Opravy ke Sbírce řešených příkladů předmětu M4122
Jan Koláček 9. dubna 2019
Poznámka. Zde se nachází opravy chyb, které našli studenti při řešení úloh se Sbírky řešených příkladů k předmětu M4122 „Pravděpodobnost a statistika II".
Poděkování patří těmto studentům: Natália Slancová, Tereza Nováková, Tereza Mar-tináková, Jana Prchlová, Zdislava Tvrdíková, Magdaléna Trepková, Jan Bubeníček, Alexandra Žilková, Branislava Birošová, Jan Vondruška, Lucie Hronová, Adam Dobrovič a Ľubica Hladká.
Kapitola 1
1.1 Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny
Přiklad 2 b) Správný výsledek je 185. Přiklad 5 Správně má být
D{X) = O2 • 0, 5 + l2 • 0, 25 + 22 • 0, 25 - 0, 752 = 1, 25 - 0, 5625 = 0, 6875 1.3 Kovariance a korelační koeficient
Příklad 12 Uvedený postup platí jen v případě, že by náhodné veličiny X, Y měly stejný rozptyl. Obecně je třeba postupovat takto:
C(X + Y,Y-X) = C(X, Y) + C(Y, Y) - C(X, X) - C(X, Y) = DY - DX
Příklad 14 Zadání tohoto příkladu nedává smysl. Při vypočtené konstantě c nejsou fx,y(x,y) a fy(y) hustoty. Příklad proto ani nepočítejte.
1.5 Cvičení
Příklad 1 Správný výsledek pro rozptyl je D(X) = 3/4. Příklad 8 Správný výsledek pro x0íi5 je x0íi5 = 0.
Příklad 10 Zadání a) Informace R(X, Y) = 0, 3 je nesmyslná a nemá v zadání být. Správný výsledek je E(U) = 33.
Příklad 13 Správně má být C(Xi,Xs) = 0, R(Xi,Xs) = 0, tj. matice ccw(X) a cor(X) mají mít na pozicích (1, 3) a (3,1) nuly.
Kapitola 2
2.1 Markovova a Cebyševova nerovnost
Přiklad 2 V řešení má být správně „pro e = 3 000"
P (X > 5 000) < P(\X - 2 000| > 3 000) < = 0, 000144
Přiklad 4 b) V řešení má být správně
a+5b
6 g+5ŕ> 1 Í 1        - 1 "
J   b — a b — _
5a+b " S
6
q g+56 5a+6
5a+ŕ)
6 — a    b — a 6 (b — a)
Přiklad 8
a) Správně se má počítat P(Xn > 3,5), tj. opačný jev. P(Xn > 3, 5) = 1 — P(Xn < 3,5) = 1 - 0, 99061 = 0,00939.
b) Zadání není formulováno úplně nejlépe. Lepší formulace: „Jaká má být záruční doba, aby průměrná životnost 100 žehliček byla menší než tato záruční doba s pravděpodobností maximálně 0,05?"
c) Zadání není formulováno správně. Správná formulace: „Kolik musíme vzít žehliček, aby pravděpodobnost, že průměrná životnost nepřekročí 42 měsíců, byla maximálně 0,95?"
2.2 Centrální limitní věta
Příklad 11 Řešení není správně, parametr 6 nelze počítat uvedeným způsobem, ani by se následně nejednalo o binomické rozdělení. Pokud bychom chtěli upravit zadání tak, aby šlo řešit uvedeným postupem, změnili bychom ho takto:
„Chceme slavit narozeniny v restauraci, ve které můžeme zarezervovat pouze 20 míst, a chtěli bychom pozvat několik kamarádů a kamarádek. Z předchozí zkušenosti víme, že oslovená osoba přijde z pravděpodobností 0,6068. Kolik přátel můžeme oslovit, aby jich s pravděpodobností alespoň 0,99 nepřišlo víc než 19?"
Při řešení se pak číslo 20 musí nahradit číslem 19,5 a řeší se kvadratická nerovnice
0,6068 ŕ2 + 1,136 ŕ - 19,5 < 0,
jejíž řešením a následnou substitucí dostáváme n < 23,1313. Můžeme tedy oslovit maximálně 23 přátel.
2.3 Cvičení
Přiklad 4 b) Správný výsledek je 1607. Přiklad 5 Správný výsledek je 163.
Kapitola 4
4.1 Nestrannosť a konzistence odhadu
Příklad 4 Na konci příkladu je špatně vypočtena limita, měla by být bez znaménka mínus. Správný výsledek je lim EgTn = ^%r^-
4.3 Intervalové odhady
Přiklad 21 Spatně uvedena hodnota S2, správně má být S2 = 9,6. Správný výsledek je pak [D, H] = [4,1245; 9, 8755].
Přiklad 23 V zadání má být místo „22. října" správně „22. září".
4.4 Cvičení
Přiklad 5 a) Správný výsledek je [D, H] = [9, 335; 11, 865].
b) Správný výsledek je [D, H] = [9, 6923; 11, 5076]. Příklad 7 Správný výsledek je [D, H] = [0, 0464; 0, 2635].
Kapitola 5 5.1 Cvičení
Příklad 2 Část zadání je mírně matoucí, lepší formulace by byla:
„ Výrobce elektrických strojků tvrdí, že použitím nové výrobní technologie prodlouží průměrnou výdrž baterie, která byla původně 100 hodin. Tato veličina má normální rozdělení s rozptylem a2 = 16. Na základě 12 testovaných strojků jsme zjistili, že průměrná výdrž baterie je 102 hodiny."
Poznámka. Pro řešení otázky 2 b) není ve skriptech uveden vzorec. Ten by byl tvaru
Ho		Hypotézu Ho zamítáme, pokud	Předpoklady
	a2 + o2	al      Í (xl(n),xl-f(n))	ji známé
Zkuste si odvodit.
Příklad 4 Zadání je mírně matoucí a moc nekoresponduje s praxí. Lepší formulace by byla:
„Směrodatná odchylka průměrných denních teplot měřených v konkrétním městě každého 15. dne v měsíci se dlouhodobě nemění a její hodnota je 8°C. Z měření za poslední 2 roky byla spočítána výběrová směrodatná odchylka 6, 3 °C. Jestliže předpokládáme, že teploty mají normální rozdělení, můžeme na hladině významnosti 1 % tvrdit, že se směrodatná odchylka teplot v posledních 2 letech zmenšila?11 Odpověď je stejná jako při původním zadání.