Matematika pro kartografy Lenka Přibylová Obsah Číselné vektory 3 Lineární kombinace vektorů 4 Lineární závislost a nezávislost vektorů. 4 Matice 5 Operace s maticemi 5 Hodnost matice 6 Inverzní matice 7 Determinant matice 8 Soustavy lineárních rovnic 9 Gaussova eliminační metoda 11 Cramerovo pravidlo 11 Analytická geometrie v rovině 11 Analytická geometrie v prostoru 13 Základní množinové pojmy 15 Množina reálných čísel a její podmnožiny 16 Funkce 16 Složená funkce 17 Vlastnosti funkcí 17 Inverzní funkce 20 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 22 Limita funkce 22 Jednostranná limita 23 Nevlastní body 24 Nevlastní limita 25 ■ H B B ©Lenka Přibylová, 2017 Q Limita v nevlastním bodě 25 Spojitost funkce 26 Pravidla pro počítaní s limitami 26 Výpočet limity funkce 27 Derivace funkce 28 Vzorce a pravidla pro derivování 29 Diferenciál funkce 30 Derivace vyšších řádů 31 Užití derivací k výpočtu limit 31 Monotónnost funkce. Lokální extrémy. 32 Konvexnost a konkávnost. Inflexní body. 32 Asymptoty funkce 33 Průběh funkce 34 Taylorův polynom 34 Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 35 Parciální derivace 37 Diferenciál a tečná rovina plochy 37 Lokální extrémy funkcí dvou proměnných 38 Absolutní extrémy 38 □ □ m ©Lenka Přibylová, 2017 B Číselné vektory Ve fyzice a technických disciplínách se zkoumají veličiny • skalární: představují velikost - hmotnost, čas, teplota,... • vektorové: mají více složek, mohou popisovat kromě velikosti také směr a orientaci - síla, okamžitá rychlost, posunutí..., nebo mohou představovat data - časová řada, barva (RGB), souřadnice pozice ... -z-1 Definice: Množinu R" uspořádaných n-tic reálných čísel a = (flj, az, ■ ■ ■, an) s operacemi sčítání a násobení reálným číslem definovanými (alr az, ■ ■ ■ ,an) + (blrbz, ■ ■ ■ ,bn) = (a-i + blraz + bz, ■ ■ ■ ,an + bn) k{ai,az,... ,an) = (ka\,kaz,... ,kan) pro všechna ielRa (a\, az,..., an), (fy, bz,...,bn) E IR" nazýváme lineárním vektorovým prostorem. Prvky tohoto prostoru, tj. uspořádané n-tice reálných čísel nazýváme vektory. Čísla a\,... ,an nazýváme složky vektoru a. Číslo n nazýváme dimenze (rozměr) vektoru a. Vektor (0,0,..., 0) dimenze n nazýváme nulovým vektorem. Poznámka 1. Geometricky 2 a 3-rozměrné vektory zobrazujeme jako orientované průvodiče bodů: y. A = [1,2] = [2,1-5] /(1,2J> //ÍU.5) 0 ^(1, -0.5) x Vektor v = AB je orientovaná úsečka spojující bod A s bodem B. Složky vektoru v jsou dány rozdílem souřadnic B — A. Definice: Vektor —a = —1 ■ a nazýváme vektorem opačným k vektoru a. ] Definice: Velikostí vektoru a nazveme nezáporné číslo \a\ = \la\ + a\ H-----Y a\ Vektor a nazveme jednotkovým vektorem, jestliže \a\ = 1. Velikost vektoru a = (-2,1,4,0, -3) je \a\ = V4 + 1 + 16 + 9 = VŠO. Definice: Skalárním součinem vektorů a = (a\,az,... ,an), b = (b\, bz,..., bn) nazýváme číslo a -b = a\ ■ b\+ az ■ bz + ■ ■ ■ + an ■ bn = ^ a,fy. Skalární součin je možné vyjádřit také jako číslo a - b = \a\ ■ \b\ ■ cos cp, kde cp je úhel, který svírají vektory a a b. Naopak tedy pro nenulové vektory platí, že svírají úhel cp, pro který platí COS Cp a ■ b \a\ ■ \b\ ©Lenka Přibylová, 20171 Úhel, který svírají vektory a = (2, —1,3,2), b = (1,—2,—2,1) splňuje 2+2-6+2 0 cos w = — = = 0, V4+1 + 9 + 4V1 +4 + 4+1 V18-10 • záměna pořadí řádků • vynásobení libovolného řádku nenulovým číslem • přičtení řádku (nebo jeho násobku) k jinému řádku • vynechání řádku složeného ze samých nul ©Lenka Přibylová, 2017 Q Definice: Dvě matice A, B nazýváme ekvivalentní, jestliže lze matici A převést na matici B konečným počtem ekvivalentních úprav. Značíme A ~ B. Věta: Ekvivalentní matice mají stejnou hodnost. Poznámka 3. Ekvivalentní matice mají stejnou nejen hodnost, ale také řádky matice jako vektory generují stejný vektorový prostor. Matice vznikly původně pro zjednodušený zápis soustav rovnic. Řádek matice odpovídá jedné rovnici soustavy. Ekvivalentní úpravy matice jsou totéž jako úpravy, které provádíme s řádky soustavy při hledání řešení (záměna pořadí řádku - rovnic, vynásobení řádku - rovnice nenulovým číslem, atd.). Matice jsou tedy ekvivalentní ve smyslu zachovávání řešení odpovídající soustavy rovnic. x\ + 3x2 — x3 = 0 ■ (—2) 1x\ + X2 + X3 = 0 přičteme k druhé rovnici x\ + 3x2 — x3 = 0 —5x2 + 3x3 = 0 1 3 -1\ (1 3 -1 2 1 1 j ~ [o -5 3 Věta: Libovolnou matici lze konečným počtem ekvivalentních úprav převést do schodovitého tvaru. Věta: Transponování nemění hodnost matice. Definice: Čtvercová matice typu n x n, která má hodnost n, se nazývá regulární. =>■ Příklady na výpočet hodnosti matice. Inverzní matice Definice: Buď A £ ]R"X" čtvercová matice řádu n. Jestliže existuje čtvercová matice A 1 řádu n, splňující vztahy A-1 A = 1 = AA-\ nazýváme matici A-1 inverzní maticí k matici A. Věta: Nechť matice A je čtvercová. Potom inverzní matice A 1 existuje právě tehdy, když je matice A regulární, tj. má nezávislé řádky. Poznámka4. Inverzní matici k regulární čtvercové matici A hledáme pomocí řádkových ekvivalentních úprav tak, že převádíme matici A na matici jednotkovou a tytéž úpravy současně provádíme na vedle zapsané jednotkové matici. Z jednotkové matice takto vznikne matice inverzní A-1. =>■ Příklady na výpočet inverzní matice. ■<= ©Lenka Přibylová, 2017 Q Determinant matice Definice: Permutací o n-prvcích rozumíme uspořádanou n-tici k\,ki, ■ ■ ■ ,kn, která vznikla přeskládáním čísel 1,2,...,n. Inverzí rozumíme záměnu z-tého a j-tého prvku v permutaci. Definice: Buď A E M.nxn čtvercová matice řádu n. Determinant matice A je reálné číslo