500 • 10 loktů • •R45 •Obilnice, do níž se vejde 75 100-4-měřic obilí. Co jí přísluší velikost ku velikosti? Počítej se 75 20-krát, vyjde 1500. •Počítej s 1500: 1/10 z toho, je to 150, 1/10 z 1/10 z toho: 15, 2/3 z 1/10 z 1/10 z toho, je to 10. Tedy mu přísluší 10 ku 10 ku 10. •1 75 20 1500, hle, to je její objem. •10 750 1 1500 1/10 150 • 1/10 z 1/10 z toho je 15 • 2/3 z 1/10 z 1/10 z toho je 10 • •R45 •Obilnice, do níž se vejde 75 100-4-měřic obilí. Co jí přísluší velikost ku velikosti? Počítej se 75 20-krát, vyjde 1500. •Počítej s 1500: 1/10 z toho, je to 150, 1/10 z 1/10 z toho: 15, 2/3 z 1/10 z 1/10 z toho, je to 10. Tedy mu přísluší 10 ku 10 ku 10. •1 75 20 1500, hle, to je její objem. •10 750 1 1500 1/10 150 • 1/10 z 1/10 z toho je 15 • 2/3 z 1/10 z 1/10 z toho je 10 • • •75 × 20 = 1500 (pytlů) • • •R45 •Obilnice, do níž se vejde 75 100-4-měřic obilí. Co jí přísluší velikost ku velikosti? Počítej se 75 20-krát, vyjde 1500. •Počítej s 1500: 1/10 z toho, je to 150, 1/10 z 1/10 z toho: 15, 2/3 z 1/10 z 1/10 z toho, je to 10. Tedy mu přísluší 10 ku 10 ku 10. •1 75 20 1500, hle, to je její objem. •10 750 1 1500 1/10 150 • 1/10 z 1/10 z toho je 15 • 2/3 z 1/10 z 1/10 z toho je 10 • • •1/10 × 1/10 × 1500 = 15 • • •R45 •Obilnice, do níž se vejde 75 100-4-měřic obilí. Co jí přísluší velikost ku velikosti? Počítej se 75 20-krát, vyjde 1500. •Počítej s 1500: 1/10 z toho, je to 150, 1/10 z 1/10 z toho: 15, 2/3 z 1/10 z 1/10 z toho, je to 10. Tedy mu přísluší 10 ku 10 ku 10. •1 75 20 1500, hle, to je její objem. •10 750 1 1500 1/10 150 • 1/10 z 1/10 z toho je 15 • 2/3 z 1/10 z 1/10 z toho je 10 • • •2/3 × 15 = 10 loktů • • • •R57 •Pyramida o straně 140 a sklonu 5 dlaní 1 (prst). Jaká je její výška? •Proveď dělení 1 lokte dvojnásobkem sklonu, který vyjde 10 1/2. Počítej •s 10 1/2, až najdeš 7, neboť to je 1 loket. Počítej s 10 1/2: 2/3 z 10, je to 7. •Počítej se 140, to je délka strany: spočítej 2/3 ze 140, je to 93 1/3. •Hle, to je její výška. 93 1/3 • • • 140 • • • •R57 •Pyramida o straně 140 a sklonu 5 dlaní 1 (prst). Jaká je její výška? •Proveď dělení 1 lokte dvojnásobkem sklonu, který vyjde 10 1/2. Počítej •s 10 1/2, až najdeš 7, neboť to je 1 loket. Počítej s 10 1/2: 2/3 z 10, je to 7. •Počítej se 140, to je délka strany: spočítej 2/3 ze 140, je to 93 1/3. •Hle, to je její výška. 93 1/3 • • • 140 • • • • •1/2 a ÷ v = sklon •v = a ÷ (2 × sklon) • 1 loket ÷ (2 × 5 d 1p) • 7 dlaní ÷ 10 + 1/2 = 2/3 • •R57 •Pyramida o straně 140 a sklonu 5 dlaní 1 (prst). Jaká je její výška? •Proveď dělení 1 lokte dvojnásobkem sklonu, který vyjde 10 1/2. Počítej •s 10 1/2, až najdeš 7, neboť to je 1 loket. Počítej s 10 1/2: 2/3 z 10, je to 7. •Počítej se 140, to je délka strany: spočítej 2/3 ze 140, je to 93 1/3. •Hle, to je její výška. 