MA002 Matematická analýza
Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
prvého rádu
Peter Šepitka
podzim 2016
Obsah
1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie
2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov
6 Systémy s konštantnými koeficientami
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Obsah
1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie
2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov
6 Systémy s konštantnými koeficientami
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Základné pojmy
Nech F : M ⊆ R3
→ R je daná funkcia. Rovnica
F(x, y, y′
) = 0, kde ′
:=
d
dx
, (1)
sa nazýva obyčajná diferenciálna rovnica (ODR) prvého rádu. Riešenie (integrál)
rovnice (1) je každá funkcia y = ϕ(x), ktorá má deriváciu na intervale I ⊆ R a
[x, ϕ(x), ϕ′
(x)] ⊆ M a F(x, ϕ(x), ϕ′
(x)) = 0 pre ∀x ∈ I.
Graf funkcie y = ϕ(x), t.j., množina
[x, y] ⊆ R2
, x ∈ I, y = ϕ(x) ,
sa nazýva integrálna krivka rovnice (1). Ak je možné (1) upraviť na tvar
y′
= f(x, y) (2)
pre vhodnú funkciu f : D ⊆ R2
→ R, rovnica (2) sa nazýva ODR I. rádu rozriešená
vzhľadom na deriváciu. Rovnica (1) sa potom označuje ako nerozriešená
vzhľadom na deriváciu.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Začiatočná (Cauchyho) úloha (problém) – hľadáme riešenie y = ϕ(x)
rovnice (2), ktorého integrálna krivka prechádza pevne zvoleným bodom
[x0, y0] ∈ D, t.j.,
y′
= f(x, y), y(x0) = y0. (3)
Riešenie úlohy (3) sa nazýva partikulárne riešenie rovnice (2).
Všeobecné riešenie rovnice (2) – funkcia y = ϕ(x, C) závislá na jednom
reálnom parametri C, pomocou ktorej možno vhodnou voľbou C získať
riešenie každej úlohy (3), t.j., pre každú voľbu [x0, y0] ∈ D.
Úplné (maximálne) riešenie – problém predlžovania riešení úlohy (3).
Singulárne riešenie – porušená jednoznačnosť úlohy (3) v každom bode
danej integrálnej krivky.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 1
y′
=
y
x
.
Funkcia y = Cx je všeobecné riešenie uvedenej rovnice na intervaloch (−∞, 0)
a (0, ∞). Pre každú začiatočnú úlohu
y′
=
y
x
, y(x0) = y0
s x0 = 0 je funkcia y = C0x pre C0 = y0/x0 jej riešením na (−∞, 0) a
(0, ∞). Zároveň je to jediné a úplné riešenie tejto začiatočnej úlohy na každom
z intervalov (−∞, 0) a (0, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 2
y′
= −y2
.
Funkcia y = (x + C)−1
je pre každé C ∈ R úplným riešením uvedenej rovnice
na intervaloch (−∞, −C) a (−C, ∞), avšak nie je to všeobecné riešenie tejto
rovnice. Nezahrňuje napríklad riešenie začiatočnej úlohy
y′
= −y2
, y(1) = 0.
Táto začiatočná úloha má jediné a úplné riešenie y = 0 na celej reálnej osi.
Príklad 3
y′
= 3y
2
3 , y(0) = 0.
Funkcie y = 0 a y = x3
sú dve rôzne úplné riešenia tejto začiatočnej úlohy.
Riešenie y = 0 je zároveň singulárnym riešením danej rovnice.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Veta 1 (Existencia a jednoznačnosť riešení)
Nech D ⊆ R2
je oblasť a [x0, y0] ∈ D je daný bod. Uvažujme začiatočnú úlohu
y′
= f(x, y), y(x0) = y0, (4)
kde funkcia f(x, y) je definovaná na D. Platia nasledujúce tvrdenia.
1 Ak f(x, y) je spojitá na D, potom existuje interval I a funkcia ϕ(x) tak,
že y = ϕ(x) je riešenie úlohy (4) na I.
2 Ak naviac i parciálna derivácia ∂f
∂y
(x, y) je spojitá na D, potom pre každé
riešenie y = ψ(x) úlohy (4) definované na nejakom intervale J platí
ψ(x) = ϕ(x) pre každé x ∈ J ∩ I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Niektoré špeciálne typy ODR I. rádu
ODR so separovateľnými premennými
y′
= g(x)h(y). (5)
Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu
y′
= p(x) y + q(x). (6)
Bernoulliho diferenciálna rovnica
y′
= p(x) y + q(x) yk
, k ∈ R \ {0, 1}. (7)
Exaktná diferenciálna rovnica
M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0,
∂M
∂y
(x, y) =
∂N
∂x
(x, y). (8)
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Obsah
1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie
2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov
6 Systémy s konštantnými koeficientami
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Definícia a základné pojmy
Nech n ∈ N. Súbor rovníc
x′
1 = a11(t) x1 + a12(t) x2 + · · · + a1n(t) xn + b1(t),
x′
2 = a21(t) x1 + a22(t) x2 + · · · + a2n(t) xn + b2(t),
... (9)
x′
n = an1(t) x1 + an2(t) x2 + · · · + ann(t) xn + bn(t),
kde aij(t) a bi(t), i, j = 1, · · · , n sú reálne funkcie definované a spojité na
intervale I (pripúšťame aj I = (−∞, ∞)) a znak ′
znamená d
dt
, sa nazýva
systém lineárnych diferenciálnych rovníc I. rádu. Ak bi(t) ≡ 0 na I pre každé
i = 1, · · · , n, systém (9) sa nazýva homogénny. V opačnom prípade, t.j., bi(t) ≡
0 pre aspoň jedno i = 1, · · · , n, hovoríme o nehomogénnom systéme.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Zavedením označenia
A(t) :=



a11(t) · · · a1n(t)
...
...
...
an1(t) · · · ann(t)


 , b(t) :=



b1(t)
...
bn(t)


