1
M2010 Matematika II 19. března 2009
Diferenciál funkce
Jak si jej představit?
Silvie Kuráňová, Jan Vondra (PřF MU)
Zpět Dok Dok
2
Diferenciál funkce – výpočet a využití
Nechť je funkce f(x, y) diferencovatelná v každém bodě množiny M, tj. má v každém bodě
této množiny diferenciál, který je funkcí čtyř proměnných: x, y, h, k.
df(x, y) = fx(x, y)h + fy(x, y)k.
Pro přírůstky budeme dále v textu používat označení dx = h = x − x0, dy = k = y − y0.
Pak platí: diferenciál funkce f(x, y) je
df(x, y) = fx(x, y)dx + fy(x, y)dy.
Diferenciál funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] s přírůstky dx, dy se značí df(x0, y0)(dx, dy),
příp. df(x0, y0) a je dán vztahem
df(x0, y0) = fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy.
Diferenciál se používá k přibližnému výpočtu funkčních hodnot:
f(x, y)
.
= f(x0, y0) + df(x0, y0).
Rovnice tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] má tvar
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0),
tedy
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy = f(x0, y0) + df(x0, y0).
V následujících příkladech se můžeme přesvědčit, že rovnice tečné roviny v bodě [x0, y0]
k funkci f(x, y) je nejlepší lineární aproximací této funkce v okolí daného bodu.
Zpět Dok Dok
3
Diferenciál funkce – geometrický význam
• Diferenciál funkce jedné proměnné y = f(x) v bodě x0 . . . přírůstek funkce na tečně
vedené ke grafu funkce bodem [x0, f(x0)] = [x0, y0].
•
Diferenciál funkce dvou proměnných y = f(x, y) v bodě [x0, y0] . . . přírůstek funkce
na tečné rovině vedené ke grafu funkce v bodě [x0, y0, f(x0, y0)] = [x0, y0, z0].
• Obecně: Totální diferenciál funkce n proměnných (n ≥ 2) . . . přírůstek funkce na tečné
nadrovině1
vedené ke grafu funkce bodem x0 ∈ Rn
.
Ukažme si vše na konkrétních příkladech a interaktivní 3D grafice.
Z řady nástrojů pro ovládaní 3D obrázku, doporučujeme především přepínač pro zobrazení
„stromu“ modelu – můžete tak postupně zobrazovat či schovávat jednotlivé objekty
prostorového obrázku.
1Tečná nadrovina je afinní prostor dimenze n−1, která má lokálně (tj. v okolí bodu, kde tečnou nadrovinu
sestrojujeme) s grafem funkce společný právě jeden bod.
Zpět Dok Dok
4
Diferenciál funkce – příklad 1
Příklad 1. Nechť je dána funkce z = x2
+y2
2 . V bodě [1, 2] určete
a) rovnici tečné roviny ke grafu funkce z.
b) diferenciál funkce z s přírůstky dx = 1
2 , dy = 1
2 .
Zpět Dok Dok
5
Příklad 1, Řešení
Výpočet rovnice tečné roviny funkce z = x2
+y2
2 v bodě [1, 2].
a) Rovnice tečné roviny vedené ke grafu funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] má tvar
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0).
5
Příklad 1, Řešení
Výpočet rovnice tečné roviny funkce z = x2
+y2
2 v bodě [1, 2].
a) Rovnice tečné roviny vedené ke grafu funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] má tvar
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0).
V našem případě f(x, y) = x2
+y2
2 a [x0, y0] = [1, 2].
5
Příklad 1, Řešení
Výpočet rovnice tečné roviny funkce z = x2
+y2
2 v bodě [1, 2].
a) Rovnice tečné roviny vedené ke grafu funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] má tvar
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0).
V našem případě f(x, y) = x2
+y2
2 a [x0, y0] = [1, 2].
Z funkčního předpisu vyjádřeme z-ovou souřadnici dotykového bodu
f(x0, y0) = f(1, 2) =
12
+ 22
2
=
5
2
.
5
Příklad 1, Řešení
Výpočet rovnice tečné roviny funkce z = x2
+y2
2 v bodě [1, 2].
a) Rovnice tečné roviny vedené ke grafu funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] má tvar
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0).
V našem případě f(x, y) = x2
+y2
2 a [x0, y0] = [1, 2].
Z funkčního předpisu vyjádřeme z-ovou souřadnici dotykového bodu
f(x0, y0) = f(1, 2) =
12
+ 22
2
=
5
2
.
