.98 - HYPERBOLICKÉ HOVNIC se řeši obdobným způsobem jako parabolické. Ukážeme stručně metody pro vlnovou rovnici ' , D2* )2u -^-J- o f (x,t) } (x,t) ť JXl)t u (x,o) « 6°U) , "Du(x,o) SLM , x e D (o,t) . s2CtO . u(i,t) ■ e*W , t«J>t kde D s (o,l) • Dt Přibližné řešeni hledáme na obdélníkové eitl s kroky h, r 1 1 (f ( V. h s — , T» - pomooi diferenčního schématu a váhou ť>o : JI H (72) ' fi-ar) ' «m-l,n+l> + ( ;"tl,a " 2um.n> í-l,a> + J ^+1^ 2 0 , homogenní okrajové podmínky a f 3 0 , která sleduje zejména vliv poíáteíni podmínkyi (78) "S.n+l - 2aS.n * "Ž.n-1 _ "mVl.n - 2uŽ.n + »m-l.n _ Q T2 1? m = 1,2,..., M—1 , n ■ 0,1,.,., N-l, So " sm • u ml -■- í. m,lľ" *■ • a " « •' tto,n " "M.n * 0 • 1-0,1,...,N Budeme hledat řešeni ve tvaru li H Dosazením do (78) zjistíme, že pro X k platit 2 ( 1 - 2 xT Sih' .2 c 2 M" ) + 1 - O , & 2M '_ X, v > 1 - 2r2 BmZ. h— + I 1 - 2r2 811? ■kr- 2,k 1 - 2r2SrB2 2M » 1 - 2rc 8* 2M - 1 2M Tedy obecné řešeni úlohy (78) je tvaru M-l n S,n»' 2c«k *lk+&k ^Jt* kde 6 išla ^vilijj určime z poiáteonich podmlnakí M-l S,o" Z ("k^k^S ° S» t-1 M-l Si Z ik x 2v tys 1.....M_1' lc-1 '.. Předpokládejme, že platí (80> Us.kl^1 » o-1.2', k a označme „n „ ( ^ J| >* . 101 - Normu na množino všech vektorů (ll+l) rozmarných J-.efinujeme podobně jako u parabolických parciálních diferenciálních rovnic pomoci skalárního součinu Pak Tedy eC l»l2- (v.v) , (v,w) = h Ž v. T, BteO 1 •fk - Č 0,yJ,...,'Tfk_1, o ) je * (79) vyplývá, že . , (g.Tk> - 2g(B°.rte) , „= >Xk (g°.fk) - (F >y*) ortonormální množina. Dále k=l * 1U - >2k u+1 * . n+li 2 ^h zKuiiy)2^ gflČ?rr%ifŕ,:Tk)l)V 1- (l-r2B»(ř 2^-) Pokud tedy volíme l«fla, - w Kr.Y^I, pak , ■I^M , g 2y'a <2 ■■'«»1«."*r|^|6 W yi- (l-r2sfc.2-£- )2 1 1' * 1 - C2 0 + C fis1 II a > Ví- (l-r2*,2 -J- )2 1 1 a odtud plyne, že úloha je stabilní. Podmínka (80) je splněna v případě, že platí Podmínka 4- je nejen dostatečnou podmínkou stability, ale je i nutnou podmínkou. _ 102 - To vyplývá z následující úvahy i Uvažujme libovolný bod sítě S a sestrojme trojúhelník: s vrcholem v S a se směrnicemi ramea + % a základnou C D na ose x. ( pro Jednoduchost předpokládáme, že trojúhelník neprotne boční strany definičního obdélníku ). Jak je vidět ze tvaru diferenčních rovnic (78) Je hodnota u8 v uzlovém bodě S určena hodno-tami v těch uzlových bodech n, které leží uvnitř a na hranici tohoto trojúhelníka, tedy speciálně hodnotami g£ , na základné 0 0. Je ale známo z teorie parciálních diferenciálnioh rovnic, že přesné řešeni problému je plné určeno hodnotami funkci g°, g1 na úsečce AB osy x, kterou vytinaji charakteristiky prooházejlci bodem S , mající v našem případě směrnice £ 1« Jestliže tedy f > h, pak C D CA B, OjíA, D^B a obecně konvergence nemůže nastat - změnimevli totiž funkce g°, g1 na intervalech A 0, D B, pak se zrněni řeaeni vlnové rovnice, ale systém diferenčních rovnic je stejný, tedy i Jeho řešeni v bodě S je stejné. Proto v tomto případě nemůže nastat stabilita metody. Podobným způsobem jako pro explicitní schéma můžeme zjistit, že implicitní schéma ( (T « 1 ) Je absolutně stabilní, je stabilní při libovolných krocích T, h . Uvažujme nyní rovnici vedeni tepla ve dvou prostorových proměnných! ">2u ->2u 72u - * (*,ý,t) (x,y,t) € d x dt, u (x,y ,0) m g° (x,y) -?u (x,y,o) ■„ gl (I<7) , (x,y) 6 D u (x,y,t) » 0 (sc,y,t) 6 ~iO xľ>% Zde D b (o,l) x (o,l) , Dt. Co.Tj. Zavedeme sil obdobně jako pro vlnovou rovniol v jedné prostorové proměnné s kroky h podle x a y a T podle t. Potom explicitní schéma můžeme zapsat ve tvaru "ic.m.D+l - ^Hc.m.a* ttk,m,n-l --2- + A ttk,»,«i k,m,n V.n.c "m.n.l = ''m.n - 103 kde g je vhodná funkce, závislá na g° a g1, , a Je operátor definovaný vztahem (57) , ... I zde lze použit metodu- jtabilizace. Budeme uvažovat schéma (81) (B + — Ax) ( E ) A2 U^-<-l" ^.B.nA.a.n-l + uk,m,o "Čm,B. ' "m.n.i - Sm>Q Operátory . AltA2 Jsou dány vztahy (55), (56). Realizace tohoto druhu je následující) ,n k,m,n „n+l 2ua - u0"1 + T2 £ Itl Zde je použito označeni z metody stabilizace u parabolických rovnic, \ n+1/'2 » | n+1 jsou pomocné vektory. Opět lze lehce dokázat, že chyba aproximace je 0 (-p2 + h2) a vzhledem k tomu, že (81) lze převést na ^.m.n+l^^k.m.n + "k.m.n-1 .2 - T 2 B, 1 k,m,n , a . B - lze vyšetřovat stabilitu podobně jako pro úlohu (78) . Bl A Výpočet nespojitých řešení Dosud jsme předpokládali, že existuje dostatečně hladké řeaeni. Diferenciální funkce však nestačí k popisu všech fyzikálních situací. Hapř. rozloženi tlaku hustoty a teploty v plynu, pohybujícím ae rychlosti větší než rychlost zvuku jsou popsány funkcemi, které maji skoky. Je nutno tedy rozšířit pojem řešení diferenciální úlohy. Ukážeme 2 způsoby. Nejdříve však stručně popíšeme mechanismus vzniku skoků na přiklade jednoduché úlohy (82) Dt T>x 0£t£T , -oo ^ X