det A = £]( -1) Palkl a2h ... ankn přes všechny permutace sloupcových indexů. Číslo p je počet inverzí dané permutace. Zapisujeme také det A = \A\ = \ciij\. Poznámka 5. Podle definice je determinant číslo, které vznikne jako součet všech možných součinů prvků ze všech řádků, ale různých sloupců. Tato definice není příliš vhodná pro výpočet determinantu matice vysokého řádu, protože počet sčítanců rychle roste. Pro matici řádu n je počet permutací n\. Pro matici řádu 1 a 2 je podle definice výpočet determinantu jednoduchý: n = 1 : det A = a\\ n = 2 : det A = #11^22 — avia2\ Pro matici řádu 2 říkáme předpisu pro determinant křížové pravidlo, protože prvky matice násobíme do kříže: a21 a22 Sarussovo pravidlo: Pro matici řádu 3 platí an an an a21 a22 a23 «31 «32 «33 «11 «12 «13 «21 «22 «23 «31 «32 «33 «11 «12 «13 «21 «22 «23 «11«22«33—«11«23«32—«12«21«33 +«12«23«31 +«13«21 «32—«13«22«31 «11«22«33 + «21«32«13 + «31«12«23 —«31«22«13 — «11«32«23 — «21«12«33 Věta: Následující operace nemění hodnotu determinantu matice: • přičtení lineární kombinace ostatních řádků (sloupců) k jinému řádku (sloupci) • ponechání jednoho řádku (sloupce) beze změny a opakované přičtení libovolných násobků tohoto řádku (sloupce) k ostatním řádkům (sloupcům) matice • transponování matice Věta: Následující operace mění hodnotu determinantu popsaným způsobem: • přehozením dvou řádků (sloupců) determinant mění znaménko • vydělíme-li jeden řádek (sloupec) nenulovým číslem a, zmenší se hodnota determinantu fl-krát (tj. z řádku nebo sloupce lze vytýkat) ©Lenka Přibylová, 2017 Q Poznámka 6. Podle předchozí věty, platí 2 4 8 1 2 4 1 2 1 -1 2 4 = 2 -1 2 4 = 2-4- -1 2 1 0 1 12 0 1 12 0 1 3 Věta: Čtvercová matice A má závislé řádky O det A = 0. Věta: Ke čtvercové matici A existuje matice inverzní O A je regulární, tj. O det A 7^ 0. Věta: Determinant matice, která je ve schodovitém tvaru je roven součinu prvků v hlavní diagonále. Definice: Nechť A je čtvercová matice řádu n. Vynecháme-li v matici A z-tý řádek a j-tý sloupec, označujeme determinant vzniklé sub matice Mjj a nazýváme jej minor příslušný prvku a^. Číslo Au = {-\)i+>M, nazýváme algebraický doplněk prvku a,,. Věta (Laplaceův rozvoj determinantu): Pro libovolný sloupec, resp. řádek, determinantu A platí n det A = ayAy + a2jA2j H-----h anjAnj = a^A^, í=i det A = a^An + ai2Ai2 H-----h ainAin = ^ a^Aij, 7=1 tj. determinant se rovná součtu všech součinů prvku a jeho algebraického doplňku libovolného sloupce nebo řádku. Poznámka 7. Řádek nebo sloupec, podle kterého provádíme rozvoj, je vhodné volit tak, aby obsahoval co nejvíce nulových prvků. Příklady na výpočet determinantu matice. Soustavy lineárních rovnic Uvažujme následující tři problémy: Najděte všechna reálná čísla x\, x2, splňující: Úloha 1 : 4xj + 5x2 = 7 x\ — 2x2 = 4 Úloha 2 : 4 5 \ /*i 1 -2 [x2 Úloha 3 : Všechny problémy jsou ekvivalentní a jedná se o jiný zápis téhož. ©Lenka Přibylová, 20171 Definice: Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých nazýváme soustavu rovnic a\\X\ + a\2x2 + #13*3 + #21*1 + #22*2 + «23*3 + «31*1 + a32x2 + a33x3 + + a\nxn = b\ + a2nxn = b2 + a3nxn = b3 am\X\ + «m2*2 + am3x3 + ' ' ' + amnxn — bm Proměnné X\, x2, ■ ■ ■, xn nazýváme neznámé. Reálná čísla nazýváme koeficienty levých stran, reálná čísla bj koeficienty pravých stran soustavy rovnic. Řešením soustavy rovnic rozumíme uspořádanou n-tici reálných čísel \t\, ti,..., tn] po jejichž dosazení za neznámé (v tomto pořadí) do soustavy dostaneme ve všech rovnicích identity. Definice: Matici A = í an a12 «i3 «21 «22 «23 \am1 «m2 «m3 nazýváme maticí soustavy. Matici / an a12 «13 «21 «22 «23 y &m\ &m1 «m3 nazýváme rozšířenou maticí soustavy. a\n\ «2n «mn / «ln «2n h \ b2 bm j Poznámka 8 (maticový zápis soustavy lineárních rovnic). fan «12 ■■■ «i„\ /xA /b^ «21 «22 ' ' ' «2n X2 b2 \«ml «m2 '■■ «mn/ \xnJ \bm) Ax = b. Definice: Platí-li v soustavě Ax = b b\ = b2 bm = 0, tedy Ax = 0, nazývá se soustava homogenní. Poznámka 9. Homogenní soustava lineárních rovnic Ax = 0 je vždy řešitelná. Po dosazení okamžitě vidíme, že n-tice X\ = 0, x2 = 0.....xn = 0 je řešením. Toto řešení nazýváme triviální. U homogenních soustav lineárních rovnic tedy bud' existuje pouze triviální řešení, nebo existuje nekonečně mnoho řešení. Věta (Frobeniova věta): Soustava lineárních rovnic Ax = b je řešitelná právě tehdy, když matice soustavy A a rozšířená matice soustavy Ar = (A\b) mají stejnou hodnost, tj. h(A) = h(Ar). Soustava nemá řešení, pokud h(A) ^ h(Ar). Soustava má právě jedno řešení, pokud h(A) = h(Ar) = n. Soustava má nekonečně mnoho řešení, pokud h(A) = h(Ar) < n. Tato řešení lze vyjádřit pomocí (n — h(A)) nezávislých parametrů. B B3 ©Lenka Přibylová, 2017 H Gaussova eliminační metoda Převedením rozšířené matice soustavy na schodovitý tvar zjistíme, zdaje soustava rovnic řešitelná (Frobeniova věta). V případě, že h(A) = h(Ar), řešíme soustavu tzv. Gaussovou eliminační metodou, kdy neznámé vyjadřujeme z rovnic odpovídajících řádkům matice ve schodovitém tvaru, které jsou ekvivalentní původním rovnicím. Vyjadřování provádíme odspodu soustavy. =>■ Příklady na Gaussovou eliminační metodou. ■<= Cramerovo pravidlo Věta (Cramerovo pravidlo): Je-li matice A čtvercová a regulární, má soustava Ax = b jediné řešení a pro /-tou složku X{ tohoto řešení platí: D' kde D = det A a D, je determinant matice, která vznikne z matice A výměnou z-tého sloupce za sloupec b. Příklady na Cramerovo pravidlo. ■<= Analytická geometrie v rovině Věta: Libovolnou přímku p v rovině lze vyjádřit