MU-přednáška 15.4. 2019 Definice, věty a důkazy ve středoškolské praxi RNDr. Petr Česnek Gymnázium Jihlava 1919–2019 100 let Obsah přednášky: •matematika na G Ji •význam definic, vět a důkazů ve středoškolské M •užití vzorců •zkušenosti, rady, doporučení (didaktika M.) •doporučené postupy, ukázky (tematicky 1. – 4. ročník) •ostatní, ... Týdenní hodinová dotace M: VG M Seminář M 1. ročník, kvinta 4 0 2. ročník, sexta 4 0 3. ročník, septima 4 2 4. ročník, oktáva 4 3 nebo 2 NG M prima 5 sekunda 4 tercie 4 kvarta 4 4,6 a 8 – leté studium Současná témata k diskusi: • Zredukovat „tematické plány“, ŠVP ? • Přesunout diferenciální a integrální počet jen do semináře pro 4. ročník ? • Srovnávací prověrky ? • MO – jak získat a udržet zájemce ? • Problémy při výuce M. ● porozumět látce ● pochopit zadání úlohy (zejména, pokud je formulována „jinak“) ● slovní úlohy ● vysvětlit daný pojem vlastními slovy (ústní zkoušení) ● různá úroveň žáků v M. ● zbytečné (nad)užívání vzorců Výuka M. UČITEL Jak udržet pozornost a zájem žáků ? Kvalitní výukou ! ● srozumitelnou ● blízkou a názornou ● náročnou ● zajímavou Moje výuka: Výklad Procvičení ve škole DÚ Domácí příprava → je důležitou (klíčovou) součástí výuky → školní a domácí sešit + příklady (vytištěné, elektronicky) Písemné a ústní zkoušení, další hodnocení Můj styl výuky M.: Matematiku společně objevujeme, tvoříme a využíváme. starořecký vzor : D E F I N I C E V Ě T A (DŮKAZ) příklady aplikace důsledky prvotní pojmy axiomy Jednoduchá ukázka Def. Věta: cbd. Dk. Mocnost bodu ke kružnici M, k(S,r) podobně pro bod M uvnitř kružnice … Def. Je dána kružnice k (S,r) a bod M. Mocností bodu M ke kružnici k rozumíme reálné číslo m, pro které platí: (1)m = |MA|.|MB|, kde A,B jsou průsečíky libovolné sečny kružnice k vedené bodem M (2) m > 0 <=> M leží vně k m < 0 <=> M leží uvnitř k r r a a a t Věta: Dk. 1) M vně k 3) M uvnitř k cbd. Př. Je dán čtverec KLMN o straně a. Urči mocnost bodu L ke kružnici a) opsané, b) vepsané. Další souvislosti (např. odvození Euklidových vět, chordála): EV o výšce nebo: B, k EV o odvěsně Definice ● přesné („neprůstřelné“) ● „nedůsledně“ (nedefinovat pojmy, které definici nepotřebují) ● definicí obvykle začínáme, ale někdy je vhodné ukázat k ní cestu, příp. ukázat její korektnost „Říkáme, že ...“ „ ... nazýváme ...“ = zavedení nového pojmu SYMBOLIKA: Kombinace Kombinace s opakováním KOMBINATORIKA Př. A, B, E, F, L, N, O, T Vyber z nich: a) samohlásky b) slovo a) A, E, O ….. neuspořádaná trojice (nezáleží na pořadí) (záleží na pořadí) b) FOTBAL ….. uspořádaná šestice Definice faktoriálu: Dodefinujeme: Proč ? Nekonečné řady intuitivní chápání řad přesná definice pojmu „součet nekonečné řady“ (limita částečných součtů) Definice pravděpodobnosti Předpoklady: (1) Náhodný pokus má n možných výsledků w1, w2, w3, ….., wn. (2) Všechny výsledky jsou „rovnocenné“. (3) Vždy nastane právě jeden výsledek. P(A) ….. pravděpodobnost jevu A počet příznivých výsledků (výsledků příznivých jevu A) počet všech výsledků) Nezávislé jevy Def : Říkáme, že jsou náhodné jevy A, B nezávislé, právě když platí: Př. narození 3 dětí v rodině A: „Nejstarší dítě je chlapec.“ B: „Prostřední dítě je dívka.