Spočítejme parciální derivace
fx =
2x
2
= x, fx(x0, y0) = 1,
fy =
2y
2
= y, fy(x0, y0) = 2.
5
Příklad 1, Řešení
Výpočet rovnice tečné roviny funkce z = x2
+y2
2 v bodě [1, 2].
a) Rovnice tečné roviny vedené ke grafu funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] má tvar
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0).
V našem případě f(x, y) = x2
+y2
2 a [x0, y0] = [1, 2].
Z funkčního předpisu vyjádřeme z-ovou souřadnici dotykového bodu
f(x0, y0) = f(1, 2) =
12
+ 22
2
=
5
2
.
Spočítejme parciální derivace
fx =
2x
2
= x, fx(x0, y0) = 1,
fy =
2y
2
= y, fy(x0, y0) = 2.
a dosaďme do obecného tvaru rovnice tečné roviny
z =
5
2
+ 1(x − 1) + 2(y − 2) = x + 2y − 5 +
5
2
= x + 2y −
5
2
,
z =
1
2
(2x + 4y − 5).
5
Příklad 1, Řešení
Výpočet rovnice tečné roviny funkce z = x2
+y2
2 v bodě [1, 2].
a) Rovnice tečné roviny vedené ke grafu funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] má tvar
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0).
V našem případě f(x, y) = x2
+y2
2 a [x0, y0] = [1, 2].
Z funkčního předpisu vyjádřeme z-ovou souřadnici dotykového bodu
f(x0, y0) = f(1, 2) =
12
+ 22
2
=
5
2
.
Spočítejme parciální derivace
fx =
2x
2
= x, fx(x0, y0) = 1,
fy =
2y
2
= y, fy(x0, y0) = 2.
a dosaďme do obecného tvaru rovnice tečné roviny
z =
5
2
+ 1(x − 1) + 2(y − 2) = x + 2y − 5 +
5
2
= x + 2y −
5
2
,
z =
1
2
(2x + 4y − 5).
Tečná rovina 2x + 4y − 2z − 5 = 0 je na obrázku 1 vykreslena jako šedá rovina.
Zpět Dok Dok
6
Příklad 1b, Řešení
Počítáme diferenciál funkce z = x2
+y2
2 v bodě [1, 2] s přírůstky dx = 1
2 , dy = 1
2 .
b) Diferenciál funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] s přírůstky dx, dy je zadán předpisem
df(x0, y0) = fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy.
6
Příklad 1b, Řešení
Počítáme diferenciál funkce z = x2
+y2
2 v bodě [1, 2] s přírůstky dx = 1
2 , dy = 1
2 .
b) Diferenciál funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] s přírůstky dx, dy je zadán předpisem
df(x0, y0) = fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy.
V našem případě [x0, y0] = [1, 2], dx = 1
2 , dy = 1
2 .
6
Příklad 1b, Řešení
Počítáme diferenciál funkce z = x2
+y2
2 v bodě [1, 2] s přírůstky dx = 1
2 , dy = 1
2 .
b) Diferenciál funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] s přírůstky dx, dy je zadán předpisem
df(x0, y0) = fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy.
V našem případě [x0, y0] = [1, 2], dx = 1
2 , dy = 1
2 .
Parciální derivace funkce v daném bodě jsem již vypočítali v úkolu a)
fx(1, 2) = 1, fy(1, 2) = 1,
diferenciál v bodě [1, 2] má tedy tvar
df(1, 2) = fx(1, 2)dx + fy(1, 2)dy = 1dx + 2dy.
6
Příklad 1b, Řešení
Počítáme diferenciál funkce z = x2
+y2
2 v bodě [1, 2] s přírůstky dx = 1
2 , dy = 1
2 .
b) Diferenciál funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] s přírůstky dx, dy je zadán předpisem
df(x0, y0) = fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy.
V našem případě [x0, y0] = [1, 2], dx = 1
2 , dy = 1
2 .
Parciální derivace funkce v daném bodě jsem již vypočítali v úkolu a)
fx(1, 2) = 1, fy(1, 2) = 1,
diferenciál v bodě [1, 2] má tedy tvar
df(1, 2) = fx(1, 2)dx + fy(1, 2)dy = 1dx + 2dy.
Nyní dosadíme přírůstky
df(1, 2) = 1dx + 2dy = 1 ·
1
2
+ 2 ·
1
2
=
3
2
.
