INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Lineární algebra a geometrie Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. Obsah 1 Lineární algebra: Matice - rozšíření 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Transponovaná matice.............................. 2 1.1.2 Inverzní matice.................................. 2 1.2 Řešené příklady...................................... 3 1.3 Příklady k procvičení................................... 8 2 Geometrie: Vlastní čísla a vlastní vektory 8 2.1 Teorie........................................... 8 2.2 Řešené příklady...................................... 9 2.3 Příklady k procvičení................................... 14 1 Lineární algebra: Matice - rozšíření Tato kapitola navazuje na Úvod do matematiky - Lineární algebra - kapitola Matice. Než budete pokračovat, doporučujeme její zopakování. 1.1 Teorie 1.1.1 Transponovaná matice Připomeňme si, že symbolem A = (ftjj) jsme označovali maticí typu m/n tj. A = (a,ij) = ^&11 &12 ' ' ' »ln »21 »22 ' ' ' »2n y»ml »m2 ' ' ' »mn J Pro práci s maticemi je někdy výhodné zaměnit řádky matice za její sloupce.1 Nechť A = (a,ij) je matice typu m/n. Potom matice ATa typu n/m, která vznikne z matice A záměnou řádků za sloupce, tj.: ^ au ÍX21 ' ' ' »ml^ »12 a22 ' ' ' am2 AT = (1) \ain a2n ' ' ' OWi/ se nazývá transponovaná matice k matici A. a Transponovaná matice se také někdy označuje jako A či A'. 1.1.2 Inverzní matice Připomeňme si, že čtvercová matice, která má na hlavní diagonále samé jedničky a jinde má všechny prvky nulové, se nazývá jednotková matice a značí se E. Jednotková matice je "jednič-kou"vzhledem k násobení čtvercových matic - pokud s ní vynásobíme jinou matici, výsledkem je příslušná matice: A ■ E = E ■ A = A. Nechť A je čtvercová matice řádu n, E je jednotková matice také řádu n. Matice A 1 s vlastností AA-1 = A-1 A = E, (2) se nazývá inverzní matice k matici A. 1 Např. při určování hodnosti matice můžeme pracovat jak s řádky, tak se sloupci matice. Hodnost matice se tím nezmění. 2 Inverzní matice k dané matici nemusí vždy existovat. Dá se dokázat, že k dané matici A existuje právě jedna matice inverzní, pokud pro determinant původní matice platí \A\ O2 . Jak ale inverzní matici najít? Výpočet inverzní matice - pomocí ekvivalentních úprav 1) Zapíšeme zadanou matici A, ke které hledáme matici inverzní ("levá matice"), a vpravo vedle ní zapíšeme matici jednotkovou ("pravá matice"). S oběma maticemi dále pracujeme, jakoby to byla jediná matice ("celková matice"). 2) Ekvivalentními úpravami (EU) převedeme "levou matici ".A na schodovitý tvar. Přitom nezapomeneme pracovat i s prvky pravé matice. 3) Následně pomocí EU vytvoříme nuly i nad hlavní diagonálou levé matice. Opět nezapomeneme pracovat i s prvky pravé matice. 4) Na závěr pomocí EU vytvoříme z levé matice matici jednotkovou (pokud nedostaneme jednotkovou matici rovnou v kroku 3, tak jednotlivé řádky celkové vydělíme nenulovými čísly tak, aby levá matice měla v hlavní diagonále samé jedničky). 