rovnicí ax + by + c = 0, kde a, b, c jsou konstanty, přičemž a, b nejsou současně rovny nule. Vektor n = (a, b) je kolmý k přímce p. Naopak každá rovnice tvaru ax + by + c = 0, kde a2 + b2 > 0, představuje přímku p v rovině kolmou k vektoru n = (a, b). Definice: Rovnice ax + by + c = 0 se nazývá obecná rovnice přímky, vektor n = (a, b) se nazývá normálový vektor přímky. Každý nenulový vektor, který je k normálovému vektoru kolmý se nazývá směrový vektor přímky. Jedním ze směrových vektorů je např. vektor s = (—b,a), protože skalární součin vektorů s a n je roven nule. Definice: Směrnicí přímky p o rovnici ax + by + c = 0, která není rovnoběžná s osou y, tj. b ^ 0, rozumíme podíl k=-b- Směrnice k = tg a, kde a. je úhel, který přímka svírá s kladnou osou x. V případě, že b 7^ 0, tj. přímka je rovnoběžná s osou y, řekneme, že přímka p nemá směrnici. Přímku p se směrnicí k je možné vyjádřit ve směrnicovém tvaru y = kx + q. Přímku, která protíná souřadné osy v bodech různých od počátku souřadnic, lze vyjádřit také rovnicí v tzv. úsekovém tvaru x y - + - = 1, p q kde p 7^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose x, q 7^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose y. ] ©Lenka Přibylová, 2017 Q Přímku p, která prochází bodem A kde t E (—00, oo) je parametr. O p x [xq, y o] se směrovým vektorem s = (sj, S2) má parametrické rovnice x = x0 + s\t, y = yo + s2t, Věta: Přímka určená body A = a B = [x2,y2] má obecnou rovnici x2 - *i y2 - yi Je-li X\ 7^ ^2/ má přímka směrnici a lze ji zapsat ve tvaru y-y = ^1-^(x-Xl). Přímka určená bodem A = [x\, y{\ a směrovým vektorem s = (s\, s2) má obecnou rovnici x — x\ y — y\ si s2 0. Definice: Vzdálenost bodů A = [xi, 1/1] a B = [x2, y2] v rovinném kartézském souřadném systému je délka úsečky AB a je dána vztahem \AB\ = ^{x2-x1)2 + {y2-y1)2. Pro vzdálenost d bodu A = [xq, i/g] od přímky p o rovnici ax + by + c = O platí \ax0 + by0 + c\ d = V a2 + b2 Dvě přímky o rovnicích a\X + b\y + C\ = O a a2x + b2y + c2 = O svírají úhly cp a n — cp, přičemž platí a\a2 + b\b2 cos cp = ^a2 + b2^a2 + b2 Dvě přímky o rovnicích y = k\X + q\ a y = k2x + q2 svírají úhly cp a n — cp, přičemž platí k2 — k\ tgcp = 1 + k-ik^ n ~ 2' pro k\k2 + 1^0, pro k\k2 + 1 = 0. Často je třeba rozhodnout o vzájemné poloze dvou přímek p, q o rovnicích a\X + b\y + C\ = O a a2x + b2y + c2 = 0. p\\q právě tehdy když a\ b\ a2 b2 = 0, p = q právě tehdy když ^ CJ^j má hodnosti. Je-li p přímka ax + by + c = 0aq přímka daná bodem A a směrovým vektorem (sj, S2), pak p\\q právě tehdy když as\ + bs2 = 0. ©Lenka Přibylová, 20171 Je-li p přímka daná bodem A a směrovým vektorem (s\, S2) a q přímka daná bodem B a směrovým vektorem (u\, 112), pak si s2 I q právě tehdy když 0. Poznámka 10. Rovnoběžné přímky (resp. jejich směrové vektory) nazýváme kolineární. Směrové vektory kolineárních přímek jsou lineárně závislé. Analytická geometrie v prostoru Věta: Libovolnou rovinu p v prostoru lze vyjádřit rovnicí ax + by + cz + d = 0, kde a,b,c,d jsou konstanty, přičemž a,b,c nejsou současně rovny nule. Vektor n = (a, b, c) je kolmý k rovině p. Naopak každá rovnice tvaru ax + by + cz + d = 0, kde a2 + b2 + c2 > 0, představuje rovinu p kolmou k vektoru n = [a,b,c). Definice: Rovnice ax + by + cz + d = 0 se nazývá obecná rovnice roviny, vektor n = [a, b, c) se nazývá normálový vektor roviny. Rovinu, která protíná souřadné osy v bodech různých od počátku souřadnic, lze vyjádřit také rovnicí v tzv. úsekovém tvaru x y z - + - + - = !, p q r kde p 7^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose x, q 7^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose y a r 7^ 0 je úsek vyťatý přímkou na ose z. =>■ Animace roviny. ■<= Rovina p určená bodem A = [xq, y$, Zq] a dvěma nekolineárními vektory u = u^, 1/3) a v = (v\, Ví, C3) má parametrické rovice x = Xq + U\S + V\t, y = yg + «2S + V2Í, Z = Zq + U3S + v$t kde s,t E (—00,00) jsou parametry. Věta: Rovina určená body A = \x\,y\,z-^\, B = [x2/J/2/z2] a C = [X3,1/3, Z3] má obecnou rovnici x-x-i y-yi z - Z! X2 ~Xt 1/2 - 3/1 Z2 - Zl x3 -x1 1/3 - y1 z3 - Z\ = 0. Rovina určená bodem A = \x\,y\, z\\ a nekolineárními vektory u = (u\, u-i, 1/3) a v = (v\, v-i, C3) má obecnou rovnici x-xx y-y\ z z\ U\ «2 u3 V\ V2 V3 = 0. ©Lenka Přibylová, 2017 Q Definice: Vzdálenost bodů A = \x\,y\,z-^\ a B = \x2,y2,z2\ v 3-rozměrném kartézském souřadném systému je délka úsečky AB a je dána vztahem \AB\ = (x2 -xx)2 + (y2 -yi)2 + (z2 - zO2. Pro vzdálenost d bodu A = [xq, y$, Zq] od roviny p o rovnici ax + by + cz + d = 0 platí _ |ax0 + frj/o + czo + d\ vV + b2 + c2 Dvě roviny o rovnicích fljx + bji/ + C\Z + d\ = 0 a «2* + ^23/ + C2Z + d2 = 0 svírají úhly cp a n — cp, přičemž platí a\a2 + b\b2 + c\c2 cos cp = a2 + b2 + c2Ja2 + b2 + c2 Věta: Přímka p, která prochází bodem A = [xq/1/0/zo] rovnoběžně s nenulovým vektorem s = (si,s2, S3) má parametrické rovnice X = Xq + ÍSi, 1/ = l/o + ^s2/ z = zq + ÍS3 kde t E (—00,00) je parametr. Vektor s je směrový vektor přímky p. Věta: Průsečnicí dvou různoběžných rovin daných rovnicemi a\x + b\y + c\z + d\ = 0, a2x + fr2i/ + c2z + d2 = 0 je přímka, jejíž směrový vektor je dán tzv. vektorovým součinem normálových vektorů těchto rovin, tedy s = [ai,bi,ci) x (a2rb2rc2) = (b\c2 — c\b2,c\a2 — a\c2,a\b2 — bid2). Vektorový součin vektorů u = u2, «3) a v = (v\, v2, C3) můžeme symbolicky psát takto: u x v i j k U\ «2 u3 V\ v2 v3 Poznámka 11. Platí \u x v\ = \u\ ■ \v\ ■ sin cp, kde cp je úhel, který svírají vektory u a v, tj. vektorový součin má velikost rovnu obsahu