Sedmá kapitola skripta je věnována trojnému integrálu. Struktura kapitoly je podobná předcházející
kapitole věnované dvojnému integrálu. I zde se naučíme převádět trojný integrál na trojnásobný,
naučíme se transformaci do válcových souřadnic a nakonec se budeme věnovat aplikacím. Máme
výhodu v tom, že kdo pochopil postupný výpočet dvojnásobného integrálu, ten nebude mít problém
s výpočtem integrálu trojnásobného. Bude tam prostě o jeden krok víc. Využijeme také toho, že
umíme popsat „pomocí nerovností“ útvar v rovině. O něco horší je, že nyní budeme integrovat přes
množinu V, která bude představovat těleso, dostaneme se tak do analytické geometrie v prostoru. Té
na střední škole není věnována taková pozornost jako analytické geometrii v rovině. Výpočet
trojných integrálů je proto pro nás mnohem těžší a bude vyžadovat doplňkové konzultace, ke
kterým se snad za měsíc dostaneme.
Na str. 84 najdete motivační situaci z fyziky, kdy počítáme hmotnost tělesa a přitom hustota
materiálu je v různých bodech tělesa různá a je popsána funkcí tří souřadnic f(x,y,z). Trojný integrál
této funkce na tělese V vyjadřuje hmotnost tělesa. Kdyby hustota byla rovna všude jedné, pak
integrál stanoví objem tělesa. Je to stejné jako u integrálu dvojného, tam integrál „z jedničky“
určoval míru (obsah) množiny M, nyní je to míra (objem) tělesa V. Výpočet objemu tělesa pro nás
bude základní aplikace trojného integrálu.
Část 7. 1 představuje Fubiniovu větu pro trojný integrál. Začínáme na kvádru (krychli), kde je
situace nejjednodušší. Kvádr nebude zadán svými vrcholy, je zadán nerovnostmi pro jednotlivé
souřadnice libovolného bodu kvádru. Ve větě 7. 1 platí: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d a e ≤ z ≤ f . Vidíme na
příkladu 7. 3, že krychle je tak rovnou zadaná, takže sestavení trojnásobného integrálu není žádný
problém. Můžeme počítat v libovolném pořadí, kterých je celkem šest (známe z kombinatoriky, že
tři prvky můžeme seřadit do šesti pořadí). Spočítejte si příklad 7. 3 v několika z nich. Když vám
pokaždé vyjde 2, můžete říct, že jste zvládli „trojnásobné integrování“ v nejsnadnějším případě. V
dalším ale budeme dodržovat pořadí, které je dáno v příkladu závorkami. Nejprve zintegrujeme
podle proměnné z (na x a y se díváme jako na konstanty), do výsledku dosadíme meze pro z a
získáme dvojnásobný integrál, který jsme již řešili. Opět tedy integrujeme nejprve podle y a
nakonec podle x. Toto pořadí integrování budeme používat ve většině dalších příkladů, protože to
odpovídá tomu, jak budou v budoucnu popsána „složitější“ tělesa V. Příklad s kvádrem máte
popsán také v doporučeném videu. Vhodných videí je na kanále společnosti Isibalo víc. Čekal jsem,
až vám je paní profesorka doporučí a připravím komentář k dalším z nich. Videa jsou na
diferenciální rovnice, diferenciální počet funkcí více proměnných a také tedy na vícenásobné
integrály. Sami uvidíte, že rozsah mnohdy velmi výrazně přesahuje to, co probíráme s vámi. Proto
připravím ten komentář a vyberu jen vhodná videa. V každém případě nám tato videa pomohou
ještě trochu lépe společně zvládnout tento nešťastný semestr.
Zatím tedy jen stručně, mluvíme o videích „Integrální počet funkcí více proměnných“, celý seznam
je na adrese
https://www.youtube.com/playlist?list=PLD-MTmOzXT5OHC4_vHa_PE2GJcsopTZOS
a my nyní hovoříme o videu číslo 21 v tomto seznamu.
