Statistická fyzika a termodynamika
Michal Lenc " podzim 2014
Obsah
Statistická fyzika a termodynamika..................................................................................1
1. Úvodní kapitola......................................................................................................6
1.1 Mikrokanonické, kanonické, a velké kanonické rozdalení................................6
1.2 Pfíklad spojení dvou soustav..............................................................................7
1.3 Statistická suma pro soustavu s kanonickým rozdalením..................................7
1.4 Termodynamické veliTiny..................................................................................9
1.5 HellmanlU' " FeynmanU^ teorém.....................................................................10
1.6 Entropie............................................................................................................11
2. Hustota stav Lil.......................................................................................................12
2.1 Základní pojmy................................................................................................12
2.2 Pfíklad: harmonický oscilátor..........................................................................16
2.3 Pfíklad: Tástice v jáma......................................................................................16
3. Lineární harmonický oscilátor.............................................................................17
3.1 Kvantování.......................................................................................................17
3.2 Statistika...........................................................................................................20
4. Zápení Terného talesa............................................................................................21
4.1 Vlastní kmity pole (módy)...............................................................................21
4.2 PlanckLU' vyzafbvací zákon..............................................................................22
5. Termodynamické zákony.....................................................................................24
5.1 Nultá vata.........................................................................................................25
5.2 První vata..........................................................................................................25
5.3 Druhá vata........................................................................................................25
5.4 Tpetívata..........................................................................................................26
6. Gibbsovo rozdalení..............................................................................................27
6.1 Entropie............................................................................................................27
6.2 Souvislost klasického a kvantového popisu.....................................................28
6.3 Gibbsovo rozdalení..........................................................................................29
6.4 Maxwellovo rozdalení......................................................................................30
6.5 Rozdalení pro lineární harmonický oscilátor...................................................31
1
7. Termodynamický potenciál..................................................................................33
7.1 Gibbsovo rozdalení s promanným poTtem Tástic.............................................33
7.2 Neinteragující kvantový plyn...........................................................................34
7.3 Vztahy mezi termodynamickými veliTinami...................................................35
7.4 Klasická limita..................................................................................................36
7.5 Fermiho a Bosého plyny elementárních Tástic.................................................37
7.6 Poissonova adiabata, stavová rovnice..............................................................40
8. UliteTné integrály................................................................................................42
8.1 Gama funkce....................................................................................................42
8.2 Fermi " Diracovo a Bose " Einsteinovo rozdalení pro degenerovaný plyn.....43
8.3 PpEchod Fermi " Diracova a Bose " Einsteinova rozdalení na Boltzmannovo 44
8.4 Eulerova " Maclaurinova sumaTní formule.....................................................45
9. Ideální (nerelativistický) Bosého " Einsteinii^ plyn............................................46
9.1 Termodynamický potenciál, hustota a vnitpií energie.....................................46
9.2 Bosého " Einsteinova kondensace...................................................................48
9.3 Fázový ppechod pára " kondensát....................................................................51
10. Elektronový plyn..................................................................................................52
10.1 Úplná degenerovaný elektronový plyn........................................................52
10.2 Stavová rovnice nerelativistického plynu....................................................54
10.2.1 Nízká hustota, vysoká teplota...................................................................55
10.2.2 Vysoká hustota, nízká teplota...................................................................55
10.3 RichardsonUt zákon.....................................................................................56
10.4 Magnetické vlastnosti elektronového plynu.................................................58
10.4.1 Elektron v homogenním magnetickém poli.............................................58
10.4.2 Termodynamický potenciál......................................................................59
10.4.3 Pauliho paramagnetismus.........................................................................60
11. Relativistický plna degenerovaný elektronový plyn............................................61
12. Operátor matice hustoty.......................................................................................62
12.1 Popis soustavy v interakci s okolím.............................................................62
12.2 Dalpí vlastnosti matice hustoty.....................................................................64
12.3 Matice hustoty v soupadnicové a impulsové representaci............................64
12.4 Matice hustoty ve statistické fyzice.............................................................65
12.5 Lineární harmonický oscilátor.....................................................................67
12.6 Wignerova rozdalovací funkce.....................................................................70
2
12.7      PolarizaTní matice........................................................................................71
13. Viriálový teorém..................................................................................................72
13.1 Eulerova vata o homogenních funkcích.......................................................72
13.2 Viriálová vata...............................................................................................72
14. Poruchová teorie...................................................................................................73
14.1 Poruchová teorie pro matici hustoty.............................................................73
14.2 FeynmanLLt operátorový poTet.....................................................................74
14.2.1 Základní pojmy........................................................................................74
14.2.2 Tpi príklady pro g(a,b)=a.b......................................................................76
14.2.3 Vata o uspofádání operátorLU....................................................................76
14.2.4 Rozpletení exponenciální funkce souTtu dvou operátorLU........................78
14.3 Nerovnost pro volnou energii (1).................................................................79
14.4 Nerovnost pro volnou energii (2).................................................................81
15. Pfíklady poulití poruchové teorie........................................................................84
15.1 Klasická aproximace....................................................................................84
15.2 Anharmonický oscilátor...............................................................................85
15.3 Pohyb v ohraniTené oblasti (jednorozmarný problém)................................86
15.4 Viriálový teorém po druhé...........................................................................87
15.5 Invariance volné energie..............................................................................88
16. Nerovnoválný ideální plyn..................................................................................88
16.1 Základní pojmy............................................................................................88
16.2 Klasický plyn................................................................................................89
16.3 Fermiho plyn................................................................................................90
16.4 Bosého plyn..................................................................................................91
17. Fluktuace..............................................................................................................93
17.1 Gaussovo rozdalení......................................................................................93
17.2 Gaussovo rozdalení pro nakolik promanných..............................................94
17.3 Fluktuace termodynamických veliTin..........................................................96
17.4 Fluktuace poTtu Tástic................................................................................100
17.5 PoissonLLf vzorec........................................................................................103
18. Soustava s koneTným poTtem energiových hladin.............................................104
18.1 Stavová suma a odvozené veliTiny pro dva hladiny...................................104
18.2 Obecný ppípad koneTného poTtu hladin.....................................................105
18.3 Záporné ab solutní teploty...........................................................................107
3
19. Kinetická teorie plyn Lil.......................................................................................108
19.1 Liouvillova vata..........................................................................................108
19.2 Boltzmannova kinetická rovnice.......................... ......................................110
19.2.1 JednoTásticový problém.........................................................................110
19.2.2 BoltzmannL» srálkový Hen...................................................................111
19.2.3 Princip detailní rovnováhy.....................................................................113
19.2.4 Rovnoválná rozdalovací funkce............................................................114
19.3 H "teorém..................................................................................................115
19.4 Ppechod k makroskopickým rovnicím........................................................117
19.4.1 Základní rovnice.....................................................................................117
19.4.2 Aproximace lokální termodynamické rovnováhy..................................119
19.4.3 Pfíklady pepení rovnic nulté aproximace................................................121
19.5 Srálkový Hen pro kvantovou statistiku.....................................................123
20. Elementární popis transportních jevili................................................................124
20.1 Základní pojmy..........................................................................................124
20.1.1 ÚTinný prupez.........................................................................................124
20.1.2 Stpední hodnoty v Maxwellova rozdalení..............................................125
20.2 Transportní jevy.........................................................................................127
20.2.1 Ppenos hybnosti " viskozita....................................................................128
20.2.2 Ppenos energie " tepelná vodivost..........................................................129
20.2.3 Ppenos Tástic " difúze.............................................................................130
20.2.4 Porovnání s experimentálními hodnotami..............................................130
21. Kinetická rovnice pro mírná nehomogenní plyn................................................130
21.1 Základní pojmy..........................................................................................130
21.2 Charakter p piblilného pe pení......................................................................131
21.3 Nahrazení Tasových derivací......................................................................133
21.4 Kinetické koeficienty.................................................................................134
21.4.1 Tepelná vodivost....................................................................................134
21.4.2 Viskozita.................................................................................................135
22. Symetrie kinetických koeficientni......................................................................138
22.1 Teorie fluktuací..........................................................................................138
22.2 Časová korelace fluktuací..........................................................................139
22.3 OnsagerUf princip......................................................................................140
22.4 Symetrie kinetických koeficientu!..............................................................141
4
23. Vodivost elektronového plynu...........................................................................145
23.1 OnsagerliJ' princip......................................................................................145
23.2 Boltzmannova rovnice................................................................................147
23.2.1 Aproximace srálkového Henu a ppblilné peftení...................................147
23.2.2 Boltzmannova statistika.........................................................................148
23.2.3 Fermiho " Diracova statistika................................................................149
24. Bílý trpaslík........................................................................................................153
24.1 Elementární odhad Chandrasekharovy meze.............................................153
24.2 Stavová rovnice..........................................................................................154
24.3 Newtonova gravitace..................................................................................156
24.4 Statické sféricky symetrické pepení Einsteinových rovnic.........................158
25. Literatura............................................................................................................163
ZTasových dL&odLUnebylo motné vanovat pozornost nakterým dulelitým oblastem. Zmíním jen pfíklad fázových ppechodlilnebo chemických reakcí. Hlavní dlitfaz jsem se snalil klást na vzájemné propojení termodynamického popisu s popisem statistické fyziky. Bylo tffcba také brát ohled na minimální znalosti posluchaTniz kvantové mechaniky.
5
1. Úvodní kapitola
1.1   Mikrokanonické, kanonické, a velké kanonické rozdalení
V názvu vyjmenovaná statistická rozdalení odpovídají soustava izolované, soustava vymaKující si energii s okolím a soustava, které kroma výmany energie muie s okolím manit i Tástice. Nejvíce pozornosti budeme vanovat soustavám, popsaným kanonickým rozdalením. Mikrokanonické rozdalení pro izolovanou soustavu je jednoduché: pravdapodobnost nalezení stavu se zadanou energií (uvalujeme diskrétní energiové hladiny) je
1
p(E
Q E)
(1.1)
kde Q(Zi) je poTet stavili s danou energií. Kaldý stav s energií e je stejna pravdapodobný
s pravdapodobností danou (1.1), pravdapodobnost stavili s energií ruinou od e je nulová. Entropie soustavy je definována jako
s(e) = kB\nQ(e)   . (1.2) Entropie dvou neinteragujících soustav je souTtem jednotlivých entropií
n(e1,e2) = n1(e1)n2(e2)     s(e1,e2) = s1(e1)+s2(e2) . (i.3)
Jestlile si po spojení mohou soustavy vymaKovat energii (ale jejich spojení nezmaní významná rozlolení energiových hladin) a celková energie je etot = eljre2, dostáváme
"r«)=EííiWíí2(£«-£/)=
(1.4)
Eexp
W) | S2(Elc
Pro urTitou hodnotu et = e^ má exponenciální funkce ostré maximum, hodnotu e^ získáme z
= 0  . (1.5)
dSx(E) dS2{Elo-E)
dE
E=E,
Takto dostáváme nejjednoduppí formu druhé termodynamické vaty (ve forma Kentropie neklesá")
SiEj^S^+S^-E^S^+S^E,)  . (1.6) Muieme definovat teplotu jako
Podle (1.4) mUle docházet ke vpem molným pperozdalením energie. Jak ale ukáleme na ppíkladu, pouze rozdalení s rovnoválnou hodnotou E„ má významná od nuly ruinou pravdapodobnost.
1.2   Ppíklad spojení dvou soustav
Teplota soustavy A pped spojením je ta, teplota soustavy B tb. Pp spojení dojde
k výmana energie ôEA^B. Po Tet dosalitelných stavlllpped spojením je
ClAab=t(ea)t(eb)seaseb   , (1.8)
po výmana energie máme
Q!aQ!b=t{ea-ÔEa^b)t{eb+ÔEa^b)ôEaÔEb   . (1.9) Po zlogaritmování dostáváme
ln(QlQB) = ln(rA(£A-^^)^) + ln(rB(£B + ^^)^)-
ln(QAQB)
-[---k b \ tb    ta j
se.
(1.10)
Pomar poTtu dosalitelných stavlllpped a po výmana energie 5ea_^b je
Q' Q
exp
i   i Ve,
7 7
(1.11)
Pro rA=300K,rB=299,9Ka í5"^a^s =10 14J Tiní tento pomar 10351 , tedy pro ppchod této energie od chladnajpí kteplejpí soustava, tj. pro =-10~14 Jdostáváme zanedbatelná
malou hodnotu 10
1.3   Statistická suma pro soustavu s kanonickým rozdalením
Nachází-li se rovnoválná soustava v jednom z n molných stavuj je pravdapodobnost nalezení soustavy ve stavu s energií en
1
wn = — exp
kbt
(1.12)
kde kB je Boltzmannova konstanta, Tje termodynamická teplota a Zje statistická suma
Z = ^exp
kbt_
(1.13)
Je-li  \n)   stav  soustavy popsané hamiltoniánem   PP   daný  pepením stacionární Schrodingerovy rovnice
ä\n) = En\n) (1.14)
a $ kvantová " mechanický operátor naj aké fyzikálni veliTiny, spoTteme oTekávanou hodnotu této veliTiny jako
Z \n) L kbt
Statistická suma se objevuje ve výrazu pro pravdapodobnost z pfirozeného poladavku normování. Jak ale vzniká BoltzmannliS' výraz? Uvalujme o soustava S v rovnováze s velikým tepelným rezervoárem H o dané Kteplotéľ (uvozovky proto, Te jepta pojem teplota nemáme definován). Rovnováhou máme na mysli, Te soustava a rezervoár jsou vázány slabá, ale po velmi dlouhou dobu, Te vpechny Krychlé" procesy interakce uT probahly a pfípadné Kpomalé" jepta nenastaly. Energie tepelného rezervoáru Hm jsou mnohem vatpí neT energie
soustavy En pro vpechna m, n a vzhledem k Kvelikosti" rezervoáru jsou energie Hm
rozloTeny témap spojitá. SouTet energie soustavy a energie rezervoáru nebude ppesna znám (rezervoár není izolován od okolí), ale neurTitost A bude relatívna velmi malá.
UvaTujme dva rUíné stavy soustavy, které mají stejnou energii Er=Es. Libovolná malý
vliv mUle ppevést soustavu ze stavu r do stavu s, ale také naopak ze stavu s do stavu r. Ppedpokládáme velmi dlouhou dobu interakce soustavy a rezervoáru, takTe se vpechny tyto ppechody uskuteTnily. Musí potom být pravdapodobnost nalezení soustavy v rUíných stavech se stejnou energií stejná. OznaTme p(Hn} hustotu poTtu stavLU(poTet stavLUna jednotkový
interval energie) tepelného rezervoáru H v okolí energie Hn±A.
A14 celková energie soustavy a rezervoáru je E±A. Pravdapodobnost w(£'n), Te soustava S se nalézá ve stavu s energií En je úmarná poTtu zpLláobuj jak mne soustava tuto energií nabýt, tedy k yo(£'-£'n)-2A, tj. poTtu stavili rezervoáru, které vedou kuvaTované celkové energii. Máme tak
w
(En) _ p(E-En)
exp[ln p (E-En)- ln p(E)
(1.16)
w
(En,)~ p(E-Eii)
ProtoTe En«.E, muieme v Taylorova rozvoji ponechat jen první dva Tleny
lnp(E-En) = lnp(E) + fi(É)(E-En)   , fi(É)
d
\np(E)
(1.17)
dE
a máme
8
w w
w(En)ccexp[-/3En] .
(1.18)
Ppedpokládáme, Te = /? = konst. To je dUáledkem toho, Te tepelný rezervoár, který
urTuje pravdapodobnosti má témap spojité spektrum a ladnou charakteristickou energii nesmí tedy výsledky záviset na aditivní konstanta
f(sx) _ f{sx+s)
f(s2) f(e2+e)
Standardní zavedení termodynamické teploty T dostáváme ze vztahu
1
(1.19)
kBT
(1.20)
Uvalujme tebl dva soustavy Sa a Sb v tepelné rovnováze, s energiemi Ai a B.. Ukáleme, Te soustavy mají stejnou teplotu. Pro spojenou soustavu je pravdapodobnost stavu s energií
Ai+Bj
w
a + b
(ÁlR]_   e*p[-l(4+*;)]   _   exp[-M] exp^^"
J"Sexp[-^K+fi-)]"Sexp[-^A,,]Sexp[-M]
PoTítejme tebl pravdapodobnost toho, Te soustava Sa má energii Ai a pravdapodobnost toho, Te soustava Sb má energii 5.
exp[-M]   _ exp[~M]
WA+a(A): S«P[-M] I>xp[-/?Am]
exp[-/?£.
:T5>p[-m]
> = Wa(4)
A + S
e*p[~M]
r^exp[-^Am]
exp[-/?£.] = exp[-/?£.
E«p[-M.]~E«p[-M.]
(1.22)
		F~E„
n	= exp	n
_kBTj		_ kBT _
1.4   Termodynamické veliTiny
Výraz pro volnou energii F dostáváme ze zápisu Gibbsova rozdalení
1
wn = — exp
takTe z normovači podmínky
^wn= exp —-— V exp —— = exp —-— Z = 1
n
plyne po zlogaritmování
(1.23)
F	^ exp n	~-E~		F
kBT\		n kBT\	= exp	_kBT_
(1.24)
9
F = -kBT\nZ
Entropie je definována jako
S = -kfí "V w lnw .
n
Dosadíme-li do tohoto výrazu za wM. dostáváme
S = iLlnZ + ^-Y-^-exp 7     k t
kBT
To ale je totél, jako záporná vzatá derivace volné energie podle teploty, takle máme
dF
Vnitpií energie je
dT
U = — V E„ exp Z^ " ť
kBT_
S pomocí vztahu (1.25) dostáváme výraz (1.29) pro vnitpií energii jako
,dF
ôt{t
F-T-
dT
v d-
d_ F_
i Ir
Srovnání (1.28) a (1.30) dává
F=U-TS
Pro specifické teplo ppi konstantním objemu máme
dU
dT
_ d	í	rr^dF	\		rrd2F
	F	-T-			--T-t
„ ~ dT	v	dT	v J		dT2
v				v	
Výraz pro tlak je
dV
Tento výraz získáme derivováním (1.25)
dF dV
1.5   Hellmanll^ " FeynmanLi^ teorém
Tlak muieme definovat pomocí kvantová " mechanického operátoru jako
10
P =    w(n\-^-^-\n) .
Tato definice bude v souhlasu s ppedchozí, pokud platí
(1.35)
(n\-\n)
(1.36)
dVl ' dV
Dokáleme obecnajpí tvrzení. Hamiltonián nechLi závisí na najakém parametru . Ze Schrodingerovy rovnice máme soubor vlastních vektorllla vlastních hodnot
ä(a)\n,a) = En(a)\n,a)   . (1.37)
Vektory jsou normované, takle
En{a) = (n,a\řP(oc)\n,aS)   ,   {n,a\n,a) = 1   . (1.38) Derivováním tachto vztahLUdostáváme
da da
da
(1.39)
(«1-\n) + E -((n\n)) = (n\-\n)
X ]da] 1     ndaK^ 1 /;   N ldal 1
Tím jsme dokázali HellmanQf " FeynmanQf teorém
ÔEn (a)   ,     ,dŔ(a), x
—-^—L-{n,a\-^-\n,a) .
(1.40)
da da
Ve statistické fyzice nám tento teorém umoTKuje poTítat zobecnanou sílu sdrulenou s parametrem
E.
d$ 1     d E
f„=yw„ (n\--In) =--"V—-exp
Ja   r A 1   da] 1     zr da V
kBT_
(1.41)
1.6 Entropie
Vztah pro entropii (1.28)
ar
(1.42)
platí pro soustavu v termodynamické rovnováze. Vývoj nerovnoválné soustavy se daje vidy tak, Te entropie roste. OznaTme Vnm amplitudu pravdapodobnosti toho, Te za jednotku Tasu
ppejde soustava ze stavu n do stavu m. Muieme tedy psát
dt
.y\v \zw I
/ j    n m I      n      / j    m n I
H-'
(1.43)
11
Pro pravděpodobnosti ppechodlllplatí \Vnn
. Proto je
^ dt
PoTítejme teblzmanu entropie
dt      BZť     m dt     BZť dt BZť
dt
(1.44)
(1.45)
Dosazením z (1.43) dostáváme dt
kBY\v I (w -w)lnw = —Y\v I (w -w )(lnw -Inw )
vfí / >    nm\   \'ym        n J m        r*.   / >    n m    \    m        n}\        m n;
(1.46)
Protole logaritmus je monotónna rostoucí funkce, dostáváme známý výsledek pro Tasovou zmanu entropie
dS
dt
>0
(1.47)
Vnitpií energie U, volná energie F i entropie S soustavy slolené z více nezávislých podsoustav jsou veliTiny aditivní. StaTí ukázat to pro dva podsoustavy A a B. Pro vnitpií energii plyne aditivita z nezávislosti podsoustav
UA+B =UA +UB   . (1.48)
Pro volnou energii máme
FA+B=-kBT]nYJcW[-j3(E? + EB)
-kBT
ln£ exp[-/JE? ] + ln£ exp[-/? E]
(1.49)
F + F
Pro entropii pak
SA+B=-kBYJwtwB\n(wtwB) =
-kBTjwj Zw?lnw?Zw?Zwj lnwj =sA + sl
(1.50)
2. Hustota stavili
2.1   Základní pojmy
V uzavpené  dutina  (Terné  taleso)   existuje  nekoneTna  mnoho  módili kmitni elektromagnetického vlnaní, charakterizovaných frekvencí a polarizací. Kaldý mód se vpak
12
chová jako nezávislý kvantový lineární harmonický oscilátor. Einstein ppedjímal závary kvantové mechaniky, kdy! i kaldé hmotné Tástici ppipadil de Broglieho vlnu.
Elektromagnetické vln ani nebo de Broglieho vlny jsou uzavpeny v kvádru o hranách délky (ve tpech rozmarech) L\, l2, L3 (objem V=1^^!^). Obecný vlnový vektor muieme zapsat jako
£=^yI]cos^   , (2.1)
kde coscír, jsou smarové kosiny vektoru k , ^.cos2or( = 1. Pokud ppedpokládáme periodické okrajové podmínky, musí být délky hran L, celoTíselnými násobky prUmatLU Xl. = A/cosai vlnové délky do ppíslupného smaru et
Ä
Li = nt Xi = nt- ,   n;GZ   , (2.2)
cosor,
nebo zapsáno pomocí slolek vlnového vektoru
jfe.=—cos«.= —= 2^  . (2.3)
(Pokud bychom uvalovali podmínky takové, Te vlna musí mít uzly na stanách, platilo by místo (2.3) k; = nnx /Lt, nx gN . Ppi integraci ppes úhlové promanné bychom ale museli
integrovat jen l/2d Tást prostorového úhlu " ve tpech rozmarech tedy jeden oktant. Výsledek by byl pochopitelná stejný.) Zopakujme jepta jednou tuto úvahu. Pp periodických okrajových podmínkách máme
2n
y/(x) = Aexp[ikx\   ,   y/(Q) = y/(Ĺ)   =>   k = n-       , (2.4)
Ĺ
pptom n jsou jak kladná, tak záporná celá Tísla, protole Aexp[z/cx] a Aexp[-z/cx] odpovídají dvama různým stav mm. Ppi pepení v nekoneTna vysoké potenciálové krabici máme
y/(x) = Asin(/cx) + Bcos(kx)   ,   y/(ti) = y/(Ĺ) = Q  =>   B = 0   ,   k = n—   , (2.5)
Ĺ
pptom n jsou kladná celá Tísla, protole Asin(/cx) a Asin(-/cx) odpovídají stejnému stavu. Hrana kvádru pppadajícího najeden stav v prostoru vlnových vektorLUje tedy
A*, =27t^-27t^ = ^ (2.6)
13
a objem kvádru v d - rozmarech je (pro urTitou hodnotu vlnového vektoru muieme mít g nezávislých stavLU u elektromagnetického zápení nebo elektronlll g = 2 " dva polarizaTní stavy nebo dva spinové stavy)
Adk
(2.7)
na jeden stav g ^/
PoTet stavLUv elementu dd k dostaneme pak podalením tohoto elementu výrazem (2.7), tj.
dn = ^—-ddk   . (2.8)
PpEjdeme k hypersférickým soupadnicím, kdy
ádk = kd-xákád-xQ.í   . (2.9)
Budeme dále ppedpokládat izotropní závislost energie na hybnosti (vlnovém vektoru), tj. E[k^ = E{k). Potom muieme (2.8) integrovat ppes úhlové promanné a dostaneme výraz pro hustotu stavu v závislosti na energii
dn = pd(E)dE   ,   Pd(E) = g—ISd_ll :Jl . (2.10)
2tt)
dky '
V tomto vztahu je Sd_x povrch d — l rozmarné koule jednotkového polomaru (odvození na konci kapitoly)
27td'2
Pro ppípad zápení Terného talesa se výsledek výrazná zjednodupí. Ppedevpím S2=4tt a g = 2 . Dále E = hco = hck , takle
V E2
dn = ---TdE   . (2.12)
x1 {hcf
V zápisu pomocí frekvence ^hebo vlnové délky = pak máme
dn = SxV^jdv   ,   dn = SxV^-  . (2.13) c A
Pro neinteragující volné nerelativistické Tástice hmotnosti m v nekoneTha vysoké potenciálové jáma je závislost hustoty stavLUna energii pro rU2né dimenze velmi zajímavá. Platí E = p2/(2m) = h2 k2/(2m) . OznaTíme pro d = l délku úseTky L, velikost plochy pro d = 2 A a pro d = 3 objem V. Jednoduchým výpoTtem dostáváme
14
d Pd (E)
(2mL)y2 1
1     1-"--/=
2nh y/E
InmA
(2.14)
(2 x ti)
Objem J " rozmarné koule polomaru r bude Vd = Cd rd , kde Cd je konstanta úmarnosti. Kouli si muieme ppedstavit slolenou z elementárních slupek áVd =Sd ár, kde 5^ je plocha slupky. Spojením obou vztahLUdostáváme
áV.
(2.15)
ár
SpoTteme integrál z funkce exp(-r2) ppes celý prostor nejprve v kartézských a potom sférických souf&dnicích, tedy
CO CO
jexp(-r2)áVd = \ ... \ exp(-x2 ...-x2)áx, ...áxd
-CO -CO
cu
| exp(-x2)dx
^■d/2 (2.16)
Jexpf-r^dV, =j'exp(-r2)Sddr:
6řcJexp(-r2)/-1dr:
<iC',
1
exp(-í)^21dr = -JCdr
d
(2.17)
Porovnáním (2.16) a (2.17) dostáváme s vyulitím vztahu r(x+l) = xr(x)  výraz pro
konstantu C,
C
d/2
1 ríf i
(2.18)
a tedy vyjádpení objemu a povrchu d " rozmarné koule
xdl2 d
rí|+i
Ä d-\
r
n |+i
(2.19)
Výraz pro konstantu Cd muieme upravit na
15
,d+\ Jd-\)/2
d + l ,(
d liché
(d+ 1)1
äl2 ■ (2-20)
7Tdl2
d sudé
2.2 Ppíklad: harmonický oscilátor
Hamiltonián jednorozmerného harmonického oscilátoru je
H=P^+mvW_ (221) 2m 2
Stavy s energií E se nacházejí na elipse s osami v soupadnici q a ^2mE v
hybnosti p. Mikrokanonický soubor s energií E je zobrazen jako mnolina bodlllna této elipse. PoTet stavLUZ(.E') s energiemi E' <E je úmarný plope elipsy. Pípeme tedy
1     í 2E   i- E
Y, = —7i\--J2mE = 2n- , (2.22)
Z0   \mco í»Z0
kde Z0 je plocha elementární buKky ve fázovém prostom. Klasická fyzika nám neposkytuje
takovou hodnotu, protole (alespoK v principu) je molné urTit okamlité hodnoty soupadnice a hybnosti s libovolnou ppesností, takle by se zdálo, Te musíme poTítat s limitní hodnotou Z0^0.  V takovém  ppípada by  se  entropie  stávala  nekoneTna  velikou,  v souladu
s nekoneTným poTtem molností pro daný soubor. Kvantování energie ale vede k existenci minimálního objemu fázového prostom kolem daného stavu s urTitou energií. Pokud máme pouze jediný stav s nejniipí kvantovanou hodnotou energie, dostaneme
E = hco]
z=1      ^>   S0=2^Ä   . (2.23) Velikost elementární buKky je tedy ppesna rovna Planckova konstanta h.
2.3 Ppíklad: Tástice v jáma
Krychle   objemu   V = L3aLi obsahuje        neinteragujících   Tástic   hmotnosti m. JednoTásticové vlnové funkce jsou
y/(x,y,z)ccsm(kxx)sm(ky y}ún(kzz)   , (2.24) kde poladavek vymizení y/ na stanách krychle vede ke kvantové podmínce
16
ki=~L~   '   i = x,y,z (2.25)
Ĺ
kde nt jsou celá Tísla. Vzdálenost mezi sousedními vlnovými Tísly je x/L, takle kaldý
kvantový stav zaujímá v k    prostoru objem (;r/L)3. Ppedpokládáme-li nerelativistické
Tástice, jednoTásticové energie jsou
P2    h2 k2     2 n2 h2
síí=J— =-= n s   ,   s=-- (2.26)
2m    2m 2mL
kde n2= n2x+n2+n2 . Stavy dosalitelné Tásticí v krychli jsou representovány body tpírozmarné
mpílky v prostoru{kx ,ky ,kz j. Vpechny rozdílné stavy jsou representovány body v oktantu, ve
kterém vpechna «r >0; záporná celá Tísla pouze maní znaménko vlnové funkce. Celkový poTet stavili v kulové slupce s polomarem mezi kaná k + dk ije potom objemem jednoho oktantu kulové slupky daleným objemem elementární buKky, takle
8 (nit)'    2tr2 (2„tt)'
I kdy! odvození bylo provedeno pro krychlovou jámu, ppi dostateTna velkém objemu V výsledek na tvaru oblasti nezávisí. Je proto molné zapsat výsledek pro poTet stavili drv obecnajpím tvaru
dT = --1  . (2.28)
Opat tedy dostáváme pro objem ô elementární buKky ve fázovém prostoru jako Planckovu konstantu h = 2nŤi. Tento výsledek je zpejma dán Heisenbergovou relací neurTitosti.
3. Lineární harmonický oscilátor
3.1 Kvantování
Hamiltonián lineárního harmonického oscilátoru je
1    7 ma>2
2m 2
Hamiltonovy rovnice jsou
dxdH p dp_ dH dt    d p    m   '   dt ôx
2      můj      2 /o 1\
H=-p H--x    . (3.1)
ma x  . (3.2)
17
Zavedeme bezrozmarnou promannou
1 má 1
V 2h J
X + l
2mha>
(3.3)
Pro tuto promannou dostáváme snadno pepitelnou rovnici
da r  • i
— + icoa = 0   =>   a = aexp[-iú)t\ ,
(3.4)
kde je libovolná komplexní konstanta. Vyjádpíme-li soupadnici a hybnost pomocí a a a , dostáváme
f
x ■
Ä   V /      ,\ \(mha>\/21 ,\
- [a + a     ,   p=-\- [a-a
2mco    V        ' i{   2   J   V '
(3.5)
Po dosazení do (3.1) dostáváme
H = —(ad + a* ajha>
(3.6)
Zámarna dbáme na popidí souTinitelLU protole tak mLLTeme hned napsat kvantová mechanický vztah " komplexná sdrulená veliTina odpovídá hermiteovsky sdrulenému operátoru. Muieme tedy vztahy (3.5) a (3.6) ppepsat na
j5=
\V2
2ma>
lf mha
1/2
(3.7)
Š = ^(SS + $r&)ha) . (3.8)
Operátory S a <S+jsou hermiteovsky sdrulené, operátory fyzikálních veliTin j6, jS a i^jsou hermiteovské. Z komutaTní relace pro operátory i) a jS
= i h$ (3-9) dostaneme po dosazení z (3.7) komutaTní relaci pro operátory S a <S+
= £ . (3.10)
Dosazením za &£t ze (3.10) do (3.8) dostáváme pro HamiltonLLf operátor lineárního harmonického oscilátoru výraz
Š = \ $ + ^§\tttD   ,   $ = &+& . (3.11)
18
Operátor $ má jako vlastní hodnoty nezáporná celá Tisla. Důkaz není obtílný. Vezmame najaký normovaný vlastní vektor \n} s vlastní hodnotou n. Máme tedy
fi\n) = n\n)   =>   n = (n\$\n) = ((/í|<S+)(a|/í)) = \(a\n)) Dále z komutaTních relací
>0
(3.12)
\n)
#(&+\nj) = (n + l)(&+\n))
(3.13)
-S Ň>(Sin)) = (n-l)(S^n)) .
Je tedy <$\n) vlastním vektorem operátoru 1$ s vlastní hodnotou n + 1 a vlastním vektorem operátoru $ s vlastní hodnotou n-1, tedy
S+\n) = Áh\n + l)   ,   $n) = fin\n-l)   . (3.14) Konstanty An a jun získáme z
(<ä+|/z))ľ =((«| £)(&\n)) = (n\M\n) = (n\$+f\n} = n + 1 ,
(3.15)
|^|2=|(^„))| =((n\&+)($[n)) = (n\&+$[n) = (n\$\n) = n . Konstanty zvolíme jako reálná Tisla a dostáváme tak koneTné vyjádpení pUäobení kreaTního ( <£+ ) a anihilaTního (S) operátoru na vlastní vektory operátoru 1$
S+\n) = (n + íf/2\n + l)   ,   ^ n) = rŕ'2 \ n - ľ) .
Ppirozena
$\n) = &+B[n) = &+(B[n)) = rŕl2&+\n-\) = n\n) . Pro HamiltonliS' operátor lineárního harmonického oscilátoru máme pak
(3.16)
(3.17)
n) = En\n)   .   En=^n+^jh0 .
Vektor popisující základní stav s n = 0 splKuje
<§|0) = 0 .
Zapípeme-li tento vztah s operátory v soupadnicové representaci, dostáváme rovnici
dx h
(3.18)
(3.19)
(3.20)
jejíl normované pepení je
19
h0(x)
í V/4 ' mco 1
exp
mco 2
--x
2h
Funkce, odpovídající vyppím energiovým hladinám dostaneme podle (3.16) jako
í    v/2 f
' mco '
x
mco dx
3.2 Statistika
Pro energiové hladiny jsme odvodili vztah (3.18)
1
77 + — \hů) .