rovnoběžníku určeného těmito vektory a směrový vektor je k nim kolmý. /■- Věta: Buď dána rovina p : ax + by + cz + d = 0 a přímka p se směrovým vektorem s = (sj, s2, S3). p 11 p právě tehdy, když normálový vektor roviny je kolmý ke směrovému vektoru přímky, tj. n ■ s = as\ + bs2 + cs3 = 0, p _L p právě tehdy, když jsou vektory s a n kolineární, tj. a\ b\ C\ si s2 s3 má hodnost 1. ©Lenka Přibylová, 2017 Q 71 > Definice: Úhlem, který svírá přímka p s rovinou p, rozumíme úhel cp 6 (0, —}, který svírá přímka p se svým pravoúhlým průmětem do roviny p. Poznámka 12. Z této definice a definice skalárního součinu plyne, že směrový vektor s přímky p svírá s rovinou p s normálovým vektorem n úhel cp, pro který platí sin cp = K cos ( - - cp \n ■ s\ \n\\s\ Základní množinové pojmy Množina je soubor nějakých věcí nebo objektů, které nazývme prvky množiny. Přitom o každém objektu lze jednoznačně rozhodnout, zda do dané množiny patří. Množiny značíme zpravidla velkými písmeny A, B, C,..., jejich prvky malými písmeny a,b,c,x,____Příslušnost, resp. nepříslušnost, prvku x do množiny A značíme x e A, resp., x £ A Množiny můžeme popsat např. výčtem prvků A = {1,4,7} nebo zadáním pravidla, které určí, zda daný prvek do množiny patří nebo ne A = {x : x je sudé A 0 < x < 7} = {0,2,4,6} Definice: Sjednocením množin A a B nazýváme množinu AUB = {x : x e AV x e B}, průnikem množin A a B nazýváme množinu AnB = {i:iE AAie B}, rozdílem množin A a B nazýváme množinu A - B = {x : x £ A Ax £ B}. Prázdná množina je množina, která neobsahuje žádný prvek. Značíme ji 0. Množina, která obsahuje konečný počet prvků se nazývá konečná. Množina, která obsahuje nekonečný počet prvků se nazývá nekonečná. Základní číselné množiny mají pevně dohodnutá označení: ©Lenka Přibylová, 2017 Q Definice: N = { 1,2,3,...}... množina přirozených čísel Z = {..., —3, —2, —1,0,1,2,3,...}... množina celých čísel Q=< — : meZ,«eN>... množina racionálních čísel .. n ]R = (—oo, oo)... množina reálných čísel I = ]R — Q ... množina iracionálních čísel C = {a + ib : a, b E M} ... množina komplexních čísel Množina reálných čísel a její podmnožiny Definice: Podmnožinou B množiny A rozumíme libovolnou množinu, jejíž všechny prvky jsou obsaženy v množině A. Tuto vlastnost množiny B zapisujeme takto: B C A Množinu ]R zobrazujeme jako přímku. Typickými podmnožinami množiny ]R jsou intervaly. Otevřený interval (a, b) označujeme kulatými závorkami a na přímce úsečkou s prázdnými krajními body. 9-9 a < x < b i i -i-1- a b uzavřený interval (a, b) označujeme hranatými závorkami a na přímce úsečkou s plnými krajními body. a < x < b i i -1-1- Další možné typy intervalů jsou například tyto: "9 i i i -i-1- -1- b (a,b) (—oo, a) a < x < b —oo < x < a Funkce Definice: Nechť jsou dány neprázdné množiny Daří. Pravidlo /, které každému prvku x E D přiřazuje právě jeden prvek y E H, se nazývá funkce. Zapisujeme y = f (x) nebo f : x —»■ y. Množina D = D (f) se nazývá definiční obor funkce /. Množina všech y E H, pro která existuje x E D s vlastností f (x) = y se nazývá obor hodnot funkce / a označujeme jej m)- Pokud jsou D (f) a H(f) podmnožiny R, mluvíme o reálné funkci jedné reálné proměnné. Operace s funkcemi: Funkce lze sčítat, odčítat, násobit a dělit. Platí komutativní, asociativní a distributivní zákon. (f±g)(x) = f(x)±g(x) ©Lenka Přibylová, 2017 Q Definiční obor nové funkce je průnikem definičních oborů původních funkcí D (f) D D (g). A(x) = /W g(X) Definiční obor nové funkce je průnikem definičních oborů původních funkcí mimo bodů, kde je jmenovatel nulový: D(f)nD(g)-{x:g(x) = 0}. Další operací je skládání funcí. Složená funkce Definice: Nechť u = g(x) je funkce s definičním oborem D(g) a oborem hodnot H(g). Nechť y = f(u) je funkce s definičním oborem D(/) D H(g). Složenou funkcí (/ o (x) = f(g(x)) rozumíme přiřazení, které Vx 6 D(g) přiřazuje y = f(u) = f(g(x)). Funkci g nazýváme vnitřní složkou a funkci / vnější složkou složené funkce. D(g) Definice: Grafem funkce rozumíme množinu všech uspořádaných dvojic x označujeme jako nezávislou proměnnou a y jako závislou proměnnou. Vlastnosti funkcí Definice: Nechť/ je funkce a M C D (f) podmnožina definičního oboru funkce /. 1. Řekneme, že funkce / je na množině M zdola ohraničená, jestliže 3 d E IR takové, že pro Ví e M platí d 0. Řekneme, že funkce / je periodická s periodou p, pokud pro Vx 6 D(f) platí x+peD(f) A f(x) = f(x + p). y = f(x) Definice: Nechť/ je funkce a M C D(f) podmnožina definičního oboru funkce /. 1. Řekneme, že funkce/je na množině M rostoucí, pokud pro Vxj, x2 6 M splňující xj < oplatí f(x\) < f(x2). 2. Řekneme, že funkce/jena množině M klesající,pokud pro Vxi,X2 £ M splňující xj < X2 platí f(x\) > f(x2). 3. Funkci / nazýváme ryze monotónní na množině M , je-li buď rostoucí nebo klesající. Graf rostoucí funkce: y = /(*) Graf klesající funkce: y = /(*) Definice: Nechť/ je funkce a M C D(/) podmnožina definičního oboru funkce /. 1. Řekneme, že funkce / je na množině M neklesající, pokud pro Vxi,X2 6 M splňující x\ < x2 platí f(x\) < /(x2). 2. Řekneme, že funkce / je na množině M nerostoucí, pokud pro Vxi,X2 6 M splňující x\ < x2 platí f(x\) > /(x2). 