“ „Nejstarší dítě je chlapec a prostřední je dívka“ Eulerovo číslo 2) SŠ V ě t y: ● popisuje vlastnosti definovaného pojmu Pro … platí … ● často umožňuje snadnější výpočet než ze vztahu definičního ● důsledky ... Základní věta algebry: Obecná algebraická rovnice má v C alespoň jeden kořen. ↓ Obecná algebraická rovnice n-tého stupně má v C právě n kořenů. Důkazy: ● slouží i k hlubšímu pochopení dané látky ● podporují logické myšlení 1) přímý 2) nepřímý 3) sporem Příklad (MO) Existuje jediné prvočíslo p , pro které je p2+2 též prvočíslem. Důkazy vět tvaru ekvivalence Definice„na základě obrázku“: Důkazy „na základě obrázku“: Věta o 2 policajtech f je konvexní f je konkávní Užití vzorců ↓ KP součinu Př. počet medailových umístění na MS ve fotbale (32 týmů) ? vzorec: KP součinu jiný způsob: hledání extrému (minima) Součet nekonečné geometrické řady řady nebo bez vzorce: kořeny kvadratické rovnice: /+1 C hyperbola - asymptoty ↓ Cardanovy vzorce: Jak si pamatovat vzorce? C:\Users\pcesnek\Desktop\N\Planimetrie+–+Věta+kosinová.jpg Hodnoty gon. funkcí: Povrch koule Povrch koule je čtyřnásobkem obsahu jejího největšího kruhu. (Archimédes) čistě kombinatorický důkaz: Součet n členů aritmetické posloupnosti: 50 dvojic Výsledek obrázku pro gauss K.F. Gauss (1777 – 1855) SŠ matematika – témata: Výroky, množiny Mocniny, odmocniny, číselné výrazy Úpravy výrazů, vyjádření neznámé ze vzorce Rovnice a nerovnice Kvadratické rovnice (→ zlatý řez) Iracionální rovnice Kvadratické nerovnice Rovnice a s parametry Planimetrie učebnice pro gymnázia 1. ročník: Kvadratické nerovnice (D<0) K = R grafické řešení … R Iracionální rovnice a) zužování def. oboru rovnice b) zkouška jako nutná součást řešení Substituce Funkce Rovnice exponenciální, logaritmické, goniometrické Trigonometrie sinová a kosinová věta Stereometrie Kombinatorika Analytická geometrie Diferenciální počet Integrální počet Komplexní čísla Posloupnosti a řady Pravděpodobnost a statistika KOMBINATORIKA KP součinu KP součtu m . n cest A → C m + n cest z A Domácí úkol 3. ročník ANALYTICKÁ GEOMETRIE V KRYCHLI Test: K daným rovnicím přiřaď příslušnou křivku: (1) x2 + y = 0 (A) bod (2) x2 + y2 = 0 (B) přímka (3) x2 + y2 = 1 (C) 2 různoběžky (4) x2 – y2 = 0 (D) kružnice (5) x2 + 2y2 = 1 (E) parabola (6) x2 – y2 + 2 = 0 (F) elipsa (7) y2 – 2y + 1 = 0 (G) hyperbola Př. NEKONEČNÉ ŘADY Studenti mohou snadno podlehnout dojmu, že každou řadu lze sečíst „pomocí vzorce“. → posloupnost částečných součtů definice součtu nekonečné řady, konvergence a divergence nekonečné řady Nutná podmínka konvergence Věty tvaru implikace Dk. PRAVDĚPODOBNOST ● dělá studentům problémy ● volit různorodé a zajímavé příklady ● experimenty – náhodné pokusy (kostka, mince, papíry) ? MATURITA: 3 studenti jdou ke zkoušce za sebou a vytažená otázka se vyřazuje. Předpokládejme, že je mezi nimi jedna velmi těžká. První má pst 1/30, že ji vytáhne. Mají i druhý a třetí student stejnou pst, že ji vytáhnou ? Mají všichni stejné podmínky ? Třída Datum Počty výher (1. hráč : 2. hráč) Poměr 4B4 16.4. 2018 543 : 284 1,91 : 1 Exp. ověření ZVČ N částic plynu N = 2 rovnovážný (makro)stav 50 % 25 % 25 % Pravděpodobnost a entropie N = 4 N = 100 Moje doporučení: Nastavit jasná pravidla na začátku. Žáci musí mít dobře vedený sešit. Výuka nesmí být pouze frontální, je třeba zapojit žáky. Nesnižovat své požadavky. A dále ? N A V Í C Příklad 1)nižší gymnázium rovnostranný D a a b b → čtvercová síť 2) 2. ročník → goniometrický 1 2 3 1 3) 4. ročník → komplexní čísla 3+i 2+i 1+i malíř n barev