Statistická šumaje tedy
kBT_
■ exp
hco 2k~Ť_
^ exp
n = 0
hco
exp
hco ~2k~Ť
Pro volnou energii máme
hco
f
F = -kRT\nZ = — +kfí Tin b 2
1 - exp
v
1 - exp
hco
hco
kBT
a pro vnitpní energii
^ n=0
Zavedeme-li obsazovací Tíslo
kBT
d (F\ hco
T
hco
	hco	-1
exp		
	kBT\	
(„>:
1		
	hco	-1
exp		
	kBT\	
dostáváme pro vnitpií energii obvyklý zápis
Pro vysoké i nízké teploty dostáváme oTekávané limitní pfípady
•   U*kBT ,
hco «. kBT
hco~^> kBT
U
hco
20
4. Zápení Terného talesa
4.1   Vlastní kmity pole (módy)
V uzavpené   dutina   (Terné   taleso)   existuje   nekoneTna   mnoho   módili kmitni elektromagnetického vlnaní, charakterizovaných frekvencí a polarizací. Kaldý mód se vpak chová jako nezávislý kvantový lineární harmonický oscilátor.
Zápení je uzavpeno v kvádru o hranách délky A, B, C (objem V = ABC). Kalibraci
zvolíme coulombovskou, tj. ve vakuu 0 = 0, V- A=0 . Potenciál (reálná funkce) rozkolíme do Fourierových slolek
Ä = ^Äroxp(ik-r)   ,   k-Ar=0   , Ař=A*
(4.1)
pptom
2nnx,
k - lnriy
2nn,
A B C
kde nx,ny,nz jsou celá Tísla. Fourierovy slolky vyhovují rovnici
d2 A,      , -d ŕ k
(4.2)
(4.3)
Jsou-li rozmary A, B, C zvoleného objemu dostateTha velké, jsou sousední hodnoty kx ,ky,kz velmi blízké a muieme uvalovat o poTtu molných stavlllv intervalu hodnot vlnového vektoru
(4.4)
A
2n
B
Any=WZAky in
C
An =-Ak
1   In 1
celková pak
Ak Ak Ak An = AnAnAn =V- y
(2nf
Pro pole dostaneme s potenciálem (4.1)
ÔÄ
B = VxÄ = i^kxÄrQxp(ikr^
Celková energie pole je
2
s0É2 +— B2
V d A, d AT     1 / -  - \ / - \
dV=— Y sfí-k---k- + —(kxAr)-(kxA:)
2Y  0 dt   dt k> 1 k>
(4.5)
(4.6)
(4.7)
Jednoduchou úpravou (vyulití kalibraTní podmínky) ppepípeme výraz (4.7) na
21
-k---k- + a)2kAí-Aí
Kdt   dt      k  k k
(4.8)
Rozklad potenciálu (4.1) obsahuje jak stojaté, tak postupné vlny. Vhodnajpí pro interpretaci je rozklad potenciálu, který obsahuje jen postupné vlny
Ä = J ařexp(i(£-ř-ť9t f)) + fl!exp(-i(£-ř-ť9t ř))] .
Porovnáním (4.9) a (4.1) dostáváme
Ař = al exp (- / ct)k i) + a*j exp (/ fí^ ř) . Dosazení (4.10) do (4.8) umoTKuje tebl napsat energii pole jako
(4.9)
(4.10)
Obdobná dostaneme pro impuls
&i=2VeQa)2kaťai
(4.11)
í"0 k   K L
(4.12)
Nakonec zavedeme kanonické promanné
Qk =        {äk exP ("1 ah 0 + äl exP 0 0* 0) '
Př = - i cok j^V (ař exp ( -1 ot f) - a! exp ( / ^ ř)) = —J
(4.13)
V tachto promanných máme energii vyjádpenu jako energii souboru nezávislých harmonických oscilátoru!
(4.14)
4.2   PlanckLl^ vyzapovací zákon
Nahradíme seTítání ppes molné módy integrací (faktor 2 odpovídá dvama rUíným polarizaTním stav Um)
2 Z
-> 2V
—í—y-—- = 2V
Ank dk
(4.15)
Pro volnou energii máme tak (nekoneTnou energii nulových kmitLUneuvalujeme)
7t
ln
1-exp
hek
k2dk
(4.16)
Po substituci
22
he ,
x =-k
kBT
dostáváme
1 (k 00
F= — \ B  { V ľln(l-exp[-xl)x2 dx
Po integraci per partes
3^ (he) Pozdaji uvidíme, Te hodnota integrálu je
CO
exp [-x]
1  (kBT) v f exp[-x] l-exp[-x]
x dx
x dx = — l-exp[-xj 15
takle koneTné vyjádpení volné energie zápení Terného talesa je
n1 (kB T)4        4 4
F =--v B  ' V =--aT4V
45 (hcf 3c
kde g je Stefanova " Boltzmannova konstanta
2   lA   fu y
7ŕ k
60 h' c2
Entropie je
a vnitpií energie
Khcj
5,670400(40)-10~8Wnr
dF dT
3c
U = F + T S = — <jT4V .
Specifické teplo je
KoneTna pro tlak dostáváme
a
dU
dT
ÔF ~dV
3c
takle
23
pv = * .
3
(4.27)
PoTet módlllleTících v intervalu vlnového vektoru (k,k + dlí) "vztah (4.15) ~ ppepoTteme na interval frekvencí (v, v + dv)
2n   Ittv k2 dk   %7rv2 dv
A      c n2 c'
Podle (3.26) je stpední energie oscilátoru s frekvencí v
hv		
	hv	-1
exp		
	kBT\	
(4.28)
(4.29)
takle energie zápení jednotkového objemu v intervalu mezi v a v + dv je
%7rv2 hvdv
U„ dv:
exp
hv
(4.30)
■1
Integrací (4.30) ppes celé spektrum dostáváme ppirozena (4.24) podalené objemem V. Výraz (4.30) nazýváme podle objevitele Planckovým vyzapovacím zákonem. Pro ppípad nízkých frekvencí a vysokých teplot hv<zkB T dostáváme z Planckova zákona RayleighQf " JeansQf zákon
U„ dv
%nv2
kRT dv ,
(4.31)
pro opaTnou situaci, kdy hv^>kBT WienQf zákon
Uvdv =--— exp
c
hv
dv .
(4.32)
5. Termodynamické zákony
V termodynamice je vhodné uvalovat o soustavách izolovaných (ladná výmana s okolím), uzavpených (uzávarnou stanou muie docházet k výmana tepla s okolím ) a otevpěných (uzávarnou stanou muie docházet jak k výmana tepla, tak hmotných Tástic s okolím). Termodynamické zákony se týkají soustav uzavpených, nakdy v rozpípení i soustav otev pěných.
24
5.1 Nultá vata
Dva soustavy, které jsou kaldá v termodynamické rovnováze se soustavou tpetí, jsou také ve vzájemné termodynamické rovnováze.
5.2 První vata
Energie se zachovává. Mnolství energie ulolené v soustava (její vnitpií energie) se mUle zvatpit o teplo dodané soustava nebo zmenpit o práci, kterou soustava vykoná na okolí. Experimentálna je ovapeno, Te pro libovolný uzavpený cyklus platí
<j)(ye-yw)=o . (5.1)
Odsud pak plyne existence stavové funkce " vnitpií energie
dU=vq-yw . (5.2) Ve statistické fyzice jsme definovali zobecnanou sílu sdrulenou s parametrem jako (1.41), takle s ní spojenou práci zapípeme jako
y\V = fada   . (5.3)
Nakolik ppíkladnipodává tento zápis
y\V = PdV-crdA-ÉdP-HdM -0de- /udN . (5.4) Ve (5.4) vystupují jako zobecnané síly P " tlak, " povrchové napatí, E " intenzita elektrického pole, H " intenzita magnetického pole, (j> " elektrostatický potenciál a = " chemický potenciál. Jako sdrulené parametry pak V " objem, A " plocha povrchu, P " polarizace, M " magnetizace, e " elektrický náboj aW" poTetTástic.
5.3 Druhá vata
Teplo proudí samovolná od míst s vyppí teplotou k místům s niípí teplotou. Tato ponakud zjednodupená formulace má nakolik ppesnajpích verzí:
(1) Není molné sestrojit stroj, který by ppi cyklickém provozu nemal jiný úTinek nel vykonávání práce na úkor odvodu tepla z rezervoáru (Kelvin).
(2) Není molné sestrojit stroj, který by ppi cyklickém provozu nemal jiný úTinek nel ppEvod tepla od chladnajpího k teplej pímu talesu (Clausius).
(3) Zmana entropie soustavy a jejího okolí (nebo zmana entropie isolované soustavy) je vidy nezáporná a nulové hodnoty dosahuje jen pro vratné daje.
Nebudeme zde opakovat termodynamické úvahy o Carnotova cyklu, zmíníme jen dUáledek
(5.5)
rev
odkud plyne pro vratné daje
25
dS
(5.6)
Pro nevratné daje je
2 2
j>^=-<j>dS = 0  =>  j^-<jdS = AS ,
tedy obecná pro zmanu entropie pp ppechodu z jednoho do druhého stavu
AS>0 .
(5.7)
(5.8)
AQ12
uliabata
adiabata
5.4   Tpetí vata
Rozdíl v entropii mezi stavy spojenými vratným dajem jde k nule v limita T —» OK. Jiná formulace: Je nemolné dosáhnout absolutní nuly koneTným poTtem kroklllvratného daje. Duáledkem tpetí vaty je také to, Te nakteré derivace entropie se limitná blili nule pro T —» OK
Ve statistické fyzice je entropie definována vztahem (1.26), který znovu napípeme:
n
Je-li nejniípí hladina systému (energie základního stavu) E0, napípeme pravdapodobnost obsazení k " tého stavu jako
exp
kBT
ZexP
kBT
(5.10)
Pro T —» OK dostáváme
26
w,
(r=OK)
O Ek>E0
(5.11)
kde g je degenerace základního stavu. Dosazení (5.11) do (5.9) dává
S(T=0K) = kB\ng .
(5.12)
6. Gibbsovo rozdalení 6.1 Entropie
Rozdalme soustavu na podsoustavy a uvalujme jednu z nich. Pravdapodobnost výskytu energie En oznaTme wn = w(E^). Ppedpokládáme-li kvazikontinuální spektrum, muieme uvalovat spojitou promannou energie E a tedy hustotu pravdapodobnosti jejího výskytu w(£'). OznaTme dále r(Zi) poTet kvantových stavili s energií menpí nel E. Potom poTet
stavLLls energií v intervalu     ,E+dĚ) je
dT(É)
-dE dE
(6.1)
Pravdapodobnost nalezení podsoustavy s energií v intervalu (E, E + d E) pak je
W(E)dE =-±-!-w{E)dE  . (6.2)
d E
Normovači podmínka je
\w(E)dE = \   . (6.3)
Funkce W (Ě) je jen na velmi malém intervalu v okolí E = E významná odlipná od nuly, muieme proto zavést energiovou pípku AE rozdalení vztahem
W(E)AE = 1   . (6.4)
S uválením (6.2) pak
w(f)Ar = l   , (6.5) kde Ar je statistická váha makroskopického stavu námi uvalované podsoustavy
dT(E)
Ar
dE
AE  . (6.6)
27
Entropie je definována jako logaritmus statistické váhy (tj. poTtu mikrostavLUv makrostavu zadaném hodnotami E a AE) násobený Boltzmannovou konstantou
S = kB lnAr   . (6.7)
Podle (6.5) mLHeme psát
S = -kB\nw(E)   . (6.8) Vrátíme se tebl k diskrétnímu znaTení. Máme
lnw(En) = a + j0En (6.9)
Proveblme stpedování
YJwn\nwn=YJw(En)\nw(En) = aYJw(En) +/3YJw(En)En =
= E
(6.10)
a + J3E = lnw(#)
Dosazením ze (6.10) do (6.8) dostáváme definici entropie vztahem (1.15)
S = -kfí Y w„ ln w .
(6.11)
6.2   Souvislost klasického a kvantového popisu
Pp klasickém popisu máme místo vztahu (6.5), který definuje statistickou váhu makrostavu, výraz
p(Ě)ApÁq = l   , (6.12)
který pro rozdalovací funkci p(E) definuje objem fázového prostoru ApAq zapínaný
makrostavem. Pro jednorozmarný ppřpad Tástice v potenciálové jáma zjistíme poTet mikrostavlllz Bohrovy podmínky kvantování
—-—(£ pr dx = n + y   , (6.13)
n je celé Tislo a y zlomek v intervalu [0,1/2]. Integrál je plocha uzavpená klasickou
trajektorií ve fázovém prostoru a n je poTet kvantových stavili s energiemi, neppevypujícími energii dané fázové trajektorie " tedy hledaný poTet mikrostavlll Plochu zapípeme jako Apx Ax, pro soustavu, která má s stupKLUvolnosti a kdy znaTíme objem fázového prostoru jako ApAq dostáváme statistickou váhu makrostavu a entropii
ArÄ   ,   S = kBln^L   . (6.14) {2nti)s {2nti)s
28
6.3   Gibbsovo rozdalení
Uvalujme o soustava S s energií E v rovnováze s reservoárem S1 s energií E1 jako
jednom celku se zadanou energií E^ . Potom pro na platí mikrokanonické rozdalení
dw = komtó(E + E' -E^dTdT'   . (6.15)
Zajímá nás pravdapodobnost toho, Te celek se nachází v takovém stavu, Te soustava S je v urTitém kvantovém stavu (mikrostav) s energií  En, ale reservoár je v makrostavu se
statistickou váhou Ar', která odpovídá neurTitosti energie AE'. Bude tak
dT = ô(E-En)dE   , dT Dostáváme
d É
AE
7exp
dÉ   . (6.16)
w = konst
1
AE
7exp
— S'(e') ô{E-En)ô[E + É-E^dEdE1
-
konst |--exp
[AE'
(6.17)
É=E{0)-E„
Vzhledem k velkému nepomaru energií E^ a En muieme v Taylorova rozvoji entropie ponechat jen nejniípí Tleny
Protole
dS'(E')
d E'
Ei=E(°)
T
(6.18)
EI=E(0)
(6.19)
dostáváme pro pravdapodobnost wn
1
wn = — exp
kBT
,   Z = ^]exp
kBT
(6.20)
kde konstanta je urTena z podmínky, aby souTet pravdapodobností byl roven jedné. Tento výsledek poprvé odvodil J.W.Gibbs (1901). Rozdalení (6.20) se nazývá Gibbsovo nebo také kanonické.
V kvantové teorii jsou pravdapodobností   wn  vlastními hodnotami ppřslupnými vlastním vektorům |n) statistického operátoru \§ (Tastaji nazývaného matice hustoty)
29
ä=Xlw)w»(wl •
n
Stp&dní hodnotu operátoru Ň poTítámejako
(6.21)
(6.22)
V klasické statistice s rozdalovací funkcí
r'
exp
E(p,q) kBT
E(p,q) kBT
dY
dY
dpdq
(6.23)
je stpední hodnota fyzikální veliTiny F dána vztahem
{F) = j'p(p,q)F(p,q)dY   . (6.24)
Cárka u znaTky statistického integrálu vyznaTuje, Te musíme integrovat jen po té oblasti fázového prostom, která popisuje fyzikálna odlipné stavy. V pp-pada statistické sumy tento problém nemohl nastat, seTítalo se práva jen ppes rLlzné stavy. Pp výpoTtu statistického integrálu je molné rozpípt oblast integrace na celý fázový prostor zavedením najakého opravného faktoru. Napp'klad pro soustavu tvopmou N stejnými atomy mLLTeme integrovat pps celý fázový prostor, podalíme-li integrál poTtem molných permutací, tj.
j'...dT = ±j...dT   . (6.25)
6.4   Maxwellovo rozdalení
Pokud je molno pro klasickou soustavu vzájemná neinteragujících Tástic zapsat energii jako souTet kinetické energie, která je funkcí pouze hybností a potenciální energie, která je funkcí pouze soupidnic
E(p,q) = T(p) + U(q)   , (6.26) mLLTeme nezávisle sledovat rozdalení v obou veliTinách
dwp
1
:exp
kBT _
d3p
exp
kBT
d3p
(6.27)
, 1
dw~ = — exp
U(q) kBT
d3q
exp
U(q) kBT
d3q
(6.28)
Maxwellovo rozdalení popisuje rozdalení rychlostí v nerelativistickém pppada, kdy je molno kinetickou energii zapsat jako
30
-m(v2+v2+v2) = -2m   2   V *    y    yJ 2
mv
Pp výpoTtu normovači konstanty docházíme k integrálům (ppedpokládámeor>0)
h = ]x" e*p[-ax2]dx = —^r(n+1
2a
Pro rozdalení kartézských slolek rychlostí dostáváme tak
dw~
í V/2 m
K2nkBT j
exp
2kBT
dvx dvy dvz
pro rozdalení velikosti rychlostí
dw., = \n
í Y/2
K2nkBT j
exp
mv '2k~ť
v dv .
6.5   Rozdalení pro lineární harmonický oscilátor
Energie lineárního harmonického oscilátoru je
2 2 2
/     x    p     mat q
E{p,q)= — + —- .
2m 2
V klasickém pfípada dostaneme tedy pro hybnost Maxwellovo rozdalení
dwp=p(p)dp   ,   p(p) = a pro soupadnici obdobný tvar
dwq=p(q)dq   ,   p(q) = ú)
1
(2nmkB T)
exp
'     m 1
K2nkBT j
exp
2mkBT
2 2
ma> q ~2k~F
V kvantovém pfípada musíme poTítat se statistickým operátorem
f
1 - exp
ha)
'*~7
exp
« = 0
#0
(H
(6.29)
(6.30)
(6.31)
(6.32)
(6.33)
(6.34)
(6.35)
(6.36)
v soupadnicové nebo impulsové reprezentaci. SpoTteme-li v soupidnicové representaci dwq, dostaneme vzhledem k symetrii hamiltoniánu rozdalení d wp zamanou q—> p j (ma)) . Máme tedy
p(q) = {q\ä\q)--
f
1 - exp
f
1 - exp
ha) ha)
2($|/z)exp
ha)
n = 0
hú)
(n\q)-
2 exp
n = 0
kBT_
(6.37)
K (9) K (9) ■
31
Vlnové funkce harmonického oscilátoru jsou reálné, v (6.37) muieme sumu psát jako
ha
n=0
kBT
hl{q)
(6.38)
Pro výpoTet (6.38) existují rUíné metody, zde vyulijeme vyjádpení operátorLUsoupadnice a hybnosti pomocí kreaTního a anihilaTního operátoru. V soupadnicové representaci máme
f h v2
dhn{<l)
dq
f V/2 1 ma 1
K2h j
{n^hn_x{q)-{n + lf K+l(q))
Nyní spoTteme výraz
r h Tdf
ZexP
dq
ha
kBT
n K-M)hn{q)-Htxv
ha
(n + lfhn+l(q)hn(q)
(6.39)
(6.40)
Zámana sTítacího indexu v prvním Tlenu «—»« + 1 vede k
r h Tdf
2ma J dq
exp
ha
-1 f>xp
n =0
ha
(n + lf hn+1(q)hn(q)   . (6.41)
Obdobná spoTteme
2ma h
1/2
'/H exp
ha
-4žexp
ha
Xť
{n + \fhn+1(q)hn(q)   . (6.42)
Porovnání stejných sum v (6.41) a (6.42) dává rovnici
d f 2ma
dq h
•tanh
f ha ^
y 2 kB T j
qf = 0 .
(6.43)
nepsním rovnice (6.43) je
/ = konst • exp
ma ~h~
tanh
ha y2kBT j
(6.44)
Konstantu volíme tak, aby výsledné rozdalení bylo normováno na jedniTku. Dostáváme tak
ma
dw„ =<-tanh
q nh
f ha ^
y2kBT j
exp
ma
tanh
ha \2kB T j
dq .
(6.45)
Pro rozdalení hybností máme pak
32
dw„
1
nmhco
•tanh
' ho ^
y2kBT j
exp
mho
■tanh
hco \2kB T j
dp
(6.46)
V limitním ppípada nízkých frekvencí a vysokých teplot
hco <zkBT=> tanh
hco
hco
2kBT
dostáváme klasický výraz (6.35)
dwn =co
H
f V/2 '     m 1
K2nkBT j
exp
2 2
mco q ' 2kBT
dq
V opaTném ppípada vysokých frekvencí a nízkých teplot
hco ~^>kBT' => tanh
hco
->1
(6.47)
(6.48)
(6.49)
dostáváme rozlolení, dané kvadrátem vlnové funkce kvantová mechanického základního stavu
dw„
' mco 1
y7ih j
exp
dq = hl (q)dq
(6.50)
7. Termodynamický potenciál
7.1   Gibbsovo rozdalení s promanným poltem Tástic
Uvalujme o soustava S s energií E a N Tásticemi v rovnováze s reservoárem S1 s energií
É a poTtem Tástic jako jednom celku se zadanou energií E^ a poTtem Tástic N(0>>' Potom pro na platí mikrokanonické rozdalení
dw = konstó(E + E' -E^dTdT'   . (7.1)
Zajímá nás pravdapodobnost toho, Te celek se nachází v takovém stavu, Te soustava S je v urTitém kvantovém stavu (mikrostav) s energií EnN, ale reservoár je v makrostavu se
statistickou váhou Ar', která odpovídá neurTitosti energie AE'. Bude tak
dY = ô{E-EnN)dE ,
dY'ÍE',n(0)-n) i
dT' =-i-;-LdE'
dE' AE
7exp
—s'(e',ív(0)-ív)
(7.2)
dE'
Dostáváme (neurTitost energie AE' tebl zahrneme do konstanty)
33
wnN =konst
exp
— S'(e',N{0)-N) ô(E-EnN)ô(E + E>-E{0))dEdE<
konst exp
±S<(E{0)-EnN,N{0)-N
(7.3)
Vzhledem k velkému nepomaru energií E^ a EnN a poTtu Tástic A^0' a N mLLTeme v Taylorova rozvoji entropie ponechat jen nejniípí Tleny
s'(e?»-ehn,n<0)-n) =
dS'(E',N')
S' í E{0), N{0) J--^-'-
d E'
jv'=jv<°>
dN'
N
(7.4)
é=é0) jv'=jv<°>
Protole
ia dE PdV judN dS=-+ ■
T T
(7.5)
dostáváme pro pravdapodobnost wn}
WnN = eXP
n+yN-Ení
kBT
(7.6)
kde jsme zavedli termodynamický potenciál | tak, aby souTet pravdapodobností byl roven jedné
ZZ*U=1   =>   n = -kBTln^
N n
exp
fiN
kBT
Z exP
kBT
(7.7)
7.2   Neinteragující kvantový plyn
Termodynamický potenciál je
Q
exp
kBT_
^ exp
kBT
Pro neinteragující plyn mLLTeme seTítat jednoTásticové hodnoty, tedy
Er = r\ sx + n2 s2 H—   , N^r^+r^A—
Stav je urTen souborem
{^,«2,...} .
Je tak
exp
Q
kBT_
Z exP
nlsl+n2s2-\-----Ju(nl+n2-\—)
(7.8)
(7.9)
(7.10)
(7.11)
Pro bosony
34
exp
Q
~kBT
ZexP
"l(gl-^)
kBT
ZexP
ft2(g2-//)
(7.12)
1-exp
kBT
1-exp
fa "i")
a pro fermiony
exp
Q
kBT
1	«,(£,-/í)		1
ZexP		ZexP «2=0	
1 + exp	fa - i")		y 1+É A
n2(s2-/u) kBT
fa-^
(7.13)
Pro chemický potenciál bosonLUje vidy //<0, musí totil konvergovat i padá s nejniípí energií
sx =0. Chemický potenciál fermionUlmUle mít oba znaménka, chemický potenciál klasických
Tástic s Boltzmannovou statistikou má vidy (velkou) zápornou hodnotu.
Logaritmujeme (7.12) a (7.13) a dostaneme pro termodynamický potenciál bosonového a fermionového plynu
2>
kB T a=x
í	-	
1 - exp	Sa~lLl	
		
v	kBT j	J
Sk.
kBT
"2>
1 + exp
kBT
(7.14)
kde se sTítá ppes jednoTásticové energiové hladiny. 7.3   Vztahy mezi termodynamickými veliTinami
Uvalujme vnitpní energii U, (Helmholtzovu) volnou energii F a (Gibbsovu) volnou energii B . S pphlédnutím k aditivita veliTin máme
u = Hf-[Tlí) ■ F-Nf'ÍTT) ■ * = Nf°(p^ ■ (715)
Pro diferenciály platí
dU = TdS-PdV + judN ,
dF = -SdT-PdV + judN , (7.16) dO = -SdT + VdP + /udN .
Ze (7.16) a (7.15) plyne, Te nejjednoduppí vyjádpení chemického potenciálu máme z Gibbsovy volné energie
dN
0
N
(7.17)
Termodynamický potenciál | souvisí s volnou energií F vztahem
35
Q = F-iuN = F-0 = -PV , d£l= -SdT-PdV-Nd/u ,
takle
en
dju
V
T,V
dP
dju
(7.18)
(7.19)
T,V
Vrátíme-li se ke vztahům (7.14), dostáváme
1
exp
. kBT .
1
1
exp
. kBT .
(7.20)
+ 1
7.4   Klasická limita
Ppi ppechodu ke klasické limita ppedpokládáme, Te
Sg-l*
exp
kBT
«1
(7.21)
Potom mizí rozdíl mezi Fermiho " Diracovým a Bosého " Einsteinovým rozdalením. Muieme psát
Q ~ -kB T exp
kBT_
^ exp
kBT_
,   N« exp
kBT_
^ exp
kBT_
(7.22)
Je tedy
/i = -kB Tin
kBT
Q = -kBTN
(7.23)
Volná energie je
F = Q + juN = -kBTN\n
kBT
(7.24)
S aproximací
ln#!» Nin-
N
(7.25)
mineme výraz pro volnou energii (7.24) zapsat jako
í
^ exp
y a
F = -kBT\n
kBT_
(7.26)
To je práva výraz, který vznikl ppblilným odstrananím násobného zapoTtení stavuj lipících se pouze permutací Tástic.
36
7.5    Fermiho a Bosého plyny elementárních Tástic
Jsou-li energiové hladiny blízko sebe, muieme od sumace ppejít k integraci (a + l) - a
Z/W-
Sa+1 Sa
■{£a+\-£a) = Yjf{Sa)p{Sa)^a
a
jf(e)p(e)de .
(7.27)
Kdalpím výpoTtum potpebujeme znát hustotu stavili p(s). Vlnová funkce volné Tástice uzavpené v krychli o hrana L (tj. má nulovou hodnotu na stanách) je
y/ ~ sin(kx x)sin(ky _y)sin(£z z) ,
K.   — . K.
7 7
(7.28)
1     L L L
ppitom uvalujeme jen ppirozená Tisla nx ,ny,nz g N (nesmíme poTítat fází se lipící stavy
vícekrát). Pro velmi velké L muieme opat ppejít ke spojitým promanným, poTet stavili v elementu d3k je
p(k)d3k=í-) d3k
(7.29)
s oznaTením l3 =V pro objem ppejdeme koneTha k vyjádpení potpebné hustoty stavili v závislosti na energii
V r  3 -*    v r r 2
—J d k=—   dtp J d6>sm6>jdkk
V
ľ 7l/2
dE-
V
a   12 dk
dE
(7.30)
Pro vyjádpení hustoty stavLU( g=2s + \ je spinová degenerace)
(7.31)
(Ixy dE
potpebujeme tedy dispersní relaci k = k(Ě). Pamatujme na to, Te náp výpoTet budeme
provádat pro tpírozmarný prostor. Postup ppi jiných dimensích je ovpem stejný.
Muieme tebl napsat integrál pro termodynamický potenciál (horní znaménko pro bosony, dolní pro fermiony)
Q
kBT
dE p(jL)\n
1+exp
E-jU
(7.32)
Ppi výpoTtu jako první krok provedeme integraci per partes, takle
37
Q__1_
dE
| p{s)ds
exp
E-ju
+ 1
Nerelativistický vztah mezi energií a vlnovým vektorem
dE h
2m
h
1 m 1
K2Ej
dává hustotu stavili
1/2
Relativistický vztah pak
E = [m2 c4 +h2 k2 , k
[E -m c j dk _ 1
(č2-mV)
4\V2
dává hustotu stavili
{2 x ti) c Jc2 3{27iti) c
Nakonec jepta extrémna relativistický vztah
El - ft k C 7 k - 7 -
hc       dE hc
vede k hustota stavili
AngW E2 {2nti) c3
jp(e)de=-
1 AgnW E3
^{2ntij c3
Pro nerelativistický ppřpad máme
Q _   ATigV (2mkBT) kBT~  {2ntif 3
a pro extrémna relativistický pfípad
Q _ AxgV(kBT)3 kBT     {2ntij 3c3
3/2
dx-
x
.3/2
exp
x-
kBT
+ 1
dx-
x
exp
x-
kBT
+ 1
Definujeme funkce
38
dx-
x
ex-y +1
(7.42)
S jejich pomocí mLLTeme napsat pro bosony a fermiony v nerelativistickém pfípada
a
-(27TmkBTf2 B
kĽT     (2 jrh)
■(27rmkBT)312 F.
kBT     (2 Trh) a v extrémna relativistickém pfípada Qt _   %xgV (k,T)
\.kB T j
T>
,3 3 4
1   ' ß ^
kBT
kBT     (2 Trh)' c
Pro rozdalení podle energií máme pro bosony a fermiony
p(E)dE
nf _   SxgV (kBT)
3 3 4
(iTTh)
c
exp
E-jU
~kBT_
+ i
takle pro nerelativistický a extrémna relativistický pfípad
í        3 \V2
4TfgV y-m E) dE
dN,
(iTThj
exp
E-jU
dN*
AngV 1 E2dE
±1
(2TThf C3
exp
E-jU ~k~T
±1
(7.43)
(7.44)
(7.45)
(7.46)
Celkový poTet Tástic v plynu dostaneme integrací (7.46). Pro nerelativistický pfípad máme
gV
-(2TrmkBT)3/1 B
(iTThj
gV [2nh)
a pro extrémna relativistický pfípad
N,
■(2TrmkBT)3'2 F,
\kB T j
(7.47)
N,
STTgV (kBT)
(2TThf C3
Vnitfhí energii poTítáme jako
1 ' * ^
\kB T j
_%TTgV{kBT) f~(2TThf C3
3     f ^
\kB Tj
(7.48)
U=JEdNE .
(7.49)
Pro bosony a fermiony v nerelativistickém pfípada dostáváme
39
U„ _3 gV kBT 2{2nti)
-(27rmkBT)3'2 B
U,
3 gV
-(2xmkBT)3'2 Ft
kBT 2(2xh) a v extrémna relativistickém ppřpada U„ _24zgV(k,T)
(7.50)
3   r ^
kBT
(2xhf
\.kBT j
Uf _2A7igV{kBT)3
\.kB T j
(7.51)
kBT   (2 Trhy c
Porovnáním vztáhni pro termodynamický potenciál a vnitpií energii vidíme, Te jak pro bosony, tak pro fermiony platí v nerelativistickém pfípada
a v relativistickém ppřpada
pV =-U 3
pV = -U 3
(7.52)
(7.53)
7.6   Poissonova adiabata, stavová rovnice
Pro klasický ideální plyn s konstantním specifickým teplem lze odvodit tzv. Poissonovu adiabatu. Ukáleme, jak pro nerelativistický kvantový plyn odvodíme stejné vztahy bez ppedpokladu konstantního specifického tepla, pouze z vlastností termodynamického potenciálu. Ten je molno zapsat jako
Q
V
P = T5'2 fs
(7.54)
Je tedy Q/V homogenní funkcí teploty a chemického potenciálu pádu 5/2. Obdobná o entropii vztalené na jednotkový objem S/V a o hustota Tástic N/V platí, Te jsou to homogenní funkce teploty a chemického potenciálu pádu 3/2, nebou,
S_ V
1 dQ
V ÔT
■T*fJě\ + T*£é£\ = f*fs
N_
V
1 dQ
V d li
T3/2f>\ě\ = T3/2fN\^
(7.55)
Podíl S/N je homogenní funkce teploty a chemického potenciálu pádu 0
7š=fs/N[f) '
(7.56)
40
takle pp adiabatickém procesu (S=konst, A^ = konst) musí být i podíl ju/T (a tedy i kaldá jeho funkce) konstantní. Takle ze (7.55) a (7.54) plyne pro adiabatický daj
Vr3/2=konst   ,   Py5/3=konst   . (7.57) Rovnice (7.43) po dosazení Q, = -PV
(2xmf/2(kBTyzB:
5/2
a rovnice (7.47)
N,
(iTihj
8
{Intif
(2xm)3/2(kBTyzFt
5/2
\.kB T j
\kB T j
(7.58)
■(27imkBT)312 B
(27rti)
-(27imkBT)312 F,
{2nti)
f JL}
\kB T j
\.kB T j
(7.59)
dávají stavové rovnice bosonového a fermionového plynu v parametrickém tvaru (parametrem je chemický potenciál =). Za ppedpokladu exp[///(fcB r)]<Kl mineme potpebné
funkce Bn ( y) a Fn (y) analyticky aproximovat. Pro bosony dostáváme v prvním ppblílení
—= ^-exP k b T ádB
kBT_
1 +
25/2
exp
kBT_
kBT_
1 +
23/2
exp
kBT_
(7.60)
kde jsme oznaTili de Broglieho vlnovou délku tepelného pohybu
Á
'dB
2nh'
V/2
KmkBT j
(7.61)
Pro fermiony máme podobna
— = ~r exP
k b T ádB
Nf g
— = -^r exp
v &
kBT_
25/2
exp
kBT_
kBT
1
23/2
exp
kBT
(7.62)
VylouTíme-li ze (7.60) resp. (7.62) parametr, tj. chemický potenciál, dostáváme stavové rovnice. Pro bosony
41
PhV = NhkBT
3 "N
a pro fermiony
PfV = NfkBT
1 + -
1 NhAdB 2^2 V
1 NfÁ^
(7.63)
(7.64)
v    2*,    V j
Kvantová oprava vede k tomu, Te tlak u fermionlllje o naco vyppí, u bosonlllo naco niípí nel u klasického ideálního plynu.