3. Funkci / nazýváme monotónní na množině M , je-li buď nerostoucí nebo neklesající. ©Lenka Přibylová, 20171 Graf neklesající funkce: Graf nerostoucí funkce: y = /(*) Následující on-line kviz obsahuje také otázky na vlastnosti funkcí, které budou teprve probrány, lze se k němu tedy později vrátit. =>■ Interaktivní kvizy na vlastnosti funkcí. ■<= Definice: Nechť/ je funkce a M C D(f) podmnožina definičního oboru funkce /. Řekneme, že funkce / je na množině M prostá, pokud pro Vxj, x2 6 M splňující X\ 7^ x2 platí f(x\) 7^ f(x2). Graf prosté funkce protínají všechny vodorovné přímky nejvýše jednou: y = /(*) ] Inverzní funkce J Definice: Nechť/ je prostá funkce. Funkci / 1, která každému y G H (f) přiřazuje právě to x G D (f), pro které platí y = f (x), nazýváme inverzní funkcí k funkci /. ©Lenka Přibylová, 2017 Q 1. Vx e D(/), Vy e H(f) platír1(/(x)) = xa/(r1(y))= y. 2. Grafy funkcí / a jsou symetrické podle osy prvního kvadrantu: =>■ Elementární funkce ■<= =>■ Interaktivní kvizy na grafy funkcí v posunutém tvaru. ■<= Poznámka 13 (výpočet inverzní funkce). Inverzní funkci k funkci y = f (x) určíme takto: zaměníme formálně v zadání funkce proměnné x a y, máme tedy x = f (y). Z této rovnice vyjádříme proměnnou y (pokud to lze). Protože je funkce / prostá, je toto vyjádření jednoznačné. =>■ Příklad na nalezení inverzní funkce ■<= U základních elementárních funkcí je inverzní funkce jiná základní elementární funkce: Vzájemě inverzní elementární funkce: y = V* y = x2, x > 0 y = Vx y = xA y = ex y = lnx y = ax,a>0,a^l y = iogfl* y = sinx, x e ( — n 17., k/2) y = arcsin x y = cos x, x e (0, k) y = arccos x y = tgx, x e ( — k/2, k/2) y = arctg x y = cotg x, x 6 (0, k) y = arccotg x ©Lenka Přibylová, 2017 Q Poznámka 14. Platí tedy například: ln(ex) = x e^x =x arcsin(sinx) = x Príklad. Vypočtěte, pro které x platí lnx = 3. Použijeme inverzní funkci k logaritmické, kterou je funkce exponenciální a dostaneme: ln x = 3 eln(*) = e3 x = e3 = 20.0855 Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Definice: Okolím bodu Xq 6 IR rozumíme libovolný otevřený interval I, který tento bod obsahuje. Nejčastěji se používá interval, jehož je bod Xq středem. Xq — Ó Xq Xq + Ô -O | O- Takovýto interval nazýváme i5-okolím bodu Xq a označujeme O g (xq). Jestliže z i5-okolí bodu Xq vyjmeme bod Xq, mluvíme o ryzím i5-okolí bodu Xq a budeme jej značit Os(xq). Xq — Ó Xq Xq + Ô -0 0 0- Pravým ryzím i5-okolím bodu Xq rozumíme otevřený interval ÔJ(xq) = (xq, Xq + ó) Xq Xq + Ô -O o- a levým ryzím i5-okolím bodu Xq rozumíme otevřený interval Ô$ (xq) = (xq — ô, Xq). Xq — ô Xq Limita funkce Definice: Nechť Xq, L£]Ra/:]R—^Rje funkce / definovaná v nějakém ryzím okolí bodu Xq. Řekneme, že funkce / má v bodě xq limitu rovnu číslu L, jestliže Ve > 0 existuje 3ó > 0 takové, že pro x E Os(xq) platí/(x) e 0£(L). Píšeme lim f (x) = L. ©Lenka Přibylová, 2017 Q Jednostranná limita Definice: Nechť Xq, LeEa/ :R^E. Dále nechťje funkce / definovaná v nějakém pravém ryzím okolí bodu Xq. Řekneme, že funkce / má v bodě Xq limitu zprava rovnu číslu L, jestliže ke každému e > 0 existuje ó > 0 takové, že pro Vx e Ô+(x0) platí f (x) e 0£(L). Píšeme lim f (x) = L. Analogicky definujeme limitu zleva. ©Lenka Přibylová, 2017 Q Věta: Funkce má v každém bodě nejvýše jednu limitu (limitu zprava, limitu zleva). Věta: Funkce má v bodě Xq E IR limitu právě tehdy když lim f{x) = lim f(x). ■~*X0 X~*XQ Nevlastní body Definice: Rozšířenou množinou reálných čísel IR* rozumíme množinu reálných čísel IR rozšířenou o body ±00. Označujeme M* = RU{oo, -00} Prvky ±00 nazýváme nevlastní body, body množiny ]R nazýváme vlastní body. Pro a E IR definujeme: + 00 = 00, fl— 00 = —00, 00 + 00 = 00, —00 — 00 = —00 . , . . a a 00 ■ 00 = — 00.(— 00) = 00, 00.(—00) =—00, — =-=0 00 —00 —00 < a < 00, j ± oo| = 00, Je-li a > O definujeme a ■ 00 = 00 a ■ (—00) = —00, a je-li a < O definujeme a ■ 00 = —00 a ■ (—00) = 00. Poznámka 15. Nejsou tedy např. definovány operace: ±00 00 — 00, ±oo.O a - ±00 Takovýmto výrazům říkáme neurčité výrazy. Poznamenejme, že samozřejmě není definováno dělení nulou. EBl El la laa ©Lenka Přibylová, 20171 Nevlastní limita Definice: Říkáme, že funkce f (x) má v bodě xq nevlastní limitu +00 (—00), jestliže pro VM > 0 existuje ó > 0 takové, že pro Vx E Ôg(x0) platí f (x) > M (resp. f (x) < -M). Píšeme lim f (x) = +oo(—00). Poznámka 16. Aby existovala limita v bodě Xq E R, nemusí být funkce / v bodě Xq definována. Například limita funkce sin x lim- existuje, i když tato funkce není definována v bodě 0. Funkce naopak musí být definována v nějakém ryzím okolí x->0 X (nebo jednostranném ryzím okolí, v případě jednostranné limity) bodu a. Není tedy definována například lim \/\ — 3xz, nebo lim ln(x). Příklad na numerický výpočet limity ■<= Limita v nevlastním bodě Definice: Říkáme, že funkce f(x) má limitu L v nevlastním bodě +00 (—00), jestliže pro Ve > 0 existuje K > 0 takové, že pro Vx > K (resp. Vx < —K) platí f (x) E Oe(L) . ©Lenka Přibylová, 2017 Q Spojitost funkce Definice: Řekneme, že funkce / : IR —»■ IR je spojitá v bodě Xq, jestliže Xq 6 D(f) a lim f(x) = f(xg) . X^Xq Řekneme, že funkce / : IR —>■ IR je spojitá zprava (spojitá zleva) v bodě xq, jestliže xq 6 D(f) a lim f(x) = /(xq) ( lim_/(x) =f(x0)). X^Xg Definice: Řekneme, že funkce je spojitá na intervalu (a, b), {a, b) [a, b) {a, b), je-li spojitá v každém jeho vnitřním bodě a v krajních bodech (pokud tam patří) je spojitá zprava, resp. zleva. Věta: Spojitá funkce nabývá v uzavřeném intervalu {a, b) své nejvyšší a nejnižší hodnoty a také všech hodnot mezi nimi. -h b x b x Věta: Nechť/(x) je spojitá funkce v uzavřeném intervalu (a, b) a platí f (a) ■ f(b) < 0. Pak existuje alespoň jedno číslo c e {a, b) takové, že f(c) = 0. Pravidla pro počítání s limitami Věta: Buď a 6 ]R*, k 6 ]R, f,g : ]R —>■ ]R. Jestliže mají / a g v bodě a vlastní limitu, pak platí lim k = k x—>a \im(f(x) ± g(x)) = lim fix) ± limg(x) x^ay ' x^ta x^ta \im(f(x) ■ g(x)) = lim fix) ■ lim?