1
M2010 Matematika II 26. března 2009
Lokální a absolutní extrémy
Demonstrační příklady
c Silvie Kuráňová, Jan Vondra (PřF MU)
Zpět Dok Dok
2
Lokální a absolutní extrémy
Klíčovými pojmy v této kapitole jsou
• (ostré) lokální minimum a maximum,
• stacionární bod,
• (ostré) absolutní extrémy.
Zde připomeňme jen, že:
Hledáme-li lokální extrémy, pak zadanou funkci vyšetřujeme pouze lokálně (tj. v okolí nějakého
bodu), hledáme-li absolutní extrémy, pak vyšetřujeme nejmenší a největší hodnotu
dané funkce na předepsané množině M.
Zpět Dok Dok
3
Příklad 1 – lokální extrémy
Příklad 1. Rozhodněte, zda má funkce f(x, y) =
√
x2+y2
2 v bodě [0, 0] lokální minimum.
3
Příklad 1 – lokální extrémy
Příklad 1. Rozhodněte, zda má funkce f(x, y) =
√
x2+y2
2 v bodě [0, 0] lokální minimum.
Řešení
Platí f(0, 0) = 0 a zároveň pro každé [x, y] = [0, 0] je f(x, y) > 0.
3
Příklad 1 – lokální extrémy
Příklad 1. Rozhodněte, zda má funkce f(x, y) =
√
x2+y2
2 v bodě [0, 0] lokální minimum.
Řešení
Platí f(0, 0) = 0 a zároveň pro každé [x, y] = [0, 0] je f(x, y) > 0.
Funkce f(x, y) =
√
x2+y2
2 má tedy v bodě [x, y] = [0, 0] lokální minimum, které je minimem
ostrým.
Graf funkce, což je kuželová plocha, si můžete prohlédnout na obrázku 1.
3
Příklad 1 – lokální extrémy
Příklad 1. Rozhodněte, zda má funkce f(x, y) =
√
x2+y2
2 v bodě [0, 0] lokální minimum.
Řešení
Platí f(0, 0) = 0 a zároveň pro každé [x, y] = [0, 0] je f(x, y) > 0.
Funkce f(x, y) =
√
x2+y2
2 má tedy v bodě [x, y] = [0, 0] lokální minimum, které je minimem
ostrým.
Graf funkce, což je kuželová plocha, si můžete prohlédnout na obrázku 1.
Jestliže spočítáme parciální derivace funkce f(x, y):
fx =
x
2 x2 + y2
, fy =
y
2 x2 + y2
zjistíme, že v bodě [0, 0] neexistuje ani jedna parciální derivace funkce f(x, y)!
3
Příklad 1 – lokální extrémy
Příklad 1. Rozhodněte, zda má funkce f(x, y) =
√
x2+y2
2 v bodě [0, 0] lokální minimum.
Řešení
Platí f(0, 0) = 0 a zároveň pro každé [x, y] = [0, 0] je f(x, y) > 0.
Funkce f(x, y) =
√
x2+y2
2 má tedy v bodě [x, y] = [0, 0] lokální minimum, které je minimem
ostrým.
Graf funkce, což je kuželová plocha, si můžete prohlédnout na obrázku 1.
Jestliže spočítáme parciální derivace funkce f(x, y):
fx =
x
2 x2 + y2
, fy =
y
2 x2 + y2
zjistíme, že v bodě [0, 0] neexistuje ani jedna parciální derivace funkce f(x, y)!
Pro existenci lokálního extrému v nějakém bodě, nemusí mít funkce v tomto bodě parciální
derivace (nemusí zde být dokonce ani spojitá).
Zpět Dok Dok
4
Obrázek 1: Graf funkce z =
√
x2+y2
2 .
Zpět Dok Dok
5
Hledání lokálních extrémů
Funkce f může mít lokální extrémy pouze ve stacionárních bodech, nebo v bodech, v nichž
neexistuje aspoň jedna parciální derivace prvního řádu.
Algoritmus pro nalezení lokálních extrémů
1. Spočítáme parciální derivace prvního řádu funkce f(x, y) a položíme je rovny nule.
Tím získáme systém rovnic. Dále nalezneme všechny body, v nichž neexistuje aspoň
jedna první parciální derivace.