8. UliteTné integrály
8.1   Gama funkce
Gama funkce je definována integrálem
co
Y(z)^^e'ť1dt   ,   9?(z)>0  . (8.1)
o
Prostá integrace per partes dává vztah
T(z + l) = zT(z)   . (8.2)
Substituce t^-ŕ vede k integrálu
co
Y(z) = 2^e'2 t2zldt   . (8.3)
o
Dosazení z = l do (8.1) a z=l/2do (8.3) vede na známé integrály
CO / -.   \ CO
T(í) = je-'dt = l   ,  r - \ = 2Je-'2 dt = s[ň   . (8.4)
Pomocí vztahu (8.2) muieme získat hodnoty gama funkce pro dalpí kladné celoTíselné a poloTíselné hodnoty n resp. n+\/2. Faktoriál je tedy vyjádpen pomocí gama funkce jako
n\ = T(n+l) .
Pro velké hodnoty n je ln«! vyjádpen Stirlingovým vzorcem. Máme
co co
n\ = jexp[nlnt-t]dt = | exp[/íln(/í + x)-/J-x]<ix;
(8.5)
exp[/?ln/í-/í] Po zlogaritmování dostáváme
	1 2
exp	--X 2n
(8.6)
1/2
dx = (2n7i) exp[/?ln/í-/í]
42
n 1
ln(/í!) « nln—h—ln(2/j;r) .
(8.7)
Obvykle se v aproximaci zanedbává druhý Tlen na pravé strana (8.7). Jak dobrá je aproximace Stirlingovým vztahem ukazuje následující tabulka.
n	ln(/z!)	(8.7)	n ln(n/e)
10	15,104	15,096	13,026
100	363,739	363,739	360,517
1000	5912,128	5912,128	5907,755
8.2   Fermi " Diracovo a Bose " Einsteinovo rozdalení pro degenerovaný plyn
Ppi výpoTtech charakteristik degenerovaného plynu fermionlllse vyskytují integrály typu
If(m) =
Rozvojem zlomku v integrandu dostáváme
ľ m-l J X
dx-
ex+l
(8.8)
„m-l co 1:0
dx^— = YJ\dxxml ex (-1)" ekx = YJ\dxxml (-l)t_1 ekx
£   +1      k=0 o k=\ o
°°   (-\\k~l m
Z^r-]dxx^ex=(l-2^)C(m)Y(m)
(8.9)
t=i k
Ppi poTítání jsme vyulili úpravy
y(dT=y 1
■Z:
i
CO 1 CO 1 CO
1(2l-l)m   tt(2l)m   £íkm     tt(2l)m   1 'tik
1
(8.10)
k=i k
Podobna ppi výpoTtech charakteristik degenerovaného plynu bosonlllse vyskytují integrály typu
Ib{m)
r xm~l
dx-
ex-l
(8.11)
Také zde rozvojem zlomku v integrandu dostáváme
m-l OD    =° OD =°
dx-x— = YJ\dxxmX ex ekx = Y^\d
xxm-'ekx
k=l o
(8.12)
k=l K o
43
Máme tedy
C m-\
x
If(m)=   dx-^ = (l-2ím)C(m)Y(m)
(8.13)
r xm-x
Ib(m)=   dx—— = C{m)Y(m) ,
o
kde r(m) je gama funkce a C(m) Riemannova funkce
=° 00 1
T{m) = \e't^dt   ,   C(m) = ^ — Riemannova funkce vyladuje m>l, integrál (8.8) pro m=l je
(8.14)
dx e +1
dt
t(t + \)
ln2 .
(8.15)
Integrál (8.11) pro m=l diverguje.
8.3   Ppechod Fermi " Diracova a Bose " Einsteinova rozdalení na Boltzmannovo
Ppedpokládáme, Te (= má velkou zápornou hodnotu), Te exp[///(/cB r)J «: 1. Potom
muieme upravit funkce zavedené v (7.42) na
1    L t
dt
e'x-l T(n)J
dtť
co |        1 co
/í-l y  / o ^-i
1-e*
exp[/cx]
(8.16)
a obdobná
1
1
^(-l)^1 exp[fcx] —— j dtť1-1 exp[-kt] = £
/í-l y   / O ^-i
1 + ex"
(-l)k 1 exp[/cx]
(8.17)
k"
První Tlen pády odpovídá Boltzmannovu rozdalení, oprava v druhém Tlenu má rUíná znaménka pro bosony a fermiony. Snadno ovap-me, Te
44
dBn+x(x) _ 1
dx
r(»+i).
d_
dx
éx-\
dt
nY(n)
n d ť-
dt
f
éx-\
dt
nT(n) éx-\
Tin)
1=0        v /
dt
.n-\
~-= Bn(x)
(8.18)
obdobná pro fermionový integrál. Máme tak vztahy
dB„,, (x)       , .       dF„,, (x)       , .
(8.19)
dx dx
8.4   Eulerova " Maclaurinova sumaTní formule
Eulerova " Maclaurinova sumaTní formule v obecném tvaruje
j/(o)+^/(A0+S/("H
n=l o <=1 V /"
V tomto vztahu rk je zbytek
^=JW*)/(2*+1)(*)Jx (8-21)
o
a 73^, jsou Bernoulliova Tisla a 5^ (x) jsou periodické Bernoulliovy funkce s periodou jedna. Na intervalu [0,1] muieme Bernoulliovy funkce zapsat jako polynomy v symbolickém tvaru
(8.22)
1 h def
M*) = -(* + 73) >
a Bernoulliova Tísla jsou koeficienty Taylorova rozvoje
x
CO D
5,.
6?
n f
dx"
x
(8.23)
x=0
Máme B0 =1, 5, =-1/2 , B2 =1/6 ,/34 =-1/30...Pro liché indexy je B2n+l=0 pro «>1. Podstatnou vlastností Bernoulliových funkcí je
. . dBk+Ax) . . . Bk(x)= J=B<k+1(x)
dx
(8.24)
a Bernoulliových polynomlll B2k(0) = B2k(l) =
B,
(2k)l
.   52,+1 (0) = 732,+1 (1) = 0   ,   £ = 0,1,2,.
5,(0)
1_ 2
(8.25)
A(l) =
PoTítejme na intervalu [0,1] (v dalpích intervalech se postupuje stejná)
45
1 1
jf(x)dx = jf(x)BQ(x)dx =
o o 1 1
\f(x)B[(x)dx = f(x)B,(x)[ -jf'(x)Bl(x)dx =
o o
1
[f(0) + f(l)]-jf'(x)B^x)dx ,
o
1 1
j f [x)B'2 (x)dx = f (x)B2 (x)[ -jf" (x) B2 (x)dx =
o o
±[f>(l)-f>(0)-]-]f>>(x)B>(x)dx ,
(8.26)
Pro nekoneTnou pádu a první aproximaci dostáváme za samozpejmého ppedpokladu /(jt—»oo)—»0dostateTna rychle ppblilný vztah
I 00 00 1
\f(°)+Tlf(»)±lf(x)dx-±f'(°)
(8.27)
9. Ideální (nerelativistický) Bosého   Einsteinův plyn
9.1   Termodynamický potenciál, hustota a vnitpní energie
Odvodili jsme následující vztahy, jejich! zápis se velmi zjednodupí zavedením vlnové délky de Broglieho vlny tepelného pohybu
' 2nh2
ymkBT j
(9.1)
Máme tak
n _ gv
3 B1
kBT      Aj. 2
\kBT j
v 4 f
(9.2)
3 jeV U=--2--kBTB,
2 A}
3   ,VB ' -"5
2
Pro x<0 mLLTeme funkci 5M (x) napsat jako padu
exp [/ex]
k=l K
(9.3)
46
Chemický potenciál muieme v principu získat z výrazu
5,
1 v„
— Aj p g
(9.4)
Energie na jednu Tástici je
i/ = — = —kB 1 -N 2
B
fJL}
(9.5)
Je-li výraz na pravé strana rovnice (9.4) mnohem menfí nel jedna, je molné vzít pouze první Tlen pady (9.3), takle
B.
\.kBT j
exp
kBT
(9.6)
a tedy
kBT
Tn
*T P
(9.7)
V s j
Energie na jednu Tástici má pak klasickou hodnotu
u&—kBT .
(9.8)
Vezmame za ppíklad ideální klasický plyn za standardních podmínek " pro urTitost N2. Do vztahu (9.7) dosadíme
6,02.1023 mor1 ^2/3
= 1   , P
2/3
8,97.1016 irT2
2,24.10~2 m3moV\ /tBri(l,38.10"23JK1)(273,16K) = 3,77.10"21J   ,   m = 4,68.10"26 kg
a /ř = l, 05.10 34 J s a dostáváme tak
(9.9)
/ír=19,81pm ,
kBT
-15,38
// = -0,36eV
(9.10)
OpaTný extrém vidíme ppi parametrech pokusu s parami sodíku, kdy bylo
g=l , p = 2,5.1018irT3 , 7 = 10 7 K , m = 3,82.10~26 kg . (9.11) V tomto ppřpada je ^ =1,14 =ma pravá strana rovnice (9.4) je pak pptbliTna 3,77, zatímco levá strana mule dosáhnout maximální hodnoty pro chemický potenciál rovný nule, tedy
^(0) = ^[|j = l + ^37T + -^ + - = 2,612375349 .
(9.12)
47
Kde vznikla ppi odvozování výrazLUchyba? Zjevná existuje kritická hodnota teploty, kdy ppi dané hustota poTtu Tástic chemický potenciál dosáhne své maximální, tj. nulové hodnoty. Tuto kritickou teplotu získáme pro danou hustotu Tástic dosazením //=0 do rovnice (9.4)
2n
h
2 f
*c   [C (3/2)f3 kBm{ g V
N
x2/3
= 3,3125-
2 f
kB m
N
x2/3
neboli
N
ÍT\3'2
T
2) K
Naopak ppi dané teplota existuje kritická hustota
Pc
(9.13)
(9.14)
(9.15)
9.2   Bosého " Einsteinova kondensace
Pro teploty niípí nel kritická, tj. pro T <Tc nemLLTe být ppi nulovém chemickém
potenciálu v intervalu energií ()<£■< co v pech   Tástic soustavy, ale jen
N(s>0)
gV (2*mkBTFc(l
(2/rh)
f T \3/2
T
\.1c j
N
(9.16)
Zbývající Tástice musí být nahromadany " kondensovány " na hladina s = 0
N(s = 0) = N-N(s>0) = N
ÍT\3'2
T
(9.17)
Chyba byla ve vztahu (7.27)
^ f (Sa)~~~~(Sa+l ~ Sa) = ^jf(Sa)p(Sa)^Sa
(9.18)
jf(e)p(e)de ,
kde jsme ppedpokládali, Te pro velmi husté spektrum energií je molno pptjít od sumace k integraci. To implicitná ppedpokládá, Te se vzrůstajícím poTtem energiových hladin úmarna tomu klesá jejich obsazení. V ppípada Bosého " Einsteinovy kondensace se to vpak netýká základního stavu (jeho! energiovou hladinu jsme zvolili jako nulovou). VraUpie se tedy k diskrétnímu zápisu vztahu (7.20)
48
# = , na
	Sa~iU	-1
exp		
	kBT j	
Tady vyjmeme ze sumy základní stav s sx =0 , takle
(9.19)
N = N(s=0) + N(s>0) ,
exp
kBT
#(ff=0)
00 p V
(9.20)
a=2 2
Zapipme tebl pohromada vztahy pro teploty T <Tc a T>Tc. Výraz pro tlak (tedy stavová rovnice) vychází ze vztahu Q, = -PV , výraz pro entropii a specifické teplo ze vztáhni
dT
Cv=T^-\ v ÔT
n,v
a výraz pro volnou energii z F=U -T S = Q + // N. Bereme v úvahu, Te
dB«+i(x)
(9.22)
dx
(9.21)
Máme pak pro potenciály výrazy
U
T >Tr V
N = g^B3
Aj J kBTV n
kkbtj
3 V i:skBT-B5
l Aj. j
fjlú
	d(S,N)		' dN	\
ÔS	ô(S,N)    d(T,fi) ÔS		dT v	f J
dT	N~ Ô(T,N)~ d(T,N)~ ÔT	f	dN	
	d(T,fi)		dju	t
5    Is   V R
~skB—B5
1 Aj j
kBTV
Aj
fJL)
Aj    1 j
v
Aj j
\kBT j
T<Tc fi = 0 KTV Í5
2 %2
(9.23)
(9.24)
49
a pro specifické teplo
Cy =<
15     1,   V R
B
B
-   k T
'jĺ>
\.kBT j
15 i. v A5
T >T
T <T
(9.25)
Vpechny potenciály, jako! i specifické teplo jsou spojité ppi T = Tc. Výrazy pro T<Tc snadno ppepípeme pomocí vztahu (9.14) na tvar explicitná zvýrazKující charakter teplotní závislosti. Pro T>Tse spokojíme s aproximací pro |//|—»0, aproximaci pro velké hodnoty |//| jsme jil vidali ve vztazích (9.6) a (9.7). Porovnáním vztahLU(9.4) a (9.14) máme
B
\kB T j
3 Y Z
2 AT
3/2
(9.26)
S oznaTením x=\ju\j{kBT) získáme chemický potenciál výpoTtem limity x^O výrazu
/ 3~
lim—
x->0
BA-x)-C[2
X
1/2
: lim<
x->0
1
fV2
-1 e'-l
dt
(9.27)
lim<
x->0
2x
7f
1/2
/V2
x(t+\)
-1 e"-l
dt	2 71' j	ŕ'2	1 l"	dt = -27f1/2
			t + l t	
Dosazením (9.27) do (9.26) pak
C
kBT
47T
T
3/2"
(9.28)
Ppepípeme tebl tabulku (9.24) na
50
Q = NkBT
U = NkBT
ÍT\3'2
T
ÍT\312
T
-a + /J®(T-Tc)
3-a-\p®{T-Tc)
3/2'
S = NL
ÍT\3'2
T
N3/2-
(9.29)
-a N k,
(T\312
T
c
a
c
An
kde @(r-T.) je Heavisideova funkce
1 T>Tc ®(T-TC) = \±  T = Tc
(9.30)
0 T<Tc
Konstanty a § jsou ppblima rovny jedné polovina (<x = 0,514, /?=0,543). Specifické teplo poTítáme opat jako
v dT
(9.31)
n,tr
a dostáváme
Cy=NkB
fTT 15 9 T     |4      4^   V c}
1-1 £ T
Pro teplotní závislost specifického tepla dostáváme pak
dCv
dT
Nk,
frr^2
n,t-
T
1+1 ^
(9.32)
(9.33)
Tato veliTina ul má nespojitost v T = Tc
dQ,
dT
n,tr
(T^Tc+0)-^
(r^rc-o)i-3,67
n.tc
(9.34)
9.3   Fázový ppechod pára " kondensát
ZaTneme se vztahem pro chemický potenciál vyjádpený jako funkce teploty a tlaku
51
djU = -sdT + vdP
N
V_
N
(9.35)
odkud pro specifickou entropii a specifický objem plyne
dju
dju dT
dP
(9.36)
Ppi rovnováze dvou fází musí se rovnat jejich chemické potenciály, tedy
fil(P,T) = fi2(P,T)   . (9.37) Tato rovnice urTuje tlak jako funkci teploty, takle ppi derivaci (9.37) podle teploty máme
djU,(T,P) _ djU2(T,P)
dT
dT
dT
dju,
dP
dP dju2
dT dT
dju2
dP
dP dT
(9.38)
S vyulitím (9.35) pak dostáváme Clapeyronovu " Clausiovu rovnici
dP        q , x
,   q = T(s2-sí) .
(9.39)
dT T(v2-v^
V rovnici (9.39) q je latentní teplo ppechodu z fáze 1 do fáze 2. I za obvyklých podmínek bývá specifický objem páry podstatná vatpí nel kapaliny, v napem ppípada je rozdíl extrémní.
Ppi teplota T<Tc je poTet Tástic v plynné fázi dán vztahem (9.16), tj. N2=N(T/Tc)3/2 . Ze
vztahLU(9.29) je vidat, Te pouze Tástice v plynné fázi mají nenulové specifické hodnoty V        V       J_ S S 5
Pc
N,
N
fT\312
T
\   c j
N,
N
f T V/2
" CC kŕ.
(9.40)
T
\   c j
takle pravá strana rovnice (9.39) je {5/2)akB pc. Opat podle (9.29) (ppipomeKme P = -Q,/V ) máme
'3
•c
P = akBT pc=akBT-
'dB
dP   5 ,
dT   2    B c
(9.41)
col je levá strana (9.39). Je tedy Clapeyronova " Clausiova rovnice opravdu spínaná.
10. Elektronový plyn
10.1 Úplná degenerovaný elektronový plyn
Spin elektronLU je s = 1/2 a pokud neuvalujeme rozptapení energiových hladin zpUáobené rozdílnou orientací spinu, klademe g =2s + 1 = 2. Nejprve si vpimneme vlastností úplná degenerovaného  (nerelativistického)  elektronového plynu.  Rozumíme tím stav
52
s nejmenfí molnou energií, tedy stav, kdy jsou postupná od nejnilfí zaplKovány energiové hladiny dvojicemi elektronlll s opaTna orientovanými spiny al do vyTerpání vp^ch Tástic. PoTet kvantových stavili elektronLU které se pohybují v objemu V, v intervalu velikosti hybností (p,p + dp) je
n{p)dp = 2A7rp2dpV=Vp2dp
(2 x h)
7T2ti
(10.1)
Zapínaný jsou vpechny hladiny al po hodnotu pF , danou vztahem
PF y PF
N= \n(p)dp=^-j ľ p1 dp
odkud máme pro Fermiho hybnost pF a Fermiho energii s
vpi
3tt2 ti
(10.2)
pl    u  2^/3 h2 f N
2m
2m\V
2/3
(10.3)
Fermiho energie hraje v tomto pppada roli chemického potenciálu. Vezmeme-li Fermiho Diracovo rozdalení v limita T-^0K s chemickým potenciálem //>0, dostáváme
lim
t^-ok
1
	S-jU	+ 1
exp		
	kBT j	
1    S < jU
1
£■ = // = ©(//-£■) ,
(10.4)
0   s > //
tedy práva uvalované plné obsazení hladin do hodnoty //. Je proto pp nulové teplota
Celkovou energii soustavy získáme jako
V     Pf  , , Vp5F
(10.5)
U
Pf ľ 2 P
2m
n(p)dp
2m7t2 ti
Pf
-j p4 d p
lOmx2 ti
(10.6)
a po dosazení z (10.3)
3(3^2)2/3 n2 (N
U
10 m\V Stavovou rovnici dostaneme z obecného vztahu
2/3
—    N = -Ne*
2 (3tt2)   h2(N^'    2 N PV=-U         P = ±-'—— —    =-—,
3 5     m{V J      5 V
(10.7)
(10.8)
	Atomová koncentrace	Valence	Elektronová hustota	Fermiho energie
53
	^ [102S m 3]	z	N/V==z. ^ [1028 m 3]	p[eV]
Cu	8,45	1	8,45	7,00
Ag	5,85	1	5,85	5,48
Be	12,1	2	24,2	14,14
AI	6,02	3	18,06	11,63
10.2 Stavová rovnice nerelativistického plynu
Obdobná jako u bosonlll ppepípeme základní vztahy zavedením vlnové délky de Broglieho vlny tepelného pohybu
Q gV
kBT
53 5
N=g_
V    % 2
(10.9)
3 sV U=-^-kBTFs
2 %   B f
fJL)
Chemický potenciál je dán implicitná druhou rovnicí z (10.9) a stavová rovnice pak dosazením tohoto potenciálu do první z rovnic. Vpimname si chování funkcí
F3 (x)
7T
1/2
řl2dt
'-'+1 ' 3^2
fl2dt
e'-x +1
(10.10)
Ze vztahu (8.9) máme ppibliTné vyjádpení pro velké záporné hodnoty argumentu
Pro x=0 máme podle (8.9)
F„(x) = exp[x]-^rexp[2x] .
FÁ0) = \i-£r\C(n) ■
(10.11)
(10.12)
Nejpracnajpí je nalezení ppibliTného vyjádpení pro velké kladné hodnoty x. Nejprve provedeme substituci t^t + x a pak integraci per partes
(t + x)n~
é +1
■dt
1
T(n + 1)
-(t+xfdt  . (10.13)
54
První souTinitel v integrandu je sudá funkce, která má maximum v ř=0 a pro velké hodnoty |ř| exponenciálna klesá. Muieme tedy jednak rozpípt integraTní obor na interval (-00,00) s chybou o(e~x>) a také v druhém souTiniteli vzít jen první Tleny se sudou mocninou promanné Taylorova rozvoje kolem t=0
F" ^ " r(n+í)
é     J     1 xn -dt + -
(e'+l)2       2r(n-l)J (e<+i)
t2e'
■dt
(10.14)
tedy
T7 (   \ —      ^        j- ^ ^
(10.15)
10.2.1 Nízká hustota, vysoká teplota
V tomto pp-pada poulijeme rozvoje (10.11). Pro chemický potenciál dostáváme výraz
li = kBT< ln
Nil 1 N% sV +23/2 SV
(10.16)
a pro energii
U = *NkBT\l+*m .
2 [    25/2 gV J
Stavovou rovnici dostaneme z obecného vztahu PV = 2U/3, tedy
#1
(10.17)
PV = NkBTU + B(T)
V
(10.18)
BÍT) je druhý viriálový koeficient, v napem pppada daný nikoliv opravou na vzájemnou
interakci Tástic, ale opravou na kvantové jevy. 10.2.2 Vysoká hustota, nízká teplota
Poulijeme rozvojLU(10.15), tedy
F3 (x)
A x
.3/2 (
3tt1/2
1 +
7t
2 "\
8x2
8 x
5/2 /-
15^1/2
1 +
5£T
8x2
2^
(10.19)
Chemický potenciál urTujeme tedy ze vztahu
N-
4 sV
3x1/2 %
V/2 í     2/, Ty
8
(10.20)
Ppepípeme vztah (10.20) pomocí Fermiho energie a Fermiho teploty sF =kB TF na (pamatujme na g=2)
55
SF=jU
Pro energii pak máme
, n2(kBT^ 1 + — B
8
\ V J
2/3
// — kBTF
U=-NkBTF
1 +
5 ti
2ŕ
1-^
12
2Í
T
12
Stejnou opravu máme i ve stavové rovnici
PV = — N kBTF
1 +
5 x
T
\1f j
2 f t V
12
Z obecného vztahu
s=j[u-n-vN]=±;
T
\*f j
-U-fiN 3
dostaneme dosazením z (10.21) a (10.22) pro entropii
S = — fcn AT—
(10.21)
(10.22)
(10.23)
(10.24)
(10.25)
Je tedy spínaná tpetí vata termodynamiky " entropie jde k nule pro teplotu jdoucí k absolutní nule.
Výsledky získané v odstavci 10.1 pro T=0K budou tedy s dobrým ppiblíTením platit i ppi koneTných teplotách, podmínkou pro platnost aproximace je
r«7;
h f N
kBm\V
2/3
(10.26)
nebo také
Äj, ^ AF — 2
EX'S N
1/3
(10.27)
Pozoruhodnou vlastností degenerovaného elektronového plynu je, Te se vzrUátající hustotou se více blili ideálnímu plynu. 10.3 Richardson Ui zákon
Porovnáme výsledky, které pro hustotu termoemisního proudu z kovového vzorku dostaneme ppi ulití Maxwellova a Fermiho " Diracova rozdalení. K experimentálnímu potvrzení závislosti získané z Fermiho " Diracova rozdalení dospal Richardson (Nobelova cena 1928).   Emitující element povrchu vzorku dS lelí v rovina x " y, elektrony jsou
56
1/?
emitovány tehdy, jestlile pro slolku hybnosti kolmou k povrchu platí pz>(2mW) . Podle Maxwellova rozdalení máme (u hybností vyulíváme válcových soupadnic)
N
dN
-exp
2  . 2
2mkBT
V(2xmkBT)3/2 odkud pro rozdalení proudové hustoty dostaneme
2np pdp pdpz dSdz
d J = e
dN
2nNe
-WppPzexp
dSdt Vm(2nmkBT)' Po integraci dostáváme pro proudovou hustotu výraz
2 2 pp + p,
2mkBT
dpdpz
J = e
N_ V
y2?rm j
exp
W
kBT_
Podle Fermiho " Diracova rozdalení máme
e 2
dJ
2xppdpppzdpz
m
(2 ju h)
exp
2 2
pI+pI
2mkBT kBT
+ 1
kde jsme aproximovali chemický potenciál Fermiho energií. Po substituci
pp=(2mkB T)1'2 s1/2   ,   pz=(2mkB T)1/2 dostáváme pro proudovou hustotu výraz
W
V/2
s+-v    kB T j
J
ne
m(2.7rhy
■{2mkB r)2
dsdt		
	W-sF	+ 1
exp	-^ + s + t	
	_ kBT j	
Pro {W-sF^j{kB r)»l dostáváme s dobrým ppblílením
ne
■{2mkB r)2 exp
W-sc
kBT
(10.28)
(10.29)
(10.30)
(10.31)
(10.32)
(10.33)
(10.34)
m{2nfi)
Analýza rozdílu vztáhni (10.30) a (10.34) ukazuje, Te není molné klasickou (Drudeho)
elektronovou teorii kovlllopravit zavedením efektivního poTtu volných elektronu!
57
10.4 Magnetické vlastnosti elektronového plynu 10.4.1 Elektron v homogenním magnetickém poli
Uvalujme o homogenním magnetickém poli, osu z volíme podél siloTar pole B = Bez,
B>0 a za vektorový potenciál vezmeme A = - B y ex. Potom hamiltonián v Pauliho rovnici je
2m 2m Im
íl   (A    eh   fl 0^
v0 1,
2m
B
v0 -1,
(10.35)
KomutaTní relace v rovina x " y jsou
[*fl=[Ä.A]=° • [*£]=[>A] = iÄ =>
[A^y]=jj{(A + eB^^y-^x + eBy3)} = -ih\elB Zavedeme-li nové promanné
(10.36)
m
co
dostaneme komutaTní relaci
\e\B
m
CO
a hamiltonián
fl  0^   1 fi 2
v0 1,
v0 -1,
(10.37)
(10.38)
(10.39)
2 ^ ' 2m
Máme tak dva stupňa volnosti pro lineární harmonický oscilátor a jeden stupeK volnosti pro lineární pohyb volné Tástice a dva molné hodnoty cr = ± 1/2 projekce spinu do osy z. Energiové hladiny jsou (mluvíme o Landauových hladinách)
1     \\e\h „ p]
'     2     J m 2m
(10.40)
Schrodingerova rovnice pro spinové komponenty v soupadnicové representaci je 1
2m
(k   8      I |R
---\e\By
v i dx j
i dy
h_d_
i dz
(10.41)
Normované pepení (v x a z na   " funkci, v y na jedniTku) je
{y-v)2
exp
(PXX+P, Z)
exp
2p2
2nh
7ŕ,A{2nn\p)
H.
y-v
V p J
°a,1/2
(10.42)
58
kde
P
\e\B
(10.43)
Pro výpoTet poTtu stavllluvalujme krychli velkého objemu V = Lx Ly Lz. Máme témap spojité spektrum v px a pz. PoTet stavili s danou hodnotou n, a px v intervalu Apz je AJTz =Lz Apzj(27rti) , obdobná poTet stavili s danou hodnotou n, a pz v intervalu Apx je AYX = LX Apxj(27rti) . Interval Apx nemuie být libovolná velký, neboLihodnota rj, která je y soupadnicí stpedu krulnice klasické trajektorie musí lelet vdané krychli, tj. 0<r/<Ly, odkud pak Apx=\e\BLy. Máme tak pro objem fázového prostom (faktor 2 pro dva spinové orientace)
Ar=2Ar Ar
\e\B
(27ih)
-VAPz
(10.44)
10.4.2 Termodynamický potenciál
Energiové hladiny vhodná ppeTíslujeme, takle bude
En = 2npBB + p2z/(2m) ,
kde
lei h
Pb
2m
(10.45)
(10.46)
je BohrliS' magneton. Nulové hladina bude odpovídat jeden stav s původním znaTením n=0 a <t = — 1/2, ostatní hladiny budou dvakrát spinova degenerované, s původním znaTením [(«-1)+ 1/2]+ 1/2 a [n +1/2]-1/2. S objemem fázového prostoru (10.44) bude termodynamický potenciál dán vztahem
a = 2pBB\^f(p) + f4f(p-2npBB)\ ,
(10.47)
kde
mkB TV
	f
ln	1 + exp
	v
X
2tt2 h3
Podle Eulerovy " Maclaurinovy formule platí ppblilna
kBT 2mkBT
dpz
(10.48)
59
^f{ju) + ±f{ju-2njuBB) = )f{ju-2juBBx)dx-^df^ 2^Bx)
2 n=x J0 12 dx
takle termodynamický potenciál je
, (10.49)
x=0
Q= J f(x)dx + -ju2BB2 . (10.50)
-CO 3 (3//
První Tlen nezávisí na hodnota pole " je to tedy termodynamický potenciál ppi nulovém poli Q0. Muieme tak (10.50) upravit na
Q = Q0 //)+-M2BB2    .°r,=Cl0// -~//^2—^  • (10.51) 3 dju 3 oju
Magnetizace je
M=~l^ = ^lB—^1 (10-52) oB   3 o/j,
a magnetická susceptibilita pak
= ^ÔM=2^4ôN Ám    V dB    3   V d/u
Protole dN/d/j>0 , je magnetická susceptibilita elektronového plynu kladná, tedy jedná se o paramagnetickou soustavu. Jak uvidíme, je to zpLLíobeno spinovou Tástí celkového momentu hybnosti, orbitální pohyb" na Landauových hladinách ppinápí diamagnetický (slabpí ppíspavek).
10.4.3 Pauliho paramagnetismus
Dva opaTné orientace spinu zpLLíobují rozptapení energiové hladiny volné Tástice na dva
£■—»£■(+) = p2 j{2m)±jUB B . Protole se energie vyskytuje v rozdalovací funkci v kombinaci e -//, muieme spinové rozptapení zahrnout do chemického potenciálu /j^/j+/jbB. Protole ppedpokládáme /jb 5<K//, bude na obou hladinách ppibliTna stejná elektronllla tedy
q = ^q0 (//+//, B) + |q0 (//-//, B)   , (10.54)
kde Q0 je chemický potenciál ppi nulovém magnetickém poli. Ponecháním prvních TlenLU Taylorova rozvoje dostaneme z (10.54)
Q = Q0 (//) + ~Mb B     Q} =    (A) ~ ~ň B2 . (10.55)
Pro magnetickou susceptibilitu pak
60
Porovnání s (10.53) dává
= j^v^jľĺ= r-or-B — ■ (1056)
m|spm    V ÔB2      V d{i
y \      = y   - y        =--r*o f"B- / j n
tedy diamagnetické chování.
11. Relativistický plna degenerovaný elektronový plyn
Fermiho hybnost je stejná jako v nerelativistickém pfípada, protole je urTena pouze poTtem stavili Muieme tedy psát podle (10.2)
pF={37T2f[^  h   ,   sF=c(p2F+m2c2f2   . (11.1) Napípeme-li rozdalovací funkci pro energie, dostáváme
V       í i   í    9\2V/2       s=mc2'            VÍmc2)    , u/2 dNs =--—-s[s2-(mc2)     ds    ->    dNt=-±-L-tít2-l)   dt   . (11.2)
7T2 {fic)     \ ' 7T2 {fic)
Pro výpoTet Fermiho energie sF, termodynamického potenciálu Q a energie U (se zapoTtením klidové energie Nm c2) máme pak
ep/(mc2) V        ' f    '   / , sl/2
'c i
_ sp (mc \
TT   Vmc2   'V    2/2   ,\V2 ,
OznaTili jsme Comptonovu vlnovou délku
ác=-        . (11.4)
mc
Integrály v (11.3) je molno vyjádpit analyticky, takle dostáváme pro Fermiho energii
.2\3/2
sl -(mc2)
N =-—--t2—   » (1l5)
3tt ác (mc2)
pro termodynamický potenciál (ppipomeKme, Te platí Q, = -PV)
61
V mc 8 7i2 Al
sf I sf
-(mc2)
1/2
(mc2)
2S2F-(mc2)2 3 (mc2)
+ ln-
1/2 1
mc
(11.6)
a pro celkovou energii (vTetna klidové N m c2)
U
V mc
%7T2 ?íc
sf I sf
1/2
Snadno vidíme, Te
H™2)) \24-(mc2f |i" (mc2) (mc2)
-ln-
(mc2)
1/2 1
mc
Je to vyjádpení obecná platného vztahu
U + PV-TS = 0 = iuN
pro teplotu r=0K. Pro extrémna relativistickou limitu sF^>mc2 dostáváme
(11.7)
(11.8)
(11.9)
N ■
V
í „ V
371 Ar
V mc
? r ~ v
yfflC y
12 x2 A'
V mc
2 í   „ X
\jnc j
Att Ar
\jnc j
Platí tedy v tomto pfípada obecný vztah
(11.10)
PV =-u 3
(11.11)
12. Operátor matice hustoty
12.1 Popis soustavy v interakci s okolím
Popisujeme-li soustavu A, která není izolovaná, ale je Tásti najaké vatfí uzavpené soustavy A+B, nemineme stanovit její stavový vektor (vlnovou funkci), nebou, obecná pro soustavu samotnou neexistuje. Pro vatpí uzavpenou soustavu A+B vpak stavový vektor [Y) existuje a mineme jej rozlolit podle úplného souboru stavových vektorLU izolované podsoustavyA
M=EC«WK} ' T.cikc:k=i, (i2.i)
i,k i,k
kde|^) jsou stavové vektory odpovídající izolovanému zbytku soustavy B. Operátor $A+B,
který odpovídá fyzikální veliTina urTené pouze vlastnostmi podsoustavy muieme zapsat ve tvaru
62
ijk
Pro stpední hodnotu operátoru $A+B ve stavu | máme
(^1^1^)=zX c* U\$a\^b\o)=Z cl cjk (Mb k)=
i k ijk
ji
u U J (12.3)
/*=E^c,t|4)<4| .
Z definice je zpejmé, Te /§ je hermiteovský operátor, pLLíobící v soustava A. Lze jej tedy psát pomocí vlastních vektor Lila reálných vlastních hodnot jako
^Z^IaXaI   • (12.4)
i
Volíme-li za operátor S (index A uT budeme vynechávat) postupná jednotkový operátor a operátor |/?,)(/?, |, dostáváme porovnáním výraz LUTr        =(*¥ | <§\ w)
$=§ =>   Tr{/$l = ^wi=(y\V) = l   ,   S = \Pj)(Pj\ =>
(12.5)
rr{|^)(^|^ = w,=(^|^)(^|^) = |(^|^)| >o .