(x) lim A: ■ f (x) = k ■ lim f (x) f fx\ lim f (x) lim ^ = . , pro lim g(x) ^ 0. limeíx) r Zobecněním základních pravidel dostáváme linearitu limity: limfaf^x) H-----h knfn(x)) = k-i lim/^x) H-----h kn lŕm/„(x) S využitím předchozí věty lze počítat následující limity ©Lenka Přibylová, 20171 . . 71 71 1. hm (arctgx + arccotgx) = — + 0 = — 2. lim — cos x = —oo ■ 1 = —oo x-»0- x 3. lim 1 ^- = 1=0 i^oo xg-1 oo-oo oo Větu nelze použít pro výpočet limity lim —h In x ), x^0+\X protože bychom obdrželi neurčitý výraz | oo — oo 11. Věta: Je-li funkce g je spojitá, platí Totéž platí i pro jednotlivé jednostranné limity. Dále tedy platí např. lim I/(z)! = I lim f(x)\ x^ta x->a lim(/(x))" = (lim lim { f{x) = pMmf{x) lim = Č7lim*W(» x—>fl Příklad. Uvedenou větu lze použít pro výpočet následujících limit: 1. lim lni - x^0+ V x lín 00 = 00 7t 2. lim arctgíe *) = ||arctgoo|| = — 3. lim ln(sinx) = ||ln(0+)|| = —oo Výpočet limity funkce • V bodě, ve kterém je funkce definovaná a spojitá vypočteme limitu přímým dosazením. • V bodě, ve kterém funkce není definovaná nebo není spojitá mohou dosazením vznikat výrazy typu k 0 0 Ô Uprav. , které vedou k nevlastní limitě, , což jsou neurčité výrazy, které lze řešit většinou pomocí L/Hospitalova pravidla nebo pomocí =>■ Interaktivní kvizy na limity elementárních funkcí ■<= =>■ Interaktivní kvizy na základních operace s limitami ■<= =>■ Příklady na výpočet limit ■<= ©Lenka Přibylová, 2017 Q Derivace funkce Definice: Nechť xq e D(f). Řekneme, že funkce / má v bodě xq derivaci rovnu f'(xo), jestliže existuje konečná limita f(x0 + h) -f(x0) f'(x0) = lim h Neexistuje-li tato limita, říkáme, že funkce f(x) nemá v bodě Xq derivaci. y = /(*) f(x0+h) -f(x0) y = f(x) f(x0 + h) f(xo) '0 / x0 x0 + h Poznámka 17. Geometrický význam derivace: Sečna ke grafu funkce / procházející body [xo//(*o)] a [x0 + h>f(xo + ^)] má směrnici ^ 0 ~j—ZL_2l Jestliže se s bodem (xg + h) blížíme k bodu Xq (tj. provádíme-li limitní přechod lim), přejde h h^O sečna v tečnu v bodě [xo,f(xo)]. Limitní hodnota, tj. směrnice tečny, je potom rovna derivaci f'(xg). Poznámka 18. Má-li funkce / v bodě Xq derivaci, je rovnice tečny ke grafu funkce v bodě [*o,/(*())] y = f'(x0)(x-x0)+f(x0). ©Lenka Přibylová, 2017 Q Definice: Nechť má funkce / derivaci v každém bodě otevřeného intervalu I. Předpisem, který každému bodu x z intervalu I přiřadí derivaci funkce / v bodě x je na I definována funkce, kterou nazýváme derivací funkce / na intervalu I a označujeme f'. , , dy Často označujeme derivaci mimo / také jako y nebo Funkci, která má v bodě Xq, resp. na intervalu I, derivaci, nazýváme diferencovatelnou v bodě Xq, resp. na intervalu I. Příklad . Vypočtěte f'(x) funkce f{x) = x. f'(x) = lim X + h ~X = lim \ = 1 h^o h h^o h f (x) = (x)' = 1. Vzorce a pravidla pro derivování Věta: Nechť/, g jsou funkce aceR konstanta. Platí [cf(x)]' = cf(x) [f(x)±g(x)}' = f(x)±g'(x) [f(x)g(x)}' = f(x)g(x) + f(x)g'(x) /(*) ' =f'(x)g(x)-f(x)g'(x) g2(x) (x) ŕ 0. Derivace elementárních funkcí jsou dány následujícími vztahy a jsou definovány pro všechna x z definičního oboru elementární funkce: ©Lenka Přibylová, 2017 Q k' = O (cosx)' = — sinx (xn)' = nxn-1 (iga:)' = —L_ {exY = ex (cotg x)' = 1 sin2 x 1 (ax)' = a* lna (arcsinx)' = —== V 1 - 1 1 (ln x)' = — (arccosx)' = 1 1 (log,, x)' = —— (arctgx)' =--7 v &fl ; xlna y b ' 1 + x2 1 (sinx)' = cosx (arccotgx)' = —--^ y ' y b ' 1 + x2 =>■ Příklady na základní vzorce pro derivování. ■<= Veta: Pro složenou funkci platí lf(g(xW = f'(g(x))g'(x), kde existence derivace vlevo plyne z existence derivací vpravo. Poznámka 19. Výraz f'(g(x)) v předchozí větě znamená derivaci funkce / vypočtenou v bodě g(x). Příklady na derivování složené funkce. <= Interaktivní kvizy na metodu derivování. ■<= =>■ Příklady na výpočet derivace funkce. ■<= Interaktivní kvizy na výpočet derivace funkce. Diferenciál funkce Definice: Nechť funkce f(x) je spojitá v nějakém okolí O(xq) bodu Xq a nechť existuje derivace /'(xq). Nechť Xq + h E O(xq). Diferenciálem funkce f(x) v bodě Xq rozumíme výraz df(xo) = f'(x0) - h. y = f(x) ©Lenka Přibylová, 2017 Q Poznámka 20. Pro různé hodnoty h dostáváme různé hodnoty diferenciálu df(xg). Diferenciál df(xg) je tedy funkcí proměnné h (evidentně funkcí lineární). Pokud budeme uvažovat obecný bod x, v němž existuje derivace f'(x), bude diferenciál df(x) funkcí dvou proměnných x a h. Protože pro funkci f(x) = x platí df(x) = dx = 1 ■ h, můžeme použít vztahu h = dx pro obvyklý historický zápis diferenciálu a derivace funkce y = f (x): d f (x) = dy = f (x)dx, tj. Derivace vyšších řádů Derivací 2.řádu (druhou derivací) funkce f (x) nazýváme funkci (/')'/ tj- derivaci první derivace funkce y = f (x). Podobně derivaci 3.