5) Po provedení kroků (l)-(4) se inverzní matice k zadané matici nachází na místě pravé matice. Celý postup můžeme souhrnně označit jako: (-A|íľ) ~ • • • ~ (E\A 1). Výpočet inverzní matice - pomocí algebraických doplňků Nechť A je čtvercová matice řádu n taková, že \A\ =£ 0. Pak / Au A12 ■ A ~\A\ A 21 A 22 Aln\ A2n \An Ar, (3) 7 kde Aíj je tzv. algebraický doplněk k prvku a^- v původní matici A, který se vypočte jako (—l)l+J \ Aíj\, přičemž \Aíj \ je determinant submatice získané z matice A vynecháním z-tého řádku a j-tého sloupce. 1.2 Řešené příklady Příklad 1. Určete inverzní matici k matici A = 6 -4 -17 \ -1 1 3 2-1 -6 y Řešení Budeme postupovat přesně dle postupu uvedeného pro výpočet inverzní matice - pomocí ekvivalentních úprav. Zapíšeme zadanou matici A, ke které hledáme matici inverzní ("levá matice"), a vpravo vedle ní zapíšeme matici jednotkovou ("pravá matice"). S oběma maticemi dále pracujeme, jakoby to byla jediná matice ("celková matice"): 2 Matice A s vlastností \A\ # 0 se nazývá regulární matice. 3 v 6 -4 -17 1 0 0 1 1 3 0 1 0 2 -1 -6 0 0 1 7 Pomocí EÚ převedeme "levou matici "A na schodovitý tvar. Z hlediska těchto úprav bude vhodné umístit 2. řádek na místo 1. řádku (v levém rohu matice mít číslo -1). 1. řádek pak vynásobíme šesti a přičteme k 2. řádku, dále vynásobíme 1. řádek číslem 2 a přičteme k 3. řádku. Přitom nezapomeneme pracovat i s prvky "pravé matice": V 1 1 3 0 1 0 6 -4 -17 1 0 0 2 -1 -6 0 0 1 7 V -1 1 3 0 2 1 0 1 0 0 1 0 \ 1 6 0 0 2 1 Z hlediska dalších úprav bude výhodné prohodit 2. a 3. řádek: \ r-1 ( V 1 1 3 0 1 0 0 2 1 1 6 0 0 1 0 0 2 1 V 1 1 3 0 1 0 0 1 0 0 2 1 0 2 1 1 6 0 7 Následně vynásobíme 2. řádek číslem —2 a přičteme k 3. řádku. Tím dostaneme matici ve schodovitém tvaru: (-1 1 3 0 1 0 \ ( -1 1 3 0 1 0 \ 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 2 1 V 0 2 1 1 6 0 ) \ 0 0 1 1 2 -2 7 Nyní je třeba vytvořit nuly i nad hlavní diagonálou "levé matice". 2. řádek matice je z hlediska této úpravy ve vhodném tvaru. V 1. řádku matice získáme nejdříve 0 na pozici = 3 a to tak, že vynásobíme 3. řádek číslem —3 a přičteme ho k 1. řádku: V -1 1 3 0 1 0 0 0 1 o\ í 1 7 V -i i o 0 1 o 0 0 1 1 2 7 Dále potřebujeme získat v 1. řádku matice 0 na pozici a\2 = 1 a to tak, že vynásobíme 2. řádek číslem —la přičteme ho k 1. řádku: (-1 1 0 -3 -5 6 \ ( -1 0 0 -3 -7 5 \ 0 1 0 0 2 1 0 1 0 0 2 1 V 0 0 1 1 2 -2 ) \ 0 0 1 1 2 -2 7 4 Nyní z "levé matice "vytvoříme jednotkovou matici - stačí vynásobit první řádek číslem —1: / -1 0 0 0 1 o y o o i -3 -7 0 2 1 1 2 -2 5 \ / 1 0 0 0 1 0 0 0 1 V 3 7 -5 \ 0 2 1 1 2 -2 y A jsme hotovi - inverzní matice k zadané matici se nachází na místě "pravé matice", tj. / 3 7 A~ = -5\ 0 2 1 1 2 -2 Příklad 2. Určete inverzní matici k matici A = 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 pomocí ekvivalentních úprav. Řešení. Opět budeme postupovat podle postupu uvedeného pro výpočet inverzní matice - pomocí ekvivalentních úprav. Zapíšeme zadanou matici A, ke které hledáme matici inverzní ("levá matice"), a