Muieme proto interpretovat jako pravdapodobnost nalezení soustavy ve stavu |/?,). Pro maticové elementy máme
k
Je-li pro nakteré i wí = 1, musí být pro k^i wt = 0 a podsoustavu A lze popsat vlnovou funkcí, mluvíme o Tistém stavu. Snadno se ukáTe, Te pro Tistý stav platí rovnost nebo 14
ŕ =\p,)(p,\\p,)(p,\ = \p,){p,\ = fi  ■ (12-7) Stpední hodnota fyzikální veliTiny, které odpovídá operátor    je vyjádpena bubl jako
(^^^^(/^I/^I/SI/^S/^/^^ (12.8)
ij 1
nebo
(i8) = Tr{fifi] =Z(P<\*\Pj)(Pj\$P<) = Z Pí (Pi\*\p)   ■ (12-9)
63
12.2 Dalpí vlastnosti matice hustoty
Pro odvození Tasové závislosti operátoru matice hustoty vyjdeme z rozkladu
^=Hc:kcjk\^\ , ^cjk\^) = m^ycjk\^)
j 01 j
ijk
a dostaneme
Mineme tedy psát
ih—fi=\ä,/&
dt L
(12.10)
(12.11)
neboli
^M = Ew»exP
i) = exp
h
l-Št
pn(0))(pn(0)\exp
h
(12.12)
/§(0)exp
h
(12.13)
Rovnice ppipomíná rovnici pro Tasový vývoj operátoru v Heisenbergova representaci, al na znaménko ovpem, neboLijsme ve Schrodingerova representaci! Pro operátor v Heisenbergova representaci dostáváme standardním zpUáobem
(fcexp
h
(^s(0|^|^(0) = (^(°)|exP
M4|^) 4= exp
h
h
exp
-Lát
h
(12.14)
Stopa matice hustoty jako! i stopa Krozumné" funkce této matice je na Tase nezávislá. Máme
Je molné definovat kvasientropii (na rozdíl od obyTejné entropie je na Tase nezávislá)
S = -2w>w„   • (12-16)
n
Tato entropie je pro Tistý stav rovna nule, pro smípené stavy mílie nabývat velkých kladných hodnot.
12.3 Matice hustoty v soupadnicové a impulsové representaci
V soupadnicové representaci máme
Sln)w»ln)
co
Pro stpední hodnotu operátoru
($} = Tr{/§^} = jdxjdx' p(x,x')A(x' ,x)
(12.17)
(12.18)
64
Operátory soupadnice a hybnosti jsou ve svých representacích
X i^x' ,x) = (x' |      = x(x'    = xôi^x' -x) , P(p', p) = (p11 £| p) = p (p' | p) = p ô(p' - p) ■ Stpední hodnoty operátorLUsoupadnice a hybnosti jsou tedy
($) = || p{x, x') x ó(x7 - x) d x d x = | x p{x, x) d x , (P) = \\p(p,p')pô(p'~p)dp' d p = j pp(p,p)dp Ppechod mezi representacemi je dán vztahy
dq
^exp
—q x
q) , \p)
dy
Pro matici hustoty tedy máme
"C r •
p(x,x'} =     p{p,p7)exp —{px-p'x^ J J L" T r p(p,p') =     p (x, x*) exp -—{px- p' x^ J J L "
Operátor hybnosti v soupadnicové representaci získáme z
h d / i  \ / i d /\   h d
exp
■y p
y)
d p dp'
Infi dxdx
2nh
Je tedy
(ß) = = ^ p(x,x'^-^-S(x-x'^dx' d x ■
dx—p(x,x'^
12.4 Matice hustoty ve statistické fyzice
Za pravdapodobnosti volíme 1
w.
'n=-exp{-j3En}   ,   Z = exp[-/?F] = £exp[-/?Eř!]   , ß-
kBT
Z vyjádpení operátoru matice hustoty a hamiltoniánu
ß=^Y\n)^p[-ßEn](n\   ,   Ě> = Y\n)En(n\
vidíme, Te operátor matice hustoty splKuje rovnici
65
(12.28)
Obecný zápis operátoru matice hustoty je
exp
Tr{exp[-^i^]J Pro vnitpní energii U a volnou energii F máme
(12.29)
U=Tr
.     , TríiČexpľ-^iČ])
Pp praktických výpoTtech postaTuje pepit rovnici pro nenormovanou matici hustoty fy =exp|^-/?i$J a po výpoTtu spoTítat stopu pro normování. Pro nenormovanou matici hustoty máme rovnici
Ml-íS*    ,   p%(0) = § . (12.31)
d]3
Pro jednorozmarný pohyb volné Tástice máme v soupadnicové representaci rovnici
_5^ = J15^)      p„(x,x',0) = 4v-x')
d(3 2m        pv v /     v /
dx
(12.32)
n epením rovnice (12.32) je
pv(x,x ,(3) = — exp
(x-x7)
Áj,
KmkBT j
(12.33)
nepení ukáieme jepta jinak, pro zmanu ve tpech rozmarech. Máme
n
Pro Tástici uzavpenou ve velkém objemu V nahradíme sumaci integrací
(12.34)
takle dostáváme
V
(27Fh)
d3 p
f 1 ■\d3p   ,   ^„(*)   -> ^(í)=^-exp
— p-x
h
(12.35)
(2^/z)
■exp
/?— + 1P-(x-X/) 2m   h    y '
1
=T?exp
(x-x7)
(12.36)
Vpimname si, Te pro volnou Tástici musíme stopu poTítat jen ve vymezeném objemu, takle
66
Trp% = jd3xpv(x,x,/3)=-^jd3x = ^ .
(12.37)
12.5 Lineární harmonický oscilátor
Hamiltonián je
ma
2m 2
V soupadnicové representaci tedy dostáváme rovnici
i2
(12.38)
h2 d2pv ma
dpu_____
d (3      2 m d x2
+ ——xpu   ,   pv [x,x ,0J = d[x-x J
(12.39)
Zavedením bezrozmarných promanných
nV2
ma ~h~
ha _
x  ,   rj = —]3
ha 2k~ť
(12.40)
ppejde rovnice (12.39) na
_ d2pv
+ Š2PV , Pv(š,ť,o)
ma
1/2
(12.41)
Pro velmi vysoké teploty, tj. pro se bude matice hustoty blílit matici hustoty volné
Tástice, tedy
p^^'^O)
-M
ma Anh rj
y/2
exp
4tj
Budeme proto hledat pepení ve tvaru
pu =exp[-a(^)^2 -b(rj)š-c(rj)~] .
Dosazení (12.43) do (12.41) vede na
da „2   db      dc   /.    . 2\ ^    A   1 r   * 72 —£, +—£, + — = (1 - 4a K -4ab^ + 2a-b drj       drj     drj   v '
(12.42)
(12.43)
(12.44)
Postupná dostáváme pepení rovnic pro funkce a(rj) , b(rj) , c(tj). Ukáleme jen pepení první z nich:
da a=yl2     dy \
-- = drj    -» —y— = 2drj   -»   a = -coth2(rj-rj0)   . (12.45)
l-4a í-y 2
Konstantu rj0 musíme pololit rovnu nule, abychom pro rj^O dostali a(/7)^l/(4>7).
Podobna snadno integrujeme zbývající dva rovnice, ppTemr konstanty urTujeme podle chování pro vysoké teploty. Druhá rovnice je
67
db
2coth(2?7) dri   -»   lnö = -ln[sinh(2^)] + ln A
A
sinh(2?7)
KoneTna tpetí rovnici integrujeme ppřmo
lr n A2
c = -ln[sinh(2^)J + —coth(2^)-ln5 ,
takle
Pv
B
(sinh 2 77)
^exp
f &
A% A
Y
—com2 r> + 2 sinh2?7 2
H--com2 77
Pro máme
B
Puiv^Ö)^—"vT exp (27)
<f+2A<f + A2 4?7
odkud srovnáním s (12.42)
A = ť   , B
f Y/2 1 mco 1
Matice hustoty pro harmonický oscilátor je tedy
pv(x,x' ,ß)
mco
V/2
2 ;r/z sinh ßhco
exp^
mco
2 h sinh /? /z 0
[^(x2 + x/2)cosh/?/zr» -2xx'
Pro x' = xje
MO
y/2
2 ;r/z sinh
exp
mo  2 , --x tanh-
Mineme ji také rozlolit podle vlastních funkcí hamiltoniánu
pv[x,x' ,ß)
mco
7tfl
V/2
V2    ^ r
x
a pro x =x
68
pv(x,x,ß)
í V/2 ' ma 1
v nh j
ma) 2 exp<--x
H..
f r      v/2 "\ ma x
x
h
j.
(12.54)
Pprozena máme stejný výsledek pro volnou energii jak podle (12.54), tak podle (12.52)
1
exp[-/?F] = J pv (x,x,ß)dx
2sinh ß
h a
V 2
(12.55)
takle
F=— ln ß
f
exp
fíha ~2
-exp
fíha ~2
ha
+ fcBrin
1-exp
ha
(12.56)
Pro normovanou matici hustoty dostáváme z (12.51) a (12.55) výraz
/ i \ (ma ha pyx,x ,T\ = \ —-tanh-
y/2
{7th 2kBT
exp
ma
2 h sinh
ha
í    2  . 12
\ X + x
)cosh ^ - 2xx
kBT
kBT
Limitní ppípady jsou
p(x,x j}
\f V/2 ma
^ nh
exp
f 1 2 v/2
' 1 ma '
7t 2kBTj
ma ~2h
exp
(x2+x/2) =^o(x)^0*(x/) r^o
(x-y)2
--x
2kBT
(12.57)
(12.58)
Pro diagonální elementy máme
p(x,x,T)
V/2
•tanh-
v 7th       2kB T j
ma    ,   ha 2 exp<--:—tanh—-x
h
2kBT
(12.59)
p(x,x,T)
f V/2 1 ma 1
exp
v nh j
f i     2 y/2
' 1 mŕ» *
K7t2kBT j
ma 2
--x
h
exp
yQ(x)|2 r^o
mŕ» 2 -x
(12.60)
69
12.6 Wignerova rozdalovací funkce
Klasicky máme pro rozdalovací funkci
./ ^dxdp . f(p,x)-= 1
2/rh
P(x)= f(p,x)
d p 2/rh
P(p)=   f (p,x)
dx 2nh
(12.61)
Wigner navrhl rozdalovací funkci ve tvaru
fw(p>x)-
ÍX+2 >X~2 fXP HPy\dy
(12.62)
Hustoty pravdapodobnosti nalezení soupadnice nebo impulsu v daném intervalu, vytvopené z Wignerovy funkce mají vpechny poladované vlastnosti.
d p
Pw(x)= fw(p>x)
2nh
p\ x+—,x-— }— 1     2      2 )2n
	i
exp J	—rpy h
^-dy = p(x,x)
(12.63)
a pro hustotu pravdapodobnosti nalezení hybnosti v intervalu ( p, p + dp)
Pw(p)= fw(p>x)
dx
1
2nh, 2nh
P[X+2 ,X~\ CXP
— py
h
2nh
dy dx = dšdš1 =p(p,p) ■
(12.64)
Samotná Wignerova rozdalovací funkce vpak mule v nakterých oblastech fázového prostoru nabývat záporných hodnot. To není ppípad lineárního harmonického oscilátoru, kdy máme pro fw (x, p) vpude nezáporný výraz
fw(P>x) =
(12.65)
1     , ßhco -tanh-exp
TTh 2
mco    , ßhco 2
--tanh-x
h 2
exp
1       , ßhco 2 tanh —-p2
mcoh
který pro malé hodnoty argumentu hyperbolické tangenty (vysoké teploty, nízké energie) ppechází na klasické rozdalení
,2 "|
A(M^exp|_^qexpl ßP
2tt
2m
(12.66)
70
12.7 PolarizaTní matice
Velmi jednoduchý pfíklad matice hustoty tvofí polarizaTní matice, pppizení rovinné elektromagnetické vlny a normovaného dvourozmarného vektoru
Ě = (Exex + Eyey)exp\i—(z-ct)
a
: a
+ b\
1
a
a + bb* =1
Matici hustoty pro tento (Tistý) stav vytvopřme standardním zpLLíobem
'aa    ab 1
£ = \E){E\~-Pro lineárna polarizovanou vlnu máme napp
A
yba    b b j
íl 0^	Á -	(0	
v0 Oj		v0	
A
■/4
fl/2 1/2) 1/2 1/2.
A,,
/4
Pro kruhová polarizované svatlo máme
f 1/2 i/2)
A
Pro nepolarizované svatlo pak
i/2 1/2
1/2 -1/2^ -1/2 1/2
fl/2 -i/2) i/2 1/2
A =\{A + A)=\{A/4 + Ä,/4)=^(A + A)=J2^
Pro spinové stavové vektory Tástic se spinem Vi máme
'O
H+>:
->=-^[h)H->]=^
0^
M=jj[l+M-»^m
->'>^[l+M-»^
Pro polarizaTní matice dostáváme
„     íl   0^       ..     fO 0l
0 o
0 1
A,
'1/2 1/2) ,1/2 1/2
A.
1/2 -1/2^ -1/2 1/2,
A
+y
íl/2 -i/2~\ i/2,
V2 i/A -i/2 1/2,
71
Porovnáním (12.73) a (12.69) resp. (12.70) dostáváme analogie mezi polarizaTními stavy foton Lila elektron Lil
13. Viriálový teorém
13.1 Eulerova vata o homogenních funkcích
Majme homogenní funkci N promanných stupna k, tzn. platí
f (t X[ ,t x2,.. •, t xN ) — t f    , x2,.. •, xN )   . (13.1)
Eulerova vata fiká, Te souTet souTinlllparciálních derivací homogenní funkce s odpovídajícími promannými je roven dané funkci násobené stupnam homogenity
Yjxn d^Xl,*2,''',X^ =kf(x1,x2,...,xN)  . (13.2)
n=\ OXn
Důkaz provedeme pro N=2. Máme
d_
dt
f(u = tx,v = ty) = tk f(x,y)   =>   xfu(u,v) + yfv(u,v) = ktk~1f(x,y)     ^3 3)
=>   xfx(x,y) + yfy(x,y) = kf(x,y) .
13.2 Viriálová vata
Máme-li ohraniTenou funkci /(í) , je stpední hodnota její derivace rovna nule, neboLi
\ dt / T^T
df(t) f(T)-f(0) J wdt = limJ v ;  J v J =0  . (13.4) dt        T^ T
PoTítejme teblpro soustavu Tástic
o=(fíř,í)=(?^^(?A^)=(?í-í)+(?i.,^).a«)
Síla pLLíobící na Tástici je dána jednak vzájemnou interakcí Tástic, jednak vnajpími silami tlakem
(?^í)=-(?5f)-1ř-rfs"=-(?5f)-''ídiw-rfv =
(13.6)
Dosazením (13.6) do (13.5) dostáváme
72
Kinetická energie K je homogenní funkcí hybností stupňa 2, potenciálni energie IT aLije homogenní funkcí soupadnic stupňa n. Máme tak z (13.7)
2(K)-/í(n)-3PV = 0   . (13.8) Ke vztahu (13.8) ppistupuje jepta zákon zachovaní energie
(K) + (n) = U   . (13.9)
Muieme-li vzájemnou interakci Tástic zanedbat (tj. (iT)^O, dostáváme obecný vztah pro ideální nerelativistický plyn P V = (2/3) Č7 .
14. Poruchová teorie
V tomto odstavci budeme pro jednoduchost zápisu vynechávat znaTení operátorLU stpřpkou a také spodní index U u nenormované matice hustoty. 14.1 Poruchová teorie pro matici hustoty
Budeme pepit rovnici (12.31)
^ = ~Hp   ,   p(P=0) = l (14.1)
za ppedpokladu, Te muieme hamiltonián rozdalit na Tást základní (Kneporupenou") H0 a malou poruchu Hx. Matice hustoty neporupené úlohy je pepením rovnice
d Po
-HoPo   . (14.2)
d]3
Vliv poruchy by nemal být velký a tak vidíme, Te zmana exp[/?/f0]/? s teplotou je opravdu malá " úmarná poruchovému Tlenu hamiltoniánu
-^(cxp[^H0]p) = cxp[^H0]H0p + cxp[/?H0]^ =
exp[/?#0]#0 p + exp[j3H0]Hp = -exp[j3H0]Hl p .
Integrací (14.3) v intervalu (0,/?) dostáváme
p
cxp[j3H0]p(j3) -1 = -jexp[j3' H0~\HlP(/3')d/3' (14.4)
o
a po vynásobení obou stran rovnice zleva exp[-/? iř0]
p
p(j3) = p0(j3)-^p0(j3-j3')H1p(J3')dj3'   . (14.5)
73
Rovnici (14.5) pak muieme pepit iteraTní metodou
p
Pn{/3) = Po{f3)-\po(f3-f3l)H,pn_\f3l)d0   ,   « = 1,2,... (14.6)
o
Máme tak
p (0) = p0{/3)-\p0(/3-/3l)H,p0(/3l) d/31 +
o
Pr „ (14-7)
po(f3-f3')Hx\po(0-f3") Hx p0 (fi") d/3" d0
V soupadnicové representaci máme (napípeme jen první aproximaci) p(x,x' ,j0) = {x\p(j0)\x') = p0 (x,x' ,j0) -
(14.8)
Ve (14.8) jsme vlolili jednotkové operátory
$\y)dy(y\ = l\y<)dy<(y<\ = l  . (14.9)
Dále ppedpokládáme, Te porucha Hx ppedstavuje lokální interakci, tj.
(y\Hi\y') = V(y)ó(y-y')   . (14.10) Dosazení (14.10) do (14.8) dává
co
C P
p(x,x' ,j8)=p0(x,x' ^p0(x,y,j8-j8')v(y)p0(y,x' ,0')d0'dy + ... (14.11)
J 0
— 00
14.2 FeynmanLU/ operátorový poTet
Máme-li spoTítat poruchovým poTtem volnou energii
exp[-^F] = Tr{exp[-^H]}   , (14.12)
musíme nejprve najakým zpUáobem Krozplést" operátory H0a Hx ve výrazu pro matici hustoty p. Pro tento ppípad objevil Feynman zvlápta vhodný formalismus operátorového rozplétání". V ponakud matematicky upravené forma vypadá FeynmanliS' formalismus následovná:
14.2.1 Základní pojmy
Majme prostor £ spojitých komplexních funkcí na intervalu [0,1] a jeho zobrazení TI
do C (ppesnaji zobrazení kartézských souTinLU£ zobrazení do C )
74
jm(/1,/2,...,/j=}/1WdMwl/2W^W-"l/tW^W • (14-13)
0 0 o
Zobecnaní na operátory není triviální. Majme tebI zobrazení £(21) spojitých funkcí z [0,1] do algebry operátorLUSl. Pokud A, e2l,fi, e 21 pro kaldé ŕe[0,l], takle A, e C (21) ,Bt g (í (21) ,
má výraz
o o
smysl (pokud integrál existuje), avpak mule být
ii ii
JA,dfil(t)JBsdfil(s)^JBsdfil(s)JAldf£l(t)   . (14.15)
0 0 0 0
Jsou-li míry =í(r) a ^(s) soustpedany do bodlllřo a so, máme ze (14.15)
A B *B A    ,   AB-BA^0   . (14.16)
Tady vidíme, Te operátory mohou odpovídat konstantním funkcím, ppesto je molno formalismus poulívat. Feynman zavádí operaci rozpletení operátoruj kterou budeme znaTit slolenými závorkami (není to tedy v této kapitole znak antikomutátoru)
(A Bs}
bsA
pro   t> s pro   t < s .
(14.17)
^(A^+^A) Pra t = s
Platí vidy
{€ + €'}= {£} + {£'} ■ Pokud vpechny operátory v <L' pUáobí pped libovolným z operátorlllv <L . Platí pak
{€€'} = {£}{£'} .
Ppíklad:
{exp[A0+JB1]} = |/ + (A0 + JB1) + |(A+51)2+-} =
I + \ + Bí+^ + BíA0+±Bf+~- ,
ale
(14.18)
(14.19)
(14.20)
75
exp[A0 + Bí] = I + (A0+Bí) + ±(A0 + Bí)(A0 + Bí) + ~- =
I + A0+B1+±-(ÁŠ+BlA0 + A0B1 + B?) + -
(14.21)
14.2.2 Tpi ppíklady pro g(a,b)=a.b
Operátoru A pp-dáme parametr odpovídající Lebesgueova mípe, operátoru B Diracovu míru soustpedanou v pravém krajním boda, tedy
je-li naopak
i i
A = $A(t)dt   ,   B = $B(s)S(s-l + 0)ds   =>   {AB} = BA   , (14.22)
i i
A = $A(t)dt   ,   B = $B(s)S(s-0)ds   =>   {AB} = AB   . (14.23)
Ppi standardním pppizení si integraTní oblast podle obrázku vhodná rozdalíme na dva trojúhelníky, takle máme
r i i "i    i / i í
{AB} = \ jjdtds A(t)B(s) i = jdt A(t)jdsB(s) + §dsB(s)jdt A(t) =
J     o o o o
1       / 1       s -.
ABJdtjds + BAJdsjdt = -(AB + BÁ)   . (14.24)
o o
Máme tak z jedné funkce p p komutativních promanných tp rUíné funkce nekomutativních promanných " a jista se dají konstruovat dalpí. 14.2.3 Vata o uspopádání operátorni
V tomto odstavci ppebíráme postup z Tlánku Miranker W.L., Weiss B.: The Feynman operátor calculus, SIAM Review 8 (1966), 224 " 232. Podstatný výsledek pro exponenciální funkci operátorLilj e identický s výsledkem, získaným Feynmanem, ale v Tlánku uvádaná teorie je obecnajpí.
76
Vata: Pro A{t) = A, B{t) = B na intervalu 0<ř<l platí
i i
JA(t)dt JB(t)dt
y   A<*> BŘ Aa> Bß\ (k + l)\anXÍ0A
(14.25)
kde A"1 Bßi A"2 BPl.. .jsou vpechny rLlíné souTiny s k operátory Aal operátory B, tedy
2«»=*   >   Hßn=l   • (14-26)
n n
Důkaz vychází z ppfcchodu od integrálu
{ } = ||...jA(ť1)...A(řt)A(í1)...JB(íř)dť1...dřtdí1...dířJ (14.27) k souTtu integrálnippes vpechny permutace promanných tl,...,tk,sl,...,sl
(14.28)
kde
C(ľl(-)=tH) = A(tH) = A , C(n(.) = sn) = B(sn) = B . (14.29) Faktor (& + /)! je dán plochou (pUfodna Ttvercové oblasti o strana jednotkové délky) vytvopenou podmínkou 0<n(ř1)<---n(,s,,)<l, TlenLUkteré se lipí jenom zamanou A je k\, obdobná Tlenlllkteré se lipí jenom zamanou B je Z! Máme tak nappíklad
{A} = A   ,   {AB}=^(AB + BÁ)   ,   {A2 B} = ^(A2 B + AB A +B A2)
Vata: Jsou-li/, g, '=a : analytické funkce splKující rovnici
f(x+y) = g(š(x)My))
a platí A{t) = A,B{t) = B na intervalu 0<ř<l,pak
(14.30)
(14.31)
g\ A JA(t)dt U JB(t)dt   \ = f(A+B)
(14.32)
Pro důkaz nejprve zapípeme mocninné rozvoje
CO CO CO
/(*+30=E/*(*+30t = EE/.-
m-0n-0
CO        CO f
j j
y   n j
x'" y"
(14.33)
oc,ß m-0 n-0\^a,ß
X x
Porovnáním koeficientlllu stejných mocnin xm y" dostáváme fm+n a tak muieme psát
77
z^
a,P
•afi
1 1
JA(t)dt JB(t)dt
(14.34)
zz
V  " j
•fm + n
i i
JA(t)dt JB(t)dt
Podleji! dokázaného muieme výraz {•} rozplést tak, Te (14.34) je práva padá pro /(A+5) .
14.2.4 Rozpletení exponenciální funkce souTtu dvou operátorlll
Ve statistické fyzice se jedná o aproximativní výraz pro
f = exp[-0(HQ+Hl)] . (14.35) Nejdulelitajpím dUáledkem vaty (14.32) je tedy pro nás (pro A{t) = A, B[t) = B na intervalu 0<f<l)
exp[A+5] = <^ exp
i i
^A(t)dt exp JB(t)d
Rozvoj druhé z exponenciálních funkcí vede na exp[A + 5] = exp[A] +
JA(t)dt JB(t)dt^ + ^
exp
exp
^A(t)dt \\B(t)d
,2-)
> + ■
Upravíme
exp
ii i JA(t)dt JB(t)dtl=   exp jA(s)d
5 (ŕ) exp
JA(s)ds
dt
i
Jexp[(l-ř)A]JBexp[řA]<iř .
OznaTíme
S0(ř) = exp[řA]   ,   Sl(t) = jexp\_(l-s)A~]BS0(s)ds
a obecná
1 ŕ
Sn(t) = -^xp[(l-S)A]BSn_1(S)ds .
Potom se (indukcí) ppesvadTíme, Te muieme zapsat (14.36) jako
(14.36)
(14.37)
(14.38)
(14.39)
(14.40)
78
exp[A + i?] = £sB(ŕ=l)   . (14.41)
n = 0
14.3 Nerovnost pro volnou energii (1)
Pro ulití vztahu (14.41) pro výpoTet volné energie je úTelné zmanit interval z [0,l]na
[0,/?] a zvolit operátory jako A=-H0, B = -Hi, takle budeme mít
p
exp[-/?(#0 + #j)] = exp[-j0 H0]- j duexp[-(/3-u)H0~\H1 exp[-uH0] +
0 (14.42) ^dux^du2 exp[-(y?-í/1)ií0]ií1 exp[-(í/j -u2) H0~^H1 exp[-w2 H0]---- .
o o
Pp výpoTtu budeme vyulívat vztahu  Tr((9j (92) = Tr((92 Oj), který obecná v prostoru
nekoneTné dimenze neplatí. Spektrum operátoru exp[-/?/f0] vpak zaruTuje platnost uvedené
zámany. V prvním integrandu volíme 02 = exp[-u iř0], ve druhém 02 = exp[-u2 if0]. Máme tedy
exp[-/?F] =
p
Tr(exp[-/?(#0 + H,)]) = Tr(exp[-/?#0]) - jduTr(cxp[-j3 H^H,) + (14.43)
o
p «1
^dux^du2 Tr(exp[-/?.ŕŕ0]exp[(w1 -u2)H0^H1 exp[-(wj -u2)H0~^H^j---- .
o o
Substituce Wj = v , u2 = v-wppevede druhý integrál ve (14.43) na
p
jdvjdwTrfa^-jSH^ex^wH^H^xpl-wHo]^)   , (14.44)
o o
substituce ul=fl — v,u2=w—v na
p P
j dvj dwTr(exp[-w H0]H1 exp[-j0 H0]exp[wH0]H^j
0 v P P
jdvjd wTr(exp[-/? H0 ] exp[ wH0 ] H1 exp[- wH0 ] H1)
(14.45)
V poslední rovnosti jsme zamanili popidí operátorlll ve stopa souTinu s volbou Oj =exp[-w. Vezmeme-li tebl prumarnou hodnotu (14.44) a (14.45), zbavíme se závislosti na promanné v a dostáváme výraz
79
Qxp[-j3F] = exp[-j3F0] - jduTr(exp[-^H0]Bx) +
(14.46)
—j duTr(exp[-/3 H0]exp[u H0]H1 exp[-uH0]H^---- .
Vdalpím budeme psát Ht=^V, tedy pro H(^) = H0+^V je H(0) = H0 a H(l) = H. Vlastní vektory a vlastní hodnoty operátoru H0 budeme znaTit | n) a En. Pro stopy operátorlll ve (14.46) máme tak
Tr(eXp[-^H0]v) = 2(«|exp[-^H0]V|/z> = 2exp[-^£B]VBB (14.47)
n n
a
Tr(exp[- p H0 ] exp[u H0 ] V exp[- uH0]v) =
2S(nl exp[-^iŕ0]exp[wií0]y|m)(m|exp[-«if0]V|n) = (14.48)
^p[-/?En]exp[u(En-Em)]VnmVmn .
m,n
Vztah (14.46) je tebl
exp[-^F] = exp[-^F0]-^^^V;ř!exp[-^£ř!] +
f       ,     2exp[-/?Em]-exp[-/?E„] (14-49^ 2 Zj"| ™
Volnou energii napípeme také jako mocninný rozvoj
F = F0+ŠFi+š2F2+---   , (14.50)
takle
exp[-^F] = exp[-^F0]íl-^^F1+^2í^2F12-^F2l + -]   . (14.51)
j
Porovnání (14.49) a (14.51) dává
r        -i Trf^expí-^tfJ) Fx = exp /?F0\£VHHexp -fiEn]=    1  1   * fí„ ^ (14-52)
Tr(exp[-^H0J)
80
F2=|exp[2/?F0].
_lT\v 2Cxp[-j0Em]-cxp[-j0En]
^   /  j mn
(14.53)
m,n
E -E
n m
Druhý Tlen na pravé strana (14.53) je zjevna záporný, Te není kladný i první Tlen je vidat z Cauchyho " Schwarzovy nerovnosti (pro skalární souTiny)
zvolíme-li
Za b n n
a„ =V„„ exp
n        nn r
* Ikľ ZH:
(14.54)
P
,   bn = exp
P
(14.55)
Máme tedy pro koeficient F2 dokázáno, Te F2 <0. Pokud chceme s jistotou ukázat, Te platí
d2F(š)
<o
(14.56)
pro vpechna £, (tedy také pro <^=1), musíme postup ponakud zobecnit. Pro dalpí výpoTty ppepípeme nápvýsledek do tvaru
F<Fa   , (14.57)
kde
P
f,
1
Fa=F0+T,Wn Vnn ~~Z      Z W« \Vnn      H Z Wn Vnn "T Z \Vmn
p pitom £M jsou vlastní hodnoty operátoru H0 a
exp[-^£„]
2 W> - W
m n
E -E
n m
(14.58)
(14.59)
V první aproximaci je moTno zápis nerovnosti zkrátit na
F<Fa   ,   Fa = F0 + (H-H0)o   . (14.60)
14.4  Nerovnost pro volnou energii (2)
V tomto odstavci postupujeme podle kapitoly Minimální princip pro volnou energii v knize S.V. Tjablikov: Metody kvantovoj teorii magnetizma (Nauka, Moskva 1975). Vata: Hamiltonián soustavy aLije H = H0 + HX. Potom platí nerovnost
81
F<F0 +
Tr(exp[-/?#0]) '
(14.61)
kde volné energie jsou
F = -lln(Tr(exp[-/?#]))   ,   F0 = -lln(Tr(exp[-/?#0]))   . (14.62)
Důkaz: Au, H je funkcí najakého parametru % tedy H = H{£). Dále uvalujme veliTinu exp[ií (^)ř], kde / je najaký dalpí parametr. Zpejma platí
d_ dt
exp[H(š)t] = H(š)exp[H(š)t
(14.63)
Z (14.63) dostaneme
d_ dt
d_
dč,
dt
H (Z)±zxp[H (£)*] + ^Sp.exp[H (£) ä
exp[ff(£)i
0 .
(14.64)
Definujeme dále
takle máme
-jjexp[ff(f)r] = exp[ff(f) f]f/(f)
^ = exp[-í/(f)í]Mfiexp[í/(í)í]   , t/(/)l.0=0
Z ppedchozích dvou vztahUJdostáváme d
-JLexp[Ä(í)] = exp[Ä(í)]í/(l) =
exp
[exp[-Ä(i)/]^^exp[Ä(i)/]d/ -
(14.65)
(14.66)
(14.67)
Vezmame tebl speciální ppřpad H (£) = A + ^B a poTítejme stopu obou stran rovnice (14.67)
82
d
d
Tr
takle
Tr -j-exp[A+ŠB]j = — Tr(exp[A + š B]) =
exp[A+š B]jexp[-(A + š B)t]Bexp[(A + š B)t]dt
v o y
Tr(exp[A+^5]5)
Tr(exp[A+^5]) = Tr(exp[A + ^5]5) => d
_d_ d é;
A_Tr(exp[A+^]) =^Tr(exp[A + ^]5) =
í i Tr exp[A + ^5]Jexp[-(A+^5)ř]5exp[(A+^5)ř]jř
V o
Stopu spoTítáme pomocí vlastních vektorllloperátoru H (£) = A+č, B
(A+ŠB)\n) = sn\n) .
Máme
d2
B
d£
-Tr(exp[A+^5])
i
Z Z exP K ] jexP [~e« t] Bnm exP [em t] d t Bm
Y\b
exp[gm]~expK]
>o
s -s
m n
Platí
d2 f d%2
>0^)f"(t)dt = f>(š)-f>(0)>0.
)(f,(t)-f'(0))dt = f(š)-f(0)-fl(0)š*0 .
o
Pro stopy operátorLilplyne z (14.71)
Tr(exp[A+£5]) > Tr(exp[A]) + Tr(exp[A]#) . Zvolíme nyní č, = 1 a dále
A = -ßH0   ,   B = -ß(Hx-Hx)   ,   H1 = Tr^l£Xp["^
Tr(exp[-^H0J)
Po malé úprava dostaneme
83
Tr(exp[-/?(#0 +H,)]) > exp[-j3 H^Trfal-jSH^)
(14.75)
Po zlogaritmování a dosazení výrazlllpro volnou energii dostáváme vztah (14.61), který jsme mali dokázat.
15. Ppřklady poulití poruchové teorie
15.1 Klasická aproximace
Vyjdeme ze vztahuj 14.58) a (14.59)
ß
F = F lYw V -—   Yw V     - Vw V      —Y v
a 0     / j    n    nn      r\        / j    n    n n / j    n    nn r\ / j    m n
E -E
n m
exp[-/?E„]
(15.1)
Pro vysoké teploty (malé hodnoty <j>), kdy jsou rozdíly mezi energiovými hladinami malé ve srovnání s kBT, muieme aproximovat
exp[/?(E„-Em)]-l
£ -E
n m
E -E
n m
takle dostáváme
(15.2)
F = F0 + JiwHVHH-j-
Yw Yv v - Yw v
/ i    n / i   nm    m n / :    n nn
n m
Zavedeme-li pro stpední hodnotu oznaTení
(f) = TjWnfn >
(15.3)
(15.4)
muieme (15.3) zapsat jako
(15.5)
K tomuto výrazu dospajeme klasickým výpoTtem (Tárka u integrálu znamená, Te ekvivalentní oblasti fázového prostom se berou jen jednou)
exp
kBT
r'
r'
exp
kBT
exp
f
E0(p,q) + ŠV(p,q)
kBT
dY
(15.6)
V
kBT 2
v  kBT j
dY
84
Volnou energii také napípeme jako F' ^F0+^ Fx +^2 F2, výraz na levé strana je pak
exp
kBT_
exp
kBT_
f
kBT
	í '	2\	
2 v	ykB T J	J	kBT J
(15.7)
Porovnáme koeficienty u mocnin Na dostáváme (pololíme pak jako obvykle <^=1)
r'
F = F0 +
exp
F0-E0(p,q)
kBT
V(p,q)-
(V(P>9))
2^
2kBT
dT +
(15.8)
kde
2kBT
F0=-kBTln
f	c'
	exp
	
F0-E0(p,q)
kBT
V(p,q)dY
r'
exp
E0(p,q) kBT
dT .