řádu definujeme jako derivaci 2. derivace. ^^D^f^^c^^^e^^^^^^J^o^^d^^u^k^e^^^^j^f^u^e^^^^^^to"ivaci de^^a^^^d^^^-^L^^^^^^^^^^^^^^^^^J Vyšší derivace označujeme takto: nebo y",y"', yW y (5).....y M nebo d2y d3y dny dx2' dx5' "' ' dxn' Příklady na derivace vyšších řádů. Užití derivací k výpočtu limit Věta: 1'Hospitalovo pravidlo: Nechť a E IR* a nechť funkce fa g jsou definovány v nějakém ryzím okolí bodu a a mají zde derivaci. Nechť dále platí buď lim fix) = lim g(x) = 0 nebo x->a x^ta Pak platí !imJ,?MI = °°- limM = lim/'M g(x) x^ag'(x)' pokud limita na pravé straně rovnosti existuje. Totéž platí i pro obě jednostranné limity. Poznámka 21. Předchozí větu lze použít na všechny neurčité výrazy. Lze je převést na výrazy typu nebo ||0 ■ oo 0 nebo 00 — — 0 00 takto: 0 0 00 II = l/oo — — 0 00 00 1/0 00 a stejný trik lze použít na výrazy typu ||0 || a ||oo' |oo — oo|| lze převést na spol. jmenovatel do tvaru ,011 „ ||_0|| 0 nebo 00 — — 0 00 ©Lenka Přibylová, 20171 Příklady na užití 1'Hospitalova pravidla. Monotónnost funkce. Lokální extrémy. Věta: Nechť/(x) je na {a, b) spojitá a má derivaci v každém jeho vnitřním bodě. Pak platí: • Funkce f(x) je na (a, b) konstantní «Vi e {a, b) platí f'(x) = 0. Jestliže Vx 6 (a, b) platí f'(x) > 0, pak je funkce f(x) na (a, b) rostoucí. Jestliže Vx 6 [a, b) platí f'(x) < 0, pak je funkce f(x) na (a, b) klesající. Definice: Řekneme, žef(x) má v bodě Xq lokální maximum (minimum), resp. lokální extrém, jestliže Vx z nějakého okolí Xq platí f(x) < /(xq) (f(x) > /(xq)) . Pokud pro x ^ Xq platí ostré nerovnosti, nazýváme lok. extrém ostrým. Věta: Má-li funkce /vip lokální extrém, pak /'(xq) = 0 nebo derivace /'(xq) neexistuje. 1 Věta: Nechť/'(^o) = 0 a /"(xq) ^ 0. Pak má /(x) v xq lokální extrém, a to • lokální maximum, je-li/"(xq) < 0, • lokální minimum, je-li/"(xq) > 0. Definice: Je-li/'(xq) = 0, pak bod [xo,/(xq)] nazýváme stacionárním bodem. =>■ Příklady na výpočet lokálních extrémů. Konvexnost a konkávnost. Inflexní body. Definice: Funkci nazveme konvexní (konkávni) v bodě Xq, jestliže její graf leží v okolí Xq nad (pod) tečnou v tomto bodě. Funkci nazveme konvexní (konkávni) na intervalu I, je-li konvexní (konkávni) v každém jeho bodě. ©Lenka Přibylová, 2017 Q Věta: Nechť/'(x) je diferencovatelná na (a, b). Pak • jestliže Vx 6 (a, b) platí f"(x) > 0 =>■ / je konvexní na (a,fr), • jestliže Vx 6 (a, fr) platí f"(x) < 0 =>■ / je konkávni na (a, fr). Definice: Funkce / má v bodě Xg inflexní bod, jestliže má v Xg tečnu a f"(x) zde mění znaménko (graf funkce přechází z konvexity do konkávity nebo naopak). Důsledek: Funkce f(x) může mít inflexní bod v tzv. kritickém bodě Xq kde f"(xg) = 0, nebo tam, kde f"(xg) neexistuje. y. Příklad na výpočet inflexních bodů, konvexnosti a konkávnosti. Asymptoty funkce Definice: Asymptota je přímka, která je tečnou ke grafu funkce v některém nevlastním bodě. '-- \ ě t a: Funkce má • asymptotu bez směrnice x = Xq O má / v bodě Xq nevlastní limitu zleva nebo zprava. • asymptotu se směrnicí y = kx + q pro x —»■ ±oo o f(x) k = lim J-±-!- 6 K. a q = lim (f(x) — kx) 6 IR i—>±oo x x—>±oo ©Lenka Přibylová, 2017 Q Příklad na výpočet asymptot. -<= Průběh funkce Postup při vyšetřování průběhu funkce: 1. Určíme D(f), sudost, resp. lichost, periodičnost funkce a průsečíky grafu funkce se souřadnými osami. Najdeme intervaly, kde je funkce kladná a kde záporná. 2. Vyšetříme chování funkce v nevlastních bodech a najdeme asymptoty. 3. Vypočteme /', najdeme stacionární body, intervaly monotónnosti a nalezneme lokální extrémy. 4. Vypočteme /", najdeme kritické body, intervaly konvexnosti a konkávnosti a nalezneme inflexní body. 5. Načrtneme graf. =>■ Příklady na průběh funkce. ■<= Taylorův polynom Funkční hodnotu dovedeme přesně vypočítat pouze u polynomů a racionálních lomených funkcí s racionálními koeficienty. U ostatních funkcí je třeba použít pro výpočet numerické hodnoty některou z aproximačních metod. Základní aproximační metodou je použití Taylorova polynomu příslušného dané funkci. /-■> Definice: Nechť funkce / má v okolí bodu Xq spojité derivace až do řádu n + 1. Taylorovým polynomem n-tého stupně příslušným funkci f(x) v bodě Xq rozumíme polynom T„(l) =/(!„) + Si"!(l _ ,-„) + CíSl)! - l„)2 + . . . ... + £íla2{, _,„,.. ' Poznámka 22. Taylorův polynom stupně n má v bodě Xq stejnou funkční hodnotu a také všechny derivace až do řádu n jako funkce /, tj. ^n(*o) = f(*o), Tn'(x0) = f'(x0), T„(">(*o) = f(n)(x0). ©Lenka Přibylová, 2017 Q =>■ Animace Taylorova polynomu. ■<= Věta (Taylorova věta): Nechť funkce / má v okolí O(xg) bodu Xg spojité derivace až do řádu n + 1. Pak existuje vhodné číslo c, které leží mezi Xg a x takové, že Vx E O(xq) platí /(x) = T„(x) + R„+1(x), kde T„(x) je Taylorův polynom a i?n+j(x) je polynom stupně alespoň n + 1 v proměnné (x — xq), který nazýváme zbytkem. Zbytek může být např. tvaru Příklady na výpočet Taylorova polynomu. Jak být lepší než kalkulačka... -<= Diferenciální počet funkcí dvou proměnných Definice: Nechť jsou dány neprázdné množiny D C R2 a H C R. Pravidlo /, které každému prvku [x, y] E D přiřazuje právě jeden prvek z G H, se nazývá funkce. Zapisujeme z = f (x, y). Množina D = D (f) se nazývá definiční obor funkce /. Množina všech z E H, pro která existuje [x, y] e D s vlastností f (x, y) = z, se nazývá obor hodnot funkce / a označujeme jej H (J). Jde o stejnou definici funkce, kterou jsme již probírali. Vzhledem k tomu, že D(/) C R2 a H (f) C R, mluvíme o reálné funkci dvou reálných proměnných. Definice: Grafem funkce z = f(x, y) rozumíme množinu všech uspořádaných trojic [x, y,f(x, y)\, x a y označujeme jako nezávislé proměnné a z jako závislou proměnnou. Definice: Buď [x0,yo] E R2 bod, ô\ > 0 a S2 > 0 čísla. Množinu O = {[x,y] e R2 : |x — x0| < okolí [x0, t/o] x0 - Sj x0 x0 + Si Definice: Nechť [xq, y q] E K2, L£]Ra/:]R2—^Rje funkce definovaná v nějakém ryzím okolí bodu [xq, y q] . Řekneme, že funkce / má v bodě [xq, y q] limitu rovnu číslu L, jestliže Ve > 0 existuje ryzí okolí O bodu [x q, y q] ôi > 0 z předchozí definice) takové, že pro [x, y] E O platí f (x) E 0£(L). Píšeme lim f (x) = L. [x,y]->[x0,yo] Poznámka 23. Definice limity funkce dvou pramenných má formálně stejné znění jako definice limity funkce jedné proměnné. Proto také pro