vpravo vedle ní zapíšeme matici jednotkovou ("pravá matice"). S oběma maticemi dále pracujeme, jakoby to byla jediná matice ("celková matice"): íl 0 4 1 0 0 \ 1 -i 1 0 1 0 v1 2 6 0 0 1 Pomocí EÚ převedeme "levou matici"A na schodovitý tvar. 1. řádek matice vynásobíme číslem (—1) a přičteme k 2. a 3. řádku. Nezapomeneme přitom pracovat i s prvky "pravé matice": 0 4 1 0 0 \ 0 4 1 0 0 \ 1 -i 1 0 1 0 0 -1 -3 -1 1 0 v1 2 6 0 0 1 / v° 2 2 -1 0 1 Následně vynásobíme 2. řádek číslem 2 a přičteme k 3. řádku. Tím dostaneme matici ve schodovitém tvaru: 0 4 1 0 0 \ 0 4 1 0 0 \ 0 -1 -3 -1 1 0 0 -1 -3 -1 1 0 v° 2 2 -1 0 1 v° 0 -4 -3 2 1 5 Nyní je třeba vytvořit nuly i nad hlavní diagonálou "levé matice". Abychom vytvořili 0 na místě a23 = —3, vynásobíme 3. řádek číslem —3 a přičteme ho k 4-násobku 2. řádku. Dále také přičteme 3. řádek k 1. řádku: 1 0 4 1 0 0 íl 0 0 -2 2 1 0 -1 -3 -1 1 0 0 -4 0 5 -2 -3 0 0 -4 -3 2 1 ) 1° 0 -4 -3 2 1 Nyní z "levé matice "vytvoříme jednotkovou matici - stačí vynásobit 2. a 3. řádek číslem 0 0 -2 2 1 f 1 0 0 -2 2 1 \ 0 -4 0 5 -2 -3 0 1 0 5 4 1 2 3 4 v° 0 -4 -3 2 1 ) 1° 0 1 3 4 1 2 1 4 A jsme hotovi - inverzní matice k zadané matici se nachází na místě "pravé matice", tj. A-1 5 I 4 2 Příklad 3. Určete inverzní matici k matici A = 2 4 / 1 0 4 1 -1 1 1 2 6 pomocí algebraických doplňků. Řešení. Opět budeme postupovat podle postupu uvedeného pro výpočet inverzní matice - pomocí algebraických doplňků - podle (3) vypočteme inverzní matici jako: f Au A12 ■■■ Aln\ A-' = \A\ A 21 A 22 \A ml Am2 A 2n An Nejdříve vypočteme determinant matice A (dle Sarussova pravidla): 1-4.1 = au a\2 »13 0.21 &22 a23 a31 a32 a33 — alla22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 — a13a22a31 ~ alla23a32 — a12a21a33 6 \A\ = 1 O 4 1 -1 1 1 2 6 = -6 + 0 + 8 + 4-2-0 = 4 Nyní postupně vypočteme jednotlivé algebraické doplňky: An = (-1) í+i -1 1 2 6 + (-6-2) = -í A12 = (-1) 1+2 1 1 1 6 -(6-1) = -5 ^13 = (-1) 1+3 1 -1 1 2 + (2+1) = 3 A21 = (-1) 2+1 0 4 2 6 = -(0 A22 = (-1) 2+2 1 4 1 6 = +(6 - 4) = 2 ^23 = (-1) 2+3 1 0 1 2 = -(2-0) = -2 A31 = (-1) 3+1 0 4 -1 1 = +(0 + 4) = 4 ^32 = (-1) 3+2 1 4 1 1 = -(1-4) = 3 ^33 = (-1) 3+3 1 0 1 -1 = +(-l-0) = -l Vypočtené algebraické doplňky dosadíme do vzorce (3) s tím, že matici ve vzorci rovnou transponujeme, tj. prvky Au, A12 a A13 zapíšeme do 1. sloupce, prvky A2i, A22 a A23 do 2. sloupce a prvky A3i, A32 a A33 do 3. sloupce: 7 A~ = - -5 3 2 -2 -1 4\ í 3 1.3 Příklady k procvičení Příklad 1. K dané matici A určete matici inverzní a to jednak pomocí ekvivalentních úprav a jednak pomocí algebraických doplňků. f-1 0 - 1^ a) A = 2 1 1 { 3 0 1 ) ^32 b) A = 5 4 1 l1 2 5 J ( 1 2 0 1 2 \ Řešení. a) A = 1 2 1 1 2 \ 3 2 0 1 2 ( 3 5 3 1 3 \ b) A = -4 5 2 1 2 { 1 2 3 1 3 ) 2 Geometrie: Vlastní čísla a vlastní vektory 2.1 Teorie Již dříve jsme se setkali s určitým charakteristickým číslem dané matice - determinantem. V této části se budeme zabývat hledáním jiných charakteristických čísel - A, které jsou řešením rovnice Au = \u, kde A je zadaná