93 1/3 • • • 140 • • • • • • 140 × 2/3 = 93 + 1/3 = v • •R58 •Pyramida, jejíž výška je 93 1/3. Udej mi její sklon, když 140 •je strana. Spočítej 1/2 ze 140, je to 70. Počítej s 93 1/3, •až najdeš 70. Počítej s 93 1/3: 1/2 z toho je 46 2/3, 1/4 z toho je 23 1/3. Spočítej 1/2 1/4 •z 1 lokte. Počítej se 7: 1/2 z toho je 3 1/2, 1/4 z toho je 1 1/2 1/4, celkem 5 dlaní 1 (prst). •Řešení: 1 93 1/3 1 7 • \1/2 46 2/3 1/2 3 1/2 • \1/4 23 1/3 1/4 1 sic 1/4 • Spočítej z lokte, celkem 5 dlaní 1 (prst), • když 1 loket je 7 dlaní. to je sklon. • •R58 •Pyramida, jejíž výška je 93 1/3. Udej mi její sklon, když 140 •je strana. Spočítej 1/2 ze 140, je to 70. Počítej s 93 1/3, •až najdeš 70. Počítej s 93 1/3: 1/2 z toho je 46 2/3, 1/4 z toho je 23 1/3. Spočítej 1/2 1/4 •z 1 lokte. Počítej se 7: 1/2 z toho je 3 1/2, 1/4 z toho je 1 1/2 1/4, celkem 5 dlaní 1 (prst). •Řešení: 1 93 1/3 1 7 • \1/2 46 2/3 1/2 3 1/2 • \1/4 23 1/3 1/4 1 sic 1/4 • Spočítej z lokte, celkem 5 dlaní 1 (prst), • když 1 loket je 7 dlaní. to je sklon. • • •140 × 1/2 = 70 •R58 •Pyramida, jejíž výška je 93 1/3. Udej mi její sklon, když 140 •je strana. Spočítej 1/2 ze 140, je to 70. Počítej s 93 1/3, •až najdeš 70. Počítej s 93 1/3: 1/2 z toho je 46 2/3, 1/4 z toho je 23 1/3. Spočítej 1/2 1/4 •z 1 lokte. Počítej se 7: 1/2 z toho je 3 1/2, 1/4 z toho je 1 1/2 1/4, celkem 5 dlaní 1 (prst). •Řešení: 1 93 1/3 1 7 • \1/2 46 2/3 1/2 3 1/2 • \1/4 23 1/3 1/4 1 sic 1/4 • Spočítej z lokte, celkem 5 dlaní 1 (prst), • když 1 loket je 7 dlaní. to je sklon. • • • •70 ÷ (93 + 1/3) = 1/2 + 1/4 1/2 × (93 + 1/3 ) = 46 + 2/3 • 1/4 × (93 + 1/3 ) = 23 + 1/3 • •R58 •Pyramida, jejíž výška je 93 1/3. Udej mi její sklon, když 140 •je strana. Spočítej 1/2 ze 140, je to 70. Počítej s 93 1/3, •až najdeš 70. Počítej s 93 1/3: 1/2 z toho je 46 2/3, 1/4 z toho je 23 1/3. Spočítej 1/2 1/4 •z 1 lokte. Počítej se 7: 1/2 z toho je 3 1/2, 1/4 z toho je 1 1/2 1/4, celkem 5 dlaní 1 (prst). •Řešení: 1 93 1/3 1 7 • \1/2 46 2/3 1/2 3 1/2 • \1/4 23 1/3 1/4 1 sic 1/4 • Spočítej z lokte, celkem 5 dlaní 1 (prst), • když 1 loket je 7 dlaní. to je sklon. • •(1/2 + 1/4) × 1 loket •(1/2 + 1/4) × 7 dlaní = (3 + 1/2) + (1 + 1/2 + 1/4) = 5 dlaní 1 prst • • • •M24: •Metoda výpočtu 15 měřic hornoegyptského ječmene. •Řekne-li se ti: 15 měřic hornoegyptského ječmene převést na 200 chlebů, zbytek na 10 (džbánů) piva tak, že 1/10 pesu chlebů je pro pesu