 , x :=



x1
...
xn


 (10)
môžeme systém (9) prepísať do tzv. vektorového tvaru
x′
= A(t) x + b(t). (11)
Zobrazenia t → A(t), t → b(t) a t → x(t) sa nazývajú maticová (rádu n)
a vektorové (n-vektorové) funkcie na intervale I. Platia pre ne všetky známe
vlastnosti matíc a vektorov. Limity, spojitosť, derivovanie a integrovanie maticových
a vektorových funkcií sa realizujú vždy po jednotlivých maticových prvkoch,
resp. vektorových zložkách.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Systém (11) sa nazýva homogénny, ak b(t) ≡ 0 na I. V opačnom prípade je
systém (11) nehomogénny a rovnica
x′
= A(t) x
sa nazýva pridružený homogénny systém k nehomogénnemu systému (11).
Riešením systému (11) rozumieme každú n-vektorovú funkciu
ϕ(t) = (ϕ1(t), · · · , ϕn(t))T
definovanú a diferencovateľnú na nejakom podintervale J ⊆ I, ktorá spĺňa
rovnicu (11) na J , t.j.,
ϕ′
(t) = A(t) ϕ(t) + b(t), t ∈ J .
Začiatočná (Cauchyho) úloha
x′
= A(t)x + b(t), x(t0) = η, (12)
kde t0 ∈ I je daný bod a η ∈ Rn
daný vektor. Riešenie úlohy (12) sa nazýva
partikulárne riešenie systému (11).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Existencia a jednoznačnosť riešení
Lema 1
Nech maticová funkcia A(t) a vektorová funkcia b(t) sú definované a spojité na
intervale I. Potom funkcia ϕ(t) je riešenie začiatočnej úlohy (12) na celom I
práve vtedy keď
ϕ(t) = η +
t
t0
[A(s) ϕ(s) + b(s)] ds pre každé t ∈ I. (13)
Poznámka 1
Tvrdenie Lemy 1 vyjadruje ekvivalenciu medzi úlohou (12) a integrálnou rovnicou
(13). Stačí sa preto obmedziť na vyšetrovanie integrálnej rovnice (13).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Dôkaz Lemy 1.
Nech t ∈ I je pevné. Ak ϕ(s) je riešenie úlohy (12) na intervale I, t.j. platí
ϕ(t0) = η, ϕ′
(s) = A(s) ϕ(s) + b(s) s ∈ I, (14)
potom integráciou oboch strán rovnice (14) od t0 po t a využitím začiatočnej
podmienky ϕ(t0) = η získame integrálnu rovnicu (13), nakoľko
t
t0
ϕ′
(s) ds =
t
t0
[A(s) ϕ(s) + b(s)] ds,
ϕ(t) − ϕ(t0) =
t
t0
[A(s) ϕ(s) + b(s)] ds,
ϕ(t) = η +
t
t0
[A(s) ϕ(s) + b(s)] ds.
Naopak, nech ϕ(t) je riešenie rovnice (13). Potom ϕ(t0) = η a funkcia ϕ(t) je
diferencovateľná na I. Derivovaním oboch strán rovnice (13) podľa t dostaneme
ϕ′
(t) = A(t)ϕ(t) + b(t) pre každé t ∈ I. Dôkaz je úplný.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Veta 2 (Existencia a globálna jednoznačnosť riešení)
Nech maticová funkcia A(t) a vektorová funkcia b(t) sú definované a spojité na
intervale I. Potom úloha (12), t.j., začiatočná úloha
x′
= A(t) x + b(t), x(t0) = η
má pre každé t0 ∈ I a η ∈ Rn
práve jedno úplné riešenie, t.j., riešenie, ktoré
existuje na celom I. Toto riešenie možno vyjadriť ako limitu tzv. Picardovej
postupnosti postupných aproximácií {ϕk(t)}∞
k=0, kde pre každé k ∈ N0 platí
ϕ0(t) ≡ 0, ϕk+1(t) = η +
t
t0
[A(s) ϕk(s) + b(s)] ds, t ∈ I. (15)
Poznámka 2
Tvrdenie Vety 2 zostane v platnosti, ak za začiatočnú Picardovu aproximáciu
ϕ0(t) zoberieme ľubovoľnú funkciu definovanú a spojitú na I. Limitná funkcia
postupnosti {ϕk(t)}∞
k=0 nezávisí na výbere funkcie ϕ0(t).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Dôkaz Vety 2 (náčrt).
1 Existencia
Funkcia ϕk(t) je pre každé k ∈ N0 definovaná na celom I. Ukážeme, že
postupnosť {ϕk(t)}∞
k=0 konverguje lokálne rovnomerne (skoro rovnomerne)
na intervale I. To zaručuje existenciu funkcie ϕ(t), ktorá je definovaná na
celom I a pre každé t ∈ I spĺňa
lim
k→∞
ϕk(t) = ϕ(t), (16)
lim
k→∞
t
t0
[A(s) ϕk(s) + b(s)] ds =
t
t0
[A(s) ϕ(s) + b(s)] ds (17)
Z rovností (16) a (17) vyplýva, že ϕ(t) rieši integrálnu rovnicu (13) na
celom I. Podľa Lemy 1 je potom funkcia ϕ(t) riešením začiatočnej úlohy
(12) na celom intervale I.
2 Jednoznačnosť
Jednoznačnosť riešenia začiatočnej úlohy (12) na intervale I sa ukáže pomocou
Gronwallovej lemy.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 4
Začiatočná úloha
x′
1 = −
x2
t
+ 9t, x′
2 = −
x1
t
− 3t, x1(1) = 1, x2(1) = 2
má na intervale (0, ∞) jediné úplné riešenie, pretože funkcie
A(t) =
0 −1
t
−1
t
0
, b(t) =
9t
−3t
sú definované a spojité na celom intervale (0, ∞) a bod t0 = 1 ∈ (0, ∞). Dá sa
ukázať, že hľadaným riešením je dvojica funkcií
x1(t) = 7t2
−
13
2
t +
1
2t
, x2(t) = −5t2
+
13
2
t +
1
2t
, t ∈ (0, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Poznámka 3
Picardova metóda postupných aproximácií umožňuje podľa Vety 2 hľadať riešenie
ϕ(t) začiatočnej úlohy (12) ako limitu postupnosti {ϕk(t)}∞
k=0. Ak zavedieme
funkcie ∆k(t) pre k ∈ N0 predpisom
∆k(t) := ϕk+1(t) − ϕk(t), t ∈ I,
potom je možné riešenie ϕ(t) vyjadriť v tvare nekonečného radu
ϕ(t) =
∞
k=0
∆k(t), t ∈ I. (18)
V súlade s dôkazom Vety 2 nekonečný funkcionálny rad (18) konverguje lokálne
rovnomerne na intervale I. Naviac funkcie ∆k(t) spĺňajú pre každé t ∈ I
∆0(t) = η +
t
t0
b(s) ds, ∆k+1(t) =
t
t0
A(s) ∆k(s) ds, k ∈ N0. (19)
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 5
Uvažujme homogénnu začiatočnú úlohu
x′
= Ax, x(0) = (0, 1)T
na intervale I = (−∞, ∞), kde A je reálna konštantná matica
A =
0 1
−1 0
.
Podľa Poznámky 3 s b(t) ≡ 0 na I, t0 = 0 a η = (0, 1)T
pre funkcie ∆k(t) platí
∆0(t) ≡
0
1
, ∆k+1(t) = A
t
0
∆k(s) ds, k ∈ N0, t ∈ I.
Pomocou matematickej indukcie vzhľadom na index k možno ukázať
∆k(t) =
tk
k!
Ak
η, k ∈ N0, t ∈ I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 5
Postupnosť matíc {Ak
}∞
k=0 je periodická s najmenšou periódou 4, nakoľko
A0
= I, A1
= A, A2
= −I, A3
= −A, A4
= I.
Preto pre každé l ∈ N0 platí
A4l
= I, A4l+1
= A, A4l+2
= −I, A4l+3
= −A.
Riešenie ϕ(t) začiatočnej úlohy potom bude mať podľa (18) tvar
ϕ(t) =
∞
m=0
(−1)m
(2m)!
t2m
η +
∞
m=0
(−1)m
(2m + 1)!
t2m+1
Aη
= (cos t)
0
1
+ (sin t)
0 1
−1 0
0
1
=
sin t
cos t
, t ∈ I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Obsah