2. Určíme všechna řešení systému – stacionární body [x0, y0]. V nich může, ale nemusí
být extrém.
3. Spočteme parciální derivace druhého řádu a dosadíme do vzorce
D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y) − [fxy(x, y)]
2
.
4. Pro jednotlivé stacionární body určíme D(x0, y0), případně fxx(x0, y0). Je-li:
• D(x0, y0) > 0 a fxx(x0, y0) > 0, jde o ostré lokální minimum.
• D(x0, y0) > 0 a fxx(x0, y0) < 0, jde o ostré lokální maximum.
• D(x0, y0) < 0, pak ve stacionárním bodě lokální extrém nenastává.
5. Nelze-li rozhodnout podle výše uvedených kritérií nebo vyšetřujeme body v nichž
neexistuje aspoň jedna parciální derivace prvního řádu, použijeme definici extrému.
Zpět Dok Dok
6
Příklad 2 – lokální extrémy
Příklad 2. Najděte lokální extrémy funkce z = xy(4 − x − y).
6
Příklad 2 – lokální extrémy
Příklad 2. Najděte lokální extrémy funkce z = xy(4 − x − y).
Řešení
Funkce z = xy(4 − x − y) je polynomem proměnných x, y → její parciální derivace jsou
spojité v celém R2
. Lokální extrémy tedy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech.
6
Příklad 2 – lokální extrémy
Příklad 2. Najděte lokální extrémy funkce z = xy(4 − x − y).
Řešení
Funkce z = xy(4 − x − y) je polynomem proměnných x, y → její parciální derivace jsou
spojité v celém R2
. Lokální extrémy tedy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech.
1. Spočítáme parciální derivace a položíme je rovny nule.
zx = y(4 − x − y) − xy = y(4 − 2x − y) = 0 → y1 = 0, y2 = 4 − 2x
zy = x(4 − x − y) − xy = x(4 − x − 2y) = 0 → x1 = 0, x2 = 4 − 2y
6
Příklad 2 – lokální extrémy
Příklad 2. Najděte lokální extrémy funkce z = xy(4 − x − y).
Řešení
Funkce z = xy(4 − x − y) je polynomem proměnných x, y → její parciální derivace jsou
spojité v celém R2
. Lokální extrémy tedy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech.
1. Spočítáme parciální derivace a položíme je rovny nule.
zx = y(4 − x − y) − xy = y(4 − 2x − y) = 0 → y1 = 0, y2 = 4 − 2x
zy = x(4 − x − y) − xy = x(4 − x − 2y) = 0 → x1 = 0, x2 = 4 − 2y
2. Dstáváme čtyři stacionární body:
P1 = [0, 0], P2 = [4, 0], P3 = [0, 4], P4 =
4
3
,
4
3
.
6
Příklad 2 – lokální extrémy
Příklad 2. Najděte lokální extrémy funkce z = xy(4 − x − y).
Řešení
Funkce z = xy(4 − x − y) je polynomem proměnných x, y → její parciální derivace jsou
spojité v celém R2
. Lokální extrémy tedy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech.
1. Spočítáme parciální derivace a položíme je rovny nule.
zx = y(4 − x − y) − xy = y(4 − 2x − y) = 0 → y1 = 0, y2 = 4 − 2x
zy = x(4 − x − y) − xy = x(4 − x − 2y) = 0 → x1 = 0, x2 = 4 − 2y
2. Dstáváme čtyři stacionární body:
P1 = [0, 0], P2 = [4, 0], P3 = [0, 4], P4 =
4
3
,
4
3
.
3. Spočítáme parciální derivace druhého řádu.
zxx = −2y, zyy = −2x, zxy = 4 − 2x − 2y
a dosadíme do vztahu
D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y) − [fxy(x, y)]
2
= −4x2
− 4y2
+ 16x + 16y − 4xy − 16.
6
Příklad 2 – lokální extrémy
Příklad 2. Najděte lokální extrémy funkce z = xy(4 − x − y).
