Příklady, na které stačila přijít řeč na semináři „Malé velké úlohy“ 16. 4. 2018
Zde uvedené „problémy“ ať již ve formě příkladů nebo úloh nejsou pro užití ve škole míněny jako konečné a neměnné,
spíše jako východiska k dalším variacím a obměnám. To bylo také hlavní myšlenkou semináře.
1) Existují dvě různá komplexní čísla z taková, že z3
= 1 a současně z ≠ 1.
Vypočtěte součet těchto dvou čísel. (CERMAT 2012) (Na semináři varianta z3
+ 1 = 0.)
2) Jedeme dopravním prostředkem do místa M, které se nachází mezi dvěma stanicemi S1 a S2.
Na které z nich máme vystoupit a dojít pěšky, abychom byli v M co nejdříve?
(Místo M nemusí ležet na trase.)
3) (Problém šesti zásuvek) Varianta kombinatorické úlohy o pořadí šesti prvků.
Kolik je možností zpětného umístění šesti zásuvek na místa, ze kterých jsme je všechny vytáhli?
Možnosti nebývají zaměnitelné, zásuvky se obvykle poněkud liší. Je-li správná jediná možnost, jaká
je pravděpodobnost, že se „trefíme“ hned napoprvé? Až napodruhé? Právě při 4. pokusu? (Atd.)
4) Problém velkého kvantifikátoru v nápisech typu „Vše za 10 Kč“. Pohled právníků... (?)
5) Hit měsíce: 50% z ceny 299 Kč je prý 99 Kč (podle reklamního nápisu kdesi...)
6) Co vše lze vytěžit z časté žákovské „chybné úpravy“ 3.4m
= 12m
? (Dvě až tři úlohy...)
7) Pro která čísla m má soustava rovnic x – y = m, x2
+ y2
= 25 právě jedno řešení?
(Interpretace v AG) {±5√2}
8) Řešte soustavu rovnic s parametrem a: x + ay = 1 x – y = a2
. Interpretujte geometricky.
Jaké konfigurace obou přímek mohou nastat vzhledem k různým hodnotám parametru a?
9) Některá řešení rovnice x2
– 4x = 1 – y2
jsou celočíselná (např. x = 0; y = 1, x = 3; y = 2...).
a) Najděte alespoň některá další celočíselná řešení. b) Kolik je celočíselných řešení celkem ?
Interpretujte geometricky, kružnice a mřížové body.
10) Řešte soustavu rovnic | x | – y = 1; x2
+ (y + 1)2
= 8 (Interpretace v AG)
11) Je dána funkce f(x) = 3x – 3. Kolik čísel splňuje rovnost 3.f(x) = f(x + 3)?
Nabídka: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) nekonečně mnoho
12) a) V aritmetické posloupnosti platí: d = – 2, a1
= 30. Kolik členů této AP dává součet 234?
b) V sále je 234 sedadel. V první řadě jich je 30, v každé další vždy o dvě méně. Kolik řad
sedadel je v sále?
V čem se podstatně liší tyto dvě „stejné“ úlohy?
13) Zjednodušte zlomek
10
2
+11
2
+12
2
+13
2
+14
2
365
(tzv. Račinského úloha). Mnoho způsobů...
14) (Anička a babička) V rovině je dána přímka p a mimo ni v téže polorovině dva body A, B.
Najděte na přímce p bod M takový, že součet délek úseček AM + MB je minimální.
(Osová symetrie, trojúhelníková nerovnost. Zahradnická konstrukce elipsy, tečna v jejím bodě.)
15) (Růže v blázinci) Napiště rovnici přímky v rovině, která
a) prochází právě jedním mřížovým bodem
b) neprochází žádným mřížovým bodem
c) neprochází žádným racionálním bodem
d) prochází pouze konečným počtem n mřížových bodů, n > 1 (nelze, proč?)
e) Mějme dva svazky přímek: y = k.x a y = m.x, kde k je racionální číslo, m je iracionální číslo.
Kterých přímek je „víc“ a v jakém smyslu? Jak se to má s jejich incidencí s mřížovými body?
(Racionální čísla, iracionální čísla, směrnice přímky. Spočetné a nespočetné množiny.)
f) Prochází některá z přímek y = x.√3 + √2 y = x.√3 – √12 některým mřížovým bodem?
16) Řešte diofantovské rovnice převedením na parametrické vyjádření přímky v rovině a její
incidenci s mřížovými body:
a) 2x + 3y = 5
b) Kolika způsoby lze zaplatit částku 30 Kč pouze dvoukorunami a pětikorunami?
c) V Brně je možno jezdit MHD (dokonce IDS JMK) také na tzv. univerzální jízdenku, která
obsahuje 24 polí. Z nich lze použít 2, 3, 4 … pole podle přesných pravidel. Někteří lidé používají
pouze dvě kombinace, 3 nebo 4 pole. Kolik takových jízd lze uskutečnit, má-li se „vyjezdit“ právě
jedna celá jízdenka?
Kolika způsoby lze jízdy při možnosti 4x3 + 3x4 seřadit za sebou?
17) (Osudí a limita) Jakási reklama na plakátě v pražské tramvaji.
Text končí slovy „... a kdo splní ještě (...jistou) dodatečnou podmínku, bude jeho jméno vloženo do
osudí třikrát, čímž jeho šance na výhru třikrát vzroste!“
Ukažte, že toto tvrzení je nepravdivé.
Využijte k ilustraci AG-interpretace a pojem limita funkce (posloupnosti) v nevlastním bodě.
18) Kolik % nepřeměněné radioaktivní látky je ve vzorku v okamžiku uplynutí poloviny poločasu
přeměny (od začátku měření)?
Nabídka: a) 50% b) 71% c) 75% d) 80%
Poznámka: Tato formulace je nevhodná, dokonce zmateční, proč?
Jak by se mohla a měla vylepšit? Lze tušit, jak byla míněna.
19) Kořeny rovnice x3
– 10x2
+ 31x – 30 = 0 (jednodušší verze x3
– 6x2
+ 11x – 6 = 0) jsou
délkami hran kvádru. Aniž ji řešíte, najděte jeho objem a povrch (tj. aniž tyto kořeny znáte).
(Viètovy vztahy pro rovnici 3. stupně. Provedení důkazu Viètových vztahů pro rovnici 3. stupně
(resp. jejich odvození) je uvedeno jako úloha v gymnaziální učebnici Rovnice a nerovnice, str. 151.
Studenti by je tedy měli znát, alespoň na G se s jejich znalostí počítá. )
Kterých dalších partií sš látky z M se může tato úloha dotknout a jak? Je jich hodně, jsou využitelné
třeba při předmaturitní přípravě v M-semináři a pod.
20) Přímky p, q jsou rovnoběžné. Platí: p: 12x + 5y + 6 = 0 q: ax + 3y – 12 = 0,
kde a představuje reálné číslo. Určete vzdálenost přímek p, q. (CERMAT 2012)