1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie
2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov
6 Systémy s konštantnými koeficientami
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Homogénny systém
Nech n ∈ N. Uvažujme homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
y′
= A(t)y, (20)
kde A(t) je maticová funkcia rádu n definovaná a spojitá na intervale I. Ak y1(t)
a y2(t) sú dve (úplné) riešenia systému (20) a c1, c2 reálne konštanty, potom i
funkcia y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) je (úplným) riešením rovnice (20), nakoľko
y′
= (c1y1 + c2y2)′
= c1y′
1 + c2y′
2 = c1A(t) y1 + c2A(t) y2
= A(t)(c1y1 + c2y2) = A(t) y
na celom intervale I. Táto vlastnosť je kľúčová pri skúmaní štruktúry množiny
všetkých riešení systému (20).
Veta 3 (Štruktúra množiny riešení homogénneho systému)
Množina všetkých riešení rovnice (20) na intervale I tvorí lineárny (vektorový)
priestor nad telesom reálnych čísiel.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Lineárna závislosť a nezávislosť funkcií I
Definícia 1 (Lineárna nezávislosť vektorových funkcií)
Nech k, n ∈ N a nech y1(t), y2(t), . . . , yk(t) sú n-vektorové funkcie definované
na nedegenerovanom intervale I. Povieme, že y1(t), . . . , yk(t) sú lineárne
závislé na I, ak existuje nenulová k-tica reálnych čísiel (c1, c2, . . . , ck) tak, že
c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + ckyk(t) = 0 pre každé t ∈ I.
V opačnom prípade sa funkcie y1(t), . . . , yk(t) nazývajú lineárne nezávislé na I.
Príklad 6
Dokážme, že 2−vektoré funkcie
y1(t) = (t, t)T
, y2(t) = (t2
, t)T
, y3(t) = (t3
, t)T
sú lineárne nezávislé na každom netriviálnom reálnom intervale. Nech I je takýto
interval a nech c1, c2, c3 ∈ R spĺňajú c1y1 + c2y2 + c3y3 ≡ 0 na I, t.j.,
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Lineárna závislosť a nezávislosť funkcií II
Príklad 6
c1
t
t
+ c2
t2
t
+ c3
t3
t
= 0 pre každé t ∈ I. (21)
Ukážeme, že rovnosť (21) môže na I nastať iba v prípade c1 = c2 = c3 = 0.
Trojnásobným derivovaním identity (21) podľa premennej t dostaneme
c3
6
0
= 0 =⇒ c3 = 0.
Podobne, dvojnásobné derivovanie rovnosti (21) spolu s c3 = 0 implikuje
c2
2
0
= 0 =⇒ c2 = 0.
Teda platí c1(t, t)T
= 0 na I, z čoho po derivovaní máme c1(1, 1)T
= 0, a tak
i c1 = 0. Preto sú funkcie y1(t), y2(t) a y3(t) v súlade s Definíciou 1 lineárne
nezávislé na intervale I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Lineárna závislosť a nezávislosť riešení
V prípade riešení systému (20) sa vyšetrovanie lineárnej závislosti, resp. nezávislosti
prevádza na problém lineárnej závislosti, resp. nezávislosti n-rozmerných
reálnych vektorov.
Veta 4 (Lineárna závislosť riešení homogénneho systému)
Nech k ∈ N a nech y1(t), y2(t), . . . , yk(t) sú úplné riešenia systému (20) na
intervale I. Potom funkcie y1(t), . . . , yk(t) sú lineárne závislé na I práve vtedy,
keď aspoň pre jedno t0 ∈ I sú vektory y1(t0), . . . , yk(t0) ∈ Rn
lineárne závislé.
Dôkaz Vety 4.
Implikácia ⇒ platí triviálne podľa Definície 1. Naopak, nech pre t0 ∈ I sú vektory
y1(t0), . . . , yk(t0) lineárne závislé. Teda existuje nenulová k-tica (c1, . . . , ck)
tak, že c1y1(t0) + c2y2(t0) + · · · + ckyk(t0) = 0. Podľa Vety 3 je funkcia
y(t) := c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + ckyk(t)
riešením rovnice (20) na I spĺňajúcim y(t0) = 0. Z jednoznačnosti riešení systému
(20) podľa Vety 2 máme y(t) ≡ 0 na celom I. V súlade s Definíciou 1 to
potom znamená, že funkcie y1(t), . . . , yk(t) sú lineárne závislé na I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Dôsledok 1 (Dimenzia priestoru riešení homogénneho systému)
Množina riešení rovnice (20) na intervale I tvorí lineárny priestor dimenzie n.
Dôkaz Dôsledku 1.
Z Vety 4 vieme, že dimenzia priestoru riešení systému (20) je najviac n, pretože
priestor Rn
je n-dimenzionálny. Na druhej strane, táto dimenzia je aspoň n.
Vyplýva to z nasledujúcej úvahy. Nech {e1, . . . , en} je kanonická báza priestoru
Rn
a nech t0 ∈ I. Podľa Vety 2 existujú úplné riešenia y1(t), y2(t), . . . , yn(t)
systému (20) spĺňajúce začiatočné podmienky
yi(t0) = ei, i = 1, . . . , n.
Nakoľko vektory y1(t0), y2(t0), . . . , yn(t0) sú lineárne nezávislé, podľa Vety 4
riešenia y1(t), y2(t), . . . , yn(t) sú lineárne nezávislé na I. Preto je priestor
riešení systému (20) na intervale I aspoň n-dimenzionálny.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Fundamentálny systém riešení
Definícia 2 (Fundamentálny systém riešení homogénneho systému)
Ľubovoľná báza priestoru všetkých riešení rovnice (20) na intervale I sa nazýva
fundamentálny systém riešení rovnice (20) na I.
Ak y1(t), y2(t), . . . , yn(t) je nejaký fundamentálny systém riešení rovnice (20)
na I, potom každé riešenie y(t) systému (20) sa dá vyjadriť v tvare
y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) + · · · + cnyn(t), t ∈ I, (22)
pre vhodné konštanty c1, c2, . . . , cn ∈ R. Naopak, každá lineárna kombinácia
riešení y1(t), y2(t), . . . , yn(t) je zrejme opäť riešením systému (20) na I.
Funkcia y(t) v (22) je preto všeobecným riešením systému (20) na intervale I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 7
Uvažujme homogénny systém
y′
=
0 −1
t
−1
t
0
y
na intervale I = (0, ∞). Dosadením sa ľahko ukáže, že 2-vektorové funkcie
y1(t) = (t, −t)T
, y2(t) =
1
t
,
1
t
T
sú úplné riešenia tohto systému. Naviac, funkcie y1(t) a y2(t) sú podľa Vety 4
lineárne nezávislé na intervale I, pretože napríklad vektory y1(1) = (1, −1)T
a y2(1) = (1, 1)T
sú lineárne nezávislé. Preto v súlade s Definíciou 2 riešenia
y1(t) a y2(t) tvoria fundamentálny systém riešení danej homogénnej rovnice a
jej všeobecné riešenie má potom pre každé t ∈ I tvar
y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) =



