Státnicové otázky – Finanční matematika
1. Základy matematiky
a. Teorie pravděpodobnosti: Diskrétní náhodné veličiny a jejich charakteristiky, generující funkce a jejich
aplikace, spojité náhodné veličiny, sdružené a marginální pravděpodobnostní hustoty, normální
rozdělení a jeho vlastnosti, charakteristická funkce a její použití.
b. Diferenciální rovnice: Metody řešení obyčejných diferenciálních rovnic, počáteční a okrajové úlohy,
parciální diferenciální rovnice 1.řádu, parciální diferenciální rovnice druhého řádu a jejich klasifikace,
rovnice difúze, Fourierova metoda řešení.
c. Spektrální analýza: L2 teorie, obecná Fourierova řada a podmínky pro její konvergenci, úplné
ortonormální systémy a příklady takových systémů, Parsevalova rovnost, Fourierova transformace a její
základní vlastnosti, věta o inverzní transformaci.
d. Funkcionální analýza: Metrický prostor, definice a příklady, podmnožiny metrického prostoru
a klasifikace bodů, konvergence, úplnost a kompaktnost, lineární prostory, normované prostory,
Hilbertovy prostor a jejich příklady, Besselova nerovnost, Rieszova-Fischerova věta.
2. Stochastické metody
a. Diskrétní stochastické procesy: Náhodná procházka, základní techniky počítání s náhodnou procházkou,
princip reflexe, Markovova vlastnost, Pólyova věta, zákony arcsinu, diskrétní martingaly a filtrace,
martingalová transformace.
b. Wienerův proces a stochastický integrál: Charakteristická funkce náhodné veličiny, Cieselskiho
konstrukce Wienerova procesu, Brownův pohyb s driftem, Lineární a kvadratická variace, Stochastický
integrál, Itoova a Stratonovičova definice, spojité martingaly a filtrace, Itoovy procesy, Itoovo lemma,
řešení jednoduchých stochastických integrálních rovnic.
c. Stochastická analýza: Věta o martingalové reprezentaci, Radon-Nikodýmova věta a věrohodnostní
poměr, ekvivalentní martingalové míry, Cameron-Martinova věta, Girsanovova věta, souvistost řešení
parabolických parciálních diferenciálních rovnic a očekávané hodnoty Itoova procesu, Feynman-Kacova
věta, Fokker-Planckův vzorec.
d. Analýza časových řad: Stacionární procesy, autokovarianční funkce a její vlastnosti, derivace a integrál
náhodného procesu, spektrální rozklad autokovariančních funkcí stacionárních procesů, odhady
středních hodnot a autokovariancí stacionárních náhodných procesů, regresní modely globálního
a lokálního trendu, spektrální analýza jednorozměrných stacionárních náhodných procesů.
3. Matematické modely ve financích
a. Analýza portfolia: Metody analýzy portfolia, Markowitzův model, Arbitrážní oceňovací teorie, model
CAPM, metody technické a fundamentální analýzy.
b. Diskrétní modely: Arbitráž, evropské a americké opce, jednokrokové a vícekrokové diskrétní modely,
binomický model, limitní přechod ke spojitému modelu, základní věta arbitrážní teorie, úplnost trhu
a jeho charakterizace, neúplné trhy.
c. Spojité modely: Odvození Blackovy-Scholesovy parciální diferenciální rovnice a její řešení, odvození
Blackova-Scholesova vzorce pomocí základní věty arbitrážní teorie, jištění, delta hedging, analýza
citlivosti Black-Scholesova modelu (greeks).
d. Finanční deriváty: Základní vlastnosti a použití opcí, pákový efekt, put-call parita, typy opčních strategií
a jejich použití, odhady volatility a implikovaná volatilita, forwardy, futures a swapy, jejich vlastnosti
a použití, opce závislé na cestě, oceňování exotických derivátů
e. Teorie her: Statické hry, normální tvar, dominované strategie, Nashova rovnováha, pravděpodobnostní
rozšíření a Nashova věta, dynamické hry, zpětná indukce, opakované hry, příklady aplikací v ekonomii,
modely duopolu.
f. Úrokové míry: Okamžitá a forwardová úroková míra, odhad forwardové úrokové míry z cen dluhopisů,
modely struktury úrokových měr, analýza dluhopisů, deriváty úrokových měr a modely pro jejich
oceňování, Vašíčkův model, CIR model.