(15.9)
Zavedením oznaTení pro stpední hodnotu
r'
(/)= /(PȒ)exp
Fo-E0(p,q)
kBT
dT
(15.10)
ppejde (15.8) na (15.5).
15.2 Anharmonický oscilátor
Jestlile ppibereme ve výrazu pro lineární oscilátor kubický Tlen v rozvoji potenciálni energie, je vhodné ul doppedu ppedpokládat, Te stpední poloha není x=0, ale naj aký obecný bod x = a . Máme pak
H = H0+Hi   , (15.11)
kde
2 2
p     mco / \2
2m 2
Ppejdeme k nové soupadnici y = x — a, takle
Tj _ P'   , m6)2 2
-"o   — + ——y
(x-a)    ,   Hx = f x3 +
mco
x
-(x-a)2
(15.12)
2m 2
Hi(y) = f y3 +3/ay2 +(3/a + mco2)ay + fa +
v
Ze vztahu (12.52)
Bio
2\
(15.13)
a
85
Pu{y,yJ)--
spoTteme volnou energii
V/2
mco
27fhsmh
hco
kBT j
exp
mco  2    , hco ■y tanh
h
2kBT
(15.14)
exp
kBT_
2sinh-
hco
J Pjj (x,x,T)dx B
(15.15)
takle pro normovanou matici hustoty máme
p{y,yJ)
y/2
nh
-tanh-
kB T j
exp
mco  2    , hco
h
-y tanh
2kBT
(15.16)
Liché mocniny y ve výrazu pro ^(j) dají pp výpoTtu stpední hodnoty nulový pp'spavek, takle zUátává jen
(Hi)= fa+^Y~ \a2 \ p(y,y,T)dy + 3fa j" y2p(y,y,T)d_
(15.17)
fa +
mco  12   3,,    h      , hco ■2 1    r" coth-
2   J      2 mco
2kBT
Zanedbáme Tlen fa3, takle pp minimalizaci (H^ vzhledem k zatím volnému parametru a dostaneme
3 f   h       , hco J -coth-
2kBT
2 m2 co3
Dosazení (15.18) do (15.17) dává (opat pp zanedbání Tlenu fa3
(15.18)
22 9 rT h mco a =—-/
2 f
2_
8"   m3 co4
coth-
hco '2k~Ťj
(15.19)
a tedy
f
F*kBT\n
2 sinh-
hco 2k~Ťj
2 z'
9     2 ^
8J m3^4
coth-
hco '2k~Ťj
(15.20)
15.3 Pohyb v ohraniTené oblasti (jednorozmarný problém)
V tomto popadaje
H = H0 + H1
2m
V(x)
(15.21)
kde
86
h.
p     mco ,      n.2       TT    T7, \ mco
n-J— +-(x-a)    , h,=V(x)--
0   2m      2   y      ' 1      w 2
\x-af .
(15.22)
Muieme v principu minimalizovat {FL^j
f
ma    , fico
tanh-
nfi       kB T
Y	
j *	exp
mco  2    , hco
■y tanh
2kBT_
\v(y + a)-^-y2\dy(l5.23)
vzhledem k parametrům a a <^ tj. získat rovnice
ôa ôco
(15.24)
a pepit je vzhledem k tamto parametrům. Pro jiný nel velmi speciální tvar potenciálu je to úloha urTená k numerickému pepení. 15.4 Viriálový teorém po druhé
Budeme uvalovat o zmanách souvisejících s infinitesimální zmanou lineárních rozmarni
L^L + sL   . (15.25)
Ppedtím ppipomeneme, Te platí
dF dV
dF dL
dL dV
1 dF
3 V2/3 d L
=>   3PV = -L
dF ~Ô~L
Máme
fl{í+s)*fl+(hl(í+s)-Hl)
(15.26)
(15.27)
Hamiltonián nerelativistických Tástic, jejich! interakce je binární a závisí pouze na vzdálenosti dané dvojice je
a 2 ma a^b
a<b
(15.28)
Potom
h
I(l + e)
Pa
7J2ma(l+sy
a,b a<b
HL+s\-2^^ + ^rabV'(rab)
a 2 ma a^b
a<b
(15.29)
a tedy
87
\a<b I
(15.30)
Upravujme
L^L^L^llfl-L = .L_LJ-UlL.   . (15.31)
ô L L s s
Vztahy (15.26) a (15.30) dosazeny do (15.31) dávají viriálový teorém
\ a<b I
15.5 Invariance volné energie
Pokud je hamiltonián pozmanan najakou infinitezimální transformací charakterizovanou parametrem s
H   ->  H (e) (15.33)
a volná energie s e p pitom nezmaní
F = F(s)   , (15.34)
dostáváme vztah
(H(s)-H)H=0   => (-^1
0  . (15.35)
s = 0 \
V ppřpada se zmanou pkály soupadnic a hamiltoniánem (15.28) je podmínkou konstantní volné energie nezávislost Fna objemu (tedy P=0). Dostáváme tak
-2(?é)+\5r-v'W'=0 •
\a<b
16. Nerovnoválný ideální plyn
16.1 Základní pojmy
Kaldý makroskopický stav ideálního plynu budeme charakterizovat následujícím zpUáobem. Rozdalíme vpechny molné kvantové stavy do tpřd blízkých stavili" kaldá tpřda obsahuje ppedevpím stavy s velmi blízkou energií. Tpřdy oTíslujeme pomocí indexLU7=1,2,...
PoTet stavlllv kaldé tpřda oznaTíme jako Gj, poTet Tástic v této tpřda jako Af.. Stav soustavy
88
je tedy plna charakterizován souborem Tísel j ATJ . Ppedpokládáme ppirozena, Te Gj, ale také
N ■ i sou velká Tísla.
j j
Entropie soustavy je úmarná statistické váze daného makrostavu " tedy poTtu zpLláobuj kterými lze tento stav realizovat. Jednotlivé tpídy povalujeme za nezávislé podsoustavy, máme tedy pro statistickou váhu celé soustavy
Ar = n Ar. . (i6.i)
j
16.2 Klasický plyn
Základním ppedpokladem pro klasickou soustavu je, Te obsazení kvantových hladin je velmi pídké, tj. ň} = Nj/Gj «: 1 (ppitom ale popád Nj je dostateTha velké). Muieme tak
ppedpokládat, Te se Tástice umisUují na hladiny nezávisle jedna na druhé (malá pravdapodobnost, Te se potkají" na urTité hladina). Potom jde o pravdapodobnost obsazení kaldou z N j Tástic jednoho z Gj stavili" variace s opakováním " ale podalenou poTtem
permutací Af. Tástic (Tástice jsou stejné)
GN>
AI\ . (16.2)
N j!
Pro entropii tak máme
S = kBlnAT = kBYJ^^J=kByZ(NjlnGj-ln{NJ^)   ■ (163)
Po aproximaci
dostáváme pro entropii výraz
ln(#!)* A^ln— (16.4)
e
S = kB^Njhi^  . (16.5)
Vztah (16.5) ppEpípeme pomocí obsazovacích Tísel na
S = kBYGiňiln4-  ■ (16.6)
J nj
Ve stavu statistické rovnováhy nabývá entropie maximální hodnoty. Zapípeme-li doplKující podmínky
ZNj=ZGjňj=N   ,   Z^jNj=^jGjňj=U   , (16.7)
j j j j
hledáme extrém metodou Lagrangeových multiplikátorlll
89
ô
dn,
—(S + aN + j3U) = 0 .
Derivování dává
odkud pro obsazovací Tisla
Gk(-kB\nnk+a +/3sk) = Q) ,
nk = exp
Konstanty urTíme z termodynamického vztahu, kdy ppi konstantním objemu je
dU = TdS + judN ,
takle
a=—   ,   j0 =--
T T
a dostáváme skuteTna Boltzmannovo rozdalení
(16.8)
(16.9)
(16.10)
(16.11)
(16.12)
nk = exp
Poznámka: Ppi kvasiklasické situaci je
(16.13)
(16.14)
kde s je poTet stup KLU volnosti. Ppejdeme pak od sumace k integraci a pro entropii dostáváme vztah
S = kB \ nln—dr n
(16.15)
16.3 Fermiho plyn
V kaldém kvantovém stavu mule být jen jedna Tástice, ale celková je mnoho Af. stále velmi velké Tíslo, stejného pádu jako G.. Vzhledem k vlastnostem fermionlllje statistická váha poTtem kombinací bez opakování, takle máme
Ar.
Gr-
Entropie je (vpechny faktoriály aproximujeme vztahem (16.4))
S = kBZ{Gj lnGy - Nj lnNj - fa - N^Gj - Nj)}
j
nebo ppepsáno pomocí obsazovacích Tísel
(16.16)
(16.17)
90
S = -kBJjGj {ň,lnň,+(l-n>(l-n,)}
(16.18)
Ppdáním doplKujících podmínek (16.7) a nalezením maximální hodnoty entropie dostaneme pro rovnoválný stav Fermi " Diracovo rozdalení
a+j8sk
exp
exp
a+/3sk
(16.19)
+ 1
neboli po dosazení ze (16.12)
exp
kBT _
(16.20)
+ 1
V jaké limita ppejdeme od statistické váhy (16.16) ke klasické, dané vztahem (7.15)? Potpebné úpravy jsou
{gj-njY*{gj-n>^^ G.ln^-^.lnG.+A^.+(G.-A^.)ln
1--J-
v Gu
(16.21)
GrG]
kde zanedbáváme zbytek
^.lnG.+A^.+(G.-A^.)ln
f
N:
1--í
v Gu
2G,
(16.22)
16.4 Bosého plyn
Na rozdíl od fermionlll mule být kaldý kvantový stav obsazen libovolným poTtem bosonLU Statistická váha je daná poTtem kombinací s opakováním. Standardní ppedstava o výpoTtu uvaluje rozmístání Af. kuliTek do G. ppihrádek. Jde tedy o poTet molných
uspopádání souboru Gj-l + Nj hranic mezi přihrádkami a kuliTek " to je (Gj-l + Nj^l. Pak
je tpeba nezapoTítat identická uspopádání (hranice jsou stejné, kuliTky jsou stejné). Statistická váhaje tedy
(Gj + Nj-l)l
Ar.
(16.23)
^(Gj-iy.N/.
Pp výpoTtu entropie kroma ppibliTného vyjádpení logaritmu faktoriálu velkých Tísel podle (16.4) zanedbáme také jedniTku oproti G. a dostáváme
91
s=kBT{{gj+NjHgj+Nj) - nj   - gj ^gj}
j
nebo ppepsáno pomocí obsazovacích Tísel
S = *aS^{(l + ^)ln(l + ^)-^ln/i,} •
(16.24)
(16.25)
Ppdáním doplKujících podmínek (16.7) a nalezením maximální hodnoty entropie dostaneme pro rovnoválný stav Bose " Einsteinovo rozdalení
a + j8sk
exp
1 - exp
a+/3sk
(16.26)
neboli po dosazení ze (16.12)
	sk~iu	-1
exp		
	kBT j	
(16.27)
Pro pptchod od statistické váhy (16.23) ke klasické hodnota (7.15) upravujeme (Gj + NJ-l)l«(GJ-l + Nj)ln >        > =
G-\
{Gj-l)ln^— + Nj ln(Gj-1)-Nj +(Gj -1 +tf>
1 +-J—
(16.28)
GrGí
kde zanedbáváme (je vhodné zaznamenávat kaldý krok aproximací, i kdy! vypadá zcela triviálna)
(G,-l+tf>
1+—J—
v Grh
-N:
2Gj
(16.29)
U bosonLU mohou nastávat situace, kdy poTet Tástic je mnohem vatpí nel poTet hladin ~ňk »1, tedy situace opaTná ke klasické statistice. V takovém ppípada upravujeme
(Gj + Nj-iy^Gj-l + Nj)^ J J
njln^T + (G; "1)ln^ "(G; -MGj -1+
1+^—
(16.30)
V
NjlNj
j j
a statistická váha je pak
Ar,
N
1   (M1 '
Entropie takového stavuje (opat zanedbáváme j edniTku oproti G})
(16.31)
92
S = ^£G.ln^  . (16.32)
j gj
17. Fluktuace
17.1 Gaussovo rozdalení
Entropie jako funkce energií podsoustav urTuje hustotu pravdapodobnosti výskytu
tachto energií ve výrazu exp[5//tB]. Jestlile energie závisí na najakém parametru x, muieme proto pravdapodobnost, Te parametr x lelí v intervalu (x,x + dx) zapsat jako
w
(x)dx   ,   w(x) = konst.exp
(17.1)
Tento vztah poprvé uvedl Einstein (Theorie der Opaleszenz von homogenen Flüssigkeiten und Flüssigkeitsgemischen in der Nähe des kritischen Zustandes, Annalen der Physik 33 (1910), 1275 " 1298). Úvahy, které vedly ke vztahu (17.1) jsou zcela v rámci klasické fyziky. Uvebme tedy nejprve podmínky toho, aby kvantové fluktuace byly zanedbatelné s fluktuacemi termodynamickými. Kvantová neurTitost AE stanovení energie ppi mapení veliTiny x s ppesností Ax musí být alespoK
AEAx~hx~h-   , (17.2)
t
kde t je doba charakterizující rychlost, s jakou se maní veliTina x s hodnotami mimo statistickou rovnováhu. Tato doba mule být blízká relaxaTní doba, ale také perioda najakých vybuzených vln. Ppirozena poladujeme Ax<Kx, odkud
AE»-   . (17.3)
t
S touto neurTitostí energie je spojena neurTitost entropie
AS h ,1n AS -»-           . (17.4)
fcß       t fcß T
Pro platnost klasického vztahu (17.1) je nutné, aby kvantová neurTitost entropie byla malá ve srovnání s Boltzmannovou konstantou, tedy musí platit
r»—   . (17.5)
kBT
93
Vztah (17.5) je hledanou podmínkou pro to, aby termodynamické fluktuace ppevalovaly nad kvantovými. Je vidat, Te ppi ppřlip nízkých teplotách nebo p píli p rychlých zmanách sledované veliTiny tato podmínka nebude spínaná.
Ppedpokládejme vhodnou volbu poTátku odeTítání veliTiny x, tj. ppedpokládejme (x)=0. Entropie >S(x) má maximum v x=(x)=0 (rovnoválný stav), proto máme
d2S
dS_
dx
0 ,
dx
<0
x = 0
odkud
(17.6)
(17.7)
w(x)dx
K2n j
exp
■Ir
2
dx .
(17.8)
Normovači konstanta je zvolena z ppedpokladu -co<x<co . Vztah (17.7) jsme sice odvodili pro malé hodnoty |x|, ale vzhledem k rychlému poklesu Gaussovy kpivky se rozpípením intervalu nedopouptíme znatelné chyby. Stpední hodnota druhé mocniny fluktuace je
CO -.
(x2) = j x2w(x)dx = —   , (17.9)
-CO
takle muieme vztah (17.8) psát také jako
w{x)dx
(2,{x2))
x
2<4
dx
(17.10)
Pro hladkou funkci f(x) s od nuly ruinou první derivací v x=0 dostáváme
((A/)>((/-(/»:
	
dx v	x = 0 y
{ň
(17.11)
17.2 Gaussovo rozdalení pro nakolik promanných
Pokud je entropie funkcí n párame triu S^Xj je rozvoj v okolí rovnoválného
stavu
,   ~~ , °    ry ßik xi xk   '   ßik - ßu
(17.12)
94
Pp zápisu poulíváme sTítací konvence " ppes opakující se indexy se sTítá od 1 do n. Hustota pravdapodobnosti w je nyní dána vztahem
1
w = A exp
■Pik xi xk
,   j...jwdx1 ...dxn =1 .
Transformace x-=aik x'k bude diagonalizovatkvadratickou formu, pokud
B, a a, = ô    =>   B, x x, =8 x1 x1
r^ik    ir    ks rs r^ik    i    k rs    r s
Z maticového vyjádpení dostaneme pro determinanty
/3 a2 =1 (deta)2=det^ .
Víme, Te |deta| je Jakobián transformace, takle máme
(det/?f
(17.13)
(17.14)
(17.15)
A|deta|	(° ty	0 exp	1 21 — X 2	\ dx
	\-			J
(17.16)
Pro hustotu pravdapodobnosti w tak máme
w-
'Pik Xi Xk
(17.17)
Zavedeme veliTiny Xi termodynamicky sdrulené k xi vztahem
1 dS
kB dx,
Pikxk ■
(17.18)
Vzhledem k lineární závislosti v (17.18) platí i inversní vztah " je-li S vyjádpena pomocí Xt, máme
b b z
kB dX,
(17.19)
Stpední hodnotu souTinu xi Xk spoTteme pomocí integrace per partes
d
(det/?f
(2nf J   J H dx
■exp
2 Pik Xi Xk
dxl...dxn=Sik
(17.20)
Vynásobením matice stpedních hodnot (jtr maticí /? 1 nebo maticí /? dostáváme dalpí vztahy, takle celková mineme psát
(xiXk) = Sik   ,   {XiXk) = ]3ik   ,  (xixk) = (J31)ik   . (17.21)
95
Platí-li pro nakteré dva parametry (oznaTíme je xx a x2) (jc, x2)=0, pak jsou fluktuace tachto
parametrlll statisticky nezávislé. Integrujeme-li hustotu pravdapodobnosti ppes vpechny zbývající promanné, zUátane pouze
wu = konst.exp
Z (17.21) máme
~ r^P\\X\        P\2X\X2 ^^22X2
(11.22)
{xlx2) = 0   =>   (jff'-1)  =0   =>   j0u=O   . (17.23)
Poslední implikace plyne z =~fí^l^fí ■ Rozpadá se tedy (17.22) na souTin dvou
nezávislých Gaussových rozdalení. Tvrzení v opaTném smaru je triviální: jsou-li parametry nezávislé, je (xj x2) = (xj)(x2) a protole máme vpechny stpední hodnoty parametrlll volbou
poTátku rovny nule, je (jt, x2)=0.
17.3 Fluktuace termodynamických veliTin
Odvodíme nejprve potpebný výraz pro minimální práci R^jn, kterou vykoná vnajpí objekt nad talesem. Uvalujme soustavu (taleso) uzavpenou v rozsáhlém vnajpím prostpedí, jeho! teplota T0 a tlak P0 se lipí od teploty T a tlaku P talesa. Taleso mule vykonávat práci nad
najakým objektem, který je tepelná isolován jak od studovaného talesa, tak od vnajpího prostpedí. Vpechny tp podsoustavy (taleso, objekt, vnajpí prostpedí) tvopř dohromady uzavpenou soustavu. Vnajpí prostpedí má tak velký objem a energii, Te zmana tachto veliTin zpLláobená zmanami talesa nevede k pozorovatelným zmanám tlaku a teploty prostpedí, takle je muieme povalovat za konstantní.
Pokud by vnajpí prostpedí neexistovalo, byla by práce konaná talesem nad objektem jednoznaTna dána zmanou energie talesa mezi poTáteTním a koncovým stavem. Existence prostpedí Tiní výsledek nejednoznaTným a vzniká opat otázka o maximální hodnota práce, kterou muie taleso vykonat pp dané zmana stavu. Pokud pp ppechodu z jednoho stavu do druhého koná taleso práci nad vnajpím objektem, potom pp opaTném ppechodu musí konat práci vnajpí objekt nad talesem. Najdeme-li tedy pp ppřmém ppechodu mezi dvama stavy
talesa maximální hodnotu práce i?max, je to zároveK hodnota minimální práce      , kterou pp
opaTném ppechodu vykoná vnajpí objekt nad talesem.
Vprutoahu ppechodu si taleso muie vymaKovat teplo i práci s vnajpím prostpedím. Ppi zmana stavu se tedy celková zmana energie talesa skládá ze tpí Tástí: z práce konané nad talesem vnajpím objektem      , z práce konané prostpedím a tepla získaného z prostpedí. Jak
96
jsme jil uvedli, velké rozmary prostpedí umoTKují povalovat jeho tlak a teplotu za konstantní, je tedy práce konaná vnajpím prostpedím nad talesem rovna P0 AV0 a ppedané mnolství tepla
— T0 AS0. Indexy nula patpí veliTinám charakterizujícím vnajpí prostpedí. Máme tedy
AU = R[e) + P0 AV0 - T0 AS0 . (Na levé strana je zmana vnitpní energie talesa, ale na pravé strana jsou práce a teplo vnajpích zdroj LIJ proto opaTná znaménka oproti konvenci první vaty). Ze zachování celkového objemu a zákonu rostoucí entropie máme
AV + AV0 = 0  ,  AS + AS0>0 . Dosazením dostáváme nerovnost
R{e) > AU - T0 AS + P0 AV   . (17.24)
Rovnost je dosalena ppi vratném daji " opat docházíme kzávaru, Te ppechod je realizován s minimální vynalolenou prací (a opaTný ppechod s maximální vykonanou prací), je-li daj vratný. Máme
R^=A(U-T0S + P0V) . (17.25) Minimální práci lze také interpretovat následujícím zpLLíobem. OznaTme St celkovou entropii soustavy taleso plus prostpedí a Ut celkovou energii. Pokud jsou taleso a prostpedí v rovnováze, platí
s, = s,{ut) .
Nejsou-li v rovnováze, je celková entropie soustavy (ppi dané hodnota celkové energie) menpí o — AS, (ppirozena AS, <0). Na obrázku tomu odpovídá úseTka ab. Horizontální úseTka
cb odpovídá zmana energie ppi vratnému daji " ppechodu od stavu talesa v rovnováze s prostpedím do stavu, odpovídajícího bodu b. Ukázali jsme, Te ppi vratném daji je práce
97
potpebná k tomuto ppechodu minimální. Ponavadl uvalujeme jen o malých odchylkách od rovnováhy, muieme podle obrázku psát
_AS -lĚiMtf)
~   dU, mn
aprotole dSt/dUt=l/T0, máme nakonec
AS,
-y{AU-T0AS + P0AV)
(17.26)
Vrátíme se tebl k fluktuacím. Hustotu pravdapodobnosti napípeme pomocí zmany entropie celé uzavpené soustavy
~ a c i r
(17.27)
	ľAStl		" R{e)~
w~ exp		= exp	mm
	kB		kBT
a Rmm je práce vykonaná nad malou zkoumanou Tástí celku, podrobenou fluktuaci
R^n=AU-TAS + PAV , (17.28) kde AU , AS a AV jsou zmany energie, entropie a objemu zkoumané malé Tásti, Ta P jsou teplota a tlak celé soustavy. Ppepípeme jepta (17.27) na
AU-TAS + PAV
w~ exp
kBT
(17.29)
Rozvineme-li v Rmm výraz AU do Taylorova rozvoje, máme
.TT   dU AC   dU ... 1
AU =-AS +-AV + —
ÔS        dV 2
íí//,^   . d2U  . _ ...   d2U r ...-,2 (AS) +2-ASAV + —HAV)
v     /        a o st/ st/2 v /
dS
dSdV
T AS - PAV +-2
—t(AS) +2-ASAV + —r(AV)
ÔS2 v    ;      dSdV dV2y '
(17.30)
Ve výrazu pro Rmm se tak lineární Tleny vyrupí a zUátávají jen kvadratické, které vpak snadno ppepípeme na
R{e) =-
mm ^
AS A
dU
ÔS
f
+ AVA
v j
dU
dV
1
-(ASAJ-AVAP)
(17.31)
Výsledný výraz pro hustotu pravdapodobnosti je
APAV-ATAS
w~ exp
2kBT
(17.32)
Ppíklad 1: Entropie a tlak jako funkce teploty a objemu. Je
98
dT
AP
dP
ÔT
ÔV dP
AT + —
ÔV
T ÔT
AV .
AV
Ppi úprava jsme vyuiili
dF=-SdT-PdV Dosazení (17.33) do (17.32) dává
w ~ exp
ÔS
d2 F
dP d2F
dV     dVdT       dT dTdV
cv {ATf+ i ep
2kBT
2kBT dV
(AV)2
Z obecného výrazu (17.21) pak plyne
(apav) = o , ((ap)2)=^- , ((Av)2) = -^r
,dV
ÔP
Z termodynamických nerovností máme ppirozena Cv >0 a ÔV/dP\ <0. Ppíklad 2: Objem a teplota jako funkce entropie a tlaku. Je
dV
AV AT
Ppi úprava jsme vyuiili
ÔV	AS +	ÔV
		
ÔS	p	
dT	AS +	dT
—		—
ÔS	p	
ÔP
AS + -
AP
-AS +
dP
dT dP
AP ,
AP .
dV d2W dW = TdS +VdP  =>  — ■-
dT d2W
ÔS     dSdP       dP ÔPÔS
Dosazení (17.33) do (17.32) dává
w ~ exp
1    (Asf+    1 dV
2 kß C p
2kBT dP
(ap)2
Z obecného výrazu (17.21) pak plyne
(asap) = 0  ,   ((AS)2) = kBCP   , ((ap)2):
Z termodynamických nerovností máme CP>0 a dP/dV\s<0.
dP -kB T—— ÔV
Ppíklad 3. Energie jako funkce teploty a objemu. Je
AU--
dU dT
AT +
dU dV
AV = CVAT +
,dP_ dT
AV
99
Pp úprava v (17.41) jsme poulili termodynamických vztáhni
dS
dU = TdS-PdV = T—
dT
dT +
,dS_ dV
-P
t j
dV
(17.42)
dS		_ d	í	dF			_ d	í	dF			dP
dV	t	" dV	v	dT	v J	t	" dT	v	dV	t J	v	" dT
(17.43)
Z (17.41) vypoTteme ((AU)2^ a po dosazení za (ATAV), ((AT)2^ a ^(AV)^z (17.36)
dostáváme
((Auý
-kBT
,dP
dT
-p
v J
dV_ dP
+ Cv kBT
(17.44)
Pp'klad 4. Fluktuace odklonu od vertikální polohy matematického kyvadla. Je to jeden z mnoha pp'kladLLj kdy nesledujeme fluktuaci termodynamických veliTin, ale najakých parametr Lil soustavy, jejich! pomocí je vyjádpena minimální práce. Pro matematické kyvadlo (se standardním znaTením veliTin) máme
1
(17.45)
Ppípípeme-li (17.27) pro tento pppad na
w~ exp
R.
dostáváme
exp
mgl
2{r)
(17.46)
(17.47)
17.4 Fluktuace poTtu Tástic
Ze vztahu (17.36) dostaneme podalením druhou mocninou poTtu Tástic
N
kBTdV
N dP
(17.48)
Na levé strana tak máme fluktuaci objemu popadajícího na jednu Tástici. Je potom molné tuto fluktuaci pppsat nikoliv malé zmana objemu pp pevná daném poTtu Tástic, ale malé zmana poTtu Tástic p p pevná daném objemu, tedy
V 1 V
A— = V A— = ——AN .
N
N Nz
(17.49)
100
Dosazení (17.49) do (17.48) dává
((AAO
2\     kBTNz dV
V2 dP
(17.50)
Nappíklad se stavovou rovnici ideálního plynu máme
dV_ dP
NkBT _ V2
NkBT
a tedy
((AAO2):
Ve vztahu (17.50) upravíme pravou stranu
N2 dV
V2 dP
N-
d_ÍN_ dP{v
(17.51)
(17.52)
(17.53)
Protole N/V = f (P,T), je jedno, derivujeme-li tuto funkci ppi konstantním N nebo V, mineme dále upravovat
N
_d_(N_
_ N dN		_dN		dP		_ dN
V dP t,n	t,v	dP	t,v	dju	t,v	dju
dpyv
Ppi úprava jsme vyulili vztah pro termodynamický potenciál
-dQ = PdV + VdP = SdT + Ndju  =>  — ÔP
(17.54)
t,v
V d/u
(17.55)
t,v
Máme tak místo (17.50) vztah
(17.56)
Povalujeme-li za zkoumanou podsoustavu Tástice na k " té kvantové hladina, máme z ppedchozího vztahu
((Ank)2) = kBT
dm
(17.57)
Pro BoltzmannliS', Fermiho a Bosého plyn máme postupná
nk = exp
kBT
dnk dju
nk   =>   \(Ank) ) = nk .
(17.58)
exp
kBT
+ 1
kBTjt- = ňk(l-ňk) ((Ank)2)=ňk(l-ňk) ,(17.59)
101
	g* "i"	-1
exp		
	_  kbt J	
kBTj±-=ňk(l + ňk)   =>   ((Ank)2) = ňk(l + ňk) .(17.60)
Vytvopřme skupiny Tástic tak, Te do nich zapadíme Tástice, které obsazují kvantové hladiny s blízkými hodnotami energie sk ~     . PoTet takových hladin oznaTme       , takle stpední
poTet Tástic ve skupina bude =G^ řfi^ =G^ ^_nk ■ Vzhledem ke statistické nezávislosti fluktuací obsazení jednotlivých hladin máme
Pro Boltzmannovo, Fermi " Diracovo a Bose " Einsteinovo rozdalení tedy platí
N
(J)
N'
U)
N'
N
U)
V
f
G
U)
(17.62)
1 +
N'
G
(j)
Pp aplikaci na zápení Terného talesa povalujeme za jednotlivé skupiny souhrn kvantových stavLUfotonu v objemu V s frekvencemi v intervalu(co ,co + Aŕ») " horní index ^' pp-slupié skupiny budeme vynechávat " tj. poTet stavLUbude
G = V
co
_2 3
n c
Aco
(17.63)
Místo poTtu foton LU budeme popisovat odpovídající energii U\m = Nhco , takle z tpetího výrazu v (17.62) dostáváme
(17.64)
Tento vztah poprvé spoTítal Einstein (Zum gegenwärtigen Stand des Strahlungsproblems, Physikalische Zeitschrift 10 (1909), 185 " 193) z výrazu (v napem znaTení)
w~ exp
1 d2S
2kB dAUl
auA=0
(17.65)
pptom entropii vzal z Planckova vzorce pro zápení Terného talesa.
102
17.5 PoissonLi^ vzorec
Pro malé fluktuace a plyn blízký klasickému je fluktuace poTtu Tástic v daném objemu plynu dána vztahem (17.52), takle pro pravdapodobnost nalezení poTtu Tástic v intervalu (N,N + AN) muiemepsát
w
(N)dN
1
(IttN)
3"v2-exp
(n-n)2
2Ň
dN
(17.66)
Bude-li vpak objem V velmi malý, mule být i poTet Tástic v nam malý a pak je potpeba poTítat pravdapodobnost jinak. Celkový objem a poTet Tástic oznaTme V0 a N0. Ppedpokládáme
homogenní rozlolení Tástic v celém objemu V0. Pravdapodobnost, Te se N Tástic nachází a
N0-N Tástic nenachází v objemu Vje (V/V0)N(l-V/V0)N° N. PoTet takových stavLUje dán poTtem kombinací bez opakování, takle celkem dostáváme
^oj
1
V
V
(17.67)
oj
O správném normování se snadno ppesvadTíme
I
f   v   v V" 1-— + — vn vn
(17.68)
'o      f0 j
Nyní pro V<£.V0^> N<zlN0 vezmeme v (17.67) ppblima
ln(#0!) = N0= (N0-N)ln N°  N + NlnNQ=(NQ-N)\Nl
(17.69)
a v exponentu pololíme N0-N = N. S oznaTením stpedního poTtu Tástic v objemu V N=(V/V0)N0 dostává vztah (17.67) s tamito aproximacemi tvar
N
n í
NI
1
N
N
(17.70)
o j
Provedené aproximace porupily normování, ale provedeme-li jepta poslední aproximaci
lim 1-— =exp[-x]
N
= exp[-#] ,
(17.71)
oj
dostáváme Poissonli^ vzorec se správným normováním na jedniTku
N_ NI
•exp[-Ař
(17.72)
Z Poissonova vzorce muieme odvodit Gaussovo rozdalení (17.66) za ppedpokladLU
103
. . \N-N N»l   ,   \ö\ = !—=—«1
N
(17.73)
Pro ah poulijeme ppesnajpí Stirlingovu aproximaci
Nl = (2nN)1/2 NN exp[-N]
a máme tak
. exp[-JV(l + ^)ln(l + ^) + ÍV^
WN= (27TŇ(\ + Ô)f
Ve jmenovateli pololíme ó=0, v exponentu ponecháme v rozvoji Tleny do druhého pldu v a dostáváme poladované Gaussovo rozdalení (17.66).
(17.74)
(17.75)
18. Soustava s koneTným poTtem energiových hladin
18.1 Stavová suma a odvozené veliTiny pro dva hladiny
Majme soustavu N vzájemná neinteragujících Tástic, kaldá z nich musí obsazovat jednu ze dvou energiových hladin " bubl sx nebo s2. OznaTíme-li poTet Tástic na hladina 2 jako n,
je na hladina sx N-n Tástic. PoTet kombinací pro takový stav s energií En=(N-n)sx+ns2 je
NI
(N-n)\n\ '
takle stavová šumaje (En = Nsx + n As, kdeAs = s2 -sx) Z =
(18.1)
exp
-N- Sx
kBT
Nl
-exp
n As
tťo(N-n)lnl a pravdapodobnost nalezení stavu s energií En je
= exp
-N-
kBT
1 + exp
As kBT
(18.2)
f
1 + exp
As
kBT
NI
(N-n)\n\
exp
Volnou energii spoTteme podle vztahu F
f
kBT\nZ = Nsx -NkBT\n
1 + exp
n As
As kBT
(18.3)
(18.4)
Entropie je
104
ÔF
S = -— = k
ÔT '
f
InZ + r
v
dlnZ dT
NkB{ ln
1 + exp
As kBT_
^ exp 1 As
As kBT
kbt 1
B   1 + exp
a vnitpní energie
U = F + TS = kBT^
N
exp
s, + As-
As kBT
As kBT_
1 + exp
As kBT_
Poslední dva výrazy mineme ppepsat do symetrického tvaru S =
NkB{ ln
f
exp
kBT_
+ exp
kBT_
+
j
kBT
exp
kBT
kBT_
+s2 exp
kBT
+ exp
kBT_
sx exp
U = N-
kBT
+ s2 exp
kBT
exp
+ exp
kBT
18.2 Obecný ppípad koneTného poTtu hladin
Entropii vypoTteme ze statistické váhy
S = kB ln(AJľ) = kB ln
f \
um
Rovnoválný stav budeme hledat pomocí Lagrangeových multiplikátorlll
d
dN,
-{S + aN + j0U} = O  ,   N^N,   , U^e.N,
Dostáváme tak rovnice
-kBlnNk +a + físk =0   => Nk=exp
Odsud pak
a+]3sk
105
^Nk=N exp
a
N
^ exp
kB
takle s oznaTením
exp
ZexP
mame
N, = wiN   ,   V w. = 1
i     i      7 i
i
a dosazením (18.14) do (18.9) máme pro entropii standardní výraz
S = -kBNYJwi\nwi .