c1t +
c2
t
−c1t +
c2
t


 , c1, c2 ∈ R.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Spolu s vektorovou rovnicou (20) sa súčasne uvažuje aj maticová rovnica
Y ′
= A(t)Y, t ∈ I, (23)
kde neznáma Y (t) je maticová funkcia rádu n. Ak Y (t) je maticové riešenie
rovnice (23) na intervale I a C ∈ Rn×n
je konštantná matica, potom i funkcia
Y (t) C je riešením rovnice (23) na I, nakoľko platí
[Y (t) C]′
= Y ′
(t) C = A(t) Y (t) C = A(t) [Y (t) C] t ∈ I.
Podobne, pre každý konštantný vektor η ∈ Rn
je funkcia Y (t) η riešením vektorovej
rovnice (20). Obzvlášť, každý stĺpec matice Y (t) je riešením systému
(20). Maticové riešenie Y (t) sa nazýva fundamentálna matica systému (20)
(resp. fundamentálne riešenie systému (23)), ak stĺpce matice Y (t) tvoria fundamentálny
systém riešení rovnice (20), t.j., sú lineárne nezávislé na intervale
I. Riešenie Y (t) rovnice (23) je teda fundamentálne riešenie práve vtedy, keď
det Y (t) = 0 pre každé t ∈ I, t.j., matica Y (t) je regulárna na celom I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Veta 5 (Liouvilleov-Jacobiho vzorec)
Nech Y (t) je maticové riešenie rovnice (23) na intervale I a nech t0 ∈ I.
Označme A(t) = (aij(t)). Potom pre každé t ∈ I platí vzorec
det Y (t) = det Y (t0) exp
t
t0
Tr A(s) ds , (24)
kde Tr A(s) := a11(s) + a22(s) + · · · + ann(s) je tzv. stopa matice A(s).
Dôkaz Vety 5 (náčrt).
Využitím definície determinantu štvorcovej matice sa dá ukázať, že funkcia
z(t) = det Y (t) vyhovuje na intervale I homogénnej lineárnej diferenciálnej
rovnici prvého rádu tvaru
z′
= Tr A(t)z.
Riešením tejto rovnice dostaneme pre funkciu z(t) vyjadrenie
z(t) = z(t0) exp
t
t0
Tr A(s) ds , t ∈ I,
a teda platí Liouvilleov-Jacobiho vzorec (24).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Poznámka 4
Z Liouvilleovho-Jacobiho vzorca vyplýva, že pre každé maticové riešenie Y (t)
rovnice (23) platí
buď det Y (t) = 0 pre každé t ∈ I alebo det Y (t) = 0 pre každé t ∈ I.
Preto funkcia Y (t) je fundamentálnym riešením systému (20) práve vtedy, keď
det Y (t0) = 0 aspoň pre jedno t0 ∈ I. Následne vektorová funkcia
y(t) = Y (t) c, c ∈ Rn
, (25)
je všeobecným riešením systému (20) na intervale I. Poznamenajme, že fundamentálna
matica systému (20) je určená jednoznačne až na konštantný regulárny
násobok sprava. Presnejšie, ak Y (t) je nejaká fundamentálna matica systému
(20) na I, potom maticová funkcia Z(t) je fundamentálnou maticou tohto systému
práve vtedy, keď na intervale I platí
Z(t) = Y (t) C pre nejakú konštantnú maticu C ∈ Rn×n
s det C = 0. (26)
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Obsah
1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie
2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov
6 Systémy s konštantnými koeficientami
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Nehomogénny systém
Budeme teraz skúmať všeobecný, nehomogénny systém (11), t.j.,
x′
= A(t) x + b(t),
kde A(t) je maticová funkcia rádu n a b(t) je n-vektorová funkcia, obidve definované
a spojité na intervale I.
Veta 6 (Štruktúra množiny riešení nehomogénneho systému)
Nech Y (t) je úplné fundamentálne riešenie rovnice Y ′
= A(t) Y a nech x0(t) je
nejaké (partikulárne) riešenie nehomogénneho systému (11) na I. Potom vektorová
funkcia x(t) je úplné riešenie nehomogénneho systému (11) na intervale
I práve vtedy, keď pre nejaké c ∈ Rn
platí
x(t) = Y (t) c + x0(t) pre každé t ∈ I. (27)
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Dôkaz Vety 6.
Dosadením do (11) sa ľahko overí, že pre každý konštantný vektor c ∈ Rn
je
funkcia x(t) v (27) riešením rovnice (11) na intervale I, pretože
x′
(t) = Y ′
(t) c + x′
0(t) = A(t) Y (t) c + A(t) x0(t) + b(t)
= A(t)[Y (t) c + x0(t)] + b(t) = A(t) x(t) + b(t)
pre každé t ∈ I. Naopak, nech x(t) je úplné riešenie systému (11) na I. Potom
funkcia x(t) − x0(t) spĺňa rovnicu (20) na I, nakoľko pre každé t ∈ I platí
[x(t)−x0(t)]′
= x′
(t)−x′
0(t) = A(t) x(t)+b(t)−A(t) x0(t)−b(t) = A(t) [x(t)−x0(t)].
Podľa rovnosti (25) v Poznámke 4 preto existuje c ∈ Rn
tak, že funkcia x(t) −
x0(t) = Y (t) c na I. Teda riešenie x(t) = Y (t) c + x0(t) má tvar (27).
Poznámka 5
Z Vety 6 vyplýva významné pozorovanie o všeobecnom riešení rovnice (11)
všeobecné riešenie
nehom. systému
=
všeobecné riešenie
pridruž. hom. systému
+
partikulárne riešenie
nehom. systému
.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Metóda variácie konštánt
Na nájdenie partikulárneho riešenia systému (11) sa využíva metóda variácie
konštánt. Nech x(t) je úplné riešenie začiatočnej úlohy (12) na intervale I, t.j.,
x′
= A(t)x + b(t), x(t0) = η,
pre dané t0 ∈ I a η ∈ Rn
. Nech Y (t) je nejaká fundamentálnu matica homogénneho
systému (20). Uvažujme vektorovú funkciu c(t) := Y −1
(t) x(t). Zrejme
c(t) je definovaná a diferencovateľná na celom I a platí
x(t) = Y (t) c(t), t ∈ I.
Po dosadení tohto vyjadrenia riešenia x(t) do (11) a úpravách dostaneme
c′
(t) = Y −1
(t) b(t) =⇒ c(t) = c(t0) +
t
t0
Y −1
(s) b(s) ds, t ∈ I.
Hodnotu c(t0) určíme pomocou začiatočnej podmienky x(t0) = η, konkrétne
c(t0) = Y −1
(t0) x(t0) = Y −1
(t0) η.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Veta 7 (Metóda variácie konštánt)
Začiatočná úloha (12) má jediné úplné riešenie tvaru
x(t) = Y (t) Y −1
(t0) η + Y (t)
t
t0
Y −1
(s) b(s) ds, t ∈ I, (28)
kde Y (t) je ľubovoľná fundamentálna matica homogénneho systému (20).
Poznámka 6
Všimnime si, že vo vzorci (28) funkcia xH (t) := Y (t) Y −1
(t0) η je všeobecné
riešenie homogénneho systému (20) spĺňajúce xH (t0) = η, kým funkcia
xP (t) := Y (t)
t
t0
Y −1
(s) b(s) ds
je partikulárne riešenie rovnice (11) s podmienkou xP (t0) = 0, ako sa možno
presvedčiť dosadením. Platí teda x(t) = xH(t)+xP (t) v súlade s Poznámkou 5.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Obsah
1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie
2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov
6 Systémy s konštantnými koeficientami
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu
Diferenciálna rovnica
y(n)
+ pn−1(t) y(n−1)
+ · · · + p1(t) y′
+ p0(t) y = f(t), (29)
kde f(t) a pi(t), i = 0, . . . , n−1, sú reálne skalárne funkcie definované a spojité
na intervale I ⊆ R, sa nazýva lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu. Ak
f(t) ≡ 0, hovoríme o homogénnej LDR n-tého rádu, v opačnom prípade sa jedná
o nehomogénnu rovnicu. Pre nehomogénnu rovnicu (29) sa rovnica
y(n)
+ pn−1(t) y(n−1)
+ · · · + p1(t) y′
+ p0(t) y = 0, (30)
označuje ako pridružená homogénna rovnica. Ľavá strana rovnice (29) sa často
označuje výrazom Ly, kde L : Cn
(I) → C(I) je lineárny diferenciálny operátor
n-tého rádu. (Úplným) riešením rovnice Ly = f(t) na intervale I rozumieme
funkciu ψ ∈ Cn
(I), ktorá identicky spĺňa rovnicu (29) na intervale I. Začiatočnou
(Cauchyho) úlohou (problémom) sa označuje sústava
Ly = f(t), y(t0) = η1, y′
(t0) = η2, . . . , yn−1
(t0) = ηn, (31)
kde t0 ∈ I je daný bod a η1, η2, . . . , ηn ∈ R sú dané reálne konštanty.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Prevod na lineárny systém I
Veta 8 (Prevod na systém)
Nech ψ(t) je (úplné) riešenie rovnice (29) na intervale I, pričom položme
ϕ1(t) := ψ(t), ϕ2(t) = ψ′
(t), . . . , ϕn(t) := ψn−1
(t).
Potom funkcia ϕ(t) := (ϕ1(t), . . . , ϕn(t))T
je (úplným) riešením systému
x′
1 = x2,
x′
2 = x3,
... (32)
x′
n−1 = xn,
x′
n = −p0(t) x1 − p1(t) x2 − · · · − pn−1(t) xn + f(t)
na I. Naopak, pre každé (úplné) riešenie ϕ(t) = (ϕ1(t), . . . , ϕn(t))T
systému
(32) na I je jeho prvá zložka ϕ1(t) (úplným) riešením rovnice (29) na I.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Prevod na lineárny systém II
Veta 8 (Prevod na systém)
Nech t0 ∈ I a η ∈ Rn
. Potom vektorová funkcia ϕ(t) = (ϕ1(t), . . . , ϕn(t))T
je
(úplné) riešenie systému (32) spĺňajúce začiatočnú podmienku
ϕ(t0) = (ϕ1(t0), . . . , ϕn(t0))T
= η = (η1, · · · , ηn)T
práve vtedy, keď jeho prvá zložka ϕ1(t) je (úplné) riešenie rovnice (29) na I
spĺňajúce začiatočnú podmienku
ϕ1(t0) = η1, ϕ′
1(t0) = η2, . . . , ϕn−1
1 (t0) = ηn.
Systém (32) sa dá prepísať do vektorového tvaru x′
= A(t) x + b(t), kde
A(t) :=







0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
... · · ·
...
0 0 0 · · · 1
−p0(t) −p1(t) −p2(t) · · · −pn−1(t)







, b(t) :=







0
0
...
0
−f(t)







.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Existencia a jednoznačnosť riešení
Veta 9 (Existencia a jednoznačnosť riešení)
Nech f(t) a pi(t), i = 0, . . . , n−1, sú reálne skalárne funkcie definované a spojité
na intervale I a nech t0 ∈ I a η1, . . . , ηn ∈ R sú dané. Potom začiatočná úloha
(31) má práve jedno úplné riešenie na celom I.
Príklad 8
Uvažujme LDR 2. rádu na intervale I = (e, ∞) a začiatočnú podmienku
y′′
+
1
t(1 − ln t)
y′
−
1
t2(1 − ln t)
y =
2 − ln t
t(1 − ln t)
, y(e2
) = e2
, y′
(e2
) = 2.
Keďže koeficienty a pravá strana rovnice sú funkcie definované a spojité na
intervale I, podľa Vety 9 má daná začiatočná úloha práve jedno úplné riešenie
definované na celom intervale I. Dá sa ukázať, že toto riešenie má tvar
y(t) = t ln t − t, t ∈ (e, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Obsah
1 Obyčajné diferenciálne rovnice prvého rádu – opakovanie
2 Systémy lineárnych diferenciálnych rovníc
3 Homogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
4 Nehomogénny systém lineárnych diferenciálnych rovníc
5 Lineárne diferenciálne rovnice vyšších rádov
6 Systémy s konštantnými koeficientami
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Systémy s konštantnými koeficientami
Z predchádzajúcich výsledkov vyplýva, že na úplné určenie množiny všetkých
riešení (všeobecného riešenia) systému lineárnych diferenciálnych rovníc I. rádu
je nutné a zároveň stačí poznať nejakú fundamentálnu maticu pridruženého homogénneho
systému. Vo všeobecnom prípade je to veľmi náročný problém.
Budeme sa bližšie zaoberať prípadom homogénneho systému s konštantnými
koeficientami, t.j. systémom
y′
= Ay, (33)
kde A je konštantná reálna matica rádu n. Každé riešenie systému (33) je definované
na intervale (−∞, ∞). Ukážeme, že pre systém (33) je možné pomerne
efektívne určiť všetky jeho fundamentálne riešenia Y (t), t.j., maticové funkcie Y
rádu n spĺňajúce Y ′
(t) = AY (t) a det Y (t) = 0 pre každé t ∈ (−∞, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Exponenciála matice
Nech M je komplexná matica rádu n. Matica definovaná
eM
:=
∞
k=0
1
k!
Mk
= I + M +
1
2!
M2
+
1
3!
M3
+ · · · +
1
k!
Mk
+ · · · (34)
sa nazýva exponenciála matice M. Nekonečný rad v (34) konverguje absolútne
pre každú maticu M, a teda matica eM
je korektne definovaná pre každé M.
Poznámka 7 (Základné vlastnosti exponenciály matice)
Nech M, N sú komplexné matice rádu n. Potom platia nasledujúce tvrdenia.
e0
= I.
eM
e−M
= I, t.j., matica eM
je regulárna a eM −1
= e−M
.
Ak MN = NM, potom eM
eN
= eN
eM
= eM+N
.
Ak N je regulárna, potom eNMN−1
= NeM
N−1
.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Exponenciála matice ako fundamentálne riešenie
Veta 10
Nech A je reálna konštantná matica rádu n. Potom exponenciála eAt
je fundamentálna
matica homogénneho systému (33) na (−∞, ∞).
Dôkaz Vety 10.
Maticová funkcia Y (t) = eAt
je maticovým riešením systému (33), nakoľko
Y ′
(t) = eAt
′
=
∞
k=0
1
k!
(At)k
′
= I +
∞
k=1
1
k!
(At)k
′
=
∞
k=1
k
k!
Ak
tk−1
= A
∞
k=1
1
(k − 1)!
Ak−1
tk−1 (l=k−1)
= A
∞
l=0
1
l!
(At)l
= A eAt
= AY (t).
Okrem toho Y (0) = I v súlade s Poznámkou 7. Preto podľa LiouvilleovhoJacobiho
vzorca (24) je matica Y (t) regulárna na celom intervale (−∞, ∞).
Teda Y (t) je fundamentálna matica systému (33) na intervale (−∞, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Jordanov kanonický tvar matice
Veta 11 (Jordanova)
Pre každú komplexnú maticu M rádu n existuje regulárna matica P tak, že
P−1
MP = Q =





