Planimetrické příklady
P1 Dokažte, že středy stran libovolného čtyřúhelníku tvoří vrcholy rovnoběžníku
(v literatuře někdy zvaného Varignonův rovnoběžník). Kdy je tento
rovnoběžník pravoúhelník (kdy kosočtverec, kdy čtverec)?
P2 Pomocí věty o střední příčce trojúhelníku dokažte větu o střední příčce
lichoběžníku: Spojnice středů ramen lichoběžníku je rovnoběžná se základnami
a její délka je aritmetickým průměrem délek obou základen. Pak pomocí
délek základen vypočtěte délku té spojnice ramen, která je rovnoběžná
se základnami a prochází průsečíkem úhlopříček daného lichoběžníku.
P3 Úhlopříčky lichoběžníku dělí tento útvar na čtyři trojúhelníky. Trojúhelníky
přilehlé základnám mají obsahy 12 cm2
a 3 cm2
. Určete obsahy trojúhelníků
přilehlých k ramenům. Pak najděte vztahy mezi obsahy čtyř trojúhelníků
vzniklých rozdělením konvexního čtyřúhelníku jeho úhlopříčkami, jež charakterizují
a) lichoběžník, b) rovnoběžník.
P4 Příčky AK, BL a CM trojúhelníku ABC procházejí jedním bodem P a
rozdělují tak celý trojúhelník na 6 menších trojúhelníků. Pro obsahy čtyř
z nich platí SAMP = SALP a SBMP = SBKP . Dokažte, že bod P je těžištěm
trojúhelníku ABC (a tedy příčky AK, BL, CM jeho těžnice).
P5 Zformulujte a pomocí obsahů dokažte Cévovu větu.