Řešení
Funkce z = xy(4 − x − y) je polynomem proměnných x, y → její parciální derivace jsou
spojité v celém R2
. Lokální extrémy tedy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech.
1. Spočítáme parciální derivace a položíme je rovny nule.
zx = y(4 − x − y) − xy = y(4 − 2x − y) = 0 → y1 = 0, y2 = 4 − 2x
zy = x(4 − x − y) − xy = x(4 − x − 2y) = 0 → x1 = 0, x2 = 4 − 2y
2. Dstáváme čtyři stacionární body:
P1 = [0, 0], P2 = [4, 0], P3 = [0, 4], P4 =
4
3
,
4
3
.
3. Spočítáme parciální derivace druhého řádu.
zxx = −2y, zyy = −2x, zxy = 4 − 2x − 2y
a dosadíme do vztahu
D(x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y) − [fxy(x, y)]
2
= −4x2
− 4y2
+ 16x + 16y − 4xy − 16.
Zpět Dok Dok
7
4. Prověříme jednotlivé stacionární body na existenci lokálního extrému, dosadíme jejich
souřadnice [x0, y0] do vzorce D(x0, y0).
D(P1) = −16, D(P2) = −16, D(P3) = −16, D(P4) =
16
3
.
7
4. Prověříme jednotlivé stacionární body na existenci lokálního extrému, dosadíme jejich
souřadnice [x0, y0] do vzorce D(x0, y0).
D(P1) = −16, D(P2) = −16, D(P3) = −16, D(P4) =
16
3
.
V bodech P1, P2, P3 tedy lokální extrém nenastává.
V bodě P4 = 4
3 , 4
3 nastává ostré lokální maximum, neboť zxx(P4) = −8
3 .
Situaci si můžete prohlédnout na obrázku 2.
Zpět Dok Dok
8
Obrázek 2: Funkce z = xy(4 − x − y) s modře vyznačeným bodem lokálního maxima.
(a) Graf funkce („jednotka“ na ose z ukazuje hodnotu 100). (b) Detail – okolí lokálního maxima.
Zpět Dok Dok
9
Hledání absolutních extrémů
1. Nalezneme stacionární body zadané funkce f a z nich vybereme ty, které leží v množině
M.
2. Vyšetříme hranici množiny M.
3. Spočteme funkční hodnoty v nalezených bodech a určíme absolutní extrémy.
Zpět Dok Dok
10
Příklad 3 – absolutní extrémy
Příklad 3. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2
− 8x + y2
+ 10 na
množině M : x2
+ y2
≤ 1.
10
Příklad 3 – absolutní extrémy
Příklad 3. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2
− 8x + y2
+ 10 na
množině M : x2
+ y2
≤ 1.
Řešení
1. Nejprve najdeme stacionární body funkce f(x, y), které leží uvnitř množiny M.
10
Příklad 3 – absolutní extrémy
Příklad 3. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2
− 8x + y2
+ 10 na
množině M : x2
+ y2
≤ 1.
Řešení
1. Nejprve najdeme stacionární body funkce f(x, y), které leží uvnitř množiny M.
Vypočteme parciální derivace a položíme je rovny nule.
fx = 2x − 8 = 0, fy = 2y = 0
Dostáváme stacionární bod P = [4, 0]. Tento bod však neleží v množině M.
10
Příklad 3 – absolutní extrémy
Příklad 3. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2
− 8x + y2
+ 10 na
množině M : x2
+ y2
≤ 1.
Řešení
1. Nejprve najdeme stacionární body funkce f(x, y), které leží uvnitř množiny M.
Vypočteme parciální derivace a položíme je rovny nule.
fx = 2x − 8 = 0, fy = 2y = 0
Dostáváme stacionární bod P = [4, 0]. Tento bod však neleží v množině M.
2. Nyní vyšetříme funkci f(x, y) na hranici množiny M, řešíme tedy soustavu rovnic.
f(x, y) = x2
− 8x + y2
+ 10 (1)
x2
+ y2
= 1 (2)
10
Příklad 3 – absolutní extrémy
Příklad 3. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2
− 8x + y2
+ 10 na
množině M : x2
+ y2
≤ 1.