piva. •……………………. Počítej s 1/10 , až najdeš 1, •vyjde 10-krát. Počítej s těmi 10 džbány piva •10-krát, vyjde 100. Sečti těch 100 a těch 200, •vyjde 300. Počítej s 15, až najdeš 300, vyjde 20-krát. • Hle, pesu 20 je to, co přísluší těm 200 chlebům. •Spočítej 1/10 z těch 20, vyjde 2. •Hle, těch 10 džbánů piva má pesu 2. •Nalezl’s správně. • •M24: •Metoda výpočtu 15 měřic hornoegyptského ječmene. •Řekne-li se ti: 15 měřic hornoegyptského ječmene převést na 200 chlebů, zbytek na 10 (džbánů) piva tak, že 1/10 pesu chlebů je pro pesu piva. •……………………. Počítej s 1/10 , až najdeš 1, •vyjde 10-krát. Počítej s těmi 10 džbány piva •10-krát, vyjde 100. Sečti těch 100 a těch 200, •vyjde 300. Počítej s 15, až najdeš 300, vyjde 20-krát. • Hle, pesu 20 je to, co přísluší těm 200 chlebům. •Spočítej 1/10 z těch 20, vyjde 2. •Hle, těch 10 džbánů piva má pesu 2. •Nalezl’s správně. • • • •1 ÷ 1/10 = 10 •M24: •Metoda výpočtu 15 měřic hornoegyptského ječmene. •Řekne-li se ti: 15 měřic hornoegyptského ječmene převést na 200 chlebů, zbytek na 10 (džbánů) piva tak, že 1/10 pesu chlebů je pro pesu piva. •……………………. Počítej s 1/10 , až najdeš 1, •vyjde 10-krát. Počítej s těmi 10 džbány piva •10-krát, vyjde 100. Sečti těch 100 a těch 200, •vyjde 300. Počítej s 15, až najdeš 300, vyjde 20-krát. • Hle, pesu 20 je to, co přísluší těm 200 chlebům. •Spočítej 1/10 z těch 20, vyjde 2. •Hle, těch 10 džbánů piva má pesu 2. •Nalezl’s správně. • • • •10 × 10 = 100 •M24: •Metoda výpočtu 15 měřic hornoegyptského ječmene. •Řekne-li se ti: 15 měřic hornoegyptského ječmene převést na 200 chlebů, zbytek na 10 (džbánů) piva tak, že 1/10 pesu chlebů je pro pesu piva. •……………………. Počítej s 1/10 , až najdeš 1, •vyjde 10-krát. Počítej s těmi 10 džbány piva •10-krát, vyjde 100. Sečti těch 100 a těch 200, •vyjde 300. Počítej s 15, až najdeš 300, vyjde 20-krát. • Hle, pesu 20 je to, co přísluší těm 200 chlebům. •Spočítej 1/10 z těch 20, vyjde 2. •Hle, těch 10 džbánů piva má pesu 2. •Nalezl’s správně. • • • •100 + 200 = 300 •M24: •Metoda výpočtu 15 měřic hornoegyptského ječmene. •Řekne-li se ti: 15 měřic hornoegyptského ječmene převést na 200 chlebů, zbytek na 10 (džbánů) piva tak, že 1/10 pesu chlebů je pro pesu piva. •……………………. Počítej s 1/10 , až najdeš 1, •vyjde 10-krát. Počítej s těmi 10 džbány piva •10-krát, vyjde 100. Sečti těch 100 a těch 200, •vyjde 300. Počítej s 15, až najdeš 300, vyjde 20-krát. • Hle, pesu 20 je to, co přísluší těm 200 chlebům. •Spočítej 1/10 z těch 20, vyjde 2. •Hle, těch 10 džbánů piva má pesu 2. •Nalezl’s správně. • • •300 ÷ 15 = 20 • kvalita chlebů •M24: •Metoda výpočtu 15 měřic hornoegyptského ječmene. •Řekne-li se ti: 15 měřic hornoegyptského ječmene převést na 200 chlebů, zbytek na 10 (džbánů) piva tak, že 1/10 pesu chlebů je pro pesu piva. •……………………. Počítej s 1/10 , až najdeš 1, •vyjde 10-krát. Počítej s těmi 10 džbány piva •10-krát, vyjde 100. Sečti těch 100 a těch 200, •vyjde 300. Počítej s 15, až najdeš 300, vyjde 20-krát. • Hle, pesu 20 je to, co přísluší těm 200 chlebům. •Spočítej 1/10 z těch 20, vyjde 2. •Hle, těch 10 džbánů piva má pesu 2. •Nalezl’s správně. • • •1/10 × 20 = 2 • kvalita piva •R71: •Jeden džbán piva, jehož 1/4 byla odlita a nahrazena vodou pro zjemnění. Jaká je kvalita? •Převeď jeden džbán na obilí beša, vyjde 1/2 (měřice) obilí beša. Odečti •1/4 z toho, tedy 1/8, zbytek je 1/4 1/8. Počítej s 1/4 1/8 , až najdeš 1, vyjde 2 2/3. Pesu je 2 2/3. • •R71: •Jeden džbán piva, jehož 1/4 byla odlita a nahrazena vodou pro zjemnění. Jaká je kvalita? •Převeď jeden džbán na obilí beša, vyjde 1/2 (měřice) obilí beša. Odečti •1/4 z toho, tedy 1/8, zbytek je 1/4 1/8. Počítej s 1/4 1/8 , až najdeš 1, vyjde 2 2/3. Pesu je 2 2/3. • • •pesu je 2 = „z 1 měřice obilí se vyrobí 2 džbány piva“ •1 ÷ 2 = 1/2 měřice •množství obilí použité pro vaření zadaného piva •R71: •Jeden džbán piva, jehož 1/4 byla odlita a nahrazena vodou pro zjemnění. Jaká je kvalita? •Převeď jeden džbán na obilí beša, vyjde 1/2 (měřice) obilí beša. Odečti •1/4 z toho, tedy 1/8, zbytek je 1/4 1/8. Počítej s 1/4 1/8 , až najdeš 1, vyjde 2 2/3. Pesu je 2 2/3. • • • •1/2 měřice – (1/4 × 1/2) = 1/2 – 1/8 = 1/4 + 1/8 měřice •R71: •Jeden džbán piva, jehož 1/4 byla odlita a nahrazena vodou pro zjemnění. Jaká je kvalita? •Převeď jeden džbán na obilí beša, vyjde 1/2 (měřice) obilí beša. Odečti •1/4 z toho, tedy 1/8, zbytek je 1/4 1/8. Počítej s 1/4 1/8 , až najdeš 1, vyjde 2 2/3. Pesu je 2 2/3. • • • •1 ÷ (1/4 + 1/8) = 2 + 2/3 kvalita zředěného piva • •R67: •Metoda (výpočtu) prací pastýře. Přišel ten pastýř ke sčítání dobytka se 70 dobytčaty. Ten úředník pro sčítání dobytka pravil tomu pastýři: málo je kusů dobytka, jež přivádíš! •Kde je množství tvých početných kusů dobytka?! Ten pastýř pravil: přivedl jsem ti 2/3 z 1/3 z býků, kteří mi byli svěřeni. Počítej pro mne a shledáš, že jsem úplný. Postup: • 1 1 1 1/6 1/18 •2/3 2/3 2 1/3 1/9 •1/3 1/3 \4 2/3 1/6 1/18 •2/3 z 1/3 z toho, je to 1/6 1/18 \1/2 1/9 •vyděl 1 : ( 1/6 1/18 ) celkem 1 •Počítej vyjde 315 2/3 z 1/3 z toho •se 70: to je to, co mu bylo svěřeno 70 •spočítej 1 315 70 •3 1/2 -krát 2/3 210 je to, co přivedl • 1/3 z toho 105 •R67: •Metoda (výpočtu) prací