matice řádu n. Znalost řešení takové rovnice má řadu aplikací, nejen v matematice, ale třeba v kvantové chemii. Nechť A = (ftý) je matice řádu n, kde a^- e C. Číslo A e C se nazývá vlastní nebo charakteristické číslo matice A, jestliže splňuje pro některý nenulový vektor u rovnici Au = Xu. (1) Vektor u se nazývá vlastní nebo charakteristický vektor příslušný k A. Maticovou rovnici Au = Xu lze dále upravit: 8 Au - Xu = O (A - \E)u = 0. (2) (A — \E)u = O je homogenní soustava n lineárních rovnic o n neznámých3 . Protože podle předpokladu musí být vlastní vektor nenulový (dle jeho definice), musí mít soustava nenulové řešení. To je splněno za podmínky, že determinant matice soustavy \A — XE\ = 0. Nechť A = (a>ij) je matice řádu n, kde clíj e C. Rovnice \A-\E\ = 0 (3) se nazývá charakteristická rovnice matice A, determinant \A -polynom matice A. -XE\ se nazývá charakteristický Řešením charakteristické rovnice jsou vlastní čísla matice A. Jelikož charakteristický polynom je n-tého řádu, řešením charakteristické rovnice dostaneme n, ne nutně různých, vlastních čísel matice A. 2.2 Řešené příklady Příklad 1. Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice Řešení. Nejdříve určíme charakteristickou rovnici matice A (podle (3)): 4 (3-A)(-A)-(-l)2 = 0 -3A + A2 + 2 = 0 ■ A2 - 3A + 2 = 0 Snadno zjistíme, že kořeny charakteristického polynomu jsou Ai = 1, A2 = 2, což jsou hledaná vlastní čísla matice A. Vlastní vektory příslušné k jednotlivým vlastním číslům získáme dosazením Ai,2 do rovnice (2): (A - \E)u = 0. Pro Ai = 1 dostáváme: 3 Místo 0 na pravé straně rovnice by se přesněji měl psát nulový vektor o. 4 Charakteristickou rovnici tedy snadno získáme rovnou tak, že v determinantu matice A odečteme A na hlavní diagonále. 9 (A - \E)u = Mánie tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: 2u\ — ií2 = 0 2u\ — U2 = 0 Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu: 2u\ — U2 = 0. Položíme Mi = í a dostaneme U2 = 2t. Řešení soustavy je tedy tvaru (ŕ, 2ť),t e C. Každý násobek vektoru (1, 2) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu Ai = 1. Pro A2 = 2 analogicky dostáváme: (A - 2E)u = Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: U\ — U2 = 0 2ui - 2u2 = 0 Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu: Ml — U2 = 0. Položíme U2 = t a dostaneme u\ = t. Řešení soustavy je tedy tvaru (í, í),í e C. Každý násobek vektoru (1,1) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu A2 = 2. 10 Příklad 2. Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice Řešení. Nejdříve určíme charakteristickou rovnici matice A (podle (3)): ^2-3 l\ 1 -2 1 v1 -3 2 J 2 - A -3 1 1 -2-A 1 1 -3 2-A (2 - A)(-2 - A)(2 - A) - 6 - (-2 - A) + 6(2 - A) -A3 + 2A2 - A -A(A2 -2A- 1) -A(A-l)2 = 0 = 0 = 0 = o = o Kořeny charakteristického polynomu jsou Ai = 0, A2,3 = 1, což jsou hledaná vlastní čísla matice A. Vlastní vektory příslušné k jednotlivým vlastním číslům získáme dosazením Ai,2 do rovnice (2): (A - \E)u = 0. Pro Ai = 0 dostáváme: 2 -3 1 1 -2 1 V 1 -3 2 (A - 0E)u = \(U1\ V M3 ) o o v0 y Máme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých: 2ui — 3«2 + «3 = 0 mi — 2u2 + u3 = 0 ■ Mi — 3«2 + 2«3 = 0 Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu: 2ui — 3«2 + 1*3 = 0 - u2 + u3 = 0 Položíme «3 = í a dostaneme u\ = u2 = t. Řešení soustavy je tedy tvaru (t,t,t),t e C. Každý násobek vektoru (1,1,1) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu Ai = 0. 