4. domácí úloha ze semináře z matematiky II, 18. 3. 2019
Verzi B odevzdejte do odevzdávárny do 25. 3. 2019
Verze A na procvičování.
1. Nechť U = {aV2 + bVŠR; a, b G Q}. Dokažte, že to je vektorový prostor nad racionálními čísly Q, najděte nějakou jeho bázi a dokažte, že je to skutečně báze.
2. Mějme neprázdné uzavřené intervaly [an, bn] pro všechna n G N takové, že [an+i,bn+1] C \o-ni bn] Pro všechna n. Dokažte, že jejich průnik
oo
fl [an, bn] Ý 0-
n=l
Návod. Dokažte, že sup{an n G N} leží v průniku. Verze B pro ty, co na cvičení nemusejí chodit.
7b. Nechť G je grupa řádu 10, která má normální podgrupu řádu 2. Dokažte, že G je abelovská.
8b. Ukažte, že interval [0,1] nemůže být zapsán jako sjednocení spočetně nekonečně mnoha disjunktních uzavřených intervalů.
l