Príklad 1. Voľbou vhodnej funkcie a metódou bisekcie odhadnite hodnotu 3
√
17. Spočítajte
prvé tri iterácie. Koľko krokov metódy by sme potrebovali, aby sme dosiahli presnosť aspoň
0,01?
Príklad 2. Uvažujme rovnicu 3
√
x = (x − 3)2
a funkcie
g1(x) = (x − 3)6
, g2(x) = 3 − 6
√
x.
O obidvoch funkciách rozhodnite, či sú vhodnými iteračnými funkciami pre uvedenú rovnicu
na intervale [1, 3]. Tú z nich, ktorá spĺňa všetky požiadavky, použite na konštrukciu prvých
troch aproximácii riešenia danej rovnice.
Príklad 3. Nájdite všetky pevné body zobrazenia
g(x) = −
3
2
x4
+
11
4
x3
−
x2
4
.
Pri každom z nich rozhodnite, či sa jedná o príťahujúci alebo odpudzujúci pevný bod.
Príklad 4. Pomocou Newtonovej metódy odhadnite najmenší kladný koreň rovnice f(x) =
e−x
− sin(x) = 0. Overte splnenie Fourierových podmienok na vhodnom intervale. Spočítajte
prvé tri aproximácie.
Príklad 5. Použitím metódy regula falsi odhadnite kladný koreň rovnice f(x) = cos(π
2
x)−
2
π
arcsin(x) = 0. Nájdite interval, na ktorom sú splnené podmienky pre použitie tejto
metódy a spočítajte prvé štyri iterácie (vrátane krajných bodov intervalu).
Príklad 6. Pevný bod funkcie g(x) = x2
+ x − 2 je
√
2. Overte, že Steffensenova metóda
pre funkciu g a pevný bod
√
2 je aspoň druhého rádu. Spočítajte prvé tri iterácie tejto
metódy. Za počiatočnú aproximáciu môžete zvoliť 2. Pomôcka: predpis funkcie ϕ(x) sa dá
upraviť tak, že čitateľ je polynóm tretieho stupňa a menovateľ je polynóm druhého stupňa.
Príklad 7. Pomocou Sturmovej vety a ohraničenia absolútnej hodnoty koreňov polynómu
pomocou jeho koeficientov separujte korene (nájdite intervaly, v ktorých sa nachádza práve
jeden koreň) polynómu P(x) = 2x3
+ 6x2
− 3x − 9.
Príklad 8. Pomocou zdvojenej Newtonovej metódy odhadnite najväčší koreň polynómu
P(x) = x3
− 3x2
− 3x + 9. Ako počiatočnú aproximáciu zvoľte horný odhad pre korene
polynómu na základe jeho koeficientov. Spočítajte tri kroky metódy.
Príklad 9. Uvažujme nasledujúci systém lineárnych rovníc:
x1 + 2x2 + 2x3 = 1,
x1 + 4x2 + 2x3 = −1,
x1 − 2x2 + 3x3 = 6.
Presvedčte sa o tom, že Gaussova–Seidelova metóda v tomto prípade konverguje pre akúkoľvek
počiatočnú podmienku. Následne vypočítajte tri aproximácie riešenia.
1
Príklad 10. Pomocou Newtonovej metódy pre systém nelineárnych rovníc odhadnite riešenie
nasledujúceho systému rovníc:
x2
+ y2
= 1,
x2
− y = 0.
Situáciu znázornite graficky. Zvoliac (x0, y0) = (1, 1
2
) spočítajte ďalšie dve aproximácie.
Príklad 11. Uvažujme nasledujúci systém lineárnych rovníc:
x1 + 2x2 + x3 = −1,
2x1 + 5x2 = −3,
x1 + 14x3 = 1.
Overte, či sústava spĺňa podmienky pre použitie Choleského metódy. Ak áno, s jej použitím
ju vyriešte.
2