J0 O · · · O
O J1 · · · O
...
... · · ·
...
O O · · · Jm





. (35)
Pritom matice J0 ∈ Cq×q
a Ji ∈ Cni×ni
pre i = 1, . . . , m majú tvar
J0 =





λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · λq





, Ji =







λq+i 1 0 · · · 0
0 λq+i 1 · · · 0
...
...
... · · ·
...
0 0 0 · · · 1
0 0 0 · · · λq+i







, (36)
kde λj , j = 1, . . . , q + m, sú (nie nutne rôzne) vlastné čísla matice M a platí
q + n1 + · · · + nm = n.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Matice Ji, i = 0, . . . , m, sa nazývajú Jordanove bloky (bunky, klietky) matice
M a stĺpce matice P sa nazývajú zovšeobecnené vlastné vektory matice M.
Blokovo diagonálna matica
Q =





J0 O · · · O
O J1 · · · O
...
... · · ·
...
O O · · · Jm





(37)
v Jordanovom rozklade (35) je určená jednoznačne až na poradie Jordanových
blokov. Matica P nie je určená jednoznačne. Medzi stĺpcami matice P a Jordanovými
blokmi matice Q platí nasledujúca korešpondencia.
Stĺpce h1, . . . , hq sú vlastné vektory matice M odpovedajúce vlastným
číslam λ1, . . . , λq.
Stĺpce hq+n1+···+ni−1+1, . . . , hq+n1+···+ni−1+ni sú zovšeobecnené vlastné
vektory matice M odpovedajúce vlastnému číslu λq+i v bloku Ji pre
i = 1, . . . , m.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Výpočet fundamentálnej matice
Stanovíme teraz fundamentálnu maticu systému (33) ako vhodný pravostranný
regulárny násobok exponenciály eAt
. Nech t ∈ (−∞, ∞). Ak P a Q sú matice z
Vety 11 odpovedajúce Jordanovmu rozkladu matice A, t.j., A = PQP−1
, potom
podľa Poznámky 7 platí
eAt
= eP (Qt)P −1
= PeQt
P−1
, teda eAt
P = PeQt
. (38)
Z tvaru matice Q a z definície exponenciály matice vyplýva
eQt
=





eJ0t
O · · · O
O eJ1t
· · · O
...
... · · ·
...
O O · · · eJmt





. (39)
Pre exponenciálu Jordanovho bloku J0t platí
eJ0t
=





eλ1t
0 · · · 0
0 eλ2t
· · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · eλqt





. (40)
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Výpočet fundamentálnej matice
Blok Jit, i = 1, . . . , m, má tvar Jit = (λq+it)Ii + Mit, kde Ii je identická
matica rádu ni a
Mit =





0 t · · · 0
...
... · · ·
...
0 0 · · · t
0 0 · · · 0





(41)
Matice (λq+it)Ii a Mit komutujú, preto podľa Poznámky 7 platí
eJit
= e(λq+it)Ii+Mit
= eλq+it
eMit
. (42)
Postupným počítaním mocnín (Mit)k
pre k = 0, 1, . . . zistíme, že (Mit)k
= 0
pre každé k ≥ ni, a teda
eMit
=
ni−1
k=0
1
k!
(Mit)k
=









1 t t2
2!
· · · tni−1
(ni−1)!
0 1 t · · · tni−2
(ni−2)!
...
...
... · · ·
...
0 0 0 · · · t
0 0 0 · · · 1









. (43)
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Výpočet fundamentálnej matice
Kombináciou formúl (42) a (43) dostaneme tvar exponenciály bloku Jit
eJit
= eλq+it









1 t t2
2!
· · · tni−1
(ni−1)!
0 1 t · · · tni−2
(ni−2)!
...
...
... · · ·
...
0 0 0 · · · t
0 0 0 · · · 1









, (44)
a tým i – využitím vyjadrení v (39) a (40) – exponenciálu matice Qt. Podľa
Poznámky 4 je matica eAt
P fundamentálnou maticou systému (33). Označme
P = [h1, . . . , hn] a eAt
P = [y1(t), . . . , yn(t)].
Rovnosť (38) a predchádzajúca analýza implikujú nasledujúce tvrdenie.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Fundamentálny systém riešení
Veta 12 (Fundamentálny systém riešení)
Vektorové funkcie
y1(t) = eλ1t
h1
...
yq(t) = eλqt
hq
yq+1(t) = eλq+1t
hq+1 (45)
yq+2(t) = eλq+1t
[thq+1 + hq+2]
...
yq+n1 (t) = eλq+1t tn1−1
(n1 − 1)!
hq+1 +
tn1−2
(n1 − 2)!
hq+2 + · · · + hq+n1
...
yn(t) = eλq+mt tnm−1
(nm − 1)!
hn−nm+1 +
tnm−2
(nm − 2)!
hn−nm+2 + · · · + hn ,
tvoria fundamentálny systém riešení rovnice (33) na intervale (−∞, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Môžeme preto konštatovať, že zložky vektorových riešení fundamentálneho systému
majú podľa Vety 12 tvar kvázipolynómov, t.j.,
pk(t) eλkt
,
kde λk je vlastné číslo matice A a pk(t) sú (komplexné) polynómy premennej t
stupňa menšieho ako je algebraická násobnosť vlastného čísla λk. Keďže matica
A je reálna, s každým nereálnym vlastným číslom α + iβ má aj komplexne
združené vlastné číslo α−iβ. Vo fundamentálnom systéme (45) sa teda s každým
nereálnym riešením y nachádza aj komplexne združené riešenie ¯y. Nakoľko platí
Re y =
1
2
(y + ¯y) a Im y =
1
2i
(y − ¯y),
reálne vektorové funkcie Re y a Im y sú tiež lineárne nezávislými riešeniami rovnice
(33). Preto každú nereálnu dvojicu riešení y a ¯y môžeme nahradiť reálnou dvojicou
riešení Re y a Im y. Tým získame reálny fundamentálny systém vektorových
riešení, pričom zložky jednotlivých riešení budú mať tvar
{pk(t) cos [(Im λk) t] + qk(t) sin [(Im λk) t]} e(Re λk) t
,
kde pk(t) a qk(t) sú už reálne polynómy premennej t stupňa menšieho než je
algebraická násobnosť vlastného čísla λk.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 9
Určime nejakú fundamentálnu maticu systému
x′
=






2 0 0 0 0
0 −1 0 0 0
0 0 −1 1 0
0 0 0 −1 1
0 0 0 0 −1






x.
Podľa Vety 10 stačí nájsť exponenciálu matice At. Matica A systému má už v
Jordanov blokový tvar
A =