11 Pro A2,3 = 1 analogicky dostáváme: ( 2 V -3 -2- 1 -3 2 íl -3 1 -3 1 y i -3 i (A - \E)u AI nA u2 \u3 J 1 1 \ / «1 \ U2 \u3 J 0 0 v0 y o v0 y Máme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých: ui — 3«2 + u3 = 0 ui — 3«2 + u3 = 0 ■ ui — 3u2 + u3 = 0 Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu: Ml — 3«2 +u3 = 0. Položíme u2 = t,u3 = s a dostaneme u\ = 3r — s. Řešení soustavy je tedy tvaru (3r s, t,s),t,s e C. Protože řešení soustavy obsahuje dva parametry dostaneme vlastní vektory dosazením: t= í,s = 0: (3,l,0);ŕ = 0,s = 1 : (-1,0, l)5. Každá lineární kombinace vektorů (3,1, 0) a (—1, 0,1) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu A2,3 = 1. Příklad 3. Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice Řešení. Nejdříve určíme charakteristickou rovnici matice A (podle (3)): = 0 6-A -4 3 -1 - A (6-A)(-l - A) + 12 = 0 A2 - 5A + 6 = 0 6 -4 3 -1 Obecně, při větším počtu parametrů, volíme vždy jeden z parametrů roven jedné a ostatní rovny nule. 12 Kořeny charakteristického polynomu jsou Ai = 2, A2 = 3, což jsou hledaná vlastní čísla matice A. Vlastní vektory příslušné k jednotlivým vlastním číslům získáme dosazením Ai,2 do rovnice (2): (A - \E)u = 0. Pro Ai = 2 dostáváme: Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: 4«i - 4w2 = 0 3«i — 3«2 = 0 Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu: ui ~ u2 = 0. Položíme U2 = t a dostaneme u\ = t. Řešení soustavy je tedy tvaru (í, í),í e C. Každý násobek vektoru (1,1) je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu Ai = 2. Pro A2 = 3 analogicky dostáváme: Máme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých: 3«i — 4«2 = 0 3«i — 4«2 = 0 Použitím Gaussovy eliminační metody určíme ekvivalentní soustavu: 3«i — 4w2 = 0. 13 Položíme «2 = í a dostaneme u\ = |í. Řešení soustavy je tedy tvaru (|í,í),í e C. Každý násobek vektoru (|, l)6 je vlastním vektorem matice A příslušným k vlastnímu číslu A2 = 3. 2.3 Příklady k procvičení Příklad 1. Určete vlastní čísla a k nim příslušné vlastní vektory matice A: a) b) c) 3 2 4 1 3 -1 1 1 0 1 0 0 o 1 0 0 0 d) 1 1 0 2 1 0 o 1 Řešení, a) Ai = — 1, u = (t, — 2í), t e C; A2 = 5, u = (ŕ, ŕ), t e i b) Ai = A2 = 2,u= (í,t),íeC c) Ai = A2 = A3 = 0,u = (t, 0, 0),í e C d) Ai = A2 = 1, u = (í, s, —s), t, s e C; A3 = 2, u = (í, t, 0), t e Literatura [1] Horák - Lineárni algebra [2] Horák - Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I [3] http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/MatematikaI/13_MI_KAP [4] http://www.vscht.cz/mat/MCHI/1 _prednaska.pdf [5] Janyška - Analytická geometrie resp. vektoru (4, 3) H