Rozepsání(18.15) dává
S = kBN\n
í
^ exp
v J
kBN\n
f
^ exp
v J
J
J3U
Z druhé vaty termodynamické
dU = TdS-PdV
mame
ÔS_ dU
T
Derivováním (18.16) dostáváme
dS_ dU
ÔS d/3 ÔS
H ■ + — = -P
(18.12)
(18.13)
(18.14)
(18.15)
(18.16)
(18.17)
(18.18)
d/3 dU dU
Porovnání (18.19) a (18.18) dává oTekávaný výsledek /3= — \jT . Pro volnou energii máme
(18.19)
F = U-TS = -NkBTln
(
^ exp
V i
kBT
(18.20)
pro entropii
106
S = NkB{
ln
ZexP
V J
kBT
2>.exp
1 j
kBT_
kBT ^
2, exp
kBT
(18.21)
a pro vnitpní energii
U = N^-
ZexP
(18.22)
Statistickou sumu spoTteme snadno i pro pptpad, kdy jsou energiové hladiny degenerované. V takovém pptpada máme
AT!
nx,...,nk 1\\-----nk\
YZnJ=N
h ■■■Sk exP
1
kBT j
Hnj£j
(18.23)
f
8i exp
+ — + gk exp
18.3 Záporné absolutní teploty
Uvalujme opat soustavu se dvama energiovými hladinami. Pro jednoduchost zvolme sj=0 a oznaTme s2=s. Dále entropii ppipadající na jednu Tástici (v bezrozmarných
jednotkách) <j = S/(N kB)a. energii ppipadající na jednu Tástici mapenou pomocí vzdálenosti
energiových hladin  u = U'/(A7s)   a nakonec bezrozmarnou veliTinu úmarnou teplota
T=kB T/s. Z definice 0<u<1. Máme pak místo (18.7) a (18.8)
cr = ln
	r	
1 + exp		
v	7"_	J
exp
'      1 + exp
(18.24)
exp
1 + exp
Entropie vyjádpená pomocí vnitpní energie je z tachto vztáhni
cr = (u-l)ln(l-u) - ulnu a teplota vyjádpená pomocí vnitpní energie je
(18.25)
(18.26)
107
Grafické zobrazení závislosti entropie a teploty na vnitpní energii je na obrázcích. KNejteplejpí" je soustava ppi teplota , pak sestupná t^-co a r^-<x>, nejchladnajpí je
o ln2
0
0 Vi 1 -oo
soustava pro teplotu + Tento popis si potvrdíme standardní úvahou. Uveblme to tepelného kontaktu dva soustavy, soustava A má absolutní teplotu zápornou TA <0 soustava B má absolutní teplotu kladnou TB >0 . Musí platit
A5 =^2± + ^sk>q  =>  ta<0aTb>0  =>  AQa<0aAQb>0  . (18.28)
T a fb
Soustava A se zápornou absolutní teplotou ppedává teplo a soustava B s kladnou absolutní teplotou teplo ppijímá " je tedy soustava B K:hladnajpT nel soustava A se zápornou absolutní teplotou.
19. Kinetická teorie plynlll
19.1 Liouvillova vata
Majme soustavu obyTejných diferenciálních rovnic
^ = /(í) (19-1) dt
která má pro celou Tasovou osu pepení. V tomto odstavci výjimeTna znaTí pipka vektor v n rozmarném prostom. OznaTme g' grupovou transformaci
g'(x) = x + f(x)t + 0(t2)   ,   t^>0   . (19.2)
108
OznaTme £>(()) oblast v prostoru |x| a V(0) její objem a dále objem oblasti
kde D(t) = g' D(0). Platí vata: Je-li div/=0, potom g' zachovává objem
div/=0   =>   g'V(0) = V(t)=V(0)   . (19.3) Pro důkaz jsou potpeba dva lemmata. Lemma 1: Platí
dV(t)
dt
- J áiyfdx
t=0 D(0)
(19.4)
Obecnáje
V(t):
, dg' x „ dg' x ^ df det——dx   ,     5    - 17 1 J
dx
E + ^Lt + 0(t2) .
dx dx       v '
(19.5)
D(0)
Lemma 2: Pro libovolnou matici $ platí
detě+£t =l + Tr£t + o(ť)   . (19.6)
Důkaz je snadno vidat " pouze v souTinu prvkLUna diagonále jsou Tleny nultého a prvního pádu v t, jak je vidat na ppřkladu
l + aut aut
■ 1 + (ojj + a22)t + (ojj a22 -Oj2 a21)í2
(19.7)
Máme tak
det
, vo/
1 + Tr^-ř + o(t2) = 1 + div/ + 0(t2)
dx dx
Dosazením do (19.5)
V(t)= j [l +div f + o(t2)]d x
(19.8)
(19.9)
D(0)
a derivováním a pokolením ř = 0. Protole se t=t0p\i poTítání niTím nelipí od t=0, muieme psát také
dV(t)
dt
= J divfdx
t=tn D(t0)
(19.10)
Tím je důkaz dokonTen, nebou,
dV(t)
div/=0  => -^ = 0
dt
(19.11)
Špeciálna pro soustavu Hamiltonových rovnic
109
dqa _ÔH        dpa_ ÔH
dt dpa je (seTítáme ppes opakující se indexy)
dt dqa
(19.12)
div/:
d  dH d
0
(19.13)
dqa dpa    dpa l dqa ,
19.2 Boltzmannova kinetická rovnice 19.2.1 JednoTásticový problém
Máme pestirozmarný fázový prostor {q,p}. Rozdalovací funkci f(q,p,t) zavádíme
jako
[d3qd3 p^
dN[=f(q,p,t)-
(2 x ti)
(19.14)
kde dN\t je poTet Tástic v elementu fázového prostoru (d3qd3p^ v Tase t. Podle Liouvillovy vaty
(d3qd3p)\ = íd3qd3p)     . (19.15)
Také poTet Tástic se nemaní
dN\ =dN\ ,
takle pro rozdalovací funkci musí být
f(q,p,t) = f(q0,p0,t0) . Derivováním (19.17) podle Tasu dostáváme
Z Hamiltonových rovnic
dt    dt     q    dt     p dt
dt      p dt q
(19.16)
(19.17)
(19.18)
(19.19)
dosadíme do (19.18) a dostáváme
V rovnoválném stavu jsou Poissonovy závorky H s/rovny nule
^£ = 0   =>   {H,f} = 0   =>   f = f(H)
(19.20)
(19.21)
110
Rozdalovací funkce je v rovnoválném stavu pouze funkcí konstanty pohybu " energie H=s .
19.2.2 BoltzmannLLv srálkový Tlen
ZapoTtení srálek mezi Tásticemi vede k tomu, Te poTet Tástic v elementu fázového prostoru jedné Tástice ul nemusí být konstantní. Je potom
df Jdf)      _   df , ~  f dq , ~   f dpjdf
dt
dt
=>  -ť^ + V0/--^ + V D/~f = . (19.22)
dt      q    dt     p dt
V /coll
Ppedpokládáme, Te ppi srálce se zachovávají jak hybnosti, tak energie Tástic
p + pi = p' + p'i   s  s + s1=sl + e[ (19.23)
a interakce se odehraje v jediném boda prostoru q . Pro struTnost zápisu budeme zkracovat
p = T   ,   pl=Tl   ,   p = T'   ,   p[ = T[ , d3 p = dY   ,   d3 px= dYx   ,   d3 p' = dY'   ,   d3 p[ = dY[
(19.24)
(19.25)
f(q,p,t) = f(q,T,t) = f , f(q,pl,t) = f(q,Tl,t) = fl , /(^,p/,ř) = /(^,r/,ř) = //   ,   f(q,p[,ť) = f(q,T[,ť) = f(
Zápis pomocí symbollll T je vhodný i pro popis fázového prostoru obecnajpích struktur napp-klad ul pro dvouatomovou molekulu jde o tp slolky hybnosti a dva nezávislé slolky momentu hybnosti. PoTet srálek s ppechodem r,]^—»r7,r( za jednotku Tasu v elementu
objemu dV = d3q je dán vztahem
-^-^w{Y' j[\YJx)f fxdYdYxdY' dY[ , (19.26) ylnn)
kde vztah mezi pravdapodobností ppechodu a diferenciálním úTinným prUjDezem srálky je
^(r'.ríir.r^ť/r'ť/rí
w\
v - vJ
^^(r.ríir.r,) . (19.27)
Opat zápis s dV jako elementem objemu konfiguraTního prostoru je obecnajpí " pro dvouatomovou molekulu jde o pat nezávislých soupadnic (tp soupidnice taiipta a dva úhly definující smar osy molekuly). Pprozena by se také faktor 2nh vyskytoval ne ve tpetí mocnina, ale v mocnina dané poTtem stupKlllvolnosti. Ve zkráceném zápisu budeme psát
^(r.ríir.r^w , w(y,y1\y',y[) = w' . (19.28)
Bude nás tedy zajímat zmana v obsazení elementu fázového prostoru za jednotku Tasu pp pevná dané hodnota JT, tedy
111
(df] dVdY Kdt )coll(2nh)3
(19.29)
Úbytek je dán jako
dVdT
[iTThf
jwf fdY^dY1 dT[
(19.30)
pprUátek jako
dVdY
{iTThf
jV f f( dTl dT1 dY[
(19.31)
takle celková zmana je
dVdT
(2/rh)
Porovnáním (19.32) a (19.29) dostáváme
JV /' f(-wf fx)dYxdY'dT[
(19.32)
5/
dt
l—;\(w' f fl-wf f,)dTxdT' dT[
(19.33)
v    Aon (2fl-/i) V dalpím odstavci uvidíme, Te platí
\w(Yj ,Y[\Y,Yx)dYj dT[ =jw(T,T1\T',T[)dT' dY[   . (19.34)
Protole / ani fx nezávisí na Y' ani Y[, muieme vztahu (19.34) vyulít k úprava (19.33) na
dt
^\^{f fr-ff1)dT1dT/dT[ .
(19.35)
v    Aon (2fl-/i)
Funkce w resp. diferenciální úTinný prUjDEz da obsahují jako souTinitele také Diracovu delta funkci, vyjadpijící zákony zachování. Pro ppípad jednoatomového plynu platí
vJ = w(p,px\pj ,p[) = w(pj ,p[\p,px) = w  , (19.36)
takle muieme v (19.35) psát w místo w . Podle (19.27) máme pak
wd3p' d3 p[ = |v-Vj| da (19.37)
a pro srálkový Tlen pak
dt
^\\v-v\(f' f;-ffx)dcrd3px
(19.38)
V     Aon (2ítä)
Pptom ul ppedpokládáme, Te za p' a p[ jsme dosadili ze zákonní zachování, takle se integruje jen ppes hybnosti px a úhel rozptylu (da = g(3,cp) dQ,).
112
Hrubý odhad srálkového integrálu pro kinetické jevy v plynech je molno uTinit pomoci pojmu stpední volné dráhy Z " stpední vzdálenosti, kterou urazí molekula mezi dvama po soba jdoucími srálkami. Tuto vzdálenost mineme vyjádpit pomocí úTinného prUjDEzu a a hustoty poTtu Tástic N z výrazu
al~—   . (19.39)
Je-li lineární rozmar molekul d a stpední vzdálenost mezi molekulami T , máme
,2       „r    1 ,   _[ r ]     ,f r
a-d1   ,   N~ —  =>   1 ~T\~^\ = d\~^\    ■ (19.40)
Zavedení stpední doby mezi srálkami
r = 3 (19.41)
v
pak vede k hledanému odhadu Boltzmannova srálkového Tiene
ŕdf)    _ f-f0
dt
t
(19.42)
V /coll
kde f0 je rovnoválná rozdalovací funkce. PpíkladLlm ulívajícím tento odhad se bude vanovat dalpí kapitola.
19.2.3 Princip detailní rovnováhy
Pravdapodobnost rozptylu má duleTitou vlastnost, vyplývající ze symetrie zákonní mechaniky vzhledem k inversi Tasu. OznaTíme YT hodnoty veliTin, které vzniknou z T ppi Tasové inversi. Máme nappíklad pro hybnost a moment hybnosti
T = (p,M) TT=(-p,-Ú)   . (19.43)
Ponavadl Tasová inverse zamaKuje stavy l^pEdtím" a Idiotom \ platí
^r.ríir.r^wír.rfir^.rí1") . (19.44)
Provedeme-li jak Tasovou, tak prostorovou inversi, dostáváme z T hodnoty YTP " nappíklad pro hybnost a moment hybnosti máme
T = (p,M)   ^   YTP=(p-M)   , (19.45)
nebo 14 p je polární a M axiální vektor. Pokud jsou také jednotlivé molekuly symetrické vzhledem k prostorové inversi, platí pro danou soustavu
^(r'.ríir.r^^r'.rf'ir^.rí") . (19.46)
113
Pokud mají jednotlivé molekuly stereoizomery, popisuje vztah (19.46) rUíné soustavy. Také o (19.44) nemineme obecná tvrdit, Te popisuje pp-mý a obrácený rozptyl. O rovnosti pravdapodobností ppímého a obráceného procesu muieme vpak mluvit u jedno atomového plynu, kde T = p=TTP , takle podle (19.46)
w(p' ,p[\p,p1) = w(p,p1\p/,p[) . (19.47) Funkce w má jepta jednu dulelitou vlastnost, která je nejlépe vidat z pohledu kvantové teorie rozptylu. Tam je rozptyl popsán pomocí unitární matice (S " matice) nebo rozepsáno
ZSi~f s/k ~ ZSfi Sfk ~ Sik Z I5/;
f f f
(19.48)
Kvadrát modulu
udává pravdapodobnost rozptylu í—»/ a druhý vztah v (19.48) je normovači podmínka " souTet pravdapodobností vpech molných ppechodlllz daného stavu je roven jedné. Zapípeme-li podmínku pro unitární S " matici jako mame
2 Sif Sfk ~ 2 Sif Skf ~ $ik
f f
i-k
SKI
i
(19.49)
tedy také souTet pravdapodobností
i f
vpech molných ppEchodllldo daného stavu je roven jedné. Porovnáním (19.48) a (19.49) (vynecháme v souTtu pravdapodobnost, Te k rozptylu nedojde, tj. Tlen Su ) dostáváme
Z M = Z Kľ   ■ (19-50)
f,f*i f,f*i
Pp ppechodu ke spojitým hodnotám spektra veliTin T popisujících rozptyl dostáváme z (19.50) vztah pro funkci w, který jsme jil uvedli jako (19.34)
jw(r',r[\r,r^dr'dr[ =jw(r,r1\r',r[)dr'dr[ .
19.2.4 Rovnoválná rozdalovací funkce
Srálkový Tlen musí být roven nule a tedy z (19.38)
/o/oi-/o/oi=0 , (19-51) rovnoválnou rozdalovací funkci oznaTujeme dolním indexem 0. Podle (19.21) závisí tato funkce pouze na energii ér = ér(T).ZapoTt eme-li jepta zákon zachování energie s +sx=s + sx, dostáváme rovnici
f0(s)f0(sí) = f0(s<)f0(s + sí-s<)  . (19.52)
114
Derivujeme tuto rovnici nejprve podle s a potom podle s1 " pravé strany takto vzniklých výrazLUbudou stejné. Podalením výrazLUpak dostáváme
1    df0(s)_    1 df0(s,)
takle po integraci
Jí, (e)   d s      /„(ej del ~M-e(TJ
■ konst. ,
(19.53)
f o = exp
kBT
(19.54)
IntegraTní konstanty jsme volili tak, aby výsledek byl v souhlasu s rozdalením pro rovnoválný BoltzmannLLf plyn. 19.3 H " teorém
Plyn, stejná jako kaldá izolovaná soustava se bude snalit dojít k rovnoválnému stavu. Malo by jít o daj, ppi kterém roste entropie. V tomto odstavci to dokáleme. Entropie je dána vztahem
(2 x ti)
Derivováním podle Tasu dostáváme
/'In —dVdY   ,   dVdY = d3řd3p
(19.55)
dS
dt {inti)
d_
dt
f
/ln-
dVdY
j
{Inti)
Inf^-dVdY .
dt
(19.56)
V tomto odstavci budeme srálkový Tlen {pf/dť) znaTit C(/) " Tasto se také poulívá St/ (od Streuung). Dosadíme z Boltzmannovy rovnice
^ = -v.Vř/-F-V?/ + C(/)
(19.57)
OTekáváme, Te ke zmana entropie bude ppispívat pouze srálkový Tlen. Ppíspavek prvních dvou Tlenlllpravé strany (19.57) je
f
In/
.V.ĚL-F.ĚL
dr dp
dVdY
v---vF--
j
dr dp
f\n—jdVdT
(19.58)
Jednoduché úpravy vedou na
dr
—\f\J-\dV = v- \ňrfln^dSr=0
dr{      e J 5Jy e
—\fln^-)dY = F- ľ ndf\n^dSd=0 dp{      e) J  pJ    e p
(19.59)
protole vna objemu fázového prostoru je / =0 . Máme tak
115
d S kg
fln / C(f)dVdY   . (19.60) dt      (l/rh) J        V '
VýpoTet integrálu vzhledem ke Y provedeme pro obecnou funkci O (T) . Napípeme srálkový integrál podle (19.33)
J0(Y)C(f)dY = —^—T\0(Y)w(Y,Y1\Y',Y[)f'f1'd4Y-J (2 x h) J
(19.61)
—--\0(Y)w(Y',Y[\Y,Y1)ff1d4Y , \2nnj
kde d4Y = dY dYx dY' dY[. Prostou zamanou znaTení roľ' , TjOTj ve druhém integrálu pravé strany v (19.61) dostaneme
jo(r)c(/)jr=^-^ľj[o-o/]>v(r,r1ir/,rí)///1/^4r . (19.62)
Dalpí zámanou znaTení ToTj , Y' <-»r( dostaneme
\0(Y)C(f)dY = -^—T\[0i-0[]W(Y,Yi\Y',Y[)f'fi'd4Y (19.63)
[271%)
a koneTna vezmeme prumar z výrazLU(19.62) a (19.63)
\®(T)C(f)dT = 2^hy j[° + 0!-®'        w' f f! d4 r   • (19-64)
V triviálním ppípada, kdy zvolíme 0(T) = 1, dostaneme
jC(f)d4T = 0 (19.65)
a dosadíme-li za C(/) z (19.35)
j>v/(///1/-//1)d4r = 0   • (19-66) Volbou 0(r)~ln/ dostáváme pro (19.60)
dt    2(2 n h)
nebo
f' f'
w f' // ln^-^- J4r dV (19.67)
dt 2{2nh)
kde
-jm/Z^jclnjc^rť/V   , (19.68)
r, ,/
X=L^~      . (19.69)
f A
116
Integrace vzhledem ke konfiguraTnímu prostoru a vynásobení konstantou rovnice (19.66) nám dává
kB
2{2nti)
PpTteme (19.70) k (19.68) a máme
d S fcD dt
-jV / f1(l-x)d4YdV= 0 .
-\w' f fx(x\nx-x + \)d4TdV
(19.70)
(19.71)
2(2xh)
Funkce v závorkách je rovna jedné pro x=0, dosahuje minima nulovou hodnotou v x=l a pak stále roste. Dokázali jsme tak, Te
dS
dt
>0
(19.72)
Povpimname si, Te x=l znamená rovnoválný stav " pouze v tom ppípada se entropie nemaní. Dále je vidat, Te integrace vzhledem k promanným konfiguraTního prostoru není pro důkaz podstatná " srálky zpUáobují rUát entropie v kaldém elementu konfiguraTního prostoru. To ovpem jepta neznamená, Te entropie v kaldém elementu roste " mílie být mezi jednotlivými elementy ppenápena.
H " teorém poprvé odvodil Boltzmann v rozsáhlém Tlánku Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen (Sitzungsberichte der kaiserlichen Akademie der Wissenschaften 66 (1872), 275 " 370) pro entropii, kterou definoval Clausius E = -S/kB
f (x, t) log
íM_i
\[x
•dx
(19.73)
V anglicky psané literatupe pak byla tato veliTina oznaTována jako H " (heat function), Tehol se v Tláncích pro Náture drtel i Boltzmann. Odtud název teorému. 19.4 Ppechod k makroskopickým rovnicím 19.4.1 Základní rovnice
Jestlile ve vztahu (19.64) volíme funkci O(r) takovou, Te se ppi srálce odpovídající
veliTina v elementu konfiguraTního prostoru zachovává, je integrál roven nule (zdLUfazname, Te se v daném elementu takové veliTiny mohou manit ppenosem), protoTe podle (19.64)
$®(r)C(f)dT
2(27ih)3
[O + Oj-O'-Oí]^/'// d4Y = 0  . (19.74)
= 0
117
Vynásobíme Boltzmannovu rovnici zachovávající se veliTinou 0(r)=^f(r,p)a integrujeme podle dY = d3p
(~   -\    d   ,   Pec     d     ,   77 5
\_ot   m oxa opa Jednotlivé Tleny budeme vhodná upravovat
"   df d
f(r,p,t)d3p = 0
(19.75)
X^-d3p=—\xf d ot ™J
d f
X
m dx„
a ,X—fd3p ox„ J m
xFa^d3p
ÔPa
d
dPc
{xFaf)d3p
ÔX Pg
dxa m r c]x
fd3p
(19.76)
dPa
Fafd p
X
dPa
f d3 p .
První Tlen pravé strany tpetí rovnice lze ppevést na integrál po plope ohraniTující objem fázového prostom, kde je rozdalovací funkce /rovna nule. Protole ppedpokládáme, Te sily jsou konservativní, je i tpetí Tlen tamté! roven nule. Zavedeme nejprve numerickou hustotu Tástic n a hustotu Tástic =(odpovídá to volba % = \ resp. % = m)
n = n{f,t)=   f (f, p,t)
d3 p
,   p = p (r ,t) = mn{f ,t) .
(19.77)
Stpední hodnotu najaké veliTiny A=A(r,p,t) zavedeme standardním zpUäobem (argumenty (f, p,ť) resp. (r,ŕ) ul nebudeme vypisovat)
(A)
JAfd
3 - r P 1
Af
d3 p
(19.78)
jfďp     n)'-J (Inti)3
Vpimname si, Te (nA) = «(A), neboLi/j je pouze funkcí soupadnic a Tasu, nikoliv hybnosti. Se znaTením (19.78) muieme vztah (19.75) s uválením (19.76) zapsat jako
jt(nx) + ^(nvax) = (n
dx„
a ^
(19.79)
Makroskopickou rychlost oznaTíme ú = ú ( r, ŕ)
ú = (v)
jvfd
3 - r P 1
v f
d3 p
(19.80)
jfďp n}J(2xhY Za funkci  ú volíme postupná hmotnost m, hybnost tepelného pohybu m v  a energii s=(ym/2jv2. Dostáváme tak
118
f+ät('"-)=0 • <19'81)
fr'J+lt-ž*- <19-82)
L/i L/A-o //t
EĹ + ^Pp-u   . (19.83)
5/    <3x, m
V tachto rovnicích
naP=p{vavft)   >   0 = ^>(v2)   >   9«=^(v2vB)   • (19-84)
Rovnice (19.81) je rovnice kontinuity " zachovaní hmotnosti. Rovnice (19.82) vyjadpuje zachovaní hybnosti, tensor TLaß je tensorem hustoty toku hybnosti. Je to slolka vektoru
hybnosti ppenápená molekulami za jednotku Tasu jednotkovou plopkou kolmou na osu <j>. KoneTha rovnice (19.84) ppedstavuje zákon zachování energie, vektor q je hustota toku energie. Rovnice (19.82) a (19.83) vpak jepta nejsou vyjádpeny pomocí makroskopických charakteristik.
19.4.2 Aproximace lokální termodynamické rovnováhy
V této " Tasto oznaTované jako nultá " aproximaci zanedbáme disipativní jevy jako je viskozita a tepelná vodivost. Muieme pak povalovat rozdalení v jednotlivých objemových elementech za lokálna rovnoválné. Potom ul je molné ppejít lokální Galileovou transformací z laboratorní soustavy K do soustavy K1, pohybující se s daným elementem " v této soustava je rozdalovací funkce rovnoválným Boltzmannovým rozdalením. Máme tedy
v=v'+u (19.85)
a pro TLaß dostáváme
naß=p{VaVß) = PUaUß+PUa(V'ß) + PUß(V'a) + p(V'aV'ß)      ■ (19.86)
= 0 =0 1/ ,,.
Dále upravujeme
f(v/2) = |^r   =>  ±p(ť) = nkBT = P   , (19.87) takle výsledný výraz pro Ilafi je
Tlafi=puaufi + PSafi   . (19.88) Pp úprava výrazu pro q potpebujeme také transformaTní vztah pro energii
119
/ . . /// < s = s + mu-v H--u
(19.89)
Po úpravách podobných ppedchozím dostáváme
■ u\ — u2 +
2       P + n(s')j = u^u2 + P + ^UJ . Ve výrazu (19.90) je U vnitpní energie. Hustota energie 6 je po transformaci
e=^u+^u2 .
m 2
Dosazením (19.88) do (19.82) a (19.90) a (19.91) do (19.83) dostaneme po rozepsání a vhodné lineární kombinaci takto vzniklých rovnic a rovnice (19.81) dostáváme výsledný tvar
d p
(19.90)
(19.91)
dt
+ V-(pu) = 0 ,
?l + (u.v)u+±VP = ±F
dt    v     '      p m
(19.92)
(19.93)
m
dU dt
+ Ú-VU
j
+ — V-m=0 .
p
(19.94)
Rovnice (19.92) a (19.93) jsou standardní tvary rovnice kontinuity a Eulerovy rovnice. Standardní tvar rovnice toku energie, kterou máme zapsánu jako (19.94) je
f   2 A]
vz j
+ V-\pú
í 2
U TI7
— + wm
v L
o
(19.95)
kde Um je vnitpní energie a Wm = Um + Pjp entalpie jednotkové hmotnosti. Rovnici (19.94) je také molno ppepsat pomoci teploty
na
t = kBT   ,   U=-t   ,   P = £-t 2 m
— + u-Vt + — tV-u =0 . df 3
(19.96)
(19.97)
Z rovnic (19.92) a (19.94) plyne, Te v této aproximaci se vidy jedná o adiabatické daje " to ostatná napovídá ul ppedpoklad lokální termodynamické rovnováhy. Napípeme si pro entropii druhou vatu ve tvaru
dS _ 1 dU mP dp _ 1 dt ~ T dt    Tp2 dt ~ T
f
dU dt
+Ú-VU
mP
f
j
Tp2
d P - f? dt
(19.98)
120
O významu Ktotální derivace" podle Tasu je poznámka kppřkladu v dalpím odstavci. Dosadíme-li pak do (19.98) ze shora uvedených rovnic, dostáváme
dS
dt
0
(19.99)
19.4.3 Ppíklady pepení rovnic nulté aproximace
Ppíklad 1. Za ppedpokladu F=0 ppepípeme rovnice kontinuity a toku energie na
y + (í'VJ/9 = -yoV-H ,
3 pídz       -\ ^     - _ + [u-V\z =pV-u
(19.100)
2 Z
dt
a po podalení rovnic obou faktorem z 3^2 seTteme, takle dostaneme
d(pz-3/1)   , 3/2, A_^ + (5.v)(^r^) = 0 .
Odsud dostáváme, Te podél proudnice platí
P
(19.101)
3/2
konst.
P
5/3
konst.
(19.102)
Poznámka: Proudnice aLije parametrizována pomocí parametru Z. Potom pro f(t(í), r(t(lýj)
d f _df dt   df drdt_(df
dl     dt dl    dr dt dl
dt
dt
~ďi
(19.103)
Ppíklad 2: Ppi odvození vlnové rovnice pro zvuk ppedpokládáme kroma F=0 také, Te odchylky hustoty, tlaku a teploty od stpedních hodnot a také rychlost ú jsou malé veliTiny prvního pádu. Ponecháme pak v rovnicích práva jen Tleny prvního pádu, takle dostáváme
dôp      - _ . —— + pV-u=0 , dt
p-8l + ySP = 0 dt
(19.104)
(19.105)
x 15 P-oz =--—z
3 P
(19.106)
Rovnice (19.106) svazuje zmany teploty se zmanou hustoty, takle muieme uvalovat o zmana tlaku jako funkci jediné promanné " hustoty
121
dp
öp
(19.107)
Poznámka: Rovnici (19.106) mLLTeme samozpejma získat i z termodynamických vztáhni
T d(PV)
dV
a dT
ÖV
Cv dT
5p_ P
(19.108)
col po dosazení PV = NkB T a Cv =(3/2) NkB vede k výsledku. Ppi úprava jsme museli ulít identit
d(T,S)
dT
dV
d(V,T)
dS			
dV	T	T	dS
dS			dV T
dT	V		
(19.109)
dS		d	'dF	\		d	'' dF			dP
dV	T	dV	^ dT	v J	T	dT	ydV	T J	V	" dT
(19.110)
Dosadíme (19.107) do (19.104), takle máme spolu s (19.105) dva rovnice pro 5P a ú
V-u=0 ,
döP _ dP -+ P —
dt dp
pĚ!í + VSP = 0 .
dt
(19.111)
Zavedeme-li potenciál rychlosti u=V<fi, dostáváme pro odchylku tlaku ÓP = -pd<p/dt a pro potenciál vlnovou rovnici
dt2
c2 A0 = O  , c
fdP
dp
V/2
(19.112)
s J
Poslední úpravou je ppevedení adiabatické derivace na isotermickou derivaci
d(P,S) dS
dP
dV
d(P,S) _ d(P,T) d(P,T) _ dT
d(v,s) ~ä(v\5) d(v,T) ~aš
d(V,T) dT
dP
dV
_CJLdP_
T~CydV
(19.113)
takle pro rychlost zvuku dostáváme (platí V d/dV=pd/dp)
C^dP_
yCy dp
V/2
(19.114)
T J
122
Pptklad 3. Za ppedpokladu stacionárního proudaní a konservativní síly F=-V<p muieme s vyulitím identity
(u-V)ú = ^Vu2-kx(vxk) (19.115)
ppepsat rovnici (19.93) na
-u2 + — P + — (/) 2       p      m J
■ u x
(Vxw)---Sip .
v      1 P
(19.116)
Pro nevírové proudaní (Vxj/=0) s homogenní hustotou (V/?=0) dostáváme Bernoulliovu rovnici
1 ^
f-u2 + — P + — (p ^2       p      m )
0
(19.117)
19.5 Srálkový Hen pro kvantovou statistiku
Pro klasickou statistiku máme pro srálkový Tlen výraz
C(f)=j^^\\v-v1\(f' A'-ff^dad'A ,
(19.118)
pptTeml v integrandu jsme ul dosadili za p' a p[ ze zákonlllzachování hybnosti a energie (Ttypi vztahy), takle se integruje jen ppes zbývající volné promanné (z devíti zbylo pat), tj. ppes hybnosti px a úhel rozptylu (da = g(3,(p)d£l).