2 0 0 0 0
0 −1 0 0 0
0 0 − 1 1 0
0 0 0 −1 1
0 0 0 0 −1






,
pričom má jednoduché vlastné číslo 2 a štvornásobné vlastné číslo −1.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 9
Exponenciála eAt
má preto tvar
Y (t) = eAt
=







e2t
0 0 0 0
0 e−t
0 0 0
0 0 e−t
te−t t2
2!
e−t
0 0 0 e−t
te−t
0 0 0 0 e−t







.
Poznamenajme, že získaná fundamentálna matica Y (t) rovnice v zadaní príkladu
je normovaná v bode t0 = 0, t.j., platí Y (0) = I. Fundamentálna matica Z(t)
normovaná napríklad v bode t0 = 3, t.j., Z(3) = I, má tvar
Z(t) =











e2(t−3)
0 0 0 0
0 e−(t−3)
0 0 0
0 0 e−(t−3)
(t − 3) e−(t−3) (t−3)2
2!
e−(t−3)
0 0 0 e−(t−3)
(t − 3) e−(t−3)
0 0 0 0 e−(t−3)











.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 10
Nájdime všeobecné riešenie systému
x′
=


1 −1 1
1 1 −1
0 −1 2

 x.
Zistíme vlastné čísla matice A systému. Jej charakteristický polynóm má tvar
det(A − λI) = −λ3
+ 4λ2
− 5λ + 2 = −(λ − 2)(λ − 1)2
.
Matica A má teda jednoduché vlastné číslo 2 a dvojnásobné vlastné číslo 1.
Vlastnému číslu 2 odpovedá jedno lineárne nezávislé riešenie tvaru
x(t) = a e2t
, b e2t
, c e2t T
,
kde a, b, c sú konštanty. Dosadením tohto riešenia do systému v zadaní príkladu
dostaneme po úpravách pre a, b, c sústavu troch lineárnych rovníc
2a = a − b + c, 2b = a + b − c, 2c = −b + 2c.
Táto sústava má jedno lineárne nezávislé riešenie a = c = 1 a b = 0.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 10
Vlastnému číslu 1 odpovedajú dve lineárne nezávislé riešenia tvaru
x(t) =


(at + b) et
(ct + d) et
(ft + g) et

 ,
kde a, b, c, d, f, g sú konštanty. Dosadením tohto riešenia do systému v zadaní
príkladu dostaneme po úpravách
a + (at + b) = (at + b) − (ct + d) + (ft + g),
c + (ct + d) = (at + b) + (ct + d) − (ft + g),
f + (ft + g) = −(ct + d) + 2(ft + g).
Ak porovnáme koeficienty pri rovnakých mocninách premennej t na oboch
stranách týchto rovností, získame 4 nezávislé rovnice pre a, b, c, d, f, g, a to
f − c = 0, a − f = 0, a = g − d, c = b − g.
Táto sústava má dve lineárne nezávislé riešenia
a = c = f = 0, b = d = g = 1 a a = b = c = f = 1, d = −1, g = 0.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 10
Zostrojili sme teda tri lineárne nezávislé vektorové riešenia rovnice v zadaní príkladu.
Jej fundamentálny systém riešení preto je


e2t
0
e2t

 ,


et
et
et

 ,


(t + 1) et
(t − 1) et
t et

 .
Všeobecné riešenie systému v zadaní má potom pre každé t ∈ (−∞, ∞) tvar
x(t) = c1


e2t
0
e2t

+c2


et
et
et

+c3


(t + 1) et
(t − 1) et
t et

 =



c1e2t
+ c2et
+ c3(t + 1) et
c2et
+ c3(t − 1) et
c1e2t
+ c2et
+ c3t et



pre c1, c2, c3 ∈ R. Pre úplnosť poznamenajme, že matica
Y (t) =



e2t
et
(t + 1) et
0 et
(t − 1) et
e2t
et
t et



je fundamentálnou maticou systému v zadaní príkladu na intervale (−∞, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 11
Uvažujme systém
x′
=


1 −1 −1
1 1 0
3 0 1

 x.
Matica A systému má jednoduché reálne vlastné číslo 1 a dvojicu jednoduchých
nereálnych vlastných čísiel 1 ± 2i. Fundamentálny systém rovnice v zadaní príkladu
je preto tvorený tromi lineárne nezávislými vektorovými riešeniami tvaru


a1 et
a2 et
a3 et

 ,


b1 e(1+2i) t
b2 e(1+2i) t
b3 e(1+2i) t

 ,


c1 e(1−2i) t
c2 e(1−2i) t
c3 e(1−2i) t

 ,
kde ai, bi, ci pre i = 1, 2, 3 sú vo všeobecnosti komplexné konštanty. Podobným
postupom ako v predchádzajúcom príklade zistíme riešenia



0
et
−et


 ,



2i e(1+2i) t
e(1+2i) t
3e(1+2i) t


 ,



−2i e(1−2i) t
e(1−2i) t
3e(1−2i) t


 .
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 11
Získaný fundamentálny systém riešení je nereálny. Nahradením posledných dvoch
nereálnych vektorových funkcií ich reálnymi a imaginárnymi časťami dostaneme
reálny fundamentálny systém riešení



0
et
−et


 ,



−2et
sin 2t
et
cos 2t
3et
cos 2t


 ,



2et
cos 2t
et
sin 2t
3et
sin 2t


 .
Pri výpočte sme využili Eulerovu identitu
e(1±2i) t
= et
(cos 2t ± i sin 2t).
Príslušná fundamentálna matica Y (t) systému v zadaní príkladu má potom pre
každé t ∈ (−∞, ∞) tvar
Y (t) =