pastýře. Přišel ten pastýř ke sčítání dobytka se 70 dobytčaty. Ten úředník pro sčítání dobytka pravil tomu pastýři: málo je kusů dobytka, jež přivádíš! •Kde je množství tvých početných kusů dobytka?! Ten pastýř pravil: přivedl jsem ti 2/3 z 1/3 z býků, kteří mi byli svěřeni. Počítej pro mne a shledáš, že jsem úplný. Postup: • 1 1 1 1/6 1/18 •2/3 2/3 2 1/3 1/9 •1/3 1/3 \4 2/3 1/6 1/18 •2/3 z 1/3 z toho, je to 1/6 1/18 \1/2 1/9 •vyděl 1 : ( 1/6 1/18 ) celkem 1 •Počítej vyjde 315 2/3 z 1/3 z toho •se 70: to je to, co mu bylo svěřeno 70 •spočítej 1 315 70 •3 1/2 -krát 2/3 210 je to, co přivedl • 1/3 z toho 105 • • 2/3 × 1/3 × x = 70 •(1/6 + 1/18) × x = 70 •R67: •Metoda (výpočtu) prací pastýře. Přišel ten pastýř ke sčítání dobytka se 70 dobytčaty. Ten úředník pro sčítání dobytka pravil tomu pastýři: málo je kusů dobytka, jež přivádíš! •Kde je množství tvých početných kusů dobytka?! Ten pastýř pravil: přivedl jsem ti 2/3 z 1/3 z býků, kteří mi byli svěřeni. Počítej pro mne a shledáš, že jsem úplný. Postup: • 1 1 1 1/6 1/18 •2/3 2/3 2 1/3 1/9 •1/3 1/3 \4 2/3 1/6 1/18 •2/3 z 1/3 z toho, je to 1/6 1/18 \1/2 1/9 •vyděl 1 : ( 1/6 1/18 ) celkem 1 •Počítej vyjde 315 2/3 z 1/3 z toho •se 70: to je to, co mu bylo svěřeno 70 •spočítej 1 315 70 •3 1/2 -krát 2/3 210 je to, co přivedl • 1/3 z toho 105 • • •1 ÷ (1/6 + 1/18) = 4 + 1/2 • • •R67: •Metoda (výpočtu) prací pastýře. Přišel ten pastýř ke sčítání dobytka se 70 dobytčaty. Ten úředník pro sčítání dobytka pravil tomu pastýři: málo je kusů dobytka, jež přivádíš! •Kde je množství tvých početných kusů dobytka?! Ten pastýř pravil: přivedl jsem ti 2/3 z 1/3 z býků, kteří mi byli svěřeni. Počítej pro mne a shledáš, že jsem úplný. Postup: • 1 1 1 1/6 1/18 •2/3 2/3 2 1/3 1/9 •1/3 1/3 \4 2/3 1/6 1/18 •2/3 z 1/3 z toho, je to 1/6 1/18 \1/2 1/9 •vyděl 1 : ( 1/6 1/18 ) celkem 1 •Počítej vyjde 315 2/3 z 1/3 z toho •se 70: to je to, co mu bylo svěřeno 70 •spočítej 1 315 70 •4 1/2 -krát 2/3 210 je to, co přivedl • 1/3 z toho 105 • • •70 × (4 + 1/2) = 315 = x • • •R67: •Metoda (výpočtu) prací pastýře. Přišel ten pastýř ke sčítání dobytka se 70 dobytčaty. Ten úředník pro sčítání dobytka pravil tomu pastýři: málo je kusů dobytka, jež přivádíš! •Kde je množství tvých početných kusů dobytka?! Ten pastýř pravil: přivedl jsem ti 2/3 z 1/3 z býků, kteří mi byli svěřeni. Počítej pro mne a shledáš, že jsem úplný. Postup: • 1 1 1 1/6 1/18 •2/3 2/3 2 1/3 1/9 •1/3 1/3 \4 2/3 1/6 1/18 •2/3 z 1/3 z toho, je to 1/6 1/18 \1/2 1/9 •vyděl 1 : ( 1/6 1/18 ) celkem 1 •Počítej vyjde 315 2/3 z 1/3 z toho •se 70: to je to, co mu bylo