Pro kvantovou statistiku musíme zapoTíst dostupnost finálních stavili To vede jen k málo pozmananému tvaru sráikového Tlenu
c(f) =
7^í|v-v1|{/V/(l±/)(l±/0-//1(l±/0(1±//)}^^3A   • (19'U9)
horní znaménko platí pro Bosého " Einsteinovu, dolní pro Fermiho " Diracovu statistiku. Stejným postupem jako v klasickém ppípada " rovnice (19.53) " dojdeme k podmínce rovnováhy
Aln^M_=kons, ^ JÁžL
exp
p-s{Y)
kBT
(19.120)
de   l±/0(ff) l±f0(s) kde integraTní konstanty jsme volili podle klasického rozdalení (19.54). Dostáváme tak (opat horní znaménko pro Bosého " Einsteinovu, dolní pro Fermiho " Diracovu statistiku)
1
/oW:
	~e(T)-n\	+ 1
exp		
	kBT j	
(19.121)
123
20. Elementární popis transportních jevLU
20.1 Základní pojmy 20.1.1 ÚTinný prlipez
Uvalujme o srálce dvou tuhých koulí s polomary ax,a2 a hmotnostmi ml,m2. Na
obrázku je zachycena situace v taiipupvé soustava. Diferenciální úTinný prU|DBz d a je dán
1 arŠ7\d \	
	
	
	b \
1 íř\	
_ _ _ j	4--
e
vztahem
da = b\db\dcp  , (20.1)
kde b je srálkový parametr a - je azimutální úhel (natoTením kolem osy rotaTní symetrie). Z obrázku je vidat, Te
9*
b = asina = ížcos—   ,   a = a,+a1   . (20.2) 2
Máme tak
da = -a2dCÍ   ,   dQ* =únď dď d<p  . (20.3) 4
Po integraci po celém prostorovém úhlu (0<<p<2n ,0<ď <x dostáváme pro celkový úTinný prUjDBz oTekávaný výsledek
a = na . (20.4) Pro ppechod do laboratorní soustavy {6 je úhel rozptylu první Tástice, ppedpokládáme-li, Te pped srálkou byla druhá Tástice v klidu) máme známý vztah
124
tg0=
m2 siné*
(20.5)
mx +m2 cos0
Obecná není vyjádpení 6* jako funkce 6 jednoduchý výraz, ale pro mj=m2je z (9.2) okamlita 6=ď/2 a tedy
dQ*
dQ
4cos6>
da = a costfdQ
(20.6)
ppitom 0<<9< 7r/2. V taiipupvé soustava se jevil rozptyl jako izotropní, v laboratorní soustava ul tomu tak není a maximální úhel rozptylu je;r/2. Celkový úTinný prUjDEz je ppirozena invariantní veliTina, v obou soustavách je to prUmat dvou dotýkajících se koulí do roviny obsahující spojnici stpedLU
20.1.2 Stpední hodnoty v Maxwellova rozdalení
Uvalujme o klasické soustava N Tástic uzavpených v objemu  V. Maxwellova rozdalovací funkce pro rychlosti tachto Tástic je
/(V) =
m
x3/2
K2nkBT j
exp
fflV
~2k~Ť
(20.7)
Stpední hodnotu kinetické energie (vnitpní energii soustavy ČT) spoTteme jako
U = N Jyv2 f(v)d3v=^NkBT   . (20.8)
VýpoTet tlaku provedeme jako stpední hodnotu hybnosti ppedané stana p molekulami, které na její jednotkovou plopku dopadnou za jednotku Tasu (pro urTitost auje stana kolmá na osu x)
N      (^ 3^ NkBT
vr>0 P
V
(20.9)
Pro transportní jevy mají duleTitost stpední hodnota velikosti rychlosti v, stpední hodnota poTtu molekul, které projdou jedním smarem jednotkovou plopkou za jednotku Tasu a poTet srálek dvou molekul v jednotkovém objemu za jednotku Tasu. Pro stpední hodnotu velikosti rychlosti máme po ppechodu ke sférickým soupadnicím
(v) = 4tt
m
"N 3/2
y2nkBT j
v exp
fflV
2k~Ť
dv ■
SkBT
y/2
(20.10)
v nm j
Porovnáním (20.10) a (20.8) dostáváme
(20.11)
125
Pro hustotu toku (osa z bude kolmá na rovinu jednotkové plopky) máme
j = \nvzf(v)ď
2nn\
m
\3/2 nj2
| co^SúxvSdS
v exp
fflV
2knT
dv = —n(v) . 4  N 1
(20.12)
PoTet srálek dvou molekul spoTteme tak, Te budeme sledovat poTet srálek urTité referenTní molekuly s prUmatem plochy daným úTinným prUjDezem s ostatními molekulami bodových
rozmarLU(situace pro srálku s jednou dalpí je znázornana na obrázku). Pohyb obou molekul popípeme v taiipupvé soustava. ZpUáob výpoTtu ppedpokládá, Te soustava je sloiena z jediného druhu molekul. Zavedeme tedy relativní rychlost a rychlost taiipta
w = v - v.
PoTet srálek za jednotku Tasu je pak
Z = <x(w)n .
Pravdapodobnost srálky dvou molekul s rychlostmi v a vx je
(20.13)
(20.14)
m
2nkBT j
exp
'{v2 + vl) 2kBT
d v d v.
(20.15)
Ve skolkách napípeme transformaci k taiipupvé soustava jako
v 1
(20.16)
Jakobián transformace k novým rychlostem je pro kaldou slolku roven jedné a souTet TtvercLU velikostí rychlostí závisí opat jen na Ttvercích velikostí
1   ,   v2 +vľ = 2V2 +-w2 1 2
(20.17)
126
Muieme proto pravdapodobnost srálky zapsat jako
m
2nkB T j
exp
mV2
cŕ V exp
m w Jk~Ť_
ďw
(20.18)
Pro stpední hodnotu relativní rychlosti dostáváme pak
m
AnkBT j
wexp
mw
ďw = A
kBT
y/2
(20.19)
v nm j
Porovnání (20.19) a (20.10) vede k výslednému vztahu
(w) = yÍ2{v) , (20.20) takle pro poTet srálek za jednotku Tasu máme po dosazení do (20.14)
Z = ^Í2a(v)n . (20.21) Stpední volnou dráhu J pak definujeme jako dráhu, kterou molekula urazí za stpední dobu mezi srálkami (v)/Z, tedy
1
£■■
(20.22)
Jedná-li se o srálky stejných molekul, zapoTítává vlastná vztah (20.21) kaldou srálku dvakrát " jako srálku molekuly x s molekulou y a srálku molekuly y s molekulou x a mali bychom
psát pro poTet srálek Z =Z/2 . Potom vpak také (v)/Z7 znaTí dráhu, kterou urazily molekuly
x a y za stpední dobu mezi srálkami, tedy i' = 2£ a vztah (20.22) zLLítává v platnosti.
20.2 Transportní jevy
Pokud je homogenita soustavy narupena, tj. existuje gradient najaké makroskopické charakteristiky, vzniká makroskopický tok. Na mikroskopické úrovni tento tok vytvápejí molekuly, ppenápející hybnost a energii. Jednoduchá geometrie, kdy ppedpokládáme gradient veliTiny G podél osy zje znázornana na obrázku. V nejjednoduppí aproximaci povalujeme rozdalení molekul za Maxwellovo a tok   jednotkovou plopkou v rovina z je dán hodnotami G
v pásu z± \é, kde Az=(jvz|/v)^.
127
SeTteme toky z obou stran
T_(z) = n
v
Y+(z) = n
		f	vz	
vz	G	z-		
•		V	v	y
z>°				
		í	K	
	G	z +		£
ty		v	v	J
f (v) d3
f (v) d3
a ponecháme v rozvoji G jen nejniípí Tleny, takle pro T=T+ +Y dostáváme
T(z) = G(z)n\vzf(v)d3v-^ín£ [Íf(v)d3v . í_v_,      dz      J v
= 0
Jako výsledek tedy máme vztah mezi tokem veliTiny a jejím gradientem
3 W dz
Ppirozena pro rozmary platí [r]=[G]m~2 s"1.
20.2.1 Ppenos hybnosti " viskozita
V tomto ppípada máme G = mu . Pro tok hybnosti je pak
Yl = -n—   ,   rj = —nm(v)£ .
dz 3 W
(20.23)
(20.24)
(20.25)
(20.26)
Dosadíme-li do vztahu pro viskozitu : hodnoty stpední velikosti rychlosti a stpední volné dráhy, dostáváme
2 (mkBT)1/2
cr
Kinematická viskozita je v = rjj{nm) , takle
(20.27)
128
2    1 (kBT
\V2
(20.28)
3y[Ťr na\ m ) 20.2.2 Ppenos energie " tepelná vodivost
V tomto ppřpada máme G=(s} = U/N. Gradient stpední energie je dán gradientem teploty, takle
An      1   att      1   att at
(20.29)
dG _	1 dU _	1 dU	dT
dz	N dz	N dT	s dz
V obecnosti platí			
1 dU	= mP	'£££..	--)
N dT	s	ya T	P)
kde cp je marná tepelná kapacita ([ci,] = Jkg		'K"1),	
(20.30)
koeficienty objemové roztalnosti a stlaTitelnosti
1 dV
a =--
V dT
, ß
1 dV
V dP
(20.31)
Pro marné tepelné kapacity platí
takle lze (20.30) zapsat jako
1 dU
N dT
_cŕ_T_ ~ ß P
P ß
m~—cv T a
(20.32)
(20.33)
V napi aproximaci ovpem platí stavová rovnice ideálního plynu (20.9), takle fila=T/P a pro tok energie tedy dostáváme
dT 1
Q = -k—   ,   K = -nmiv)tcv   . (20.34) dz 3
Dosadíme-li do vztahu pro tepelnou vodivost °°hodnoty stpední velikosti rychlosti a stpední volné dráhy, dostáváme
k ■
2 (mkBT) 3y[Ťr cr
1/2
(20.35)
Pro ideální plyn
C p Cy
R
(20.36)
kde R je universální plynová konstanta a =je molární hmotnost.
129
20.2.3 Ppenos Tástic " difúze
Pro výpoTet toku Tástic musíme výpoTet pozmanit, protole ppedpokládáme gradient hustoty Tástic. Místo (20.23) pípeme
J_(z)
takle pro J = J+J dostáváme
r      f    I  I A
z-^i v
v. n
f(v)d3
vz>0
r f
v n
z+^-l v
(20.37)
f(v)d3
v,<0
J = -D
dn ~d~z
(20.38)
Po dosazení stpední velikosti rychlosti a stpední volné dráhy dostáváme
D
2    1 ( kBT
\V2
(20.39)
na\ m )
Zjipupvat experimentálna vlastní difúzi je obtílné (lze to nappíklad pomocí isotopového odlipení), typický je ovpem ppípad soustavy se dvama druhy molekul. 20.2.4 Porovnání s experimentálními hodnotami V dané aproximaci by malo platit
v
1   '   TT = 1
CyľJ D
(20.40)
Uvebme jako ppíklad suchý vzduch ppi tlaku 1 atm a teplota 0 °C, kdy potpebné hodnoty jsou /r = 2,43-KT2JirTV1K-1
cv =cP--^ = (l005-287)jkg"1K"1 = 7,18-102 Jkg-1 KT1
(20.41)
m
7 = l,72-10"skgm"1s-
takle
K
= 1,91 .
cvr/
21. Kinetická rovnice pro mírná nehomogenní plyn
21.1 Základní pojmy
Uvalujme Boltzmannovu rovnice bez vnajpích sil
dt y '
(20.42)
(21.1)
130
kde srálkový Tlen je
C(f) = \w'(f' //-/f^dY.dY' dY[   . (21.2) Poulíváme zkráceného znaTení
wfr.ríir.r^w , wŕr.rjr'.ríW , f(q,r,t) = f ,
V 7 V 7 (21.3)
f(q,Tl,t) = fl   ,   f(q,Y',t) = f   ,   f(q,T[,ť) = fi .
Vztah mezi pravděpodobností ppechodu a úTinným prUjDEzem je
wdT'dT[ =\v-v\d(j . (21.4) Vpimname si rozmarni jednotlivých veliTin. Rozdalovací funkce je bezrozmarná veliTina, proto z (21.1)[C(/)] = s_1. Ze vztahu (21.4)    w(dY)2 =m3s_1  a z (21.2) koneTna
[<ir] = m~3. Máme tak napp pro jednoatomové (tp stupna volnosti) a dvouatomové (pat stupKLUvolnosti) molekuly
(27lhj (2xh)~
a pro molekuly tvaru trojboké pyramidy se pěsti stupni volnosti (napp Tpavek NH3)
d3pM2 dM A7i2 dna dcos0 dT = —-j-^-- . (21.6)
{iTTtlf
V tachto vztazích je M moment hybnosti a 6 úhel mezi osou symetrie molekuly a smarem vektoru M.
21.2 Charakter ppiblilného pepení
n epení Boltzmannovy kinetické rovnice budeme hledat ve tvaru
f = f0+5f   ,  Sf=-^-%  , (21.7)
kde /0 je lokálna rovnoválná rozdalovací funkce a ô f <zf0 malá oprava. Zavedení funkce x
není nutné, ale vede k jednoduppímu tvaru výsledných rovnic. Lokálna rovnoválná rozdalovací funkce je definována tak, Te v daném objemovém elementu konfiguraTního prostoru dává správné hodnoty hustoty poTtu Tástic, energie a hybnosti, tj. platí
\fdY = \f,dY   ,   \sfdY = \sf0dY   ,   \pfdY = \pf0dY   . (21.8)
Odsud pak
\foXdY = 0   ,   \sfoXdY = 0   ,   \pfoXdY = 0   . (21.9)
131
Uválíme-li f0f0l = fó fói a to, Te f0 = f0{T), muieme s ppesností do prvního pidu opravy zapsat srálkový Tlen jako
(21.10)
kde srálkový integrál l(x) je
l(x) = \^fm(x''+XÍ-X-X1)dT1dT/ dT[   . (21.11) Vidíme, Te srálkový integrál je roven nule pro x umarné zachovávajícím se veliTinám, tj. pro
X = konst. , ^ = konst.£ , x = 3u'P > (21.12) kde ôú je konstantní vektor. První dva pepení odpovídají tomu, Te malá zmana rovnováTné funkce s konstantní hustotou Tástic a teplotou také vyhovuje kinetické rovnici " máme totiT
Sf = ^Aón = f0^- (21.13) on n
ÔT
konst. -
v
kBT j
fo
ST
(21.14)
První Tlen na pravé strana (21.14) vznikl derivací normovači konstanty rozdalovací funkce, druhý Tlen derivací Boltzmannova exponenciálního faktoru. TaktéT u tpetího pepení, které je vyjádpením Galileiho principu relativity (je-li rozdalovací funkce s rychlostmi v pepením kinetické rovnice, je také funkce s rychlostmi v + Sú pepením) vzniká derivací Boltzmannova faktoru
ôú-p
dv
kBT
(21.15)
Energie je sloTena z Tásti kinetické a vnitpií (rotaTní a kmitavý pohyb)
/ -i—i \ mv
(21.16)
Boltzmannovo rozdalení (se zamanou v—>■ v-u ) má tedy tvar
f o = exp
M-e(T) kBT
exp
exp
m
(v-i/)2
2kBT
(21.17)
Ve slabá nehomogenním prostpedí funkce f0 závisí na soupadnicích a Tase prostpednictvím
makroskopických charakteristik " teploty T, rychlosti ú, tlaku P (a tedy také chemického potenciálu =). ProtoTe gradienty tachto veliTin jsou malé, muieme na levé strana kinetické
132
rovnice poTítat s rozdalovací funkcí f0. Dalpí zjednodupení ppinápí nezávislost hledaných
kinetických koeficientu! na rychlosti u (opat Galileiho princíp relativity), takle po provedených operacích muieme vidy pololit rychlost ú = 0 (nikoliv ovpem její derivace). Pro Tasovou derivaci máme
df0
dt
u=0
^dT + dfdP + df(du ÔT dt    dP dt    du dt
(21.18)
u=0
col dává
fo dt
u=0
dju ÔT
//-g(r) ôt djj_
t     f dt + dP
dP      ^ du
--h mv--
dt dt
(21.19)
K úprava vyulijeme termodynamických vztahLU
d/j
dT
d/j dP
1
,   jU = w-Ts ,
(21.20)
kde w, s a 1/njsou entalpie, entropie a objem připadající na jednu molekulu. Potom ppejde (21.19) na
KTdL s(T)-wdT IdP ^ du _s--^o. = _w--+--+ mv--
f0   dt T     dt    n dt dt
(21.21)
Úplná stejným postupem dojdeme k
Mv.v/Q = g^"WfW + -v-VP + /Hv„vfl^ fo T n
kde se ppes opakující indexy   a § seTítá (od 1 do 3) a
(21.22)
_ 1
du du.
Kdxp dxa
(21.23)
Poslední Tlen vznikl symetrizací výrazu vavpdupjdxa=vavpuap. Máme tedy pro levou stranu Boltzmannovy kinetické rovnice
dfo
dt
■ + v-V/0
fo f *(r)-
■w
kBT\ T
dt
^ lfdT
+ —
n
dt
dlla dt
(21.24)
21.3 Nahrazení Tasových derivací
Eulerova rovnice
díi
dt
(v-V)
1 -       5 = 0    díl 1 -
v = --VP  _^  ^L = -J-VP ,
P
dt      n m
(21.25)
133
rovnice kontinuity
--vu-\P = -p\ -u ->. - :
ôt ôt
-nV-ú
(21.26)
a rovnice Tasové nepromannosti entropie
ds   ôs   _ -     .   5-0 .
— = — + u-Vs=0 _\,  — = 0
dt    dt dt
(21.27)
umolní vylouTit z Boltzmannovy rovnice Tasové derivace. Do vztahu (21.26) dosadíme za n ze stavové rovnice ideálního plynu n=PJ(kBT) , takle dostaneme
1 dP 1 ÔT P ôt    T ôt
-V-u
(21.28)
a rozepsáním rovnice(21.27) pak
ôs _ ôs ôt ~ ÔT
ÔT ôs
Ôt ÔP
ÔP _cPôT 1 ÔP _ ôt ~ T ôt    P ôt ~
(21.29)
Jestlile jepta uválíme, Te pro ideální plyn cp-cv =1 (zde se jedná o tepelné kapacity vztalené na jednu molekulu), máme koneTna
l ÔT 1 ~ 1 ÔP Cp^ _ --=--y-u   ,--= —-v-u
T ôt
P ôt
(21.30)
Dosazením z (21.25) a (21.30) do (21.24) dostáváme ô/o
kBT
v-Vr + mva v p uap H--^^-divw
(21.31)
Výraz se výrazná zjednodufí, mLLTeme-li uvalovat jen ppípady, kdy w=cpT (obecná je w= w0 + \ cp dT, aditivní konstantu je molno pololit rovnu nule, pololíme-li nulu energie na
J 0
nejniipí hladinu ^(r)). Boltzmannova rovnice tak získává kanonický tvar
s(Y)-cPT
v-vr +
mvavp-
8r
a/3
1«p = i(x)
(21.32)
21.4 Kinetické koeficienty 21.4.1 Tepelná vodivost
Z rovnice (21.32) ponecháme jen
s(T)-cPT
■VT = I(X)
(21.33)
134
n epení budeme hledat ve tvaru
Z = g(r)-VT . (21.34) Po dosazení do (21.33) dostaneme rovnici pro g , dalpí rovnice mohou plynout z podmínek (21.9). Máme tak
s(T)-cPT
(21.35)
Pokud se podapí kinetickou rovnici (21.35) vypepit, mLLTeme z výrazu pro tok energie
q=-±-\f0sv{g-VT)dT (21.36)
urTit tensor tepelné vodivosti. Rovnice (21.36) ve slolkách je pak
dT
a/}
ÔX„
K
a/}
l—\fvSVagpdY ■
kBT
(21.37)
ZapoTtení isotropie rovnoválného plynu vede k Kap =KÔap, takle pro tok energie máme
q = -KVT   ,   /c = -jf0sv-gdT   . (21.38)
Pozdaji uvidíme, jak se dokále obecná platnost /r>0. Pokud by existoval makroskopický pohyb, vztahovaly by se ppedchozí výrazy na neuspopádanou " disipativní " Tást pohybu, psali bychom tedy pro odlipení místo q tpeba q1. Protole je g = g(T), mLLTe být v obecnosti v-g funkcí tpí skalárních promanných
v-g=(v-g)(v\v-M,M2) = (v-g)(y)
g = vg1(r) + M(v-M)g2(r)v + (vxM)g3(r) ,
tak aby ppi prostorové inversi vektor g manil znaménko (to je nutné, pokud není plyn tvopen molekulami se stereoizomerií. Pro jednoatomový plyn bude ppirozena g = v g (v) .
21.4.2 Viskozita
Z rovnice (21.32) ponecháme jen
(21.39)
mvavp-
8,
a p
11a P
(21.40)
a levou stranu upravíme do tvaru
mvavp
uap-^čapV-ú
1 2
—mv
V-u = l(x)
(21.41)
135
PppomeKme si, Te V-ú = uaa. Symetrizace výrazni ve (21.41) odpovídá vyjádpení toku hybnosti pomocí tensoru makroskopického a tepelného toku
nafl = PSafl+puaufl-U'afl   , (21.42)
kde tensor Yl'ajS obsahuje dva koeficienty viskozity
+ C8apV-u   . (21.43)
V nestlaTitelné tekutina se projevuje pouze první koeficient viskozity :, druhý koeficient viskozity v se projeví jen ppi pohybu tekutiny s nenulovou divergencí makroskopické rychlosti V-w^O.
Pro výpoTet prvního koeficientu pololíme tedy ve druhém sTítanci na levé strana (21.41) V-w =0, zatímco v prvním Tlenu provedeme malou zamanu znaTení, takle dostáváme
uaP=l{x)   • (21-44) n epení hledáme ve tvaru
Z = 8afi(r)Uafi     >     8afi=8fia     >     8aa = 0     • (21"45)
Vlastnosti tensoru g plynou z vlastností tensoru u, nebou vyjdeme-li z obecného tensoru druhého pádu, máme
t au a=ťau a+tAau H=\ť „——5 „t   \u „+ — t  u   = g „u „   . (21.46)
a p   a p       a p    a p       a p    a p      I   a p     ^    a p  yy J   a p      ^  yy    aa      o a p   a p V '
= 0 v-v-'      '-"-'
Sa/3ual3
Po dosazení (21.45) do (21.44) máme rovnici
= l(8ap) (21-47) a ppípadna dalpí rovnice, plynoucí z podmínek (21.9). Pro tok hybnosti máme
Kp=--^\vaVpf0xdT = vaprSuap   , (21.48)
kde
%,ys=~1Ľíf\f0vaVp8ysdr   . (21.49)
Tensor : je symetrický v dvojici indexLU , § a dvojici a je roven nule pp zúlení v . Poladujeme-li navíc isotropii, máme pro : jednoznaTné vyjádpení pomoci Kroneckerova symbolu
Kp = ^
Uap-^Ô^V-Ú
m
vaVp--ôapv
m
vaVp~-čapV
136
rit
a ßyö
t]
5   öHX+öxöH — Ö aÖ x
ay    ßö        aö    ßy     ^    aß yö
(21.50)
Potom j e Yl'aß = 2r/ua0, takle : j e hledaný první koeficient viskozity
a p
t]-
m
l0kBT
\fvVaVßgaßdT ■
(21.51)
Faktor 10 vznikl zúrením riaßaß =öaa 8ßß +{yaß ^ßa)/^ ■ Na první pohled ppekvapivé je, Te tensor (21.50) je roven nule i ppi zúlení v první dvojici indexuj to ovpem plyne z poladavku isotropie, neboü ľl'aa=2r/uaa=0. Vjednoatomovém plynu je výraz pro gaß velmi jednoduchý (na rozdíl od obecného pppadu)
Saß=i^aVß-^oaßV2^g(v) .
Pp výpoTtu druhého koeficientu viskozity máme
(21.52)
— mv
v-ü = i(z) => z = g(r)v-
(21.53)
a tedy
-mv
(21.54)
Pro tok hybnosti máme
ni
aß
m
\vavßf0xdT = CaßV-
(21.55)
kde
Cc
aß
m
\vavßf0SdT
(21.56)
Pp vyjádpení druhého koeficientu viskozity ve vztahu I\la/3=£Sa/3V_-ú dostaneme porovnáním (ppi zúlení v indexech) s (21.56)
c--
m
3kBT
\v2f0gdT
(21.57)
Pro jednoatomový plyn je £ = 0 " v rovnici (21.54) je e(T) = (mv2)/2 a cy=3/2, odtud 8=0.
137
22. Symetrie kinetických koeficientu
22.1 Teorie fluktuací
Zopakujeme zde základní pojmy, uvedené jil v kapitole 17. Odchylku soustavy od rovnoválného stavu charakterizujeme pomocí parametrLU xi,...,xn, o nich! zpravidla
ppedpokládáme, Te jejich statistická stpední hodnota je rovna nule. Entropie soustavy v nerovnoválném stavu se od maximálni hodnoty ve stavu rovnoválném lip£ o
(22.1)
, ~~ 0 Pik xi xk ' kĽ 2
kde /3ik je symetrická positivna definitní kvadratická forma. Pravdapodobnost nalezení hodnotparametrlllv intervalech (xl,xl+ dxx),...,{xn,xn + dxn) je
AS
exp
wdxl...dxn
Zavedeme dalpích n funkcí parametrLU
X:
d jc^ • • • d jcn
		~AS~
	exp	
•		_ kB
(22.2)
d   • • • d jc^
1 ÔS
kg ÔX;
Pikxk ■
(22.3)
Muieme pak vyjádpt odchylku entropie pomocí parametrlllX, nebou,
x,
i k
(22.4)
Vpimname si, Te z (22.2) a (22.3) plyne
X,,
dlnw
dx.
(22.5)
Tohoto vztahu vyulijeme ppi výpoTtu stpední hodnoty (xixk) = \—\xixkwdxi—dx«=-
dlnw x-wax, ...dx„
i 1 n
dx.
Xi ~      dXk dx\ • • • dXn ~ &ik
dxk       >--'
(22.6)
-j"(5^ wdx
X
Dosazením do tohoto vztahu z (22.3) nebo (22.4) dostaneme dalpí potpebné výrazy. Souhrnem tedy máme (vztah 17.53)
= 4*   >   (XiXk) = ftk   ,   (xixk) = (j3i)ik   . (22.7)
138
22.2 C asová korelace fluktuací
Mezi hodnotami parametru soustavy v různých Tasech existuje jistá korelace,
kterou stejná jako u prostorových korelací muieme charakterizovat stpedními hodnotami souTinlll^x(ř)x(ř^ . Stpední hodnotu chápeme jako statistickou stpední hodnotu, tj. poTítáme
s pravdapodobnostmi vpech hodnot, kterých mílie parametr x nabývat v Tase íav Tase / . To je ekvivalentní poTítání Tasové stpední hodnoty (napp pro t s pevná daným rozdílem t — ť. Budeme tedy psát
<p(t-t') = (x(t')x{t^ = lf{t)x(t'^ = <p(t'-t)   . (22.8)
Zvolíme-li ť =0aoznaTíme-li x(0) = x, dostaneme
<p(t) = (xx(t)}   ,   <p(t) = <p(-t)   . (22.9)
Je-li parametr velký ve srovnání se stpední hodnotou fluktuace, bude se soustava
navracet k rovnováze v prvním ppiblíTení podle lineárního vztahu
— = -Ax . (22.10) dt
Zavedeme tebI veliTinu %x(t) jako stpední hodnotu parametru x(t) v Tase t>0podmínanou tím, Te v Tase t = 0 nabývá parametr hodnot x. Potom muieme korelaTní funkci zapsat jako
kde stpední hodnotu poTítáme ul jen podle pravdapodobnostního rozlolení x v ř = 0 . Stpední hodnotu rovnosti (22.10) zapípeme jako
^± = -Ašx £x(t) = xexp[-At]   ,   t>0   . (22.12)
Pro t < 0 poTítáme %x (ř) podmínanou tím, Te parametr nabude v ř = 0 hodnot x. Je tedy
Šx(t) = xexp[-A\t\] (22.13)
a
^(ř) = (x2)exp[-/l|ř|] = -^exp[-/l|ř|]   . (22.14)
(Druhá rovnost vychází z vyjádpení ÁS/kB =-/3x2/2 .)
Zobecnaní pro více parametrLUje ppímoTaré. Tak místo (22.8) máme
Mt-t') = ht,)x^t)) = {x^t)4t,)) = ^(t'-t) (22.15)
139
neboli pro ť =0
<Pik{t) = <Pki{rt) ■ (22.16)
Pokud se soustava nenachází v magnetickém poli nebo nerotuje jako celek (vektory indukce magnetického pole B a úhlové rychlosti Q jsou axiální vektory), existuje symetrie pohybových rovnic vzhledem k zámana smaru Tasu, která nám dá dalpí relace. Nezávisí totil na tom, který z parametrLUbereme ppi výpoTtu stpední hodnoty dpíve a který pozdaji. Pokud ani oba parametry nemaní ppi transformaci ŕ—»—ŕ znaménko nebo naopak oba znaménko maní, máme
(x,(ť)xk(t)) = (x,(t)xk(ť))   =>   cpik{t) = cpik{-t)   . (22.17) Spolu s (22.16) tak máme
<Pik{t) = <Pki{t)   . (22.18) Pokud maní ppi transformaci ŕ—»—ŕ znaménko jen jeden z parametruj máme
(x,(ť)xk(t)) = -(x,(t)xk(ť))   =>   cpik{t) = -cpik{-t)   . (22.19) Opat s uválením (22.16) máme v tomto ppípada
<Pik(t) = -<Pki(t)   . (22.20)
Podobna jako v jednorozmarném ppípada máme
dx.
-Aikxk (22.21) dt
a také
-44   , (22.22) dt
kde %i{t) je stpední hodnota parametru xr(ř) v Tase ř>0podmínaná tím, Te v Tase t = 0 nabývají parametry hodnot x1,...,xn. Pak pro korelaTní funkci cpik {t) =    {t)xk)dostáváme
rovnici
dtPit
-Xucplk   ,  t>0  . (22.23)
dt
nepením je (v maticovém zápisu)
(5=(5(0)eXp[-i|ř|]   ,   í§(0) = ((x,x/i» = A1   . (22.24)
22.3 OnsagerUi' princip
Dosadíme do pravé strany rovnice (22.21) z (22.3) a dostáváme
140
^ = -rikxk > rlk=M^)lk • (22-25)
Podle Onsagerova principu platí
rik=rki • (22.26)
Pp dokazování uvidíme, Te je potpeba OnsagerLLf princip ve tvaru (22.26) zppesnit. OznaTme Ši{t) a Sř(ř) stpední hodnoty veliTin xi a Xk v Tase ř>0 podmínané tím, Te v Tase t = 0 nabývají parametry x hodnot xl,...,xn, potom máme z (22.25)
*ŠL = -ylkZk , t>0 . (22.27) dt
Z (22.17) (zámana ť ->ŕ, ŕ->0) máme
(xi(t)xk) = {xixk(t)) (22.28)
a také
= (ŕ)) , (22.29) kdy stptdní hodnota se poTítá ul jen podle pravdapodobnostního rozdalení parametrlllx v Tase t = 0 . Derivací (22.29) podle Tasu a dosazením z (22.27) dostáváme
ra(Xi^} = rkl{Xi^)   , (22.30)
col je OnsagerLLf vztah (22.26). Jil jsme vidali, Te je tpeba zppesnit tento vztah, pokud se soustava nachází v magnetickém poli nebo rotuje jako celek " potom
yik(B,á) = yki(-B,-Ú)   . (22.31)
Jestlile pp inversi Tasu jeden z parametrlllx maní znaménko a druhý nikoliv, maní se vztah (22.28) na (xt (t)xk^ = -(xi xk (ř)^, col vede k výslednému vztahu
yik(B,á) = -yki(-B,-Ú)   . (22.32)
22.4 Symetrie kinetických koeficientu
Stejné úvahy, které vedou k Onsagerovu principu, vedou také k důkazu symetrie koeficientu ^ v relaxaTních rovnicích
dX„
dt
Derivace entropie podle Tasu je
>   Cah=AAch   • (22.33)
141
±Ě1- -y     Y Y
Ku dt dt
Z hydrodynamických rovnic máme
_\_dS_
k q d t
Pro tepelnou vodivost bude
Xa - l'a      ' Xa
1 dT
kB T2 dxa
takle
dT
4a=-Kaß— => yab = kBT2Kaß
a z Onsagerova principu
Pro viskozitu bude
Kaß~Kßa ■
(22.34)
(22.35)
(22.36)
(22.37)
(22.38)
Xa - Ha ß   , Xa
kBT
(22.39)
takle
Kp=17aprsurs   => ľab=KT lapys (22.40)
a z Onsagerova principu
rlaPľS=rlľSap     ■ C22-41)
Symetrii kinetických koeficientu! (22.38) a (22.41) jsme v ppedchozí kapitole získali z ppedpokladu isotropie plynu. Ukáleme tebL, Te tato symetrie plyne pouze z vlastností pepení Boltzmannovy kinetické rovnice. Opravu ^k rovnoválné rozdalovací funkci hledáme ve tvaru
X = 8a{r)Xa   , (22.42)
kde funkce ga (T) splKují rovnici
k=l(8a)   ■ (22-43) VeliTiny La mohou být nappřklad komponentami vektoru jako v ppípada tepelné vodivosti
La=kBT[s(Y)-cPT]va (22.44) nebo skrčkami tensoru jako v ppípada viskozity
s(r)
La=-kBT
mVaVß--^8aß
(22.45)
142
Pprozeným poladavkem na ga (T) jsou podmínky plynoucí ze zákonlllzachování
$f0gadY = 0  ,   \sf0gadY = 0  ,   \pf0gadY = 0  . (22.46) Kinetické koeficienty muieme zapsat jako
(kBT)2rab = -jf0LagbdT   . (22.47) Symetrie kinetických koeficientliledy znamená, Te platí
\f0LagbdY = \f0LbgadY (22.48)
neboli podle (22.43)
\f0l(ga)gbdY = \f0l(gb)gadY   . (22.49) Musíme tedy dokázat, Te operátor/je symetrický. Uvalujme tedy integrál
lf0<pl(Vs)dY = lf0fmw'<p(Vs'+rí-Vs-Vsl)d4r (22.50)
S libovolnými funkcemi <p = <p(Y^ a y/ = y/(Y}. Integrace podle vpech promanných d4Y = dY[ dY' dYx dT umoTKuje vhodnými zámanami zapsat pravou stranu (22.50) v symetrickém tvaru " nejprve r, Y' o- T\, Y[ a potom v obou výrazech T, Tj <r^Y' ,Y[. Dostáváme tak
\f0q>l(¥)dAT =
lr     r (Mi \ (22-51)
4 J fofoilw'(^ + ^)-w(^+^)\(^'+^í-^-^)d4Y •
PpipomeKme, Te
w = w(y',y[\y,yí) = w(y\ytí\y'\y[t) , m/ = w(r,r1|r/,rí) = w(r/r,rír|rT,rf) ,
w = |v-v/|ť/č7   ,   \wdYj dY[ = jV dT' dY[ ,
/0(r) = /0(rr) , /0(r1) = /0(rf) , /0(r)/0(rO = /0(r')/0(rí) •
Tyto vztahy popisují princip detailní rovnováhy, vztah mezi pravdapodobností srálky a úTinným prUjDezem, podmínku unitárnosti a invarianci rovnoválné rozdalovací funkce. Kdyby promannými   typu        byly   pouze   hybnosti,   je   důkaz   proveden,   nebou, platí
w(p'»P][\p>P\) = w{p>P\\p' >P]i)• V obecném ppípada musíme integrál (22.51) spoTítat také tak, Te funkce <p = <p(Y^ a y/ = y/(Y) nahradíme funkcemi y/T =y/(YT^ a cpT =cp(YT^. Ostatní
Tleny v integrálu se nezmaní, jenom pravdapodobností zapípeme v promanných s Tasovou inversí s pomocí výpe uvedených vztahuj takle máme
143
\foVsTl(<pT)ďr =
(22.52)
Tebl ovpem muieme v dalpím index T u promanných typu Trv integrálu na pravé strana (22.52) vynechat, protole znalí jen promanné, ppes které se integruje
\f0ifl{q>T)ďT =
1 (22.53)
~\ fo foi[H^+^)~w' fa' +^)\{<p' +<p^~<p~^)d4T ■
Pp porovnání pravých stran vztahm(22.51) a (22.53) vyulijeme jepta vlastnost unitárnosti
c
f0f0ifa + y/i)fa-<Pi)wd4T=   f0f0l(w + Wl)(<p-<pl)wld4Y (22.54)
/(r,r,)
/(r,r,)
f(ifmfa, + rí)fa,+rí)w,d4r=   fl fmfa<+^)fa<+cp[)Wd4Y   . (22.55) Dostáváme tak výsledek
lf0<pl(Vs)d4T = lfoV/TlfaT)d4r   . (22.56)
Nyní se vrátíme od obecného výsledku k výrazům pro kinetické koeficienty. Pro operátory La dostáváme pp Tasové inversi
La(TT) = ±La(T)   , (22.57)
horní znaménko platí nappklad pro viskozitu, dolní pro tepelnou vodivost. Nakolika postupnými kroky, zahrnujícími jak ulití (22.43), (22.57) a (22.56), vlastnosti rovnoválné rozdalovací funkce f0 = ti a koneTna prostého ppeznaTení integrální promanné r<-»rr dostáváme
\fogbLa(r)dr = ±\fogTbi(ga)drT = ±\fogTai(gb)drT =
± J /„ gTa Lb (ľ) dTT = ± J f0 gaLb(TT)dT = \fogaLb(T)dT .