0 −2et
cos 2t 2et
cos 2t
et
et
cos 2t et
sin 2t
−et
3et
cos 2t 3et
sin 2t


 .
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Metóda vlastných vektorov
Nasledujúci spôsob výpočtu fundamentálneho systému riešení rovnice (33) je
založený na tomto pozorovaní. Ak λ ∈ C je vlastné číslo matice A a v ∈ Cn
\{0}
je k nemu prislúchajúci vlastný vektor matice A, t.j., platí
Av = λv ⇐⇒ (A − λI) v = 0,
potom n-vektorová funkcia x(t) = eλt
v je (komplexným) riešením systému (33)
na (−∞, ∞). Vyplýva to z nasledujúceho jednoduchého výpočtu
x′
(t) = eλt
v
′
= eλt
λ v = eλt
Av = A eλt
v = Ax(t).
Poznámka 8
Lineárne nezávislým vlastným vektorom matice A, ktoré prislúchajú rovnakému
vlastnému číslu, odpovedajú lineárne nezávislé riešenia systému.
Lineárne nezávislým vlastným vektorom matice A, ktoré prislúchajú rôznym
vlastným číslam, odpovedajú lineárne nezávislé riešenia systému.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Násobnosť vlastného čísla λ matice A ako koreňa charakteristického polynómu
matice A sa nazýva algebraická násobnosť vlastného čísla λ a označuje sa m(λ).
Maximálny počet lineárne nezávislých vlastných vektorov matice A, ktoré prislúchajú
danému vlastnému číslu λ, sa nazýva geometrická násobnosť vlastného
čísla λ a označuje sa p(λ) . Vo všeobecnosti platí nerovnosť
1 ≤ p(λ) ≤ m(λ). (46)
V prípade, ak p(λ) < m(λ), vlastné číslo λ sa označuje ako defektné. V opačnom
prípade, t.j., ak p(λ) = m(λ), hovoríme o nedefektnom vlastnom čísle λ matice
A. Ak λ1, . . . , λr sú všetky rôzne vlastné čísla matice A, potom platí
m(λ1) + · · · + m(λr) = n.
Hľadanie fundamentálneho systému riešení rovnice (33), ktorej matica A má
iba nedefektné vlastné čísla, sa teda redukuje na zisťovanie všetkých lineárne
nezávislých vlastných vektorov matice A. Ich počet je v tomto prípade práve n.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 12
Nájdime všeobecné riešenie systému
x′
=
1 −2
−1 2
x.
Matica A systému má dve jednoduché vlastné čísla λ1 = 0 a λ2 = 3, pretože
det(A − λI) = λ(λ − 3). Číslu λ1 = 0 odpovedá jeden lineárne nezávislý vlastný
vektor v1 = (2, 1)T
, a následne i riešenie rovnice v zadaní príkladu tvaru
e0t
(2, 1)T
= (2, 1)T
.
Podobne, vlastnému číslu λ2 = 3 odpovedá jeden lineárne nezávislý vlastný
vektor v2 = (1, −1)T
a riešenie tvaru
e3t
(1, −1)T
= (e3t
, −e3t
)T
.
Všeobecné riešenie rovnice v zadaní príkladu má potom na (−∞, ∞) tvar
x(t) = c1
2
1
+ c2
e3t
−e3t =
2c1 + c2e3t
c1 − c2e3t .
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Zovšeobecnené vlastné vektory
Ak matica A má aspoň jedno defektné vlastné číslo, potom maximálny počet jej
lineáne nezávislých vlastných vektorov je ostro menší než n. Postupom použitým
v predchádzajúcom príklade teda nezískame úplný fundamentálny systém riešení
rovnice (33). Chýbajúce lineárne nezávislé riešenia zostrojíme pomocou tzv.
zovšeobecnených vlastných vektorov matice A.
Definícia 3 (Zovšeobecnené vlastné vektory)
Nech A je komplexná matica rádu n a nech λ ∈ C je jej vlastné číslo. Pre dané
r ∈ N sa vektor vr ∈ Cn
\ {0} nazýva zovšeobecnený vlastný vektor rádu r
matice A prislúchajúci vlastnému číslu λ, ak platí
(A − λI)r
vr = 0 a súčasne (A − λI)r−1
vr = 0. (47)
Ak vr je zovšeobecnený vlastný vektor rádu r matice A prislúchajúci vlastnému
číslu λ, potom konečná postupnosť vektorov v1, v2, · · · , vr definovaných ako
v1 = (A − λI)r−1
vr, v2 = (A − λI)r−2
vr, · · · , vr−1 = (A − λI) vr, vr,
sa nazýva reťazec rádu r zovšeobecnených vlastných vektorov generovaný vr.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Každý vektor vp = (A − λI)r−p
vr, 1 ≤ p ≤ r, obsiahnutý v reťazci tvorenom
vektorom vr je zovšeobecnený vlastný vektor rádu p matice A prislúchajúci vlastnému
číslu λ, nakoľko platí
(A − λI)p
vp = (A − λI)p
(A − λI)r−p
vr = (A − λI)r
vr = 0,
(A − λI)p−1
vp = (A − λI)p−1
(A − λI)r−p
vr = (A − λI)r−1
vr = 0.
Postupnosť v1, v2, · · · , vp je potom (pod)reťazec rádu p zovšeobecnených vlastných
vektorov generovaný vektorom vp.
Veta 13
Pre každú komplexnú maticu A rádu n platia nasledujúce tvrdenia.
1 Každý reťazec matice A je tvorený lineárne nezávislými vektormi.
2 Reťazce matice A generované lineárne nezávislými zovšeobecnenými vlastnými
vektormi, ktoré prislúchajú jednému vlastnému číslu, sú lineárne
nezávislé.
3 Reťazce matice A generované zovšeobecnenými vlastnými vektormi, ktoré
prislúchajú rôznym vlastným číslam, sú lineárne nezávislé.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Fundamentálny systém riešení
Veta 14
Nech A je komplexná matica rádu n a nech λ ∈ C je jej vlastné číslo. Nech
v1, v2, · · · , vr je nejaký reťazec rádu r zovšeobecnených vlastných vektorov
matice A odpovedajúci vlastnému číslu λ. Potom vektorové funkcie
x1(t) = eλt
v1,
x2(t) = eλt
(v2 + tv1),
...
xp(t) = eλt
vp + tvp−1 +
t2
2!
vp−2 + · · · +
tp−1
(p − 1)!
v1 , (48)
...
xr(t) = eλt
vr + tvr−1 +
t2
2!
vr−2 + · · · +
tr−1
(r − 1)!
v1 ,
sú lineárne nezávislé riešenia rovnice (33) na intervale (−∞, ∞).
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Veta 15
Nech A je komplexná matica rádu n a nech λ ∈ C je jej vlastné číslo s algebraickou
násobnosťou m(λ). Potom existuje práve m(λ) lineárne nezávislých
zovšeobecnených vlastných vektorov matice A prislúchajúcich vlastnému číslu λ.
Tieto vektory sa dajú vhodne rozdeliť do navzájom disjunktných reťazcov.
Dôsledkom Viet 13, 14 a 15 je skutočnosť, že každá komplexná matica A rádu n
má práve n lineárne nezávislých zovšeobecnených vlastných vektorov, pomocou
ktorých vieme podľa (48) zostrojiť úplný fundamentálny systém rovnice (33). V
nasledujúcom výklade sa preto zameriame na jednu metódu konštrukcie všetkých
lineárne nezávislých zovšeobecnených vlastných vektorov (komplexnej) matice A.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Weyrova teória charakteristických čísiel matice
Nech A je matica rádu n a nech λ ∈ C je vlastné číslo matice A s algebraickou
násobnosťou m(λ). Uvažujme nasledujúcu postupnosť matíc
(A − λI)0
= I, (A − λI)1
= A − λI, (A − λI)2
, · · · , (A − λI)l
, · · · ,
a k nej prislúchajúcu postupnosť ich hodností
n = h0, h1, h2, · · · , hl, · · · . (49)
Pomocou Jordanovho rozkladu vo Vete 11 sa dá ukázať, že postupnosť (49) je
ostro klesajúca s eventuálnou hodnotou n − m(λ), t.j., existuje najmenší index
k taký, že platí
n = h0 > h1 > h2 > · · · > hk−1 > hk = n − m(λ) (50)
a hl = n − m(λ) pre každé l ≥ k. To znamená, že nulity νl := n − hl matíc
(A − λI)l
(t.j., dimenzie jadier matíc (A − λI)l
) pre l = 0, . . . , k spĺňajú
0 = ν0 < ν1 < ν2 < · · · < νk−1 < νk = m(λ). (51)
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Prirodzené čísla σl definované
σl := νl − νl−1, l = 1, . . . , k, (52)
sa nazývajú Weyrove charakteristiky (charakteristické čísla) matice A prislúchajúce
vlastnému číslu λ. Z (52) ihneď vyplýva, že číslo σl vyjadruje celkový počet
lineárne nezávislých reťazcov rádu l zovšeobecnených vlastných vektorov matice
A, odpovedajúcich vlastnému číslu λ. A keďže všetky takéto reťazce obsahujú
podreťazce rádu l − 1, ktoré sú opäť lineárne nezávislé, máme σl−1 ≥ σl pre
každé l = 1, . . . , k. Platí teda
σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σk−1 ≥ σk > 0, (53)
σ1 + σ2 + · · · + σk−1 + σk = νk − ν0 = m(λ). (54)
Poznamenajme, že rovnosť (54) ako aj vyššie uvedené skutočnosti sú v súlade
s výsledkom Vety 15. Lineárne nezávislé zovšeobecnené vlastné vektory matice
A odpovedajúce vlastnému číslu λ sa dajú vhodne usporiadať do tzv. Weyrovej
tabuľky, ktorej stĺpce predstavujú jednotlivé lineárne nezávislé reťazce a riadky
obsahujú lineárne nezávislé zovšeobecnené vlastné vektory rovnakého rádu.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Tabuľka zovšeobecnených vlastných vektorov
v1,1 v1,2 v1,3 · · · v1,σk · · · v1,σ3 · · · v1,σ2 · · · v1,σ1
v2,1 v2,2 v2,3 · · · v2,σk · · · v2,σ3 · · · v2,σ2
v3,1 v3,2 v3,3 · · · v3,σk · · · v3,σ3
...
...
... · · ·
...
vk,1 vk,2 vk,3 · · · vk,σk
(55)
Pri zostavovaní Weyrovej tabuľky zovšeobecnených vlastných vektorov určíme
najprv najspodnejšie vektory v každom stĺpci, t.j., vektory
vk,1, · · · , vk,σk
,
vk−1,σk+1, · · · , vk−1,σk−1
,
...
vl,σl+1+1, · · · , vl,σl
, (56)
...
v2,σ3+1, · · · , v2,σ2 ,
v1,σ2+1, · · · , v1,σ1 .
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Napríklad posledných σl − σl+1 vektorov vl,σl+1+1, · · · , vl,σl
v l-tom riadku
tabuľky stanovíme ako niektoré lineárne nezávislé riešenia sústavy
(A − λI)l
v = 0, (A − λI)l−1
v = 0.
Postupným násobením vektorov v (56) mocninami matice A−λI dostaneme ostatné
vektory Weyrovej tabuľky (55). Jednotlivé vektory v (56) volíme tak, aby
všetky postupne vznikajúce vektory tabuľky boli lineárne nezávislé. Postup ilustrujeme
na konkrétnych príkladoch. Poznamenajme, že sústava lineárne nezávislých
zovšeobecnených vlastných vektorov matice A, ktoré odpovedajú danému
vlastnému číslu λ, nie je určená jednoznačne, avšak pre konštrukciu úplného
fundamentálneho systému riešení rovnice (33) podľa Vety 14 nezáleží na jej
konkrétnom výbere.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 13
Uvažujme systém
x′
=