svěřeno 70 •spočítej 1 315 70 •4 1/2 -krát 2/3 210 je to, co přivedl • 1/3 z toho 105 • • •2/3 × 1/3 × 315 = 70 • zkouška • •R 65: •Metoda výpočtu 100 chlebů pro 10 mužů, lodník, velitel a dveřník mají dvojnásobek. •Řešení: sečti to, co je lidí mužstva, vyjde 13. Počítej •se 13, až najdeš těch 100 chlebů, vyjde 7 2/3 1/39. Řekni: toto je to, •co náleží •těm 7 mužům, lodník • velitel • dveřník mají dvojnásobek. •.7 2/3 1/39 .7 2/3 1/39 lodník 15 1/3 1/26 1/78 •.7 2/3 1/39 .7 2/3 1/39 velitel 15 1/3 1/26 1/78 •.7 2/3 1/39 .7 2/3 1/39 dveřník 15 1/3 1/26 1/78 , • celkem 100. • •R 65: •Metoda výpočtu 100 chlebů pro 10 mužů, lodník, velitel a dveřník mají dvojnásobek. •Řešení: sečti to, co je lidí mužstva, vyjde 13. Počítej •se 13, až najdeš těch 100 chlebů, vyjde 7 2/3 1/39. Řekni: toto je to, •co náleží •těm 7 mužům, lodník • velitel • dveřník mají dvojnásobek. •.7 2/3 1/39 .7 2/3 1/39 lodník 15 1/3 1/26 1/78 •.7 2/3 1/39 .7 2/3 1/39 velitel 15 1/3 1/26 1/78 •.7 2/3 1/39 .7 2/3 1/39 dveřník 15 1/3 1/26 1/78 , • celkem 100. • • • •10 + 3 = 13 podílů •R 65: •Metoda výpočtu 100 chlebů pro 10 mužů, lodník, velitel a dveřník mají dvojnásobek. •Řešení: sečti to, co je lidí mužstva, vyjde 13. Počítej •se 13, až najdeš těch 100 chlebů, vyjde 7 2/3 1/39. Řekni: toto je to, •co náleží •těm 7 mužům, lodník • velitel • dveřník mají dvojnásobek. •.7 2/3 1/39 .7 2/3 1/39 lodník 15 1/3 1/26 1/78 •.7 2/3 1/39 .7 2/3 1/39 velitel 15 1/3 1/26 1/78 •.7 2/3 1/39 .7 2/3 1/39 dveřník 15 1/3 1/26 1/78 , • celkem 100. • • • •100 × 13 = 7+ 2/3 + 1/39 • jeden podíl • •R 65: •Metoda výpočtu 100 chlebů pro 10 mužů, lodník, velitel a dveřník mají dvojnásobek. •Řešení: sečti to, co je lidí mužstva, vyjde 13. Počítej •se 13, až najdeš těch 100 chlebů, vyjde 7 2/3 1/39. Řekni: toto je to, •co náleží •těm 7 mužům, lodník • velitel • dveřník mají dvojnásobek. •.7 2/3 1/39 .7 2/3 1/39 lodník 15 1/3 1/26 1/78 •.7 2/3 1/39 .7 2/3 1/39 velitel 15 1/3 1/26 1/78 •.7 2/3 1/39 .7 2/3 1/39 dveřník 15 1/3 1/26 1/78 , • celkem 100. • •(7+ 2/3+ 1/39)× 2 = • = 15+1/3+1/26+1/78 • podíl nadřízených • •R79 •Domácnost: • domy 7 • kočky 49 12801 myši 343 25602 pšenice 2301sic 411204 ječmen 16807 •celkem 19607 celkem 19607 1 •R79 •Domácnost: • domy 7 • kočky 49 12801 myši 343 25602 pšenice 2301sic 411204 ječmen 16807 •celkem 19607 celkem 19607 1 • •geometrická posloupnost, •jejíž součet je 19607 • •R79 •Domácnost: • domy 7 • kočky 49 12801 myši 343 25602 pšenice 2301sic 411204 ječmen 16807 •celkem 19607 celkem 19607 1 • 2801 = 16806 ÷ 6 •7 × 2801 = 19607 16806 = 16807 – 1 = qn – 1 • 6 = 7 – 1 = q – 1 •s = x × (qn – 1) ÷ (q – 1) • •R82: •Množství toho, co spořádá vykrmovaná husa: •10 husí 1 1/4 měřice •spočítáno na 10 dní 12 1/4 měřice •na 40 dní 50 měřic •spočítat obilí ve 2-měřice 23 1/2 1/4 1/8 měřice + 4 1/4 1/6 1/6 ro • 11. stol.př.n.l. Øv Číně pythagorejský trojúhelník o stranách 3,4,5 ØObejdská kultura: přibližně 5300-4000 ØUruk: přibližně 4000-3000 ØKlasická sumerská civilizace: asi 3000 - asi 2335 ØSargon z Akkadu a jeho nástupci: asi 2335-2250 Chronologie Mezopotámie (middle chronology) > babylon •Staroasyrská říše: 1813-1781 •sahala od pohoří Zagros až ke střednímu Eufratu. Král Išme-Dagan byl poražen babylónským králem Chammurapim, který Asýrii připojil ke své říši • •Starobabylónská říše (Chammurapi a jeho nástupci): 1792-1595 (vyplenění Babylónu chetitským králem Muršilišem I.) • •Středobabylónské období: nadvláda Kassitů (kmeny z východu) v Babylónii; nastává někdy po 1595 a trvá do cca 1260, kdy je říše dobyta Elamity. Další (tj. 4.-10.) dynastie v Babylónii jsou už opět místní, protože kolem 1190 jsou Elamité vyhnáni. • •Období churritské říše Mitanni v severní Mezopotámii: 1500-1400. • •Středoasyrské období: nastává po eliminaci Mitanni (1400-912). Boje s Chetity a po pádu chetitské říše (cca 1200) opět velká říše. Kolem roku 1000 opět období nestability. ØNovoasyrská říše (cca 900 až 612) ØNovobabylónská (též chaldejská) říše (cca 625 až 539) ØVzestup íránských národů - Médové a Peršané ØMédové (ve spojení s Babylóňany) nejprve likvidují novoasyrskou říši (612 zničení Ninive). Ø > ØPeršané likvidují médskou říši – 550. ØPeršané likvidují lýdskou říši a zabírají celou Anatolii – 546. ØPeršané likvidují novobabylónskou říši – 539. ØPeršané zabírají Egypt – 525. ØVytvoření perské světové říše, která sahá až do Thrákie (dnešní Bulharsko) je dokončeno cca 500. Konflikt se státy pevninského Řecka může začít. > 7. stol. př.n.l. Øknihovna asyrského krále Ašurbanipala (668 - 635/27) Ø Ø map_ashurbanipal ashurbanipal Klínové písmo Ø Cuneiform_script > Geometrická tabulka Ø YBC7289 YBC7289c > Babylonské číslice Ø Babylonian_symbols > Zápisy velkých čísel Ø Ø60 x 60 x 60 = 216 000 Ø 57 x 3600 = 205 200 Ø 46 x 60 = 2760 Ø 40 ___________________ Ø 424 000 Ø Ø Ø mezop3 > Umocňování Ø2 x 60 = 120 Ø 27 Ø______________ Ø 147 Ø147 x 147 = 21 609 Ø Ø6 x 3 600 = 21 600 Ø 0 x 60 = 0 Ø 9 Ø Ø Babylonian_square > Pythagorova věta v Babylonu Ø4 je délka a 5 diagonála. Jaká je šířka? ØVelikost není dána. Ø4 krát 4 je 16 Ø5 krát 5 je 25 ØVezmi 16 z 25 a kolik zůstane? ØCo krát co dá 9? Ø3 krát 3 je 9. Ø3 je šířka. >