limitu funkce dvou proměnných platí analogické věty jako pro limitu funkce jedné proměnné. Definice: Řekneme, že funkce / : K2 —>■ IR je spojitá v bodě [*o/J/o]/jestliže [x0,i/o] £ ^(/) a nm f{x>V) = /(*o,yo) ■ x,y]^[x0,y0y Věta: Součet, rozdíl a součin dvou funkcí spojitých v bodě [xq, i/q] je funkce spojitá v bodě [xq, i/q] ■ Podíl dvou funkcí spojitých v bodě [xq,i/o] je funkce spojitá v bodě [xq,i/o]/ pokud funkce ve jmenovateli je v tomto bodě různá od nuly. Definice: Nechťu = g(x,y) a v = h(x, y) jsou funkce definované v množině M, nechť/(«, v) je funkce definovaná v množině D a nechť pro každý bod [x, y] E M platí [g(x,y),h(x,y)] E D. Pak funkce přiřazující každému bodu [x, y] E M číslo f[g(x, y),h(x, y)\ se nazývá složená funkce. Tato funkce je definovaná na množině M, funkce / se nazývá její vnější složka, g(x,y), h(x,y) její vnitřní složky. Parciální derivace Definice: Bud'/(x, y) funkce a [xq, i/q] bod. Funkce g(x) = f(x, yo) je funkcí jedné proměnné x. Má-li funkce g(x) v bodě Xq derivaci g' (x^), nazýváme ji parciální derivací funkce f(x,y) podle x v bodě [xq,i/o] a značíme ji f'x(xo,yo) nebo —. Analogicky definujeme parciální defivaci podle y. Podle definice derivace tedy platí f'x(xo,yo) = lim h->0 fý(xo,yo) = lim f(x0 + h,y0) -f(x0,y0) h f(x0,y0 + h) -f(x0,y0) h Geometrický význam parciální derivace. ■<= Příklady na parciální derivace ■<= =>■ Interaktivní kvizy na parciální derivace ■<= ©Lenka Přibylová, 2017 Q Parciální derivace vyšších řádů můžeme definovat analogicky. Má-li např. funkce f'x(x,y) v bodě [xo/3/o] parciální derivaci podle x, značíme ji fxx{x0,y0) nebo ^^,2 ^ ■ Má-li funkce fx(x,y) v bodě [ Xq, x/o] parciální derivaci podle y, df2(xp,yo) dxdy značíme ji fxy(xo> 3/0) nebo ^ ^ ■ Podobně definujeme a značíme i derivace vyšších řádů. Věta: Nechť má funkce f(x,y) parciální derivace fXy(xo>yo) a fyX(xo>yo) spojité vbodě [xq/J/o]- Pak platí fxV(xo,yo) = fý'x(xo,yo)- Diferenciál a tečná rovina plochy Definice: Nechť je funkce f(x,y) spojitá v okolí O bodu [xo/3/o] a nechť existují parciální derivace f'x(xo,yo) a fý(xQ,yo). Nechťbod [x,y] = [x0 + h,y0 + k] E O. Totálním diferenciálem funkce f(x,y) vbodě [x0,j/o] rozumíme výraz df(xo,yo) = f'x(xo,yo) ■ h + fý(x0,y0) ■ k. Poznámka 24. Analogicky jako u diferenciálu funkce jedné proměnné lze psát h = dx a k = dy a totální diferenciál v obecném bodě má tvar df(x,y) = f'x(x,y)dx + f'y(x,y)dy. Věta: Má-li funkce f(x, y) v bodě [xq, j/q] totální diferencál, pak má graf funkce z = f(*,y) vbodě [x0,y0,f(x0,y0)] tečnou rovinu 0 rovnici z = f(xo,yo) +f'x(xo,yo) ■ (x - xo) + fý(xo,yo) ■ (y - -yo) Totální diferenciál je vlastně přírůstek na tečné rovině při přechodu z bodu [xq, j/q] do bodu Xq + h,yo + k.V dostatečně malém okolí bodu [xq, j/q] lze přírůstek funkce nahradit totáním diferenciálem, tj. A/(*o,3/o) = f(x0 + h,y0 + k) -f(x0,y0) = df(x0,y0). Lokální extrémy funkcí dvou proměnných Definice: Buď f (x, y) funkce definovaná v nějakém okolí O bodu [xoj/o] a nechťpro každé [x,y] E O platí f(x,y) f{x0,y0). Pak říkáme, že funkce f(x,y) má v bodě [xq, yo] lokální maximum, resp. lokální minimum, mluvíme o lokálním extrému funkce. Platí-li v uvedených vztazích ostré nerovnosti, nazýváme lokální extrém ostrým. Věta: Nechť funkce f(x,y) mávbodě [xg,yo] lokální extrém a nechťzde má parciální derivace f'x(xo,yo) a fý(xo>yo)-Pak platí fx(xo,yo) = fýixo,yo) = 0. Poznámka 25. Bod [xg/yo]. který splňuje vlastnost f'x(xo,yo) = fý(xo,yo) = 0 ©Lenka Přibylová, 2017 Q nazýváme stejně jako u funkcí jedné proměnné stacionárním bodem. Podobně jako u funkcí jedné proměnné neplatí obrácení předchozí věty. Stacionární bod nemusí být lokálním extrémem. Definice: Má-li funkce f(x,y) parciální derivace 2. řádu, nazýváme matici druhých derivací H= ífxx(x,y) f'x'y(x,y) \fý'x(x>y) fyy{x>y) Hessovou maticí funkce f(x,y). Její determinant se nazývá hessián. Věta: Nechť má funkce f(x,y) ve stacionárním bodě [xq, x/q] a jeho okolí spojité parciální derivace 1. a 2. řádu. Jestliže je hessián v bodě [xq, x/q] kladný, má funkce f(x, y) v tomto bodě ostrý lokální extrém. Je-li naopak hessián v bodě [xq/1/o] záporný, nemá funkce f(x,y) v tomto bodě ostrý lokální extrém, bod [xo/J/o] v tomto případě nazýváme sedlem. Poznámka 26. Najdeme-li pomocí hessiánu v bodě [xo/J/o] lokální extrém, můžeme o maximu, resp. minimu, rozhodnout pomocí druhých parciálních derivací. Je-li v řezu ve směru např. osy x funkce konvexní, tj. pokud f'x'x(xo,yo) > 0> nastává v tomto bodě lok. minimum. V opačném případě maximum. =>■ Lokální extrém. ■<= Sedlo. <í= =>■ Příklady na lokální extrémy funkcí dvou proměnných ■<= =>■ Interaktivní kvizy na lokální extrémy ■<= Absolutní extrémy Definice: Buď M E K2 množina v rovině, [xo/J/o] bod, f(x,y) funkce definovaná na množině M. Řekneme, že funkce f(x,y) má v bodě [xo/J/o] absolutní maximum, resp. absolutní minimum, jestliže pro V[x, y] E M platí f {x,y) < f{x0,y0),ies]p. f{x,y) > f{x0,y0). Věta: Nechť M 7^ 0 je množina v rovině, [xg,i/o] £ -M bod, f (x,y) funkce definovaná na množině M. Pokud má funkce f (x,y) v bodě [xq,i/o] absolutní extrém, pak bod [xq,i/o] leží buď na hranici množiny M nebo v něm má funkce f (x,y) lokálni extrém. ] Budeme-li tedy hledat absolutní extrémy funkce, porovnáváme funkční hodnoty ve všech • stacionárních bodech (v nich může nastat lokální extrém), • dále ve stacionárních bodech vázaných hranicemi množiny M • a ve vrcholech (pokud existují). =>■ Absolutní extrém. ■<= =>■ Příklady na absolutní extrémy ■<= ©Lenka Přibylová, 2017 Q