6
Příklad 1b, Řešení
Počítáme diferenciál funkce z = x2
+y2
2 v bodě [1, 2] s přírůstky dx = 1
2 , dy = 1
2 .
b) Diferenciál funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] s přírůstky dx, dy je zadán předpisem
df(x0, y0) = fx(x0, y0)dx + fy(x0, y0)dy.
V našem případě [x0, y0] = [1, 2], dx = 1
2 , dy = 1
2 .
Parciální derivace funkce v daném bodě jsem již vypočítali v úkolu a)
fx(1, 2) = 1, fy(1, 2) = 1,
diferenciál v bodě [1, 2] má tedy tvar
df(1, 2) = fx(1, 2)dx + fy(1, 2)dy = 1dx + 2dy.
Nyní dosadíme přírůstky
df(1, 2) = 1dx + 2dy = 1 ·
1
2
+ 2 ·
1
2
=
3
2
.
Diferenciál funkce z v bodě [1, 2] je na obrázku 1 zobrazen jako červená úsečka.
Zpět Dok Dok
7
Diferenciál funkce – geometrický význam, příklad 1
Vysvětlení
Skutečná funkční hodnota v bodě [x0 + dx, y0 + dy] = [1,5; 2,5] je
z(1,5; 2,5) =
(1,5)2
+ (2,5)2
2
=
8,5
2
= 4,25.
Funkční hodnotu v bodě [x0 + dx, y0 + dy] můžeme vyjádřit také pomoci diferenciálu jako
f(1,5; 2,5)
.
= f(1, 2) + df(1, 2) =
5
2
+
3
2
= 4, kde
f(1, 2) . . . funkční hodnota v daném bodě [x0, y0], v grafu reprezentována zelenou úsečkou,
df(1, 2) . . . diferenciál v bodě [x0, y0] s přírůstky dx, dy, v grafu zobrazen jako červená
úsečka.
Náš výpočet pak můžeme geometricky interpretovat takto: vezmeme hodnotu funkce v zadaném
bodě [x0, y0] a připočteme k ní přírůstek na tečné rovině (tj. diferenciál).
Z výpočtu je také patrné (a na obrázku 1 se o tom můžeme přesvědčit), že při aproximaci
funkce z diferenciálem se dopouštíme jisté chyby (v grafu vyznačena žlutou úsečkou ), která
je ale poměrně malá. V našem případě
chyba = 4,25 − 4 = 0,25.
Modré kuličky na obrázku 1 znázorňují všechny důležité body:
[x0, y0, z0] = 1, 2,
5
2
[x0 + dx, y0 + dy, z] = [1,5; 2,5; 4,25]
[x0 + dx, y0 + dy, f(1, 2) + df(1, 2)] = [1,5; 2,5; 4]
Zpět Dok Dok
8
Diferenciál funkce – geometrický význam, příklad 1
Obrázek 1: Funkce z = x2
+y2
2 , její diferenciál v bodě [1, 2] s přírůstky
dx = 1
2 , dy = 1
2 .
Zpět Dok Dok
9
Diferenciál funkce – příklad 2
Příklad 2. Vypočtěte rovnici tečné roviny ke grafu funkce z = x3
+ xy2
v bodě [2, 1].
Řešení
Obdobným postupem jako v příkladu 1, část a) dostáváme rovnici tečné roviny ve tvaru
13x + 4y − z − 20 = 0.
Podrobnější řešení tohoto příkladu viz. skriptum J. Osička: Matematika pro chemiky.
Diferenciál funkce – geometrický význam, příklad 2
Vysvětlení
Na obrázcích 2 a 3 je zobrazen graf funkce z = x3
+ xy2
a tečná rovina k této funkci v bodě
[x0, y0] = [2, 1] (obrázek 3 je výřezem obrázku 2 pro z > 0).
Bod dotyku [2, 1] je modrý, tečná rovina šedá. Jednotky na osách (jako ve všech 3D obrázcích)
jsou žluté, ovšem souřadnicový systém není kartézský (na ose z je menší měřítko).
Můžete se přesvědčit (např. zvětšením 3D obrázku), že v blízkém okolí bodu dotyku tečná
rovina velmi dobře aproximuje průběh zadané funkce.
Zpět Dok Dok
10
Diferenciál funkce – geometrický význam, příklad 2
Obrázek 2: Graf funkce z = x3
+ xy2
.
Pozn.: Na ose z je menší měřítko!
Obrázek 3: Funkce z = x3
+ xy2
pro z > 0
a její tečná rovina v bodě [2, 1].
Zpět Dok Dok