Je tedy koneTna symetrie kinetických koeficientLLl(22.48) resp. (22.49) dokázána.
Jepta ukáleme, Te diagonální hodnoty matice kinetických koeficientu!jsou kladné.
Protole entropie vzrLLítá, je - j"ln/C(/)r/T > 0. Dosazením f = f0{\+%j{kBr)) pro rozdalovací funkci a C(f} = (f0/kBT}l      pro srálkový Tlen dostáváme
(22.58)
144
-Jm/0c(/)</r--i
ľ     f \
V kbt' j
f o In
l(x)dT>0
(22.59)
a ponecháním jen lineárního Tlenu v rozvoji logaritmu pak
\foZl(z)dT>0 . (22.60) Pro % = ga Xa (podtrlením indexu znázorKujeme, Te je to daná hodnota (nesTítá se ppes naj) dostáváme
\fogj(gä)dr>o => ríä>o . (22.61)
Poslední výsledek potvrzuje Kselským rozumem" pochopitelný jev, kdy tok vybuzený najakým gradientem smapjje vidy tak, aby zmínaný gradient sniloval.
23. Vodivost elektronového plynu
23.1 OnsagerLlir princip
Homogenním vodiTem protéká elektrický proud / a je vedeno teplo Q, pokud vodiT spojuje dva termostaty, první s elektrostatickým potenciálem <f> = 0 a teplotou T, druhý s potenciálem (f> = S.<j> a teplotou T + AT . Mineme zapsat vztah
I = LAé + LAT ,
(23.1)
Q = l21 A(f> + l22 AT ,
ale v takovém ppípada nebude platit lu=l2i, protole Onsagerovy koeficienty spojují sdrulené
promanné, nikoliv promanné libovolná (i kdy! tpeba názorná) zvolené. Pro nalezení správných promanných musíme sledovat zmanu entropie celé soustavy. PoTet elektronlll s nábojem e, ppenápených od termostatu 1 k termostatu 2 oznaTme n = -r\=n2, mnolství
ppenesené energie AU=-AUx =AU2. Zmana entropie termostatu 1 je
AS      W+dlln   , (23.2) 1       T T
kde m(T) je chemický potenciál (Fermiho energie) ppi <f> = 0 . Zmana entropie termostatu 2 je
^^1^, . (23.3)
r+Ar r+Ar
Zmana entropie celé soustavy je pak
145
AS = AU AU
1 1
T + AT T
ju(T + AT)   m(T) eA<,
AT'	
--	+ en
T2 _	
T+AT T T+AT
AT  d (fi\ A(/
(23.4)
e  dT\T J T Nakonec pro Tasovou zmanu entropie dostáváme
dS _ d(AU)
dt dt V tachto vztazích
Ar
d{en)
dt
at d (jŕ\ A0 e ôt[tj t
(23.5)
_d(en) _ AT ô ÍjU^ Aý
%l~ dt      '   1_ VärlrJ T
(23.6)
vyjadpují elektrický proud a ppíslupiou Ksílu" a
d(AU)
OČ?}
dt
(23.7)
jsou tok tepelné energie a ppíslupiá hfeílaMísto (23.1) budeme tedy mít
1 = %
G = 4
AT ô íju^ A(f)
e dT\Jj T _
AT d í/u\ A(j>
e ôat T
+ 4
+ 4
AT AT
"r2
(23.8)
kde ul koeficienty A'ik mají vlastnosti Onsagerových koeficientu! Abychom v (23.8) mali
obsaleny standardní tvary Ohmová a Fourierova zákona, zapípeme pro homogenní vodiT infinitezimálního prUjDEzu AS a délky Ax
I = jAS   ,   Q = qAS   , á;
I ik
Ax
AS
(23.9)
kde j je hustota elektrického proudu a q hustota toku (tepelné) energie, A[k jsou Onsagerovy
koeficienty. V limitním ppechodu pak
A<t>
AT
-> -v0 = £ , — -> vr
Ax Ax
(23.10)
a (23.8) ppejde na
]=T
q=— r
edT^TJ e dT\T)
(23.11)
^ -=> vr
nebo s nesymetrickými koeficienty
146
j=£ll£-£l2VT   ,   q = C21£-£22VT
(23.12)
kde
4=^ , /;2=%+^AÍ/í
T T      e dT{T
C -—      C - — + ——(^ r T      e dT{T,
Pp konstantní teplota máme (OhmliS' zákon)
- K -
j=—S=aS   => Ai=Tcr
Pp nulovém elektrickém proudu máme (FourierliS' zákon)
f ^\
(23.13)
(23.14)
^22
4l
1
vr = -kvr => ä22=t2k+
K
Ta
(23.15)
Vidíme, Te diagonálni koeficienty jsou skuteTha kladné. Pro úplnost je tpeba znát jepta jeden experimentálni zákon a také závislost chemického potenciálu na teplota. V dalpím odstavci spoTteme koeficienty s aproximovanou rozdalovací funkcí. 23.2 Boltzmannova rovnice
23.2.1 Aproximace srálkového Tlenu a ppiblilné pepení
Zapipne Boltzmannovu kinetickou rovnici v aproximaci rozdalovací funkce blízké rovnoválnému rozdalení
f-f0
df   df _    1 df ř
— + ^Ĺ7-v +--—F
dt    ľ ŕ       m ľ v
(23.16)
pro stacionární pppad pak
f = f0~t
fdf ^ 15/ ^ -77-v +--—-F
dr       m dv
(23.17)
Bude-li síla F = (e£,0,0)i gradient teploty VT=(dT/dx,0,0)dostateTna malé, muieme na pravé strana pololit f~f0, takle máme s oznaTením v = (u, vy , vz)
V tomto vztahu
dx
f = f0-T
a/0 dii | a/0 5// jr <9r
<9x
jr
■ W + ■
m <9w
S
(23.18)
d/o = g/o ds du     ds du
mu
ds
(23.19)
147
ppedpokládáme-li nerelativistický plyn, kde s = mv2/2 , v2 = u2 + v2 +v] . Pro rovnoválnou funkci f0 je jak pro Boltzmannovu, tak pro Fermiho " Diracovu statistiku
fo fo
takle muieme psát
df dx
s ô T2 dT
(e
[t.
V k b T j
df0dT
(23.20)
ôs dx
du
ds
(23.21)
Dosazením do (23.18) dostáváme
f = fTu^A\eS-T
0 ôs)
dT_
dx
(23.22)
Pp výpoTtu koeficientlll Cik budeme integrovat rozdalovací funkci násobenou  e u pro elektrický proud nebo u s pro tok energie " pprozena se vzhledem k symetrii uplatní pouze druhý Tlen ve (23.22). 23.2.2 Boltzmannova statistika
Pro Boltzmannovu statistiku dokáleme z obecného tvaru rozdalovací funkce (g = 2 je spinová degenerace)
fo=8
( m V
\2nfi j
exp
vyjádpt explicitná chemický potenciál
// = kBT\n
/u- s
inti
n = jf0d3
(23.23)
x 3/2'
ymkBT j
(23.24)
takle f0 nabývá standardní formu Maxwellova rozdalení
fo=n
f V/2 m
2nkB T j
exp
kBT_
(23.25)
Je tedy
d/p =__fo_      Alíi\ = -l.hs.
ds      kĽ T   '   dT\ T j     2 T
(23.26)
takle dostáváme
/ = /o +
kBT
s 3 T   2 B
dT\
~r\ufo
dx
(23.27)
Pro výpoTet jednotlivých koeficientlllbudeme potpebovat integrály
148
/, = \u2s'f0d3v
m
7.7i k„T
m
j cos2<p dep j sin36> dt
v v   ' exp
m v 2kDT
(23.28)
dv
Po elementární integraci dostáváme
m 3-2
(23.29)
Pro jednotlivé koeficienty Cik pak máme
_ne2 r _«er 5/?ez"
^1 — '     ^12 ~ b      ' ^21
m m a pro Onsagerovy koeficienty
2 m
kBT   ,   C22=5^^kBT (23.30) m
5
2      0 ,VB
2 m
£n T2
\2=— ^^kBT3
m z m Am
Koeficienty elektrické a tepelné vodivosti jsou v tomto pp-blílení
5 nkB t
ne2 t
k -
m Im Lorenzovo Tislo (WiedemannliS' " FranzliS' zákon) je
kBT
(23.31)
(23.32)
k-b_
(23.33)
Ta 2
Porovnaní vztahu (23.32) a (20.34) pro koeficient tepelné vodivosti nám dá ppedstavu o významu doby -. Pro Maxwellovo rozdalení pololíme ve (23.32) [kBT)jm={^r^vf^8 a
cv =(3£B)/(2m) ve (20.34), takle máme
5tt
nkB(v)2r = ^nkB(v}£
(23.34)
23.2.3 Fermiho " Diracova statistika
Normování rozdalovací funkce Fermiho " Diracova rozdalení
fo=8
í Y
'   m 1
\2nh j
1
cxp[(s-ii)/(kBT)] + l dává rovnici, která implicitná urTuje chemický potenciál
ďv
(23.35)
\f0ď
'   m 1
v = g
cxp[(s-ii)/(kBT)] + l Po integraci podle uhlových promanných máme
(23.36)
149
g m
Ť'2 n2W
3/2
:i/2di
exp[(ff-//)/(fcflr)] + l
(23.37)
OznaTíme a = fjj(kBT) a zavedeme novou promannou x=sj[kBT), takle ppedchozí vztah získá tvar
g   i mkBT
2xl2n2\ h
3/2
x^2 d x
exp[x-or] +1
(23.38)
Hodnoty jsou velmi velké, nappíklad pxoju&sF ~5eVa r~300Kje «~200. Ukáleme aproximativní metodu výpoTtu obecnajpího integrálu
CO CO
y(x)dx
exp[x-cľ] +1
y(x+a)dx exp[x]+1
(23.39)
pro velké hodnoty a funkce y(xj takové, Te integrál existuje. Provádíme nejprve následující úpravy
y(a-x)dx y(x + a)dx exp[-x] + l   J  exp[x] +1
1 1
exp[-x] +1      exp[x] +1
uc
I = J y(x)dx
y(a-x)dx y(x+a)dx exp[x] + 1    J  exp[x] + 1
a koneTha
I = \y{x)d
o
x +
y(a + x)-y(a-x)
dx +
y(a-x)dx exp[x]+1
(23.40)
exp[x] +1
0 a
Tpetí integrál je lze zanedbat, nebouje exponenciálna (exp[-<z]) malý. V Titateli integrandu
druhého integrálu ponecháme v Taylorova rozvoji jen nejniípí (liché) mocniny x " v napem pfípada budeme potpebovat jen první " a integrál je pak
y(a + x)-y(a-x) exp[x] +1
dx = ^
22n-l _2n r\ X   i5n „(2»-i)
B=1 n\2n-\)\
(2n-l  / \
T (a)
(23.41)
a tedy
150
oc 2
i ~jy(x)dxh—y'(a) ■
(23.42)
Integrál ve (23.38) aproximuje výrazem
r     x^2 dx        2  3/2   n2 1
a 1 +■
exp[x-a] + l   3 \2cr12 3
x3/2
\kBT j
1 +
2fkDT^
(23.43)
Pokud bychom se spokojili ve (23.42) jen s prvním Tleném, odpovídalo by to ppílip hrubé aproximaci, pomocí Diracovy " funkce muieme potpebné dva Tleny v derivaci rozdalovací funkce zapsat jako
n " ^2 x (23.44)
d
ds
1
exp[(e-fi)/(kBT)] + l
-ó(s-M)-^-(kBTYS"(s-M) 6
Fermiho energie je
h
2 f
2m
6tt2
\2/3
(23.45)
a s její pomocí muieme pro chemický potenciál napsat po dosazení (23.43) do (23.38) ppblilný vztah
n2 (KTf
12 sK
(23.46)
Pp výpoTtu koeficientlll s rozdalovací funkcí (23.22) budeme potpebovat integrál ppes prostorový úhel
(u2) ={u2dQ = ^-— Wn   { 3 m
(23.47)
a integrály
v 6?v :
n     Ss- ms
3/2
,í+3/2
ds
——\s+-mef v + 2,
exp[(s-u)/(kBT)]
s^l2 ds exp[(e-fi)/(kBT)]
ds
(23.48)
S vyulitím (23.42) potom / = —
ms
3/2    ^ ŕ,
v4r (**r)
5+—
2,
(23.49)
151
Nakonec dosazením za chemický potenciál z (23.46) a zanedbáním Tlenlllvyppího pádu v (kBT)jsF máme
— s + 6
n
ms
3/2 | bf ^
(23.50)
Potom pro koeficienty Cik máme 4
ne2 r
m ner
_7r2 nerk2BT 3   m s
m
5tt2 (kBT)2
12
A2
2n nr 2
—--kBT
3 m
(23.51)
a Onsagerovy koeficienty jsou
m
ners.
T
^22
nrSr
m
T
In
2 f
m
kBT
5n
2 í
12
kBT
V  sf j
V  sf j
(23.52)
Koeficienty elektrické a tepelné vodivosti jsou tedy
«e t
m
k ■
n2 nk2Br 3 m
(23.53)
a Lorenzovo Tislo je
k _ n
Lt — —
(23.54)
r o- 3
Vidíme jen malý rozdíl ve výsledcích výpoTtu Lorenzova Tisla podle Boltzmannovy nebo Fermiho " Diracovy statistiky. Experiment dává docela dobrou shodu s teórií " hodnota L podle (23.54) je L = 2,45-10~8 WQK 2, hodnoty pro nakteré kovy jsou uvedeny v tabulce (podle C. Kittel, Introduction to Solid State Physics).
L.10s W| K"2			L.10s W| K"2		
kov	0°C	100°C	kov	0°C	100°C
Ag	2,31	2,37	Pb	2,47	2,56
Au	2,35	2,40	Pt	2,51	2,60
Cd	2,42	2,43	Sn	2,52	2,49
Cu	2,23	2,33	W	3,04	3,20
Mo	2,61	2,79	Zn	2,31	2,33
152
24. Bílý trpaslík
24.1 Elementární odhad Chandrasekharovy meze
Jil v roce 1932 provedl Landau (On the theory of stars, Phys. Zs. Sowjet. 1 (1932), 285) následující úvahu: majme N fermionLU(pro slolení hvazdy z 12C a 160 je to N nukleonllla N/2 elektronu) ve hvazda polomaru R, takie Tíselná hustota elektronUJje n-N/R3 . Objem
připadající na jeden elektron je podle Pauliho principu (Alf~l/n. Podle Heisenbergova
principu neurTitosti je nejmenpí molná velikost hybnosti p~h/A£~hn^3. Energie relativistického elektronu je tedy (energii nukleonUJ zanedbáváme vzhledem k jejich velké hmotnosti)
EF„hn*c~^j^-   , (24.1)
ppedpokládáme p pitom
EF>mc2   . (24.2)
GravitaTní energie najeden nukleon " tady naopak zanedbáváme ppíspavek elektronLU" je
EG~-G—   , (24.3) R
kde u je atomová jednotka hmotnosti. Celková energie je
£=£f+£o~íf!l-G^Í . (24.4)
K K
Pro malý poTet Tástic je celková energie kladná, zvypvání R sniluje energii, al je porupena podmínka (24.2) a ppecházíme do nerelativistické oblasti
h2 N2'3
^-^HV  • (24-5) 2mR
Potom mine být celková energie záporná a se zvypujícím se R jde k nule. Existuje tedy rovnoválný stav s minimem celkové energie. Naopak pro velký poTet Tástic je celková energie (24.4) záporná a se zvypujícím se R stále klesá " rovnoválný stav neexistuje. Mezní hodnota poTtu Tástic, kdy jepta mine existovat rovnoválný stav je tedy urTena z (24.4) pro E = 0. Máme tedy
hc
yGu2 j
Mmm = AU u ~ | ^1   ^   • (24.6)
153
Po dosazení (^=1,05-10 34 Js , c=3,00-10sms1, G = 6,67-10" Jmkg^, u=l,66-10" kg a
MQ = 1,99-103U kg dostáváme
Mmax~3,72-1030kg*l,87Mo , (24.7) tedy hodnotu jen ponakud vatpí, nel je v souTasnosti ppijatá hodnota Chandrasekharovy meze. Dosazením A^max do (24.1) získáme z nerovnosti (24.2) výraz pro maximální molný polomar
h
max
mc
f hc V*
^Gu2 j
(24.8)
col po dosazení (m = 9,ll-10 31 kg ) dává
i?max~5,03-106m  . (24.9)
Výsledek se dá elementárna popsat tak, Te u bílých trpaslíklllje tpeba hmotnost Slunce stlaTit nejména do objemu Zema. 24.2 Stavová rovnice
Pro zjednodupení popisu je velmi duleTité, Te elektronový plyn muieme povalovat za úplná degenerovaný, tedy plyn za nulové teploty. Je to ppekvapivé, uválíme-li teplotu vnitpní Tásti bílého trpaslíka, která je pádová 107 K . Fermiho energie extrémna relativistického plynu
je
sF =(37T2n)í/3hc   . (24.10) Podobna jako v ppedchozí kapitole muieme chemický potenciál aproximovat výrazem
ju = sF -2V B  '    . (24.11)
Jako ppíklad vezmame parametry hvazdy Sirius B (Barston et al.: HST Spectroscopy of the Balmer lineš in Sirius B, MNRAS 362 (2005), 1134) " hmotnost M=l,02Mo, polomar
i?=0,0081i?o . S hodnotou RQ =6,96-108 mdostáváme pro numerickou hustotu elektronlll
1 M 1
i 8,15-1038irT3 (24.12)
2 u (4/3) íz-R3 a pro Fermiho energii
sF = 9,10-10 13 J ~ 5,7MeV   . (24.13) Hodnota tepelné energie odpovídající r~107 K je ale
/Lr~l,38-KT16J~0,9keV  , (24.14)
154
je tak rozmazání skokové funkce rozdalení podle energie kolem chemického potenciálu (ten je ppi daných podmínkách pouze o 0,3eVmenpí nel Fermiho energie) zanedbatelné. Pro ppesnajpí výpoTty zavedeme nejprve bezrozmarnou veliTinu
v_ P _ PC
mc mc
Potom máme pro numerickou hustotu elektronlll
3n2 A,
(24.15)
kde Ac=hj{mc)]e Comptonova vlnová délka elektronlll Máme tedy pro chemický potenciál
(v pptblílení Knulové teploty" Fermiho energii)
\V2 ^       U    2 ^\V3
// = mc2(rf+l)     ,   VF =[37r2nAl)'
Pro hustotu energie pak
£ = 2(mc)3 mc2
2 vf
-hrr^-=3^ríp {l+v ) dV
7t A,
'C 0
mc
%n2 A3
VF(\+2V2)(\+V2fVF+(\ + V2)
\V2'
Tlak poTítáme jako
dU dV
■N-
n,t
d_ÍS dv{n
n,t
2 dí£ n — — dny n
3 e dVF
■S
a dostáváme
mc
%7T2A^
■n(7>)
kde
U(VF) = VF\^V2-l\(l+V2)y2+ln VF+(l+V2)
\V2"
Derivace tlaku P podle VF má prosté vyjádpení
d P     m c2 V"
,1/2 ■
(24.16)
(24.17)
(24.18)
(24.19)
(24.20)
(24.21)
dVF 3^(1+72)* V extrémna relativistickém ppípada máme
M = (3x2fhcn"3   ,   £=-(37r2fhcnAl3   ,   P = -(3^2f hen4'3 (24.22)
155
a v nerelativistickémpppada (// = //-mc2a £' = £-nmc2)
% 2/3
10 m
n5'3   , P
.5/3
m
(24.23)
2 m 24.3 Newtonova gravitace
GravitaTní potenciál je pepením Poissonovy rovnice
Acf> = A7rGp   . (24.24) Protole budeme uvalovat pouze sféricky symetrický problém, zjednodupí se rovnice na
]_d_
r2 dr
ŕ 2di" V    dr j
AnGp
(24.25)
Chemický potenciál nukleonlllzanedbáváme, stejná jako ppspavek elektronlllk celkové hmota. Pppadá-li najeden elektron k nukleonLL) muieme podmínku rovnováhy zapsat jako
p + ku(j) = pi + mc2 + ku(j) = konst. a hustotu =jako p = k u n . Rovnici (24.25) tak ppepípeme do tvaru
_\_d_
r2 dr
f i dp^
dr
nebo
\_d_
r2 dr
2^} V     dr j
-A7iG[kuf n
-A7iG[kuf n .
(24.26)
(24.27)
(24.28)
Dosazení za n z (24.22) do (24.27) a z (24.23) do (24.28) dává
]_d_
r2 d r
f
d p dr
Ak2 Gu2 3x (hc)3
(24.29)
kde [/lur] = r2m"2 a
]_d_
r2 d r
2 d p1 ^ v    dr j
2 z/3/2      2 -4k r n2 2m i
-ÁmM ,     K--GU
3tt
h1
(24.30)
kde[/lnr] = r1/2m-2
Uvalujme nejprve nerelativistický pppad. Pp polomaru hvazdy R dostáváme integrací rovnice (24.28)
f _2 dp' ^ v    dr j
kuGM ,
(24.31)
kde M je hmotnost hvazdy. Zavedeme bezrozmarnou promannou Na novou funkci/vztahy
156
Š = r/R   ,   M<(r)=-—f(š) .
K. Rq
(24.32)
Máme tak z (24.30) (s dodáním ppirozených okrajových podmínek)
_i_^_r^2^=_/3/2 d/
d é;
(24.33)
<í=o
a z (24.31)
df
d£
-ku Á2 G M R3
(24.34)
<í=i
Numerické pepení rovnice (24.33) je nejsnadnajpí, pokud pepíme úlohu s poTáteTními podmínkami     _o =konst., (df/d^ q =0 a iteracemi najdeme hodnotu konstanty tak, aby
byla spínaná druhá okrajová podmínka, tj. /|   =0 . Výsledkem je
/I    =178,2202  , ^
-132,3841
(24.35)
<í=i
Zvolíme-li k = 2 a poulijeme-li jil dpVe uvedených hodnot fyzikálních konstant, dostáváme
MR3 =6,84-1020M0 m
(24.36)
Tento vztah platí pro dostateTna velká R, tak aby bylo molno poulit nerelativistickou aproximaci pro elektronový plyn.
Nyní uvalujme extrémna relativistický ppřpad. Postup je obdobný " zaTneme integrací rovnice (24.27)
2 dli
dr
-kuGM
(24.37)
r = R
a zavedeme bezrozmarnou promannou Na novou funkci/vztahy
1
Š = r/R   , ii(r).
ÁÍ2R
(24.38)
Z rovnice (24.29) máme
1 d
df
df
dč,
o , /L=o
(24.39)
<ř=o
a z rovnice (24.37)
df_
dč,
-ku A!'2 G M
(24.40)
<í=i
nepením (24.39) je
157
/I    =6,8968 ,
df
= -2,0182   . (24.41)
<í=i
Se stejnými hodnotami konstant jako v nerelativistickém ppřpada dostáváme pro extrémna relativistický elektronový plyn
M=1,45MQ   , (24.42)
col je práva Chandrasekharova mezní hodnota hmotnosti bílého trpaslíka. Pro elektronový plyn v obecném stavu by bylo tpeba v (24.27) dosadit za hustotu n vyjádpení pomocí chemického potenciálu z (24.16).
Poznámka: V astrofyzikální literatupe se setkáváme s ponakud odlipnou formulací, ke které snadno ppejdeme derivací podmínky rovnováhy (24.26) podle radiální soupadnice
8jU dP
dP   ,   dé     dP   ,   dé   _ ,
-+ ku— = v-+ ku— = 0   , (24.43)
dr        dr      dr dr
(24.44)
kde v(r) je objem ppipadající na jednu Tástici, takle {ku)jv{r)=p{r). Dále
d(f> _GM(r) d r r2
je gravitaTní síla, pUáobící na jednotkovou hmotnost ve vzdálenosti r od stpedu. Muieme tak psát dva rovnice prvního pádu
dP GM{r)p{r)
dr r2 '     Uo     0 '
(24.45)
— = Anr2p(r)   ,   M\    =0 .
dr y ' lr=0
Pro pepení problému potpebujeme jepta znát stavovou rovnici. Budeme-li zanedbávat ppíspavek elektron LU k hustota, máme p(f) = kun(f)& obecný tvar stavové rovnice (24.19). Ve dpíve zmiKovaných mezních ppípadech je stavová rovnice rovnicí polytropy P(r)=konst.[/j(r)]r, kde 7=5/3 pro nerelativistický a /=4/3 pro extrémna relativistický elektronový plyn.
24.4 Statické sféricky symetrické pepení Einsteinových rovnic
Nejprve uveblme obecnajpí výsledek, který se týká podmínky rovnováhy, pokud se soustava nachází ve statickém gravitaTním poli. Ppi pohybu Tástice v takovém poli se zachovává energie, která je c     násobkem Tasupodobné slolky Ttypvektoru hybnosti
mcu
158
2 dx°
U0 = mc2g00 —   . (24.46) as
Interval je dán vztahem ds2 =c2 (dr)2-{dl)2, kde cdr=(g00 dx0^ . Jestlile zapípeme vztah (24.46) pomocí rychlosti v=dl/dr, dostáváme
2
U0=,   ^ 2Ý/2(g00f2=u(g00f   ■ (24-47) (l-v2/c2)
Entropie soustavy ani poTet Tástic soustavy na ppítomnosti gravitaTního pole nezávisí, takle
derivace zachovávající se veliTiny U0 podle S nebo A^je konstantní, takle pro T=dU/dS a
jU=dU/dN máme
r(£00)V2=konst.   ,   //(^00)V2=konst.   . (24.48) Odsud ju/T=konst. => d/j//J=dT/T. Dosazením do termodynamické rovnosti
VdP = SdT + Nd/j = (TS + N/j)^- = V(s + P)^- (24.49)
dostáváme uTiteTný výraz
dju _ dP
ju    s + P
Ve slabém poli popsaném Newtonovým potenciálem je g00 ^\ + {2^)j c1, takle ^    konst.    ,       Í-.    é) í \V2
(24.50)
\V2
konst. 1—-    ,   //(g00)   ~ //' + mc2 + mcj) = konst.   . (24.51)
(Soo)'
Vanujme se tebl podrobná ppípadu statického sféricky symetrického pole (ve vakuu jde o Schwarzschildovo pepení). Zvolíme standardní soupadnice x° =ct, x1 =r , x2 =6, x3 =q> a definujeme metrický tensor pomocí intervalu
ds2 =c2exp[v(r)]dt2-exp[A(r)]dr2-r2(d&2+ún20d(p2)   . (24.52) Tenzor energie hybnosti volíme jako
Tt =diag{c2 p{r)-P{r)-P{r)-P{r)}   . (24.53)
Pro symetrický tensor Tik je kovariantní divergenci molno zapsat jednodupe jako
j* = i/M1/2^)_i^r. (2454)
159
Ze zákona zachování je kovariantní divergence rovna nule, v napem ppípada dostáváme jedinou rovnici (Tárkou znaTíme derivaci podle r)
(c2p + P) + P' =0 .
Z deseti Einsteinových rovnic
1
8ttG,
R, —ô* R A
1    2 1        c4 '
(24.55)
(24.56)
zLLítanou pak v napem ppípada k pepení pouze tpi 8ttG r   J 1
-p = -exp[-/l]
vr      r j
%nG
c
— P = cxp[-Ä]
(24.57)
v r    r j
8^G_   1     r /
„   v11   v1-X v'Á'^
v + — +---
2        r 2
n epení první rovnice je snadné
kde jsme oznaTili
, ,        í 2GM(r)
X [r =-ln 1--^
c r
M(r) = A7i^p(x)x2 dx
(24.58)
(24.59)
hmotnost   pod   polomarem   r.   Pro   r>R   dostáváme   tak   návaznost   na vakuové
(Schwarzschildovo) pepení s Á(r) = — \n[\ — rg /r) .
Rovnici (24.55) lze samozpejma odvodit z rovnic (24.57). Pro nápvýpoTet je vhodné dosadit do souTtu prvních dvou rovnic (24.57)
(24.60)
r 'c za v' z rovnice (24.55) a za A z (24.58). Dostáváme tak rovnici
dP(r) _ GM(r)p(r)
d r r2
2GM(r)V\    Anr P(r)J P(r) 1--—     1h--— 1h--
[      c2M(r) J[    c2p(r)
c2 r
(24.61)
K této rovnici ppdáme
dM(r)
dr
Anr2 p(r)
(24.62)
160
a ppíslupné poTáteTní podmínky, tj. P(0) = P0 a M(0) = 0 . Porovnání rovnice (24.61) a první
rovnice z (24.45) ukazuje opravy, které ppinápí obecná teorie relativity.
Ppejdeme v rovnicích (24.61) a (24.62) kbezrozmarné soupadnici r = A^ a hmotnosti
M(r) = M0M(£), máme po dosazení z (24.15) a (24.19)
fflC
dP(r)
~3tt2/13 A(i + 7?2)V2 dč,
,   ,(r) = ten(r) = -*^7*
takle dostáváme
dč, c K  m     VF ?
m    ku A3 ^3n(Pf) 2^-/tí/M0/l3   M (í)
1-2
GMQM(^) c2 A £
rfM(£) _ 4 /ti/ A
1 +
!, 3m n(Pf) 8 ä: m P3
2p3
3^-M^/l3b F
Zavedeme pro zjednodupení konstanty
f
A:
M,
y/3
yku j
Ac   , k
GM f (ku)4" hc
jejich! pptblilné hodnoty jsou A = 3239kma /r = l,659 . Rovnice pak mají tvar
-k-
dt      vF e
1-2 K
m
ku č, dč,      3 n
1+
m ^3n(pf)
2^/ti/ M(£)
!, 3mn(Pf) 8 ä: m P3
n(^) = n^^2-iJ(i+^2)1/2+in[pF+(i+PF2)
Vidíme, Te vpechny opravné Tleny jsou násobeny malým pomarem hmotnosti elektronu a hmotnosti nukleonuj ppipadajících na jeden elektron. Proto se tyto opravy projeví al ppi velkých hodnotách centrálního tlaku. Na levém obrázku je znázornana závislost hmotnosti M
(ve hmotnostech Slunce) na polomaru R (v km) v rozsahu tlaku P0 ~ (lO35 - 1039) Nm2. Na
1/2'
(24.63)
(24.64)
(24.65)
(24.66)
161
0,45-
■O
0,36
OO i
o
1,4
O o
1000
3000
pravém obrázku je potom znázornana oblast kolem Chandrasekharovy meze, tj. s tlakem P0 ~(l025 -5-1028)Nirf2. ZvýpoTtu dostáváme pro maximální hmotnost bílého trpaslíka a polomar takové hvazdy
Mniax=l,419M0   ,   i?(M_) = 8790km   . (24.67)
Pro minimální polomar bílého trpaslíka ppi extrémna vysokých centrálních tlacích a hmotnost takové hvazdy pak
i?mn=9,47km , M(i?min) = O,45M0 . (24.68) Závislost hustoty (1(T12 /?(r)[\gm~3^]) na vzdálenosti od stpedu (r[km]) pro parametry z (24.67) je na posledním obrázku.
l—r~1—n
600
162
25. Literatura
Základní literatura:
WmSL., 5-(i6Íi^)(@@@i)^(@@@@2002)
Landau L.D., Lifshitz E.M.: Statistical Physics, Third Edition, Part 1: Volume 5 (Course of Theoretical Physics) (Butterworth-Heinemann, 2000) Vybrané Jásti:
mmt>.® (D, mmsim.® ©. <m®immmi)>ummi)@)3.6. mvsimmmvs^nm
(©®§Sy^@@@2001)
Fluid Mechanics, Second Edition: Volume 6 (Course of Theoretical Physics) (Butterworth-Heinemann, 2000)
mmt>.® (D, ®msim. © ©. muimmmmumm @>3.10. (®msm.® ©., ®i9ft0&ffl(i#o)® ©) m^mMtim^^iv)2-(mm (©®gs)^@©@2002)
Pitaevskii L. P., Lifshitz E.M.: Physical Kinetics: Volume 10 (Course of Theoretical Physics) (Butterworth-Heinemann, 1999) Klasická literatura:
Pauli W.: Pauli Lectures on Physics: Vol. 3. Thermodynamics and the Kinetic Theory of Gases (The MIT Press, 1973)
Pauli W.: Pauli Lectures on Physics: Vol. 4. Statistical Mechanics (The MIT Press, 1973) Sommerfeld A.: Lectures on Theoretical Physics: Vol. 5. Thermodynamics and Statistical Mechanics (Academic Press, 1956)
Feynman R.P.: Statistical Mechanics. A Set of Lectures (W.A.Benjamin, 1982) Rozsáhlá kompendia:
Greiner W., Neise L., Stöcker H.: Thermodynamics and Statistical Mechanics (Springer, 1997)
Reichl L. E.: A Modern Course in Statistical Physics (John Wiley & Sons, 1998) Reif F.: Statistical Thermal Physics (McGraw-Hill, 1965) Úvodní a (moTná) snadnajpí:
Kittel Ch., Kroemer H.: Thermal Physics (W.H.Freeman, 2000)
Blundell S. J., Blundell K. M.: Concepts in Thermal Physics (Oxford University Press, 2006) Walecka J. D.: Introduction to Statistical Mechanics ((World Scientific, 2011) Amit D. J, Verbin J.: Statistical Physics. An Introductory Course (World Scientific, 2006) Chandler D.: Introduction To Modern Statistical Mechanics (Oxford University Press, 1987)
163