Řešení
1. Nejprve najdeme stacionární body funkce f(x, y), které leží uvnitř množiny M.
Vypočteme parciální derivace a položíme je rovny nule.
fx = 2x − 8 = 0, fy = 2y = 0
Dostáváme stacionární bod P = [4, 0]. Tento bod však neleží v množině M.
2. Nyní vyšetříme funkci f(x, y) na hranici množiny M, řešíme tedy soustavu rovnic.
f(x, y) = x2
− 8x + y2
+ 10 (1)
x2
+ y2
= 1 (2)
Z předpisu pro množinu M (rovnice 2) vyjádříme y2
a dosadíme do rovnice 1. Dostáváme
tak novou funkci, kterou si označme např. u.
u = x2
− 8x + (1 − x2
) + 10 = −8x + 11.
10
Příklad 3 – absolutní extrémy
Příklad 3. Najděte nejmenší a největší hodnotu funkce f(x, y) = x2
− 8x + y2
+ 10 na
množině M : x2
+ y2
≤ 1.
Řešení
1. Nejprve najdeme stacionární body funkce f(x, y), které leží uvnitř množiny M.
Vypočteme parciální derivace a položíme je rovny nule.
fx = 2x − 8 = 0, fy = 2y = 0
Dostáváme stacionární bod P = [4, 0]. Tento bod však neleží v množině M.
2. Nyní vyšetříme funkci f(x, y) na hranici množiny M, řešíme tedy soustavu rovnic.
f(x, y) = x2
− 8x + y2
+ 10 (1)
x2
+ y2
= 1 (2)
Z předpisu pro množinu M (rovnice 2) vyjádříme y2
a dosadíme do rovnice 1. Dostáváme
tak novou funkci, kterou si označme např. u.
u = x2
− 8x + (1 − x2
) + 10 = −8x + 11.
Funkce u(x) je funkce jedné proměnné, najdeme nyní její největší a nejmenší hodnotu.
Těchto extrémních hodnot je dosaženo buď v lokálním extrému uvnitř intervalu [−1, 1]
Zpět Dok Dok
11
nebo v některém z jeho krajních bodů x = −1, x = 1.
11
nebo v některém z jeho krajních bodů x = −1, x = 1.
ux = −8 → funkce z na intervalu [−1, 1] klesá.
11
nebo v některém z jeho krajních bodů x = −1, x = 1.
ux = −8 → funkce z na intervalu [−1, 1] klesá.
Když funkce u(x) na celém intervalu [−1, 1] klesá, pak v žádném vnitřním bodě intervalu
[−1, 1] nemá lokální extrém. Prověříme tedy krajní body:
u(−1) = 19, u(1) = 3.
Celkem tedy dostáváme, že
fmax = 19, pro [x, y] = [−1, 0],
fmin = 3, pro [x, y] = [1, 0].
11
nebo v některém z jeho krajních bodů x = −1, x = 1.
ux = −8 → funkce z na intervalu [−1, 1] klesá.
Když funkce u(x) na celém intervalu [−1, 1] klesá, pak v žádném vnitřním bodě intervalu
[−1, 1] nemá lokální extrém. Prověříme tedy krajní body:
u(−1) = 19, u(1) = 3.
Celkem tedy dostáváme, že
fmax = 19, pro [x, y] = [−1, 0],
fmin = 3, pro [x, y] = [1, 0].
Příklad 3 – geometrický význam
Množina M : x2
+ y2
≤ 1 je v rovině xy kruhem o poloměru 1. V celém prostoru xyz pak
hledáme extrémy na křivce, která vznikne průnikem válcové plochy (určené tímto kruhem)
s grafem zadané funkce.
Na obrázku 3 je průnik válcové plochy s grafem funkce f(x, y) = x2
−8x+y2
+10 vykreslen
jako žlutá elipsa, body minima a maxima pak jako modré kuličky.
Zpět Dok Dok
12
Obrázek 3: Minimum a maximum funkce f(x, y) = x2
− 8x + y2
+ 10 na
množině M.
Zpět Dok Dok