4 0 1 0
2 2 3 0
−1 0 2 0
4 0 1 2



 x.
Matica A má dve dvojnásobné vlastné čísla λ1 = 3 a λ2 = 2, nakoľko
det(A − λI) = (λ − 3)2
(λ − 2)2
.
Pre λ1 = 3 je teda m = 2, n − m = 4 − 2 = 2 a h0 = n = 4. Ďalej máme
A − 3I =




1 0 1 0
2 −1 3 0
−1 0 −1 0
4 0 1 −1



 , (A − 3I)2
=




0 0 0 0
−3 1 −4 0
0 0 0 0
−1 0 2 1



 .
Platí h1 = 3 a h2 = 2, a teda index k = 2. Príslušná postupnosť nulít je
ν0 = 0 < ν1 = 1 < ν2 = 2,
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 13
ktorá dáva dve Weyrove charakteristiky σ1 = ν1 − ν0 = 1 a σ2 = ν2 − ν1 = 1.
Weyrova tabuľka zovšeobecnených vlastných vektorov pre vlastné číslo λ1 = 3
bude teda mať k = 2 riadky, pričom v prvom riadku bude σ1 = 1 vektor a v
druhom riadku bude σ2 = 1 vektor
v1,1
v2,1
.
Vektor v2,1 spĺňa (A − 3I)2
v2,1 = 0 a (A − 3I) v2,1 = 0, teda napríklad
v2,1 = (0, 4, 1, −1)T
.
Pre vektor v1,1 potom platí v1,1 = (A − 3I) v2,1, teda v1,1 = (1, −1, −1, 2)T
.
Vlastnému číslu λ1 teda odpovedajú dve lineárne nezávislé vektorové riešenia
x1(t) = eλ1t
v1,1 =




e3t
−e3t
−e3t
2e3t



 , x2(t) = eλ1t
(v2,1 + tv1,1) =




te3t
−(t − 4) e3t
−(t − 1) e3t
(2t − 1) e3t



 .
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 13
Podobne pre λ2 = 2 je m = 2, n − m = 4 − 2 = 2 a h0 = n = 4. Ďalej máme
A − 2I =




2 0 1 0
2 0 3 0
−1 0 0 0
4 0 1 0



 .
Platí h1 = 2, a teda index k = 1. Príslušná postupnosť nulít je
ν0 = 0 < ν1 = 2,
ktorá dáva jednu Weyrovu charakteristiku σ1 = ν1 − ν0 = 2. Weyrova tabuľka
zovšeobecnených vlastných vektorov pre vlastné číslo λ2 = 2 bude teda mať
k = 1 riadok s σ1 = 2 vektormi
v1,1 v1,2 .
Vektory v1,1 a v1,2 spĺňajú (A − 2I) v1,1 = 0 = (A − 2I) v1,2 a v1,1 = 0,
v1,2 = 0. Sú to teda lineárne nezávislé vlastné vektory odpovedajúce vlastnému
číslu λ2 = 2. Výpočtom napríklad dostaneme
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 13
v1,1 = (0, 1, 0, 0)T
, v1,2 = (0, 0, 0, 1)T
.
Vlastnému číslu λ2 teda odpovedajú dve lineárne nezávislé vektorové riešenia
x3(t) = eλ2t
v1,1 =




0
e2t
0
0



 , x4(t) = eλ2t
v1,2 =




0
0
0
e2t



 .
Napokon fundamentálna matica systému v zadaní príkladu má tvar
Y (t) = (x1(t), x2(t), x3(t), x4(t)) =




e3t
te3t
0 0
−e3t
−(t − 4) e3t
e2t
0
−e3t
−(t − 1) e3t
0 0
2e3t
(2t − 1) e3t
0 e2t



 .
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 14
Uvažujme systém
x′
=


4 −1 0
3 1 −1
1 0 1

 x.
Matica A má jedno trojnásobné vlastné číslo λ = 2, nakoľko
det(A − λI) = −(λ − 2)3
.
Teda m = 3, n − m = 3 − 3 = 0 a h0 = n = 3. Ďalej máme
A − 2I =


2 −1 0
3 −1 −1
1 0 −1

 , (A − 2I)2
=


1 −1 1
2 −2 2
1 −1 1

 , (A − 2I)3
= 0.
Platí h1 = 2, h2 = 1, h3 = 0, a teda index k = 3. Príslušná postupnosť nulít je
ν0 = 0 < ν1 = 1 < ν2 = 2 < ν3 = 3,
ktorá dáva tri Weyrove charakteristiky σ1 = 1, σ2 = 1 a σ3 = 1. Weyrova
tabuľka zovšeobecnených vlastných vektorov bude teda mať k = 3 riadky,
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 14
pričom v každom z nich bude jeden vektor
v1,1
v2,1
v3,1
.
Vektor v3,1 spĺňa (A − 2I)3
v3,1 = 0 a (A − 2I)2
v3,1 = 0, teda napríklad
v3,1 = (0, 0, 1)T
. Pre vektor v2,1 potom platí v2,1 = (A − 2I) v3,1, teda
v2,1 = (0, −1, −1)T
, a pre vektor v1,1 platí v1,1 = (A − 2I)2
v3,1, teda
v1,1 = (1, 2, 1)T
. Danému vlastnému číslu teda odpovedajú tri lineárne nezávislé
vektorové riešenia
x1(t) = eλt
v1,1 =



e2t
2e2t
e2t


 , x2(t) = eλt
(v2,1 + tv1,1) =



te2t
(2t − 1) e2t
(t − 1) e2t


 ,
x3(t) = eλt
v3,1 + tv2,1 +
t2
2
v1,1 =




t2
2
e2t
(t2
− t) e2t
t2
2
− t + 1 e2t



 .
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 14
Fundamentálna matica systému v zadaní príkladu má potom tvar
Y (t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) =




e2t
te2t t2
2
e2t
2e2t
(2t − 1) e2t
(t2
− t) e2t
e2t
(t − 1) e2t t2
2
− t + 1 e2t



 .
Príklad 15
Uvažujme systém
x′
=


2 −1 −1
2 −1 −2
−1 1 2

 x.
Matica A má jedno trojnásobné vlastné číslo λ = 1, nakoľko
det(A − λI) = −(λ − 1)3
.
Teda m = 3, n − m = 3 − 3 = 0 a h0 = n = 3. Ďalej máme
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 15
A − I =


1 −1 −1
2 −2 −2
−1 1 1

 , (A − I)2
= 0.
Platí h1 = 1 a h2 = 0, a teda index k = 2. Príslušná postupnosť nulít je
ν0 = 0 < ν1 = 2 < ν2 = 3,
ktorá dáva dve Weyrove charakteristiky σ1 = 2 a σ2 = 1. Weyrova tabuľka
zovšeobecnených vlastných vektorov bude teda mať k = 2 riadky, pričom v
prvom riadku budú σ1 = 2 vektory a v druhom riadku bude σ2 = 1 vektor
v1,1 v1,2
v2,1
.
Vektor v2,1 spĺňa (A − I)2
v2,1 = 0, (A − I) v2,1 = 0, napr. v2,1 = (1, 1, −1)T
.
Pre vektor v1,1 potom platí v1,1 = (A−I) v2,1, teda v1,1 = (1, 2, −1)T
. Vektor
v1,2 je vlastný vektor, t.j., (A − I) v1,2 = 0, lineárne nezávislý s v1,1 a v2,1.
Takýmto vektorom je napríklad v1,2 = (0, 1, −1)T
.
ODR I. rádu Systém LDR Homogénny systém Nehomogénny systém Rovnice vyšších rádov Systémy s konštantnými koeficientami
Príklad 15
Vlastnému číslu λ = 1 teda odpovedajú tri lineárne nezávislé vektorové riešenia
x1(t) = eλt
v1,1 =



et
2et
−et


 , x2(t) = eλt
(v2,1 + tv1,1) =



(t + 1) et
(2t + 1) et
−(t + 1) et


 ,
x3(t) = eλt
v1,2 =



0
et
−et


 .
Príslušná fundamentálna matica rovnice v zadaní príkladu má potom tvar
Y (t) = (x1(t), x2(t), x3(t)) =



et
(t + 1) et
0
2et
(2t + 1) et
et
−et
−(t + 1) et
−et


 .