Věta 7. 4 na str. 85 popisuje vyjádření trojného integrálu v případě složitějšího tělesa. To je popsáno
tak, že v rovině xy je zadána množina M. Stejně jako u dvojného integrálu, čili to umíme zvládnout
již v řadě situací. Nyní je každému bodu [x,y] z množiny M přiřazeno nějaké číslo z, které
představuje třetí souřadnici bodu [x, y, z]. Máme tedy tři nerovnosti pro každou z proměnných, z
nich vyčteme meze jednotlivých integrálů. Integrujeme v pořadí z, y , x. Proměnná x má již
konstantní meze, takže výsledkem celého procesu je číslo.
Názornou ukázkou je příklad 7. 5. Těleso V si nedovedeme představit, sestavit trojnásobný integrál
a postupně ho spočítat umíme. Jen si musíme zvyknout, že v prvních dvou krocích nedosazujeme za
meze čísla, ale výrazy s proměnnými. Podívejte se i na video 22. Učitel to tam vysvětluje hodně
jinak, než to učíme my, ale tam zadaný příklad si spočítejte a musíte dojít ke stejnému výsledku
jako on.
Vidíme, že pokud je těleso V zadané přímo nerovnicemi, pak stačí jen vytvořit trojnásobný integrál
a ten postupně zintegrovat. Příklad 7. 6 ovšem ukazuje situaci komplikovanější, kdy si těleso
musíme nejprve představit a teprve pak jsme schopni ho nerovnicemi popsat. Skoro stejnou úlohu
řeší video 23. Jen „šikmá rovina“ je jiná a jiná je i integrovaná funkce. Samotný výpočet
trojnásobného integrálu je pak dělaný stejně, jako bychom ho dělali my. Tentokrát doporučuji to
počítat stejně.
Když se vrátíme k příkladu 7. 6 ve skriptu, pak v řešení je vyslovena základní myšlenka pro
odvození potřebných nerovností (je to i ve videu). Těleso, v našem případě čtyřstěn, promítneme do
spodní roviny xy. Průmětem je trojúhelník s vrcholy [0,0], [1,0] a [0,1], vidíme ho na obrázku b).
To je situace jako u dvojného integrálu, tento trojúhelník popíšeme nerovnostmi 0 ≤ x ≤ 1 a 0 ≤ y ≤
1-y. Zdola je těleso ohraničené rovinou xy, která má rovnici z = 0, shora pak šikmou rovinou z = 1
– x – y. Tím máme všechny meze trojnásobného integrálu.
Trojnásobné integrování si můžete dostatečně procvičit na příkladech 1a-e, na str. 93. To jsou ty
snadnější situace, kdy těleso si většinou představit nedokážeme, ale sestavit trojnásobný integrál
není problém.
V příkladu 1a integrujeme přes krychli, všechny meze jsou konstantní a integrovaná funkce je
součin xy2
z. Podobně jako u dvojného integrálu můžeme postupovat tak, že pro každou proměnnou
vytvoříme „vlastní určitý integrál“, každý spočítáme zvlášť a výsledky vynásobíme.
V přiloženém textu priklady_chemici_5.pdf najdete čtyři příklady. První je počítán přes kvádr. Je
tedy možno šest různých pořadí integrace, zvolil jsem dvě. Protože proměnné je možno „separovat“
do tří určitých integrálů, je příklad vyřešen i tímto způsobem. Je zřejmé, že tento postup je
nejrychlejší. Není ho možno provést vždy, to je vidět u druhého příkladu, kde meze konstantní
nejsou. Těleso si představit nedokážeme, ale je zadáno tak, že můžeme sestavit trojnásobný integrál.
Třetí příklad se vrací k příkladu 7. 6 ve skriptu. Počítáme tam objem čtyřstěnu, tedy položíme
f(x,y,z) = 1. Vše ostatní zůstane stejné. Objem počítáme i v posledním příkladu. Roviny x=0, y=0 a
z=0 jsou roviny yz, xz a xy. Roviny x=1 a y=1 jsou kolmé na rovinu xy a prochází jedničkami na
odpovídajících osách. Šikmou rovinou z = 3 – x – y je tedy seříznut hranol, který stojí v rovině xy,
má čtvercovou jednotkovou podstavu a kdyby nebyl seříznut, měl by nekonečnou výšku. Z obrázku
je těleso snad zřejmé. Kolmým průmětem do roviny xy je tedy čtverec. Je důležité si uvědomit, že
kdybychom zvolili šikmou rovinu stejně jako v předchozím příkladu, průmětem by již nebyl čtverec
a výpočet by byl mnohem složitější.